第四讲回归分析回归诊断
回归分析及其应用
回归分析及其应用数据分析是现代社会的重要组成部分，它可以帮助我们更好地理解问题，并提出更有针对性的解决方案。
回归分析是数据分析中最常用的一种方法之一，本文将介绍回归分析以及其在实际应用中的具体操作。
一、回归分析的概念回归分析是指利用统计方法来描述两个或多个变量之间相互关系的一种方法。
在回归分析中，通常将一个变量称为自变量，另一个变量称为因变量。
回归分析的目的是通过对自变量和因变量之间关系的研究来对未来的变量值进行预测。
二、回归分析的原理回归分析的基本原理是确定两个或多个变量之间的函数关系。
这个关系可以用一种数学函数形式来表示，如线性模型: y = a + bx （其中a和b是常数，y是因变量，x是自变量）。
通过拟合这一函数，我们可以得到自变量和因变量之间的关系，并预测未来的变量值。
三、回归分析的应用在实际应用中，回归分析具有广泛的应用领域。
以下是回归分析的几个经典案例：1.金融预测：利用回归分析，通过研究过去的数据来预测未来的股票价格波动。
2.销售预测：通过回归分析确定销售量与价格、市场份额、广告支出等自变量之间的关系，根据这个模型来预测未来的销售量。
3.人力资源管理：回归分析可以用于确定员工绩效与工资、教育水平、经验等自变量之间的关系，这有助于优化人力资源管理。
4.医疗研究：在医药领域，回归分析可以用于确定疾病与基因、年龄、性别等自变量之间的关系，从而为疾病的预防和治疗提供依据。
四、回归分析的步骤回归分析的具体步骤可以分为以下几个：1.确定研究问题在进行回归分析之前，需要明确研究问题，了解自变量与因变量之间的关系。
2.收集数据收集有关自变量和因变量之间关系的数据。
3.数据预处理对数据进行清洗、缺失值处理、异常值检测等预处理操作。
4.模型选择根据数据的特点，选择适合的回归模型。
5.模型拟合对收集到的数据进行回归分析，得到模型的系数以及相关的统计指标。
6.模型诊断对回归分析结果进行研究并进行模型诊断，确定模型是否合理。
回归分析中异常值的诊断与处理
回归分析中异常值的诊断与处理1 引言对调查得到的大量原始数据进行加工处理，提取其中有用的信息，即统计整理，是进一步进行统计分析的前提．但是通常的统计整理方法往往都对样本数据有一个前提假设，即样本数据是来自同一个总体，而这个假设有时却不能成立．原因一是由客观因素造成的，如总体条件的突然变化或人们未知的某个因素的突然出现等等；二是由主观方面的因素造成的，即人为的差错如调查人员读错或抄错数据，不小心把另一些不同条件下的样本数据混杂进来．当样本中的个别数据明显的偏离样本中其余数据时，这些数据可能是来自不同的总体，我们称这样的数据为异常数据．若对混有异常数据的样本按常规进行统计整理、分析、推断，往往会得出不符合实际的结论．本文就样本中的异常数据提出了诊断方法和处理方法，并结合实例说明了简单回归中上述方法的具体应用．2 异常值的概念所谓异常值就是在所获统计数据中相对误差较大的观察数据，也称奇异值(Outliers)．狭义地定义异常值就是一批数据中有部分数据与其余数据相比明显不一致的数据，也称离群值．社会经济统计中一切失实数据统称为异常值．由于人为或随机因素的影响，失实的数据随时都有可能出现，因而统计数据中的任何一个都有可能成为异常值，而狭义界定的异常值是指离群值，如果把统计数据按由小到大排列，若有异常值，它必位于其数据的两端，左端称为异常小值，右端的称为异常大值．残差：考虑线性回归模型y X e β=+，()0E e =，()2n Cov e I σ=．()1 其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y y 21，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---1,11,2211,111111p n n p p x x x x x x X ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-110p ββββ ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n e e e e 21． 分量形式为011,11i i i p p i y x x e βββ--=++++，n i ，， 1=．()2 定义ˆˆˆey y y X β=-=-为残差向量，其中ˆˆy X β=称为拟合值向量，βˆ为β在模型()1下的最小二乘估计．如果用n x x '',1表示X 的n 个行向量，则称 ˆˆi i i ey x β'=-， n i ，， 1=， 为第i 次试验或观测的残差．对简单回归，12111n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y y 21，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10βββ．则ˆˆiiie y x β'=-，n i ，， 1=，其中()1,i ix x '=．于是，异常值就是在回归分析中，一组数据()i i y x ,'如果它的残差i eˆ较其它组数据的残差大的多，则称此数据为异常值．异常值的出现有主客观的原因．主观上抽样调查技术有问题，疏忽大意记错，或人为的虚报，谎报数据等都可能导致异常数据，这直接影响了统计数据的质量；客观上某些样品由于特定原因在某些变量上的确表现突出，明显超出平均水平，这也可能产生异常值．异常值的存在必将导致相应统计分析误差增大，会对分析结果(平均值与标准差)产生重要影响，会降低测量的精度．如果不预先处理它们，用通常的统计整理方法所得出的结论可靠性差．而异常值的诊断与处理是保证原始数据可靠性，平均值与标准差计算准确性的前提．3 异常值的诊断方法在讨论异常值诊断问题时，通常要假设所得样本观测值在某中意义下遵从一定的分布规律．拿到一批数据，若能从其实际背景中明确看出它服从某中分布形式时，一般的做法是在这种分布假设下，导出能较好反映异常值与正常值差异的统计量，在没有异常值的原假设下作假设检验．以下给出两种检验方法．3.1 F 分布检验法学生化残差：考虑线性回归模型()1，记ˆˆyX β=，称y ˆ为拟合值向量，称其第i 个分量βˆˆi i x y'=为第i 个拟合值，则 ()1ˆy X X X X y Hy -''==，这里()1H X X X X -''=．文献中通常称H 为帽子矩阵．前面已经定义了ˆˆi i i ey x β'=-, n i ，， 1=， 为第i 次试验或观测的残差．将其标准化为iii h e-1ˆσ，再用σˆ代替σ，得到所谓学生化残差ii i i h e r -=1ˆˆσ， n i ， ,1=，这里ii h 为H 的第i 个对角元，pn eni i-=∑=122ˆˆσ．把正态线性回归模型()1改写成分量形式i i i e x y +'=β，()2,0~σN e i ，n i ，， 1=，这里i e ，)1(n i ，， =相互独立．如果第j 组数据()j j y x ,'是一个异常点，那么它的残差就很大．它的残差之所以很大是因为它的均值()j y E 发生了非随机性漂移η．从而()ηβ+'=j j x y E ．这产生了一个新的模型i i ijj j y x e y x e ββη'=+⎧⎪⎨'=++⎪⎩ ()2~0,,i i j e N σ≠ ()3 记[]0,,0,1,0,,0j d '=．将模型()3改写成矩阵的形式j y X d e βη=++， ()I N e 2,0~σ， ()4模型()3和()4称为均值漂移线性回归模型．要判定()j j y x ,'不是异常点，等价于检验假设0=η：H ．引理1 用()i y ，()i X 和()i e 分别表示从Y 、X 和e 剔除第i 行所得到的向量或矩．从线性回归模型()1剔除第i 组数据后，剩余的1-n 组数据的线性回归模型为()()()i i i y X e β=+，()()0i E e =，()()21n i Cov e I σ-=． ()5 将从这个模型求到的β的最小二乘估计记为()i βˆ，则 ()()i iii i x X X h e11ˆˆˆ-'--=ββ． 证明：因为()()()()()()1ˆi i i i i X X X y β-''=． ()6设A 为n n ⨯可逆阵，v u 和均为1⨯n 向量．用恒等式()vA u A v u A A v u A 111111-----'-'+='-有()()()()()()()111111i i i i iiiiX X x x X X X X X X x x X X h -----'''''''=-=+-， ()7这里i x '为X 的第i 行．将上式两边右乘X y '，并利用()()i i i i X y X y y x ''=+以及()6式，有()()()()()()iii i ii i i i h x x X X x X X y -''-'+=--1ˆˆˆ11βββ．()8将()7式右乘i x ，可以得到如下关系式()()()()i iii iix X X h x X X 1111--'-='． 将其代入()8式，得到()()i iii i x X X h e11ˆˆˆ-'--=ββ． 引理2 对均值漂移线性回归模型()4，β和η的最小二乘估计分别为()j ββˆ=*和j jje h ˆ11-=*η，其中()j βˆ为从非均值漂移线性回归模型()1剔除第j 组数据后得到的β的最小二乘估计．()()X X X X h H jj ''==-1，jj h 为H 的第j 个对角元．j eˆ为从模型()2导出的第j 个残差． 证明：显然，j j y y d ='，1='j j d d ．记()12,,,n X x x x '=．则j j x d X ='．于是，根据定义()111j j j j j j X X X Xx X y Xd y d d x y βη-*-*''''⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤==⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦． 根据分块矩阵的逆矩阵公式(见附录1)，以及()j j jj x X X x h 1-''=．()()()()()()()()111111111111111111ˆˆ1111ˆ111ˆˆ11ˆ1j j j jj jj j j jj jjj j j j jj jjj j jj jj j j jjj jj X X X X x x X X X X x h h X y y x X X h h X X x x X X x y h h x y h h X X x e h e h βηββββ----**----⎡⎤'''''+-⎢⎥--'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦''-⎢⎥--⎣⎦⎛⎫'''+- ⎪--⎪= ⎪'-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎛'--=-⎝⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭． 再由引理1知命题得证．现在应用引理来求检验0=η：H 的检验统计量．注意到，对现在的情形，在约束条件0=η下，模型()4就化为模型()1，于是=H RSS 模型()1无约束情形下的残差平方和 y X y y ''-'=βˆ． 而模型()4的无约束残差平方和y d y X y y RSS j '-'-'=**'ηβ． ()9利用引理2得()2ˆˆˆ1ˆˆ111H jj j j j j jj jj jjRSS RSS X y d y e y e e x h h h ββηβ**'''-=-+'=-+=---．这里βˆˆj j j x y e'-=为第j 组数据的残差． 利用*β和*η的具体表达式将()9式作进一步化简：jj j j jjj j h y e h y e y X y y RSS ---+''-'=1ˆ1ˆˆˆβ=()jjj h e p n ---1ˆˆ22σ，其中pn eni i-=∑=122ˆˆσ．根据引理2，所求的检验统计量为()()()()22222111ˆ1ˆ1ˆ1jj jj j jj jH r p n r p n h p n e p n p n h e p n RSS RSSRSS F ----=--------=---=σ． 于是，我们证明了如下事实：定理[]2 对于均值漂移线性回归模型()4，如果假设0=η：H 成立，则()1,122~1------=p n j j j F r p n r p n F ．据此，我们得到如下检验：对给定的()10<<αα，若()()α1,1221-->----=p n jj j F rp n r p n F ，则判定第j 组数据()j j y x ,'为异常点．当然，这种检验会犯“判无为有”的错误，也就是()jjy x ,'可能不是异常点，而被误判为异常点．但我们犯这种错误的概率只有α，事先我们可以把它控制的很小．显然，根据t 分布与F 分布的关系，我们也可以用t 检验法完成上面的检验．若定义()()212211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----==j j j j r p n p n r F t ． 对给定的α，当⎪⎭⎫⎝⎛>--21αp n j t t时，我们拒绝假设0=η：H ．即判定第j 组数据()j j y x ,'为异常点．3.2 残差及残差图检验异常值前面定义了βˆˆX y e-=，称为残差向量，其分量形式ˆˆi i i e y x β'=-，()1,,i n =，称为第i 次试验或观测的残差．特别地，对简单回归，()i i x x ，1='，n i ，， 1=．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i n i i i x n x y x n y x x y 1221110ˆˆˆˆββββ．所以，()i i i x y e 10ˆˆˆββ+-=，n i ，， 1=． 残差是最重要的一种回归诊断量，它蕴涵了有关模型基本假设的许多重要信息．残差分析就是对残差进行统计处理，从中提炼出这些信息的方法．而残差图就是残差分析中使用的基本工具．所谓残差图就是残差i eˆ对因变量y 或自变量n X X X ，， 21,，或其它导出统计量（如拟合值i yˆ）的点子图，有时候也用残差对时间或对数据序数的点子图．最简单的图，尤其在简单回归中，为残差i eˆ对拟合值i y ˆ的图． 所谓异常数据就是相对于其它观测值来说，具有大的残差的数据点．利用残差及残差图检验异常值的方法是用所给数据计算出残差i eˆ，与其余观测值的残差进行比较，具有大的残差的数据点被怀疑为异常值．然后作出自变量与因变量的散点图，残差i eˆ对拟合值i y ˆ的残差图以及残差i eˆ对自变量i x 的残差图，从图中观察，那些远离大多数观测点的孤立的点有理由被认为是异常点．然后从数据中删除这些点，再次估计回归方程，作出X 与Y 的散点图以及i eˆ对i y ˆ的残差图，计算标准差，与删除前进行比较． 4 提出两种处理方法4.1 采用虚拟变量消除异常值的影响（1） 虚拟变量某类变量（如性别、种族、颜色、宗教、国家、战争、地震等）常常表示某属性是否存在，如男或女，黑种人或白种人，教徒或非教徒，对于这类变量可用“数量化”方法设计人为变量来表示，如用 “0”或“1”，“0”表示不存在某种属性，“1”表示存在该属性．例如：用“1”表示男性，“0”表示女性，或用“1”表示大学毕业，“0”表示没有大学毕业，等等．这样假设的变量，如“0”或“1”称为虚拟变量，也称为类型变量或属性变量，它的主要特点就是将一些可以划分为不同类型或属性的变量用“0”和“1”分别表示，即属于某一类型的变量用“1”表示，不属于这一类型的变量用“0”表示．这里用D 表示虚拟变量．（2） 处理异常值的方法在这里，我们用虚拟变量（0或1）把试验数据划分为两类，属于异常值一类用“1”表示，属于正常值一类用“0”表示．引入虚拟变量D ，建立回归方程：01122221ˆˆˆˆˆp p p Y X X X D βββββ---=+++++， 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y 21，111,11212,121,1111p p n n p n x x d x x d X x x d ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，011ˆˆˆˆp ββββ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n d d D d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．特别地，对简单回归，建立回归方程：012ˆˆˆY X D βββ=++， 其中，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n y y y Y 21，1122111n n x d x d Z x d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()0112ˆˆˆˆZ Z Z y ββββ-⎡⎤⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 利用所给数据，作出回归估计．这样，异常值的影响被虚拟变量D 的系数吸收，从而估计更接近于现实．4.2 剔除异常值的方法对于测定中的异常值的剔除，我们必须持慎重态度，不能贸然从事．否则会出现误删有效数据或保留异常数据的错误．通常处理步骤大致如下：（1）初分析：首先利用所给数据作出回归估计：βˆˆX y=． 其中111,1212,11,1111p p n n p x x xx x x x ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()y X X X p ''=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1110ˆˆˆˆββββ ．特别地，对简单回归，x y 10ˆˆˆββ+=，其中x y 10ˆˆββ-=，∑∑==--=ni ini ii x n xy x n yx 12211ˆβ，并计算标准差：s =值i yˆ、残差i e ˆ，并列入表．然后作出i x 与i y 的散点图，拟合值i y ˆ与残差i e ˆ的残差图，分析判别出异常值．（2）判别出异常值后，从测量数据中删除异常值，然后利用余下的观测值再次作回归估计，同第一步，计算标准差、拟合值以及残差，作出删除异常数据后的散点图与残差图．（3）对比删除异常值前后的标准差以及残差图．对于单一可疑异常数据，直接按上述步骤进行剔除异常值．对于多个可疑异常值的情况，上述剔除步骤反复逐次进行至无可剔除为止．通常可采用两种方法：向前逐一剔除法（从极大值依次向次大值逐一剔除）和向后逐一剔除法（从可疑的j 个最大值依次从小到大逐一剔除）．5 实例分析5.1 实例一假定某调查数据X 和Y 由表1中给出．表1 数据X 和Y根据表中数据作回归估计，得回归方程：ˆ0.6610.837yx =+．并算得 ()()457.0ˆ112212=---=∑∑==n i ini i iy yy yR ．表2 各组数据的诊断统计量()120.05 3.65t =．从表2最后一列可以看出只有841.96=t 超过这个值，于是我们诊断出第六号数据为异常值．然后引入虚拟变量D ，建立回归方程：D x Y 210ˆˆˆβββ++=，作回归估计．令 βˆZ Y =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=15152211111d x d xd x Z ，()y Z Z Z ''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1210ˆˆˆˆββββ． 得0ˆ0.303β=-，1ˆ 1.007β=，2ˆ 4.985β=．所以，回归模型为：ˆ0.303 1.007 4.985y x D =-++．并且算得993.02=R ．从2R 的值来看，这个回归方程［见图2中()2］要比未采用虚拟变量所估计的回归方程［见图2中()1］其拟合程度好多了．这是因为异常值的影响被虚拟变量D 的系数吸收，所以比处理前求得的估计值更接近于现实．因此虚拟变量是消除异常值的影响，探求变量之间真正关系的一种有效方法．01234567812345675.2 实例二表3给出了Forbes 数据．表3 Forbes 数据根据表中数据，(气压用100log ⨯的数据)，估计回归方程，算得x y 895.0131.42ˆ+-=．计算出Forbes 数据的拟合值及残差，如表4，进一步作出散点图（图3）、残差i eˆ对拟合值i y ˆ的残差图（图4）．表4 Forbes 数据的拟合值及残差-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.21.41.6比较表中所列的残差，并观察残差图，我们发现序号12的残差比其它的残差大的多．其它残差的绝对值都小于0.35，而第12号数据的残差为1.36．并且从残差图（图4）中观察到第12号数据的跳跃度比较大，远离其它点．由残差及残差图法诊断出第12号数据为异常数据．然后剔除第12号数据．再估计回归方程，重新拟合数据，检查参数估计，拟合值，残差方差的变化．删除第12号数据后，得到回归方程：x y891.0302.41ˆ+-=． 表5 Forbes 数据中删除12号数据后的拟合值及残差图４ Forbes 数据的残差图ˆi yˆi e-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.5表6 删除异常值前后的比较量对删除异常值前后的结果进行对比，我们得到对于删除前后获得的参数估计基本是相同的，所以第12号数据是无关的．但是，第12号数据在标准误差上的影响要显著些．删除后标准误差减小约3.1倍，方差减小约10倍．并且，从删除异常值获得的残差图()图5和散点图（图6）显示出，对余下的16个数据无明显的拟合失败．图5 Forbes 数据中删除12号数据后的残差图ˆi yˆi e6 结束语异常值的诊断与处理问题是一个很有实际意义的问题，是一个逐步研究逐步实践的问题．但迄今为止，还没有一种广泛适用的方法，本文所介绍的方法也是一种尝试，对于异常值的诊断与处理问题的研究还有待于进一步完善．致谢本文在撰写过程中得到了李惠东老师的悉心指导和大力支持．在论文撰写过程中遇到的难点和疑点李老师都给我作了详细的讲解，并提供了许多有参考价值的资料和专业软件，使我学到了很多知识和方法．在此表示深深的敬意与感谢．参考文献[1] 魏立力.概率论与数理统计[M].银川:宁夏人民出版社,1999.[2] 王松桂等.线性模型引论[M].北京:科学出版社,2004.[3] 何平.剔除测量数据中异常值的若干方法[J].数理统计与管理,1995,(1):19-22.[4] 王静龙,梁小筠,等译.应用线性回归[M].北京:中国统计出版社,1998.[5] 刘宗鹤,赵明强译.计量经济学概论[M].北京:农业出版社,1988.附录1：分块矩阵的逆矩阵：设0>A ，将其分块为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A AA ，则它的逆矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-⋅--⋅-⋅---⋅---1122111211122112212111111211122*********A A A A A A A A A A A A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----⋅---⋅---⋅-⋅122121************211211221221212111211A A A A A A A A A A A A A ． 这里 121112122122A A A A A -⋅-=，211221211211A A A A A -⋅-=．附录2：SPSS处理实例1数据：1．未用虚拟变量的数据处理：RegressionModel Summary(b)b Dependent Variable: YCoefficients(a)Casewise Diagnostics(a)Case Number Std. Residual Y PredictedValue Residual1 -.516 .90 1.5815 -.68152 -.405 1.80 2.3348 -.53483 -.443 2.00 2.5859 -.58594 -.420 2.70 3.2555 -.55555 -.508 2.50 3.1718 -.67186 3.401 7.50 3.0044 4.49567 -.257 3.00 3.3392 -.33928 -.258 3.50 3.8414 -.34149 -.385 3.50 4.0088 -.508810 -.133 4.00 4.1762 -.176211 -.135 4.50 4.6784 -.178412 -.035 4.80 4.8458 -.045813 .053 5.00 4.9295 .07052．引进虚拟变量后的数据处理：Model Summary(b)b Dependent Variable: YCoefficients(a)Casewise Diagnostics(a)Case Number Std. Residual Y PredictedValue Residual1 .606 .90 .8038 .09622 .569 1.80 1.7097 .09033 -.073 2.00 2.0117 -.01174 -.736 2.70 2.8169 -.11695 -1.362 2.50 2.7162 -.21626 .000 7.50 7.5000 .00007 .519 3.00 2.9176 .08248 -.135 3.50 3.5215 -.02159 -1.403 3.50 3.7228 -.222810 .478 4.00 3.9241 .075911 -.176 4.50 4.5280 -.028012 .445 4.80 4.7293 .070713 1.071 5.00 4.8300 .170014 -1.486 5.50 5.7359 -.235915 1.684 5.50 5.2326 .2674a Dependent Variable: Y附录3：SPSS处理实例2的数据：1．删除前的数据处理：Coefficients(a)a Dependent Variable: YModel Summary(b)a Predictors: (Constant), Xb Dependent Variable: YCasewise Diagnostics(a)Case Number Std. Residual Y PredictedValue Residual1 -.651 131.79 132.0366 -.24662 -.178 131.79 131.8575 -.06753 -.161 135.02 135.0812 -.06124 .056 135.55 135.5289 .02115 .094 136.46 136.4244 .03566 -.111 136.83 136.8721 -.04217 .138 137.82 137.7676 .05248 .141 138.00 137.9466 .05349 -.410 138.06 138.2153 -.155310 -.200 138.05 138.1257 -.075711 -.383 140.04 140.1853 -.145312 3.587 142.44 141.0808 1.359213 .004 145.47 145.4685 .001514 -.851 144.34 144.6626 -.322615 -.642 146.30 146.5431 -.243116 -.205 147.54 147.6176 -.0776a Dependent Variable: Y2．删除后的数据处理：a Dependent Variable: YModel Summary(b)b Dependent Variable: YCasewise Diagnostics(b)Case Number Std. Residual Y PredictedValue Residual Status1 -1.759 131.79 131.9893 -.19932 -.186 131.79 131.8111 -.02113 .013 135.02 135.0185 .00154 .759 135.55 135.4640 .08605 .927 136.46 136.3549 .10516 .261 136.83 136.8004 .02967 1.136 137.82 137.6914 .12868 1.152 138.00 137.8696 .13049 -.679 138.06 138.1369 -.076910 .020 138.05 138.0478 .002211 -.503 140.04 140.0970 -.057012 1.028 145.47 145.3536 .116413 -1.870 144.34 144.5518 -.211814 -1.084 146.30 146.4228 -.122815 .425 147.54 147.4919 .048116 .360 147.80 147.7592 .040817 . . . . M(a)a Missing Caseb Dependent Variable: Y。
现代统计方法-回归诊断
Sig . .000 .000
a. Dep endent V ariable: 储 蓄额 （ 万 元） b. Weighted Least Sq uares Regress ion - Weighted by Weight for 储 蓄额 （ from WLS, MOD_3 居 民收 入 ** -1.500
回归分析
在LINER分析后的SPAERMAN检验
首先在liner分析时，在save选项内选择保存残差
回归分析
在LINER分析后的SPAERMAN检验
回归分析
回归分析
进行数据转换
回归分析
回归分析
回归分析
相关分析
回归分析
回归分析
SPAERMAN检验结果
Correlations 居 民收 入 居 民收 入 1.000 . 31 .686** .000 31 E1 .686** .000 31 1.000 . 31
F 423.741
Sig . .000a
a. Predic t o rs: (Cons t a nt), 居 民收 入 b. Dep endent V ariable: 储 蓄额 （ 万 元） c. Weighted Least Squares Regres sion - Weig hted by Weight for 储 蓄额 （ from WLS, MOD_3 居 民收 入 ** -1.500
Sig . .466 .000
a. Dependent Variabl e: Y
回归分析
SPAERMAN检验结果
Correlations 居民收入 居民收入 1.000 . 31 .125 .501 31 E1 .125 .501 31 1.000 . 31
医学统计学课件：回归分析
线性回归模型的预测
利用模型进行预测
根据建立的模型，可以利用自变量值预测因变量值。
预测精度评估
通过比较预测值与真实值的差异，评估模型的预测精度。
预测范围扩展
如果仅有一个样本的数据，则可以利用该样本建立模型并预测其他 类似样本的数据。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
01
确定自变量和因变量
02
数据的概率化
04
多元线性回归分析
多元线性回归模型的建立
确定自变量和因变量
根据研究目的和已有的知识，确定影响因变量的自变量。
数据预处理
对数据进行清理、缩放和标准化等预处理，以提高模型的准确性和稳定性。
模型拟合
使用最小二乘法等数学优化方法，拟合出多元线性回归模型。
多元线性回归模型的评估
01
02
03
残差分析
观察残差是否符合假设， 如正态分布、独立同分布 等。
偏最小二乘回归分析
总结词
偏最小二乘回归分析是一种广泛应用的回归方法，它 通过构建两个投影矩阵，将自变量和因变量同时进行 线性投影，以解决传统最小二乘法在处理具有多重共 线性的自变量时的不足。
详细描述
偏最小二乘回归分析通过迭代的方式，分别计算自变 量和因变量的投影矩阵，从而对数据进行最佳投影， 以获得更准确的回归系数估计。这种方法能够有效地 处理具有多重共线性的自变量，提高回归模型的精度 和预测能力。在医学领域，偏最小二乘回归分析可以 应用于研究多个生物标志物对某种疾病的影响，以及 疾病的诊断和预测。
通过对手术患者的康复情况、生存率等指标进行数据分析， 评估手术效果及并发症风险。
评估药物疗效
通过对比药物治疗前后的生化指标、症状改善情况等数据， 评估药物治疗效果及不良反应发生风险。
第四讲多元回归分析(共72张PPT)
引入或剔除变量的依据
• 依据是偏回归平方和 逐步回归分析是按照各自变量对因
变量作用显著程度大小来决定其是否引 入还是剔除。用于衡量各自变量对因变 量作用大小的量是它们对因变量的“贡 献”，即偏回归平方和。
逐步回归方程的矩阵变换计算法
计算量大，且由于某个因子的引入使变得不显著的其他因子仍然留在方程中。 “逐步引入法”（原理、局限性） 建立“最优”回归方程的方法 属于多元统计分析方法之一。 利用回归方程进行预测。 对回归方程、参数估计值进行显著性检验。 从一个因子开始，逐个引入回归方程，因子引入后概不剔除。 回归分析的研究思路和步骤 回归分析方法又称因素分析方法、经济计量模型方法。 利用回归方程进行预测。
回归模型的变量子集合的选择（回 归变量的选择）
第二节 逐步回归分析
• 逐步回归分析的原理 • 引入或剔除变量的依据 • 逐步回归方程的矩阵变换计算法 • 具体实例以及计算步骤 • 计算机软件应用举例
逐步回归分析的原理
“最优”回归方程的选择
所谓“最优”的含义：回归方程中包含所有对y影响比较显著 的变量，而不包括对y影响不显著的变量的回归方程。 必要性：用于预测、控制
回归诊断
-1.05
3
140
5.3
4.27143 1.02857
4
120
4
3.40179 0.59821
5
180
6.55
6.01071 0.53929
6
100
2.15
2.53214 -0.38214
7
200
6.6
6.88036 -0.28036
8
160
5.75
5.14107 0.60893
由上述数据，可得 y 关于 x 的一元线性回归方程
n
hii hi2j hi2i hi2j hi2j 0
j 1
ji
ji
故有： hii hi2i ，由此可得。
n
（2） hii tr(I H ) tr( X ( X X )1 X ) tr(( X X )1 X X ) t 1
i 1
一般情况下：
hii
1 n
(xi
x)' L1(xi
• 其次，必须确定“度量影响的尺度是什么？”为了定量 地刻划影响的大小，迄今为止已提出多种尺度，基于置 信域的尺度，基于似然函数的尺度等等。在每一种类型 中又可能有不同的统计量，例如基于影响函数就已提出 多种“距离”来度量影响，有Cook距离、Welsch Kuh距离、Welsch距离等等。每一种度量都是着眼于某 一方面的影响，并在某种具体场合下较为有效。这一方 面反映了度量影响问题的复杂性，另一方面也说明了影 响分析的研究在统计诊断中是一个甚为活跃的方向，还 有大量有待解决的问题。
置。
M，c 常用的选择： M X X , c (t 1)s 2 ，此时，有：
Di
(M ,c)
ri2
医学统计学课件：回归分析
生存分析模型
生存分析模型概述
生存分析模型是用于研究生存时间与相关因素 之间关系的一种统计分析方法。
模型的建立与拟合
通过Cox比例风险模型等统计技术，拟合生存分 析模型，并评估模型的拟合效果。
生存曲线与影响因素
利用生存曲线描述生存时间与影响因素之间的关系，并评估不同因素对生存时 间的影响。
正态性
误差项应服从正态分布，即近似于钟形曲线。如 果误差项存在偏离正态分布的情况，需要采取措 施进行调整。
多重共线性诊断
定义：多重共线性是指自变量之间存在 较强的线性相关关系，导致模型估计失 真或不稳定。
特征值：如果特征值接近于0，则表明存 在严重的多重共线性问题。
条件指数：条件指数大于10表明模型受 到多重共线性的影响。
模型构建流程
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理等，以确保数 据的质量和可靠性。
模型构建
根据已知的变量和因变量之间的关系，构建线性回归模型。
模型优化
通过逐步回归等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度和 稳定性。
模型评估指标
拟合优度
通过计算模型的R²值等指标，评估模型对数 据的拟合程度。
回归分析的分类
线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归模型
线性回归模型的定义
线性回归模型是一种最常用的回归分析模型，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
线性回归模型的基本要素
因变量Y，自变量X1, X2, ..., Xn，以及模型中的系数β0, β1, ..., βn。
医学统计学课件：回归分析
03
信息提取
从回归模型中提取有意义的自变量组合和系数，为研究提供新的思路和方向。
多元回归模型的应用
01
预测
利用已建立的多元回归模型，预测新数据或未来数据的因变量值。
02
分类
结合回归模型和分类算法，将因变量进行分类，实现对数据的深度挖掘。
05
其他回归分析方法
总结词
岭回归分析是一种用于处理共线性数据的线性回归方法，通过引入一个惩罚项来改善模型的稳定性和预测精度。
通过线性回归模型，可以估计自变量对因变量的影响程度和方向。
在线性回归模型中，可以考察自变量之间的交互作用，以及自变量与因变量的交互作用。
03
逻辑回归分析
逻辑回归模型的建立
确定自变量和因变量
首先需要确定影响因变量哪些因素作为自变量，并明确因变量和自变量的关系。
数据的正态性检验
对各变量进行正态性检验，以确保数据满足正态分布的要求。
逻辑回归模型的检验
逻辑回归模型的应用
分层分析
根据预测结果，将研究对象分成不同的层，针对不同层进行差异性分析。
风险评估
根据预测结果，对研究对象进行风险评估，以更好地进行临床决策。
预测
利用训练好的模型，输入自变量的值，得到预测的概率值。
04
多元回归分析
多元回归模型的建立
确定自变量
根据研究目的和已有知识，选择与因变量相关的多个自变量。
线性回归分析
假设自变量和因变量之间存在非线性关系，通过建立非线性回归模型来预测因变量的取值。
非线性回归分析
回归分析的分类
回归分析的基本步骤
数据清洗
对收集到的数据进行清洗，包括处理缺失值、异常值、重复数据等。
回归分析学习课件PPT课件
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
医学统计学课件：回归分析
回归分析在医学中的应用
05
疾病风险预测
利用回归分析，研究疾病发生的相关因素，如年龄、性别、遗传等，从而预测个体或群体在未来患某种疾病的风险。
预防措施制定
通过了解疾病影响因素，制定针对性强的预防措施，如控烟、控糖、加强锻炼等，以降低疾病发生概率。
疾病预测与预防
治疗效果评估与优化治疗方案
通过对比治疗前后的数据，利用回归分析研究治疗效果的影响因素，如治疗方式、病情严重程度等，为改进治疗方案提供依据。
时间序列回归分析
分位数回归分析是一种非参数回归方法，用于估计因变量的分位数与自变量之间的关系。
总结词
在分位数回归分析中，我们通常将因变量的值分成一系列的分位数，然后估计每个分位数与自变量之间的关系。这种方法可以更加灵活地描述因变量与自变量之间的关系，并且可以更好地适应各种不同的数据类型。
详细描述
分位数回归分析
总结词
多元回归分析
总结词
时间序列回归分析是一种特殊的回归方法，用于研究时间序列数据之间的依赖关系和预测未来趋势。
详细描述
在时间序列回归分析中，我们通常有两个或更多的时间序列数据，它们在时间上具有连续性。通过时间序列回归分析，我们可以估计各个时间序列对目标时间序列的影响程度，并对目标时间序列的未来趋势进行预测。
回归分析的基本步骤
线性回归分析
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
确定自变量和因变量
建立回归模型
模型假设检验
线性回归模型的建立
03
模型诊断
通过残差图、残差与预测值图等图形工具，对模型的假设和适应性进行诊断。
线性回归模型的评价与诊断
01
模型拟合度评估
应用R^2、校正R^2等指标，评估回归模型对数据的拟合程度。
回归分析
准差
r剩
S剩 （n r 1）
r 为进入回归模型的变量个数。上述公式表示对于任一给定 的自变量(x1, x2, xm)，所对应因变量的实际值 y 以95%的概率落 在区间 ( yˆ 2r剩，yˆ 2r剩)，即预测值 yˆ 与实际值 y之差有95%的概
率，使得 y yˆ 2r剩， 所以r剩 越小其预测精度越高。
此外，在检验得知方程是显著之后，还需检验方程中哪些变量 x1, x2 , xm
是影响 y 的重要变量，哪些是不重要变量，进而剔除不重要的变量，简化
方程，得到优化回归方程，这就是所谓的对每个变量要进行显著性检验 （t检验）
n
总离差平方和 S总 ( yi y)2 ，自由度为 n 1，如果观测值给定，S总 i 1
i 1
化对 y 的波动，其自由度为 m 。
n
记 S剩 ( yi yˆi )2 称为剩余平方和（或残差平方和），它是由实验 i1
误差以及其他因素引起的。它反映了实验误差以及其他因素对实验结果的
影响程度，其自由度为n m1。
于是
S总 S回 S剩
当 S总确定时， S剩 越小， S回 越大，则 S回 就越接近 S总，于是用 S回 是否接
一组回归系数 b1 ,b2 , bm 值。 设 b1 ,b2 , bm 分别为 0, 1, , m 的最小二乘估计值，于是
有
yˆ b0 b1x1 b2x2 bmxm
其中 yˆ 是 y 的一个最小二乘估计。
下用最小二乘法求b1 ,b2 , bm
令
1 x11 x12 x1m
4、回归分析预测法的步骤
（1）．根据预测目标，确定自变量和因变量 明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体
医学统计学课件：回归分析
《医学统计学课件：回归分析》xx年xx月xx日CATALOGUE目录•回归分析概述•线性回归分析•逻辑回归分析•多重回归分析•回归分析的软件实现•回归分析的应用场景与实例01回归分析概述回归分析是一种统计学方法，研究因变量与自变量之间的关系，并预测因变量在给定自变量值下的值。
定义回归分析旨在找出一个或多个自变量与因变量之间的定量关系，以便根据自变量的值预测因变量的值，或者评估因变量在自变量变化时的稳定性。
目的定义与目的线性回归研究因变量与一个或多个自变量之间的线性关系。
多重回归研究因变量与多个自变量之间的关系，同时考虑它们之间的相互作用。
逻辑回归研究分类因变量与一个或多个自变量之间的关系，主要用于二元分类问题。
非线性回归研究因变量与一个或多个自变量之间的非线性关系，如曲线、曲面等。
回归分析的种类0102确定研究问题和研究设计明确要研究的问题和设计实验或收集数据的方式。
数据收集和整理收集与问题相关的数据，并进行整理和清洗。
选择合适的回归模型根据数据的特征和问题的需求选择合适的回归模型。
拟合模型使用选定的模型对数据进行拟合，得到回归系数。
模型评估评估模型的性能和预测能力，通常使用统计指标如R²、均方误差等。
回归分析的基本步骤03040502线性回归分析线性回归分析是一种预测性的统计方法，它通过研究自变量（通常是多个）与因变量（我们想要预测或解释的变量）之间的关系，建立它们之间的线性关系模型。
模型线性回归模型通常表示为 y = β0 +β1*x1 + β2*x2 + ... + βn*xn + ε，其中 y 是因变量，x1, x2, ..., xn 是自变量，β0, β1, ..., βn 是模型参数，ε 是误差项。
定义定义与模型VS参数估计线性回归分析的参数通常通过最小二乘法进行估计，这种方法试图找到最适合数据的一组参数值，使得因变量的观察值与预测值之间的平方误差最小。
假设检验在检验自变量与因变量之间是否存在显著线性关系时，通常会使用 F 检验或 t 检验。
回归诊断与模型假设检验
回归诊断与模型假设检验回归分析是一种常用的统计方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在进行回归分析时，除了建立回归模型，还需要对模型进行诊断和假设检验，以确保模型的准确性和可靠性。
本文将介绍回归诊断和模型假设检验的相关内容。
一、回归诊断回归诊断是指对回归模型进行检验和评估，以确定模型是否满足统计假设和模型假设。
常见的回归诊断方法包括残差分析、离群值检验、多重共线性检验和异方差性检验等。
1. 残差分析残差是指观测值与回归模型预测值之间的差异。
残差分析是通过对残差进行统计检验，来评估回归模型的拟合程度和误差分布是否符合假设。
常见的残差分析方法包括正态性检验、线性性检验和独立性检验等。
正态性检验：通过绘制残差的频率分布图和正态概率图，来判断残差是否服从正态分布。
如果残差呈现正态分布，则说明模型的误差项满足正态性假设。
线性性检验：通过绘制残差与预测值的散点图，来判断残差是否与预测值存在线性关系。
如果残差与预测值呈现随机分布，说明模型的线性假设成立。
独立性检验：通过绘制残差与时间或观测顺序的散点图，来判断残差是否存在自相关性。
如果残差与时间或观测顺序呈现随机分布，说明模型的独立性假设成立。
2. 离群值检验离群值是指与其他观测值相比，具有明显不同特征的观测值。
离群值检验是通过对残差进行统计检验，来判断是否存在离群值对回归模型的影响。
常见的离群值检验方法包括Cook's距离和杠杆值等。
Cook's距离：通过计算每个观测值对回归模型的影响程度，来判断是否存在离群值。
如果某个观测值的Cook's距离超过阈值，则说明该观测值对回归模型的影响较大。
杠杆值：通过计算每个观测值对回归模型的影响程度，来判断是否存在离群值。
如果某个观测值的杠杆值超过阈值，则说明该观测值对回归模型的影响较大。
3. 多重共线性检验多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，导致回归模型的估计结果不稳定。
多重共线性检验是通过计算自变量之间的相关系数，来判断是否存在多重共线性。
数据处理、描述性统计、多元回归分析、回归诊断
一、数据描述及数据处理因变量：年度票房因电影票房收入差距过大，为尽量消除异方差的影响，对因变量y做取10为底的对数处理自变量：1、档期：0,1变量，分类：贺岁档，暑期档，黄金周档，平日档。
设定虚拟变量，将对应类型赋值为1，不是则为0。
设定贺岁档，暑期档，黄金周档这3个虚拟变量2、技术效果：0,1变量，分类：3D，IMAX，2D。
设定虚拟变量，将对应类型赋值为1，不是则为0。
设定3D，IMAX这2个虚拟变量3、电影类型：0,1变量，分类：动作片、爱情片、喜剧片、科幻片、惊悚片、动画片，其他片。
设定虚拟变量，将对应类型赋值为1，不是则为0。
设定动作片、爱情片、喜剧片、科幻片、惊悚片、动画片这6个虚拟变量4、电影评分：0-10分5、CPI：2011年~2016年各年的城镇居民人均可支配收入6、CPI增幅7、电影产地：0,1变量，国内（包括港澳台地区）取1，其他取0二、描述性统计使用条形图、直方图、箱线图等对数据进行表示二、多元线性回归分析1、最小二乘估计（OLS）并求出R方，复相关系数R，得出回归方程对原有数据的拟合程度并进行回归方程显著性检验F检验并进行回归系数显著性检验T检验2、多重共线性检验画出相关系数矩阵并对其进行显著性检验3、逐步回归（挑选出对因变量有显著影响的自变量）变量选择，避免多重共线性，注意引入自变量的显著性水平小于剔除自变量的显著性水平进行F检验和T检验，看逐步回归后的模型是否整体通过F检验，每个被选入的自变量通过T检验计算出选出的模型的R方，看拟合程度是否足够高4、主成分分析和因子分析解决多重共线性（1）主成分分析计算各主成分的方差贡献率和累计方差贡献率，特征根和特征向量画出主成分分析的载荷矩阵和碎石图获取主成分得分选择标准：主成分累计方差贡献率达到80%以上的前几个主成分特征根小于1，不再选作主成分（2）因子分析画出协方差阵和相关系数矩阵画出因子分析的载荷矩阵和碎石图采用斜交旋转提取因子绘制正交、斜交图形得到因子得分三、回归诊断1、异方差检验（在逐步回归的过程中画残差图，观察是否存在异方差，如果存在，消除异方差）因数据为截面数据，很容易出现异方差性采用方法为残差图分析法当回归模型满足所有假定，残差图上的点为随机的修正方法：加权最小二乘法权重的取值（残差绝对值的倒数）2、自相关性检验（随机扰动项存在序列相关检验）自相关指随机误差项之间存在自相关现象，指一个变量前后期数值之间的相关关系采用方法为DW检验法：检验随机扰动项具有一阶自回归的序列，若DW值在2左右时，不存在自相关修正方法：box-cox变换或迭代法3、异常值的诊断分析（1）因变量异常计算删除学生化残差，若绝对值大于3，则判定为异常值（2）自变量异常计算库克距离和中心化杠杆值库克距离<0.5，不是异常点；库克距离>1，认为是异常点若中心化杠杆值大于二倍的中心化杠杆值平均值，则认为异常点4、残差正态性检验绘制加权后的P-P图和Q-Q图绘制加权后的残差直方图。
多元统计分析第四章多元回归分析
多元统计分析第四章多元回归分析第4章多元回归分析简单说，回归分析是根据统计资料建⽴经验公式的统计⽅法。
例如统计若⼲焊接点数据，从⽽建⽴由焊接点直径预报焊点剪切强度的预报公式；⼜如统计若⼲棵松树的胸径与材积（可利⽤⽊材体积），建⽴由胸径预报材积公式，也⽤到回归分析⽅法。
当然回归分析不只是建⽴预报公式，还要对预报误差的⼤⼩，预报公式的合理性等问题讨论，有着⾮常丰富的内容。
回归分析可⽤于预测和控制，在⾃然科学，社会科学和应⽤技术中都有重要应⽤,它是统计学最重要的⼯具。
回归分析⽅法和理论从Gauss提出最⼩⼆乘法开始，⾄今已近200年，⽬前仍在蓬勃发展，例如在回归诊断、维度缩减、半参数回归、⾮参数回归、LOGISTIC 回归等⽅向不断有新的突破。
本章介绍参数回归分析模型及其参数估计、检验、模型选择等理论和有关计算⽅法。
参数回归分析主要分三类：线性回归、可以转化为线性回归的回归和⾮线性回归。
本章依次介绍这三类模型。
有关回归分析的⼀般理论可参见陈希儒（1984），⽅开泰（1988），Seber（1976），何晓群（1997），何晓群、刘⽂卿（2001）、Richard（2003）。
Robert(1999)和王吉利（2004）提供了许多有趣的应⽤例⼦。
4.1多元线性回归模型⾸先让我们看⼀个例⼦：x表⽰⽬标例4.1 对15个地区调查某种护肤霜销量得表4-1，其中y表⽰销量（打），1x表⽰⼈均可⽀配收⼊（美元）。
试建⽴由⽬标⼈⼝和⼈均可⽀配收⼊预⼈⼝数（千⼈），2测销量的公式。
表4-1 护肤霜销量数据这个问题中，每个地区销量受该地区⽬标⼈⼝数和⼈均可⽀配收⼊数影响，3个变量y 、1x 、2x 间存在密切关系。
但是它们的关系不是确定性关系⽽是相关关系。
常见的变量间关系分为两⼤类：确定性关系和相关关系。
确定性关系也称为函数关系。
具有确定性关系时，⾃变量完全确定因变量的值。
例如存款的年利率c 固定，那么存款数z 与总利息y 的关系就是确定性关系；z 知道后，y 就由y=cz 确定。
回归分析方法
回归分析方法回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究建模问题是一种常用的有效方法.什么是回归分析呢？大家知道：数学分析（或高等数学）是研究连续变量之间的关系，泛函分析是研究函数集之间的关系，而回归分析是研究随机变量之间的关系. 回归分析方法一般与实际联系比较密切，因为随机变量的取值是随机的，大多数是通过试验得到的，这种来自于实际中与随机变量相关的数学模型的准确度（可信度）如何，需通过进一步的统计试验来判断其模型中随机变量（回归变量）的显著性，而且，往往需要经过反复地进行检验和修改模型，直到得到最佳的结果，最后应用于实际中去。
回归分析的主要内容是：（1）从一组数据出发，确定这些变量（参数）间的定量关系（回归模型）；（2）对模型的可信度进行统计检验；（3）从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些不是，显著的保留，不显著的忽略）；（4）应用结果是对实际问题作出的判断.多元线性回归模型的一般形式为(1)其中为随机误差，且均为实际问题的解释变量，是已知函数.实证分析例1 模型与假设我们将以某地区消费者对当地某品牌电子手表的销售量随价格与平均收入变动的资料进行回归分析，并对估计模型进行检验。
解释变量：商品价格x1（单位：元/件），人均月收入x2 （单位：元），被解释变量：商品销售量y（单位：件）。
我们仅利用x1 和x2来建立y的预测模型。
数据如下表：基本模型为了大致分析y与x1 和x2的关系，先作出y对x1 和x2的散点图（见图1和图2中的圆点）。
图1 y对x1的散点图图2 y对x2的散点图从图1可以看出，随着x1 的增加，y的值有比较明显的线性减少趋势，因此考虑如下线性模型：（1）来拟合，是随机误差，而在图2中，当x2增大时，y有向下弯曲减少的趋势，故考虑如下模型来拟合：（2）综合上述的分析，结合模型（1）和（2）简历如下回归模型（3）（3）式右端的x1和x2称为回归变量，是给定商品价格 x1，人均月收入x2时，手表销售量y的平均值，其中称为回归系数,运用SPSS计算得他们的估计值如表1，影响y的其他因素作用都包含在随机误差中，如果模型选择得合适，应大致服从均值为零的正态分布。
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通常对异常值的处理方法有两种。一种 是把异常点作为工作重点，目标就是发 现异常点并确定是否要作进一步的研究， 这样的异常点往往含有很重要的信息。 这时不仅要判断出异常点的存在与否， 还要确定异常点出现的位置以及影响大 小。这是统计诊断中一个重要内容，围 绕此类问题出现了大量的统计量检验方 法及影响分析研究。
残差
普通最小二乘法的残差： 学生化残差:
强影响点
强影响点和异常点是两个不同的概念， 它们之间既有联系也有区别。强影响点 可能同时又是异常点也可能不是；反之， 异常点可能同时又是强影响点也可能不 是。
已知20条河流流域的有关测量数据.
河流
农田覆盖率
森林覆盖率
住 春夏秋冬各季度采
1，关于模型设定的假定 2，关于误差的假定 3，关于预测变量的假定
非随机的 其取值是误差取得的，但几乎不可能。测量误差将 影响到误差方差，相关系数，复相关系数及回归系数 的估计，其影响程度的大小取决于多个因素。 是线性无关的
4，关于观测的假定 所有观测是同样可靠性
数据的诊断 异常值 强影响点 假定是否满足
对于由第三种成因引起的异常点，发现 之后可以进行删除，以免影响参数估计 等以后的工作效果。
另外一种方法就是对于异常点采取容忍 的态度，把整个数据集作为研究的基础， 对于一定比例的坏数据或者远离数据中 心的数据采取一定的容忍或适应政策
回归系数一般采用“最小二乘估计”（least squares estimator,LS estimator）求解，但是在应用中容易忽 视的问题是LS估计只有在数据满足相应条件的情况 下才会具有统计描述和推断的优良性质，如要求误 差服从正态分布、总体方差相同且相互独立等。
在另外一些情况下，异常点的出现是由于 人为差错或者仪器的故障所引起的。
在我们需要根据样本对模型进行参数估计 或者根据模型对将来进行预测与控制的时 候，异常点的出现会对我们的工作产生很 强的影响，这样的结果是令人怀疑的。
因此，异常点的研究受到了广大研究者的 重视，自Bernoulli首次提出了异常点的概念， 接下来对异常点的概念、类型以及处理问 题的讨论一直没有停止过。
模型的诊断
线性回归模型中的异常点分析
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异常点的识别与处理，是统计诊断中很重 要的一项内容。
异常点的出现会影响分析结果的可信度。
异常点的存在往往蕴涵着重要的信息。
在有些情况下，异常点的出现是因为有新 事物出现或者新情况发生，比如经济模型 中某种经济政策的出台等，都能表现出异 常，这通常是我们的研究兴趣所在。
通过简单回归和多元回归模型可以有了计 算结果。
这些结果能做推断，需要建立在一些概述 性统计量的基础之上，这些统计量由数据 来计算。而只有当标准的回归假定满足时， 所做的推断才有可能是合理的，有意义的。 而对假定的核定，可以用图形的方法，也 可以用严格的数值去检查。
数据也需要考虑
还有模型的设定
标准的回归假定：
异常点在统计诊断中的地位
异常点（outlier）是统计诊断中很重要的一个概念。统计 诊断（Statistical Diagnostics）就是对从实际问题中收集起 来的数据、提炼出来的模型以及由此出发所作的推断方法 的合理性进行深入而细致的分析，并通过一些诊断统计量 来检查数据、模型及推断方法中可能存在的毛病，进而提 出治疗方案，进行模型或者推断方法的改进。 统计诊断主要包括异常点识别、残差分析、影响分析和数 据变换等内容，异常点的识别是处理统计诊断的重要内容 之一，它进行的好坏通常影响到整个过程的诊断。
把异常点视为杂质点。它与数据集的主体不是 来自同一分布，是在绝大多数来自某一共同分 布的数据点中掺入的来自另一分布的少量“杂 质”
残差
在回归分析中，异常数据的发现或模型的检测、 标准假设的检测的一个简单而有效的方法是研 究残差图。 残差图能够指明哪个或哪些标准假定不成立。 更重要的是，残差分析可能引导我们发现数据 中的结构，也可能指出那些蕴涵在数据中的、 在只用一些概述性统计量分析时容易被疏漏的 信息。这些启发或线索可能帮助我们更好地理 解所研究的问题，或者找到更好的模型。 对残差进行图形分析往往是回归分析中最重要 的一部分工作。
异常点的成因与处理
为什么会出现异常点？对这个问题的回答大致可以 归结为以下三种情况：整体模型变化、局部模型变 化和自然变异。 在前两种情况下，异常点出现的多而且连续，往往 蕴涵着机制的变化、新事物的出现或者新局面的形 成，大量而且连续的异常点可以用新的模型来拟合。 对于整个数据集，实质上已经成为一个混合模型。 而第三种成因更为常见，偶尔的人为差错或者仪器 的故障都可以引起异常。 对于由不同的原因引起的异常点，它们的处理方法 是不同的。在进行统计诊断时，判断异常点的成因 是很重要的，是对异常点进行正确处理的先决条件。
当实际数据没有近似满足这些假定时，就会出现一 些异常点（outliers）、杠杆点（leverage point）及影 响点(influential observations),使分析结果变得不可靠， 不能发现数据中的真实结构，从专业上难以解释结 果，甚至得到完全错误的结论。尤其是随着统计软 件的日渐普及，我们倾向于简单地将数据交给软件 来分析，而不注意具体方法的应用条件，尽管采用 了SAS、SPSS这些国际标准软件，但是输出结果有 时却与专业解释相悖。
地占总面积百 集到的样本的平均
分比
氮浓度mg/升
异常值有时一个，有时多个
异常点
在回归模型中，异常点是指对既定模型 偏离很大的数据点。但究竟偏离达到何 促程度才算是异常，这就必须对模型误 差项的分布有一定的假设（通常假定为 正态分布）。目前对异常点有以下两种 较为流行的看法：
把异常点看成是那些与数据集的主体明显不协 调，使得研究者大感惊讶的数据点。这时，异 常点可解释为所假定的分布中的极端点，即落 在分布的单侧或双侧 分位点以外的点，而 通 常取很小的值（如：0.005 ），致使观察者对数 据中出现如此极端的点感到意外。