【K12学习】二次函数与一元二次方程(2)导学案

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九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程导学案(新版)新人教版(2)

二次函数与一元二次方程一、【自主学习】1、自学课本43页问题，小组解决有疑惑的地方2、练习：（1）已知二次函数x x y 22+-=的值为-3，求自变量x 的值（2）反过来：解方程0322=--x x 就可以看作已知二次函数322--=x x y 的值为_______，求自变量x 的值二、【合作探究】1、自学课本44页至45页思考内容2、画出函数322--=x x y 的图象列表：3、抛物线322--=x x y 与x 轴有________个公共点，它们的横坐标是_______,_______. 当x 取公共点的横坐标时，函数值是______.由此得出方程____________的根是________.4、反过来：一元二次方程0322=--x x 有______根，可以确定二次函数322--=x x y的图象与x 轴有_______个公共点.5、归纳：从二次函数c bx ax y ++=2的图象可得到如下结论：（1）如果抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有公共点，公共点的横坐标是0x ,那么当0x x =时，函数值是________，因此0x x =是方程________________的一个根.（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的位置关系有三种：_______公共点，_______公共点，___________公共点.对应一元二次方程_____________________的根的三种情况:_______________________________________________________________即①当b 2-4ac ﹥0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根x 1与 x 2；即：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点坐标分别是A （ x 1，0）， B （x 2,0）②当b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点； ③当b 2-4ac ﹤0时，抛物线与x 轴没有交点。

九年级数学下册第6章二次函数 6.3 二次函数与一元二次方程(2)导学案( 苏科版

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
二次函数与一元二次方程
课题
§6.3二次函数与一元二次方程（2）
自主空间
学习目标
知识与技能：掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
进一步体验数形结合的数学方法。
学习重点
一元二次方程及二元二次方程组的图象解法
学习点
一元二次方程及二元二次方程组的图象解法
然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
当
堂
达
标
1．已知二次函数y=-x2+2x+m与x轴有两个交点，其中一个交点的横坐标x1的取值范围是3<x1<4,则另一个交点的横坐标x2的取值范围是。
2．观察二次函数y=x2-2x-3的图象，你能确定一元二次方程x2-2x-3=0的根吗？
教学流程
预
习
导
航
你能求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
合
作
探
究
一、新知探究：
你根据函数y=x2+2x-5的图象，求出方程x2+2x-5=0的近似根吗？
函数和的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1），
则方程的解为–3，1．
（2）方法二呢？
三、展示交流：
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）（2）
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：

二次函数与一元二次方程(导学案)

二次函数与一元二次方程（导学案）【学习目标】1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．2．理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。

【教学重点】理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根。

【教学难点】理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标【学习过程】一：预学课前热身、耐心填一填1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。

它的图象是一条抛物线。

它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（, ）2. 二次函数的解析式中的一般式是: ;顶点式：;交点式.3. 抛物线y=x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______,顶点坐标是___________.4. 抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.5.已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0)，并经过点M(0,1),则此抛物线的解析式为_______________二：互学1. 看教材第43页由第1问及第2问你分别知道了什么？第3问有几种解决方法？2.．分别求出二次函数y=x2+2x, y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标，并快速作出草图。

y=0时这个方程的解,（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？（2）一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?（3）验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?（4）说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?3．归纳整理a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)、有两个交点,(2)、有一个交点,(3)、没有交点b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程2【例】一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t＋19.6t 来表示．其中（s）表示足球被踢出后经过的时间．（1）当t=1时，足球的高度是多少？（2）t为何值时，h最大？（3）经过多长时间球落地？（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?三：评学1.开拓创新：已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么? 2．课堂小结3.随堂检测（1）．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为_______（2）．抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为个．（3）．抛物线y=2x2＋8x＋m与x 轴只有一个交点，则m= ____________。

二次函数与一元二次方程导学案

九年级数学上册导学案1.二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象如图所示．(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？验证一下一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点．2.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个根x1与x2；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3.求二次函数图象y＝x2－3x＋2与x轴的交点A，B的坐标．结论：方程x2－3x＋2＝0的解就是抛物线y＝x2－3x＋2与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的．即：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)．从上表可知,下列说法正确的个数是( )①(-2,0)为抛物线与x轴的一个交点; ②抛物线与y轴的交点为(0,-2);③抛物线的对称轴是x=1; ④在对称轴左侧,y随x的增大而增大.A.1B.2C.3D.44.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠-1),其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.45.若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是.6.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是.7.(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似地表示出来(描点);(3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根(精确到0.1).8.已知关于x的二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有2个交点.(1)求k 的取值范围;(2)若与x 轴交点的横坐标为x 1,x 2,且它们的倒数之和是-32,求k 的值.9．已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，（1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；（2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？10．已知二次函数62-+=x x y ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．（1）方程062=-+x x 的解是什么？（2）x 取什么值时，函数值大于0？x 取什么值时，函数值小于0？。

二次函数与一元二次方程(第2课时)导学案

第二章二次函数《二次函数与一元二次方程（第2课时）》教学设计说明一、教学目标知识与技能目标：利用二次函数的图象求一元二次方程近似解. 二、教学重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解教学难点：用逼近法求一元二次方程近似解三、教学过程分析一、课前检测，回顾迎新1.若方程02=++c bx ax 的根为21-=x 和32=x ，则二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点坐标是 .2.二次函数x x y 22+=的图象如图所示，则一元二次方程 022=+x x 的解为 .注：课前的训练让学生用已有的知识研究二次函数与一元二次方程的精确解，为新课研究近似解提供研究思路.二、合作交流，探索新知你能利用二次函数的图象估计一元二次方程01022=-+x x 的根吗？ 1.自主探索（1）观察二次函数的图象，抛物线与x 轴的交点的横坐标约为________________.（2）由图象可知，方程01022=-+x x 有个根，一个根在和之间，另一个根在和（填两个整数）.1022-+=x x y（3）估计方程01022=-+x x 的近似根是（精确到0.1）注：此处以问题串的形式引导学生探索近似解的研究方法. 2.小结反思（小组合作交流，解决问题）（1）用什么方法验证你的结果是否正确？（2）利用二次函数c bx ax y ++=2的图象求一元二次方程02=++c bx ax 的近似根的一般步骤.步骤一：____________________________________________________ 步骤二：____________________________________________________ 步骤三：____________________________________________________注：①作二次函数c bx ax y ++=2的图象.②观察估计二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标. ③确定一元二次方程ax 2+bx+c=0的解.3.及时强化试用二次函数的图象估计下列方程的近似根（1）2822=-+x x ，（2）11022=-+x x .1022-+=x x yO xyAx = 2B你是如何解决这一问题的，在小组内交流你们的解法.注：（1）2822=-+x x 是对案例01022=-+x x 作了简单的变形，学生可以按照上述的三个步骤操作，也可以将方程2822=-+x x 直接转化为方程01022=-+x x ，进而应用例题的结论，引导学生多方面多角度研究问题.（2）11022=-+x x 可以转化为一般式进行常规研究，也可以引导学生作直线1=y 与二次函数的交点，研究横坐标，引导学生学会知识的迁移.三、运用提高，形成技能1.二次函数1422++-=x x y 的图象如图所示，则一元二次方程01422=++-x x 的近似根是（精确到0.1）2. 如图，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（） A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3）D ．（4，3）3.利用二次函数的图象求一元二次方程01522=-+x x 的近似根.1. 如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径流下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (m) 与水平距离x (m)之间的关系式是4722++-=x x y （x >0）.柱子OA 的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？(结果保留根号)注：此处的练习层次分明，在让学生形成成就感的同时，有利于培养学生的研究习惯.四、小结提升，作业布置将你本节课学到的方法与同伴交流，小组小结本课所学知识.注：要给予学生时间进行小结和反思，并鼓励小组进行交流，最后通过学生的发言判断学生本课学习的情况.。

2022年教学教材《二次函数与一元二次方程2》导学案

二次函数与一元二次方程〔2〕【学习目标】了解利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似根的过程。

【学习过程】一、知识回忆1、二次函数=a2bc的图象和轴的公共点个数和一元二次方程a2bc=0的根的判别式有什么关系？2、二次函数=21 ∵b2－4ac=____________∴函数图象与轴____________交点。

3、二次函数=23－1与轴的交点的个数有_______个，交点坐标为_____________。

4、求以下二次函数的图象与轴的交点个数，1 25、二次函数的图象与轴的交点坐标是〔－1,0〕和〔2,0〕，并且它经过点〔－3,5〕,求这个函数的表达式。

6、抛物线〔m为常数〕与轴交于A,B两点，且线段AB的长为,求m的值。

二、探究新知例1、你能利用二次函数的图象估计一元二次方程22－10=0的根吗？解：在直角坐标系中作出二次函数= 22－10的图象。

由图象可知，方程有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间。

利用计算器进行计算得：请自己用一元二次方程求根公式验证一下，看结果是否相同。

三、课堂练习：利用二次函数的图象，求一元二次方程22－10=3的近似根。

【课后稳固与检测】1．抛物线=2－21的对称轴是〔〕A、直线=1B、直线=－1C、直线=2D、直线=－22．如图5所示,二次函数=2－4＋3的图象交轴于A、B两点,交轴于C点,那么△ABC的面积为〔〕A、6B、4C、3D、13．关于二次函数=a2bc的图象有以下命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0时且函数的图象开口向下时，a2bc=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于轴对称。

其中正确的个数是〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个4m为实数。

〔〔，且1、2的倒数和为，求这个二次函数的解析式。

12．抛物线〔m为常数〕与轴交于A,B两点，且线段AB的长为1。

〔1〕求m的值；〔2〕假设该抛物线的顶点为P，求的面积。

苏科版数学九年级下册5.4《二次函数与一元二次方程(2)》导学案

5.4二次函数与一元二次方程学案第二课时学习目标：通过观察二次函数的图象并借助计算器能求出一元二次方程的两个根的近似值，进一步感受数形结合的思想。

学习过程：一、情境创设你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象，说出方程x2＋2x－5＝0的根吗？（见课本P26思考与探索）二、探索活动1、通过观察并借助计算器，我们可以进一步探索出这两个根的近似值（精确到0.1）。

∵当x＝1时，y＝12＋2×1－5＝－2＜0当x＝1.5时，y＝1.52＋2×1.5－5＝0.25＞0∴使y＝0的x的值一定在_________之间，即______x_______。

（为什么？）∵当x＝1.25时，y＝1.252＋2×1.25－5＝－0.9375＜0∴使y＝0的x的值一定在_________之间，即______x________。

又当x＝1.375≈1.40时，y＝1.402＋2×1.40－5＝－0.24＜0（注意：精确到0.01讨论）当x＝1.45时，y＝1.452＋2×1.45－5＝0.0025＞0∴使y＝0的x的值一定在1.40与1.45之间，即_____x______。

∴使y＝0的x的近似值（精确到0.1）为______，即方程x2＋2x－5＝0介于1与2之间的根的近似值为__________（精确到0.1）。

2、你能说出求一元二次方程的根的近似值的方法吗？3、你能用同样的方法确定方程x 2＋2x －5＝0的另一个根x 2的近似值（精确到0.1）吗？试试看。

三、巩固练习利用二次函数211y x x 325=--的图象，借助计算器探索方程211x x 3025--=介于―3与―2之间的根（精确到0.1）。

四、小结：这节课我的收获：巩固练习题1、下列一元二次方程中，必有一根在相邻自然数3与4之间的是（） A 、x 2－2x ＋1＝0 B 、x 2－3x ＋1＝0 C 、x 2－4x ＋1＝0D 、x 2－5x ＋1＝02、根据下列表格的对应值：判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）一个解x 的范围是（） A 、3＜x ＜3.23B 、3.23＜x ＜3.24C 、3.24＜x ＜3.25D 、3.25＜x ＜3.263、关于方程x 2－2007x ＋1＝0，下列说法错误的是（） A 、必有一根满足0＜x 1＜1B 、必有一根满足2006＜x 2＜2007。

二次函数和一元二次方程--导学案

二次函数与一元二次方程关系导学案姓名：一、知识点归纳 1、 2、3、二、练习1、二次函数y=x 2－(m －1)x+4的图像与x轴有且只有一个交点，则m 的值为（） A ．1或－3 B ．5或－3 C ．－5或3 D ．以上都不对 1.1若关于x 的函数y=kx 2+2x ﹣1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为． 1.2函数2(2)(5)y k x k =-+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x =2x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，则△ABC 的面积为． 2.1已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC 的面积为求此二次函数的函数表达式．2.2已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2.3一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c =++上，求点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标．2.4已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为3、试说明一元二次方程2441x x -+=的根与二次函数244y x x =-+的图像的关系，并把方程的根在图象上表示出来．3.1关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m = ．4、关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（）Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠ Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠ 三、练习1、抛物线222y x kx =-++与x 轴交点的个数为2、已知二次函数277y kx x =--与x 轴有交点，则k 的取值范围3．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．4、二次函数263y kx x =-+的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是 A 、3k < B 、3k <且 0k ≠ C 、3k ≤ D 、3k ≤且0k ≠5、已知函数2y ax bx c =++的图象如图（7）所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（）A ．无实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有两个异号实数根 D ．有两个同号不等实数根6．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（）A y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点 7、已知二次函数y =2则下列判断中正确的是（）A ．抛物线开口向上 B ．抛物线与y 轴交于负半轴、图（7）x （第3题）C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间8.如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0； ②方程ax 2＋b x ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。

二次函数和一元二次方程(2)导学案

二次函数与一元二次方程（2）班级___________姓名____________学号________学习目标：1.能根据二次函数的图像解简单的一元二次方程（不等式）。

2、利用数形结合的思想方法，确定二次函数2y ax bx c =++中系数a 、b 、c 及相关代数式的符号。

活动一，温故知新1.二次函数c bx ax y ++=2与方程02=++c bx ax 之间有什么关系？如果二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点坐标为（-1,0) (3,0)那么方程02=++c bx ax 的解是______________________。

2.根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：（02=++c bx ax 的实数根记为21x x 、）（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点⇔ac b 42- 0；（2）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点⇔ac b 42- 0；（3）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点⇔ac b 42- 0.活动二，探究新知探究（一）利用函数图像求方程0232=+-x x 的解。

并解决下列问题:(1)当x 取什么值时，函数232+-=x x y 的为0； (2)当x 取什么值时，函数232+-=x x y 的大于0 (3)当x 取什么值时，函数232+-=x x y 的小于0探究二，回顾二次函数c bx ax y ++=2的图像与相关性质，探究各系数的符号并填空。

⑴a 的符号由决定：①开口向 ⇔ a 0；②开口向 ⇔ a 0.⑵b 的符号由决定：① 在y 轴的左侧 ⇔b a 、；② 在y 轴的右侧 ⇔b a 、；③ 是y 轴 ⇔b 0.⑶c 的符号由决定：归纳：利用函数图像求方程解的步骤是：_________ ______________________①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0；②点（0，c ）在原点 ⇔c 0；③点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.⑷ac b 42-的符号由决定：①抛物线与x 轴有交点⇔ ac b 42- 0 ⇔方程有实数根； ②抛物线与x 轴有交点⇔ac b 42- 0 ⇔方程有实数根；③抛物线与x 轴有交点⇔ac b 42- 0 ⇔方程实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的点.活动三，应用新知1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程02=++c bx ax 的根为___________；（2）方程23ax bx c ++=-的根为__________；（3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；（4）不等式20ax bx c ++>的解集为________；（5）不等式20ax bx c ++<的解集为_____ ___；2．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点的横坐标是方程x 2＋x －2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．活动四，巩固练习1.对称轴平行于y 轴的抛物线过A (2，8)，B (0，－4)，且在x 轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．绕点O按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置.①求过C、B、A三点的二次函数的解析式；②若①中抛物线的顶点是M，判定△MDC的形状，并说明理由.活动五。

2022年初中数学精品导学案《二次函数与一元二次方程》导学案

22.2二次函数与一元二次方程学习目标：1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.掌握一元二次方程(组)的图象解法．重点、难点1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法．导学过程：阅读教材P16 — 19 , 完成课前预习【课前预习】1：准备知识（1）一元二次方程根的情况：〔2〕一次函数与一元一次方程的关系：2：探究1以40米/秒的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h 米与飞行时间t 秒之间具有关系2520t t h -=。

考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否到达15米？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否到达20米？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否到达20.5米？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？探究2给出三个二次函数：〔1〕232+-=x x y ；〔2〕12+-=x x y ；〔3〕122+-=x x y ．它们的图象分别为观察图象与x 轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x 轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数c bx ax y ++=2的图象寻找方程)0(02≠=++a c bx ax ，不等式)0(02≠>++a c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 的解？3：结论一般的，从二次函数c bx ax y ++=2的图象可知，（1）如果抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0,那么当x= 时，函数的值是0，因此x= 就是方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根。

（2）二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

这对应着一元二次方程根的三种情况：实数根，有的实数根，有的实数根。

二次函数与一元二次方程、不等式导学案

时，原不等式可化为
x－1 a
(x－1)<0．
若1<1，即 a>1，则1<x<1；
a
a
若1＝1，即 a＝1，则 x∈∅； a
若1>1，即 0<a<1，则 1<x<1．
a
a
|x<1
综上所述，当 a<0 时，原不等式的解集为 x a 或 x>1 ；
当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x>1}；
| 当
0<a<1
知识点一含参数的一元二次不等式的解法形如??22120xaxa????除了主元变量x以外还含有其他的变量参变量a的不等式我们称为含参数的一元二次不等式
§2．3．2 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）
导学目标： 1．掌握含参数的一元二次不等式的解法，渗透分类谈论的思想． 2．通过一元二次不等式的求解过程，了解分式不等式、高次不等式的解法，渗透类比转化的思想． 3．会利用一元二次不等式求解实际问题，体会数学抽象、数学建模的学科素养．
自我检测 3：求高次不等式 1 x 2x 1 x 2 0 、 x 3 2x 12 0 等．
x
的解集．
-2-
题型一含参数的一元二次不等式的解法
【例 1】解关于 x 的不等式 ax2 a 1 x 1 0 ．
题型二分式不等式、高次不等式的解法【例 2】解下列不等式：
(1)
x3 0； x2
|x<1－a－ a2－16或 x>1－a＋ a2－16
∴原不等式的解集为 x 4
4
．
②当 a＝4 时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．

【K12学习】一元二次方程导学案

一元二次方程导学案第1课时一元二次方程一、学习目标1．理解一元二次方程的概念；．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；．理解一元二次方程根的概念．二、知识回顾1．多项式3x2y-2x-1是三次二项式，其中最高次项是x2y二次项系数为一次项系数为-2常数项是-1．含有未知数的等式叫方程，我们学过的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．三、新知讲解1．一元二次方程的概念等号两边都是整式只含有一个未知数并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．概念解读：等号两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．概念解读：“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分.如果明确了ax＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．．一元二次方程的根的概念使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．概念解读：一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．四、典例探究．根据定义判断一个方程是否是一元二次方程【例1】下列方程是一元二次方程的是A．x2+2x﹣y=3B．c．2﹣3=0D．x2﹣8=x总结：一元二次方程必须满足四个条件：是整式方程；含有一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项系数不为0.练1关于x的方程：+x+a2﹣1=0，求当a=时，方程是一元二次方程；当a=时，方程是一元一次方程．．把一元二次方程化成一般形式【例2】一元二次方程=2x2+1的一般形式是；它的二次项系数是一次项系数是常数项是．总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件；在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．练2将方程x=5化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数．练3将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是A．5，81B．5，﹣81c．﹣5，81D．5x，﹣81．根据一元二次方程的根求参数【例3】若0是关于x的一元二次方程x2+5x+2﹣3+2=0的一根，则的值为A．1B．0c．1或2D．2总结：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解.可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数.若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.练4若关于x的一元二次方程x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a=．练5关于的一元二次方程n2﹣n2﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=．五、课后小测一、选择题．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为A．ax2+bx+c=0B．x+y=2c．x2+3y﹣5=0D．x2﹣1=0．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是A．1个B．2个c．3个D．4个．要使方程x2+x+c=0是关于x的一元二次方程，则A．a≠0B．a≠3c．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0．把方程x=5化成一般式，则a、b、c的值分别是A．1，﹣3，10B．1，7，﹣10c．1，﹣5，12D．1，3，2．关于x的方程x2+2x﹣1=0的一个根是1，则的值是A．0B．﹣c．D．0或，．已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，则关于y的方程y2﹣12=a的解是A．B．﹣c．±D．以上答案都不对．关于x的方程x2﹣x﹣2=0必有一个根为A．x=1B．x=﹣1c．x=2D．x=﹣2二、填空题．已知x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则的取值范围是．．方程2x2﹣1=的二次项系数是一次项系数是常数项是．0．若是方程x2﹣2x=2的一个根，则22﹣4+XX的值是．三、解答题1．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．x2=3x；x+x2﹣3=0；﹣3=0；=0；=2．．已知关于x的方程x2+5x+2﹣3+2=0的常数项为0，求的值；求方程的解．3．已知，下列关于x的一元二次方程x2﹣1=0x2+x﹣2=0x2+2x﹣3=0…x2+x﹣n=0求出方程、方程、方程的根，并猜测方程的根．请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．．关于y的方程y2﹣ny﹣p=0中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少．典例探究答案：【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；B、不是整式方程，故选项错误；c、含未知数的项的最高次数是4，故选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．练1．【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答．解：依题意得，a2+1=2且a﹣1≠0，解得a=﹣1．即当a=﹣1时，方程是一元二次方程．当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时，方程是一元一次方程．故答案是：﹣1；1．点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【例2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：一元二次方程=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．故答案为：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件．这是在解题过程中容易忽视的地方．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．练2．【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项．去括号，得x2-x=5x－10.移项、合并同类项，得x2-6x＋10=0．其中二次项系数是1，一次项系数为-6，常数项为10．练3．【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0，二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出的值．解：∵0是关于x的一元二次方程x2+5x+2﹣3+2=0的一根，∴×0+5×0+2﹣3+2=0，即2﹣3+2=0，解方程得：1=1，2=2，∴=2，故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．练4．【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求．解：∵一根是0，∴×2+4×0+a2﹣1=0∴a2﹣1=0，即a=±1；∵a+1≠0，∴a≠﹣1；∴a=1．练5．【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n ﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：把=2代入n2﹣n2﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，所以n+=2，所以原式=2﹣2=2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．课后小测答案：一、选择题．【解析】根据一元二次方程的定义进行判断．解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是1，它属于二元一次方程，故本选项错误；c、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选：D．点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．．【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．．【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选：B．点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．．【解析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．解：由方程x=5，得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选A．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解：把1代入方程得32+1+2﹣1=0，解得=0或，故选：D．点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．．【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，根据方程解的含义，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出关于y的方程的解．解：∵x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，∴3×32+2a×3﹣3a=0，解得：a=﹣9，则关于y的方程是y2﹣12=﹣9，解得y=．故选：c．点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值．．【解析】分别把x=1、﹣2、﹣2代入x2﹣x﹣2=0中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的x的值一定为方程的解．解：A、当x=1时，+2﹣﹣2=0，所以方程x2﹣x﹣2=0必有一个根为1，所以A选项正确；B、当x=﹣1时，+2+﹣2=0，所以当=0时，方程x2﹣x ﹣2=0有一个根为﹣1，所以B选项错误；c、当x=2时，4+8﹣2﹣2=0，所以当=﹣3时，方程x2﹣x﹣2=0有一个根为2，所以c选项错误；D、当x=﹣2时，4+8+2﹣2=0，所以当=﹣1时，方程x2﹣x﹣2=0有一个根为﹣2，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．二、填空题．【解析】根据一元二次方程的定义得到﹣2≠0，然后解不等式即可．解：根据题意得﹣2≠0，所以≠2．故答案为：≠2．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号0．【解析】根据一元二次方程的解的定义得到2﹣2=2，再变形22﹣4+XX得到2+XX，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得2﹣2=2，所以22﹣4+XX=2+XX=2×2+XX=XX．故答案为XX．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题1．【解析】各项方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：方程整理得：5x2﹣3x=0，二次项系数为5，一次项系数为﹣3，常数项为0；x2+x﹣3=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣3；方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，二次项系数为49，一次项为﹣14，常数项为﹣2；方程整理得：x2﹣1=0，二次项系数为，一次项系数为0，常数项为﹣1；方程整理得：112﹣4﹣5=0，二次项系数为11，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．．【解析】首先利用关于x的方程x2+5x+2﹣3+2=0的常数项为0得出2﹣3+2=0，进而得出即可；分别将的值代入原式求出即可．解：∵关于x的方程x2+5x+2﹣3+2=0的常数项为0，∴2﹣3+2=0，解得：1=1，2=2，∴的值为1或2；当=2时，代入x2+5x+2﹣3+2=0得出：x2+5x=0x=0，解得：x1=0，x2=﹣5．当=1时，5x=0，解得x=0．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．3．【解析】利用因式分解法分别求出方程、方程、方程的根，根据以上3个方程的根，可猜测方程的根；观察即可得出上述几个方程都有一个公共根是1．解：x2﹣1=0，=0，x+1=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1；x2+x﹣2=0，=0，x+2=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣2，x2=1；x2+2x﹣3=0，=0，x+3=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣3，x2=1；…猜测方程x2+x﹣n=0的根为x1=﹣n，x2=1；上述几个方程都有一个公共根是1．点评：本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．．【解析】令y=1，即可确定出方程的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和．解：令y=1，得到﹣n﹣p=0，则方程y2﹣ny﹣p=0中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为0．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．。

222二次函数与一元二次方程(导学案)九年级数学上册(人教版)

22.2 二次函数与一元二次方程导学案1 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

2 通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。

二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：核心知识二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：思维导图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？[问题四]球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能，需要多少时间？[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.【问题】以下二次函数图象与x轴有公共点吗？如果有公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此你能得出相应一元二次方程的根吗？1)y=x2+x2 2)y=x26x+9 3)y=x2x+1.【问题】利用函数图象求方程x2−2x−2=0的实数根（结果保留小数后一位）。

典例分析典例1．若抛物线y=(k−1)x2−2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．【针对训练】1．已知抛物线y=2mx2−4mx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(x2,0)两点，则B点的横坐标x2＝．2．抛物线y=x2−3x−4与x轴的交点坐标为．3．若对称轴为直线x=−2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点(1,0)，则一元二次方程ax2+bx+c= 0的根是．典例2．抛物线y=−x2−3x+3与y轴交点的坐标为．【针对训练】1．抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为个．2．平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+8与y轴的交点为B点，则OB=．例3．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是，方程x2+bx+c＝0的解是．【针对训练】1．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，则方程x2+bx+c=0的解是_______________典例4．根据下面表格中的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是()A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【针对训练】1．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解x的范围是（）A．3<x<3.23B．3.23<x<3.24C．3.24<x<3.25D．3.25<x<3.262．根据抛物线y=x2+3x−1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（）A．x2+3x−1=0B．x2+3x+1=0C．3x2+x−1=0D．x2−3x+1=0典例5．已知抛物线y=x2+(m−1)x+m−3（m为常数），求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有两个公共点．【针对训练】1．若二次函数y=x2+(b−1)x+4的图象与x轴只有一个交点，求b的值．典例6．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（1，2），与x轴的另一个交点为C．(1)求该图象的解析式；(2)求AC长．【针对训练】1．已知关于x的一元二次方程x2−4x+m=0．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围．(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求二次函数y=x2−4x+m的图象与x轴的两个交点间的距离．直击中考1．（2023·湖南郴州真题）抛物线y=x2−6x+c与x轴只有一个交点，则c=．2．（2022·黑龙江大庆中考真题）已知函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为．1.本节课学了哪些主要内容？2.简述二次函数与一元二次方程的联系？【参考答案】以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？解：当h=15时，20t5t2=15，解得，t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？当h=20时，20t5t2=20，解得，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？飞行高度达到20m时，小球正好运动到抛物线的顶点。

[K12学习]一元二次方程教育教案及到导学案_1

一元二次方程导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址班级姓名学号学习目标．知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

3．会用试验的方法估计一元二次方程的解。

【重点难点】：．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程一、情境引入：（1）正方形桌面的面积是2m，求它的边长？解：设正方形桌面的边长是xm，根据题意，得m根据题意，得x=24整理的（3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？解：设平均每年增长的百分率是x根据题意，得整理，得（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。

如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

解：设梯子滑动的距离是X米。

根据勾股定理，滑动前梯子的顶端离地面4米，则滑动后梯子的顶端离地面（4－X）米，梯子的底端与墙的距离是（3＋X）米。

根据题意得整理。

得二、探究学习：.像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程2.看谁眼力好:下列方程中那些是二元一次方程。

3.一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式,我们把（2）6.巩固练习把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项三、归纳总结：、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性4.1一元二次方程【课后作业】班级姓名学号、若是关于的一元二次方程，求p的取值范围2、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

《二次函数与一元二次方程》导学案

备课时间：2017、8、28 授课时间：2017、9、4备课人：郭艳玲（主备）母东文课型：新授课教具:多媒体课件教法：启发式学法：自主合作探究22.2 二次函数与一元二次方程导学目标：1、理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握方程与函数间的转化。

2、会利用数形结合的方法判断抛物线与x 轴的交点个数。

3、培养合作意识和探索数学知识间联系的好习惯，体验二次函数的应用。

导学重点：探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x 轴交点情况。

难点：函数→方程→x 轴交点，三者之间的关系的理解与运用。

导学方法:先由学生自学课本，经历自主探究总结的过程，并独立完成自主学习部分，然后学习小组交流讨论，形成知能，最后完成当堂训练题。

导学过程:一、创设情境，引入新课二次函数的223y x x =--的图象如图所示。

根据图象回答：（1）x 为何值时, 0y =？（2）你能根据图象，求方程2230x x --=的根吗？（3）二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？二、自主学习，固知提能1、二次函数与一元二次方程之间的关系【探究】教材P43问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。

考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？（4）球从飞出到落地需要多少时间？【归纳】二次函数与一元二次方程有如下关系：二次函数与一元二次方程之间有如下关系①函数2y ax bx c =++,当函数值y 为某一确定值m 时,对应自变量x 的值就是方程2ax bx c m ++=的根.②特别是0y =时，对应自变量x 的值就是方程20ax bx c ++=的根。