数学建模习题及答案课后习题
数学建模习题及答案
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐
部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
数学建模题目及答案
09级数模试题
1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）
解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：
（1）地面为连续曲面
（2）长方形桌的四条腿长度相同
（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的
（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角
坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D
的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也
与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的
夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确
定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ
唯一确定。由假设（1），()f θ,()g θ均为θ
的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：
已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
数学建模课后答案
第一章
4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。
答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换，0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题：
已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且，0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f
证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则，
由g f 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，
必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f
因为0)()(00=∙a g a f ，所以0)()(00==a g a f
8
第二章
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章
5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2)
数学建模习题集与答案解析课后习题集
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍。学生们
要组织一个10人得委员会,试用下列办法分配各宿舍得委员数:
(1)按比例分配取整数得名额后,剩下得名额按惯例分给小数部分较大者。
(2)2、1节中得Q值方法。
(3)d’Hondt方法:将A,B,C各宿舍得人数用正整数n=1,2,3,…相除,其商数如下表:
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线得数分别为2,3,5,这就就是3个宿舍分配得席位。您能解释这种方法得道理吗。
如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配得结果列表比较。
(4)您能提出其她得方法吗。用您得方法分配上面得名额。
2.在超市购物时您注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装得每支1、50元,120g装得3、00元,二者单位重量得价格比就是1、2:1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
(1)分析商品价格C与商品重量w得关系。价格由生产成本、包装成本与其她成本等决定,
这些成本中有得与重量w成正比,有得与表面积成正比,还有与w无关得因素。
(2)给出单位重量价格c与w得关系,画出它得简图,说明w越大c越小,但就是随着w得增加c减少得程度变小。解释实际意义就是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上得鱼放生,打算按照放生得鱼得重量给予奖励,俱乐部只
准备了一把软尺用于测量,请您设计按照测量得长度估计鱼得重量得方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼得如下数据(胸围指鱼身得最大周长):
数学建模题目及答案
09级数模试题
1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。〔15分〕解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可
能是否认的。
因此对这个问题我们假设：
〔1〕地面为连续曲面
〔2〕长方形桌的四条腿长度一样
〔3〕相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的
〔4〕方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条
件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中
心为坐标原点作直角坐标系如下图，方桌的
四条腿分别在A、B、C、D处，A、、D的
初始位置在及x轴平行，再假设有一条在x
轴上的线,那么也及A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线及x轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令()
gθ为
fθ为A、B离地距离之与，() C、D离地距离之与，它们的值由θ唯一确定。由假设〔1〕，()
gθ
fθ,()
均为θ的连续函数。又由假设〔3〕，三条腿总能同时着地， 故
()f θ()g θ=0必成立〔∀θ〕
。不妨设(0)0f =(0)0g >〔假设(0)g 也为0，那么初始时刻已四条腿着地，不必再旋转〕，于是问题归结为： ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
数学建模课后习题答案
第一章 课后习题6.
利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。
解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：
)()0(mg M x =
由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程
M x x dt
dx
=-=)0(,λ （1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程：
0)0(,=-=y y x dt
dy
μλ （2） 方程（1）可转换为：t
Me t x λ-=)(
带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ
λλ
----=
将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得：
t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t
针对孩子求解，得：
严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解：
严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987=
课后习题7.
对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
数学建模习题集及答案解析课后习题集
第一局部课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们
要组织一个10人的委员会，试用以下方法分配各宿舍的委员数：
〔1〕按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数局部较大者。
〔2〕2.1节中的Q值方法。
〔3〕d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
〔4〕你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品廉价这种现象了吗。比方洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
〔1〕分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产本钱、包装本钱和其他本钱等决定，这些本钱中有的与重量w成正比，有的与外表积成正比，还有与w无关的因素。
〔2〕给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应
多大〔如图〕。假设知道管道长度，需用多长布条〔可考虑两端的影响〕。如果管道是其他形状呢。
数学建模课程及答案
《数学建模课程》练习题一
一、填空题
1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 。
2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是
3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格
是 。
3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 。
4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 .
5.设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 .
6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：
（1）参加展览会的人数n ； （2）气温T 超过C
10； （3）冰淇淋的售价p .
由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .
7、若银行的年利率是x %，则需要 时间，存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的
8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走 km.. A
9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在0.1，t 时刻产品量为)(t x ，则)(t x = .
《数学建模》习题及参考答案 第一章 建立数学模型
第一章
部分习题
3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.
4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.
5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.
6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .
7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()
01t t r m
e
x t x --+=
，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.
8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.
9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
数学建模练习答案
1．第6题
第1题
解释：非线性模型
待数据拟合的函数模型关于某些待定参数是非线性的，就称为非线性模型。
第2题
解释：线性模型
待数据拟合的函数模型关于全体待定参数都是线性的，就称为线性模型。
第10题
解释：数学模型
数学模型（Mathematical Model）是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实量规律的数学公式、图形或算法.
第11题
词解释：一阶差分方程
第3题
在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距车距离，车速越快，刹车距离越长. 请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？
案：
6．第5题
7．第13题
8．第14题
9．第6题
10．第9题
根据按揭贷款的等额本息还款法的算法：
每月利息=本月剩余本金×贷款月利率
每月本金=本月剩余本金-下月剩余本金
每月月供额=每月本金+每月利息
建立数学模型，并推出已知本金总额和按揭年数时月供额的计算公式.
11．第12题
请详细阐述正比例函数模型进行最小二乘数据拟合的原理。
12．第15题
13．第17题
根据按揭贷款的等额本金还款法的算法：
每月还本付息金额=每月本金+每月利息
每月本金=本金总额/还款月数
每月利息=（本金总额–累计已还本金）×月利率建立数学模型，并推出已知本金总额和按揭年数时月供额的计算公式.
14．第4题
写出以下公式：按照最小二乘法，由样本数据计算一元线性回归模型的回归系数的点估计.
15．第7题
MATLAB规定分号有哪些用途？
命令之后加一个分号“;”，MATLAB只执行命令，不显示结果，这样可以屏蔽掉不需要的显示。创建数值数组时，两行之间以分号或回车换行隔开。
数学建模习题集与答案解析课后习题集
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学
生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方
法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只
准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
数学建模习题及答案课后习题说课讲解
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
数学建模答案--完整版
x3 , y x 4 这三条曲线的
注：
y x 2 用红色、圆圈表示；
y x 3 用蓝色、星号表示； y x 4 用绿色、叉号表示；
9
20
15
10
5
实
0
-5
验
-10 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
过
x t2 13、作曲线 y sin t 的 3 维图象. z t
验
15、求极限 lim
x 0
sin 2 x 1 cos x
过
>> syms x y >> y=sin(2^0.5*x)/sqrt(1-cos(x)); >> limit(y,x,0,‘right’) ans =
程
2
1 21x ( ) 16、求极限 lim x 0 3
>> syms x y >> y=(1/3)^(1/(2*x)); >> limit(y,x,0,'right') ans = 0 17、求极限 xlim
x2 2 x 1 21、求极限 xlim x 2 x 2
>> syms x y >> y=(x^2+2*x+1)/(x^2-x+2);
数学建模习题及答案课后习题
数学建模习题及答案课后习题
第⼀部分课后习题
1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在B宿舍，432
⼈住在C宿舍。学⽣们要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩数部分较⼤者。
（2）节中的Q值⽅法。
（3）d’Hondt⽅法：将A，B，C各宿舍的⼈数⽤正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C⾏有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种⽅法的道理吗。
如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法再分配名额。将3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。
（4）你能提出其他的⽅法吗。⽤你的⽅法分配上⾯的名额。
2.在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了
吗。⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的元，⼆者单位重量的价格⽐是：1。试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减少的程度变⼩。解释实际意义是什么。
3.⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将调上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重
量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测
量的长度估计鱼的重量的⽅法。假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的最⼤周长）：
《数学建模》习题及参考答案 第一章 建立数学模型
第一章
部分习题
3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.
4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.
5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.
6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .
7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()
01t t r m
e
x t x --+=
，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.
8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.
9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
数学建模习题及答案
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生
们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g
装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
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第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙
膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无
关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，
俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹
角 应多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，
使加工出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的
假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩
与体重之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。
第一部分 课后习题答案
1. 按照题目所给方法（1），（2），（3）的席位分配结果如下表：
2. （1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它
成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w ，s 均无关的成分。又因为形状一定时一般有3/2w s ∝，故商品的价格可表为
γβα++=3/2w w C （γβα,,为大于0的常数）。
（2）单位重量价格13/1--++==
w w w
C
c γβα，其简图如下： 显然c 是w 的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。 3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w
与身长l 的立方成正比，即31l k w =，1k 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用数据估计模型中的系数可得1k =0.014，2k =0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：
基本上满意。 4. 将管道展开如图：
可得απcos d w =，若d 一定，w 趋于0，α趋于π/2；w 趋于πd ，α趋于0。若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为πd l /w ，若考虑两端影响，则应加上πdw/sin α。对于其它形状管道，只需将πd 改为相应的周长即可。 5. 设圆盘半径为单位1，矩形板材长a ，宽b ；可以精确加工，即圆盘之间及圆
盘与板材之间均可相切。
方案一：圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为1N =[a/2][b/2] 方案二：圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m 满足2+（m-1）≤3a ，于是m=132+⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-a 图1 图2
列数（按图2第1行计数）n 满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。
圆盘总数为⎩⎨
⎧+--=)
2(2/12/)1]([)
1(2/)1]([2b m b m N
其中（1）为：m 为偶数。（2）为：m 为奇数，[b]为偶数。 两个方案的比较见下表(表中数字为1N /2N )：
a
当a，b较大时，方案二优于方案一。
其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。
6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内
热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是2l
w∝。
S∝，所以饲养食物量2l
7.假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积2l
s∝（l是某特征尺寸），体重3l
y∝。
w∝，于是3/2w
用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合αw
y∝，可得α=0.57，结果如下图4。
图3 图4
第二部分课后习题
1.Malthus模型预测的优缺点。
2.阻滞增长模型预测的优缺点。
3.简述动态模型和微分方程建模。
4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5.叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6.试比较连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型, 并
讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分课后习题答案
1.优点: 短期预报比较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增