函数值域的13种求法

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高考数学函数求值域的十二种方法

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高考数学函数求值域的十二种方法

一.观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数

的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。∴函数的值域为{y∣y≥3｝.

点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类

函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数

y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定

义域为y≠１的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在

反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练

习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域

为{y∣y1｝)

三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利

用配方法求函数值域

例3：求函数y=√（-x2+x+2)的值域。

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数

y =

的值域。

解：∵0x ≠

∴0x 1≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x

3y -

=的值域。

解：∵

0x ≥

3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x

y 2

-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：

4)1x (y 2

+-= ∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n

=，当1x -=时，8y m a x =

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

x 1x x 1y +++=

的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程

0x )1y (x )1y (2=-+-

（1）当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆

解得：23y 2

1≤

≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡∈23,211

故函数的值域为⎥

⎦⎤⎢⎣⎡23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+

=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x

222

=++-（1）

∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42

≥-+=∆

解得：2

1y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x

222

=++-在实数集R 有实

根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由

高考数学复习函数值域的13种求法

函数值域十三种求法

1. 直接观察法

利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,

其值域可通过观察直接得到。

例1. 求函数

x 1y =的值域

解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥

3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2

类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=

∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =

故函数的值域是：[4，8]

评注：配方法往往需结合函数图象求值域．

3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简

如:

.112..222

22222b a y 型：直接用不等式性质k+x

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的解题方法总结（16种）

一、观察法：

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例:求函数()x 323y -+

=的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。

解：由算术平方根的性质知

()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。

点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。

练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0）

二、反函数法：

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数2

x 1

x y ++=的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数2

x 1

x y ++=

的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，

故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这

种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数x

-x -x

x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。

三、配方法：

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

例：求函数()

2x x

-y 2

++=

的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=

高中数学：求函数值域的方法十三种(一)

0，
3 2
内，如图
2
所示。函
第1页共9页
数
f
(x)
的最小值为
f
(0)
1 ，最大值为
f
23
19 4
。
图2
【例 2】若函数 f (x) x2 2x 2,当x [t,t 1] 时的最小值为 g(t) ，（1）求函数 g(t) （2）当 t [-3,-2]时，求 g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
f f
(m) 3n (n) 3m
，无解
综上， m 4, n 0
【解法 2】由 f (x) 1 (x 1)2 1 ，知 3n 1 , n 1 , ，则[m, n] (,1] ，
f
(
x
)
ax
2
(
2a
1
)x
1
在区间
3 2
,2
上的最大值为
3，求实
数 a 的值。
【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 a 0 与 a 0 两大类五种情形讨
论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先

高中函数值域的12种求法！简单明了，一看就会！

中国人常说：学好数理化，走遍天下都不怕。可见理科学科在国人心目中占了多么重要的位置。其中，数学作为理科的根本，毋庸置疑的更是重中之重。

函数，是高中数学中很重要的一部分内容，很多同学也为函数值域的求法感到头痛。而求值域是高中数学极为重要的部分，在考试中占有不少分值。可是由于题型复杂多变，很多同学总是难以用正确的方法完整的求出值域。

也有很多学生在这一块从高一错到高三都不能正确解答的，这也因此成了学生们的心头恨，为为了帮助更多的同学理解值域，更好的进行解题，尽量多得分数。

今天我为大家总结了高中数学求值域的12种解法，方法简单明了，只要同学们用心理解，一定会有所收获。

当然，求值域只是数学题型的一部分，还有更多孩子学习不懂的问题，可直接向我咨询，我将根据孩子的具体情况，制定合理有效的学习方案，免费帮助孩子快速提高成绩。

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看了这12种值域求法，是不是瞬间觉得这类题型简单了很多？其实高中数学重在基础的把握，超难题型极为少见，所以对于同学们来说，掌握基础是学习数学的根本。只要善于总结吸收，数学成绩一定会有所进步！

今天就先分享到这了，如果您在孩子教育和学习方面遇到了困难，想让孩子的学习更上一层楼，可直接与我沟通，我都将免费为您答疑解惑！

高中数学：函数值域11种常用求法，配方法、换元法最基本

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一

只有定义域为整个实数集R时才可直接用

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用

题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目

利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧

在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围

函数值域求法大全

函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。本文介绍了十一种函数值域求法。

首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。

其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。

还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。

除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。

总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。

换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。

例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得

高中函数值域的12种求法,极全,极强,免费!!!

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为 .

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

求函数值域的十种方法

例25.求函数的值域。
解：原函数变形为：
当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：
例26.求函数的值域。
解：
当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：
十一、多种方法综合运用：
例27.求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例28.求函数的值域。
解：
令，则
∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。
【练习】
1．求函数的值域。
【参考答案】1．
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

函数求值域的15种方法

求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值

上才能可以被定义。它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在

哪里。求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的

方法。

1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，

以及变化的临界点来考虑函数的值域。

2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而

求出函数的定义域。

3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函

数属于哪个集合。

4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值

范围。

5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。

6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函

数在一定范围内所具有的有效值。

7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。

8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。

9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。

10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。

11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。

12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函

数在一定范围内所具有的值。

13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。

14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的

值域。

15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。

以上就是15种求解函数域的方法。上述15种方法都可以用来帮

助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解

求函数的值域、最值的13种方法

＝
x2＋2＋
1
≥2，∴值域为[2，＋∞)．
x2＋2
x2＋2
[解法二](判别式法)：设 x2＋2＝t(t≥ 2)，则 y＝t＋1，即t2－ty＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y2－4≥0， t
∴y≥2 或 y≤－2(舍去)．
[解法三](配方法)：令
x2＋2＝t(t≥
1 2)，则 y＝t＋＝(
t－ 1 )2＋2≥2.
求函数的值域、最值的 13 种方法
求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：
①直接法：利用基本初等函数的值域
ax＋b
2x－1 sinx－1
②分离常数法：形如y＝ (c≠0)或y＝或y＝的函数，可用反解法或分离常数法．
⑫平方法：对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题
转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．如对于形如 y＝ a－cx＋ cx＋b的无理函数
的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数 y2＝(a＋b)＋2 （a－cx）（cx＋b）的最值问
题，这样只需利用二次函数的最值即可求得．
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出

求函数值域的12种方法

函数的值域即为函数的输出值的集合。在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于

$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函

高中数学：求函数值域的方法十三种

高中数学：求函数值域的十三种方法

一、观察法（☆ ）二、配方法（☆）三、分离常数法（☆）四、反函数法（☆）五、判别式法（☆）六、换元法（☆☆☆）七、函数有界性

八、函数单调性法（☆）

九、图像法（数型结合法）（☆）十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用

一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。【例1】求函数1y x =+的值域。

【解析】∵0x ≥，∴11x +≥， ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数

x 1

y =

的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0

x 1≠ 显然函数的值域是：

),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。【解析】将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，

，当

时，故函数的值域是：[4，8]

【变式】已知

，求函数

的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配

求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的16种解题方法

在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

一、观察法：

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例:求函数()x 323y -+

=的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。

解：由算术平方根的性质知

()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。

练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0）

二、反函数法：

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数2

x 1

x y ++=的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数2x 1x y ++=

的反函数为：y

y --=11

2x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这

种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数x

-x -x

x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。

三、配方法：

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

函数值域求法十种

函数值域的常用求法

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1. 求函数

1y =

的值域。

解：∵0x ≠∴0

x 1

≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞Y

例2. 求函数x

3y -

=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-

≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数

]2,1[x ,5x 2x y 2

-∈+-=的值域。解：将函数配方得：4)1x (y 2

+-=∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，

8y max = 故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数1

3222

2++++=x x x x y 的值域。分析与解答：因为0432112

2≠+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++x x x ，原函数变形为：

()()()03222=-+-+-y x y x y （1）

当2=y 时，求得3=y ，所以2≠y 。

当2≠y 时，因为R x ∈，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0≥∆，即：()()()3

102032422

≤

≤⇒≥----y y y y 所以3

2≤

4. 分离常数法

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数1e 1e y x

x +-=的值域。

解：由原函数式可得：

1y 1

y e x -+=

∵0e x >∴0

1y 1y >-+

解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-

6. 函数单调性法