最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》

数学人教B必修2第二章2.3.1 圆的标准方程

1．能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程；能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径，并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

2．掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法，并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题．

1．圆的定义

平面内到一定点的距离等于定长的点的______是圆，定点是______，定长是圆的

______．设M(x，y)是⊙C上的任意一点，点M在⊙C上的条件是|CM|＝r.

圆的常用几何性质如下：

(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；

(2)圆心必是两弦中垂线的交点；

(3)不过圆心的弦，弦心距d，半弦长m及半径r满足r2＝d2＋m2；

(4)直径所对的圆周角是90°，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直．

【做一做1】已知圆O的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为__________．

2．圆的方程

(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为__________．

(2)圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为__________．

几种特殊形式的圆的标准方程

A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5

B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25

C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5

D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25

【做一做2－2】(2010·课标全国卷)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．

3．点与圆的位置关系

设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则：

点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔|PC|＝r；

点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔|PC|＞r；

点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔|PC|＜r.

【做一做3－1】下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是()．

A．(1,1) B．(2,1) C．(0,0) D．(2，2)

【做一做3－2】点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()．

A．在圆外B．在圆内

C．在圆上D．不确定

圆的图形不是函数的图象

剖析：根据函数知识，对于平面直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象．对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．

例如：函数y＝b＋r2－(x－a)2(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y ＝b上方的半圆弧；函数y＝b－r2－(x－a)2(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b下方的半圆弧．

题型一求圆的标准方程

【例1】求下列圆的方程．

(1)圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点(2，－1)；

(2)圆心C(3,0)，且截直线y＝x＋1所得弦长为4.

分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解．

反思：在解决与圆相关的问题时，如果涉及圆心和半径，或者截得的弦长等问题，一般选用圆的标准方程来解题．

题型二圆的直径式方程

【例2】求经过点P1(4,9)和P2(6,3)，且以P1P2为直径的圆的标准方程．

分析：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段P1P2的中点C，半径为|CP1|.

反思：一般地，以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，此结论被称为圆的直径式方程．若本例改为选择题、填空题，可直接得(x－4)(x－6)＋(y－9)(y－3)＝0.

题型三求轨迹问题

【例3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

分析：本题关键是找出点P与定点M及已知动点N之间的联系，再用平行四边形对角线互相平分这一定理解决．

反思：(1)如果动点P (x ，y )的轨迹依赖于另一动点Q (a ，b )的轨迹，而Q (a ，b )又在已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，a ，b 的方程组，利用x ，y 表示出a ，b ，把a ，b 代入已知曲线方程便可得动点P 的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法)．

(2)本题容易忽视两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，28

5，其原因是求出轨迹方程后没有验证这两点与点O ，M 共线，不能构成平行四边形．避免出现此类错误的方法是验证是否满足轨迹

方程的点都符合条件．

题型四 圆的标准方程的实际应用

【例4】如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？

分析：建立平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，再利用方程解决相关问题． 反思：建系不同，圆的方程不同，但建系时，要尽量使方程简单，并有利于目标实现．本题若选择其他方法建系也不影响结论．

题型五 易错辨析

【例5】已知圆C 的半径为2，且与y 轴和直线4x －3y ＝0都相切，试求圆C 的标准方程．

错解：由题意可设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝4，又圆C 与y 轴相切，可知a ＝2，

又圆C 与4x －3y ＝0相切，可知|4×2－3b |42＋(－3)2

＝2，得b ＝6，或b ＝－2

3.

∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －6)2＝4或(x －2)2＋⎝⎛⎫y ＋2

32＝4. 错因分析：圆C 与y 轴相切意味着|a |＝2，而不是a ＝2.

1以点A (－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( )． A ．(x ＋5)2＋(y －4)2＝16 B ．(x －5)2＋(y ＋4)2＝16 C ．(x ＋5)2＋(y －4)2＝25 D ．(x －5)2＋(y ＋4)2＝25

2圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )． A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5

3经过圆(x ＋3)2＋(y －5)2＝36的圆心，并且与直线x ＋2y －2＝0垂直的直线方程为______________．

4圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为__________．

5已知点P 是曲线x 2＋y 2＝16上的一动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为(12,0)．当点P 在曲线上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹方程．

答案： 基础知识·梳理

1．轨迹 圆心 半径