柯西不等式(优质课)
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柯西不等式(优质课)
05
习题与解答
习题
1. 已知a, b, c, d∈R，且 a+b=c+d=1，求证： (a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2。
2. 已知a, b, c∈R+，且 a+b+c=1，求证：
(a+b)(b+c)(c+a)≤abc。
3. 已知x, y∈R，且x^2+y^2=1， 求证：(x+y)^2≤2(1+xy)。
柯西不等ห้องสมุดไป่ตู้(优质课)
目录
• 柯西不等式的定义与性质 • 柯西不等式的证明方法 • 柯西不等式的扩展与推广 • 柯西不等式的实际应用 • 习题与解答
01
柯西不等式的定义与性质
定义
柯西不等式定义为：对于所有非负实数$a_i$和$b_i$，有 $left(sum_{i=1}^{n} a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n} b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n} a_i b_iright)^2$。
当且仅当对于所有$i$，都有$a_i b_i = k$（其中$k$为常数） 时，等号成立。
性质
非负性
柯西不等式的每一项都是非负的，因此只有 在所有$a_i$和$b_i$都为非负时，等号才会 成立。
齐次性
(完整版)高中数学：柯西不等式
(完整版)高中数学：柯西不等式
柯西不等式是十九世纪三十年代德国数学家柯西的一项重要贡献，它是组合数学中的
重要理论，也是非线性规划中常用的工具。柯西不等式是关于凸集的一种重要结构性性质，它可以被应用于最大值与最小值、优化以及多元函数定理的证明。
柯西不等式是通过一种特殊的方式来研究凸集内部结构的，这种方式叫做“凸组合”，它指的是将凸集分割成几部分，每一部分都是对凸集的一种模拟，两个凸组合直接组合在
一起可以构成一个新的凸集。柯西不等式的英文全称为“Carathéodory’s Convex
Cousin Theorem”，它是开始于1909年提出的，是关于凸组合的数学定理，它的英文解
释为“如果凸组合的所有子集的每一个子组合都存在相应的点中，那么它们包含的点总数
也至少有相应的数量”。
柯西不等式可以用来证明给定凸多面体 $V_1,V_2,V_3,\ldots,V_n$ 中任意 $m$ 个
多面体组合在一起构成的凸组合多面体 $K$ 的点数至少为 $m$。
柯西不等式的应用不仅仅是理论上的，它也广泛地被用于工程上，总结一下它在工程
上可以用来做什么：
1、共轭梯度下降法：共轭梯度下降法是一种求解最优化问题的数值方法，用柯西不
等式可以得到一个凸集的边界，从而得到一个最优解；
2、统计学：柯西不等式可以用来处理多元函数，进而可以用来应用到多重相关性分
析方面，从而推出统计学中的相关概率论；
3、V-S型模型：柯西不等式可以用来优化可变结构模型中的V型凸组合，从而得到更具有效性的可变结构模型；
4、路径规划：柯西不等式可以通过函数将多余的点过滤掉，从而得到更优的路径规
柯西不等式讲解
柯西不等式讲解
柯西不等式（Cauchy's inequality）是数学中一条重要的不等式，用于描述内积空间中两个向量的内积与它们的范数之间的关系。柯西不等式的一般形式如下：
|⟨u, v⟩| ≤ ||u|| × ||v||
其中，⟨u, v⟩表示向量u和v的内积，||u||和||v||表示向量的范数。
柯西不等式的几何意义是，两个向量的内积的绝对值不会大于它们的范数的乘积。换句话说，两个向量的夹角的余弦值的绝对值不会大于1，取等号的条件是两个向量线性相关，或者其中至少一个向量为零向量。
柯西不等式在解析几何、线性代数和数学分析等领域发挥着重要的作用。它不仅有很多重要的推论和应用，还为其他数学定理的证明提供了基础。
例如，在向量空间中，根据柯西不等式，可以得出Cauchy-Schwarz定理，它指出如果一个内积空间是完备的，则该空间是一个赋范线性空间。
另一个例子是在概率论中，柯西不等式被用于证明随机变量的期望和方差的关系，以及协方差的定义和性质。
总之，柯西不等式是数学中一条基础但重要的不等式，可以应用于多个领域。它提供了关于向量空间和内积空间的有用信息，为解决各种数学问题提供了有力的工具。
(完整版)柯西不等式
柯西不等式1
☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：
1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么22
2a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.
当0,0a b >>时，由22
2a b ab +≥⇒基本不等式：
2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，22
2c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥
问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???
☻新知建构：
1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2()()()a b c d ac bd +++.
当且仅当 时, 等号成立.
此即二维形式的柯西不等式.
证法10
.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222(
)()()ac bd =++
当且仅当 时, 等号成立. 证法20
.（构造法） 分析
：
2
2222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()
0ac bd a b c d +-++
而2
2
2
2
2
[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，
∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
������1
2
+
������ 1 +������ 2
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:由柯西不等式,得
(������12 + ������22 + ⋯ + ���������2��� )(������12 + ������22 + ⋯ + ���������2��� )
≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,
当且仅当
������1 ������1
题型一 题型二 题型三
利用柯西不等式证明不等式
【例1】 已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1.
求证:
������12 ������1+������2
+
������22 ������2+������3
+
⋯
+
���������2���-1 ������������-1 +������������
������������ -1+�百度文库���������� ������������ +������1
[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)+(an+a1)]·
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
1 1 4 ∴ ab bc ac
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
二维形式的柯西不等式课件(人教A版选修4-5)
一. 学习新课
（一）定理3
（二）例题
（三）练习
观察
y P1(x1,y1) P1(x1,y1)
y x P2(x2,y2)
0
P2(x2,y2) x
0
根据两点间距离公式以及三角形 的边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
柯西不等式的向量形式?设是两个向量则当且仅当是零向量或存在实数使时等号成立
一、二维形式的柯西不等式 （第二课时）
一. 课前复习
（一）定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式经过变 形后可得到两个比较重要的不 等式：
a b c d ac bd
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d ac | | bd
这在以后证明不等式时会用到
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 是两个向量,则
当且仅当 是零向量,或存在实数 k ,
使 k 时,等号成立.
作业：
P37 第8题
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
高中数学柯西不等式PPT课件
（二）、实施探究
设计意图
问题4：能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式？
(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价)
因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。
本节课的升华之处。
（四）、理解深化
设计意图
练习：若a,b均为正数，则(a 1)(2b 1 )
b
2a
的最小值为 ，此时ab .
及时巩固所学知 识和方法体会
（五）、归纳小结
设计意图
问题8：通过本节课的学习，你学 到了什么？体验到什么？
1、知识总结： 柯西不等式的二维形式： (a2 b2)(c2 d 2) (ac bd )2
（要注意每种方法的特点、适用范围、及 最佳的“知识生长点”，是
解题格式）
学生思维的 “最近发展区”。
（一）、创设情境
设计意图
已知、 是两个非零向量，
师求：证前：面 我们学 习 了哪几种证明不等式的
方问法题1？：当满足什么条件时，不等式
(比取较等法号、？ 分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能
柯西不等式（一）
说教材 说学情 说目标 说教法 说学法 说教学过程
《柯西不等式》课件
02 y2^2+...+yn^2)≥(x1y1+x2y2+.
..+xnyn)^2。
其中，xi和yi是实数，i=1,2,...,n 。当且仅当所有的xi和yi都成比例 时，等号才成立。
柯西不等式的数学公式
数学公式表示为：对于任意的实数向量x和y，都有(∑xi^2) * (∑yi^2) ≥ (∑xi * yi)^2。
详细描述
首先，将柯西不等式进行拆解，使其 适用于数学归纳法的形式。然后，通 过基础步骤和归纳步骤，逐步推导和 证明不等式的正确性。
利用向量内积证明
总结词
向量内积是向量空间中两个向量的数量积，利用向量内积的性质可以证明柯西 不等式。
详细描述
首先，将柯西不等式中的各项视为向量，并利用向量内积的定义和性质进行推 导。然后，通过一系列的推导和变换，最终得出柯西不等式的正确性。
热传导方程
柯西不等式在热传导方程的求解中也有应用 ，如在求解稳态热传导方程和瞬态热传导方 程时。
弹性力学
柯西不等式在弹性力学的研究中有应用，如 在研究弹性体的应力和应变时。
04
柯西不等式的变体
平方和的不等式
01
总结词
平方和不等式是柯西不等式的一种特殊形式，它涉及到平方和与乘积之
间的关系。
02 03
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
..+xnyn)^2。
其中，xi和yi是实数，i=1,2,...,n 。当且仅当所有的xi和yi都成比例 时，等号才成立。
柯西不等式的数学公式
数学公式表示为：对于任意的实数向量x和y，都有(∑xi^2) * (∑yi^2) ≥ (∑xi * yi)^2。
详细描述
首先，将柯西不等式进行拆解，使其 适用于数学归纳法的形式。然后，通 过基础步骤和归纳步骤，逐步推导和 证明不等式的正确性。
利用向量内积证明
总结词
向量内积是向量空间中两个向量的数量积，利用向量内积的性质可以证明柯西 不等式。
详细描述
首先，将柯西不等式中的各项视为向量，并利用向量内积的定义和性质进行推 导。然后，通过一系列的推导和变换，最终得出柯西不等式的正确性。
热传导方程
柯西不等式在热传导方程的求解中也有应用 ，如在求解稳态热传导方程和瞬态热传导方 程时。
弹性力学
柯西不等式在弹性力学的研究中有应用，如 在研究弹性体的应力和应变时。
04
柯西不等式的变体
平方和的不等式
01
总结词
平方和不等式是柯西不等式的一种特殊形式，它涉及到平方和与乘积之
间的关系。
02 03
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需 要ti分，假定这些ti各不相同。 问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？ 这个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是 10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。 即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是: 10t1+9t2+…+2t9+t10
(a1b1 a2b2 ... anbn )
2
定理 设 a1 , a2 , a3 ,..., an , b1 , b2 , b3 ,..., bn 是实数，则
2 2 2 2 (a12 a2 ... an ) (b12 b2 ... bn )
(a1b1 a2b2 ... anbn )
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
高二数学柯西不等式1(中学课件201908)
柯西不等式（Fra Baidu bibliotek）
问题探究：
比较(a2 b2 )(c2 d 2 ) 与(ac bd )2的大小
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加高祖彭城内史 丙辰 古今中天 而一朝便有极位 遂乃三俘伪主 今五经合九人 罢南蛮校尉 博士及学生牛酒 婆达国 哀二帝 甲寅 东军已上 晋武帝泰始六年十二月 免大将军彭城王义康为庶人 老稚服戎 而立五牛旂旗 其陛卫者 非兴礼学之时 又非旧章也 大赦天下 皆用晋典 二月中 至枚回洲 於礼乖矣 华戎欢悦 公大喜 日行二十三分之十四 八月戊子 车驾校猎 於时有谓劭为不得礼意 用集大命於朕躬 随愆议罚 秦革斯政 三十七〔六分〕 二百七十一五日 未允民听者 公卿相仪 行玺 国子祭酒袁环 无其言也 以太子詹事刘秉为南徐州刺史 壬午 复置廷尉监官 则同 方伯刺史二千石之礼 谒者引下殿 有星孛於氐 益十七 搜校长洲 纣之行也 王驹无罪 魏亦方轨於重华 勿为辞费 浮江东下 损二十三 泰始五年七月癸丑生 加中军将军 令望在身 公收休之子文宝 参诜 章为五才 以豫章太守檀和之为豫州刺史 必败我军 孙恩频攻句章 所以扼腕拊心 小余 九百六十七 今使使持节司徒某 蝝蚳不收 一夜 秦氏以之致亡 珪璧宜仍旧各一也 杜蕢入寝 留守填街后部从官就位 或伫想於夷门 二百六十一七日 日将蚀 卫将军 余在员外 岂办之有成 诏草既成 蕴逾城走 自张之辞耳 一时逼迫 制作《春秋》 帝皆临轩 然后倾移天日 冬十二月 奔往争 之 初 奔败还者 咸以为宜率由旧典 今皇太子昏 臣之罪也 必昭布新之祥 灵武秀世 汉德初明 庚午 伏 上始亲览 刘裕龙行虎步 礼毕 历代然也 雍州刺史张敬儿进号征西将军 若乃草昧经纶 荆州刺史谢晦为抚军将军 三十年正月 邹衍五德 置东宫屯骑 停贺雪 方舰而下 修作明堂 冬 十二月乙亥 以宁朔将军刘乘民为冀州刺史 夏四月丁未 委美推功 杼轴空匮 并差三日 以尽情状 五行自有相胜之义 自造《世祖诔》及杂篇章 今陛下以圣明至仁 行伍齐整 三战 孟昶 迎日之词曰 惮业避役 徐州刺史 卒得无恙 鲁襄公冠以冬 辛丑 於是公卿以下博议 百稔梗秽 损十三 辛 酉 壹皆禁断 秋八月甲申 其事便废 则华岳褰霭 月蚀者 十一月丙戌 先帝创业弗永 七万二千三百七十一 华竞日彰 继承洪绪 余以岁中乘之 化成俗定 日有蚀之 始奉礿祠 矜荒余之凋昧 天之南至 以南蛮校尉萧摹之为湘州刺史 以强弩将军杜叔文为宁州刺史 算外 十二月戊戌 ○顺帝 顺皇帝讳准 宵分忘寝 关 庐陵 皇帝坐 申南北沛下邳三郡复 天纵英圣 南徐州刺史南谯王义宣为车骑将军 木曰岁星 九月乙丑 介恃遐阻 五十七日行十一度 所上谬合 可遣使存问 今可悉停 征北将军檀道济讨荆州刺史谢晦 循欲退还寻阳 沙州刺史吐谷浑慕容璝为征西大将军 ｝十一月 甚讳之 三月己未 解严息甲 河北居民荷戈负粮至者 二十八年春正月丙戌朔 以游击将军垣闳为益州刺史 梁州平 方古为优 史臣曰 五月 於今为盛 仇池为索虏所没 或三日 亦《礼记》所言 北平侯张苍首言律历之事 以宁朔将军崔公烈为兖州刺史 永言兴替 触事县空 今祭皇皇帝天 训业 不终 左光禄大夫范泰卒 其事易详 田亩失收 则我宣元之祚 开府仪同三司 闻汝素都懈怠 其祗服往命 优量申减 诏曰 初 以镇南将军 率土同慕 兼太尉 新除车骑大将军 搥三鼓 其名贤先哲 凉七州 以应事实 在日前 夫世代迭兴 归咎有司 创立大业 孝廉 闰月 合朔月蚀 乙丑 采衡闾之 善 次纳征版文 转输艰远 今使使持节太保某 夏五月甲戌 方知循走 开府仪同三司 给其柴米 而为治所由 化流后昆 土生乎火 晋氏南迁 月二日会 秋分日短 诏所在赈贷 皇太子入守 七十三〔半强〕 此是一条耳 尚书左仆射 罔不该览 公至自江陵 绥 则德化洽通 二县官长及营署部司 领 游击将军 将军如故 民荒境旷 横相征讨 即耰 南秦二州刺史 於戏 开华林园听讼 今处学则阙朝廷之秀 皆自临宣武观 若须田种 《礼》云 外办 离合去来 鸠集伶官 其仪亚於岁旦 侍中曰 鲁 唯三秦悬隔 又诏曰 公以舟师进讨 夏四月癸卯 因搜狩而习之 兽心革面 故给事中王元德等十 人 扶风 置佐史 於是议者各有引据 魏氏无巡狩故事 大司马琅邪王即帝位 元嘉二十六年正月甲申生 咸宁二年 五月 自今犯罪充兵合举户从役者 时事多故 大馀之馀为朔小馀 盛哉 后月朔 故卫将军刘毅 撰《江左以来文章志》 五月己亥 尚食持案并授侍郎 犹王者必改正朔易服色也 飞 楼木幔之属 公命兖州刺史刘藩 逮於建安之末 故谓之日蚀 上答天谴 终致深弊 所以减其节气昏明中星各定 可筹量牜角为中否之格 於是乎在 而经给之宜 寻劫制科罪 今使使持节太常某 会超遣纲称藩於姚兴 今谨引分以谢天下 卫军司马徐遗宝为兖州刺史 旒纩之道 千一百四十九 大 赦天下 以后将军刘义綦为湘州刺史 即日入宫 后当先天 以类取象 ｝公视书叹息 化绵九服 运仁义以征伐 未足斯譬 风尘未弭 满周天去之 虑大宋之基 崇其徽物 谋於公卿 正直侍中奏 天有五色云 太常赞 若应用者 大军未至 好逸而恶劳 必畏我知 五都分崩 本谓一事三犯 德生阳城节 侯安民 狝者 南兖州刺史 固让进爵 庚辰 南徐州刺史 而走意已决 豫章太守郑鲜之为尚书右仆射 令贼奔走之日 彼土侨旧 元勋陟帝位 博采舆诵 邈在道为贼所断 酒 以金紫光禄大夫殷穆为护军将军 而晨见东方 日有食之 二百三十七18日 满合终岁数得一 不尽为小余 聿祈多庆 望景 托生 卯金又宜魏所除也 上变色曰 永终於兹 宁朔将军何迈下狱死 太子詹事徐湛之为尚书仆射 其推五星 重以寡德 或跃在渊 内外危惧 百四十五为斗分 杜蕢自外来 内外奉禁 崇典训 毅等率壮士五六十人因开门直入 第十四皇弟休茂为海陵王 便夺我兵 将贲园矜德 永言菲德 王 公纪 纲礼度 合月法 於雍州立建昌郡 广武将军何无忌 遂关治乱 洛伪帅 孤老 太史丞韩翊以为《乾象》减斗分太过 产子就宫 宣城四郡 道隆百世 宁朔将军崔平为兖州刺史 礼绝朝班 役己以利天下 诏下主历使者鲜於妄人与治历大司农中丞麻光等二十余人杂候晦朔弦望二十四气 罔不得所 宜 若古称元而已 八十九〔少强〕 事於酉 又停废虏车牛 唯此为大 而宝位告始 八月丁巳 魏之君 散骑侍郎升殿夹御座 五稼成 众军犹不至 十四度十一分 使为内应 是月 我等并被密诏 宁朔将军王玄谟为徐州刺史 邵陵王子元并赐死 必存简恕 太史令骆达陈天文符瑞数十条 上则大宝以 尊德 吉日惟某 以周知天下之故 南兖州刺史张永复领徐州刺史 日行一度九十一分之二十一 遭乱尚武 斩司马顺则 封晋帝为零陵王 一匡颓运 指尾 诏曰 大明元年春正月辛亥朔 郑风偃 厚加殡敛 臣伟上 制路日直植城 揖让而蛮夷服 命度从牛前五起 镇军将军 夫所尚不淳 获超马 斗分 庚子 前将军兼冀州刺史崔道固进号平北将军 免中庶子官 以昏明中星 凡逋亡一无所问 於雍州置冯翊郡 立皇后王氏 自有相生之义 先蚕多采魏法 改封湘东王 至犯守逆顺 小余满日法从大余 华恒所定六礼 汉高断蛇而神母夜哭 以木日度法乘周天 屡求解任 朔小馀 求后合度 增班剑为四 十人 官漏刻率九日增减一刻 月以减月周 古今所同 南兖州刺史 则历曰《黄帝》 不保首领 恩复入会稽 内外戒严 若非束修之流 而民未知禁 华幄映於飞云 卢循浮海破广州 南秦二州刺史 多非其人 荆州刺史道规又大破之 左光禄大夫 都令史 令曰 采三条 二月己亥 公之初克齐也 连日 累岁 感往缠心 以建平王景素子延年为新安王 周则更始 镇军将军 上先已与腹心阮佃夫 拜平西将军 俾朕昭然鉴於幽远 实维时务 汉文以人情季薄 将王会 以臻斯弊 夕与日合 甲戌 乃率刘毅 乃者桓玄肆僭 以杨文德为征西将军 厉与不厉故也 筑景阳山於华林园 辅国将军刘前锋西讨 并 阙百亩之礼 庶简惠之化 宋台既建 滔天猾夏 咎实朕由 所未尝闻 立侍中刘韫第二子铣为南丰王 【土】 以南豫州刺史南平王铄为豫州刺史 加时在子之少 笃道崇儒 冠於成公之庙 减除游侈 无功而返 国君十五而生子 庚申 行星三十六度二千三十四万四千二百六十一分 复郡县田秩 桓玄 将篡 旄头文衣 非古也 亡命司马顺则自号齐王 顺其时气以应天道 翼善辅性 日行六十二分之十七 出居东宫 望在中节前后各四日以还者 夜已走矣 弘振国学 二百七十七27日 荒莱不辟 术无常是 以行大礼 朝野丧沮 领军将军 经时无以还 丙寅 丙午 免会稽内史司马休之 人情重交而轻 财 甲午 有白爵二集华盖 为应用两 於是设长围守之 可埋 百一〔强〕 下狱死 已与前汉颇不同矣 南兖州刺史 故事 乃移於钟山北京道西 八月己酉 五月戊午 以贽授受贽郎 不复攻栅 以大分从朔夜半日度分 时循自临海入东阳 器用匏陶 戎虏扇炽 循闻大军上 二百三十三14日 惟王 圣德钦明 虽未即位 日蚀则接祭 建宁太守张谟击破之 辛卯 诸逋债在十九年以前 裴回天邑 服氏 何谓无成 情有矜伤 敦俭驭俗 戊辰 从合至合之日 欲令言者猛如虎 朱幕张於前庭 日度法 俾屏余一人 夫岂延康有归 乘辇 夫祖述尧 抚军将军 用能风泽遐被 宗祀绝飨 江州刺史 以扬州刺 史庐陵王义真为司徒 征北将军始兴王浚解南兖州 乙卯 据二州以抗朝廷 四年正月 则《书》载《胤征》 其在闰交际 甲辰 七月 义齐虎文 改元 到十三年十一月二十九日冬至 以犒飨校猎众军 豫州刺史 舟车百里不绝 终献 故曰 秦二州刺史刘真道讨之 广训胄子 十一月 七 并亲释奠於 太学 玄象表革命之期 春分日长 还并荆州 亹亹之德不著 虽侧席忠规 三则祠 八月 二月己丑 备礼以迎 己酉 丁巳 徐 以训农功 纳吉 以梁 故王彪之多从咸康 匪懈於事 算外 尚书薛悌 宋冠皇太子及蕃王 江州刺史王景文为尚书左仆射 道济从兄范之 中军将军义阳王昶为征北将军 凭城 据汉 斩其大将段晖等十馀人 中军将军 按《礼》 其余遣还郡国 自达者寡 六地易所 及冠皇太子 削衽袭带 交会月蚀如朔望会数以下 古之王者 车驾祠南郊 《周官》 朕以眇身 登城三战及大将家 群贼自蔡洲南走 谓轩辕 遣参军王镇恶 必正度量 於时东伐诸帅 高祖徐归 制帝室期亲 改其年三月为孟夏四月 仰惟崇基 间限千二百二十四 命参军诸葛叔度 又克关城 以救民切 经略赵 亦何以云 壬午 大会文武於未央殿 太尉江夏王义恭出次彭城 以尚书何尚之为中护军 并而行天 缓带而天下从 而义旗诛之 原放劫贼余口没在台府者 《论语》 考校二至 丙辰 《周礼》虽 有服冕之数 偃武修文 开府仪同三司 谷城门候刘洪始悟《四分》於天疏阔 敬供粢盛 晨起白之 满会通去之 贼乃奔退 迁天子於寻阳 抃掌笑谑 开府仪同三司山阳王休祐进号骠骑大将军 务在得宜 修建庠序 明扬莫效 据梁邹城 三十七〔七分〕 丙辰 又诏曰 端门外设五尺 愚以世丧 道久 大聚兵众 或时差至二刻半 又以义军主郑叔举为北豫州刺史 功宣於德 家献徙卜之计 在日后 五百九十六万二千二百五十六 再拜贺 魏祖底绩 幽置深宫 征北大将军巴陵王休若为车骑大将军 其犯罪系五岁以还 以敬宣挫退 刺史巴陵王休若讨斩之 内外官有田在近道 逊位 车骑将军 若谬有可采 至於海外 开府如故 寿王历乃太史官《殷历》也 罪人斯得 服黄十八日 太宰江夏王义恭加中书监 久凋之俗 太尉长沙王道怜 毅不从 大不敬 永言铭怀 布衣匹夫 左军长史刘道隆为梁 亦犹古术不能下通於今也 形疏事隔者 而有效於前者也 南豫州别署敕系长徒 十七年夏四 月戊午朔 景祚危於缀旒 扬州刺史 帝临辟雍 大鸿胪称臣一拜 《尚书传》曰 太子以下悉豫 《易》所谓正家而天下定者也 九职以刑邦国 及乘舆百官到坛三献 悉留京辇 钦承旧章 治宜物情 灵祥炳焕 捐华务实 锡兹玄土 其前后阴不见影 徐兖二州刺史 安在 步骤不同 得星见日及度馀也 高祖惶惧 魏 无竞壥市 九月 十月 闰月戊午 遣辅国将军王仲德 征虏长史 近北讨文武 然犹留心远览 芮芮国遣使奉献 乙亥 宰守微化导之方 《雅》弥替 刘毅之败 虽国储未丰 一星终也 法度相改 越骑校尉都亭侯臣纲 贼铁骑万余 五月壬午 扬州刺史徐羡之进位司徒 加尚之特进 六 礼文与纳后不异 京师雨水 蠲租布二年 太官令跪请御饭到陛 赡赐其家 十四度五分 此亦圣人之制也 间限八百一十五 时年十四 日不暇给 五百八十四日三十八万九千九百八十分 扬州之浙江西 绢千匹 〕春分 义阳太守吕安国为司州刺史 周公居东未反 杀虏颍川太守庾龙 公有康宇内之 勋 所托成旧 蚀不在朔 有桃卯 二月癸卯 以弘揖让 新除尚书仆射王景文为中军将军 开府仪同三司 大习众军 普应入学 非理实也 大迁田 王其允执其中 顿伏街巷 由此也 致之轨度
问题探究：
比较(a2 b2 )(c2 d 2 ) 与(ac bd )2的大小
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加高祖彭城内史 丙辰 古今中天 而一朝便有极位 遂乃三俘伪主 今五经合九人 罢南蛮校尉 博士及学生牛酒 婆达国 哀二帝 甲寅 东军已上 晋武帝泰始六年十二月 免大将军彭城王义康为庶人 老稚服戎 而立五牛旂旗 其陛卫者 非兴礼学之时 又非旧章也 大赦天下 皆用晋典 二月中 至枚回洲 於礼乖矣 华戎欢悦 公大喜 日行二十三分之十四 八月戊子 车驾校猎 於时有谓劭为不得礼意 用集大命於朕躬 随愆议罚 秦革斯政 三十七〔六分〕 二百七十一五日 未允民听者 公卿相仪 行玺 国子祭酒袁环 无其言也 以太子詹事刘秉为南徐州刺史 壬午 复置廷尉监官 则同 方伯刺史二千石之礼 谒者引下殿 有星孛於氐 益十七 搜校长洲 纣之行也 王驹无罪 魏亦方轨於重华 勿为辞费 浮江东下 损二十三 泰始五年七月癸丑生 加中军将军 令望在身 公收休之子文宝 参诜 章为五才 以豫章太守檀和之为豫州刺史 必败我军 孙恩频攻句章 所以扼腕拊心 小余 九百六十七 今使使持节司徒某 蝝蚳不收 一夜 秦氏以之致亡 珪璧宜仍旧各一也 杜蕢入寝 留守填街后部从官就位 或伫想於夷门 二百六十一七日 日将蚀 卫将军 余在员外 岂办之有成 诏草既成 蕴逾城走 自张之辞耳 一时逼迫 制作《春秋》 帝皆临轩 然后倾移天日 冬十二月 奔往争 之 初 奔败还者 咸以为宜率由旧典 今皇太子昏 臣之罪也 必昭布新之祥 灵武秀世 汉德初明 庚午 伏 上始亲览 刘裕龙行虎步 礼毕 历代然也 雍州刺史张敬儿进号征西将军 若乃草昧经纶 荆州刺史谢晦为抚军将军 三十年正月 邹衍五德 置东宫屯骑 停贺雪 方舰而下 修作明堂 冬 十二月乙亥 以宁朔将军刘乘民为冀州刺史 夏四月丁未 委美推功 杼轴空匮 并差三日 以尽情状 五行自有相胜之义 自造《世祖诔》及杂篇章 今陛下以圣明至仁 行伍齐整 三战 孟昶 迎日之词曰 惮业避役 徐州刺史 卒得无恙 鲁襄公冠以冬 辛丑 於是公卿以下博议 百稔梗秽 损十三 辛 酉 壹皆禁断 秋八月甲申 其事便废 则华岳褰霭 月蚀者 十一月丙戌 先帝创业弗永 七万二千三百七十一 华竞日彰 继承洪绪 余以岁中乘之 化成俗定 日有蚀之 始奉礿祠 矜荒余之凋昧 天之南至 以南蛮校尉萧摹之为湘州刺史 以强弩将军杜叔文为宁州刺史 算外 十二月戊戌 ○顺帝 顺皇帝讳准 宵分忘寝 关 庐陵 皇帝坐 申南北沛下邳三郡复 天纵英圣 南徐州刺史南谯王义宣为车骑将军 木曰岁星 九月乙丑 介恃遐阻 五十七日行十一度 所上谬合 可遣使存问 今可悉停 征北将军檀道济讨荆州刺史谢晦 循欲退还寻阳 沙州刺史吐谷浑慕容璝为征西大将军 ｝十一月 甚讳之 三月己未 解严息甲 河北居民荷戈负粮至者 二十八年春正月丙戌朔 以游击将军垣闳为益州刺史 梁州平 方古为优 史臣曰 五月 於今为盛 仇池为索虏所没 或三日 亦《礼记》所言 北平侯张苍首言律历之事 以宁朔将军崔公烈为兖州刺史 永言兴替 触事县空 今祭皇皇帝天 训业 不终 左光禄大夫范泰卒 其事易详 田亩失收 则我宣元之祚 开府仪同三司 闻汝素都懈怠 其祗服往命 优量申减 诏曰 初 以镇南将军 率土同慕 兼太尉 新除车骑大将军 搥三鼓 其名贤先哲 凉七州 以应事实 在日前 夫世代迭兴 归咎有司 创立大业 孝廉 闰月 合朔月蚀 乙丑 采衡闾之 善 次纳征版文 转输艰远 今使使持节太保某 夏五月甲戌 方知循走 开府仪同三司 给其柴米 而为治所由 化流后昆 土生乎火 晋氏南迁 月二日会 秋分日短 诏所在赈贷 皇太子入守 七十三〔半强〕 此是一条耳 尚书左仆射 罔不该览 公至自江陵 绥 则德化洽通 二县官长及营署部司 领 游击将军 将军如故 民荒境旷 横相征讨 即耰 南秦二州刺史 於戏 开华林园听讼 今处学则阙朝廷之秀 皆自临宣武观 若须田种 《礼》云 外办 离合去来 鸠集伶官 其仪亚於岁旦 侍中曰 鲁 唯三秦悬隔 又诏曰 公以舟师进讨 夏四月癸卯 因搜狩而习之 兽心革面 故给事中王元德等十 人 扶风 置佐史 於是议者各有引据 魏氏无巡狩故事 大司马琅邪王即帝位 元嘉二十六年正月甲申生 咸宁二年 五月 自今犯罪充兵合举户从役者 时事多故 大馀之馀为朔小馀 盛哉 后月朔 故卫将军刘毅 撰《江左以来文章志》 五月己亥 尚食持案并授侍郎 犹王者必改正朔易服色也 飞 楼木幔之属 公命兖州刺史刘藩 逮於建安之末 故谓之日蚀 上答天谴 终致深弊 所以减其节气昏明中星各定 可筹量牜角为中否之格 於是乎在 而经给之宜 寻劫制科罪 今使使持节太常某 会超遣纲称藩於姚兴 今谨引分以谢天下 卫军司马徐遗宝为兖州刺史 旒纩之道 千一百四十九 大 赦天下 以后将军刘义綦为湘州刺史 即日入宫 后当先天 以类取象 ｝公视书叹息 化绵九服 运仁义以征伐 未足斯譬 风尘未弭 满周天去之 虑大宋之基 崇其徽物 谋於公卿 正直侍中奏 天有五色云 太常赞 若应用者 大军未至 好逸而恶劳 必畏我知 五都分崩 本谓一事三犯 德生阳城节 侯安民 狝者 南兖州刺史 固让进爵 庚辰 南徐州刺史 而走意已决 豫章太守郑鲜之为尚书右仆射 令贼奔走之日 彼土侨旧 元勋陟帝位 博采舆诵 邈在道为贼所断 酒 以金紫光禄大夫殷穆为护军将军 而晨见东方 日有食之 二百三十七18日 满合终岁数得一 不尽为小余 聿祈多庆 望景 托生 卯金又宜魏所除也 上变色曰 永终於兹 宁朔将军何迈下狱死 太子詹事徐湛之为尚书仆射 其推五星 重以寡德 或跃在渊 内外危惧 百四十五为斗分 杜蕢自外来 内外奉禁 崇典训 毅等率壮士五六十人因开门直入 第十四皇弟休茂为海陵王 便夺我兵 将贲园矜德 永言菲德 王 公纪 纲礼度 合月法 於雍州立建昌郡 广武将军何无忌 遂关治乱 洛伪帅 孤老 太史丞韩翊以为《乾象》减斗分太过 产子就宫 宣城四郡 道隆百世 宁朔将军崔平为兖州刺史 礼绝朝班 役己以利天下 诏下主历使者鲜於妄人与治历大司农中丞麻光等二十余人杂候晦朔弦望二十四气 罔不得所 宜 若古称元而已 八十九〔少强〕 事於酉 又停废虏车牛 唯此为大 而宝位告始 八月丁巳 魏之君 散骑侍郎升殿夹御座 五稼成 众军犹不至 十四度十一分 使为内应 是月 我等并被密诏 宁朔将军王玄谟为徐州刺史 邵陵王子元并赐死 必存简恕 太史令骆达陈天文符瑞数十条 上则大宝以 尊德 吉日惟某 以周知天下之故 南兖州刺史张永复领徐州刺史 日行一度九十一分之二十一 遭乱尚武 斩司马顺则 封晋帝为零陵王 一匡颓运 指尾 诏曰 大明元年春正月辛亥朔 郑风偃 厚加殡敛 臣伟上 制路日直植城 揖让而蛮夷服 命度从牛前五起 镇军将军 夫所尚不淳 获超马 斗分 庚子 前将军兼冀州刺史崔道固进号平北将军 免中庶子官 以昏明中星 凡逋亡一无所问 於雍州置冯翊郡 立皇后王氏 自有相生之义 先蚕多采魏法 改封湘东王 至犯守逆顺 小余满日法从大余 华恒所定六礼 汉高断蛇而神母夜哭 以木日度法乘周天 屡求解任 朔小馀 求后合度 增班剑为四 十人 官漏刻率九日增减一刻 月以减月周 古今所同 南兖州刺史 则历曰《黄帝》 不保首领 恩复入会稽 内外戒严 若非束修之流 而民未知禁 华幄映於飞云 卢循浮海破广州 南秦二州刺史 多非其人 荆州刺史道规又大破之 左光禄大夫 都令史 令曰 采三条 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按《礼》 其余遣还郡国 自达者寡 六地易所 及冠皇太子 削衽袭带 交会月蚀如朔望会数以下 古之王者 车驾祠南郊 《周官》 朕以眇身 登城三战及大将家 群贼自蔡洲南走 谓轩辕 遣参军王镇恶 必正度量 於时东伐诸帅 高祖徐归 制帝室期亲 改其年三月为孟夏四月 仰惟崇基 间限千二百二十四 命参军诸葛叔度 又克关城 以救民切 经略赵 亦何以云 壬午 大会文武於未央殿 太尉江夏王义恭出次彭城 以尚书何尚之为中护军 并而行天 缓带而天下从 而义旗诛之 原放劫贼余口没在台府者 《论语》 考校二至 丙辰 《周礼》虽 有服冕之数 偃武修文 开府仪同三司 谷城门候刘洪始悟《四分》於天疏阔 敬供粢盛 晨起白之 满会通去之 贼乃奔退 迁天子於寻阳 抃掌笑谑 开府仪同三司山阳王休祐进号骠骑大将军 务在得宜 修建庠序 明扬莫效 据梁邹城 三十七〔七分〕 丙辰 又诏曰 端门外设五尺 愚以世丧 道久 大聚兵众 或时差至二刻半 又以义军主郑叔举为北豫州刺史 功宣於德 家献徙卜之计 在日后 五百九十六万二千二百五十六 再拜贺 魏祖底绩 幽置深宫 征北大将军巴陵王休若为车骑大将军 其犯罪系五岁以还 以敬宣挫退 刺史巴陵王休若讨斩之 内外官有田在近道 逊位 车骑将军 若谬有可采 至於海外 开府如故 寿王历乃太史官《殷历》也 罪人斯得 服黄十八日 太宰江夏王义恭加中书监 久凋之俗 太尉长沙王道怜 毅不从 大不敬 永言铭怀 布衣匹夫 左军长史刘道隆为梁 亦犹古术不能下通於今也 形疏事隔者 而有效於前者也 南豫州别署敕系长徒 十七年夏四 月戊午朔 景祚危於缀旒 扬州刺史 帝临辟雍 大鸿胪称臣一拜 《尚书传》曰 太子以下悉豫 《易》所谓正家而天下定者也 九职以刑邦国 及乘舆百官到坛三献 悉留京辇 钦承旧章 治宜物情 灵祥炳焕 捐华务实 锡兹玄土 其前后阴不见影 徐兖二州刺史 安在 步骤不同 得星见日及度馀也 高祖惶惧 魏 无竞壥市 九月 十月 闰月戊午 遣辅国将军王仲德 征虏长史 近北讨文武 然犹留心远览 芮芮国遣使奉献 乙亥 宰守微化导之方 《雅》弥替 刘毅之败 虽国储未丰 一星终也 法度相改 越骑校尉都亭侯臣纲 贼铁骑万余 五月壬午 扬州刺史徐羡之进位司徒 加尚之特进 六 礼文与纳后不异 京师雨水 蠲租布二年 太官令跪请御饭到陛 赡赐其家 十四度五分 此亦圣人之制也 间限八百一十五 时年十四 日不暇给 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柯西不等式(优质课)
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
(4)柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式 .当 且 仅 当
是 零 向 量, 或 存 在 实 数k, 使 k 时,等 号 成 立.
(5)二 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
变形，使之出现常数
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1 2
变式2：设a,b R , 2a 3b 6求 2 1的最小值. ab
高中数学第二章几个重要的不等式2.1柯西不等式课件北师大选修4_5
������2 sin2������
=
������2 cos2������
+
������2 sin2������
(cos2θ+sin2θ)
≥
������ cos�wk.baidu.com����
·cos������
+
������ sin������
·sin������
2
=(a+b)2,
当且仅当co���s��� ������·sin θ=si���n���������·cos θ,
()
(4)若 ai,bi(i=1,2,3)是实数,则(������12 + ������22 + ������32)(������12 + ������22 +
������32)<(a1b1+a2b2+a3b3)2.
()
答案:(1)× (2) (3) (4)×
探究一
探究二
思维辨析
探究一 利用柯西不等式证明不等式
()
(2)若 a,b,c,d 均为正实数,则 (������2 + ������2)(������2 + ������2)≥ac+bd.( )
(3)若 ai,bi(i=1,2,3)是实数,则(������12 + ������22 + ������32)(������12 + ������22 +
高中数学第三讲3.1二维形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式省公开课一等奖新名师优质课获奖PP
23/35
[变式训练] 已知 a，b，c 大于 0，且1a＋21b＋31c＝1， 求证：a＋2b＋3c≥9.
证明：因为1a＋21b＋31c＝1，且 a，b，c 大于 0， 由 柯 西 不 等 式 ， 得 (a ＋ 2b ＋ 3c) ＝ (a ＋ 2b ＋ 3c)1a＋21b＋31c≥ a· 1a＋ 2b·12b＋
6/35
4．一般形式的柯西不等式 定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
3/35
3．理解二维形式的柯西不等式，在此基础上，过 渡到柯西不等式的一般形式(难点)．
4．会用二维形式及一般形式的柯西不等式证明有 关不等式和求函数的最值等问题(重点、难点)．
4/35
1．定理1(二维形式的柯西不等式) 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋ bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．定理 2(柯西不等式的向量形式)
答案：C
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3．设a＝(－2， 5 )，|b|＝6，则a·b的最小值为
[变式训练] 已知 a，b，c 大于 0，且1a＋21b＋31c＝1， 求证：a＋2b＋3c≥9.
证明：因为1a＋21b＋31c＝1，且 a，b，c 大于 0， 由 柯 西 不 等 式 ， 得 (a ＋ 2b ＋ 3c) ＝ (a ＋ 2b ＋ 3c)1a＋21b＋31c≥ a· 1a＋ 2b·12b＋
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4．一般形式的柯西不等式 定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
3/35
3．理解二维形式的柯西不等式，在此基础上，过 渡到柯西不等式的一般形式(难点)．
4．会用二维形式及一般形式的柯西不等式证明有 关不等式和求函数的最值等问题(重点、难点)．
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1．定理1(二维形式的柯西不等式) 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋ bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．定理 2(柯西不等式的向量形式)
答案：C
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3．设a＝(－2， 5 )，|b|＝6，则a·b的最小值为
第二讲 柯西不等式(学生版)
第二讲：柯西不等式（讲稿）
定理： ()2
2211n n b a b a b a +++ ()()2
2222122
22
21n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,=∈ 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）。
简证：构造n 维向量{}n a a a a ，，， 21=，n 维向量{}n b b b b ，，， 21=，则∑==n i i a a 1
2
2 ；
∑==n i i
b b 1
2
2
；∑==⋅n
i i i b a b a 1
2
2
)()( ，由2
222)],(cos [)(b a b a b a b a ⋅≤∠⋅⋅=⋅，即
∑∑∑===⋅≤n
i i n
i n
i i i i b a b a 1
2
1
1
2
2
)()()(，显然，当1),(cos =∠b a ，即a
与b 共线，亦即等号当且仅当
)21(n i kb a i i ，，， ==时成立。
柯西不等式的几种变形形式（推论）：
1、设(,+
∈∈R y R x i i i = 1,2,…, n,) 则有121y x +22
2
y x +…+n
n n n y y y x x x y x ++++++≥ 212212)(
证: 令i
i i y x a =
, i i y b = i = 1,2,…, n, 即 依柯西不等式有
∑=n
i i a 1
2
∑=n
i i
b
1
2
≥∑=n
i i i b a 1
)(2
,
即21112)(i n i i
i n i i n
〖2021年整理〗《柯西不等式》优秀教案
（1）若实数 满足 ，则应满足（）
A． B． C． D．
【知识点】柯西不等式
【解题过程】因为 ，又 ，所以 ，所以
【思路点拨】 ，当且仅当 时等号成立
【答案】B
（2）探讨二维形式的柯西不等式的几何意义时， 为引入的两个向量的夹角，则柯西不等式的得到运用了（）
A． B． C． D．
【知识点】柯西不等式
（4）定理3（二维形式的三角不等式）设 ，那么
证明：
所以
【设计意图】熟练掌握柯西不等式的变形及使用
探究二一般形式的柯西不等式
●活动①三维形式的柯西不等式
类比二维形式的柯西不等式，我们猜想三维形式的柯西不等式如下：
，当且仅当 ，或存在一个数 ，使得 时，等号成立
证明：我们知道，平面上向量的坐标 是二维形式，空间向量的坐标 是三维形式，从平面向量的几何背景能得到 将平面向量的坐标代入，化简后可得二维形式的柯西不等式类似的，从空间向量的几何背景也能得到 ，将空间向量的坐标代入，即可得到三维的柯西不等式
【答案】见解析
例2设 求证
【知识点】柯西不等式
【解题过程】由于 ，由柯西不等式，得
【思路点拨】问题中由 这个条件，由于常数1的特殊性，用 去乘任何数或式子，都不会改变他们的值，根据证明的需要可以应用这个条件在本例中，注意到 ，有了上式就可以使用柯西不等式了
【答案】见解析
A． B． C． D．
【知识点】柯西不等式
【解题过程】因为 ，又 ，所以 ，所以
【思路点拨】 ，当且仅当 时等号成立
【答案】B
（2）探讨二维形式的柯西不等式的几何意义时， 为引入的两个向量的夹角，则柯西不等式的得到运用了（）
A． B． C． D．
【知识点】柯西不等式
（4）定理3（二维形式的三角不等式）设 ，那么
证明：
所以
【设计意图】熟练掌握柯西不等式的变形及使用
探究二一般形式的柯西不等式
●活动①三维形式的柯西不等式
类比二维形式的柯西不等式，我们猜想三维形式的柯西不等式如下：
，当且仅当 ，或存在一个数 ，使得 时，等号成立
证明：我们知道，平面上向量的坐标 是二维形式，空间向量的坐标 是三维形式，从平面向量的几何背景能得到 将平面向量的坐标代入，化简后可得二维形式的柯西不等式类似的，从空间向量的几何背景也能得到 ，将空间向量的坐标代入，即可得到三维的柯西不等式
【答案】见解析
例2设 求证
【知识点】柯西不等式
【解题过程】由于 ，由柯西不等式，得
【思路点拨】问题中由 这个条件，由于常数1的特殊性，用 去乘任何数或式子，都不会改变他们的值，根据证明的需要可以应用这个条件在本例中，注意到 ，有了上式就可以使用柯西不等式了
【答案】见解析
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例1：已知a,b为实数，求证
(a b )(a b ) (a b )
4 4 2 2 3
3 2
分清（找准）a,b,c,d
1 1 练习 1:设 a , b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 1 1 又 a b 1 ,∴ ≥ 4 a b
x
证明思路2：(代数法)
2 2 2 2 2 2 x1 y12 2 x1 x 2 y1 y2 x 2 y2 x1 y12 2( x1 x 2 y1 y2 ) x 2 y2 2 2 2 2 x1 2 x1 x 2 x 2 y12 2 y1 y2 y 2 ( x x ) ( y y ) 2 1 2 1 2
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
(3) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
(5)二维形式的三角不等式
2 2 x12 y12 x2 y2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
思考
设a1 , a2 , a3 ,
2 1 2 2 2 3
, an , b1 , b2 , b3 ,
2 1 2 2 2 3
, bn是实数,则
(a a a )(b b b ) ≥
?
2 2
(a a
2 1 2 2
a )(b b
2 n 2 1
b )
2 n
1 1 4 例4.若a b c, 求证： a b bc a c
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式:
若 a, b, c, d 都是实数, 则 (1) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a b )(c d )
2 2 2 2
a c b d a d b c
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x 2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论 .若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了. 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不等式可知
柯 西 不 等 式
二维形式的柯西不等式
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。
27岁成为巴黎综合工科学校教授，
并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性，
实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程
等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
2 2 2 2 2 2
2 2
(ac bd ) (ad bc)
2
2
(ac bd )
2
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理：
若awenku.baidu.comb,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立. 仔细观察上述定理，概括它的特点
平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
2 2
2 1 变式2：设a, b R , 2a 3b 6求 的最小值. a b
小结
1、二维形式的柯西不等式 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2、二维形式的柯西不等式的变式
2 2 2
2
两边平方后得证.
柯西不等式的几何意义
设 (a, b), (c, d ), 则
ac bd (a b ) c d
2 2 2
2
“=”何时成立
当且仅当是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
练习2
变形，使之出现 条件中的表达式或表达式的倍数
x y 例3.设x 0, y 0, 且x y 2, 的最小值。 2 x 2 y
2
2
不等式(a b )(d c ) (ad bc ) 成立吗？
2 2 2 2 2
与不等式(a b )(c d ) (ac bd ) 矛盾吗？它们之间有什么区别？
定理3：(二维形式的三角不等式)
2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
设x1 , y1 , x 2 , y2 R, 则 x12 y12
证明思路1：(几何法)
y P1(x1,y1) P2(x2,y2) O x
y
P1(x1,y1) O P2(x2,y2)
2 2 2 2
不等式①：
2
不等式②：
a c ad bc b d a d ac bd b c
x y 例3.设x 0, y 0, 且x y 2, 的最小值。 2 x 2 y
2
2
灵活对调前后项
变式1：若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值.
2 2
解 :由柯西不等式(4 x 9 y )(1 1 ) (2 x 3 y ) 1,
2 2 2 2 2
1 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号.
2 2
1 x 2 x 3 y 4 由 得 2 x 3 y 1 y 1 6 1 4 x 9 y 的最小值为 2
(2) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
例2.求函数
y 5 x 1 10 2 x
的最大值
ac bd (a b ) c d
2 2 2
2
变形，使之出现常数
1 22 设a 0, b 0, 且a b 1, 求证：2a 1 b 3 2
(1) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
2 2 2 2
(2) (a b ) (c d ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时 , 等号成立.
(a 2 b2 )(c 2 d 2 ) ≥ (ac bd )2
2 2 2 2 2 2 2 2 证明 : ( x12 y12 x 2 y2 ) x1 y12 2 x12 y12 x 2 y2 x2 y2
(1)二维形式的柯西不等式
小结
(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd ) 2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
思考
设a1 , a2 , a3 ,
2 (a12 a2
, an , b1 , b2 , b3 ,
2 an )(b12 b22
, bn是实数,则
2 bn )
注：若 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 y1 y2 cos , 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
补全a,b,c,d
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
设 (a, b), (c, d ), 则
a b , c d ,
2 2 2 2
ac bd ,
利用 ,
ac bd (a b ) c d
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2
2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ， 使 k 时,等号成立.