【专项冲击波】高考数学 讲练测系列 专题03 数列(学生版)

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题03 数列（学生版）
【考纲解读】
1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
【考点预测】
1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.
2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.
因此复习中应注意：
1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【要点梳理】
1.证明数列{}n a 是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：1n n a a d +-=为常数；（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-=+≥.
2.证明数列{}n a 是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：
1
n n
a q a +=(非零常数)；（2）等差中项法：2
11(2)n n n a a a n +-=⋅≥.
3.常用性质:(1)等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; (2)等比数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅.
4.求和:
(1)等差等比数列,用其前n 项和求出;
(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前n 项和的常用性质. 【考点在线】
考点1 等差等比数列的概念及性质
在等差、等比数列中，已知五个元素1n a ,a ,n,d 或q ，n S 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。

本着化多为少的原则，解题时需抓住首项1a 和公差（或公比q ）。

另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
（1）等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a = .
（2）等差数列{}n a 中，()n 2n n 3n 2n kn k n 1S ,S S ,S S ,S S ,
----成等差数列。

其中n S 是等差数列的前n 项
和；等比数列{}n a 中（q 1≠-），()n 2n n 3n 2n kn k n 1S ,S S ,S S ,S S ,----成等比数列。

其中n S 是等比数列
的前n 项和；
（3）在等差数列{}n a 中，项数n 成等差的项n a 也称等差数列. （4）在等差数列{}n a 中，()2n 1n S 2n 1a -=-；()2n n n 1S n a a +=+ .
在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
例1. （2012年高考安徽卷文科5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且31116a a =，则
5a =（ ）
（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8
练习1: （山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知355,9a a ==，则7S 等于（ ）
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63 考点2 数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。

如“逐差法”若n n 1a a n,--=且1a 1=；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列{}n a 的通项.
()()()n n n 1n 1n 2211a a a a a a a a ---=-+-+
+-+()()
n n 1n n 121.2
+=+-+
++=
再看“逐商法”即n 1n
a n 1a +=+且1a 1=，可把各个商列出来求积。

()()n n 12
n 1n 1n 2
1
a a a a a n n 1n 221n!a a a ---=
=--=
另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题.
例2.（2011年高考四川卷文科9)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1, a n+1 =3S n (n ≥1),则a 6=( ) （A ）3 ×44
（B ）3 × 44
+1 (C) 44
（D ）44
+1
练习2.（2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n
，则公比为（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 【答案】B
【解析】设公比是q ，根据题意a 1a 2=16 ①，a 2a 3=162 ②，②÷①，得q 2=16 .因为a 12q=16>0, a 12
>0，则q>0，q=4.
考点3 数列的通项公式n a 与前n 项和公式的应用
等差、等比数列的前n 项和公式要深刻理解，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数.等比
数列的前n 项和公式()n
1n 11n a 1q a a S q 1q 1q 1q
-==----（q 1≠），因此可以改写为n n S aq b (a b 0)=++=是关
于n 的指数函数，当q 1=时，n 1S na =. 例
3. （山东省临沂市
2013
届高三上学期期中考试 文）已知数列
2{},22,n n n n a n S S a a =-的前项和为且则=（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．-2
练习3. (2012年高考新课标全国卷理科16)数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60
项和为 . 考点4. 数列求和
例 4. (2012年高考全国卷理科5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则数列
11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前100项和为（ ） A ．
100101 B ．99101 C ．99100 D ．101
100
练习4. (2012年高考浙江卷文科19)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2
2n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡.
（1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 考点5 等差、等比数列的综合应用
解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例5．(2012年高考湖北卷理科18)
已知等差数列{a n }前三项的和为-3，前三项的积为8. （1）求等差数列{a n }的通项公式；
（2）若a 2,a 3,a 1成等比数列，求数列{}
n a 的前n 项的和.
练习5. (2012年高考重庆卷文科16)（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知
{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n
项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。

【考题回放】
1.（2012年高考辽宁卷文科4）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=（ ）
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
2．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三文）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
29a =-，376a a +=-，则当n S 取最小值时，n ＝（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
3．（山东省师大附中2013届高三上学期期中考试文）在等比数列{}375,2,8,n a a a a ===则（ ）
A.4±
B.4
C.4-
D.5
4．(2012年高考福建卷理科2)等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5.(2012年高考新课标全国卷理科5)已知{}
n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）
()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7
6．(2012年高考浙江卷理科7)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．
的是（ ） A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0
C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0
D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列
7.(2012年高考辽宁卷理科6)在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11=（ ） (A)58 (B)88 (C)143 (D)176
8．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文）已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比数列中项为22，则1172a a +的最小值（ ） A.16 B.8 C. 22 D.4
9．（山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文）数列{}n a 中，11,11
1+=
=-n n a a a ，则
4a 等于（ ）
A ．
35
B ．34
C ．1
D ．3
2 10．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试文）已知等比数列{}n a 的前n 项和为3n
n S a =+，
N n *∈，则实数a 的值是（ ）
A ．3-
B ．3
C ．1-
D ．1
11．（山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考文）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，
其公比q ≠1且，()i b 0i 1,2,,n =⋅⋅⋅>,若11,1111a b a b ==，则（ ） A.66a b >
B.66a b =
C.66a b <
D.6666a b a b 或<> 12．（北京四中2013届高三上学期期中测验文）
是等差数列
的前项和，若
，则
（ ）
A. 15
B. 18
C. 9
D. 12 13．(2011年高考安徽卷文科7)若数列}{n
a 的通项公式是()()n
a
n =-13-2,则a a a 1210++
=
（ ）
（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15
14. (2012年高考湖北卷文科7)定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x ²；②f （x ）=2x
；③；④f （x ）=ln|x |.
则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④
15.（2012年高考辽宁卷文科14）已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n+2）=5a n+1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________.
16.（2012年高考新课标全国卷文科14）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 17. (2012
年高考湖南卷文科
16)对于N
n *
∈，将n 表示为
1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤-时i a 为0或1，定
义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n =1；否则b n =0. （1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；
（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___. 18. (2012年高考江西卷文科13)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1。

若a 1=1，且对任意的
都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。

19. (2012年高考上海卷文科7)有一列正方体，棱长组成以1为首项、1
2
为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞
+++= .
20．(2012年高考山东卷文科20)
已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S . 【高考冲策演练】 一、选择题：
1.（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文）等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，
27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为（ ）
A. 297
B. 144
C. 99
D. 66
2.（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文）已知正项等比数列{}n a 满足：
5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =，则
n
m 4
1+的最小值为（ ） A.
23 B. 35 C. 6
25
D. 不存在
3.（山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
371112a a a ++=，则13S 等于（ ）
()A 52 ()B 54 ()C 56 ()D 58
4.（天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考文）公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和为
n S 。

若4a 是3a 与7a 的等比中项，328=S ，则10S 等于（ ）
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90
5.（山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考文）设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知
7863==S S ，，则=++987a a a （ ）
A.
81 B.81- C.8
57 D.855 6．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，
321,21,s a a =-=+则2
3
26372a a a a a ++=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．842-
7.（山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考文）已知{}n a 中n
n a )3
1
(=，把数列{}n a 的各项
排列成如下的三角形状，
记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A =（ ）
A.
93
3
1
）（ B.92
3
1）（ C.94
3
1）（ D.112
3
1）（ 8.(2012年高考全国卷文科6)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =（ ） （A ）1
2
-n （B ）1
)
2
3(-n （C ）1
)
3
2(-n （D ）
1
21-n
9.(2012年高考四川卷文科12)设函数3
()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，
127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则=++721a a a （ ）
A 、0
B 、7
C 、14
D 、21
10． （2012年高考新课标全国卷文科12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（ ）
（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830
11. (2012年高考四川卷理科12)设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2
313[()]f a a a -=（ ）
A 、0
B 、
2116π C 、218π D 、21316
π 12．(2012年高考北京卷文科6)已知为等比数列，下面结论种正确的是（ ）
（A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）2
223212a a a ≥+ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2
二．填空题：
13．(2012年高考广东卷文科12)若等比数列{a n }满足2412
a a =，则2
135a a a = 。

14． (2012年高考北京卷文科10)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若2
1
1=a ，S 2=a 3，则
a 2=______，S n =_______。

15.(2012年高考重庆卷文科11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S = 16. (2012年高考上海卷文科14)已知1
()1f x x
=
+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .
三．解答题：
17. (2012年高考浙江卷文科19)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2
2n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；
（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
18．(2012年高考山东卷文科20) (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S . 19．(2012年高考广东卷理科19)（本小题满分14分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =an+1-2n+1
，n ∈N ﹡
,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。

（1） 求a 1的值；
（2） 求数列{a n }的通项公式.
（3） 证明：对一切正整数n ，有
12
11132
n a a a +++
<. 20．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷三文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有
12a =，22n n S a =-．
（1）求数列n a 的通项公式；
（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
21．（山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文）（本小题满分12分） 已知数列}{n a ， }{n c 满足条件：11,a =121+=+n n a a ， )
32)(12(1
++=n n c n ．
（1）求证数列}1{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n c 的前n 项和n T ，并求使得1n m
T a >
对任意n ∈N *
都成立的正整数m 的最小值． 22．（山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考文）
在数列{}n a 中，已知)(log 32,41
,41*4
111N n a b a a a n n n n ∈=+==
+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{}n b 是等差数列；
（Ⅲ）设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S .。