【小初高学习】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.5.1-1.5.2

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【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.5定积分的概念

第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__，区间[a，
b] 叫做 __积__分__区__间___ ，函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ，x 叫做
__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积___式___．
讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h) 为 v(t)＝t2＋2，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间为1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)．
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′＝v(t)·n1＝v1＋i－n 1·n1＝n3＋2in－2 1＋i－n312，
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第一章导数及其应用
练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割．将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间为i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段 Δt ＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间内物体下落的距离，记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0，从而定积分af(x)dx<0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，
b
b
即af(x)dx<0＝－S 或 S＝－af(x)dx<0.
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第一章导数及其应用
2
(7)
0
4－x2dx 的几何意义是什么？
提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x2所

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章导数及其应用》知识点、考点、及其例题

第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。

高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2_2【含答案】

高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2-2 知识网络专题探究专题一导数的几何意义及其应用1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x)0)处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用，利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系，在求解参数问题中经常用到．【例1】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．提示：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率k ＝0|x x y ='＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3x 02＋4＝0. ∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0.∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， ∴x 0＝±2.∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.专题二利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ，e x，－x 3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f ′(x )的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．【例2】若a ≥－1，求函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)的单调区间．解：由已知得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝ax －1x ＋1(a ≥－1)， (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增．综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 上单调递减，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增．【例3】若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)内为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意当x ∈(1,4)时，f ′(x )＜0，当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )＞0. 故4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 因此a 的取值范围是[5,7]．专题三利用导数求函数的极值和最值1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根．(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号：若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值．若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．即导数为零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．【例4】(1)函数f (x )＝1x ＋2x 2＋1x 3，求y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12上的最值； (2)若a ＞0，求g (x )＝1x ＋2x 2＋ax3的极值点．解：(1)f ′(x )＝－(x ＋1)(x ＋3)x，令f ′(x )＞0，得－3＜x ＜－1，令f ′(x )＜0，得x ＜－3，或－1＜x ＜0，或x ＞0， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12时，x ，f ′(x )，f (x )的变化如下表：(2)g ′(x )＝－x 2＋4x ＋3ax 4，设u ＝x 2＋4x ＋3a ，Δ＝16－12a ，当a ≥43时，Δ≤0，即g ′(x )≤0，所以y ＝g (x )没有极值点．当0＜a ＜43时，x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a ＜0.∴g (x )的递减区间为(－∞，x 1)，(x 2,0)，递增区间为(x 1，x 2)． ∴有两个极值点x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a . 【例5】已知f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R .(1)若a ＝0，求函数y ＝f (x )在点(1，f (x ))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2－ln x ，所以f ′(x )＝2x －1x⇒f ′(1)＝1，f (1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x －y ＝0. (2)因为函数在[1,2]上是减函数，所以f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1,2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≤0，h (2)≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，得a ≤－72.(3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)．②当1a≥e 时，g ′(x )＜0在(0，e]上恒成立，所以g (x )在(0，e]上单调递减．g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．③当0＜1a ＜e 时，令g ′(x )＜0⇒0＜x ＜1a，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增．所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3. 专题四利用导数证明不等式从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f (x )＞g (x )，则构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证φ(x )＞0即可，由此转化成求φ(x )最小值问题，借助于导数解决．【例6】已知函数f (x )＝x 2ex －1－13x 3－x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解：(1)f ′(x )＝x (x ＋2)(ex －1－1)，由f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.当－2＜x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0；当x ＜－2或0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的，在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．(2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0，所以设h (x )＝ex －1－x .h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0得x ＝1，则当x ＜1时，h ′(x )＜0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减，因此当x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＞1时，h ′(x )＞0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0，故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．专题五导数的应用解决优化问题的步骤(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．【例7】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3＜x ＜6)．从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．专题六定积分的应用由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和．【例8】如图所示，求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)，故S ＝1⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋31⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝1⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋31⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝3222136x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231| ＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 专题七恒成立问题解决恒成立问题的方法(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )max ≤m . (2)若关于x 的不等式f (x )≥m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )min ≥m . (3)导数是解决函数f (x )的最大值或最小值问题的有力工具．【例9】已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .又当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x ∈(－∞，－3]，∴a ≥－3.(2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3，即mx ≤2x ·ln x ＋x 2＋3. 又x ＞0，∴m ≤2x ·ln x ＋x 2＋3x.令h (x )＝2x ·ln x ＋x 2＋3x，h ′(x )＝(2x ln x ＋x 2＋3)′·x －(2x ln x ＋x 2＋3)·x ′x2＝(2ln x ＋2＋2x )x －(2x ln x ＋x 2＋3)x2＝2x ＋x 2－3x2，令h ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3(舍)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )min ＝h (1)＝4，即m 的最大值为4.。

数学选修2-2人教A讲义：第一章导数及其应用1.5.3

2?21x3 dx＝3×
7－ 2×15＝－
3
4
1 2.
反思与感悟若函数 f(x)的奇偶性已经明确，且 f( x)在[－ a ，a ]上连续，则
a
(1)若函数 f(x)为奇函数，则 ?－af( x)dx＝ 0. (2)若函数 f(x)为偶函数，则 ?a－af( x)dx＝ 2?a0f(x)dx.
2x－ 1，－ 1≤ x<0，
示由直线 x＝a， x＝ b，y＝ 0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分
?baf (x)dx
的几何意义．
注意： f (x)<0( 图象在 x 轴的下方 )时， ?baf( x)dx<0，－ ?baf(x)dx 等于曲边梯形的面积．
知识点三定积分的性质
思考你能根据定积分的几何意义解释
Sn
＝
lim
n→∞
13－ 3 2 2n
＝
13 2.
反思与感悟利用定义求定积分的步骤
跟踪训练 1 利用定积分的定义计算 ?32(x＋ 2)dx.
考点定积分的概念
题点定积分的概念
解令 f(x)＝ x＋ 2.
将区间 [2,3] 平均分为 n 个小区间，每个小区间的长度为
Δxi
＝
1 n
，
i－ 1
i
[xi－1， xi]＝ 2＋ n ， 2＋ n ， i＝ 1,2，… ， n.
1.5.3 定积分的概念
学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分 .2.理解定积分的几何意义 .3.掌握定积分的基本性质．
知识点一定积分的概念思考分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．

高中数学第一章导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2

i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___，那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关

人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张

n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到不同的结果。若能把一些事看淡了，就会有个好心境，若把很多事看开了，就会有个好心情。让聚散离合犹如月缺月圆那样寻常，让得失利弊犹如花开花谢那样自然，不计较，也不刻意执着；让生命中各种的喜怒哀乐，就像风儿一样，来了，不管是清风拂面，还是寒风凛冽，都报以自然的微笑，坦然的接受命运的馈赠，把是非曲折，都当作是人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1

精品教育新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.2.1-1.2.2

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时过关·能力提升基础巩固1函数f(x)=0的导数是()A.0B.1C.不存在D.不确定答案A2已知f(x)=xα,f'(-1)=-4,则α=()A.4B.-4C.5D.-5解析∵f'(x)=(xα)'=αxα-1,∴f'(-1)=α(-1)α-1.又f'(-1)=-4,∴α(-1)α-1=-4.将各选项代入检验,知当α=4时等式成立.故选A.答案A3已知曲线y=f(x)=x3在某点处的切线的斜率等于9,则这样的点()A.有一个B.有两个C.多于两个D.不能确定解析∵f'(x)=3x2,∴令3x2=9,得x=±.∴可得切点坐标为(,3)和(-,-3).故满足条件的点有两个.答案B4y=cos x在x=处的切线斜率为()A. B.- C.- D.解析∵y'=(cos x)'=-sin x,∴y'=-sin=-.答案C5曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是,切线方程为.解析∵y'=(ln x)'=,∴y'|x=e=.∴切线方程为y-1=(x-e),即x-e y=0.答案x-e y=06若函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.解析∵f'(x)=,∴f'(1)==-1.∴ln a=-1.∴a=.答案7曲线y=sin x在点处的切线方程为.解析因为y'=(sin x)'=cos x,所以y'.所以切线方程为y-,即x-2y+=0.答案x-2y+=08求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=log4x;(3)y=.解(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.(2)y'=(log4x)'=.(3)y'=()'=()'=.9若质点P的运动方程是s=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.分析求质点P在t=8 s时的瞬时速度,根据瞬时速度的概念以及幂函数导数的求法知,求瞬时速度即是求在t=8 s时的导数.解∵s'=()'=()'=,∴s'|t=8=×2-1=.故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.能力提升1下列结论正确的个数为()①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'|x=3=-;③若y=2x,则y'=2x ln 2;④若y=log2x,则y'=.A.0B.1C.2D.3解析①y=ln 2为常数,所以y'=0,①错;②③④均正确,直接利用公式即可验证.答案D2曲线y=e x在(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.2e2C.e2D.解析因为y'=e x,所以y'|x=2=e2.所以切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1,所以所围成的三角形的面积S=×1×|-e2|=.答案D3若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案A4正弦曲线y=sin x(x∈(0,2π))上切线的斜率等于的切点坐标为.解析设切点坐标为(x0,y0)(x0∈(0,2π)),则由题意可得cos x0=,所以x0=,y0=或x0=,y0=-.故切点坐标为.答案5已知P,Q为抛物线x2=y上的两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过点P,Q分别作抛物线的切线,两条切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),∵点P,Q在抛物线x2=y上,∴∴即P(4,16),Q(-2,4),如图所示.又抛物线为y=x2,∴y'=2x.∴过点P的切线斜率为y'|x=4=8.∴过点P的切线方程为y-16=8(x-4),即y=8x-16.又过点Q的切线斜率为y'|x=-2=-4,∴过点Q的切线方程为y-4=-4(x+2),即y=-4x-4.联立故点A的纵坐标为-8.答案-8★6设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,若a n=lg x n,则a1+a2+…+a99的值为.解析曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线斜率k=y'|x=1=(n+1)×1n=n+1,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x n=.∴a n=lg.∴a1+a2+…+a99=lg+lg+…+lg=lg=lg=-2.答案-2★7已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,试求k的值.解设直线y=kx与曲线y=ln x相切时的切点坐标为(x0,y0).∵y=ln x,∴y'=,∴y'=k.∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,∴把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式得x0=e.∴k=.。

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.5.3

1.5.3 定积分的概念明目标、知重点1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?答(1)定积分ʃb a f(x)d x是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f(x)d x与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，而ʃba f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作“函数f (x )从a 到b 的定积分”．(3)函数f (x )在区间a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值．解令f (x )＝x 3. (1)分割在区间0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间0,1]等分成n 个小区间i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝i n(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .解 (1)分割：将区间1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为 Δx ＝1n.(2)近似代替、求和：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，于是f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而得∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n20＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n (n －1)2＝2＋n －12n .(3)取极限：S ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.探究点二定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃba f (x )d x 表示什么？答当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f (x )在区间a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃba f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？答如果在区间a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．由于b －an>0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n ≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃbaf (x )d x ＝－S.当f (x )在区间a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃba f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3. 例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·32.由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2d x ＝92π.(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示： ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x . 解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x |d x ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃb a f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃb a f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃb c n f (x )d x (其中n ∈N *)．思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )的图象在－a ，a ]上连续不断，则ʃa－a f (x )d x ＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa0g (x )d x . 例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x2d x＝π×322＝9π2，ʃ3－3x3d x＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x2－x3)d x＝ʃ3－39－x2d x－ʃ3－3x3d x＝9π2.反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x3d x＝14，ʃ21x3d x＝154，ʃ21x2d x＝73，ʃ42x2d x＝563，求：(1)ʃ203x3d x；(2)ʃ416x2d x；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x.解(1)ʃ203x3d x＝3ʃ20x3d x＝3(ʃ10x3d x＋ʃ21x3d x)＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x2d x＝6ʃ41x2d x＝6(ʃ21x2d x＋ʃ42x2d x)＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x2－2x3)d x＝ʃ213x2d x－ʃ212x3d x＝3ʃ21x2d x－2ʃ21x3d x＝3×73－2×154＝7－152＝－12.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x3d x＝∑i＝1n i3n3·1n；②ʃ10x3d x＝limn→∞∑i＝1n(i－1)3n3·1n；③ʃ10x3d x＝limn→∞∑i＝1n i3n3·1n.A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 ②③成立．2．定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间a ，b ]和ξi 的取法都有关答案 A3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； ②ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x . 答案 ①> ②<4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析令f (x )＝x 2. (1)分割将区间0，T ]n 等分，则Δx ＝Tn. (2)近似代替、求和取ξi ＝T i n(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1n(T i n )2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2)＝T 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝T 36(1＋1n )(2＋1n)． (3)取极限S ＝lim n →∞T 36×2＝T 33＝9, ∴T 3＝27，∴T ＝3. 呈重点、现规律]1．定积分ʃbaf (x )d x 是一个和式∑i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.一、基础过关1．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x ) 在a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在a ，b ]上恒正答案 D解析对于A ，f (－x )＝－f (x )，ʃa－a f (x )d x＝ʃ0－a f (x )d x ＋ʃa 0f (x )d x ＝－ʃa 0f (x )d x ＋ʃa0f (x )d x ＝0，同理B 正确；由定积分的几何意义知，当f (x )>0时，ʃb a f (x )d x >0即C 正确；但ʃb a f (x )d x >0，不一定有f (x )恒正，故选D. 2．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )． A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 答案 B解析偶函数图象关于y 轴对称，故ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16，故选B. 3．已知ʃt 0x d x ＝2，则ʃ0－t x d x 等于( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 D解析 ∵f (x )＝x 在－t ，t ]上是奇函数， ∴ʃt －t x d x ＝0.而ʃt －t x d x ＝ʃ0－t x d x ＋ʃt0x d x ，又ʃt0x d x ＝2，∴ʃ0－t x d x ＝－2.故选D.4．由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A ．ʃ40(x 2－4)d x B.||ʃ40(x 2－4)d x C ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x 答案 C5．设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b答案 B解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x 13d x ，a >b >c ，故选B.6．若ʃa－a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36 D ．2 016 答案 A解析由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa－a |x |d x ≤2 016，得ʃa－a |x |d x ≤36，∴ʃa－a |x |d x ＝2ʃa0x d x ＝a 2≤36，即0<a ≤6.故正数a 的最大值为6.7.lim n →∞ln n(1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2等于( )A ．ʃ21ln 2x d x B ．2ʃ21ln x d x C ．2ʃ21ln(1＋x )d x D ．ʃ21ln 2(1＋x )d x答案 B解析 lim n →∞ln n(1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2＝lim n →∞2n ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋1n )(1＋2n)…(1＋n n ) ＝2lim n →∞ ∑ni ＝1ln (1＋i n )n ＝2ʃ21ln x d x (这里f (x )＝ln x ，区间1,2]或者2lim n →∞ ∑ni ＝1ln (1＋in )n＝2ʃ10ln(1＋x )d x ，区间0,1])．二、能力提升8．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 答案－ʃ0－πsin x d x解析由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃ0－πsinx d x .9．计算定积分ʃ1－14－4x 2d x ＝________. 答案 π解析由于ʃ1－14－4x 2d x ＝2ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的面积π，所以ʃ1－14－4x 2d x ＝π. 10．设f (x )是连续函数，若ʃ10f (x )d x ＝1，ʃ20f (x )d x ＝－1，则ʃ21f (x )d x ＝________. 答案－2解析因为ʃ20f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ，所以ʃ21f (x )d x ＝ʃ20f (x )d x －ʃ10f (x )d x ＝－2.11．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．解令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间1,2]等分为n 个小区间1＋i －1n ，1＋in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑ni ＝1－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n 3(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 32n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6]＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n .(3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23， ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．12．用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)⎰x .解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知⎰1－x 2d x等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴⎰1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34.三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3， x ∈[－2，2)2x ， x ∈[2，π)cos x ， x ∈[π，2π]，求f (x )在区间－2,2π]上的积分．解由定积分的几何意义知 ʃ2－2x 3d x ＝0，ʃπ22x d x ＝(π－2)(2π＋4)2 ＝π2－4， ʃ2ππcos x d x ＝0，由定积分的性质得ʃ2π－2f (x )d x ＝ʃ2－2x 3d x ＋ʃπ22x d x ＋ʃ2ππcos x d x ＝π2－4.。

高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.5知识点总结含同步练习及答案

C．①②③④ D．①②④
A．②③④
答案： C
3. 求由抛物线 y = 2x 2 与直线 x = 0，x = t (t > 0)，y = 0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间 [0, t] 等分成 n 个小区间，则第 i − 1 个区间为 (
) i i+1 , ] n n t (i − 2) t (i − 1) D．[ , ] n n
a c
b d
c b
f (x) dx + ∫
d c
f (x) dx
答案： D
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1 0
n n i i 1 1 n 1 n(n + 1) n+1 xdx ≈ S n = ∑ f ( ) Δx = ∑ ⋅ = = ． ∑i = 2 ⋅ 2 n n n 2 2n n i=1 n i=1 i=1
③取极限：
∫
利用定积分的几何意义求：
1 0
xdx = lim S n = lim
n→∞
n→∞
y = 0 和曲线 y = f (x) 所围成的曲边梯形（如下图）的面积．这就是定积分 ∫ ab f (x)dx 的几何意义．
由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：（1）∫ ab kf (x)dx = k ∫ ab f (x)dx（k 为常数）；（2）∫ ab [f 1 (x) ± f 2 (x)]dx = ∫ ab f 1 (x)dx ± ∫ ab f 2 (x)dx；微积分基本定理一般地，如果 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数，并且 F ′ (x) = f (x)，那么
Δx i =
于是
1 i−1 i i−1 ，在 [xi−1 , xi ] = [1 + （i = 1 ，2 ，3 ，⋯，n）， , 1 + ] 上取 ξi = xi−1 = 1 + n n n n f (ξi ) = f (xi−1 ) = 1 + 1 + i−1 i−1 =2+ ， n n

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用检测B 含解析

第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)=2x+ln x,则f'(2)等于()A.0B.4ln 2+12C.ln 4D.e2答案A2若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)的单调递增区间为()A.(-1,0)B.(-1,0),(2,+∞)C.(2,+∞)D.(0,+∞)解析由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2-4x =2(x2-x-2)x=2(x+1)(x-2)x,由f'(x)>0,得x>2.答案C3函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()A.1B.2C.3D.4解析∵y'=2(x+1)(x-1)+(x+1)2,∴y'|x=1=4.答案D4已知某列车沿直线轨道前进,刹车后列车的速度为v(t)=18-6t,则列车的刹车距离为() A.27 B.54 C.81 D.13.5解析令v(t)=0,得18-6t=0,得t=3,所以列车的刹车距离为∫30v(t)d t=∫3(18-6t)d t=(18t-3t2)|3=27.答案A5曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为() A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2解析∵y'=2(x+2)2,∴曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为y'|x=-1=2(-1+2)2=2.故切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1. 答案A6对任意的x ∈R ,函数f (x )=x 3+ax 2+7ax 不存在极值的充要条件是( ) A.0≤a ≤21 B.a=0或a=7 C.a<0或a>21 D.a=0或a=21解析f'(x )=3x 2+2ax+7a ,当Δ=4a 2-84a ≤0,即0≤a ≤21时,f'(x )≥0恒成立,函数不存在极值.故选A.答案A7已知f (x )=kx 2+2x+2k 在(1,2)内有极值点,则k 的取值范围是( ) A.-1<k<-12B.k<-1或k>-12C.12<k<1D.k<12或k<1解析f'(x )=2kx+2,由题意知f'(1)·f'(2)<0,即(2k+2)(4k+2)<0,解得-1<k<-12. 答案A8对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B .1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上解析f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ②若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f (-b2a )=3,即c-b24a =3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 2=3, 解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B,C,D 可同时成立,而A 不成立.故选A . 答案A9直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B.2C.83D.16√23解析由题意可知,l 的方程为y=1.如图,点B 的坐标为(2,1),故所求面积S=4-2∫ 20x 24d x=4-2(x 312)|02=83,故选C. 答案C10若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+154x-9都相切,则a 等于( ) A.-1或-2564B.-1或214 C.-74或-2564D.-74或7解析设直线与曲线y=x 3相切的切点为P (x 0,y 0),则{y 0=x 03,y 0=3x 02(x 0-1),消去y 0解得x 0=0或x 0=32.故切线斜率k=3x 02=0或k=3x 02=274. 若k=0,切线方程为y=0, 由{y =0,y =ax 2+154x -9, 消去y ,得ax 2+154x-9=0, 其判别式Δ=0⇒a=-2564; 若k=274,切线方程为y=274(x-1), 由{y =274(x -1),y =ax 2+154x -9,消去y ,得ax 2-3x-94=0,其判别式Δ=0⇒a=-1. 答案A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知2≤∫ 21(kx+1)d x ≤4,则实数k 的取值范围为.答案[23,2]12函数y=x e x 在其极值点处的切线方程为 .解析令y'=(x+1)e x =0,得x=-1,则切点为(-1,-1e ).∵函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切线方程为y=-1e. 答案y=-1e13设函数f (x )=13sin θ·x 3+√32cos θ·x 2+tan θ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是 . 解析因为f'(x )=sin θ·x 2+√3cos θ·x ,所以f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3). 因为0≤θ≤5π12,π3≤θ+π3≤3π4, 所以√22≤sin (θ+π3)≤1.故√2≤f'(1)≤2. 答案[√2,2]14已知函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,其中k ∈N *.若a 1=16,则a 1+a 3+a 5的值是 .解析由于y'=2x ,则函数y=x 2(x>0)在点(a 1,a 12)(a 1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).令y=0,得a 2=8.同理函数y=x 2(x>0)在点(a 2,a 22)(a 2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).令y=0,得a 3=4,依次同理求得a 4=2,a 5=1. 所以a 1+a 3+a 5=21. 答案2115已知函数y=f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0),B (12,5),C (1,0),函数y=xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 解析由题意f (x )={10x ,0≤x ≤12,-10x +10,12<x ≤1,则xf (x )={10x 2,0≤x ≤12,-10x 2+10x ,12<x ≤1. 所以xf (x )与x 轴围成图形的面积为∫ 12010x 2d x+∫ 112(-10x 2+10x )d x=103x 3|012+(5x 2-103x 3)|121=103×18+(5-103)−(54-103×18)=54.答案54三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)设函数f (x )=e xx .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)若k>0,求不等式f'(x )+k (1-x )f (x )>0的解集. 解(1)f'(x )=1xe x -1x2e x =x -1x 2e x. 由f'(x )=0,得x=1.当x<0时,f'(x )<0; 当0<x<1时,f'(x )<0;当x>1时,f'(x )>0.所以f (x )的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0),(0,1). (2)由f'(x )+k (1-x )f (x )=x -1+kx -kx 22e x =(x -1)(-kx+1)2·e x>0,得(x-1)(kx-1)<0. 故当0<k<1时,解集是{x |1<x <1k}; 当k=1时,解集是⌀;当k>1时,解集是{x |1k <x <1}.17(8分)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在x=-23与x=1处都取得极值. (1)求函数f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解(1)f'(x )=3x 2+2ax+b ,由题意得{f '(-23)=0,f '(1)=0,即{43-4a3+b =0,3+2a +b =0,解得{a =-12,b =-2,经检验符合题意,所以f (x )=x 3-12x 2-2x.(2)由(1)知f'(x )=3(x +23)(x-1),令f'(x )=0,得x 1=-23,x 2=1, 当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:由上表知f (x )max =f (2)=2,f (x )min =f (-2)=-6.18(9分)求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积S. 解由方程组{y 2=2x ,y =4-x ,解得抛物线与直线的交点坐标为(2,2)及(8,-4).取x 为积分变量,由图可得S=A 1+A 2,∵A 1=∫ 20[√2x -(-√2x )]d x=2√2∫ 20x 12d x=2√2·2x 32|02=16, A 2=∫ 82[4-x-(-√2x )]d x =∫ 82(4-x+√2x )d x=(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383, ∴S=163+383=18. 19(10分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x (0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元). (1)写出y 与x 的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,并求出最大利润. 解(1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x )元,月平均销售量为a (1-x 2)件,则月平均利润y=a (1-x 2)·[20(1+x )-15] =5a (1+4x-x 2-4x 3)(0<x<1). (2)由y'=5a (4-2x-12x 2)=0, 得x=12(x =-23舍去).当0<x<12时,y'>0,函数为增函数; 当12<x<1时,y'<0,函数为减函数,所以函数y=5a (1+4x-x 2-4x 3)(0<x<1)在x=12处取得极大值,也是最大值.故改进工艺后,产品的销售价为20×(1+12)=30(元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,最大为45a4元.20(10分)已知函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=kx (k ∈R ). (1)证明:当x>0时,f (x )<x ;(2)证明:当k<1时,存在x 0>0,使得对任意的x ∈(0,x 0),恒有f (x )>g (x ); (3)确定k 的所有可能取值,使得存在t>0,对任意的x ∈(0,t ),恒有|f (x )-g (x )|<x 2. (1)证明令F (x )=f (x )-x=ln(1+x )-x ,x ∈[0,+∞),则有F'(x )=11+x -1=-x x+1. 当x ∈(0,+∞)时,F'(x )<0. 所以F (x )在[0,+∞)内递减, 故当x>0时,F (x )<F (0)=0, 即当x>0时,f (x )<x.(2)证明令G (x )=f (x )-g (x )=ln(1+x )-kx ,x ∈[0,+∞),则有G'(x )=1x+1-k=-kx+(1-k )x+1.当k ≤0时,G'(x )>0,故G (x )在[0,+∞)内递增,G (x )>G (0)=0, 故任意正实数x 0均满足题意.当0<k<1时,令G'(x )=0,得x=1-kk =1k -1>0,取x 0=1k-1,对任意x ∈(0,x 0),有G'(x )>0,从而G (x )在[0,x 0)内递增,所以G (x )>G (0)=0,即f (x )>g (x ). 综上,当k<1时,总存在x 0>0,使得对任意x ∈(0,x 0),恒有f (x )>g (x ). (3)解法一当k>1时,由(1)知,对于∀x ∈(0,+∞),g (x )>x>f (x ),故g (x )>f (x ),|f (x )-g (x )|=g (x )-f (x )=kx-ln(1+x ). 令M (x )=kx-ln(1+x )-x 2,x ∈[0,+∞), 则有M '(x )=k-11+x -2x=-2x 2+(k -2)x+k -1x+1,故当x ∈(0,k -2+√(k -2)2+8(k -1)4)时,M'(x )>0,M (x )在[0,k -2+√(k -2)2+8(k -1)4)内递增,故M (x )>M (0)=0,即|f (x )-g (x )|>x 2. 所以满足题意的t 不存在.当k<1时,由(2)知,存在x 0>0,使得当x ∈(0,x 0)时,f (x )>g (x ). 此时|f (x )-g (x )|=f (x )-g (x )=ln(1+x )-kx. 令N (x )=ln(1+x )-kx-x 2,x ∈[0,+∞), 则有N'(x )=1x+1-k-2x =-2x 2-(k+2)x+1-kx+1,当x ∈(0,-(k+2)+√(k+2)2+8(1-k )4)时,N'(x )>0,N (x )在[0,-(k+2)+√(k+2)2+8(1-k )4)内递增,故N (x )>N (0)=0,即f (x )-g (x )>x 2.记x 0与-(k+2)+√(k+2)2+8(1-k )4中的较小者为x 1,则当x ∈(0,x 1)时,恒有|f (x )-g (x )|>x 2.故满足题意的t 不存在.当k=1时,由(1)知,当x>0时,|f (x )-g (x )|=g (x )-f (x )=x-ln(1+x ). 令H (x )=x-ln(1+x )-x 2,x ∈[0,+∞),则有H'(x )=1-11+x -2x=-2x 2-xx+1.当x>0时,H'(x)<0,所以H(x)在[0,+∞)内递减,故H(x)<H(0)=0.故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)|<x2.此时,任意正实数t均满足题意.综上,k=1.解法二当k>1时,由(1)知,对于∀x∈(0,+∞),g(x)>x>f(x),故|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-ln(1+x)>kx-x=(k-1)x.令(k-1)x>x2,解得0<x<k-1.从而得到,当k>1时,对于x∈(0,k-1),恒有|f(x)-g(x)|>x2,故满足题意的t不存在.当k<1时,取k1=k+12,从而k<k1<1.由(2)知,存在x0>0,使得x∈(0,x0),f(x)>k1x>kx=g(x),此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)>(k1-k)x=1-k2x.令1-k2x>x2,解得0<x<1-k2,此时f(x)-g(x)>x2.记x0与1-k2的较小者为x1,当x∈(0,x1)时,恒有|f(x)-g(x)|>x2.故满足题意的t不存在.当k=1时,由(1)知,x>0,|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(1+x).令M(x)=x-ln(1+x)-x2,x∈[0,+∞),则有M'(x)=1-11+x -2x=-2x2-xx+1.当x>0时,M'(x)<0,所以M(x)在[0,+∞)内递减,故M(x)<M(0)=0.故当x>0时,恒有|f(x)-g(x)|<x2,此时,任意正实数t均满足题意.综上,k=1.。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.1.1-1.1.2 含解析

01第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课时过关·能力提升基础巩固1已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44解析∵x=2,Δx=0.1,∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.答案B2当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.在区间[x0,x1]上的平均变化率B.在x=x0处的变化率C.在x=x1处的变化量D.在区间[x0,x1]上的导数答案A3若函数f(x)在x0处可导,则limℎ→0f(x0+h)-f(x0)h的值()A.与x0,h都有关B.仅与x0有关,而与h无关C.仅与h有关,而与x0无关D.与x0,h均无关解析由导数的概念可知,limh→0f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ=f'(x0),仅与x0有关,与h无关.故选B.答案B4已知函数f(x)=2x+1,则函数f(x)从x0变化到x0+Δx的平均变化率为()A.-2B.2C.3D.不确定解析f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)+1-2x0-1=2Δx,故平均变化率为f(x0+Δx)-f(x0)Δx =2ΔxΔx=2.答案B5已知某质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是()A.-3B.3C.6D.-6解析由平均速度和瞬时速度的关系可知,s'|t=1=limΔt→0(-3Δt-6)=-6.答案D6如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于.答案-17函数y=f(x)=x+1x在x=2处的导数是.解析f'(2)=limΔx→0f(2+Δx)-f(2)=lim Δx→02+Δx+12+Δx-(2+12)Δx=lim Δx→0(1-12(2+Δx))=34.答案348航天飞机发射后的一段时间内,t时刻的高度h=f(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)f(0),f(1)分别表示什么?(2)求第1 s内高度的平均变化率;(3)求第1 s时高度的瞬时变化率,并说明它的意义.分析先确定f(0),f(1)的含义,再利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解.解(1)f(0)表示航天飞机未发射时的高度,f(1)表示航天飞机发射1 s时的高度.(2)ΔℎΔt =f(1)-f(0)1-0=80,即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s.(3)f'(1)=limΔt→0ΔhΔt=limΔt→0f(1+Δt)-f(1)Δt=limΔt→0[5(Δt)2+45Δt+120]=120,即第1 s时高度的瞬时变化率为120 m/s.它说明在第1 s附近,航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加.9已知质点做直线运动,且位移s是时间t的函数:s=s(t)=3t2+2t+1.(1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并分别求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;(2)求当t=2时的瞬时速度.分析(1)根据平均变化率的概念可求平均速度;(2)即求位移s在t=2处的导数.解(1)从t=2到t=2+Δt的平均速度为Δs Δt=s(2+Δt)-s(2)Δt=3(2+Δt)2+2(2+Δt)+1-3×4-2×2-1=14Δt+3(Δt)2=14+3Δt.当Δt=1时,平均速度为14+3×1=17;当Δt=0.1时,平均速度为14+3×0.1=14.3;当Δt=0.01时,平均速度为14+3×0.01=14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0(14+3Δt)=14.能力提升1已知函数y=f(x)=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则limΔx→0ΔyΔx等于()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2解析∵邻近一点的坐标为(1+Δx,2+Δy),∴2+Δy=f(1+Δx)=(1+Δx)2+1=2+2Δx+(Δx)2.∴Δy=(Δx)2+2Δx.∴ΔyΔx=2+Δx.∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(2+Δx)=2.故选A.答案A2已知一个物体的运动方程为s=s(t)=1-t+t2,其中位移s的单位是m,时间t的单位是s,则物体在第3 s时的瞬时速度是()A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s解析s'(3)=limΔt→0s(3+Δt)-s(3)Δt=lim Δt→0[1-(3+Δt)+(3+Δt)2]-(1-3+32)Δt=limΔt→0(5+Δt)=5.答案C3已知函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a的值为() A.2 B.-2C.3D.-3解析∵f'(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)=lim Δx→0a(1+Δx)+3-(a+3)=a,∴f'(1)=a=3.答案C4函数y=-√x在点x=4处的导数是()A.18B.-18C.1 16D.-116解析∵Δy=-√4+Δx +√4=1 2−√4+Δx=√4+Δx-2√4+Δx=2√4+Δx(√4+Δx+2),∴ΔyΔx =2√4+Δx(√4+Δx+2).∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→2√4+Δx(√4+Δx+2)=2×√4×(√4+2)=116.∴y'|x=4=116.答案C5已知质点运动规律s=12gt 2,则在时间区间[3,3+Δt ]内的平均速度等于 (g=10 m/s 2). 答案30+5Δt6已知成本c 与产量q 的函数关系式为c=4q 2+q-6,求当产量q=10时的边际成本.(注:边际成本是指在一定产量水平下,增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数) 分析由题意知当q=10时的边际成本即为函数c=4q 2+q-6在q=10处的导数. 解∵Δc=4(10+Δq )2+(10+Δq )-6-(4×102+10-6)=4(Δq )2+80Δq+Δq=4(Δq )2+81Δq ,∴Δc Δq=4(Δq )2+81ΔqΔq=4Δq+81. ∴边际成本为lim Δq →0Δc Δq=lim Δq →0(4Δq+81)=81.故当产量q=10时的边际成本为81.7路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度从路灯在地面上的射影点C 处沿某直线离开路灯.(1)求身影的长度y 与人和路灯间的水平距离x 之间的关系式; (2)求人离开路灯后,在0 s 到10 s 内身影的平均变化率.分析(1)画出示意图,根据平面几何知识,可求y 与x 之间的关系;(2)由求平均变化率的步骤即可得解. 解(1)如图,设人从点C 运动到B 处的路程为x m,AB 的长度为身影的长度,AB 的长度为y m .由于CD ∥BE ,则AB AC=BE CD, 即yy+x =1.68,所以y=14x.(2)84 m/min =1.4 m/s,当从0 s 到10 s 时,身影的长度增加了14×1.4×10-14×1.4×0=72(m),身影的平均变化率为7210-0=720(m/s),即人离开路灯后,在0 s 到10 s 内身影的平均变化率为720 m/s . ★8柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠液体状.如果开始加热后第x h 沥青的温度(单位:℃)为y=f (x )={80x 2+20,0≤x ≤1,-2049(x 2-2x -244),1<x ≤8.求开始加热后第15 min 和第4 h 沥青温度变化的瞬时速度,并说明它们的意义.解∵15 min =0.25 h,且当0≤x ≤1时,f (x )=80x 2+20,∴ΔyΔx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20) =80[0.5Δx+(Δx )2]=40+80Δx. ∴f'(0.25)=lim Δx →0(40+80Δx )=40.又当1<x ≤8时,f (x )=-2049(x 2-2x-244),∴当x=4时,Δy Δx= -2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx =-2049(6+Δx ). ∴f'(4)=limΔx →0Δy Δx =lim Δx →0[-2049(6+Δx )] =-2049×6=-12049. 在第15 min 与第4 h,沥青温度的瞬时变化率分别为40与-12049,说明在第15 min 附近,沥青的温度大约以40 ℃/h 的速率上升;在第4 h 附近,沥青温度大约以12049℃/h 的速率下降.。

【配套K12】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.5.3

1.5.3定积分的概念课时过关·能力提升基础巩固1设曲线f(x)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]n等分,在每个小区间上任取ξi,则f(x)d x等于()A.f(ξi)B.f(ξi)·C.f(ξi)·ξiD.f(ξi)·(ξi-ξi-1)解析根据定积分的概念可知,B选项正确,其余均不等于f(x)d x,故选B.答案B2设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分f(x)d x的符号()A.一定是正的B.一定是负的C.当0<a<b时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不正确解析根据定积分f(x)d x的几何意义可知,f(x)d x一定是正实数,故选A.答案A3下列各式中成立的是()A.[f(x)+5]d x=f(x)d x+5B.|x-1|d x=(1-x)d x+(x-1)d xC.f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=2f(x)d xD.|f(x)|d x=-f(x)d x解析由于|x-1|d x=|x-1|d x+|x-1|d x=(1-x)d x+(x-1)d x,故B项正确.答案B4已知定积分f(x)d x=8,且f(x)为偶函数,则f(x)d x等于()A.0B.16C.12D.8解析偶函数的图象关于y轴对称,故f(x)d x=2f(x)d x=16.故选B.答案B5由函数y=-x的图象,直线x=1,x=0,y=0所围成的图形的面积可表示为()A.(-x)d xB.|-x|d xC.x d xD.-2x d x解析由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S=|-x|d x.答案B6不用计算,根据图形,比较下列各式的大小:(1)x d x x2d x(如图所示);(2)d x2d x(如图所示).答案(1)>(2)<7(x-1)d x=.答案08把由y=cos x,x=0,x=,y=0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是.解析由定积分的定义和几何意义求解.答案cos x d x能力提升1根据定积分的定义,x3d x不等于()A.B.C.D.解析将[0,2]等分为n个小区间(i=1,2,…,n),若取ξi=,则x3d x=,若取ξi=,则x3d x=;将[0,2]等分成2n个小区间(i=1,2,…,2n),则Δx=,取ξi=,则x3d x=.故选B.答案B2已知[f(x)+g(x)]d x=12,g(x)d x=6,则3f(x)d x等于()A.12B.6C.18D.24解析∵[f(x)+g(x)]d x=f(x)d x+g(x)d x,∴f (x )d x=12-6=6. ∴3f (x )d x=3f (x )d x=3×6=18.答案C3设a=d x ,b=x 2d x ,c=x 3d x ,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c>a>bB.a>b>cC.a=b>cD.a>c>b解析根据定积分的几何意义,易知x 3d x<x 2d x<d x ,即a>b>c ,故选B.答案B★4已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示),那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断一定正确的是( )A.在t 1时刻,甲车在乙车前面B.t 1时刻后,甲车在乙车后面C.在t 0时刻,两车的位置相同D.t 0时刻后,乙车在甲车前面解析由题图可知,曲线v 甲比v 乙在0~t 0,0~t 1与t 轴所围成图形的面积大,则在t 0,t 1时刻,甲车均在乙车前面,故选A. 答案A5已知x 2d x=x 2d x=,则(x 2+1)d x= .解析由定积分的性质,可得(x 2+1)d x=x 2d x+1d x ,而由已知,有x 2d x=x 2d x+x 2d x=.又由定积分的几何意义知1d x=1×2=2,故(x 2+1)d x=+2=. 答案6(1)计算-1)d x的值;(2)已知f(x)=求f(x)在区间[0,5]上的定积分.分析可先根据定积分的几何意义求出相关函数的定积分,再根据定积分的性质进行加减运算.解(1)如图,由定积分的几何意义,得d x=1d x=6.由定积分的性质,得-1)d x=d x-1d x=-6.(2)如图,由定积分的几何意义,得x d x=×2×2=2,(4-x)d x=×(1+2)×1=,d x=×2×1=1,所以f(x)d x=x d x+(4-x)d x+d x=2++1=.★7弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.解将物体用常力F沿着力的方向移动距离x,则所做的功为W=Fx,本题F是克服弹簧拉力的变力,是移动距离x的函数F(x)=kx.将区间[0,b]n等分,记Δx=,分点依次为x0=0,x1=,x2=,…,x n-1=,x n=b.当n很大时,在分段[x i,x i+1]所用的力约为kx i,所做的功ΔW i≈kx i·Δx=kx i·.则从0到b所做的总功W近似地等于ΔW i=kx i·Δx=k·=[0+1+2+…+(n-1)]=.于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为W=ΔW i=kb2.。

【K12小初高学习】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.5.1-1.5.2

1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课时过关·能力提升基础巩固1把区间[1,3]n等分,所得n个小区间的长度均为()A. B.C. D.解析区间[1,3]的长度为2,故n等分后,每个小区间的长度均为.答案B2在“近似代替”中,函数f(x)在区间[x i,x i+1]上的近似值()A.只能是左端点的函数值f(x i)B.只能是右端点的函数值f(x i+1)C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i,x i+1])D.只能是区间中点处的函数值答案C3和式(y i+1)可表示为()A.(y1+1)+(y5+1)B.y1+y2+y3+y4+y5+1C.y1+y2+y3+y4+y5+5D.(y1+1)(y2+1)·…·(y5+1)解析由求和符号“∑”的意义,知(y i+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+5.故选C.答案C4把区间[a,b](a<b)n等分之后,第i(i=1,2,3,…,n)个小区间是()A.B.C.D.解析区间[a,b](a<b)的长度为(b-a),n等分之后,每个小区间长度均为,第i个小区间是(i=1,2,…,n).答案D5已知某物体运动的速度v=2t-1,t∈[0,10],若把区间[0,10]10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为.解析若把区间[0,10]进行10等分,则第i个小区间为[i-1,i](i=1,2,…,10),其右端点为i,那么物体运动的路程的近似值为(2i-1)=2i-10=2×-10=100.答案1006在区间[0,8]上插入9个等分点之后,所分的小区间长度为,第5个小区间是.答案7若汽车以v=(2t+1)m/s的速度做变速直线运动,则在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程s是.答案4 m8汽车行驶的速度为v=t2,求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.分析按分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤求解.解(1)分割将区间[0,1]等分为n个小区间,…,,…,,每个小区间的长度为Δt=.(2)近似代替在区间上,汽车近似地看作以时刻处的速度v做匀速行驶,则在此区间上汽车行驶的路程为.(3)求和在所有小区间上,汽车行驶的路程和为s n=02·+…+=[12+22+…+(n-1)2]=.(4)取极限汽车行驶的路程s=s n=.所以汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程为.能力提升1在求由x=a,x=b(a<b),y=f(x)(f(x)>0)及y=0围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入(n-1)个点,分别过这些点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形的过程中,下列说法正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S;②n个小曲边梯形的面积和小于S;③n个小曲边梯形的面积和大于S;④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定.A.1B.2C.3D.4解析①正确,其余都不正确.答案A2当n的值很大时,函数f(x)=x2在区间上的值,可以用下列函数值近似代替的是()A.fB.fC.fD.f(0)解析根据求曲边梯形面积的步骤知,f(x)=x2在区间上的值,可以用此区间上任意一点的函数值代替,故应选C. 答案C★3在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()A. B.C. D.解析每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS i≈.答案A4已知物体自由下落时的运动速度v=gt,求在时间段[0,t]内物体下落的距离.分析可转化为求曲边梯形的面积,用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.解(1)分割把时间区间[0,t]等分成n个小区间,其中第i个小区间为(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间段的长度为Δt=t-t=.在各个小区间内物体下落的距离,记作Δs i.(2)近似代替在(i=1,2,…,n)上取左端点的函数值近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间内所经过的距离可近似地表示为Δs i≈g·t·(i=1,2,…,n).(3)求和s n=Δs i=g·t·[0+1+2+…+(n-1)]=gt2.(4)取极限s=gt2gt2.所以在时间段[0,t]内物体下落的距离为gt2.★5已知火箭发射后t(单位:s)的速度为v(t)(单位:m/s),假定0≤t≤10,对函数v(t),将区间[0,10]等分成n个小区间,每个小区间长度为Δt,在每个小区间上任取一点,依次为t1,t2,t3,…,t i,…,t n,按v(t1)Δt+v(t2)Δt+…+v(t n)Δt所作的和具有怎样的实际意义?分析可根据求曲边梯形的面积以及汽车行驶的路程的思想方法进行思考回答.解虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以用v(t i)代替第i个区间上的速度,这样v(t i)Δt≈火箭在第i个时段内运动的路程.从而s n=v(t1)·Δt+…+v(t i)·Δt+…+v(t n)·Δt≈s(火箭在10 s内运行的路程).这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)·Δt+v(t2)·Δt+…+v(t n)·Δt式所作的和的实际意义.当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时,s n就无限趋近于火箭在10 s内运行的总路程.。

[k12精品]高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用1.5.3

1.5.3定积分的概念课时过关·能力提升基础巩固1设曲线f(x)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]n等分,在每个小区间上任取ξi,则f(x)d x等于()A.f(ξi)B.f(ξi)·C.f(ξi)·ξiD.f(ξi)·(ξi-ξi-1)解析根据定积分的概念可知,B选项正确,其余均不等于f(x)d x,故选B.答案B2设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分f(x)d x的符号()A.一定是正的B.一定是负的C.当0<a<b时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不正确解析根据定积分f(x)d x的几何意义可知,f(x)d x一定是正实数,故选A. 答案A3下列各式中成立的是()A.[f(x)+5]d x=f(x)d x+5B.|x-1|d x=(1-x)d x+(x-1)d xC.f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=2f(x)d xD.|f(x)|d x=-f(x)d x解析由于|x-1|d x=|x-1|d x+|x-1|d x=(1-x)d x+(x-1)d x,故B项正确.答案B4已知定积分f(x)d x=8,且f(x)为偶函数,则f(x)d x等于() A.0 B.16 C.12 D.8解析偶函数的图象关于y轴对称,故f(x)d x=2f(x)d x=16.故选B.答案B5由函数y=-x的图象,直线x=1,x=0,y=0所围成的图形的面积可表示为()A.(-x)d xB.|-x|d xC.x d xD.-2x d x解析由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S=|-x|d x.答案B6不用计算,根据图形,比较下列各式的大小:(1)x d x x2d x(如图所示);(2)d x2d x(如图所示).答案(1)>(2)<7(x-1)d x=.答案08把由y=cos x,x=0,x=,y=0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是.解析由定积分的定义和几何意义求解.答案cos x d x能力提升1根据定积分的定义,x3d x不等于()A.B.C.D.解析将[0,2]等分为n个小区间(i=1,2,…,n),若取ξi=,则x3d x=,若取ξi=,则x3d x=;将[0,2]等分成2n个小区间(i=1,2,…,2n),则Δx=,取ξi=,则x3d x=.故选B.答案B2已知[f (x )+g (x )]d x=12,g (x )d x=6,则3f (x )d x 等于( )A.12B.6C.18D.24 解析∵[f (x )+g (x )]d x=f (x )d x+g (x )d x , ∴f (x )d x=12-6=6. ∴3f (x )d x=3f (x )d x=3×6=18.答案C3设a=d x ,b=x 2d x ,c=x 3d x ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c>a>bB.a>b>cC.a=b>cD.a>c>b解析根据定积分的几何意义,易知x 3d x<x 2d x<d x ,即a>b>c ,故选B.答案B★4已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示),那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断一定正确的是( )A.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车前面解析由题图可知,曲线v甲比v乙在0~t0,0~t1与t轴所围成图形的面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车前面,故选A.答案A5已知x2d x=x2d x=,则(x2+1)d x=.解析由定积分的性质,可得(x2+1)d x=x2d x+1d x,而由已知,有x2d x=x2d x+x2d x=.又由定积分的几何意义知1d x=1×2=2,故(x2+1)d x=+2=.答案6(1)计算-1)d x的值;(2)已知f(x)=求f(x)在区间[0,5]上的定积分.分析可先根据定积分的几何意义求出相关函数的定积分,再根据定积分的性质进行加减运算.解(1)如图,由定积分的几何意义,得d x=1d x=6.由定积分的性质,得-1)d x=d x-1d x=-6.(2)如图,由定积分的几何意义,得x d x=×2×2=2,(4-x)d x=×(1+2)×1=,d x=×2×1=1,所以f(x)d x=x d x+(4-x)d x+d x=2++1=.★7弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.解将物体用常力F沿着力的方向移动距离x,则所做的功为W=Fx,本题F是克服弹簧拉力的变力,是移动距离x的函数F(x)=kx.将区间[0,b]n等分,记Δx=,分点依次为x0=0,x1=,x2=,…,x n-1=,x n=b.当n很大时,在分段[x i,x i+1]所用的力约为kx i,所做的功ΔW i≈kx i·Δx=kx i·.则从0到b所做的总功W近似地等于ΔW i=kx i·Δx=k·=[0+1+2+…+(n-1)]=.于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为W=ΔW i=kb2.k12精品K12精品文档学习用。

人教a版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.5.2汽车行驶的路程

第一章导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.2 汽车行驶的路程A级基础巩固一、选择题1．运动物体行驶的路程s与由直线t＝0，t＝1和运动物体的速度v＝－t2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积的关系是( )A．相等 B．不相等 C．大于 D．小于解析：由直线t＝0，t＝1和运动物体的速度v＝－t2＋2表示的曲线所围成的曲边梯形的面积就是运动物体行驶的路程s.答案：A2．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为( )A．45 B．55 C．60 D．65解析：因为把区间10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1，2，…，10)，每个小区间的长度为1.所以物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.故选B.答案：B3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )解析：汽车刚启动时，行驶的路程较短，汽车加速行驶时，路程增加的较快，曲线的切线斜率较大，减速行驶时，路程增加的速度较慢，曲线的切线斜率较小．故选A.答案：A4．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面解析：由题图可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0、0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0、t 1时刻，甲车均在乙车前面．答案：A5．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )A ．80米B ．60米C ．40米D ．30米解析：由题意知，v (t )＝v 0＋at ＝10－2t .令v (t )＝0，得t ＝5，即t ＝5秒时，汽车将停车．将区间 5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为s ＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．答案：D 二、填空题6．已知某物体运动的速度v ＝2t －1，t ∈，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程的近似值为________．解析：由题意知，物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和，即s ＝1＋3＋5＋…＋19＝1＋192×10＝100.答案：1007．一辆汽车在司机猛踩刹车后，5 s 内停下，在这一刹车过程中，下面各速度值被记录了下来：i(每个ξi取小区间的左端点)分别为________m ，________m.解析：不足近似值为14＋9＋5＋2＋0＝30；过剩近似值为21＋14＋9＋5＋2＝51. 答案：30 518．已知自由落体的物体速率为v ＝gt (g 为常数)，则物体从t ＝0到t ＝4所走的路程为________．解析：物体从t ＝0到t ＝4所走的路程就是“速率—时间”曲线与时间轴所围成图形的面积，因为t ＝0时，v ＝0；t ＝4时，v ＝4g ，所以所走路程s ＝12×4×4g ＝8g .答案：8g 三、解答题9．设力F 作用在质点m 上使m 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F ＝x 2＋1且力的方向和x 轴正向相同，求F 对质点m 所做的功．解：将区间n 等分，则各小区间的长度为9n，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋9n（i －1），1＋9n i 上取ξi ＝1＋9ni .所以F i ＝ξ2i ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋1，所以W i ＝F i 9n ＝9n ⎝⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n(i ＝1，2，…，n )．所以W ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤9n （1＋9n i ）2＋9n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫18n＋162n 2i ＋729n3i 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤18＋162n2·n （n ＋1）2＋729n 3·n （n ＋1）（2n ＋1）6 ＝18＋81＋243＝342. 故F 对质点所做的功为342.10．某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v (t )＝7－t 2，试计算这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程s .解：将区间n 等分，得到n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）n，1.则每个小区间长度为Δt ＝1n，取右端点的函数值作为小矩形的高，则物体在每个时间段内运动的路程Δs i ＝v (t i ) ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－（i n ）2·1n ，i ＝1，2，…，n .s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－1n 2＋7－22n 2＋…＋7－n 2n 2·1ns n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7n －n （n ＋1）（2n ＋1）6n 2·1n ＝ 7－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n . 于是s ＝s n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＝203. 所以这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程为203.B 级能力提升1．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：将区间分为等长的n 个小区间，第i 个区间记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤（i －1）a n，ia n (i ＝1，2，…，n )，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt ＝a n ，所以v (t i )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ia n 2，s n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ia n 2·a n ＝a3n 3(1＋22＋…＋n 2)＝a 3n （n ＋1）（2n ＋1）6n 3＝a 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ，于是s ＝S n ＝a 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＝a 33＝9，得a ＝3. 答案：C2．已知某正电荷在某电场中做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2(单位：m/s)，求它在0≤t ≤1这段时间运动的路程是________．解析：将区间等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，第i 个小区间的面积为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·1n ，所以s n ＝∑i ＝1nΔs i =∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·1n ＝1n 3(12＋22＋…＋n 2)＝1n 3·n （n ＋1）（2n ＋1）6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6，所以s ＝lim s n ＝lim ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＝13.答案：133．一质点在做直线运动时，其速度(单位：m/s) v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2（0≤t ≤3），18（3＜t ＜7），－3t ＋39（7≤t ≤13）.(1)请根据速度函数描述质点的三种运动状态； (2)试求这一质点在3 s 内的运动路程．解：(1)v (t )＝2t 2(0≤t ≤3)，说明质点在前3 s 内做变加速直线运动；v (t )＝18(3<t <7)，说明质点在第3 s ～7 s 之间做匀速直线运动；v (t )＝－3t ＋39(7≤t ≤13)，说明质点在第7 s ～13 s 之间做匀减速直线运动．(2)当0≤t ≤3时，对n 等分，并以每个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（i －1）n，3i n 的左端点的速度作近似代替，则Δt ＝3n，v (ξi )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（i －1）n 2.54n3[]12＋22＋…＋（n －1）2＝54n 3·16n (n －1)(2n －1)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n . 所以s ＝s n ＝9⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝⎛⎭⎪⎫2－1n ＝18(m)．。

人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积

第一章导数及其应用1.5定积分的观点曲边梯形的面积A 级基础稳固一、选择题1．在计算由曲线y＝－ x2以及直线x＝－ 1，x＝ 1，y＝ 0 所围成的图形的面积时，若将区间 n 平分，则每个小区间的长度为 ()1222A.nB.nC.－1D. ＋n n 1分析：区间长度为2，将其 n 平分得每一个小区间的长度为2 n .答案： B12．在求由函数y＝x与直线 x＝1，x＝ 2， y＝ 0 所围成的平面图形的面积时，把区间平分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ()A. i－ 1， iB. n＋ i－ 1，n＋ in n n nC．i ，i＋ 1 D. n n分析：把区间平分红 n 个小区间后，每个小区间的长度为1，且第 i 个小区间的左端点不n小于 1，因此选 B.答案： B3．在“近似取代”中，函数 f(x)在区间上的近似值()A．只好是左端点的函数值f(x i)B．只好是右端点的函数值f(x i＋1)C．能够是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈ )D．以上答案均不正确分析：由求曲边梯形面积的“近似取代”知，选项 C 正确．答案： C4．直线 x＝ a，x＝ b(a＜ b)，y＝ 0 和曲线 y＝ f (x)(f(x)＞ 0)所围成的曲边梯形的面积S＝()n1B．n1A. f(ξi) ·f(ξi) ·i ＝1n i＝ 1nnb－a D．n b－a·f(ξC. f(ξ) ·n) i＝ 1n i＝ 1分析：第n 个小曲边梯形的面积可近似的表示为b－a· f(ξn i)．因此，曲边梯形的面积为n b－ a· f(ξi ＝1n i)答案： D5．关于由函数y＝ x3和直线 x＝ 1，y＝0 围成的曲边梯形，把区间三平分，则曲边梯形面积的近似值 (每个ξi取值均为小区间的左端点)是 ()1111A.9B.25C.27D.301323分析： S＝11＋×11 0×＋3×33＝ . 339答案： A二、填空题6．在区间上等间隔地插入8 个点，则将它平分红9 个小区间，每个小区间的长度为 ____．分析：区间长度为9，将它平分红9 个小区间，每个小区间的长度为1.答案： 17．若x i=1, 则(2x i＋ 1)=______.分析：(2x i＋ 1)＝ 2(x1＋ x2＋ x3＋ x4＋ x5)＋ 5＝ 2×1＋ 5＝ 7.答案： 78．直线 x＝ 0， x＝ 2，y＝ 0 与曲线 y＝ x2＋ 1 围成曲边梯形，将区间五平分，依据区间左端点和右端点预计曲边梯形面积分别为________、 ________．分析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求全部小矩形面积之和．S1＝ (02＋ 1＋ 0.42＋1＋ 0.82＋ 1＋ 1.22＋ 1＋ 1.62＋ 1) ×0.4＝3.92；S2＝(0.42＋ 1＋ 0.82＋ 1＋ 1.22＋ 1＋ 1.62＋ 1＋ 22＋ 1) ×0.4＝ 5.52.答案： 3.92 5.52三、解答题9．求出由直线x＝ 0， x＝ 3，y＝ 0 和曲线 y＝4－（ x－ 1）2围成的平面图形的面积．解：圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 4 在第一象限的面积以下图：∠ ACB ＝ 2π3，3 ，OB ＝π4π面 S ＝ S △BOC ＋ S 扇形 ACB ＝ 3＋ 1× 2× 2× 2＝ 3＋3.2 23 2 10．求直 x ＝ 2， y ＝ 0 和曲 y ＝ x 2所成的曲梯形的面．解： (1) 切割：把区平分红n 个小区，第 i 个小区的度2 ，各分点作 x 的垂n，把曲梯形切割成n 个小曲梯形．(2)近似取代：当n 很大，区度很小，小曲梯形近似于小矩形，第i 个小矩形的高度用 f 2i取代 (i ＝ 1， 2，⋯， n)．n (3)乞降：各矩形面之和n ＝ n2ix ＝n2i 22Si ＝ 1fni ＝1n n82 228 n （ n ＋ 1）（ 2n ＋ 1）＝ n 3(1 ＋ 2 ＋⋯＋ n ) ＝n 36＝ 81 131＋n1＋ 2n .(4)取极限：当 n 向于＋ ∞ ， S n 向于 8，因此曲梯形的面S ＝8.33B能力提高1．已知直 l ：y ＝ ax ＋ b 和曲 C ：y ＝ ax 2＋ bx ，由直 l 和曲 C 所成的平面形( 中暗影部分 )只可能是 ( )分析：于 A ，直 l 和曲 C 中的 a ＞ 0， b ＜ 0，切合条件．答案： A2．如所示，曲C ∶ y ＝ 2x (0 ≤x ≤ 2)两头分M ，N ，且 NA ⊥ x 于点 A ，把段 OA分红 n 等份，以每一段作矩形，使其与 x 平行的的一个端点在曲C 上，另一端点在曲 C 的下方，n 个矩形的面之和S n ，＝ ________．2n2 分析：依意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首1，公比2 ， S n ＝(1n2n 242n － 2nnnn2·1－2＝ 2·－ 3＋ 2＋ 2＋⋯＋22n . 所以＝) ＝ nnn1－ 41－ 2n 2－ 3（ 2n － 3）（ 4－ 1） n · n ＝ 12. 1－ 4答案： 1233．求 y ＝ x 与 x ＝ 0， y ＝ ±8 成的形的面．解：所求面如暗影部分所示，由称性知S 1＝ S 2，故所求面2S 1.先求 y ＝ x 3 与 y＝ 0， x ＝ 0， x ＝ 2 成的面S ′以下：12（ i － 1）， 2i 2(1)切割：将分红n 等份 nn (i ＝ 1，2，3，⋯， n)，每个小区距离x ＝n .＝ f(ξ 2i3x.(2)近似取代：S ix ＝ ( n )i )1(4)求极限： 2S ＝3332 4 2n 2n ＋ n ＋ ⋯ ＋ n ·n＝24（ 13＋ 23＋ ⋯ ＋ n 3 ）n 4241n 2（ 1＋ n ） 2＝4＝4，4n因此由 y ＝ x 3， x ＝ 0， x ＝ 2， y ＝ 0 成的形的面S ′＝ 4，1因此 S 1＝ 2×8－ 4＝ 12.故所求面S ＝ 2S 1＝ 24.。