陕西省延安市高考数学一轮复习：51 抛物线
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
2023年高考数学一轮复习：抛物线
第八节 抛 物 线2023年高考数学总复习内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评【教材·知识梳理】1.抛物线的定义(1)M为平面内的动点,F为平面内的定点,l 为平面内的定直线,d为M到l 的距离,满足下列两个条件的点M的轨迹为抛物线:①______;②_____.(2)当F∈l 时,点M的轨迹为过__________________.2.抛物线中参数p的几何意义:_________________.|MF|=d 点F且与l 垂直的直线焦点到准线的距离F ∉l3.标准方程的形式:(1)焦点在x轴正半轴:___________;(2)焦点在x轴负半轴:____________;(3)焦点在y轴正半轴:___________;(4)焦点在y轴负半轴:____________.4.标准位置抛物线的对称性:对称轴为焦点所在坐标轴.y 2=2px(p>0)y 2=-2px(p>0)x 2=2py(p>0)x 2=-2py(p>0)【易错点索引】序号易错警示典题索引1不会利用定义转化考点一、T1,22联想不到利用焦点弦的有关结论求解考点二、T33运算不过关导致出错考点三、角度1【教材·基础自测】1.(选修2-1P69例4改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于( )A.9B.8C.7D.6【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,根据题意可得|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.2.(选修2-1P73A组T3改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P为抛物线上任意一点,则以PF为直径的圆C与y轴( )A.相交B.相切C.相离D.以上都不对。
2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(一)》ppt
答案
高考一轮总复习•数学
第29页
解析：(1)∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，∴准线为 x＝－p2.
∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴－p2－2＝4. ∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x.
(2)因为△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准 线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2.因为焦点为 F0，p2，△FPM 是等边三角形，所以|PM|＝4，
高考一轮总复习•数学
抛物线定义的应用策略
第17页
高考一轮总复习•数学
第18页
对点练 1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形 弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2 所示的抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的一部分， P 为抛物线 C 上一点，F 为抛物线 C 的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝ 221，则 p＝( )
高考一轮总复习•数学
第10页
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋ |QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选 B．
即 px0＝4.又 C 的准线方程为 x＝－p2， 易知|FM|＝x0＋p2，显然|DM|＝x0－p2.
由焦点联想准线．
因为 cos∠MFG＝2 3 2，所以 sin∠MFG＝13，因此||DFMM||＝sin∠MFG＝13，即xx00＋－p2p2＝13， 整理得 x0＝p，与 px0＝4 联立，解得 p＝x0＝2，
抛物线+讲义 高三数学一轮复习
8.7.1 抛物线一、课标要求1.了解抛物线的定义几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.二、知识梳理1.抛物线的定义（1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离_____的点的轨迹.（2）焦点：________叫做抛物线的焦点.（3）准线：________叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)图形顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向三、典例探究例1 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ( )A. 2B. 3C. 6D. 9变式：已知抛物线y2=8x在第一象限内的一点A到其焦点的距离为8，则点A的纵坐标为( )A. 2√3B. 6C. 4D. 4√3例2设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|+|PF|的最小值为 ______.变式：设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，求点P到A(−1,1)的距离与点P到直线x=−1的距离之和的最小值.四、课堂练习1、平面中到点A(1,0)和直线x=−1的距离相等的点的轨迹方程为( )A. y2=2xB. y2=4xC. x2=2yD. x2=4y2、若抛物线x2=my上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，则m= ( )A. 8B. 4C. 2D. 123、过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则|PQ|等于( )A. 9B. 8C. 7D. 64、已知△ABC的三个顶点都在抛物线T:y2=2px(p>0)上，C(2,−8)，且抛物线的焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|= ( )A. 40B. 38C. 36D. 345、若F为抛物线C:y2=4x的焦点，点M(m,4)在C上，直线MF交C 的准线于点N，则|FN|= ( )A. 54B. 103C. 5D. 126、设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|= ( )A.2B. 2√2C. 3D. 3√2。
高三数学第一轮复习_抛物线的定义、性质与
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。
说明：1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。
解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y1>0）则，∴，代入得∴点在上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。
例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为由，消去得设，则∵∥轴，且在准线上∴点坐标为于是直线的方程为要证明经过原点，只需证明，即证注意到知上式成立，故直线经过原点。
证法二：同上得。
又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。
于是，知三点共线，从而直线经过原点。
证法三：如图，设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足则∥∥，连结交于点，则又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。
人教版高中数学高考一轮复习--抛物线(课件)
由Δ=(4k2-8)2-4k2·
4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
抛物线的定义和标准方程
命题角度1 抛物线的定义及应用
例1 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标
交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为( C )
A.18
B.24
C.36
D.48
依题意,不妨设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),
则焦点坐标为
,0
2
,将
x=2代入 y2=2px,可得
y=±p,
所以|AB|=2p=12,所以 p=6.
因为点 P 在准线上,所以点 P 到直线 l 的距离为 p=6,
如图,过点 M 作 MB⊥x 轴于点 B,
1
∵∠AMF=120°,∴∠BMF=30°,|BF|=2 − 2,
1
1
∴2|BF|=|MF|,即 2 2 - 2 = 2 + 2,解得 p=3.
故抛物线方程为 y2=6x.
7
(2)已知点 P 是抛物线 y =2x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是点 M,点 A 2 ,4 ,
7
A.2
5
B.2
C.3
∵ =4,∴||=4||.
∴
||
||
=
3
.
4
过点 Q 作 QQ'⊥l,垂足为 Q',
设 l 与 x 轴的交点为 A,
高考第一轮复习——抛物线及其几何性质
x∈R y≥0
关于x轴对称 关于y轴对称
（0,0）
p 2
x0
（0,0）
p 2
y0
p x1 x2
p (x1 x2 )
p y1 y2
x2 = -2py （p＞0）
y
l
O F
x
x∈R y≤0
关于y轴对称
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
5、抛物线的焦点弦的性质（ 以 y2 2 px( p 0) 为例）
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F(0, p) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
（ 以 y2 2 px( p 0)为例） y
P(x0 ,y0)
1、离心率 e=1 2、焦半径 |PF|=x0+p/2 3、焦点弦长
p
y
A
由此我们得到一种抛物线的简单画法:
O
F
x
B
抛物线 方程
图 形
范围
对称性 顶点 焦半径 公式 焦点弦 长
y2 = 2px （p＞0）
y
l OF x
x≥0 y∈R 关于x轴对称
（0,0）
p 2 x0
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
FO x
O
x
高考数学一轮复习专题训练—抛物线
抛物线考纲要求1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线． (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切．2．顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________． 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________． 答案 2解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.4．(2020·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C.5．(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP答案 B解析 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为py 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.6．(2021·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 [－1,1]解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1,1]．考点一 抛物线的定义及标准方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－12y 或y 2＝16xB ．x 2＝12y 或y 2＝－16xC ．x 2＝9y 或y 2＝12xD ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析 对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＝3，所以p ＝6， 此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1C ．32D ．2答案 B解析 设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.3．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 感悟升华 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)抛物线焦点到准线的距离为p .2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．考点二 抛物线的几何性质【例1】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)(2)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时， ∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 (1)B (2)A解析 (1)将x ＝2与抛物线方程y 2＝2px 联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.(2)过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D (图略)．因为∠OF A ＝120°，所以∠BAF ＝60°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.故选A.感悟升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练1】 (2021·长春质量监测)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3|AF |＝|BF |，O 为坐标原点，则|AF ||OF |＝( )A.43 B ．34C ．4D ．54答案 A解析 由题意，知F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l ：y ＝－p 2. 作AE ⊥l 于点E ，BG ⊥l 于点G ，过点A 作AD ⊥BG 于点D ，交y 轴于点H ，设|AF |＝x ，则|BF |＝3x .由抛物线的定义，知|AE |＝|AF |＝x ，|BG |＝|BF |＝3x ，|AB |＝x ＋3x ＝4x ，|BD |＝3x －x ＝2x ，|FH |＝p －x .由△AHF ∽△ADB ，得|AF ||AB |＝|FH ||BD |，即x 4x ＝p －x 2x ，解得x ＝23p ，所以|AF ||OF |＝23pp 2＝43，故选A.考点三 与抛物线有关的最值问题角度1到焦点与定点距离之和(差)的最值问题【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|P A|＋|PF|的最小值为________；(2)|P A|－|PF|的最小值为________，最大值为________．答案(1)3(2)－2 2解析(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PH|，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在F A延长线上时，|P A|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|P A|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|P A|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.感悟升华 1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题．2．到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值．角度2到点与准线的距离之和的最值问题【例3】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x ＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.感悟升华 解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．角度3 动弦中点到坐标轴距离的最短问题【例4】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B ．32C ．1D ．2答案 D解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 感悟升华 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解． 角度4 焦点弦中的距离之和的最小问题【例5】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________． 答案 2解析 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.感悟升华 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值． 角度5 到定直线的距离的最小问题【例6】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 答案 43解析 法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二 对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝⎛⎭⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.感悟升华 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值．【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2,1)的距离之和最小，则该点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(－2，－22)D ．(－2,22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________． 答案 (1)A (2)17－1解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1,0)．依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1. 考点四 直线与抛物线的综合问题【例7】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l 的方程为y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0，则x 1＋x 2＝－12t －19. 从而－12t －19＝52，得t ＝－78(满足Δ>0)． 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1，故|AB |＝4133. 感悟升华 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【训练3】 (2020·汉中模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝⎛⎭⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2， 从而⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，k DE ·k ＝－1，即⎩⎨⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，整理可得⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0， 故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.抛物线的几个“二级结论”的应用抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． 【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B ．92C ．5D ．6答案 B[通法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[优解]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B ．938C ．6332D ．94答案 D[通法]由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.[优解]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．163D ．203答案 C[通法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[优解]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 思维升华 解决抛物线的焦点弦问题，应掌握通性通法，活用二级结论，提升数学抽象核心素养.A 级 基础巩固一、选择题1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1C ．12D ．14答案 D解析 抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14.故选D.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14.故选D.3．(2021·河南中原名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1C ．54D ．74答案 C解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C.4．(2021·衡水调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .5．(2021·江西五校协作体联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线相交于点M ，若|MN |＝|AB |，则直线l 的倾斜角为( ) A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°答案 B解析 分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，N ′，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NN ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.故选B.6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2C ．115D ．3答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.二、填空题7．(2020·新高考山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案163解析 由题意得，抛物线焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．9．(2021·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________． 答案 3解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 三、解答题10．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．11．(2021·安徽六校第二次联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (a,3)，点P 为抛物线C 上的动点．(1)若|P A |＋|PF |的最小值为5，求实数a 的值；(2)设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，求△OP A 的面积．解 (1)由题意知F (1,0)，当线段AF 与抛物线C 没有公共点，即a >94时，设点P 在抛物线准线x ＝－1上的射影为D ，则D ，P ，A 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AD |＝a －(－1)＝5，此时a ＝4； 当线段AF 与抛物线C 有公共点，即a ≤94时，则A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AF |＝a －12＋32＝5，此时a ＝－3.综上，实数a 的值为－3或4.(2)因为∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，所以MA ∥x 轴且|MO |＝|MA |＝|MP |，设M (t,3)，则P (2t,6)，代入抛物线C 的方程得2t ＝9，于是|MO |＝|MA |＝|MP |＝3132，所以S △OP A ＝12|MA |·|y P |＝9132. B 级 能力提升12．(2021·银川联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝9.∵半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，⎝⎛⎭⎫p 2－a 2＋b 2＝9，3＝a ＋p 2⇒⎩⎨⎧ p 2－a ＝a ，a ＝3－p 2⇒p ＝4.故选C. 13．(2020·贵阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在双曲线C ：x 24－y 22＝1的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|OF |＝|PF |，则△PFO 的面积为________．答案 23解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，双曲线C ：x 24－y 22＝1的渐近线方程为x ±2y ＝0， 不妨设P 在渐近线x －2y ＝0上，可设P (2m ，m )，m >0，由|OF |＝|PF |可得2m －12＋m 2＝1，解得m ＝223， 则△PFO 的面积为12|OF |·|y P |＝12×1×223＝23. 14．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎨⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。
抛物线课件高三数学一轮复习
＝0，解得 p ＝－42（舍去）或 p ＝6.故选C.
法二
根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x ＝－ 的距离为
2
12，因为点 A 到 y 轴的距离为9，所以 ＝12－9，解得 p ＝6.故选C.
2
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. （2024·全国乙卷13题）已知点 A （1， 5 ）在抛物线 C ： y 2＝2 px
1｜≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d ≥2，故最短距离为2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】 （1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
上，则 A 到 C 的准线的距离为
9
4
.
解析：∵点 A （1， 5 ）在抛物线 y 2＝2 px 上，∴5＝2 p ，得 p ＝
5
5
9
，∴点 A 到准线的距离为 xA ＋ ＝1＋ ＝ .
2
2
4
4
目录
高中总复习·数学（提升版）
直线与抛物线的位置关系
【例4】 （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y
2. 抛物线性质的应用技巧
（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程
化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性Байду номын сангаас简化运算.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2022高考数学总复习(人教A理一轮)课时规范练51 抛物线
课时规范练51 抛物线基础巩固组1.(2020福建厦门一模)若抛物线x 2=ay 的焦点到准线的距离为1,则a=( )A.2B.4C.±2D.±42.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=4√2x 的焦点,P 为抛物线C 上一点,若|PF|=4√2,则△POF 的面积为( ) A.2 B.2√2C.2√3D.43.(2020河北唐山一模,文8)抛物线x 2=2py (p>0)上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3,则p=( ) A.8B.6C.4D.24.F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点P 在抛物线上,点Q 在抛物线的准线上,若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|PQ|=( ) A .92B.4 C .72D.35.(2020河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( ) A .2512 mB .256 mC .95 mD .185 m6.已知抛物线E :y 2=2px (p>0)的准线为l ,圆C :(x -p 2)2+y 2=4,l 与圆C 交于A ,B 两点,圆C 与E 交于M ,N两点.若A ,B ,M ,N 为同一个矩形的四个顶点,则E 的方程为( ) A.y 2=x B.y 2=√3x C.y 2=2xD.y 2=2√3x7.(2020河南安阳三模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,l 与x 轴的交点为P ,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ,垂足为A'.若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=35,则抛物线C 的方程为 ( )A.y 2=xB.y 2=2xC.y 2=4xD.y 2=8x8.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,则|AC|+|BD|的最小值为 .9.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线l :x=-1,点M 在抛物线C 上,点M 在准线l 上的射影为A ,且直线AF 的斜率为-√3,则△AMF 的面积为 .10.已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,曲线C1是以F为圆心,p4为半径的圆,直线2√3x-6y+3p=0与曲线C,C1从左至右依次相交于P,Q,R,S,则|RS||PQ|=.综合提升组11.(2020广东广州一模)已知F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()A.6B.8C.10D.1212.已知抛物线C1:y2=2px(p>0)与圆C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四点.若BC⊥x轴,且线段BC恰为圆C2的一条直径,则点A的横坐标为()A.116B.3 C.113D.613.(2020河北衡水中学三模,理14)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B 两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=,直线AB的斜率为.14.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F在y轴的正半轴上,点A是抛物线上的一点,以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F.(1)求抛物线的标准方程;(2)设直线m在y轴上的截距为6,且与抛物线交于P,Q两点,连接QF并延长交抛物线的准线于点R,当直线PR恰与抛物线相切时,求直线m的方程.创新应用组15.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16D.16316.(2020江西上饶三模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.(1)求抛物线C的方程;(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.参考答案课时规范练51抛物线1.C∵x2=ay,∴p=a2=1,∴a=±2.故选C.2.C利用|PF|=x P+√2=4√2,可得x P=3√2.∴y P=±2√6.∴S△POF=12|OF|·|y P|=2√3.故选C.3.C设A(x0,y0),由题意得y0+p2=3,即p=6-2y0,又因为x02=2py0,所以x02=2(6-2y0)y0,化简得x02+4y02=12.又因为点A到原点的距离为3,所以x02+y02=9,解得x02=8,y02=1.又由题可得y0=1,代入x02=2py0有p=4.故选C.4.A记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得|FK||MP|=|QF||QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故选A.5.D建立平面直角坐标系如图所示.设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为185m.故选D.6.C如图,圆C:(x-p2)2+y2=4的圆心C(p2,0)是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.∵圆C :(x -p 2)2+y 2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A ,B ,M ,N 为同一个矩形的四个顶点,∴点A ,N 关于直线x=p2对称, 即x N +x A =p2×2=p ,∴x N =32p ,∴|NA|=32p-(-p 2)=2,即2p=2,则E 的方程为y 2=2x.故选C . 7.C 过点F 作FF'⊥AA',垂足为F'.设|AF'|=3x ,因为cos ∠FAA'=35,所以|AF|=5x ,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x ,则|A'F'|=2x=p ,故x=p2.四边形AA'PF 的面积S=(|PF |+|AA '|)·|FF '|2=(p+52p)·2p2=14,解得p=2,故抛物线C 的方程为y 2=4x.8.2 由题意知F (1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2. 9.4√3 设准线l 与x 轴交于点N ,则|FN|=2.∵直线AF 的斜率为-√3, ∴∠AFN=60°, ∴∠MAF=60°,|AF|=4. 由抛物线的定义可得|MA|=|MF|, ∴△AMF 是边长为4的等边三角形. ∴S △AMF =√34×42=4√3.10.215{x 2=2py ,2√3x -6y +3p =0⇒12y 2-20py+3p 2=0. 因为直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,所以y P =p6,y S =32p. 由直线2√3x-6y+3p=0过抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点F ,所以|RS|=|SF|-p =y S +p −p =y S +p ,|PQ|=|PF|-p =y P +p −p =y P +p ,|RS ||PQ |=|SF |-p 4|PF |-p 4=3p 2+p 4p 6+p 4=74512=21. 11.B 由已知得抛物线C :y 2=6x 的焦点坐标为32,0,准线方程为x=-32.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为|AF|=3|BF|,所以x 1+32=3x 2+32,|y 1|=3|y 2|. 所以x 1=3x 2+3,x 1=9x 2, 所以x 1=92,x 2=12. 所以|AB|=x 1+32+x 2+32=8.故选B .12.A 圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0可化为(x-6)2+y 2=52,故圆心为(6,0),半径为5,由于BC ⊥x 轴,且线段BC 恰为圆C 2的一条直径,故B (6,-5),C (6,5). 将B 点坐标代入抛物线方程得25=12p ,故p=2512,抛物线方程为y 2=256x. 联立{y 2=256x ,x 2+y 2-12x +11=0,消去y 得x 2-476x+11=0, 解得x=116或x=6(舍去), 故A 点横坐标为116.故选A .13.4 2 过点A ,B ,M 分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A 1,B 1,M 1,则|MM 1|=2.根据梯形中位线定理,得|AA 1|+|BB 1|=4. 根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA 1|+|BB 1|=4.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由y 12=4x 1,y 22=4x 2,得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2),则直线AB 的斜率为k=y 1-y2x 1-x 2=4y 1+y 2=42×1=2.14.解(1)设抛物线方程为x 2=2py (p>0).∵以A 为圆心,2为半径的圆与y 轴相切,切点为F ,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x 2=4y. (2)由题知直线m 的斜率存在, 设其方程为y=kx+6,由{y =kx +6,x 2=4y 消去y 整理得x 2-4kx-24=0,显然,Δ=16k 2+96>0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则{x 1+x 2=4k ,x 1·x 2=-24. 由x 2=4y ,得y=x 24,∴y'=x2. 抛物线在点P (x 1,x 124)处的切线方程为y-x 124=x 12(x-x 1),令y=-1,得x=x 12-42x 1,可得点R (x 12-42x 1,-1),由Q ,F ,R 三点共线得k QF =k FR ,∴x 224-1x 2=-1-1x 12-42x 1, 即(x 12-4)(x 22-4)+16x 1x 2=0,整理得(x 1x 2)2-4[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+16+16x 1x 2=0,∴(-24)2-4[(4k )2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k 2=14,即k=±12,∴所求直线m 的方程为y=12x+6或y=-12x+6.15.C 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y 1+y 2+2,因为y 1+y 22=|AB|-1, 所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos ∠AFB=|AF |2+|BF |2-|AB |22|AF ||BF | =3(|AF |2+|BF |2)-2|AF ||BF |8|AF ||BF |≥6|AF ||BF |-2|AF ||BF |8|AF ||BF |=12,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当∠AFB 最大时,△AFB 为等边三角形,AB ∥x 轴.不妨设此时直线AD 的方程为y=√3x+1,由{y =√3x +1,x 2=4y ,消去y ,得x 2-4√3x-4=0,所以x 1+x 3=4√3,所以y 1+y 3=√3(x 1+x 3)+2=14. 所以|AD|=16.故选C .16.解(1)∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1,∴p2=1,解得p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)由(1)可知焦点为F (1,0).由已知可得AB ⊥CD ,∴两直线AB ,CD 的斜率都存在且均不为0. 设直线AB 的斜率为k ,则直线CD 的斜率为-1k , ∴直线AB 的方程为y=k (x-1). 联立{y 2=4x ,y =k (x -1),消去x 得ky 2-4y-4k=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4k .设M (x M ,y M ),由y M =k (x M -1),得x M =y Mk +1=2k 2+1,∴M (2k2+1,2k ).同理可得N (2k 2+1,-2k ). ∴|NF|=√(2k 2+1-1)2+(-2k )2=2√k 2(k 2+1),|MF|=2√1+k 2k 2,∴|MF|·|NF|=2√1+k 2k 2×2√k 2(1+k 2)=4×1+k2|k |≥4×2√|k |·1|k |=8,当且仅当|k|=1|k |,即k=±1时,等号成立. ∴|MF|·|NF|的最小值为8.内容仅供参考后记亲爱的朋友，你好！非常荣幸和你相遇，很乐意为您服务。
陕西省汉中市高考数学一轮复习：51 抛物线
陕西省汉中市高考数学一轮复习：51 抛物线姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)2. （2分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A . 直线B . 圆C . 抛物线D . 双曲线3. （2分）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点（-1,1），则抛物线焦点坐标为（）A . （-1,0）B . （1,0）C . （0，-1）D . （0，1）4. （2分）已知双曲线(≠0)的一条渐近线的斜率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .5. （2分）如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是（）A . 6mB . 6mC . 3mD . 3m6. （2分）抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·长春开学考) 已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·西安模拟) 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）B .C .D . 29. （2分）一动圆圆心在抛物线x2=4y上，过点（0，1）且与定直线l相切，则l的方程为（）A . x=1B . x=C . y=﹣1D . y=﹣10. （2分） (2019高二上·唐山月考) 是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则（）A . 1B . 2C .D . 411. （2分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A .B .C .12. （2分） (2016高二上·岳阳期中) 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A . 2B .C . 1D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2016高二上·大庆期中) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．14. （1分） (2018高二上·台州月考) 抛物线的准线方程是________，过此抛物线的焦点的最短弦长为________．15. （1分）(2017·凉山模拟) 设点M，N是抛物线y=ax2（a＞0）上任意两点，点G（0，﹣1）满足•＞0，则a的取值范围是________．16. （1分） (2019高二上·中山月考) 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为________．17. （1分） (2017高二上·廊坊期末) 设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F作直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为________．三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知抛物线，为抛物线上一点，为关于轴对称的点，为坐标原点.（1）若的面积为2，求点的坐标；（2）若过满足（1）中的点作直线交抛物线于两点，且斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.19. （5分）(2017·舒城模拟) 在直角坐标系xOy中，设抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为直线l，点A、B在直线l上，点M为抛物线E第一象限上的点，△ABM是边长为的等边三角形，直线MF的倾斜角为60°．（1）求抛物线E的方程；（2）如图，直线m过点F交抛物线E于C、D两点，Q（2，0），直线CQ、DQ分别交抛物线E于G、H两点，设直线CD、GH的斜率分别为k1、k2，求的值．20. （10分）(2017·黑龙江模拟) 已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且• = （其中O为坐标原点）（Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21. （10分）(2017·衡阳模拟) 如图，点A与点A′在x轴上，且关于y轴对称，过点A′垂直于x轴的直线与抛物线y2=2x交于两点B，C，点D为线段AB 上的动点，点E在线段AC上，满足．（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为S1、S2，求的值．22. （10分）(2017·山东模拟) 已知动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=﹣1相切．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）若点A（x0，y0）是直线x﹣y﹣4=0上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N．①求证：直线MN恒过定点；②△AMN的面积S的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
高考数学一轮复习：51 抛物线
高考数学一轮复习：51 抛物线姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高二上·吉林期末) 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）A.4B.3C.2D.12. （2 分） (2018 高二上·宁夏期末) 有一抛物线型拱桥，当水面离桥顶 2m 时，水面宽 4m，若当水面下降 1m 时，则水面宽为（ ）A.B. C . 4.5m D . 9m3. （2 分） 抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 A.1 B.的渐近线的距离为（ ）C. D. 4. （2 分） (2018 高二上·嘉兴期末) 已知点，抛物线的焦点为 F，射线 FA 与第1页共9页抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若，则 的值等于（ ）A. B.2 C.4 D.8 5. （2 分） (2019 高二下·荆门期末) 抛物线 y2=4x 的焦点为 F ， 点 A（3，2），P 为抛物线上一点，且 P 不在直线 AF 上，则△PAF 周长的最小值为（ ） A.4 B.5C.D. 6. （2 分） 抛物线 y2=2px(p>0)上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5，则 p 的值为（ ）A. B.1 C.2 D.4 7. （2 分） (2020·达县模拟) 过抛物线 的准线交于点 ．若点 到 轴距离为 2，则焦点的直线交该抛物线 于点 ， ，与抛物线A . 16 B . 12 C.8第2页共9页D . 18 8. （2 分） 已知点 Q(-2 ,0)及抛物线 x2=﹣4y 上一动点 P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（ ）A. B.1 C.2 D.3 9. （2 分） (2020·安阳模拟) 过抛物线的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 P 为抛物线上的一动点， A.1 B.2 C.3 D.4，若，则的最小值是（ ）10. （2 分） (2018 高二上·南阳月考) 已知 为抛物线上一个动点， 为圆上一个动点，那么点 到点 的距离与点 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A.B.C.D. 11. （2 分） 两个顶点在抛物线 A . 4个上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（ ）第3页共9页B . 3个 C . 2个 D . 1个 12. （2 分） (2016 高二上·黄陵开学考) 抛物线 y=x2 到直线 2x﹣y=4 距离最近的点的坐标是（ ）A.（ ， ） B . （1，1）C.（ ， ）D . （2，4）二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13. （1 分） 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是________ cm14. （1 分） (2017·石嘴山模拟) 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于两点 A，B，若点 M 满足= （ + ），过 M 作 y 轴的垂线与抛物线交于点 P，若|PF|=2，则 M 点的横坐标为________．15. （1 分） (2016 高二上·黄骅期中) 已知抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 M、N 两点，设直线 l 是抛物线 C 的切线，且 l∥MN，P 为 l 上一点，则的最小值为________．16. （1 分） (2017·济南模拟) 已知抛物线 y2=4x，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，过 A，B 分别 作 x 轴，y 轴垂线，垂足分别为 C、D，则|AC|+|BD|的最小值为________．17. （1 分） (2017·运城模拟) 已知直线 l 过抛物线 x= 最长时，直线 l 的方程为________．的焦点，且被圆 x +y2﹣4x+2y=0 截得的弦长三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)18. （10 分） (2018·鄂伦春模拟) 已知曲线 （ ） 与曲线 有 （ ）由抛物线 个公共点.及抛物线组成，直线 ：（1） 若，求 的最小值；第4页共9页（2） 若，记这 个交点为 ， ， ，其中 在第一象限，，证明：19. （5 分） (2018 高二上·沈阳期末) 已知点 与点的距离比它的直线的距离小 2．（1） 求点 的轨迹方程；（2）是点 轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线点坐标；若不经过，说明理由．是否经过 轴上一定点，若经过，求出该20. （10 分） (2019 高二上·丽水期中) 已知直线 y=ax+1 和抛物线 y2=4x 相交于不同的 A，B 两点．（Ⅰ）若 a=-2，求弦长|AB|；（Ⅱ）若以 AB 为直径的圆经过原点 O，求实数 a 的值．21. （10 分） (2017 高二上·集宁月考) 已知抛物线作斜率为 的直线 与抛物线交于两点,弦．的焦点为 的中点为,其准线与 轴交于点 ,过 的垂直平分线与 轴交于（1） 求 的取值范围;（2） 求证:.22. （10 分） (2018 高二下·中山月考) 在平面直角坐标系的两点．中，直线 与抛物线（1） 如果直线 过抛物线的焦点，求的值；（2） 如果，证明：直线 必过一定点，并求出该定点．相交于不同第5页共9页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第6页共9页16-1、 17-1、三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)18-1、18-2、19-1、第7页共9页19-2、20-1、第8页共9页21-1、21-2、22-1、22-2、第9页共9页。
陕西省渭南市高考数学一轮复习：51 抛物线
陕西省渭南市高考数学一轮复习：51 抛物线姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大连模拟) 若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A . 2B .C .D .2. （2分） (2019高二上·余姚期中) 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则 =（）A .B .C . 3D . 23. （2分）在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则的值为（）A . 0.5B . 1C . 2D . 44. （2分）(2017·江门模拟) F是抛物线y2=4x的焦点，P、Q是抛物线上两点，|PF|=2，|QF|=5，则|PQ|=（）A . 3B . 4C . 3 或D . 3 或45. （2分）(2019·四川模拟) 已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为A . 3B .C .D . 46. （2分）(2016·安庆模拟) 已知点A（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，点P的坐标是（）A . （0，0）B . （2，2）C . （－2，－2）D . （2，0）7. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比 =（）A .B .C .D .8. （2分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）已知曲线C上任一点M与x轴的距离和它与点F（0，4）的距离相等，则曲线C（）A . 关于x轴对称B . 关于y轴对称C . 在直线y=2的下方D . 关于原点中心对称10. （2分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则m的值为（）A . 4B . －2C . 4或－4D . 12或－211. （2分）(2017高二上·牡丹江月考) 已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则该双曲线的离心率为（）A .B .C . 1＋D . 1＋12. （2分） (2016高二下·浦东期末) 对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0 ， y0）在抛物线的内部．若点M（x0 ， y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A . 恰有一个公共点B . 恰有2个公共点C . 可能有一个公共点，也可能有两个公共点D . 没有公共点二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接 , 并延长分别和抛物线交于点和，则直线过定点________．14. （1分）抛物线C：y2=2x的准线方程是________ ，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B 两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则||+||=________15. （1分） (2017高三上·汕头开学考) 在直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|，则直线AB的斜率大小是________．16. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标是________．17. （1分） (2020高二上·林芝期末) 若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点(1,4),则抛物线的方程为________．三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分）(2017·通化模拟) 已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M（﹣1，0），直线l与曲线C交于A，B 两点．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）线段MA，MB长度分别记|MA|，|MB|，求|MA|•|MB|的值．19. （5分） (2018·黑龙江模拟) 抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点．Ⅰ 若点，且直线AT，BT的斜率分别为，，求证：为定值；Ⅱ 设A、B两点在抛物线的准线上的射影分别为P、Q，线段PQ的中点为R，求证：．20. （10分）(2018·榆林模拟) 已知抛物线的准线与轴交于点，过点做圆的两条切线，切点为 .（1）求抛物线的方程；（2）若直线是讲过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过定点作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.21. （10分）(2019·浙江) 如图，已知点F（1，0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点F的直线交抛物线A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记△AFG，△CQG的面积分别为S1 ， S2.（1）求P的值及抛物线的准线方程.（2）求的最小值及此时点G点坐标.22. （10分）(2019·河南模拟) 已知，抛物线：与抛物线：异于原点的交点为，且抛物线在处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点 .（Ⅰ）若直线与抛物线交于点，，且，求的值；（Ⅱ）证明：的面积与四边形的面积之比为定值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分)18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
高考数学总复习 高分攻略第51讲 抛物线
(时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2，0) B ．(－2，0) C ．(4，0) D ．(－4，0)2．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(4，0)D ．(0，4)3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2，4)，则该抛物线的方程是 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x4．[2013·西安质检] 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且垂直于对称轴的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8能力提升5．[2013·石家庄质检] 已知抛物线y 2＝2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，P 为抛物线的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．20B ．25C ．30D ．506．[2013·黄冈模拟] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．[2013·厦门质检] 抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2， 22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1 B.32C ．2 D.528．[2013·四川卷] 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 59．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－210．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．11．[2013·陕西卷] 图K51－1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝12，则p 的值为________．13．[2013·重庆卷] 过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________．14．(10分)[2013·广州调研] 设双曲线C 1的渐近线为y ＝±3x ，焦点在x 轴上且实轴长为1.若曲线C 2上的点到双曲线C 1的两个焦点的距离之和等于22，并且曲线C 3：x 2＝2py (p >0是常数)的焦点F 在曲线C 2上．(1)求满足条件的曲线C 2和曲线C 3的方程；(2)过点F 的直线l 交曲线C 3于点A ，B (A 在y 轴左侧)，若AF →＝13F ·B →，求直线l 的倾斜角．15．(13分)[2013·泉州质检] 已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离．(1)试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；(2)是否存在过N (4，2)的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？难点突破16．(12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【基础热身】1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，故选B.2．B [解析] 根据抛物线定义，圆心到焦点的距离等于其到准线的距离．3．A [解析] 设所求抛物线方程为y 2＝ax ，依题意42＝2a ⇒a ＝8，故所求为y 2＝8x .4．C [解析] 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，对称轴为x 轴，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且垂直于对称轴的直线为x ＝p 2，交抛物线于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p 两点，线段AB 的长为8，故2p ＝8⇒p ＝4.【能力提升】5．B [解析] 抛物线y 2＝2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝2p ，|AB |＝10，所以抛物线方程为y 2＝10x ，P 为抛物线的准线上一点，P 到直线AB 的距离为p ＝5，则△ABP 的面积为12×10×5＝25.6．D [解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5，所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．7．D [解析] 由点P (2，22)在此抛物线y 2＝mx 上，得m ＝4， ∴抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1，0)．又M 为线段PF 的中点，∴M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2， ∴M 到抛物线的准线x ＝－1的距离为52.8．B [解析] 设方程为y 2＝2px ，准线为x ＝－p 2，而M 点到准线距离为3，可知－p2＝－1，即p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，当x ＝2时，可得y 0＝±22，∴|OM |＝22＋（22）2＝2 3.9．B [解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.10.324 [解析] 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，点F ，A 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝324. 11．2 6 [解析] 本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程．以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1 m时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝6，所以此时水面宽为2 6 m.12．1 [解析] 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y B ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由AF →＝FB →得，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－t 22p ，－t ＝(－p ，y B )，由此得t 2＝3p 2，y B ＝－t .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，t ，则BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ＋p 2，2t ，BC →＝(0，2t )，所以BA →·BC→＝12得4t 2＝12，故p ＝1.13.56 [解析] 由抛物线方程可知p ＝1，焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，所以x 1＋x 2＝1312.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋14＝2x ，即k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2＝1312，所以k 2＝24，将k 2＝24代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，因为|AF |＜|BF |，所以解方程得x 1＝13，所以|AF |＝x 1＋p 2＝56.14．解：(1)双曲线C 1满足：⎩⎪⎨⎪⎧b 1a 1＝3，2a 1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，b 1＝32.则c 1＝a 21＋b 21＝1，于是曲线C 1的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，曲线C 2是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2>b 2>0)，由题意⎩⎨⎧2a 2＝22，a 22－b 22＝1，得⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1，即C 2：x 22＋y 2＝1.依题意，曲线C 3：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0，1)，于是p 2＝1，所以p ＝2，曲线C 3：x 2＝4y .(2)由条件可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1.得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由AF →＝13FB →得－3x 1＝x 2，代入x 1＋x 2＝4k ，得x 1＝－2k ，x 2＝6k ，代入x 1x 2＝－4得k 2＝13，由于点A 在y 轴左侧，所以x 1＝－2k <0，即k >0，所以k ＝33，直线l 的倾斜角为π6. 15．解：(1)因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)方法一：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.①当直线m 的斜率不存在时，不合题意．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y －2＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(8k 2－4k ＋4)x ＋(2－4k )2＝0，(*)∴x 1＋x 2＝8k 2－4k ＋4k2＝8，解得k ＝1. 此时，方程(*)为x 2－8x ＋4＝0，其判别式大于零， ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0.方法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.易判断直线m 不可能垂直y 轴，∴设直线m 的方程为x －4＝a (y －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝a （y －2），y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ay ＋8a －16＝0，∵Δ＝16(a －1)2＋48>0， ∴直线与轨迹C 必相交． 又y 1＋y 2＝4a ＝4，∴a ＝1. ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0.方法三：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在轨迹C 上，∴有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，（1）y 22＝4x 2，（2）将(1)－(2)，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)．当x 1＝x 2时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1，即直线AB 的斜率k ＝1， 注意到点N 在曲线C 的张口内(或：经检验，直线m 与轨迹C 相交)， ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0. 【难点突破】16．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：（x －1）2＋y 2－x ＝1(x >0)．化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m ，0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0⇔（y 1y 2）216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m ，0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．。