江西省上饶市2018届高三第一次模拟考试理数试题 含答案

上饶市2018届第一次高考模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知R 为实数集，集合{}|0A x x =>，{}2|20B x x x =-->，则()R A B =ð（ ）A ．(0,2]B ．(1,2)-C ．[]1,2-D ．[]0,42.设复数311z i =+，则z 的共轭复数是（ ） A ．1 B ．1i +C ．1i -+D ．1i -3.已知1sin()123πα-=，则17cos()12πα+的值等于（ ）A ．13 B C ．13-D ． 4.下列说法正确的是（ ）A ．x ∀，y R ∈，若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-B ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，都有2230x x ++>” D ．设随机变量2~(1,5)X N ，若(0)P X ≤(2)P X a =>-，则实数a 的值为25.《九章算术》教会了人们用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织6尺布，现一月（按30天计）共织540尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A ．12B ．2429C ．1631D ．16296.已知双曲线方程为222214x y m b-=+，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．)+∞C ．D ．)+∞ 7.函数2xy x a=+的图象不可能是（ ）8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．163C ．7D ．1739.执行如图所示的程序框图，如果输出6T =，那么判断框内应填入的条件是（ ）A ．32k <B ．33k <C ．64k <D ．65k <10.大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种11.已知x ，y 满足约束条件20,53120,3,x y x y y --≤⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩当目标函数z ax by =+（0a >，0b >）在该约束条件下取得最小值1时，则123a b+的最小值为（ ） A．4+B．C．3+D．3+12.已知()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有13()log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程32|()3|694f x x x x a -=-+-+在区间[]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知ABC ∆外接圆半径是2，BC =，则ABC ∆的面积最大值为 ． 14.在边长为1的正方形ABCD 中，2AE EB =，BC 的中点为F ，2EF FG =，则EG BD ⋅= ．15.已知0a >，6)x -展开式的常数项为15，则sin 2)a ax dx -+=⎰ ． 16.已知函数()4sin(2)6f x x π=+（9106x π≤≤），若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，…，n x ，且123n x x x x <<<<…，则1231222n n x x x x x -+++++=… ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列{}n a 的前5项积为243，且32a 为23a 和4a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足132log n n n b b a -+=⋅（2n ≥且*n N ∈），且11b =，求数列1(1)!n n b +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18. （本小题满分12分）水是地球上宝贵的资源，由于介个比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费．某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，[1,1.5)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；（2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为[1,1.5)和[1.5,2)之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设X 为用水量吨数在[1,1.5)中的获奖的家庭数，Y 为用水量吨数在[1.5,2)中的获奖家庭数，记随机变量||Z X Y =-，求Z 的分布列和数学期望． 19. （本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧面11ABB A 是菱形，侧面11BCC B 是正方形，点1A 在底面ABC 的投影为AB 的中点D ．（1）证明：平面11AA B B ⊥平面11BB C C ； （2）设P 为11B C 上一点，且11113B P BC =，求二面角1A AB P --的正弦值． 20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，圆Q ：224230x y x y +--+=的圆心Q 在椭圆C上，点(0,1)P 到椭圆C 的右焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQB S AQB ∆=∠，求直线l 的方程． 21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x mx =+（m 为常数）． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当m ≤时，设21()()2g x f x x =+的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()2ln h x x ax x =--的零点，求1212()'()2x x y x x h +=-的最小值． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C ：12cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos()3ρπθ=+，点Q的极坐标为)4π．（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标； （2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4||43|f x x a x =-++，()|1||2|g x x x =--． （1）解不等式()3g x >-；（2）若存在1x R ∈，也存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．上饶市2018届第一次高考模拟考试数学（理科）试题卷答案一、选择题1-5:ADABB 6-10:ACDCB 11、12：CA二、填空题13.14-15.2π16.445π三、解答题17.解：（1）由前5项积为243得：33a =，设等比数列的公比为q ， 由32a 为23a 和4a 的等差中项得：33343q q⋅+=⨯，由公比不为1，解得：3q =， 所以23n n a -=．（2）由1321log n n n n b b a b n -+-=⋅=⋅，得121121(1)1!n n n n n b b b b b n n n b b b ---=⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅=……2， 数列1(1)!(1)!111(1)!(1)1n n n b n n n n n +--===-+++， 所以它的前n 项和11111111223111n nS n n n n =-+-++-=-=+++…． 18.解：（1）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5(0.120.080.04)12%⨯++=， 所以假设全市的人数为x （万人），则有0.12 3.6x =，解得30x =， 所以估计全市人数为30万．（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率=⨯频率组距组距， 所以0.5(0.080.160.40.520.120.080.042)1a ⨯+++++++=，得0.3a =， 用水量在[]1,1.5之间的户数为1000.30.515⨯⨯=户，而用水量在[]1.5,2吨之间的户数为1000.40.520⨯⨯=户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在[]1,1.5之间应抽取的户数为715335⨯=户，而用水量在[]1.5,2吨之间的户数为720435⨯=户． 据题意可知随机变量Z 的取值为0,2,4．22343718(0)(2,2)35C C P X P X Y C ======， 133134343716(2)(1,3)(3,1)35C C C C P X P X Y P X Y C +====+====， 0434371(4)(0,4)35C C P Z P X Y C ======， 其分布列为：期望为：()024********E Z =⨯+⨯+⨯=． 19.（1）证明：点1A 在底面ABC 的投影为AB 的中点D ， 所以1A D ⊥平面ABC ，所以1A D BC ⊥， 又因为侧面11BCC B 是正方形，1B B BC ⊥，因为1B B 与1A D 在平面11ABB A 上不平行所以必相交于一点，由上可得：BC ⊥平面11ABB A ，所以平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（2）如图所示，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设菱形边长为2，易知(0,0,0)D ，(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，因为D 为中点且有1A D AB ⊥，所以11AA A B =，又因为平面11ABB A 为菱形，所以1A AB ∆为等边三角形， 从而13A AD π∠=，从而12sin3A D π==所以点1A的坐标为，因为11(0,2,0)A B AB ==，所以1(0,B ， 又因为11112(,0,0)333B P B C BC 1===，所以2(,3P ， 设平面ABP 的法向量为1(,,)n x y z =，2(3BP =，(0,2,0)AB =，所以110,0,n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,320,x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令x =23z =-，0y =，所以12(3,0,)3n =-， 易知平面11ABB A 的法向量2(1,0,0)n =，所以1212123cos ,||||31n n n n n n ⋅<>===⋅所以122sin ,n n <>=从而二面角1A AB P --．20.解：（1）因为椭圆C 的右焦点(,0)F c ，||2PF =，所以c =因为(2,1)Q 在椭圆C 上，所以22411a b +=， 由223a b -=，得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）由tan AQB S AQB ∆=∠得：1sin tan 2QA QB AQB AQB ⋅∠=∠， 即cos 2QA QB AQB ⋅∠=，可得2QA QB ⋅=，①当l 垂直x轴时，(1)QA QB ⋅=--(2,1)4132⋅-=+-=， 此时满足题意，所以此时直线l 的方程为0x =； ②当l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221,631x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得22(12)440k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以122412k x x k -+=+，122412x x k -=+， 代入2QA QB ⋅=可得：1122(2,1)(2,1)2x y x y --⋅--=， 代入111y kx =+，221y kx =+，得21212(2)(2)2x x k x x --+=，代入化简得：2224(1)8201212k k k k -+++=++，解得14k =， 经检验满足题意，则直线l 的方程为440x y -+=， 综上所述直线l 的方程为0x =或440x y -+=．21.解：（1）11'()mxf x m x x+=+=，0x >， 当0m <时，由10mx +>，解得1x m <-，即当10x m<<-时，'()0f x >，()f x 单调递增；由10mx +<解得1x m >-，即当1x m>-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当0m =时，1'()0f x x=>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，10mx +>，故'()0f x >，即()f x 在(0,)+∞上单调递增．所以当0m <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)m -，单调递减区间为1(,)m -+∞； 当0m ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．（2）由21()ln 2g x x mx x =++得211'()x mx g x m x x x ++=++=，由已知210x mx ++=有两个互异实根1x ，2x ，由根与系数的关系得12x x m +=-，121x x =，因为1x ，2x （12x x <）是()h x 的两个零点，故21111()2ln 0h x x x ax =--=①22222()2ln 0h x x x ax =--= ②由②-①得：222212112ln ()()0x x x a x x x ----=， 解得2121212ln ()x x a x x x x =-+-， 因为2'()2h x x a x =--，得1212124'()222x x x x h a x x ++=-⋅-+， 将2121212ln ()x x a x x x x =-+-代入得2121212112212ln 4'()2()22x x x x x x h x x x x x x ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥=-⋅--++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2121122ln 4xx x x x x =-+-+2221212211122111(1)2()22ln ln 21x x x x x x x x x x x x x x xx ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤-⎢⎥=--=--⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦， 所以21221122111()'()2ln 221x x x x x y x x h x x x ⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥=-=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，设211x t x =>，因为22221212129()22x x x x x x m +=++=≥， 所以221252x x +≥，所以221212122152x x x x x x x x +=+≥， 所以152t t +≥，所以2t ≥． 构造1()ln 21t F t t t -=-+，得22214(1)'()0(1)(1)t F t t t t t -=-=>++， 则1()ln 21t F t t t -=-+在[2,)+∞上是增函数， 所以min 2()(2)ln 23F x F ==-，即1212()'()2x x y x x h +=-的最小值为42ln 23-． 22.解：（1）3cos()3ρπθ=+，得1cos sin 32ρθρθ=， 故曲线2C的直角坐标方程为60x -=，点Q 的直角坐标为(4,4)．（2）设(12cos ,4sin )P θθ，故PQ 中点(26cos ,22sin )M θθ++， 2C的直线方程为60x --=，点M 到2C的距离d=|3cos 2|θθ=---|)2||2|26πθ=+-≥--= PQ 中点M 到曲线2C上的点的距离的最小值是2． 23.解：（1）由题意可得1,0,()13,01,1,1,x x g x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩因为()3g x >-，由函数图象可得不等式的解为42x -<<，所以不等式的解集为{}|42x x -<<．（2）因为存在1x R ∈，存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立， 所以{}{}|(),|(),y y f x x R y y g x x R =∈=∈≠∅，又()|4||43||(4)(43)||3|f x x a x x a x a =-++≥-++=+， 由（1）可知max ()1g x =，所以|3|1a +≤，解得42a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为[]4,2--．。