双曲线的内切圆圆心
双曲线焦点三角形内切圆的横坐标
双曲线焦点三角形内切圆的横坐标1. 引言在数学几何中，双曲线是一种重要的曲线，其焦点三角形内切圆的横坐标问题也是一个经典而有趣的话题。
在本文中，我们将深入探讨双曲线焦点三角形内切圆的横坐标，并从简单到复杂、由浅入深地解释这一问题，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
2. 基础概念让我们回顾一下双曲线的基本定义和性质。
双曲线是平面上的一种曲线，其定义为所有满足特定条件的点构成的集合。
在直角坐标系中，双曲线的方程通常具有形如$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的标准形式。
焦点三角形是指由双曲线的两焦点和双曲线上的一点组成的三角形。
内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
我们将重点讨论双曲线的焦点三角形内切圆的横坐标问题，并探究其数学特性。
3. 双曲线焦点三角形内切圆的横坐标求解让我们以一种直观的方法来解决这一问题。
我们需要了解内切圆与焦点三角形的关系。
根据数学知识，焦点三角形的三条边上的垂直角相等，而内切圆的切点处与三角形的边垂直，因此我们可以利用这一性质来求解内切圆的横坐标。
通过构建直角坐标系，我们可以利用双曲线的方程和辅助线的斜率等来推导出内切圆的横坐标的具体表达式。
在推导过程中，我们需要灵活运用数学分析和几何推导的方法，从而找到内切圆横坐标的通用解。
4. 数学推导和分析接下来，我们将进行更深入的数学推导和分析，来解决双曲线焦点三角形内切圆横坐标的问题。
通过引入参数并代入双曲线的方程，我们可以对内切圆横坐标的表达式进行进一步的简化和推导。
我们需要综合运用双曲线的性质、焦点三角形的几何关系以及内切圆的切线性质，来得出内切圆横坐标的最终结果。
在这一过程中，我们需要逐步展开推导，进行严密的数学分析，以确保结果的准确性和可靠性。
5. 结论与展望通过以上的分析与探讨，我们得出了双曲线焦点三角形内切圆横坐标的解析表达式。
在我们可以给出结论，总结一下我们所得的结果，并对相关问题进行进一步的展望。
双曲线经典知识点总结-双曲线知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一:双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距。
注意:1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值",常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（)，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点）；4．若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在；5．若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二:双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程;2．在双曲线的两种标准方程中，都有;3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为,；当的系数为正时，焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为，。
知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线(a＞0，b＞0)的简单几何性质（1)对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0）,把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心.(2)范围:双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤—a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a,0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第十章§10.2 双曲线及其性质
解得 ａ，ｂ 的值，即可求得方程．
（ ２０１８
天津，７，５
分）
已知双曲线
ｘ２ ａ２
－ ｙ２ ｂ２
＝ １（ ａ＞０，ｂ＞０）
的离心率为 ２，过右焦点且垂直于 ｘ 轴的直线与双曲线交于 Ａ，Ｂ
两点．设 Ａ，Ｂ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 ｄ１ 和 ｄ２ ，
且 ｄ１ ＋ｄ２ ＝ ６，则双曲线的方程为
点，∴
４ｋ＋５ｋ ＝ １２－３，解得
ｋ ＝ １，故双曲线
Ｃ
的方程为 ｘ２ ４
－
ｙ２ ５
＝ １．
故选 Ｂ．
一题多解
∵
椭圆 ｘ２ ＋ １２
ｙ２ ３
＝１
的焦点为（ ±３，０） ，双曲线与
椭圆 ｘ２ ＋ １２
ｙ２ ３
＝１
有公共焦点，∴
ａ２ ＋ｂ２
＝ （ ±３）２
＝
９①，∵
双曲线的
一条渐近线为 ｙ ＝
５ ２ ｘ，∴
解析 解法一：椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 的焦点坐标是（０，±３），设双 ２７ ３６
曲线方
程
为
ｙ２ ａ２
－ ｘ２ ｂ２
＝ １（ ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０），根据双曲线的定义知
２ａ ＝
｜ （ １５ －０） ２ ＋（４－３） ２ － （ １５ －０） ２ ＋（４＋３） ２ ｜ ＝ ４， 故 ａ ＝ ２． 又
ｂ＝ ａ
５ ２
②，联立①②可解得
ａ２
＝
４，ｂ２
＝
５．∴
双曲线
Ｃ
的方程为 ｘ２ ４
－ ｙ２ ５
＝ １．故选
Ｂ．
１－２
设双曲线与椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 有共同的焦点，且与椭圆 ２７ ３６
9.4 双曲线及其性质(讲解部分)
∴△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a,
又△AF1F2的周长为10a,∴|AF1|+|AF2|=6a,
又∵|AF1|-|AF2|=2a,∴|AF1|=4a,|AF2|=2a.
在△AF1F2中,|F1F2|=4a,∴cos∠F1AF2=
|AF1|2 |AF2|2 -|F1F2|2
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高考理数
9.4 双曲线及其性质
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考点清单
考点一 双曲线的定义及标准方程
考向基础 1.定义 在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于 零)的点的轨迹叫做双曲线,定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离 叫做焦距. 注意 (1)设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为2a,即|| MF1|-|MF2||=2a,其中0<2a<|F1F2|,这一条件不能忽略. ①若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线; ②若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在; ③若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
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3.焦点三角形问题 (1)P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则S F1PF2 =
b2
tan
θ 2
=c|yP|.
(2)过焦点F1的直线与双曲线的一支交于A、B两点,则A、B与另一个焦点 F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|.
栏目索引
(3)若P是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=栏目索引考点二 双曲 Nhomakorabea的几何性质
双曲线焦点三角形中的内切圆圆心的纵坐标范围_范文模板及概述说明
双曲线焦点三角形中的内切圆圆心的纵坐标范围范文模板及概述说明1. 引言1.1 概述双曲线是数学中重要的曲线之一，其焦点三角形是与双曲线相关的一个特殊三角形。
内切圆作为几何中的基本概念之一，也在双曲线焦点三角形中扮演着重要的角色。
本文将研究焦点三角形中内切圆圆心的纵坐标范围问题。
1.2 文章结构文章分为五个部分进行阐述。
引言部分对研究领域进行概述，并简要介绍了整篇文章的结构。
接下来，我们将从定义、性质和特点出发，讨论双曲线焦点三角形以及其中所存在的内切圆。
然后，在第三部分中，通过推导建立双曲线方程和外接圆表达式之间的关系，进一步推导得到内切圆圆心在双曲线参数下的表达式。
第四部分将详细说明内切圆圆心纵坐标范围的定义和意义，并通过对不同类型双曲线情况下的实例进行分析和讨论。
最后，在结论部分总结本文研究结果并提出研究限制与展望。
1.3 目的本文的目的是研究双曲线焦点三角形中内切圆圆心的纵坐标范围。
通过分析双曲线和焦点三角形的定义、性质以及内切圆的特点，我们将推导出内切圆在双曲线参数下的表达式，并进一步讨论该表达式中纵坐标范围的意义。
通过实例分析，我们将具体说明不同类型双曲线情况下内切圆圆心纵坐标范围的变化规律，为该领域后续研究提供基础。
2. 双曲线焦点三角形的定义和性质2.1 双曲线的定义和焦点三角形的概念双曲线是解析几何中的一个重要曲线类型，它可以由平面上满足特定方程的点集表示。
双曲线具有与其他曲线不同的几何性质和特征。
在双曲线上选择其焦点A、焦点B及一定距离内的任意一点P，构成三角形ΔABC，这个三角形被称为双曲线焦点三角形。
双曲线焦点三角形是研究双曲线性质时经常涉及到的一个重要几何对象。
2.2 双曲线焦点三角形的几何性质双曲线焦点三角形具有一些特殊的几何性质。
首先，根据定义，该三角形ΔABC 以两个焦点A和B为顶点，并且第三个顶点C位于两个焦点之间。
其次，在给定双曲线上研究该类型三角形时，我们可以观察到以下性质：a) 该焦点三角形ΔABC的内切圆与双曲线外切；b) 焦点三角形ΔABC的内心是双曲线焦点连线AB上的中点；c) 焦点三角形ΔABC的外心位于双曲线上。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中c e a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．l。
双曲线的简单几何性质
(2)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， c 2 ∴c＝4.∵e＝ ＝2，∴a＝2，∴b ＝12， a ∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(± 4,0)， b 渐近线方程为 y＝± x，即 y＝± 3x，化 a 为一般式为 3x± y＝0.
【答案】 (1)D (2)(± 4,0) 3x± y＝0
双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定
式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是
指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况
下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”
设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定
义法或待定系数法确定a，b的值．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． 5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 4 3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x； 2 (3)过点(2，－2)且与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近 线．
【规律方法】 若不能明确双曲线的焦点在哪 条坐标轴上，可设双曲线方程为： mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六
点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)、“四 线”(两条对称轴、两条渐近线)、“两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和 两焦点构成的三角形)来研究它们之间的相互联系， 明确a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，简 化解题过程．
变式练习
1．(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2－2y2＝1， 则它的右焦点坐标为( C ) 2 5 A. B. ，0 2 2 ，0 6 C. D．( 3，0) ，0 2
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为 2， 焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线的方程为( x 2 y2 A. － ＝1 4 12 x y C. － ＝1 10 6
双曲线焦点三角形的内切圆问题
(变式2)
已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)的左,右焦点分别为F1,F2 , 过F2 的直线交双曲线的右支
于A，B两点,AF1B 90 ,AF1B的内切圆圆心的纵坐标为
7a 2
. 则双曲线的离心率为
.
解：正方形F1EID中，对角线F1I =2 2a
勾股定理得：(2
解：如图作辅助线，则切线长相等：F1D F1E （1）AF1 AF2 F1D GF2 F1E GF2 2a
（2）BF1 BF2 BF1 (BG GF2 ) F1E GF2 2a GF2 0，即G与F2重合，
IF2 AB
SABF1
=
1 2
( AF2
F2 B
BA)
R
1 2
(4a
2AB)
R
( AB
2a)
R
SABF1
=
1 2
2c
yA yB
c AB sin
AB 2aR c sin R
1
2ep e2 cos2
a2
2ab2 c2 cos2
R
c sin
R
a2
b2
2a)2 (c a2 )2 ( c
7a 2
)2
求离心率 e = c 令a 1,则e c 1 a
(c
1)2 c
8
7 4
25 4
双曲线与圆的交点问题
双曲线与圆的交点问题
首先，让我们考虑双曲线的方程。
双曲线的一般方程可以表示为：
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。
其中A、B、C、D、E和F是常数。
双曲线的方程中包含了二次项和一次项，这使得它具有两个分支。
接下来，我们考虑圆的方程。
圆的一般方程可以表示为：
(x h)^2 + (y k)^2 = r^2。
其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
要确定双曲线和圆的交点，我们可以将双曲线的方程代入圆的方程中，然后解方程组来求解交点的坐标。
具体步骤如下：
1. 将双曲线的方程代入圆的方程中，得到一个关于x和y的方程。
2. 将方程整理成一个关于x的二次方程或关于y的二次方程。
3. 解这个二次方程，得到x的值或y的值。
4. 将求得的x或y的值代入双曲线的方程中，求得对应的y或x的值。
5. 得到双曲线和圆的交点坐标。
需要注意的是，双曲线和圆可能有0个、1个或2个交点。
具体的结果取决于双曲线和圆的方程以及它们的位置和形状。
在解决双曲线与圆的交点问题时，我们可以通过将方程进行化简、代入、整理和求解等步骤，来确定交点的坐标。
这样可以得到全面准确的答案。
希望以上回答能够满足你的需求，如果还有其他问题，请随时提出。
双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
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双曲线知识点总结班级 姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大 于0 且 ）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数 应当满足的约束条件： ，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件：（ ）， 则 动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支； 3. 若常数 满足约束条件：，则动点轨迹是以 F 1、F 2 为端点的两条射线（包括端点）；4. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在；5. 若常数 ，则动点轨迹为线段 F 1F 2 的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1. 当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2. 当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程：，其中 .注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2. 在双曲线的两种标准方程中，都有；3. 双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ， ；当 的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ， .知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质（1） 对称性：对于双曲线标准方程（a ＞0，b ＞0），把 x 换成―x，或把 y 换成―y，或把 x 、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a ＞0，b ＞0）是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2） 范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=―a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足 x≤-a 或x≥a。
高考数学解答题双曲线焦点三角形内切圆 Word版含答案
4.双曲线焦点三角形内切圆一.基本结论：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为)0,(≠<<-=y b y b a x . 证明：设内切圆与1212,,PF PF F F 的切点分别为,,M N T ，则由切线长定理可得1122,,PM PN FM FT F N F T ===,因为1212122PF PF FM F M F N F T a -=-=-=，12122F F FT F T c =+=，所以2F T c a =-，所以点T 的坐标为(,0)a ，所以点I 的横坐标为定值a . 二．典例分析 例1双曲线221169x y -=的左、右焦点分别12,F F P 、为双曲线右支上的点,12PF F 的内切圆与x 轴相切于点C ,则圆心I 到y 轴的距离为()A.1B.2C.3D.4解析：设三角形内切圆的切点为,,A B C ,其中C 在X 轴上,那么2121F C FC F A F B -=-,又AP PB = 所以212121212F C FC F A F B F A AP F B BP F P F P a -=-=+--=-= 8=,又211210F C FC F F +==所以C 点的横坐标为4,I 点的横坐标也为4, 故圆心I 到y 轴的距离为4.例2已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F e 为双曲线的离心率,P 是双曲线右支上的点,12PF F 的内切圆的圆心为I ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,则点B 的轨迹是()A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线 解析：()()12,0,,0F c F c -,内切圆与x 轴的切点是点A , 122PF PF a -=,及圆的切线长定理知,122AF AF a -=,设内切圆的圆心横坐标为x ,则()()2x c c x a +--=x a ∴=; OA a =,在2PCF 中,由题意得,2F B PI ⊥于B ,延长交12F F 于点C ,利用2ΔPCB PF B ≅, 可知2PC PF =,∴在三角形12F CF 中,有:()()111211112.2222OB CF PF PC PF PF a a ==-=-=⨯=即点B 的轨迹是以O 为圆心,半径为a 的圆,。