13数学期中试题概率部分

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初一数学概率试题答案及解析

初一数学概率试题答案及解析1.用10个球设计一个摸球游戏，使得：（1）摸到红球的机会是。

（2）摸到红球的机会是，摸到黄球的机会是。

（3）你还能设计一个符合下列条件的游戏吗？为什么？摸到红球的机会是，摸到黄球的机会是，摸到绿球的机会是。

【答案】（1）设计的摸球游戏为：5个红球，5个其他颜色的球；（2）设计的摸球游戏为：5个红球，4个黄球，1个其他颜色的球；（3）不能设计．【解析】（1）（2）利用设计球的个数=球的总数×摸到该球的概率直接计算即可；（3）利用同一个实验中所有概率之和为1进行验证即可．试题解析：（1）红球的个数为：10×=5，故设计的摸球游戏为：5个红球，5个其他颜色的球；（2）红球的个数为：10×=5，黄球的个数为：10×=4，其他颜色的球的个数为：10-5-4=1，故设计的摸球游戏为：5个红球，4个黄球，1个其他颜色的球；（3）∵++＞1，∴不能设计．【考点】概率公式．2.有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．（1）用画树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；（2）求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率．【答案】（1）树状图如下：（2）【解析】解：（1）树状图如下：所有等可能的结果有16种：（A，A），（A，B），（A，C），（A，D）（B，A），（B，B），（B，C），（B，D）（C，A），（C，B），（C，C），（C，D）（D，A），（D，B），（D，C），（D，D）列表如下：所有等可能的结果有16种；（2）摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌有4种情况，即：（B，B），（B，C），（C，B），（C，C）故所求概率是．本题涉及了概率的计算，该题是常考题，主要考查学生对概率、事件的概念以及事件发生的概率的计算。

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中，属于概率的是：A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生，其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生，男生和女生被选到的概率相等。

那么，被选到的学生是男生的概率是多少？A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌，抽到红心牌的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据：10、12、14、16、18中，大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷，正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生，其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生，分别计算：a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少？b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少？2. 一副扑克牌中有52张牌，其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌，并将它们放回，再抽取一张牌。

计算：a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少？b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少？四、解答题1. 一组数据：5、7、9、11、13，从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析：一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题，希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

初三数学概率试题

初三数学概率试题1.一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同。

（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？【答案】（1）；（2）至少取走了9个黑球。

【解析】（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；（2）假设取走了x个黑球，则放入x个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可。

试题解析：（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，∴摸出一个球摸是黄球的概率为：=；（2）设取走x个黑球，则放入x个黄球，由题意，得≥，解得：x≥，∵x为整数，∴x的最小正整数解是x=9。

答：至少取走了9个黑球。

【考点】1.概率公式；2.一元一次不等式的应用。

2.一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球的号码之积为偶数的情况数，即可求出所求的概率：列表如下：∵所有等可能的情况数有4种，两次摸出小球的号码之积为偶数的情况有3种，∴两次摸出小球的号码之积为偶数的概率P=．故选D．【考点】1.列表法或树状图法；2.概率．.3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是．【答案】．【解析】∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数，∴任取一个数是奇数的概率是：．故答案是．【考点】概率公式．4.下列事件是随机事件的是（）A．购买一张福利彩票，中特等奖B．在一个标准大气压下，将水加热到100℃，水沸腾C．奥林匹克运动会上，一名运动员奔跑的速度是30米/秒D．在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出一个红球【答案】A.【解析】A．购买一张福利彩票，中特等奖,，是随机事件；B．在一个标准大气压下，将水加热到100℃，水沸腾，是必然事件；C．奥林匹克运动会上，一名运动员奔跑的速度是30米/秒，不可能事件；D．在一个只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出一个红球，是不可能事件.故选A．【考点】随机事件.5.一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是()A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大【答案】D【解析】A．摸到红球是随机事件，故此选项错误；B.摸到白球是随机事件，故此选项错误；C.摸到红球与摸到白球的可能性相等，根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误；D.根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确．6.小明和爸爸进行射击比赛，他们每人都射击10次.小明击中靶心的概率为0. 6，则他击不中靶心的次数为________________________；爸爸击中靶心8次，则他击不中靶心的概率为___________________.【答案】4 20%【解析】击不中靶心的次数用打靶的次数乘以击不中靶心的概率.第二个空是用击不中靶心的频率来估计击不中靶心的概率.7.在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数.（1）请用列表法或画树状图的方法求出能组成哪些两位数？（2）求组成的两位数能被2整除的概率.【答案】（1）图表见解析，能组成的两位数有：11，12，13，21，22，23，31，32，33；（2）【解析】（1）画出表格或树状图即可得解；（2）根据概率公式列式即可得解．试题解析：（1）列表如下：或画出树状图如下：能组成的两位数有：11，12，13，21，22，23，31，32，33；（2）∵共有9种均等结果，能被2整除的有三种：12，22，32，∴能被2整除的概率是.考点: 列表法与树状图法．8.在一个不透明的口袋中装有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球.（1）两次摸出的小球的标号不同的概率为；（2）求两次摸出小球的标号之积是3的倍数的概率（采用树形图或列表法）.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）画出树状图，然后根据概率公式计算即可得解；（2）利用概率公式列式计算即可得解．试题解析：（1）根据题意画出树状图如下：共有9种情况，两次摸出的小球的标号不同有6种，所以，P（两次摸出的小球的标号不同）=.（2）两次摸出小球的标号之积是3的倍数的情况有5种，所以P（两次摸出小球的标号之积是3的倍数）=.【考点】1.列表法或树状图法;2. 概率．9.下列说法正确的是【】A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖C．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差，则甲组数据比乙组数据稳定D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件【答案】C。

高二数学概率试题

高二数学概率试题1.设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝.32D．n＝7，p＝0.45【答案】A【解析】由二项分布的均值和方差得,解的【考点】二项分布的均值和方差.2.某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）.（Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率；（Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率.【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】解题思路：(Ⅰ)利用对立事件的概率求解；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式求解（Ⅲ）利用二项分布的概率公式和互斥事件的概率公式求解.规律总结：涉及概率的求法，要掌握好基本的概率模型，正确判断概率类型，合理选择概率公式. 试题解析：（1）(Ⅰ)设选手甲答对一个问题的正确率为，则故选手甲回答一个问题的正确率（Ⅱ）选手甲答了4道题进入决赛的概率为；（Ⅲ）选手甲答了5道题进入决赛的概率为；选手甲答了6道题进入决赛的概率为；故选手甲可进入决赛的概率.【考点】1.互斥事件与对立事件；2.二项分布.3.将二颗骰子各掷一次，设事件A=“二个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件概率计算公式：,,要求点数至少含有6且点数不同，含有6有11中，而其中相同的就一种，故，【考点】条件概率的计算.4.为了解某班学生关注NBA是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到如下的列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到关注NBA 的学生的概率为2/3 ⑴请将上面列连表补充完整，并判断是否有的把握认为关注NBA 与性别有关？⑵现从女生中抽取2人进一步调查，设其中关注NBA 的女生人数为X ，求X 的分布列与数学期望. 附：，其中【答案】(1)关注NBA 与性别有关；（2）分布列（略），E （X ）=1.【解析】（1）本小题独立性检测的应用，本小题的关键是计算出的观测值,和对应的临界值，根据关注NBA 的学生的概率为，可知关注NBA 的学生为32（估计值）.根据条件填满表格，然后计算出，并判断其与的大小关系，得出结论.（2）对于分布列问题：首先应弄清随机变量是谁以及随机变量的取值范围，然后就是每个随机变量下概率的取值，最后列表计算期望. 试题解析：(1）将列联表补充完整有：由,计算可得4分因此，在犯错的概率不超过0.05的前提下认为学生关注NBA 与性别有关，即有把握认为关注NBA 与性别有关 6分（2）由题意可知，X 的取值为0，1，2，,,9分所以X 的分布列为）=1. 12分【考点】（1）独立性检测应用；（2）随机变量的分布列与期望.5.实验北校举行运动会，组委会招墓了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10 人和6人喜爱运动，其余不喜爱.（1）根据以上数据完成以下列联表：（2）根据列联表的独立性检验，有多大的把握认为性别与喜爱运动有关？(3)从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各选1人，求其中不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取的概率．参考公式：（其中）没有关联90%95%99%【答案】（1）见解析；（2）性别与喜爱运动没有关联；（3）.【解析】（1）独立性检验关键是计算出,并同概率表作对比，选择适合的临界值，得出是否具有相关性结论；（2）古典概型概率的计算，间接法：“1”减去既没有甲乙的概率.试题解析：（1）由已知得：喜爱运动不喜爱运动总计（2）由已知得：，则：（选择第一个）.则：性别与喜爱运动没有关联. 8分（3）记不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙至少有一人被选取为事件A，由已知得：从不喜爱运动的女志愿者中和喜爱运动的女志愿者中各抽取1人共有种方法，其中不喜爱运动的女生甲及喜爱运动的女生乙没有一人被选取的共有种方法，则：12分【考点】（1）独立性检测；（2）古典概型.6.一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球个、黄色球个、蓝色球个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得分、摸到黄球得分、摸到蓝球得分．若从这个口袋中随机地摸出个球，恰有一个是黄色球的概率是．⑴求的值；⑵从口袋中随机摸出个球，设表示所摸球的得分之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1），（2）的分布列为：.【解析】（1）本小题为古典概型，基本事件的种数为：，事件：从口袋中随机地摸出个球，有一个是黄色球的方法数为：，即可构建关于的方程；（2）易知取值为，利用古典概型概率公式，易求的每个取值对应的概率，从而可列出分布列，并求出数学期望.试题解析：⑴由题意有，即，解得；⑵取值为.则，，，，的分布列为：故.【考点】古典概型概率公式，分布列，数学期望公式.7.设随机变量服从，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为随机变量服从，所以，故选A.【考点】二项分布.8.某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加上海世博会的志愿者，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≥1)＝________.【答案】【解析】P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝9.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式.(Ⅱ)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】（1）76.4 （2）0.7【解析】解：(Ⅰ).(Ⅱ)(i)这100天的平均利润为(ii) 销量为16枝时，利润为75元，故当天的利润不少于75元的概率为【考点】函数与概率点评：主要是考查了分段函数与均值以及概率的求解，属于中档题。

江西省南昌市进贤县一中2024届高三下学期期中试卷数学试题

江西省南昌市进贤县一中2024届高三下学期期中试卷数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（） A ．9B ．－9C ．212D ．214-2．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 3．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（） A ．3-B ．3C ．1D ．1-4．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．复数2iz +=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限6．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．16B ．48C ．96D ．1288．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势9．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>10．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 11．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

历年考研数学概率统计部分试题分析和详解

2007年(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) 23(1)p p -． (B) 2)1(6p p -.(C) 22)1(3p p -． (D) 22)1(6p p -．【】【答案】应选 (C) .【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：2213)1(p p C -. 故选(C) .(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的密度)|(|y x f Y X 为 (A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D))()(y f x f Y X ．【】【答案】应选 (A) .【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .【评注】对于二维连续型随机变量(Ｘ,Ｙ)，有Ｘ与Ｙ相互独立⇔ f (x , y )=)()(y f x f X X ⇔)|(|y x f Y X =)(x f X ⇔)|(|x y f X Y =)(y f Y .(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于21的概率为____________．【答案】应填43. 【详解】这是一个几何概型, 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间}1,0|),{(<<=y x y x Ω, 记}21||,),(|),{(<-∈=y x y x y x A Ω.故 ΩS S A P A =)(43143==，其中ΩS S A ,分别表示A 与Ω 的面积. (23) (本题满分11分)设二维随机变量(X , Y )的概率密度为 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.(I) 求{}Y X P 2>；(II) 求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】(I) {}Y X P 2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=12210)2(ydx y x dy 247=. (II) 方法一：先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(当z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=yz zdx y x dy 0)2(3231z z -=；当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=；当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z方法二： ⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,10,10,2其他x z x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ; 当01z <<时, ⎰-=zZ dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z(24) (数1, 3)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<<=.,0,1,)1(21,0,21),(其它x x x f θθθθθ 其中参数θ(0<θ<1)未知, n X X X 21,是来自总体X 的简单随机样本, X 是样本均值 (I) 求参数θ的矩估计量θˆ；(II) 判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由. 【详解】(I) dx x xf X E ),()(θ⎰∞+∞-=dx xdx x ⎰⎰-+=10)1(22θθθθ .412)1(414+=++=θθθ令 X =+412θ, 其中 ∑==ni i X n X 11，解方程得θ的矩估计量为: θˆ=212-X . (II) )]()([4)(4)4(222X E X D X E X E +==)]()([42X E nX D +=, 而 dx x f x X E ),()(22θ⎰∞+∞-=dx x dx x ⎰⎰-+=1202)1(22θθθθ .616132++=θθ )()()(22X E X E X D -=22)4121(61613+-++=θθθ 4851211212+-=θθ，故 )4(2X E )]()([42X E n X D +=nn n n n n 1253133132++-++=θθ2θ≠,所以24X 不是2θ的无偏估计量.(24) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 独立分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U ,min ,,max ==.(I) 求(U , V )的概率分布;(II) 求(U , V )的协方差C ov (U , V ).【详解】(I) 易知U , V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,min ,1,(max )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P , {}{}0})2,min ,1,(max )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,min ,2,(max )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P )2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 94=, {}{}})2,min ,2,(max )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 91=, 故(U , V )的概率分布为:(II) 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=, 而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E .故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov .2006年一、设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤=91。

2022-2023学年北京市高二下学期期中练习数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市高二下学期期中练习数学试题一、单选题1．在等差数列中，，则的值为（）{}n a 456300a a a ++=46aa +A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为数列为等差数列，所以，{}n a 4652a a a +=又因为，所以，456300a a a ++=46200a a +=故选：D.2．可以化简为（）()()*32113333N n f n n +=+++++∈ A ．B ．312n -1312n +-C ．D ．2312n +-3312n +-【答案】C【分析】根据等比数列求和公式计算可得.【详解】.()()322211133113333132n n n f n +++⨯--=+++++==- 故选：C3．已知随机变量，，那么（）()22,X N σ ()40.8P X ≤=()24P X ≤≤=A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.8【答案】B【分析】根据正态分布的性质计算可得.【详解】因为，所以，又，()22,X N σ ()20.5P X ≤=()40.8P X ≤=所以.()()()24420.80.50.3P X P X P X ≤≤=≤-≤=-=故选：B 4．已知，随机变量的分布列如下，当增大时（）103a <<ξaξ1-01Pa13a -23A ．增大，增大B ．减小，增大()E ξ()D ξ()E ξ()D ξC ．增大，减小D ．减小，减小()E ξ()D ξ()E ξ()D ξ【答案】B【解析】利用数学期望和方差公式得出关于的函数，根据函数单调性判断和的变化情a ()E ξ()D ξ况．【详解】解：，2(3)E a ξ=-当增大时，减小，∴a ()E ξ，22222117()()()()(522333339)3D a a a a a a a ξ=-++--++=-++在上随的增大而增大，()D ξ∴1(0,3a 故选：B ．【点睛】熟记期望和方差的公式，并能进行准确的运算，是求解的关键.5．已知某同学在高二期末考试中，A 和B 两道选择题同时答对的概率为，在A 题答对的情况下，23B 题也答对的概率为，则A 题答对的概率为89A ．B ．C ．D ．1 4341279【答案】B【分析】根据条件概率公式计算即可.【详解】设事件A ：答对A 题，事件B ：答对B 题，则，()()()23P AB P A P B =⋅=.()()()8|9P AB P B A P A ∴==.()34P A ∴=故选：B.【点睛】本题考查了条件概率的计算，属于基础题.6．在用数学归纳法证明的过程中，从“到”()()()()()*12213521N n n n n n n n +++=⋅⋅⋅-∈ k 1k +左边需增乘的代数式为（）A ．B ．22k +()()2122k k ++C ．D ．221k k ++()221k +【答案】D【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.n k =1n k =+【详解】当时，左边，n k =(1)(2)()(1)(2)(2)A k k k k k k k =+++=++ 当时，左边，1n k =+()()()()()()23112322B k k k k k k k =+++++=+++ 则.(2)(3)(2)(21)(22)(21)(22)2(21)(1)(2)(2)1B k k k k k k k k A k k k k ++++++===++++ 故选：D.7．设函数在R 上可导，其导函数为，已知函数的图象如图所示，有下列()f x ()f x '(1)()y x f x '=-结论：①有极大值()f x ()2f -②在区间上是增函数()f x ()1,+∞③的减区间是；()f x ()2,-+∞④有极小值.()f x ()1f 则其中正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】根据，的正负求出的正负，可得函数的单调性及极值，判断选项.1x -(1)()y x f x '=-()f x '【详解】当时，由的图象可知，所以，<2x -(1)()y x f x '=-0y >()0f x '>当时，由的图象可知，所以，2<<1x -(1)()y x f x '=-0y <()0f x '<当时，由的图象可知，所以，1x >(1)()y x f x '=-0y >()0f x '<即函数在上递增，在上单调递减，()f x (,2)-∞-(2,)-+∞所以有极大值.()f x ()2f -故①③正确，②④错误.故选：C8．函数的单调递增区间是（）2()e xf x x -=⋅A ．B ．()2,0-()(),2,0,-∞-+∞C ．D ．()0,2()(),0,2,-∞+∞【答案】C【分析】求得函数的导数，令，即可求解函数的递增区间.()(e 2)x x x f x --'=()0f x ¢>【详解】由题意，函数，可得，()22ee xxx f x x -=⋅=()(e 2)x x x f x --'=令，即，解得，()0f x ¢>(2)0x x -<02x <<所以函数的递增区间是.2e xy x -=⋅()0,2故选：C.9．已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（）{}n a 124a a a <<{}n a A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列是等比数列，可假设，{}n a 12,2a q =-=-则，12342,4,8,16a a a a =-==-=可知，但数列不是递增数列，124a a a <<{}n a 若数列是递增等比数列，由定义可知，，故{}n a 124a a a <<“”是“是递增数列”的必要不充分条件124a a a <<{}n a 故选：B 10．设函数定义域为D ，若函数满足：对任意，存在，使得()f x ()f x c D ∈,a b D ∈成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（）()()()f a f b f c a b -'=-()f x ΓΓA ．B ．C ．D ．2()f x x=3()f x x=()xf x e=()ln f x x=【答案】B 【解析】构造函数，可得，则在定义域内正负号不变时()()()g x f x f c x'=-()()g x f x ''''=()f x ''满足性质，若有唯一变号零点时不满足性质，则通过计算即可判断.Γ()f x ''0x Γ()f x ''【详解】可化为，()()()f a f b f c a b -'=-()()()()f a f c a f b f c b ''-=-令，()()()g x f x f c x '=-则，，()()()g x f x f c '''=-()()g x f x ''''=若在定义域内正负号不变，那么是的变号零点，则在的两侧的单调性∴()f x ''x c =()g x '()g x x c =不一致，因此满足性质；Γ若有唯一变号零点，那么取，则在定义域内的正负号不变，进而函数在()f x ''0x 0c x =()g x '()g x 定义域内单调，因此不满足性质.Γ对于A ，，则，所以满足性质；()2f x x'=()20f x ''=>Γ对于B ，，则有唯一变号零点0，所以不满足性质；()23f x x '=()6f x x''=Γ对于C ，，则，所以满足性质；()xf x e '=()0x f x e ''=>Γ对于D ，，则，所以满足性质.()1f x x '=()210f x x ''=-<Γ故选：B.【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题.二、填空题11．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是，把次品误判为正品的概率0.1是．如果一箱产品中含有件正品，件次品，现从中任取件让该质检员检验，那么出现误判0.05821的概率为___________．【答案】0.09【详解】取得正品的概率为，则取得正品且误判的概率为；80.810=0.10.80.08⨯=取得次品的概率为，则取得次品且误判的概率为，20.210=0.050.20.01⨯=故出现误判的概率是．0.080.010.09+=12．若数列满足，则通项公式为__________.{}n a ()*111,1N n n a a a n n +==++∈n a =【答案】(1)2n n +【分析】根据题意，利用累加法即可求解.【详解】因为，()*11N n n a a n n +=++∈所以当时，2n ≥11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ (1)321n n =+-++++ ，(1)2n n +=当时，，满足，所以，1n =11212a ⨯==11a =(1)2n n n a +=故答案为：.(1)2n n +13．若数列的前项和为,则的通项公式是_______．{}n a n 213n n S a =+{}n a n a =【答案】()132n -⋅-【分析】利用与的关系即得.n a n S 【详解】因为，213n n S a =+所以，，111213a S a ==+13a =当时，，2n ≥11122221(1)3333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+=-所以，12n n a a -=-∴是以3为首项，为公比的等比数列，{}n a 2-所以．13(2)n n a -=⋅-故答案为：．13(2)n n a -=⋅-14．点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为__________.P e xy =Q ln y x =PQ【分析】由解析式可分析两函数互为反函数，则图象关于对称，则点到的距离的最小y x =P y x =值的二倍即为所求，利用导函数即可求得最值.【详解】因为与互为反函数，两函数图象关于对称，e xy =ln y x =y x =设点为，则到直线的距离为P (),e xx y x =d 设，则，令，即，()e x h x x=-()e 1x h x '=-()0h x '=0x =所以当时，即单调递减，(),0x ∈-∞()0h x '<()h x 当时，即单调递增，()0,x ∈+∞()0h x '>()h x所以，则，()()min 01h x h ==min d ==所以的最小值为.PQmin 2d =三、双空题15．设是集合且中所有的从小到大排成的数列，即{}n a {220t ss t +≤<∣},s t Z ∈，……将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成1234563,5,6,9,10,12a a a a a a ======{}n a 如下的三角形数表：（1）则这个三角形数表的第四行的数分别为__________.；（2）__________.100a =【答案】17,18,20,【分析】根据题意找出规律即可求解.【详解】根据数列中的项与集合中的元素的关系，{}n a 数列的第一项对应，0,1s t ==数列的第二项对应，0,2s t ==数列第三项对应，1,2s t ==数列第四项对应，0,3s t ==数列第五项对应，1,3s t ==数列第六项对应，2,3s t ==由此可得规律，数表中的第行对应n ,0,1,2,3,,(1).t n s n ==- 用记号表示的取值，那么数列中的项对应的也构成一个三角表：(,)s t ,s t {}n a (,)s t因此第四行的数是；；；；042217+=142218+=242220+=342224+=由，知在第十四行中的第9个数，13(131)12313912⨯+++++== 100a 所以，1100842216640=+=a 故答案为：17,18,20,24；16640.四、解答题16．为等差数列的前项和，且，公差不为零，若成等比数列，求：n S {}n a n 11a =124,,,m S S S S (1)数列的通项公式及实数的值；{}n a m (2)若数列满足，求数列的前项和；{}n b ()*11n n n b a a n +⋅⋅=∈N {}n b n nT(3)若数列满足，求的和.{}n c ()2*1234nn a c c c c n ++++=∈N 13521n c c c c -++++ 【答案】(1)，21n a n =-8m =(2)21nn +(3)21224n n -+【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质即可得到等差数列的公差，从而得到其通项公式，{}n a d 再列出方程即可得到；m （2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果；（3）根据题意，由数列与其前项和的关系即可得到其通项公式，然后结合等差数列的前项{}n c n n 和公式即可得到结果.【详解】（1）因为，成等比数列，设等差数列公差为，111a S ==124,,S S S {}n a d 则，即，化简可得，2214S S S =⋅()212114342a a a a d ⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()20d d -=因为，即，所以，0d ≠2d =()11221n a n n =+-⨯=-因为成等比数列，所以，124,,,m S S S S 124m S S S S ⋅=⋅则，求得.()()1111432422m m d ma a d a d -⨯⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭8m =（2）因为，所以，11n n n b a a +⋅⋅=()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭所以123n nT b b b b =++++ 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭（3）因为，()222123211444nn n a c c c c n n -++++===-+ 设数列的前项和为，即，{}n c n n H 214n H n n +=-当时，，2n ≥()()211114n H n n -=---+所以，()()12212211144n n n c n n n H n n H -=-=-⎡⎤-+-=-⎢⎥⎣⎦--+当时，，不满足上式，1n =1114c H ==所以，1,1422,2n n c n n ⎧=⎪=⎨⎪-≥⎩则是以为首项，以为公差的等差数列，35721,,,,n c c c c - 44所以13521n c c c c -++++ ()()()162102444n =+-+-++- ()()214441122424n n n n -+-=+=-+17．某地区教委要对高三期中数学练习进行调研，考查试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分：第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：第一空得分情况得分03人数200800第二空得分情况得分02人数700300(1)这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题的得分的分布列与数学期望；X (2)从该地区高三学生中，随机抽取2位同学，以样本中各种得分情况的频率作为概率，求这2人中恰好有一个同学得满分的概率.【答案】(1)分布列见详解，数学期望为3；(2)0.3648.【分析】（1）根据表中得分情况先算出频数估计概率，分析得出该生这道题的得分的取值可以为：X 0,2,3,5，分别求出概率列出分布列，求出数学期望即可；（2）先找出学生得满分的概率和得不到满分的概率，再求解2人中恰好有一个同学得满分的概率.【详解】（1）由表格数据分析知学生得0分的频率为，0.20.70.14⨯=得2分的频率为：，得3分的频率为：，0.20.30.06⨯=0.80.70.56⨯=得5分的频率为：0.80.30.24⨯=由题意分析得的取值可以为：0,2,3,5，X 则，，，.()00.14P X ==()20.06P X ==()30.56P X ==()50.24P X ==故的分布列为：X X0235P0.140.060.560.24所以的数学期望为：X 00.1420.0630.5650.243⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意知某位学生要得满分的概率为：，0.80.30.24⨯=得不到满分的概率为：，10.240.76-=所以随机抽取2位同学，这2人中恰好有一个同学得满分的概率为：.12C 0.240.760.3648⨯⨯=18．某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指5该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：牙膏品牌A B CD E销售价格152552035市场份额15%10%25%20%30%（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；5125（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．20A B n ①求的值；n ②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和n 3X B X 数学期望．（3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙F 255膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均1μ销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）2μ12,μμ【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析；期望为；（3）．0.65n =6512μμ<【分析】（1）求出销售价格低于元的频率，用频率来衡量概率；25（2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量的可能取值为，然后求出各自对应的X 0,1,2概率，即可列出分布列，求出期望；（3）求出平均值比较即可【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件．125K 由题设，．()0.150.250.20.6P K =++=（2）①由题设，品牌的牙膏抽取了管，A 2015%3⨯=品牌的牙膏抽取了管，B 2010%2⨯=所以．325n =+=（ⅱ）随机变量的可能取值为．X 0,1,2；33351(0)10C P X C ===；2132353(1)5C C P X C ===．1232353(2)10C C P X C ===所以的分布列为：X X12P11035310的数学期望为．X 1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=（3）．12μμ<（理由：，设品牌的市场占有额为，11515%2510%525%2020%3530%20.5μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=F m 市场占有额分别为，则,,,,A B C D E 3,2,5,4,6x x x x x2153252552043562520x x x x x mx mμ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=+）11532525520435620.520x x x x xx μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯>==19．已知函数.()()11ln f x kx k x x =-+-(1)当时，求函数的增区间；12k =()f x (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.（其中）x ()1f x ≤[]1,e k e 2.71828= 【答案】(1)，()0,1()2,+∞(2)1k ≤【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间；（2）依题意可得函数在区间上的最大值小于等于，求出函数的导函数，分、()f x []1,e 10k =、、、五种情况讨论，分别得到函数的最大值，即可求出参数的取值范围.0k <1k =1k >01k <<【详解】（1）因为，，()()11ln f x kx k x x =-+-()0,x ∈+∞所以，()22211(1)1k kx k x f x k x x x +-++'=-+=当时，，令，解得或，12k=()21(2)(1)2x x f x x --'=()0f x ¢>01x <<2x >所以函数的单调递增区间为，．()f x ()0,1()2,+∞（2）不等式在区间上恒成立，()1f x ≤[]1,e 即函数在区间上的最大值小于等于，()f x []1,e 1当时，则，当时，0k =()1ln f x x x =--()22111xf x x x x -=-+'=1e x <≤()0f x '<所以在上单调递减，所以，符合题意；()f x []1,e ()()max 11f x f ==-当时，0k ≠()()211k x x k f x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=令，得，，()0f x '=11x k =21x =当时则当时，0k <1e x <≤()0f x '<所以在上单调递减，所以，所以，解得，()f x []1,e ()()max11f x f k ==-110k k -≤⎧⎨<⎩0k <当时，所以当时，1k >101k <<1e x <≤()0f x ¢>所以在上单调递增，所以，()f x []1,e ()()max 1e e 1ef x f k k ==---所以，不等式组无解，不符合题意；1e 11e 1k k k ⎧---≤⎪⎨⎪>⎩当时，所以当时，1k =11k =1e x <≤()0f x ¢>所以在上单调递增，所以，()f x []1,e ()()max 1e e 111ef x f ==---<符合题意，当时，则，01k <<11k >当时，对成立，函数在区间上单调递减， 1e k ≥()0f x '≤[]1,e x ∈()f x []1,e 所以函数在区间上的最大值为，()f x []1,e ()111f k =-<所以不等式在区间上恒成立，()1f x ≤[]1,e 当时，，随的变化情况如下表：1e k <()f x '()f x x x11,k ⎛⎫⎪⎝⎭1k 1,e k ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '-0+()f x 单调递减极小值单调递增所以函数在区间上的最大值为或，()f x []1,e ()1f ()e f 此时，，()111f k =-<()1e e (1)ef k k =-+-所以．()1111e 1e (1)1(e 1)2(e 1)2e 30e e e ef k k k -=-+--=---<---=--<所以当时，不等式在区间上恒成立．01k <<()1f x ≤[]1,e 综上可得.1k ≤20．已知函数，直线．21()2f x x x =+1l y kx =-：（Ⅰ）求函数的极值；()f x （Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；R k ∈l ()y f x =（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由．()y f x =l 【答案】（Ⅰ）极小值，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当时，曲线与直(1)3f =2k =()y f x =线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点．l 2k ≠()y f x =l 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出当()f x ()0f x '=x 变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数x ()0f x '=()f x ()y f x =有极小值，无极大值()y f x =(1)3f =（Ⅱ）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，R k ∈l ()y f x =再求，()f x '求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意，A R k ∈直线都不是曲线的切线.l ()y f x =（Ⅲ）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.()y f x =l 由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数3112k x x =++1t x =32k t t =++t R ∈0t ≠，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证3()2h t t t =++t R ∈试题解析：函数定义域为，()f x {|0}x x ≠求导，得，32()2f x x =-'令，解得．()0f x '=1x =当变化时，与的变化情况如下表所示：x ()f x '()fx 所以函数的单调增区间为，，单调减区间为， ()y f x =(,0)-∞(1,)+∞(0,1)所以函数有极小值，无极大值．()y f x =(1)3f =（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，R k ∈l ()y f x =设切点为，又因为，00201(,2)A x x x +32()2f x x =-'所以切线满足斜率，且过点，所以，3022k x =-A 002300122(2)1x x x x +=--即，此方程显然无解，所以假设不成立．2031x =-所以对于任意，直线都不是曲线的切线. R k ∈l ()y f x =（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.()y f x =l 由方程，得. 2121x kx x +=-3112k x x =++令，则，其中，且.考察函数，其中，1t x =32k t t =++t R ∈0t ≠3()2h t t t =++t R ∈因为时，所以函数在单调递增，且. 2()310h t t +'=>()h t R ()h t R∈而方程中，，且.32k t t =++t R ∈0t ≠所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，(0)2k h ==32k t t =++2k ≠32k t t =++故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个2k =()y f x =l 2k ≠()y f x =l 交点.【解析】导数的单调性与导数及导数的几何意义.21．给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数()*N ,3m m m ∈≥{}na {}()0,11,2,,ia i m ∈= ，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，()21k k m ≤≤-{}n a k k 则称数列是“阶可重复数列”，例如数列.因为与按次序{}n a k {}:0,1,1,0,1,1,0n a 1234,,,a a a a 4567,,,a a a a 对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.{}n a (1)分别判断下列数列①.{}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0n b ②.{}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1n c 是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；(2)若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；m {}n a m (3)假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是{}n a m a “5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.41a ={}n a m a 【答案】(1)①是，重复五项为0，0，1，1，0；②不是(2)11，理由见解析(3)1【分析】（1）观察数列特点看元素是否按次序对应相等即可判断数列是否为5阶可重复数列；（2）项数为的数列一定是3阶可重复数列，数列的每一项只可以是0或1，则连续3项共m {}n a 有8种不同的情况，分别讨论，，时情况可得结论；11m =10m =310m ≤<（3）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是：“5阶可重复数列”，{}n a m a 则存在，使得与按次序对应相等，或与i j ≠1234,,,,i i i i i a a a a a++++321,,,,0m m m m a a a a ---1234,,,,j j j j j a a a a a ++++按次序对应相等，经分析可得.321,,,,1m m m m a a a a ---4m a a =【详解】（1）记数列①为，因为与按次序对应相等，{}n b 23456,,,,b b b b b 678910,,,,b b b b b 所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0，0，1，1，0;记数列②为，因为、{}n c 12345,,,,c c c c c 、、、、没有完全相同的，23456,,,,c c c c c 34567,,,,c c c c c 45678,,,,c c c c c 56789,,,,c c c c c 678910,,,,c c c c c 所以不是“5阶可重复数列”.{}n c （2）因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形.{}n a 328=若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的11m ={}n a 数列一定是“3阶可重复数列”；若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可{}n a 10m =重复数列”；则3≤m < 10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列. 所以，要使数列一定是{}n a {}n a “3阶可重复数列”，则的最小值是11.m （3）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是：“5阶可重复列”，即{}n a m a 在数列的末项后再添加一项0或1，则存在，使得与{}n a m a i j ≠1234,,,,i i i i i a a a a a ++++按次序对应相等，321,,,,0m m m m a a a a ---或与按次序对应相等，1234,,,,j j j j j a a a a a ++++321,,,,1m m m m a a a a ---如果与不能按次序对应相等，1234,,,a a a a 321,,,m m m m a a a a ---那么必有，使得、与按次序对应相24,,i j m i j -≤≤≠123,,,i i i i a a a a +++123,,,j j j j a a a a +++321,,,m m m m a a a a---等.此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应11,i j a a --4m a -{}n a相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾；{}n a {}n a 所以与按次序对应相等，从而.1234,,,a a a a 321,,,m m m m a a a a ---41m a a ==【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，因此理解新定义是解题的关键之一，同时需要使用分类讨论的思想与方法是关键点之二，其三本题推理过程中反证法思想的应用也是解题的关键.。

高2数学试题概率及答案

高2数学试题概率及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，下列哪个概率是正确的？A. 取出红球的概率是1/3B. 取出蓝球的概率是1/2C. 取出红球的概率是5/8D. 取出蓝球的概率是3/82. 抛一枚公正的硬币两次，下列哪个事件的概率是1/4？A. 两次都是正面B. 两次都是反面C. 至少一次是正面D. 至少一次是反面3. 一个班级有30个学生，其中10个是男生，20个是女生。

随机选择一个学生，下列哪个概率是正确的？A. 选择男生的概率是1/3B. 选择女生的概率是2/5C. 选择男生的概率是1/2D. 选择女生的概率是3/54. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率相等。

投掷一次骰子，下列哪个事件的概率是1/6？A. 得到1点B. 得到2点C. 得到3点D. 所有选项都是1/65. 一个盒子里有3个白球和2个黑球，随机取出两个球，下列哪个组合的概率是1/5？A. 两个都是白球B. 两个都是黑球C. 一个白球和一个黑球D. 没有可能的组合二、填空题（每题2分，共10分）6. 如果一个事件的概率是0.6，那么它的对立事件的概率是________。

7. 一个袋子里有7个球，其中2个是红球，5个是蓝球。

如果随机取出一个球，再放回去，然后再取出一个球，两次取出的都是红球的概率是________。

8. 抛一枚公正的硬币三次，至少出现一次正面的概率是________。

9. 一个袋子里有4个白球和6个黑球，随机取出3个球，取出的球都是同一种颜色的概率是________。

10. 如果一个事件的概率是p，那么它的必然事件的概率是________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个袋子里有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球。

求以下事件的概率：- 随机取出一个球，是红球的概率。

- 随机取出两个球，两个都是红球的概率。

12. 一个班级有50个学生，其中25个是男生，25个是女生。

湖北省黄冈市部分普通高中2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题答案

2023年秋季黄冈市部分高中阶段性质量检测高三数学试题参考答案一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）.12345678DCABABBD二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.9101112ABCABDADACD三､填空题.13.7414.[)ππ2，15.716.[)∞+，1部分小题解析：8.对R x ∈∀，都有)(-11-1-1-)-(x f x x x x x f =+-=--+=所以0)()(,=-+∈∀x f x f R x ，)(x f 为奇函数，A 错；⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤<--+=--+=>1,1110,1111)(,0x x x x x x x x x f x 时易知)(x f 在(]10，上单调递增，此时(20)(，∈x f 当11211)(,1-++=--+=>x x x x x f x 时∴)(x f 在()∞+，1上单调递减，此时()20)(，∈x f ∴0>x 时，(20)(，∈x f ∴0<x 时，[)02-)(，∈x f 而0)0(=f ，所以0m =，方程m x f =)(仅有一根，B 错；()1,0∈x 时，()+∞∈,1-2x ，此时()()121211)2(-)(---+----+=-x x x x x f x f =xx x x x x --+=-+----+311311而函数x x x p --+=31)(在()10，上单调递增，得()1,0∈x 时，0)1()(=<p x p ())2()(,10x f x f x -<∈∀∴，对，C 错；综上，0≤a 时，2-2≥a ，此时)2(0)(a f a f -<≤()1,0∈a 时，()+∞∈,1-2a ，此时)2()(a f a f -<1≥a 时，()10-2，∈a ，此时)2()(a f a f -≥，D 对9.提示：因b b a -≥>，所以0>+b a ，A 对因33b a b a b b a >>≥>，，，B 对由上，，02>+>>b a a b a 所以，ab a 211>+C 对由于()4)(2,0,0,10>-+-+=--->-<-=>b aab b b a a b a b a b ab a ，所以，ba b a ->-411D 错10.提示：C 项：6,32ππ==B A 时，sin cos A B =，C 错11.提示：)6cos()(πωω-='x x f Z k k x ∈=-,26ππω得)(x f '取得最大值时的Z k k x ∈+=,26ωππ结合)(x f 'ωπ2==T AC ωπ323B ==T C ωπ362B ==T C ∴Z k k k x c ∈+=++=,22326ωππωπωππ∴)(c x f 'Z k k k ∈==+=-+⋅=,12)23cos()622cos(ωππωπωππωω∴2=ω12.提示： x x x f x f x x x f 1)()()(2=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛∴可设C x xx f +=ln )(（其中C 为常数）又对任意的正数n m ,恒有mnn mf m nf mn f ++=)()()(xy=1ABC∴对任意的正数n m ,恒有1)()()(++=nn f m m f mn mn f ∴()1ln ln ln ++++=+C n C m C mn ∴1-=C ，x x x x f x xx f -=-=ln )(,1ln )(其中D 项：22ln )()(x x x x x x f x p +-=+=，xx x p 2ln )(+=' )(x p '在()∞+，0上单调递增，且021)1(<+-='e e p ，02)1(>='p 所以⎪⎭⎫⎝⎛∈∃1,1e x o 使)(x p 在()o x ，0上单调递减，)(x p 在()+∞,o x 上单调递增∴o x x =为函数)(x p 的极小值点且满足02ln 0=+x x o ，⎪⎭⎫⎝⎛∈1,1e x o ∴()0)1(2222ln 3000200000>-=+-=+=+x x x x x x x x x f o 16.提示：由a x eaxln ≥恒成立可得0>a ，此时直线a x y 1+=恒在直线x y =上方∴不等式a x a x e ax ln 1≥+≥恒成立只需不等式ax e ax1+≥恒成立即可⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=a x e x p ax 1)(令，1)(-='ax ae x p 则∴)(x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-a a ln ,上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+-，a a ln 上单调递增∴0ln ln ()(min ≥=-=aa a a p x p ∴1≥a 四､解答题.17.（1）βααββα+=∠-=∠=∠=∠BAC B CAD BAD ，，则设,102)sin(102)(os =--=+∴αββα，c 20,0ππ<∠<<∠<B BAC 1027)cos(,1027)sin(=-=+∴αββα2524)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin =-++-+=-++=∴αββααββααββαβ25242sin C sin ==∴β5224sin sin =⇒=∆AB C AB B AC ABC 中，在（5分）（2）)]()cos[(2cos αββαα--+=0)sin()sin()cos()cos(=-++-+=αββααββα42222020ππαπαπα=∠∴=∠=∴<<∴∈=∠BAD BAD BAD ，（而（10分）18.（1）由题可知：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下703010040岁以上（包含40岁）4060100合计11090200零假设为0H ：选择新能源汽车与车主性别相互独立，即选择新能源汽车与车主年龄无关．所以，828.1018.18211200901101001004030-607020022>≈=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=）（χ所以依据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立.由此推断犯错误的概率不大于0.001α=，故至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.（6分）（2）相关系数为()()niix x y y r--=∑b =所以14.7 4.70.940.95r ==⨯=>，故y 与x 线性相关较强.（12分）19.（1）1112=，21)1(211log 2+=-+=∴n n n T n 2)1(2+=∴n n n T （3分）nnn n n n n n T Ta n 2222)1(2)1(1===≥∴--+-时，符合上式又1122==a n n a 2=∴（6分）（2）nn n n b )21(21)1(1--=⋅-=+])21(1[31)21(1])21(1[21n n n S --=----=∴（8分）)211(31�n n S n +=为奇数时，当为单调递减数列此时n S 21S 311=≤<∴S n 此时211(31�n n S n -=为偶数时，当为单调递增数列此时n S 31S 412<≤=∴n S 此时综上①②n S 的最小值为41，最大值为21（12分）（2），设α=∠BOM ααcos 11os =∴==∆OM OM OM OB c BOM Rt ，中，在62πααπ+=∠-=∠∆ONC NOC NOC ，中，在)6sin(22sin sin πα+=∠=ON ONC OC C ON ，得由)6sin(cos 4321παα+⋅=⋅=∴∆ON OM S OMN （8分）αααπαα2cos 2cos sin 32)6sin(cos 4+=+⋅=t 令1)62sin(212cos 2sin 3++=++=πααα32ta 20=∠<∠≤≤AOB n AOB 其中πα33)(,36262min max ====+∴∆OMN S t 时，παππα（12分）22.（1）方程xe x=-ln 1xa x e x +=-⇔ln 1a x x xe x +=-⇔ln ax x e x x =+-⇔+)ln (ln 令x x t ln +=，函数x x t ln +=在()+∞∈,0x 单调递增且R t ∈∴方程xax x f +=ln )(在()+∞∈,0x 有两根21,x x可转化方程a t e t =-在R t ∈有两根21,t t ，其中222111ln ,ln x x t x x t +=+=令t e t p t -=)(，则1)(-='t e t p ∴)(t p 在()0,∞-∈t 为减函数，在()+∞∈,0t 为增函数∴1)0()(min ==p t p 又-∞→x 时，+∞→)(t p ；+∞→x 时，+∞→)(t p ∴),1(+∞∈a （6分）（2）不妨设两根21t t <，则210t t <<，)()(21t p t p =令0,2)()()()()(>--=+--=--=--t t e e t e t e t p t p t q t t t t 则02)(>-+='-t t e e t q ∴)(t q 在()+∞∈,0t 单调递增∴0>t 时，0)0()(=>q t q 由02>t 得0)()()(222>--=t p t p t q ∴)()()(221t p t p t p ->=而)(t p 在()0,∞-∈t 单调递减，且0021<-<t t ，所以02121<+-<t t t t ，所以0ln ln 221121<+++=+x x x x t t 2121212122112ln 2)ln(ln ln x x x x x x x x x x x x +≥++=+++∴0ln 2121<+x x x x 又021111ln>-=+e e e ∴ee x x x x 11lnln 2121+<+而x x y +=ln 在()+∞∈,0x 单调递增∴e x x 121<∴ex x 121<（12分）。

(精选试题附答案)高中数学第十章概率重点归纳笔记

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率重点归纳笔记单选题1、2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（） A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740 答案：C分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ，显然A,B,C 为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ，且ABC,ABC,ABC 互斥，∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380. 故选：C.2、如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为p (0<p <1)，则该系统正常工作的概率为（）A ．[1−(1−p )p 2]pB ．[1−p (1−p 2)]pC ．[1−(1−p )(1−p 2)]pD ．[1−(1−p )2p ]p 答案：C分析：要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.记零件或系统X 能正常工作的概率为P(X)，该系统正常工作的概率为:P {[(AB )∪C ]∩D }=P [(AB )∪C ]P (D ) =[1−P(AB)P(C)]P (D )=(1−P(A ∪B)P(C))P (D ) =[1−(1−P (AB ))(1−P (C ))]P (D )=[1−(1−p 2)(1−p )]p , 故选：C.3、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100 答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100.所以答案是：D4、抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（） A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立 C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立答案：A分析：先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义P(AB)=P(A)P(B)判断个选项的正误. 解：由题意得： P(E)=1836=12，P(F)=636=16，P(G)=436=19，P(H)=336=112对于选项A ：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12×19=118，P(EG)=P(E)P(G)，所以E 和G 互相独立，故A 正确；对于选项B ：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112=124，P(EH)≠P(E)P(H)，所以E 和H 不互相独立，故B 错误；对于选项C ：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19=154，P(FG)≠P(F)P(G)，所以F 和G 不互相独立，故C 错误；对于选项D ：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1108，P(GH)≠P(G)P(H)，所以G 和H 不互相独立，故D 错误；故选：A5、如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）A ．0.999B ．0.981C ．0.980D ．0.729 答案：B解析：求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率P 1=0.9×0.9=0.81，开关3正常工作的概率P 2=0.9，故该系统正常工作的概率P =1−(1−P 1)(1−P 2)=1−(1−0.81)×(1−0.9)=0.981, 所以该系统的可靠性为0.981. 故选：B.6、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A =“向上的点数为3”，B =“向上的点数为6”，C =“向上的点数为3或6”，则有（）A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．A ∩B =CD ．A ∪B =C 答案：D分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项对于A ：事件A =“向上的点数为3”发生，事件B =“向上的点数为6”一定不发生，故选项A 不正确；对于B ：事件C =“向上的点数为3或6”发生，事件B =“向上的点数为6”不一定发生，但事件B =“向上的点数为6”发生，事件C =“向上的点数为3或6” 一定发生，所以B ⊆C ，故选项B 不正确；对于C ：事件A 和事件B 不能同时发生，A ∩B =∅，故选项C 不正确；对于D ：事件A =“向上的点数为3”或事件B =“向上的点数为6”发生，则事件C =“向上的点数为3或6”发生，故选项D 正确；故选：D7、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（）． A ．112B ．16C ．14D ．13答案：B分析：设齐王的三匹马分别为a 1,a 2,a 3，田忌的三匹马分别为b 1,b 2,b 3，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.设齐王的三匹马分别为a 1,a 2,a 3，田忌的三匹马分别为b 1,b 2,b 3，所有比赛的情况:： (a 1,b 1)、(a 2,b 2)、(a 3,b 3)，齐王获胜三局； (a 1,b 1)、(a 2,b 3)、(a 3,b 2)，齐王获胜两局； (a 1,b 2)、(a 2,b 1)、(a 3,b 3)，齐王获胜两局； (a 1,b 2)、(a 2,b 3)、(a 3,b 1)，齐王获胜两局； (a 1,b 3)、(a 2,b 1)、(a 3,b 2)，田忌获胜两局；(a1,b3)、(a2,b2)、(a3,b1)，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为P=16故选：B小提示：本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目.8、已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件答案：C分析：根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．故选：C．9、分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 答案：C分析：结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4， C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6， D 选项结论正确. 故选：C10、甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a,b ∈{1,2,3,4}，若|a −b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A ．38B ．58C ．316D ．516 答案：B分析：利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，1)，(2，2)，(2，3) ，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2) (4，3)，(4，4)，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a −b|≤1的样本点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58．故选：B 填空题11、抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____． ①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件； ②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件； ③这枚骰子质地一定不均匀．答案：②解析：根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可.根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确；所以答案是：②小提示：本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题.12、对两个相互独立的事件A 和B ，如P(A)=12，P(B)=14，则P(AB)=______．答案：18解析：根据独立事件概率乘法公式计算.根据概率的乘法公式，有：P(AB)=P(A)⋅P(B)=12×14=18．所以答案是：1813、一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________.答案：0.9## 910分析：利用概率加法公式直接求解.一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：P=0.5+0.7−0.3=0.9.所以答案是：0.9.14、现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m不放回，再从余下的卡片中取一张记作n．则点P(m,n)在第二象限的概率为______．答案：16分析：列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可由题，点P(m,n)所有可能的情况为(−1,0)，(−1,−2)，(−1,3)，(0,−1)，(0,−2)，(0,3)，(−2,−1)，(−2,0)，(−2,3)，(3,−1)，(3,0)，(3,−2)共12种情况，其中在第二象限的为(−2,3)，(−1,3)，故点P(m,n)在第二象限的概率为212=16所以答案是：1615、我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.答案：0．98.分析：本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.240=0.98．小提示：本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．解答题16、人类的四种血型与基因类型的对应为：O 型的基因类型为ii ，A 型的基因类型为ai 或aa ，B 型的基因类型为bi 或bb ，AB 型的基因类型为ab ．其中a 和b 是显性基因，i 是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A 型，一个是B 型，请确定他们的子女的血型是O ，A ，B 或AB 型的概率，并填写下表：答案：见解析分析：根据题意将子女所有血型列举出来，求出样本容量及各种血型的频数，再根据频率与概率的关系即可得解.解：当父母血型的基因类型组合ai ×bi ，得子女血型的基因类型有ai,ab,bi,ii 共4个，则O 型血的概率为14，A 型血的概率为14，B 型血的概率为14，AB 型血的概率为14，当父母血型的基因类型组合ai ×bb ，得子女血型的基因类型有ab,ab,bi,bi 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为0，B 型血的概率为12，AB 型血的概率为12，当父母血型的基因类型组合aa ×bi ，得子女血型的基因类型有ab,ai,ab,ai 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为12，B 型血的概率为0，AB 型血的概率为12，当父母血型的基因类型组合aa ×bb ，得子女血型的基因类型有ab,ab,ab,ab 共4个，则O 型血的概率为0，A 型血的概率为0，B 型血的概率为0，AB 型血的概率为1，填入表中，如表所示：所以一对夫妻的血型一个是A 型，一个是B 型，则他们的子女的血型基因类型的可能结果如下：ai,ab,bi,ii ，ab,ab,bi,bi ，ab,ai,ab,ai ，ab,ab,ab,ab 共16个，则他们的子女的血型是O 型血的概率为116，A 型血的概率为316，B 型血的概率为316，AB 型血的概率为916. 17、从编号为A 、B 、C 、D 的4名男生和编号为m 、n 的2名女生中任选3人参加演讲比赛． (1)把选中3人的所有可能情况一一列举出来； (2)求所选3人中恰有一名女生的概率； (3)求所选3人中至少有一名女生的概率答案：(1)答案见解析 (2)35 (3)45分析：（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果. （1）设4名男生分别为A ，B ，C ，D ，两名女生分别为m ，n ，则从6名学生中任3人的所有情况有：ABC ，ABD ，ABm ，ABn ，ACD ，ACm ，ACn ，ADm ，ADn ，Amn ，BCD ，BCm ，BCn ，BDm ，BDn ，Bmn ，CDm ，CDn ，Cmn ，Dmn ，共20种，（2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为1220=35，（3）由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为1620=45 18、若一正四面体的四个面分别写上数字1，2，3，4，设m 和n 是先、后抛掷该正四面体得到的底面上的数字，用X 表示函数f(x)=x 2+mx +n 零点的个数．（1）求X =0的概率；（2）求在先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率．答案：（1）916；（2）37．解析：（1）基本事件就是(m,n)，用列举法写出所有的有序数对(m,n)，同时得出方程无实数解的(m,n)，计数后可得概率；（2）写出含有3的有序数对(m,n)，求出对应函数有零点的(m,n)，计数后可得概率．（1）由题意，设基本事件空间为Q ={(m,n )|m =1,2,3,4;n =1,2,3,4}，则Q ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3.2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，则Q 中共有16个基本事件；设函数f(x)=x 2+mx +n 零点的个数为0个时为事件A ，则A ={(m,n )|m =1,2,3,4;n =1,2,3,4; 且m 2−4n <0}，即A ={(1,1),(1,2),(1,3),(1.4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)}，则A 中有9个基本事件；所以X =0的概率P(X =0)=916．（2）设先后两次出现的点数中有数字3为事件D ，则Q ={(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)}，故D 中有7个基本事件，设先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的事件为E ，则E ={(3,1),(3,2),(4,3)}，E 中有3个基本事件，所以先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率为37．小提示：关键点点睛：本题考查古典概型，解题关键是事件空间的理解．写出事件空间中的所有基本事件．本题实质就是由1,2,3,4构成的一个有序数对(m,n)为一个基本事件，从而易用列举法写出所有基本事件，并得出满足条件的基本事件．19、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取1张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.答案：（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.分析：本题可根据互斥事件与对立事件的定义得出结果.（1）是互斥事件，不是对立事件.理由：“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生的，是互斥事件，不能保证其中必有一个发生，还可能抽出“方块”或者“梅花”，不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.理由：“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，则它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”可能同时发生，如抽得点数为10，故不是互斥事件，也不可能是对立事件.。

山东省2011-2022年普通高校招生(春季)数学试题专题之概率

山东省2011-2022年普通高校招生（春季）数学专题概率（11-14）袋内有10个球，其中4个红球，3个黄球，3个篮球，从中任取2个球，则恰有1个红球的概率有A.13B.25C.715D.815（12-22）从5名男生和2名女生中任选3人参加某项公益活动，其中至少有1 名女生的概率是（）A.35B.57C.1021D.1742（13-13）将卷号为1至4的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上，则自左到右卷号顺序恰为1,2,3,4的概率等于（）A. 18B. 112C. 116D. 124（14-12）从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得同一张牌的概率是A.15B.25C.125D.225（15-17）甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）A.29B.23C.14D.12（16-15）若有7名同学排成一排照相，恰好甲，乙两名同学相邻，并且丙，丁两名同学不相邻的概率是（）A. 421B. 121C. 114D. 27（17-24）某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选出3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是________。

（18-18）某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A.514B.1528C.914D.67（19-18）箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取到黑色卡片的概率是( )A．16B．13C．25D．35（20-16）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是( )A．225B．116C．125D．132（21-13）在幼儿园“体验分享，快乐成长”的活动中，有三位小朋友都把自己的一件玩具交给老师，老师再把这三件玩具随机发给他们，每人一件，则这三位小朋友都没有拿到自己玩具的概率是( )A．12B．13C．14D．16（22-14）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是( )A.16B.19C.29D.13。

江苏省一轮复习数学试题选编：概率学生含答案

江苏省2014届一轮复习数学试题选编27：概率（学生版）填空题1 ．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在集合{|,1,2,,10}6n M x x n π===中任取一个元素,所取元素恰好满足方程1cos 2x =的概率是________. 3 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概率是______.4 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）现有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则一件合格,另一件不合格的概率为________.5 ．（2011年高考（江苏卷））从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为______.7 ．（2012年江苏理）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是_______.9 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生l 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是___________________.10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是___.11．（2009高考(江苏)）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为___★___.12．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,ABCD 是4⨯5的方格纸,向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰好落在阴影部分内的概率为_______________13．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌面上,则露在外面的6个数字恰好是2,0,1,3,0,3的概率为________.14．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是________.15．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为______.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知一组抛物线2y ax bx c =++,其中a 为1、3、5、7中任取的一个数,b 为2、4、6、8中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线12x =交点处的切线相互平行的概率是_________________.17．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于6的概率是______.18．（2013江苏高考数学）现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n (7≤m ,9≤n )可以任意选取,则n m ，都取到奇数的概率为____________.19．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是_____.20．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x ym n+=1表示双曲线的概率为________.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知某一组数据8,9,11,12,x,若这组数据的平均数为10,则其方差为______.若以连续掷两次骰子得到的点数nm,分别作为点P的横、纵坐标,则点P在直线4x y+=上的概率为______.22．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在数字1、2、3、4四个数中,任取两个不同的数,其和大于积的概率是___.23．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于9的概率是___________.24．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题）若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为6的概率是____25．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,那么甲排在乙前面值班的概率是________.26．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是_______________.27．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）有3个兴趣小组,甲､乙两位同学各参加其中一个小组,且他们参加各个兴趣小组是等可能的,则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______.28．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）有一个容量为66的样本,数据的分组[1.5,3.5)[3.5,5.5)[5.5,7.5)[7.5,9.5)[9.5,11.5)频数 6 14 16 20 10 根据样本的频率分布估计,数据落在[5.5,9.5)的概率约是________.29．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则x y 2=的概率为_____.30．（2013江苏高考数学）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:31．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为5的概率是_______.32．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点,则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为______.33．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设数列{a n }满足：()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，，则a 1的值大于20的概率为 ▲ ．34．（2010年高考（江苏））盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是____35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4,5的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是________.36．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）当A ，B ∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax －By ＝0中，任取一条，其倾斜角小于45︒的概率是___________37．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）某学校有两个食堂,甲,乙,丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的概率为___________.解答题38．（2010年高考（江苏））某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立(1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x 的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率39．（2012年江苏理）设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. (1)求概率(0)P ξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.40．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(1)山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望;(2)某城市有n (n 为奇数,3n ≥)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是0.5,且该游客是否游览这n 个景点相互独立,用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值,求ξ的分布列和数学期望.41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B,C,D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X （三点共线时，规定X=0）（1）求1()2P X ≥；（2）求E （X ）42．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设10件同类型的零件中有2CB件不合格品,从所有零件中依次不放回地取出3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数.(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率;E X.(2)求X的概率分布和数学期望()43．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）在一个盒子中有大小一样的7个球,球上分别标有数字1,1,2,2,2,3,3.现从盒子中同时摸出3个球,设随机变量X为摸出的3个球上的数字和.(1)求概率P(X≥7);(2)求X的概率分布列,并求其数学期望E(X).2013届高三学情调研卷44．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成.(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)若考生乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.45．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计以往100位顾客办理业务所需的时间(t),结果如下:注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ)求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率;(Ⅱ)用X 表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.46．（2009高考(江苏)）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220xax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈（a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。

2013年中考数学试题按章节考点分类：第34章概率初步

（最新最全）2013年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）三十四章概率初步34.1随机事件与概率（2013山东省聊城，3，3分）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A.必然事件B.随机事件C.确定事件D.不可能事件解析：抛一枚均匀硬币，落地后有可能正面朝上、也有可能反面朝上.答案：B点评：必然事件与不可能事件属于确定事件，事先可以确定是否发生；而随机事件事先无法预料能否发生.（2013四川省资阳市，2，3分）下列事件为必然事件的是A．小王参加本次数学考试，成绩是150分B．某射击运动员射靶一次，正中靶心C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球【解析】必然事件是指一定会发生的事件，A是随机事件，B是随机事件，C是随机事件，D是必然事件．【答案】D【点评】本题考查了必然事件和随机事件的概念．要注意必然事件和随机事件属于可能事件，还有一类是不可能事件．难度较小．（2013江苏泰州市，5,3分）有两个事件，事件A：367人中至少有两人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是Ａ．事件A、B都是随机事件Ｂ．事件A、B都是必然事件Ｃ．事件A是随机事件，事件B是必然事件Ｄ．事件A是必然事件，事件B是随机事件【解析】必然事件是一定会发生的事件，A是必然事件，事件B是随机事件【答案】D【点评】本题考查了必然事件和随机事件的概念．要注意必然事件和随机事件属于可能事件，还有一类是不可能事件．（2013年四川省德阳市，第8题、3分．）下列事件中，属于确定事件的个数是⑴打开电视，正在播广告；⑵投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；⑶射击运动员射击一次，命中10环；⑷在一个只装有红球的袋中摸出白球.A.0B.1C.2D.3【解析】（1）和（3）都是不确定事件；（2）是一定会发生的，（4）是一定不会发生的；所以（2）和（4）是确定事件。

初一数学概率试题答案及解析

初一数学概率试题答案及解析1.小明和妹妹做游戏：在一个不透明的箱子里放入20张纸条（除所标字母外其余相同），其中12张纸条上字母为A，8张纸条上的字母为B，将纸条摇匀后任意摸出一张，如果摸到纸条上的字母为A，则小明胜；如果摸到纸条上的字母为B，则妹妹胜。

（1）这个游戏公平吗？请说明理由；（2）若妹妹在箱子中再放入3张与前面相同的纸条，所标字母为B，此时这个游戏对谁有利？【答案】这个游戏对小明有利【解析】（1）不公平，可通过计算他们各自的概率比较即可；（2）这个游戏对小明有利．可分别计算小明和妹妹的概率试题解析：（1）游戏不公平，理由如下：∵P（小明胜）=＝，P（妹妹胜）=＝∴P（小明胜）＞P（妹妹）∴这个游戏不公平；（2）这个游戏对小明有利．理由如下：∵P（小明胜）=，P（妹妹胜）=∴P（小明胜）＞P（妹妹胜）∴这个游戏对小明有利.【考点】游戏公平性2.将100个数据分成8个组，如下表：则第六组的频数为（）A．12B．13C．14D．15【答案】D．【解析】根据表格，得第六组的频数x=100-（11+14+12+13+13+12+10）=15．故选D．【考点】频数与频率．3.在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、圆、菱形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张，如果翻开的图形是中心对称图形，就可以过关，那么一次过关的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形．∵等腰梯形、等腰三角形只是轴对称图形，平行四边形、圆、菱形是中心对称图形∴一次过关的概率是故选C.本题涉及了轴对称图形与中心对称图形的定义，概率的求法，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的定义，即可完成．4.将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为___________．【答案】【解析】概率的求法：概率=所求情况数与总情况数的比值．解：由题意得取到字母e的概率为．【考点】概率的求法点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成.5.袋中有红色和黄色两种球：①若红色球有10个，黄色球有5个，那么从袋中摸出一个球是红颜色的可能性P是多少？②若黄色球有5个，如何配置袋中的红色球使摸出的黄色球的概率为25%？【答案】解：① P（红）= =②设袋中有x个红球, 则 P(黄)= = 25% , ,【解析】①求红色球占总数的几分之几②设袋中有x个红球，根据黄色球占总数的25%进行求解6.小亮周末去奶奶家，因为修路，他这次走了一条他不太熟悉的新路，走到一个有三岔路的路口突然迷了路，而这三个岔路中只有一个通往奶奶家，小亮能一次选对的概率是 .【答案】【解析】解：在这三个岔路中能一次选对的概率.7.小明同学平时不用功学习，某次数学测验做选择题时，他有1道题不会做，于是随意选了一个答案(每小题4个项)，他选对的概率是．【答案】【解析】根据题意，小明在4个选项中随意选了一个答案，而4个选项中只有一个是正确的；故他选对的概率是．8.不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出球的可能性最小．【答案】黄【解析】解：因为袋子中有7个红球、3个黄球和5个蓝球，从中任意摸出一个球，为红球的概率是，②为黄球的概率是，为蓝球的概率是，可见摸出黄球的概率最小．9.如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A、B被均匀地分成几等份，每份分别标上数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：（1）同时自由转动转盘A与B；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次），指针同时指向的两个数都是偶数，那么甲胜；否则乙胜．你认为这样的规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。

2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省淮安市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知离散型随机变量的概率分布如表：则其数学期望等于（）ξ()E ξξ135P 0.5m 0.2A ．1B ．0.6C ．D ．2.423m+【答案】D【解析】根据所给的分布列，根据分布列中所有的概率之和是1，求出m 的值，求期望即可．【详解】∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，∴0.5+m +0.2＝1，∴m ＝0.3，∴随机变量的数学期望E （ξ）＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4．故选：D ．【点睛】本题考查分布列的性质和方差，本题解题的关键是根据分布列的性质做出分布列中未知的字母，本题是一个基础题．2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种【答案】D【分析】由分步乘法原理计算．【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.5232=故选：D3．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为1111ABCD A B C D -D E 1BB F 的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（）．11A D AEFA ．（1，，4）B ．（，1，）2-4-2-C ．（2，，1）D ．（1，2，）2-2-【答案】B【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据(,,)n x y z =AEF 法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．【详解】解：设正方体的棱长为2，则，，(2,0,0),(2,2,1)A E (1,0,2)F ∴，(0,2,1),(1,0,2)AE AF ==-设向量是平面的法向量，(,,)n x y z = AEF 则取，得，20,20,n AE y z n AF x z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩1y =2,4z x =-=-则是平面的一个法向量，(4,1,2)n =-- AEF 结合其他选项，只需和共线即可，(4,1,2)n =--检验可知，ACD 选项均不与共线.(4,1,2)n =-- 所以能作为平面的法向量只有选项B AEF 故选：B ．4．已知随机变量，，且，，则（）()6,X B p ~()2,Y N μσ()122P Y ≥=()()E X E Y =p =A ．B ．C ．D ．12131416【答案】B【分析】根据随机变量可知，再根据，，()6,X B p ~()6E x p=()2Y N μσ，()122P Y ≥=可求出，利用，建立方程，即可求出结果.()2E Y =()()E X E Y =【详解】因为随机变量，所以，()6,X B p ~()6E X p=因为，，所以，即，()2Y N μσ，()122P Y ≥=2μ=()2E Y =又()()E X E Y =所以，即.62p =13p =故选：B.5．从甲､乙､丙､丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有（）A ．24种B ．18种C ．21种D ．9种【答案】B【分析】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，故这是一个分步完成的排列组合综合问题.【详解】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，有种方法，23C 第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，有种方法，33A 由分步乘法计数原理可得共有种方法.233318C A =故选：B.6．的展开式的常数项是（）()51211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．10-9-119【答案】B【分析】写出的展开式的通项为，分别令，511⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()51551C 11C rr r r r rr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭1r -=-，即可求得常数项.0r -=【详解】因为的展开式的通项为，511⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()51551C 11C rr r r rr r T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭所以令，，则，，1r -=-0r -=0r =1r =所以的展开式为常数项的是()51211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()1011005521C 11C 1019x x x -⋅-+⋅-=-+=-故选：B7．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比13赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．5277272919【答案】B【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.【详解】分三类：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：；131139⨯=②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：；1112(1)33327-⨯⨯=③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：.1112(1)33327⨯-⨯=故甲获胜的概率为：.12279272727++=故选：B.8．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC 上的射111ABC A B C -1A 影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与所成的角的为（）1CCA ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C 【分析】连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦11,,A D AD A B11//CC AA 1A AB ∠AB 1CC 定理，即可求解.【详解】连接，由，所以为异面直线与所成的角，11,,A D AD A B11//CC AA 1A AB ∠AB 1CC 因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，111ABC A B C -23在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，1A可得,11AD A D A B ======由余弦定理，可得，19471cos 2322A AB +-∠==⨯⨯因为，所以，1(0,]2A AB π∠∈13A AB π∠=所以异面直线AB 与所成的角的为.1CC 3π故选：C.二、多选题9．下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（）A ．B ．A C !mmnnn =()()2221A A m m n n n n ++++=C ．D ．111C C C m m m n n n +++=+1232C C C C n nn n n n =++++ 【答案】BC【分析】对于AC,根据组合数的公式即可;对于B ，根据排列数的公式即可;对于D ，根据二项式定理即可.【详解】对于A,,故A 错误；A C !mmnnm =对于B ，，故B 正确；()()()121221A 2A A m m m n n n n n n ++++++=+=对于C ，组合数的性质，，故C 正确；111C C C m m m n n n +++=+对于D ，由二项式定理知，=，故D 错误；()012311C C C C +C nnn n n n n+=++++ 2n故选：BC.10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（）A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627【答案】ABD【解析】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X ～B ，再利用方差公式求解判26,3⎛⎫ ⎪⎝⎭断；C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．由P (B |A )＝求解判断；D ．易()()p A B P A ⋂得每次取到红球的概率P ＝，然后再利用对立事件求解判断.23【详解】A.恰有一个白球的概率，故A 正确；12243635p C CC ==B.每次任取一球，取到红球次数X ～B ，其方差为，故B 正确；26,3⎛⎫ ⎪⎝⎭22461333⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭C ．设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝，P (A ∩B )＝，所以23432655⨯=⨯P (B |A )＝，故C 错误；()()35p A B P A ⋂=D ．每次取到红球的概率P ＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D 正确．23322611327⎛⎫--=⎪⎝⎭故选：ABD.11．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有种排法5335A AB ．若女生互不相邻，那么一共有种排法3434A A C ．若甲不站最中间，那么一共有种排法1666C AD ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法7676A 2A -【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共A 33A有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；55A 5335A A A 选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，B 44A 有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；35A 4345A A B 选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方C 式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故16C 66A 1666C A 正确；C 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有D 77A 66A种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共66A 55A 有种排法，故不正确；765765A 2A A -+D 故选：AC.12．如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（ 1111ABCD A B C D -E F BC 1CC ）A ．1A D AF⊥B ．与平面1D CAEF C ．二面角的余弦值为A EF C --13D ．平面截正方体所得的截面周长为AEF +【答案】BD【分析】利用坐标法，对A ，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B ，由向量法求线面角；对C ，由向量法求面面角；对D ，分析得，则平面AEF 截正方体所得的截面为四边形1//EF AD，即可根据几何关系求周长，1EFD A 【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则D xyz -，()()()()()()()110,0,0,2,0,0,2,0,2,0,2,1,0,0,2,0,2,0,1,2,0D A A F D CE 对A ，，，故与不垂直，A 错；()()12,0,2,2,2,1A D AF =--=-140220A D AF ×=+-=¹1A D AF 对B ，，设平面AEF 的法向量为，则()()()11,2,0,2,2,1,0,2,2AE AF CD =-=-=-(),,n x y z =，令，则有，20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩2x =()2,1,2n = 设与平面AEF 所成角为，则B 对；1D Cθ111||sin cos ,n CD θn CD n CD×===对C ，平面EFC 的一个法向量为，则，∴二面角()0,1,0m =1cos ,3m =的余弦值为，C 错；A EF C --13-对D ，由，，可得，平面AEF 截正方体所得的截()()12,0,2,1,0,1AD EF-=-=12AD EF=1//EF AD 面为四边形，1EFD A 则有AEF截正方体所得的截面周长为11AD EF AE D F ==D 对.故选：BD.三、填空题13．现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩作为样本进行分ξ析，成绩近似服从正态分布，且，则__________．ξ()273,N σ()770.78P ξ<=()6973P ξ<<=【答案】/0.28725【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：，则，()730.50P ξ≤=()73770.28P ξ<<=故.()()697373770.28P P ξξ<<=<<=故答案为：.0.2814．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为1a ，…，第行的第3个数字为，则___________.2a 1n +n a 12310a a a a ++++=【答案】220【分析】先利用二项式定理，得，再进行组合数计算即可.21C n n a +=【详解】由题意，得，21C n n a +=所以12310a a a a ++++ 222223411C C C C =+++⋅⋅⋅+65768798109111013610212121212121⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯13610152128364555=+++++++++.220=故答案为：220.15．在长方体中，，，若E 为的中点，则点E 到面1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB 的距离是______.1ACD 【答案】13【分析】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法DA DC 1DD能求出点E 到面的距离.1ACD 【详解】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：DA DC 1DD ，，，，()1,1,0E ()1,0,0A ()0,2,0C ()10,0,1D ，，，()1,2,0AC =-()11,0,1AD =-()0,1,0AE =设平面的法向量，1ACD (),,n x y z =则，取，得，1200n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1y =()2,1,2n = ∴点E 到面的距离为.1ACD 13AE n d n ⋅==故答案为：.13【点睛】本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题.16．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则34ξ取得最大值时的值为__________.()P k ξ=k 【答案】4【分析】由已知可得，，根据二项分布的分布列公式求出时的概率，即35,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ 0,1,2,3,4,5ξ=可得出答案.【详解】由已知可得，，.0,1,2,3,4,5ξ=35,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ 则，，()0553310C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()141533151C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()23253390452C 1441024512P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3235332701353C 1441024512P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，()4145334054C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5055332435C 1441024P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时，取得最大值.4k =()P k ξ=故答案为：.4四、解答题17．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.22nx ⎛ ⎝(1)求展开式中所有二项式系数的和；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)1024(2)180【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；10n =（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.x 9180T =【详解】（1）前三项的二项式系数和为，()0121C C C 1562n n n n n n -++=++=解得或-11（舍去），10n =中，展开式中所有二项式系数的和为；1022x ⎛ ⎝1021024=（2）的展开式通项公式为，1022x ⎛ ⎝()()1520102102211010C 21C 2rr r r r r r r T x x x ----+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭令得，故.52002r -=8r =()8829101C 2454180T =-⋅=⨯=18．已知向量，()1,0,1a =- ()1,2,0b =- (1)求与的夹角；a ()a b - (2)若与垂直，求实数t 的值．2a b + a tb -【答案】(1)π4(2)1【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】（1），，()1,0,1a =- ()1,2,0b =-∴()2,2,1a b -=- ，3a -= 令与的夹角为，a()a b -θ则，cos a a b a a bθ=→→→→→→⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭==⋅-则与的夹角为.a ()a b - π4（2），， ()21,2,2a b +=-- ()1,2,1a tb t t -=-- 又与垂直，，2a b + a tb - ∴()()20a b a tb +-= 即，解得.()()1122120t t -⨯--+⨯-+⨯=1t =19．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表.【答案】(1)5400（种）(2)840（种）(3)3360（种）【分析】（1）先选后排，分类讨论列式求解；（2）除去一定担任语文科代表的女生后先选后排，，先选后排计算可得；（3）先安排不担任语文科代表的该男生，先选后排计算可得.【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先选有种，后排有种，32415353C C C C +55A 所以共有不同选法（种）.()3241553535C C C C A 5400+⋅=（2）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法（种）.4474C A =840⋅（3）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法（种）.414744C C A 3360⋅⋅=20．盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．(1)现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；(2)从中抽取3个球进行检测，随机变量表示取出黑球的个数，求的分布列及期望．X X 【答案】(1)15(2)分布列见解析，期望为.35【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据超几何分布求解概率，进而可求分布列以及期望.【详解】（1）记第二次取出黑球为事件A,第一次取出红球记为事件,第一次取出黑球记为事件，1B 2B 所以.()()()()()112282241101210125P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=（2）可能为0，1，2,X38310C 567(0)C 12015P X ====2182310C ×C 567(1)=C 12015P X ===.1282310C ×C 81(2)=C 12015P X ===的分布列为：X X012P 715715115.7713()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=21．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：X 疼痛指数X10X ≤1090X <<90X ≥人数（人）10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.(1)统计学中常用表示在事件A 发生的条件下事件发生的似然比.现从样本中随机抽取()()P B A L P B A =∣∣B 1名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的A B L 值；(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且X ()2N 50,σ.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感()19010P X ≥=染者人数为，求的分布列及数学期望.Y Y 【答案】(1)19(2)分布列见解析，2.4【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【详解】（1）由题意得：，8199991981(),(),(),(),()10010100100100100P A P B P B P AB P AB +======，()()()9110091010P AB P B A P A ∴===∣，81()9100()9()1010P AB P B A P A ===∣.1()1109()910P B A L P B A ∴===∣∣（2），()()1109010P X P X ≤=≥= ，则，14(1090)12105P X ∴<<=-⨯=4B 3,5Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 可能的取值为，Y 0,1,2,3()()()3221233311141241480C ;1C ;2C ;51255512555125P Y P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==⨯===⨯⨯===⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3334643C 5125P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭的分布列为：Y ∴Y0123P 1125121254812564125数学期望.∴()43 2.45E Y =⨯=22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且.90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，求二面角A −PB −C 的余弦值.90APD ∠=【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）由已知，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．90BAP CDP ∠=∠=︒由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．⊂（2）在平面内作，垂足为，PAD PF AD ⊥F 由（1）可知，平面，故，可得平面.AB ⊥PAD AB PF ⊥PF ⊥ABCD 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F FAx AB .F xyz -由（1）及已知可得，，，.A ⎫⎪⎪⎭P ⎛⎝B ⎫⎪⎪⎭C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，.PC ⎛=⎝ )CB =PA = ()0,1,0AB = 设是平面的法向量，则(),,n x y z = PCB 即0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可取.(0,1,n =- 设是平面的法向量，则(),,m x y z =PAB 即可取.0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0.z y =⎪=⎩()1,0,1m =则，cos,n mn mn m⋅==所以二面角的余弦值为A PB C--【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.。

湖北省部分重点中学2024_2025学年高二数学上学期期中试题含解析

湖北省部分重点中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分,考试时间120分钟. 留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号精确地写在答题卡上。

2．全部试题的答案均写在答题卡上。

对于选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．答第Ⅱ卷时，必需用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知点(-3,2)A ，(0,1)B -，则直线AB 的倾斜角为（） A ．030B ．045C ．0135D ．01202.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列起先，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A ．36B ．16C ．11D ．143．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3A π=,4c =，26a =，则角C =( )A ．34π B ．4π C ．4π或34π D ．3π或23π4．已知αβ、是平面,l m 、是直线,αβ⊥且=l αβ，m α⊂，则“m β⊥”是“m l ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20()m R ∈相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线相互垂直，则线段AB 的长度是( )A ．2B ．4C ．5D ．106．已知直线l ：2(0,0)x ya b a b+=>>经过定点(1,1)M ，则32a b +的最小值是（） A ．3222+ B ．526+C ．562+ D ．37．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育熬炼的时间（单位：min ），依据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )第7题图A ．B ．C ．D ．8．棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 上(点P 异于A 、D 两点)，线段DD 1的中点为点Q ，若平面BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP 长度的取值范围为（） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1[,1)3D ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．下列说法正确的是（） A ．命题“x R∀∈，21x >-”的否定是“0x ∃∈R ，201x <-”B ．命题“0(3,)x ∃∈-+∞，209x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充分不必要条件D ．“5a >”是命题“2,0x R x ax a ∀∈++≥”为假命题的充分不必要条件10．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事务A ,“向上的点数是1,2”为事务B ,“向上的点数是1,2,3”为事务C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事务D ,则下列关于事务A ，B ，C ，D 推断正确的是（） A ．A 与B 是互斥事务但不是对立事务 B ．A 与C 是互斥事务也是对立事务 C ．A 与D 是互斥事务 D ．C 与D 不是对立事务也不是互斥事务 11．以下四个命题为真命题的是（）A ．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+ B ．直线3y ＋2＝0的倾斜角的范围是50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有一条公切线，则4m =D ．设P 是直线20x y --=上的动点，过P 点作圆O :221x y +=的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则经过A ，P ，O 三点的圆必过两个定点。

苏教版期中数学试题答案

苏教版期中数学试题答案一、选择题1. 根据题目所给的方程式，我们可以得出以下结论：A. x = 3B. x = -2C. x = 5D. x = 1答案：A2. 此题考查的是几何图形的面积计算，根据公式我们可以计算出：A. 面积为8B. 面积为12C. 面积为16D. 面积为20答案：C3. 题目描述的是一个关于比例的问题，正确答案需要根据比例关系来确定：A. 4:6B. 3:5C. 2:3D. 5:8答案：B4. 此题要求我们找到函数f(x)的零点，通过解方程可以得到：A. x = 2B. x = -1C. x = 0D. x = 4答案：D5. 题目涉及的是统计与概率，我们需要根据数据来推断概率：A. 30%B. 40%C. 50%D. 60%答案：A二、填空题6. 根据题目所给的几何图形，我们可以计算出____周长____，答案是20cm。

7. 通过解下列方程，我们可以得到x的值为____，答案是-3。

8. 此题要求我们计算一个等差数列的前n项和，根据公式计算得出的结果是____，答案是36。

9. 题目描述了一个实际问题，需要我们通过数学建模来解决。

最终的最优解是____，答案是120。

10. 这是一个关于三角函数的问题，我们需要利用三角恒等式来化简表达式。

化简后的结果是____，答案是sin(2x)。

三、解答题11. 题目要求我们证明一个几何定理。

首先，我们可以从已知条件出发，通过____和____来建立关系。

接着，利用____定理，我们可以证明____。

最终得出结论，该几何定理成立。

12. 这是一个关于二次函数的问题。

我们需要找到函数的最大值或最小值。

首先，我们可以通过求导数找到函数的极值点。

然后，通过分析二次函数的性质，我们可以确定这个极值点是最大值还是最小值。

最终，我们得到的最值是____。

13. 题目要求我们解决一个实际问题，涉及到线性规划。

我们需要根据题目所给的条件，建立一个目标函数和一系列的约束条件。

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