人教A版高中数学必修第二册学案：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

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【新教材精创】6.3.5 平面向量数量积的坐标表示教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》,本节课主要学习平面向量数量积的坐标表示,模、夹角的坐标表示。

前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。

A.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。

B.能用公式求向量的数量积、模、夹角;C.掌握两个向量垂直的坐标判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.1.教学重点：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式;2.教学难点：平面向量数量积的应用。

多媒体||||cos .a b a b θ⋅=两个向量的数量积的性质：答cos =⋅=a a a θ，或故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

思考1：设),(y x a =,则用坐标怎样表示||||2a a 和?【答案】22222||,||y x a y x a +=+=思考 2.表示a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,那么a 的坐标,||a 怎么用坐标表示?【答案】2122121212)()||),,(y y x x a y y x x a -+-=--=（思考3.设),(),,(2211y x b y x a ==,则b a ⊥用坐标表示能得到什么结论?【答案】02121=+⇔⊥y y x x b a例1.已知A ( 1, 2),B ( 2, 3),C ( -2, 5),试判断△ABC 的形状,证明你的猜想.思考4：设b a ,是两个非零向量,其夹角为θ,若),(),,(2211y x b y x a ==,那么cos θ如何用坐标表示?【答案】222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +++=⋅=θ例2.).1(),4,6( ),75,( o 精确到间的夹角、及求设θb a b a b a ⋅--=-=例3.用向量方法证明两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-结合本节教材浅显易懂,又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点,兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状,我主要采用“诱思探究教学法”,其核心是“诱导思维,探索研究”,其教学思想是教师为主导,学生为主体,训练为主线的原则,为此,我通过精心设置的一个个问题,激发学生的求知欲,积极的鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,鼓励学生自主探索,在教师的指导下去探索发现问题,解决问题。

人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件2：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

题型二平面向量的模
【例 2】 (1)设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则
|3a＋b|等于( )
A. 5
B. 6
C. 17
D. 26
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且 a·b＝10，则 a 的坐标为________．
解析： (1)因为 a∥b，所以 1·y－2×(－2)＝0，解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝ 5. (2)设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，即xx＋2＋2yy2＝＝1100，0，解得xy＝＝100，，或xy＝＝－8，6，所以 a＝(10,0)或 a＝(－6,8)．答案： (1)A (2)(10,0)或(－6,8)
2．对向量模长公式的理解 (1)模长公式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时，则可得|a|2＝x21＋y12； (2)若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，所以|A→B| ＝ x2－x12＋y2－y12，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长度，这也是模的几何意义.
解： (1)法一：∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2 ＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54. 法二：∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝11. ∵a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)， ∴(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.

6.3.5平面向量数量积的坐标表示说课课件高一下学期数学人教A版

角差的余弦公式，学生体会运用向量工具进行探索，过程的简洁提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过例题进一步熟悉向量的应用，提高学生的观察、概括能力，进一步体会向量的工具性。通过练习巩固本节所学知识，学生解决问题，感悟其中所蕴含的数学思想，增强数学的应用意识
四、课堂小结、总结归纳
1、通过本节课的学习，大家有哪些收获？大家可以从知识、方法，数学思想等方面谈谈
两版课标中的内容要求
《课标实验》
《课标（2017）》
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算会用数量积判断两个平面向量的垂直关系理解用坐标表示的平面向量共线的条件
能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件
课程目标
A.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式 B.能用公式求向量的数量积、模、夹角; C.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题。
新旧教材对比
旧教材第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1.1向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量 2.2平面向量的线性运算 2.2.1向量加法运算及其几何意义 2.2.2向量减法运算及其几何意义 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1平面向量基本定理 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3平面向量的坐标运算 2.3.4平面向量共线的坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 2.5平面向用举例 2.5.1平面几何中的向量方法 2.5.2向量在物理中的应用举例

6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册

解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③

i i =

ij=
1
②
0
④

j j =

j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2

1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.

人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件5：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

C．4
D．3
[解析] 由题意可得，8a－b＝(6,3)，
又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，
∴18＋3x＝30，解得 x＝4．
典例 1 (3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14， |c|＝5，则向量c的坐标为____(3_,_4_)_或__(4_,_3_)____. [解析] 因为 2b＝(a＋2b)－a＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以 b＝(2,2).设 c＝(x，y)，则由题可知2xx＋2＋2yy＝2＝154，，解得yx＝＝43，或yx＝＝34，，所以 c＝(3,4)或 c＝(4,3).
∴|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离. 由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
|关键能力·攻重难|
题型探究题型一平面向量数量积的坐标运算
典例 1 (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，
则(a＋2b)·c＝( C )
题型二与平面向量模有关的问题
典例 2 (1)设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，
则|3a＋b|等于
( A)
A． 5 B． 6 C． 17
D． 26
[解析] ∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝ 5.
典例 2 (2)已知向量 a＝(cos θ，sin θ)，向量 b＝( 3，0)，则|2a－b|的最大值为__2_＋___3__.
的对角线 OB 的两端点坐标分别为 O(0,0)，B(1,1)，则A→B·A→C＝__1__.
[解析] 如图所示，在正方形 OABC 中，A(0,1)， C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则A→B ＝(1,0)，A→C＝(1，－1)，从而A→B·A→C＝(1,0)·(1，－1) ＝1×1＋0×(－1)＝1．

6.3.5平面向量数量积的坐标表示(共24张ppt)数学人教A版(2019)必修第二册

又|Ԧ|= 2,| Ԧ|= ( -2)2 + 32=
2 -4
+ 13,
Ԧ· Ԧ
52
=
=
,解得 k=2.
2
2
|Ԧ|·| Ԧ|
2· -4 +13
所以 cos 45°=
所以存在实数 k=2,使Ԧ与 Ԧ的夹角为 45°.
例题剖析
练习：已知向量Ԧ = (−3,4)， = (2,3)，Ԧ = (−1, −2)，求：
所以 = + .
例题剖析
另一方面，由图1可知， = 2 + + ；
①
由图2可知， = 2 + − .于是 − = 2 ± ， ∈ .
所以( − ) = .
于是，( − ) = + .
∴ Ԧ ∙ + Ԧ = (−3,4) ∙ 1，1 = −3 + 4 = 1；
② Ԧ = 5， = 13， 2Ԧ − 3 = 2；
例题剖析
③Ԧ ∙ = (−3,4) ∙ (2,3) = −6 + 12 = 6；
Ԧ + 2 ∙ Ԧ − 2 = Ԧ 2 − 4 2 = 25 − 52 = −27；
④ =
2
∙
=

1 2 +1 2
1 2 +1 2 × 2 2 +2 2
2
2
=
−6+12
5 13
2
=
6 13
65
∵ + = 1， ∴ = 1 − = 1 −
∵ ∈ 0，， ∴ =
17 13
65
36
325

高中数学人教A版(2019)必修第二册教案：6.3.5平面向量数量积的坐标表示(Word版含答案)

第六章平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示教学设计一、教学目标1. 掌握用坐标表示平面向量的数量积；2. 会用坐标表示两个平面向量的夹角；3. 能用坐标表示平面向量垂直的充要条件. 二、教学重难点 1. 教学重点平面向量的数量积、模、夹角的坐标表示及两向量垂直的充要条件的坐标表示. 2. 教学难点平面向量数量积的坐标表示的应用. 三、教学过程（一）新课导入复习：平面向量数乘运算的坐标表示：已知()y a x =r ，，()a x y λλλ=r，. （二）探索新知问题1 已知11) (x a y =r ，，22) (x b y =r，，怎样用坐标表示a b ⋅r r 呢？因为1122a x i y j b x i y j =+=+r r r r r r ，，所以22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+r r r r r r r r r r r r . 又1i i ⋅=r r ，1j j ⋅=r r ，0i j j i ⋅=⋅=r r r r，所以1212a b x x y y ⋅=+r r.结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 问题2 用坐标表示向量的模.若()y a x =r ，，则222||a x y =+r ，||a =r . 如果表示向量a r的有向线段的起点和终点的坐标分别为1122()()x y x y ，，，，那么 2121) (x x a y y =--r，，212212||()()y a x x y =--+r.问题3 复习：设a b r r ，是非零向量，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r.如何用坐标表示两个向量垂直？设11) (x a y =r ，，22) (x b y =r，，则12120a b x x y y ⊥⇔+=r r.例10 若点，则是什么形状？证明你的猜想.解：如图，在平面直角坐标系中画出点A ，B ，C ，我们发现是直角三角形.证明如下：因为，，所以. 于是.因此，是直角三角形.设a b r r ，都是非零向量，11) (x a y =r ，，22) (x b y =r ，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得121222221122cos ||||x x y y a ba b x yx y θ+⋅==++r rr r .例11 设，，求及的夹角（精确到）.解：.因为，，所以用计算器计算可得cos 0.03||||7452a b a b θ⋅==≈-⨯r rr r .利用计算器中的“”键，得.例12 用向量方法证明两角差的余弦公式.证明：如图，在平面直角坐标系内作单位圆O ，以x 轴的非负半轴为始边作角，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B.则，.由向量数量积的坐标表示，有.设与的夹角为，则.所以.另一方面，由图（1）可知，；由图（2）可知，.于是，.所以.于是.（三）课堂练习1. 已知向量(11)a =r，，(02)b =r ，，则下列结论正确的是( ) A. //a b rrB. (2)a b b -⊥rr rC. ||a b =r rD. 3a b ⋅=r r答案：B解析：对于A ，因为210120⨯-⨯=≠，所以向量a b r r ，不平行，A 错误；对于B ，因为2(20)a b -=r r，，所以(2)20020a b b -⋅=⨯+⨯=r r r ，则(2)a b b -⊥r r r ，B 正确；对于C ， ||112a =+=r2||022b =+=r ，C 错误；对于D ，10122a b ⋅=⨯+⨯=r r ，C 错误；对于D ，10122a b ⋅=⨯+⨯=r r，D 错误.故选B.2.已知(32)(10)a b =-=-r r ，，，，若向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直，则实数λ的值为( )A.17 B.17-C.16 D.16-答案：B解析：由向量a b λ+r r 与2a b -r r垂直，得()(2)0a b a b λ+⋅-=r r r r . 因为(32)(10)a b =-=-r r，，，，所以(312)(12)0λλ--⋅-=，，，即3140λλ++=，解得17λ=-.故选B.3. 已知向量(21)a =-，r，(6)b x =，r ，且a b ⊥r r ，则x =__________. 答案：12解析：∵a b ⊥rr ，∴120a b x ⋅=-=r r ，解得12x =.故答案为12.（四）小结作业小结：1. 平面向量数量积的坐标表示；2. 用坐标表示两个平面向量的夹角；3. 用坐标表示平面向量垂直的充要条件. 作业：四、板书设计6.3.5 平面向量数量积的坐标表示1. 平面向量数量积的坐标表示；2. 用坐标表示平面向量的模；3. 用坐标表示平面向量垂直的充要条件；4. 用坐标表示两个平面向量的夹角.。

人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件第6章学习单元 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

D.[2,8]
解析建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(0,0),E(2 3,1),
设 F(x,2)(0≤x≤2 3),所以 =(2 3,1), =(x,2),因此 · =2 3x+2,
设 f(x)=2 3x+2(0≤x≤2 3),则 f(x)在该区间是递增的,
则 f(0)=2,f(2 3)=14,故 2≤f(x)≤14, · 的取值范围是[2,14].
2
.
7.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解 (1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
6.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=
解析 a·b=-1+3y,|a|= 10,|b|= 1 + 2 ,
∵a 与 b 的夹角为 45°,
∴cos
·
45°=
||||
解得 y=2 或
=
-1+3
10×
1+ 2
=
2
.
2
1
y=-2(舍去).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
则 cos θ=
·
| || |
故矩形 ABCD
=
16
2 5×2 5
=
4
.
5
4
的两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

新教材人教A版数学必修第二册学案：第6章6.3.5 平面向量数量积的坐标表示Word版含解析

6.3.5平面向量数量积的坐标表示学习任务核心素养1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角等相关问题．(难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)4．能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点)1．通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养．2．借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养．“不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．问题：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a ＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？1．平面向量数量积的坐标表示条件向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和2．条件结论a＝(x，y)|a|＝x2＋y2表示向量a 的有向线段的起点和终点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) |a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22已知向量a ＝(x ，y )，你知道与a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示]设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x |a |，y |a |＝±⎝⎛⎭⎪⎫x x 2＋y 2，yx 2＋y 2，其中正号、负号分别表示与a 同向和反向．易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直，所以与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－y x 2＋y2，xx 2＋y 2，其中正、负号表示不同的方向．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． ( ) (2)a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角． ( ) (3)若a ·b ≠0，则a 与b 不垂直． ( ) (4)|AB →|表示A ，B 两点之间的距离． ( )[答案](1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知a ＝(2，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝______，|a ＋b |＝________． 1 25[a ·b ＝2×2＋(－1)×3＝1，a ＋b ＝(4,2)， |a ＋b |＝42＋22＝25．]3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若a ⊥b ，则m ＝______． 23[因为a ⊥b ，所以a ·b ＝1×(－2)＋3m ＝0，解得m ＝23．]4．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为________． 6365[因为a ·b ＝3×5＋4×12＝63，|a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13，所以a 与b 夹角的余弦值为a·b|a ||b |＝635×13＝6365．]类型1 平面向量数量积的坐标运算【例1】 (1)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2)已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． ①求a 的坐标；②若c ＝(2，－1)，求a ·(b ·c )及(a·b )·c ．(1)2[以A 为坐标原点，直线AB 为x 轴、直线AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0,2)，C (2，2)，E (2，1)．可设F (x,2)，因为AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝2，所以x ＝1，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2．] (2)[解] ①设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． ②∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10， ∴a ·(b·c )＝0·a ＝0，(a·b )·c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．[跟进训练]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5．] 类型2 向量模的坐标表示【例2】 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|2a －b|等于( ) A ．4 B ．5 C ．3 5 D ．45(2)若向量a 的始点为A (－2,4)，终点为B (2,1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标． (1)D [由a ∥b 得y ＋4＝0， ∴y ＝－4，b ＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4,8)，∴|2a －b |＝45．故选D ．] (2)[解] ①∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋(－3)2＝5．②与a 平行的单位向量是±a|a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35．③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34．又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1．解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2．[跟进训练]2．已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |．[解] (1)a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58．(2)a ·b ＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1， ∴c ＝a －(a ·b )·b ＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)， ∴|c |＝1＋62＝37．类型3 向量的夹角与垂直问题【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示](1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B ．](2)[解] 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵点D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0．① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y －3＝0．② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)， ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1)．1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．[跟进训练]3．已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度． [解] (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，则AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ．(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →．设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)．∴AC →＝(－2,4)，|AC →|＝(－2)2＋42＝25，故点C 的坐标为(0,5)，矩形ABCD 的对角线的长度为25． 1．已知向量a ＝(2,0)，a －b ＝(3,1)，则下列结论正确的是( ) A ．a·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b )D ．|a |＝|b |C [因为向量a ＝(2,0)，a －b ＝(3,1)，设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，0－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以b ＝(－1，－1)，a ＋b ＝(1，－1)，b ·(a ＋b )＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b ⊥(a ＋b )．]2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2B [a ·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a |＝32＋(－1)2＝10，|b |＝12＋(－2)2＝5，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22．又0≤θ≤π，∴θ＝π4．]3．设a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若b ⊥(a ＋m b )，则实数m ＝________．－3[a ＋m b ＝(2＋m,4＋m )，∵b ⊥(a ＋m b )， ∴(2＋m )×1＋(4＋m )×1＝0，得m ＝－3．]4．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________．－2[法一：a ＋b ＝(m ＋1,3)，又|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，∴(m ＋1)2＋32＝m 2＋1＋5，解得m ＝－2．法二：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a·b ＝0，即m ＋2＝0，解得m ＝－2．]5．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R ． (1)若a ⊥b ，则x ＝________； (2)若a ∥b ，则|a －b |＝________． (1)－1或3 (2)2或25[(1)若a ⊥b ，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2．当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2．当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝25．综上，|a－b|＝2或25．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a·a，|a|以及向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？(2)若a⊥b，则a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)应满足什么条件？向量的数量积与三角形的面积在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图1所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？图1一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为S＝12|x1y2－x2y1|．事实上，如图2所示，记t＝|OA|，a＝1t(－y1，x1)，则容易验证，a是与OA→垂直的单位向量．图2过B 作OA 的垂线BC ．因为a 为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知|BC |＝|a ·OB →|，因此，△OAB 的面积为S ＝12|AO |×|BC |＝12|AO |×|a ·OB →|＝12t ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t (－y 1，x 1)·(x 2，y 2) ＝12|(－y 1，x 1)·(x 2，y 2)| ＝12|x 1y 2－x 2y 1|．由此也可以看出，如图3所示，如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，而且O ，A ，B 三点不共线，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形OACB 的面积为图3S ＝|x 1y 2－x 2y 1|．由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？。

【新教材】6.3.5 平面向量数量积的坐标表示高中数学人教A版(2019版)必修第二册

例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
解设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4).
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 解 ∵b·c＝1×2－2×1＝0，
a·b＝1×2＋2×4＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0， (a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).
所以|A→B－A→C|＝－22＋－42＝2 5.
解析答案
(3)cos∠BAC的值. 解因为A→B·A→C＝(－1,1)·(1,5)＝4，
A→B＝ 2，|A→C|＝ 26，
cos∠BAC＝|AA→→BB|·|AA→→CC|＝
4 2×
26＝2 1313.Fra bibliotek解析答案当心“角”下陷阱例4 已知a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
要点一平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x_1x_2_＋__y_1_y2___. 即两个向量的数量积等于_相__应__坐__标__乘__积__的__和__.
思考已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b？上述结论是怎样推导的？
4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.
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解析答案
12345
4.已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝8__2__. 解析 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)， ∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－6b， ∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c|＝8 2.

人教A版高中数学必修第二册精品课件第6章平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

θ,也可由坐标表示 cos
直接求出 cos θ.由三角函数值 cos θ 求角 θ 时,
应注意角 θ 的取值范围是 0≤θ≤π.
(2)由于 0≤θ≤π,利用
·
cos θ=||||来判断角
θ 时,要注意 cos θ<0
有两种情况:一是 θ 是钝角,二是 θ=π,cos θ>0 也有两种情况:一
形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形,那么一般选择
坐标法.
【变式训练 1】 (1)已知点 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则 ·
等于(
A.-1
)
B.0
C.1
D.2
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 ·
=
.
解析: (1)因为=(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),
？
6.3.5
平面向量数量积的坐标表示
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易错辨析
自主预习·新知导学
一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
1.已知a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正方向相同的单
位向量,则a,b如何用i,j表示?
=(-8,16).
【例 2】如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2,点 M,N 分别在
DC,BC 上,且

DM= MC,BN= BC,则 ·=

.
分析:可利用向量分解的方法,将, 用基底表示,利用运算
律计算求解,也可建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解.

2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 Word版含答案

6．3.5 平面向量数量积的坐标表示问题导学预习教材P34－P35的内容，思考以下问题： 1．平面向量数量积的坐标表示是什么？ 2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1．平面向量数量积的坐标表示已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． ■名师点拨公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉与a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式：若a ＝(x ，y )，则|a |(2)向量的夹角公式：设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3)两个向量垂直的充要条件设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0． ■名师点拨若A (x 1，y 1)，B (x 2，y2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2，即A ，B 两点间的距离为（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( ) 答案：(1)× (2)√已知a ＝(－3，4)，b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4答案：C已知a ＝(3，1)，b ＝(－3，1)，则向量a ，b 的夹角θ＝______. 答案：120°数量积的坐标运算已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 【解析】因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】 C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 解析：选C.依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →＝________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，2)，E (2，1)，D (2，2)，B (0，0)，C (2，0)，因为AF →＝2FD →，所以F (43，2)．所以BE →＝(2，1)，CF →＝(43，2)－(2，0)＝(－23，2)，所以BE →·CF →＝(2，1)·(－23，2)＝2×(－23)＋1×2＝23.答案：23平面向量的模(1)设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b 则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【解】 (1)选A.因为a ∥b ，所以1×y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1，2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52.① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)．所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)，所以|a ＋b |＝65.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．解析：设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC →＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y －1)＝(4，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC →＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13. 答案：13平面向量的夹角(垂直)已知a ＝(4，3)，b ＝(－1，2)． (1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．【解】 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝（－1）2＋22＝5，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.利用数量积求两向量夹角的步骤1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B.因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.2．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．1．已知向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b )D ．|a |＝|b |解析：选C.因为向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，0－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以b ＝(－1，－1)，a ＋b ＝(1，－1)，b ·(a ＋b )＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b ⊥(a ＋b )．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝________．解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：53．已知a ＝(1，3)，b ＝(2，m )． (1)当3a －2b 与a 垂直时，求m 的值； (2)当a 与b 的夹角为120°时，求m 的值．解：(1)由题意得3a －2b ＝(－1，33－2m )，由3a －2b 与a 垂直，得－1＋9－23m ＝0，所以m ＝433.(2)由题意得|a |＝2，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2＋3m ，所以cos 120°＝a ·b |a |·|b |＝2＋3m 2m 2＋4＝－12，整理得2＋3m ＋m 2＋4＝0，化简得m 2＋23m ＝0，解得m ＝－23或m ＝0(舍去)．所以m ＝－2 3.[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b 的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________．解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )，因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0，即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0，所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为______．解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝（2cos θ－3）2＋（2sin θ）2＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2 θ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋ 39．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值．解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4. (2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)，因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0，解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cosθ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4. [B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12，所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值为________．解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝BC →·CA →＋CA →·AB →＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，则A (3，0)，B (0，0)，C (0，4)．所以AB →＝(－3，0)，BC →＝(0，4)，CA →＝(3，－4)．所以AB →·BC →＝－3×0＋0×4＝0， BC →·CA →＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA →·AB →＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝0－16－9＝－25. 法三：(转化法)因为|AB →|＝3，|BC →|＝4，|AC →|＝5，所以AB ⊥BC ，所以AB →·BC →＝0，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →·(AB →＋BC →) ＝CA →·AC →＝－|AC →|2＝－25. 答案：－2514．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．[C 拓展探究]15．已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)． AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD .(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，所以AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)．又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.。

新教材人教A版数学必修第二册课后落实：6.3.5 平面向量数量积的坐标表示Word版含解析

课后素养落实(九) 平面向量数量积的坐标表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,0)，且(a ＋c )⊥(a －b )，则m ＝( ) A ．3＋10B ．3－10 C ．3±10D ．－3±10C [∵a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,0)，∴a ＋c ＝(1＋m ，m )，a －b ＝(－1，m －5)，∵(a ＋c )⊥(a －b )，∴－1－m ＋m (m －5)＝m 2－6m －1＝0，解得m ＝3±10．] 2．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a·b 等于( ) A ．23 B ．57 C ．63 D ．83 D [因为|a |2＝(－4)2＋32＝25， a·b ＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a |2－4a·b ＝3×25－4×(－2)＝83．]3．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．17B ．－17C ．16D ．－16B [由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得(λa ＋b )·(a －2b )＝0．因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17．]4．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332D [向量a 在向量b 上的投影向量为a·b |b |·b |b|＝－62·b2＝－32b ，其坐标为－32(1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332．故选D ．] 5．已知向量A B →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·B C →＝2，则n ·A C →＝( ) A ．2 B ．－2 C ．7 D ．－7C [n ·A C →＝n ·(A B →＋B C →)＝n ·A B →＋n ·B C →＝6－1＋2＝7，故选C ．] 二、填空题6．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a·b ＝10，则|a －b |＝________．5[由题意，得a·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝5．] 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角的大小为________．2π3[易得a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5．设c ＝(x ，y )，∵(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52．设a 与c 的夹角为θ，∵a·c ＝x ＋2y ，∴cos θ＝a·c|a||c|＝－525＝－12．又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3．]8．已知a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，∴k a ＋b ＝(k,1)，a ＋2b ＝(1,2)．∵向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，∴(k a ＋b )·(a ＋2b )＝(k,1)·(1,2)＝k ＋2＞0，解得k ＞－2．又当k ＝12时，k a ＋b 与a ＋2b 方向相同，∴实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞．]三、解答题9．设t ，k ∈R ，已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，m ＝a ＋(t ＋2)b ，n ＝k a ＋t b ．(1)若t ＝1，且m ∥n ，求k 的值； (2)若m·n ＝5，求证：k ≤2．[解] (1)当t ＝1时， m ＝a ＋3b ＝(－5,5)，n ＝k a ＋b ＝(k －2,2k ＋1)． ∵m ∥n ，∴5(k －2)＝－5(2k ＋1)，解得k ＝13．(2)m·n ＝[a ＋(t ＋2)b ]·(k a ＋t b )＝k a 2＋t a ·b ＋k (t ＋2)a ·b ＋t (t ＋2)b 2＝5k ＋5t (t ＋2)，∵m·n ＝5，∴5k ＋5t (t ＋2)＝5， ∴k ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2≤2．10．设平面向量a ＝(cos α，si nα)(0≤α＜2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α．[解] (1)证明：由题意，知a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－12，si nα＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，si nα－32．∴(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋si n 2α－34＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )． (2)易得|a |＝1，|b |＝1．由题意，知(3a ＋b )2＝(a －3b )2，化简得a·b ＝0， ∴－12cos α＋32si nα＝0，∴ta nα＝33．又0≤α＜2π，∴α＝π6或α＝7π6．1．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则b ＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)B [设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a·b ＝3x ＋y ＝3．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32．故选B ．]2．(多选题)已知△ABC 是边长为2a (a ＞0)的等边三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的值可能是( )A ．－2a 2B ．－32a 2C ．－43a 2 D ．－a 2 BCD [建立如图所示的平面直角坐标系．设P (x ，y )，又A (0，3a )，B (－a,0)，C (a,0)，则P A →＝(－x ，3a －y )，PB →＝(－a －x ，－y )，PC →＝(a －x ，－y )．所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3a －y )·[(－a －x ，－y )＋(a －x ，－y )] ＝(－x ，3a －y )·(－2x ，－2y ) ＝2x 2＋2y 2－23ay＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2－32a 2≥－32a 2．故选BCD ．]3．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a·b ＝－6，则向量a 与b 的夹角为________，x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．180° －23[设a ，b 的夹角为θ，则a·b ＝|a ||b |·cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，∴θ＝180°．即a ，b 共线且反向，∴a ＝－23b ， ∴x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，∴x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23．]4．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．5[如图，以D 为原点，DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x ，则A (2,0)，B (1，a )，C (0，a )，D (0,0)，P (0，x )(0≤x ≤a )，则P A →＋3PB →＝(2，－x )＋3(1，a －x )＝(5,3a －4x )，所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3a －4x )2≥5．]在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →． (1)求证：A ，B ，C 三点共线，并求|BC →||BA →|的值；(2)已知A (1，si nx )，B (1＋si nx ，si nx )，x ∈(0，π)，且函数f (x )＝OA →·OC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －23|AB →|的最小值为12，求实数m 的值．[解] (1)证明：∵OC →＝13OA →＋23OB →， ∴OC →－OB →＝13(OA →－OB →)，∴BC →＝13BA →，又BC →，BA →有公共点B ， ∴A ，B ，C 三点共线，|BC →||BA →|＝13．(2)∵A (1，si nx )，B (1＋si nx ，si nx )， ∴OC →＝13OA →＋23OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23si nx ，si nx ，∴OA →·OC →＝1＋23si nx ＋si n 2x ．又AB →＝(si nx,0)，∴|AB →|＝si nx ，∴f (x )＝OA →·OC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －23|AB →|＝si n 2x ＋2m si nx ＋1．设si nx ＝t ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1]， ∴y ＝t 2＋2mt ＋1＝(t ＋m )2＋1－m 2．①当－m ≤0，即m ≥0时，y ＝t 2＋2mt ＋1无最小值，不合题意；②当0＜－m ≤1，即－1≤m ＜0时，当t ＝－m 时，y mi n ＝1－m 2＝12，∴m ＝－22；③当－m ＞1，即m ＜－1时，当t ＝1时，y mi n ＝2＋2m ＝12， ∴m ＝－34＞－1，不合题意．综上可知，m ＝－22．。

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