数列试题精选(新高考地区专用)(含解析)

数列（新高考地区专用）
1、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①26,7753=+=a a a ；②63,371==S a ；③n n S n 22
+=，
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知S n 为等差数列}{n a 的前n 项和，若 ． (1)求a n ； (2)令*)(1
1
2
N n a b n n ∈-=
，求数列}{n b 的前n 项和T n ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2、（徐州一中、兴化中学2021届两校联合第二次适应性考试）在①
22430
a b b ++=，②
44
a b =，③
327
S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求实数λ的取值范围；若问题中的λ不存在，请说明理由.
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ， ___________，51a b =，431n n T b =-(*n ∈N )，是否存在实数λ，对任意*n ∈N 都有n S λ≤？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3、（恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中 襄阳三中）在①}{b n 为等比数列，1122,3b a b a ==,②
}{b n 为等差数列，22114,2a b a b ==,③}{b n 为等比数列，4,22211+=+=a b a b 。

这三个条件中任选一个,
补充在下面的问题中,并作答。

已知数列{}n a 满足
()2*
31223...N 2222n n
a a a a n n ++++=∈,数列{}n
b 满足____________,n S 为数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和,是否存在正整数k ,使得2020k S ≥成立?若存在,求出k 的最小值；若不存在,请说明理由。

4、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 ，
(1)判断321,,S S S 的关系并给出证明． (2)若331=-a a ，设||12n n a n b =
,}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.3
4
<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是231,,S S S 成等差数列．
如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
5、（江苏启东中学2020～2021学年第一学期期中考试）在①11013,5a S ==-；②377,5a a ==-；③3530,35S S ==这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列{}n a 满足 ▲ ．（如果选择多个条
件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ，以及使得n S 取得最大值时n 的值．
6、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b =-；
②2
42S S =，且1
12()2
n n T -=-这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若 ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n Q ． （3）设等比数列{}n c 的首项为2，公比为(0)q q >，其前n 项和为n P ，若存在正整数m ，使得33m S S P =⋅，求q 的值.
7、（湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考）已知函数
（k 为常数，且）．
（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；
① 数列是首项为2，公比为2的等比数列；
② 数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③ 数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n 项和.
8、（广东省2021届高三上学期综合能力测试）在数列}{n a ，}{n b 中，己知数列}{n a 的前n 项和n S 满足
)(12*N n b a S n n n ∈-=.
(1)若2+=n b n ，求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+1n a n 是常数列，并求数列}{n a 的通项公式； (2)若n
n a 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T .
9、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列
{}n a 的前
n 项和
n
S
满足
2(2,)
n n =+≥∈N ，且14a =.
（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项公式n a ；
()log k f x x
=0k >1k ≠{}n a (){}
n f a (){}n f a (){}n
f
a k =1
2
241
+=-n n n a b n {}n b n T
（2） 记1
1
n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T ．
10、（2021届江苏基地学校高三第一次大联考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S +=，
21
log n
n n a b a +=-，*n ∈N ．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设11
2(2)
n n n n n c b b +++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：31164n T <≤．
11、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足123n n S a a =-且2a ，
32a +，48a -成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n
n
b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
12、（湖北师大附中2021届高三上学期名校联考）数列{a n } 满足 a 1 +2a 2 +3a 3 +…+ na n = (n -1)• 2n +1+ 2( n ≥l) ,
（1）求数列{a n }的通项公式 ；
（2）设21
,n n n
n b S a +=为数列{b n }的前n 项和，求S n .
13、（江苏省南通市如东县2021届高三期中调研考试）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *
),-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,且a 2+2a 3+a 4=1
16.
(1) 求数列{a n }的通项公式;
(2) 若b n =-(n +2)log 2|a n |,求数列{1
b n
}的前n 项和T n .
14、（淮安市高中校协作体2020～2021学年第一学期高三年级期中考试）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，
且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. （1）求n a 和n b ； （2）设()
1
1n n n n c b a a =++，求的前n 项和n S .
15、（恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中 襄阳三中）已知数列{}
n a 的前n 项和为n S ，
*112,32,N n n a S S n +==+∈.
（1）证明：数列{}1n S +为等比数列；
（2）若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=为偶数为奇数n a n a b n n
n ,23log ,2
3，
求数
16、（江苏南京2020—2021学年第一学期11月六校联合调研试题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，3a ＝7，6S ＝48， 数列{b n }满足3,2211=+=+b b b n n .
（1）证明：数列{b n －2}是等比数列，并求数列{a n }与数列{b n }通项公式； （2）若c n ＝a n (b n －2)，求数列{c n }的前n 项和T n .
17、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列{}n a 的前n 项和为()
*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341
216
a a a ++=
. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2(2)log n a
n b n =-+，求数列1
{}n
b 的前n 项和n T .
18、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －1
2
)．
(1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n
2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．
19、（江苏省南通市2021届高三月考模拟测试）已知正项等比数列{}n a 满足3112S S -=，212314a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记221221
1
log log n a n b a a +-=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20、（河北省石家庄市高中毕业班教学质量检测）公差不为0的等差数列}{n a 中，前n 项和记为S n ．若a 1=l ，且S 1，2S 2，4S 4成等比数列， (1)求}{n a 的通项公式； (2)求数列}{1
1
++n n n S S a 的前n 项和T n .
21、（山东省威海市乳山一中2021届高三10月学情检测）已知数列的前项和为
，
.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）已知曲线若为椭圆，求的值；
22、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第二次月考）已知各项均为整数的数列}{n a 满足13-=a ，
47=a ，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)求出所有的正整数m ，使得.2121++++=++m m m m m m a a a a a a
{}n a n
n
S *
112,32,N n n a S S n +==+∈{}1n S +()22
:191n n C x a y +-=n C n
23、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第三次月考）已知数列}{n a 的首项21=a ，前n 项和为n S ，且数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是以2
1
为公差的等差数列．
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设n n
n a b 2=，*N n ∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，
①求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n T n
为等比数列，
②若存在整数)1(,>>n m n m ，使得)
()(λλ++=n
m n m S n S m T T ，其中λ为常数，且2-≥λ，求λ的所有可能值．
24、（辽宁省六校2021届高三上学期期中联考）已知数列的各项均为正数,,且对任意,为
和1的等比中项,数列
满足．
(1)求证：数列为等比数列,并求通项公式；
(2)若,的前项和为,求使不小于的的最小值．
25、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,
1
2
12++-=n n n S a S λ，其中λ为常数． (1)证明：.21λ+=+n n S S
(2)是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
{}n a 13a =*
N n ∈2n a 213n a ++{}n b 2*1(N )n n b a n =-∈{}n b {}n a 2log n n c b ={}n c n n T n T 360n
1、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①26,7753=+=a a a ；②63,371==S a ；③n n S n 22
+=，
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知S n 为等差数列}{n a 的前n 项和，若 ． (1)求a n ； (2)令*)(1
1
2
N n a b n n ∈-=
，求数列}{n b 的前n 项和T n ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】：(1)若选择条件(1)，在等差数列}{n a 中
⎩⎨⎧=+=26
7753a a a ，⎩⎨⎧=+=+∴261027211d a d a ，解得⎩⎨⎧==231d a
122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n
若选择条件(2)，在等差数列}{n a 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+==6326
773
171d a S a ，解得⎩⎨⎧==231d a 122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n ；
若选择条件(3)，在等差数列}{n a 中
a l =S l =3，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2+2n -[(n -l)2 +2(n -1)]= 2n +l ，a 1也符合， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得)1
1
1(41)1(411
)12(11
1
22
+-=+=
-+=
-=
n n n n n a b n n ，
)
1(4)1
11(41)1
1131212
11(4121+=
+-
=
+-
+
+-+
-
=
+++=∴n n n n n b b b T n n
2、（徐州一中、兴化中学2021届两校联合第二次适应性考试）在①
22430
a b b ++=，②
44a b =，③
327
S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求实数λ的取值范围；若问题中的λ不
存在，请说明理由.
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ， ___________，51a b =，431n n T b =-(*n ∈N )，是否存在实数λ，对任意*n ∈N 都有n S λ≤？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 当1n =时，11431T b =-， 得11b =-， 从而51a =-，
当2n ≥时，()()111444313133n n n n n n n b T T b b b b ---=-=---=-， 得13n n b b -=-，
所以数列{}n b 是首项为1-，公比为3-的等比数列， 所以()
1
3n n b -=--，
由对任意*n ∈N ，都有n S λ≤，
可知等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，
假设n k =时，n S 取最小值，所以111
0k k k k k k S S a S S a -++≥≤⎧⎧⇔⎨⎨
≤≥⎩⎩； （1）若补充条件是①22430a b b ++=， 因为23b =，427b =， 从而()2241
103
a b b =-
+=-， 由523a a d =+得3d =，
所以()()()12121032316n a a n d a n d n n =+-=+-=-+-=-， 由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，
又*k ∈N ，所以5k =，所以535S λ≤=-，故实数λ的取值范围为(],35-∞-.
（2）若补充条件是②44a b =，
由427b =，即427a =，又511a b ==-， 所以5412728d a a =-=--=-；
所以()()()1515128528139n a a n d a n d n n =+-=+-=---=-+， 由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，
则()2813902811390k k -+≤⎧⎨-++≥⎩，得13928
11128k k ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤
⎪⎩
，
所以k ∈∅，
所以不存在k ，使得n S 取最小值， 故实数λ不存在.
（3）若补充条件是③327S =-， 由31232327S a a a a =++==-， 得29a =-，
又51213a b a d ==-=+， 所以528
33
a a d -=
=， 所以()()()128843
1292333
n a a n d a n d n n =+-=+-=-+-=-， 由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，
则()8
430338431033k k ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩
，
得
354388
k ≤≤， 又*k ∈N ，所以5k =，
所以存在5k =，使得n S 取最小值， 所以5953
S λ≤=-
， 故实数λ的取值范围为95,3⎛⎤-∞-
⎥⎝
⎦
. 3、（恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中 襄阳三中）在①}{b n 为等比数列，1122,3b a b a ==,②
}{b n 为等差数列，22114,2a b a b ==,③}{b n 为等比数列，4,22211+=+=a b a b 。

这三个条件中任选一个,
补充在下面的问题中,并作答。

已知数列{}n a 满足
()2*
31223...N 2222n n a a a a n n ++++=∈,数列{}n b 满足____________,n
S 为数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和,是否存在正整数k ,使得2020k S ≥成立?若存在,求出k 的最小值；若不存在,请说明理由。

【解析】：由
2
3
1223
2222n n a a a a n ++++
=可得,231
1223
1
(1)2222
n n a a a a n --++++
=-,(2)n ≥ 两式相减可得,22(1)212
n
n a n n n =--=-, 所以(21)2n n a n =-, 当1n =时,由
23
1223
2222
n
n a a a a n ++++
=可得,12a =,满足(21)2n n a n =-, 所以(21)2n n a n =-, 若选①可得12
2,4b b ==,所以2n
n b =,此时21n
n
a n
b =-, 可得2135(21)n S n n =++++-=, 22020n S n =≥,可得45n ≥()n *∈N ,
所以存在最小k 值为45.
若选②,可得3,121==b b ，所以12-=n b n ，此时
n n
n
b a 2= 可得221
-=+n n s ，10,2020≥≥n s n 可得，所以存在最小k 值为10
若选③,可得16,421==b b ，所以n
n b 4=，此时
n n n n b a 2
12-= 所以n n n n n s 21
2232252321132-+-++++=
- 那么14322
1223225232121+-+-++++=n n n n n s
两式相减得323
23<+-=n
n n s ，所以不存在整数k
4、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 ，
(1)判断321,,S S S 的关系并给出证明． (2)若331=-a a ，设||12n n a n b =
,}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.3
4
<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是231,,S S S 成等差数列．
如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题． 【解析】：补充的条件为2
1
-=q ，321,,S S S 的关系为231,,S S S 成等差数列． 证明如下：
由题意可得11a S =，1112122
1
21a a a a a S =-
=+=， 111132134
3
4121a a a a a a a S =+-=++=，
可得3212S S S =+，因此231,,S S S 成等差数列． （5分）
(2)证明：由331=-a a ，可得34
1
11=-
a a , 解得.214,41
1-⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯==n n a a （6分）
n n n n n
n a n b 2
.3221412||121
=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⨯==-，（7分） 则⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅+⋅=
n n n T 2181341221132 ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅+⋅=+12116138124113221n n n T , 上面两式相减，
可得.2121121121322121161814121322111⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--⎪
⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+++
++=++n n n n n n n T （9分） 整理可得⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
+12213422232n n n n n T , (11分) 因为*∈N n , 12211<+-
+n n ，所以.3
4
<n
T (12分)
5、（江苏启东中学2020～2021学年第一学期期中考试）在①11013,5a S ==-；②377,5a a ==-；③3530,35S S ==这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列{}n a 满足 ▲ ．（如果选择多个条
件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ，以及使得n S 取得最大值时n 的值．
【解析】（1）选条件①．因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，11013,5a S ==-，1011091052
S a d ⨯=+=-，
得3d =-，……………3分
所以1(1)163n a a n d n =+-=-．……………5分
选条件②．因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，由377,5a a ==-得 317127,65a a d a a d =+==+=-，得113,3a d ==-，……………3分
以下同①.
选条件③．3530,35S S ==因为数列{}n a 是等差数列，设首项为1a ，公差为d ， 由3530,35S S ==得3151
3254330,53522
S a d S a d ⨯⨯=+==+=，
解得113,3a d ==-，……………3分 以下同①． （2）由（1）知1()
2
n n a a S n +=
=22932n n -，……………7分
当5n ≤时0n a >，当6n ≥时，0n a <， 所以当5n =时，n S 最大．……………10分
6、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b =-；
②2
42S S =，且1
12()2
n n T -=-这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若 ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n Q ． （3）设等比数列{}n c 的首项为2，公比为(0)q q >，其前n 项和为n P ，若存在正整数m ，使得33m S S P =⋅，求q 的值.
【解析】（1）选① 1
1a 21,2n n n n b -⎛⎫=-= ⎪
⎝⎭
，选② 1
1a 21,2n n n n b -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
…………4分
（2） n (23)23n
Q n =-⨯+ ………………………………………………8分
（3）由（1）可得，2
n S n =，
由33m S S P =⋅，得229(222)m q q =⋅++， 所以
22
9
12q q m
=++， 因为0q >，所以
2912m >
，即2
m <， 由于m N *∈，所以12m m ==或， 当1m =
时，270,2q q q +-
==解得舍负）
， 当2m =
时，210,8q q q +-
==解得舍负）
， 所以q
………………………………12分 7、（湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考）已知函数
（k 为常数，且）．
（1）在下列条件中选择一个，使数列是等比数列，说明理由；
① 数列是首项为2，公比为2的等比数列；
② 数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③ 数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n 项和. 【解析】（1）①③不能使成等比数列.②可以：
()log k f x x
=0k >1k ≠{}n a (){}
n f a (){}n f a (){}n
f
a k =1
2
241
+=-n n n a b n {}n b n T {}n a
由题意， ………1分 即，得，且，. ………3分 常数且，为非零常数，
数列是以为首项，为公比的等比数列． ………4分
（2）由（1）知，所以当时，.
………5分
因为， 所以，所以， ………7分
. ………10分 8、（广东省2021届高三上学期综合能力测试）在数列}{n a ，}{n b 中，己知数列}{n a 的前n 项和n S 满足
)(12*N n b a S n n n ∈-=.
(1)若2+=n b n ，求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+1n a n 是常数列，并求数列}{n a 的通项公式； (2)若n
n a 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T .
【解析】(1)由题设可得1)2(2-+=n n a n S ，
当1=n 时，13211-=a a ，得11=a ， …………………………………………………1分
当2≥n 时，1)1(211-+=--n n a n S ，两式相减得1)1()2(2-+-+=n n n a n a n a ，………3分 所以1)1(-+=n n a n na ，即
n
a n a n n 11-=+，所以⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+1n a n 是常数列，…………………………4分 首项
21111=+a ，即2
1
1=+n a ， ………………………………………………………………5分 所以21+=
n a n ，所以数列}{n a 的通项公式为2
1
+=n a n . ……………………………．6分 (2)因为n
n a 2=，则}{n a 是首项21=a ，公比2=q 的等比数列，
所以222
1)
21(21-=--=
+n n n S ， …………………………………………………………．7分 由题设知12)22
(21
-⨯=-⨯+n n n b ，得n n b 2
3
4-
=，…………………………………9分 ()4(1)222n f a n n =+-⨯=+log 22k n a n =+22
n n a k
+=4
10a k =≠2(1)2
2122n n n n a k k a k
++++∴=
=0k >1k ≠2k ∴∴{}n a 4k 2k 2n 2n k a +
=k =
1
2n n a +=1
2
241
+=-n n n a b n 2141
n b n =
-1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
12111111...1...23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪
-+⎝⎭11122121
n
n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
所以)2
12121(34)234()234()234(22n n n n T +++-=-++-
+-= 32342
11)
21
1(2134-+=--⨯⨯-=n n n n . …………………………………………………12分 9、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列
{}n a 的前
n 项和
n
S
满足
2(2,)
n n =+≥∈N ，且14a =.
（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项公式n a ； （2） 记1
1
n n n b a a +=
⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T ．
【解析】(I)
2=，
∴数列为等差数列，
2=
=，
22(1)2n n =+-=，即2
4n S n =，
当2n ≥时，22
144(1)4(21)n n n a S S n n n -=-=--=-，
又12a =也满足上式，∴4(21)n a n =-； (II)由(1)知，111116(21)(21)322121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，
∴111111132335
2121n T n n ⎛⎫
=
-+-++
- ⎪-+⎝⎭
， 111322116(21)
n n n ⎛⎫=
-= ⎪
++⎝⎭ 10、（2021届江苏基地学校高三第一次大联考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S +=，
21
log n
n n a b a +=-，*n ∈N ．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设11
2(2)
n n n n n c b b +++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：31164n T <≤．
【解析】（1）因为1n n a S +=，所以当1n =时，121a =，即11
2
a =． …… 1分
当2n ≥时，有111n n a S --+=，所以110n n n n a a S S ---+-=，
即112
n n a a -=，即112n
n a
a -=（2n ≥）， 所以{}n a 是首项为112
a =，公比为1
2的等比数列， …… 4分
所以1111()()222
n n
n a -=⨯=．
所以121
log 2n n
n n a b n a ++=-
=⋅． …… 6分 （2）1111212(2)2(2)11122(1)2(2)(1)2n n n n n n n n n n n c b b n n n n ++++++⎡⎤++===-⎢⎥⋅+⋅⎡⎤⋅⋅+⋅⎣⎦⎣⎦
．…… 8分 所以123n n T c c c c =+++
+
12231111111111()()22212222232
2(1)2n n n n +⎡⎤=-+-+
+-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎣⎦
112
111112412(1)2(1)2n n n n ++⎡⎤=-=-⎢⎥⨯++⋅⎣⎦， …… 10分 可知{}n T 为递增数列，所以112
1
1113441616(11)2
n T T +=-
=-=+⋅≥． 又
2
10(1)2
n n +>+⋅，所以14n T <，所以31164n T <≤． …… 12分
11、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足123n n S a a =-且2a ，
32a +，48a -成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）当2n ≥时，1122233n n n n n a S S a a --=--=，即13n n a a -=，………………3分
由2a ，32a +，48a -成等差数列可知，3242(2)8a a a +=-+， 即2222(32)98a a a +=-+，解得23a =，所以11a =， 则{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以{}n a 的通项公式为13n n a -=．……………………………………………6分 （2）由（1）知，13
n n n n n b a -==
， 则01211233333
n n n
T -=++++，
123111231333333
n n n n n T --=+++++， 两式相减得，123121111(1)333333
n n n n
T -=+++++-
1131313
n
n n -=
--332223n n +=-⨯，……………………………10分 所以1
923
443
n n n T -+=-⨯．………………………………………………………12分
12、（湖北师大附中2021届高三上学期名校联考）数列{a n } 满足 a 1 +2a 2 +3a 3 +…+ na n = (n -1)• 2n +1+ 2( n ≥l) ,
（1）求数列{a n }的通项公式 ； （2）设21
,n n n
n b S a +=
为数列{b n }的前n 项和，求S n . 【解析】：(1)由题意，.21=a
由)1(22)1(321
321≥+⋅-=+++++n n na a a a n n ， ① 得)2(22)2()1(321321≥+⋅-=-++++-n n a n a a a n
n ， ②
①—②，得
)2(2]22)2[(]22)1[(1≥⋅=+⋅--+⋅-=+n n n n na n n n n ，
所以)2(2≥=n a n
n
又因为当1=n 时，上式也成立，所以数列}{n a 的通项公式为n
n a 2=. ………………6分
（没有讨论1=n 的情况扣1分）
(2)由题意，n
n n n a n b 21
212+=+=
，所以 n
n n n b b b b S 2
1
2272523321321++++=
+++= ， ③ 14322
1
221227252321+++-++++=n n n n n S ， ④
③—④，得 所以
]2
1
2212272523[]212272523[211432321+++-++++-++++=n n n n n n n S
14322
12)21212121(223++-++++=
n n n 12122
11])21(1[21221++---⨯+=n n n
1)2
1()52(25+⋅+-=n n 从而5)2
1
()52(+⋅+-=n n n S . ……………………………12分
13、（江苏省南通市如东县2021届高三期中调研考试）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *
),-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,且a 2+2a 3+a 4=1
16. (1) 求数列{a n }的通项公式;
(2) 若b n =-(n +2)log 2|a n |,求数列{1
b n
}的前n 项和T n . 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
由23424,,S S S -成等差数列知，423422S S S +-=， 所以432a a =-，即12q =-
. 又2341216
a a a ++=，所以2
3
1111216a q a q a q ++=，所以112a =-， 所以等差数列{}n a 的通项公式12n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）知1()22
(2)log (2)n n
b n n n =-+=+
所以11111(2)22n b n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和：
1111111
1111224511233n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+
+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111112212n n ⎡⎤=
+--⎢⎥++⎣⎦
32342(1)(2)
n n n +=
-++
所以数列1n b ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和323
42(1)(2)n
n T n n +=-++ 14、（淮安市高中校协作体2020～2021学年第一学期高三年级期中考试）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，
且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. （1）求n a 和n b ； （2）设()
1
1n n n n c b a a =+
+，求的前n 项和n S .
【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列{}n a 的前4项和为10， 所以123410a a a a +++=，143
4102
a d ⨯+
=，即1235a d +=…………1分 因为124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. 所以2
214a a a =，
2111()(3)a d a a d +=+，21d a d =，……………………………2分
又等差数列{}n a 各项均不相等，所以0d ≠，
所以1d a =，又1235a d +=，所以11,1a d ==，所以n a n =，……………4分 因为124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项，所以等比数列{}n b 的前3项是1,2,4，
所以1
2n n b -=………………………5分
（2）由（1）得1
1
2
(1)
n n c n n -=+
+，…………………6分
12n n S c c c =++
+011111
(2)(2)[2]1223
(1)
n n n -=+
+++++
⨯⨯+
01111
1
(222)[]1223(1)
n n n -=++
++++
+
⨯⨯+
1(12)11111
[(1)()()]122231
n n n -=+-+-++--+ 11
211211
n n n n =-+-
=-++
所以数列{}n c 的前n 项和n S 是1
21
n
n -
+…………………10分
15、（恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中 襄阳三中）已知数列{}
n a 的前n 项和为n S ，
*112,32,N n n a S S n +==+∈.
（1）证明：数列{}1n S +为等比数列；
（2）若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=为偶数
为奇数n a n a b n n
n ,23log ,2
3，
求数
【解析】（1）对任意的*N n ∈，132n n S S +=+，则
1133
311
n n n n S S S S +++==++且113S +=， 所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列； （2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31n n S =-∴.
当2n ≥时，()()111
313123n n n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，
所以，123n n a -=⨯.
所以⎩
⎨⎧=-为偶数为奇数
n n n b n n ,,31
n n n b b b b b b T 24212312+++++++=∴- 8
1892
-++=n n n
16、（江苏南京2020—2021学年第一学期11月六校联合调研试题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，3a ＝7，6S ＝48， 数列{b n }满足3,2211=+=+b b b n n .
（1）证明：数列{b n －2}是等比数列，并求数列{a n }与数列{b n }通项公式；
（2）若c n ＝a n (b n －2)，求数列{c n }的前n 项和T n . 【解析】（1）2
12)
2(2122121221=--=--+=--+n n n n n n b b b b b b ，
所以数列{}2-n b 是公比2
1
=
q 等比数列；………………2分
111)
2
1()21)(2(2--=-=-n n n b b ，
即*-∈+=N n b n n ,2)2
1
(1;………………4分
由,482566721613⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+==+=d a S d a a 解得2,31==d a ，
所以1(1)21n a a n d n =+-=+.………………6分 （2）由（1）知1)2
1)(12()2(-+=-=n n n n n b a c ，
所以12210)2
1)(12()2
1)(12()2
1(7)2
1(5)2
1
(3--++-++++⋅=n n n n n T ，①
n n n n n T )2
1
)(12()21)(12()21(7)21(5)21(3211321++-++++⋅=- ，② ①-②得n
n n n T )21)(12(])21()21()21()21[(232
11321+-+++++=-
n
n n )21)(12(2
11]
)21
(1[21231+---⨯+=- n
n n n n )2
1
)(52(5)
21)(12())21(1(231+-=+--⨯+=- ………………10分
所以 1)2
1
)(52(10-+-=n n n T ………………12分
17、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列{}n a 的前n 项和为()
*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341
216
a a a ++=
. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2(2)log n
a n
b n =-+，求数列1{}n
b 的前n 项和n T . 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
由23424,,S S S -成等差数列知，423422S S S +-=，
所以432a a =-，即12q =-
. 又2341
216
a a a ++=，所以23
111
1216a q a q a q ++=，所以112
a =-， 所以等差数列{}n a 的通项公式12n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）知1
()2
2
(2)log (2)n
n b n n n =-+=+
所以
11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
所以数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和： 1111111
1111224511233n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+
+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111112212n n ⎡⎤=
+--⎢⎥++⎣⎦
32342(1)(2)
n n n +=
-++ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭的前n 项和
323
42(1)(2)n n T n n +=-++
18、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －1
2
)．
(1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n
2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解析】：(1)因为
S n 2＝a n (S n －1
2)，
当n ≥2时，S n 2
＝(S n －S n －1)(S n －1
2)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·
S n ≠0，所以1S n －1
S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1
a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分
所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝1
2n －1． …………………………………………7分
(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1
(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－1
2n ＋1)，……………………………10分
所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－1
2n ＋1)
＝n 2n ＋1
19、（江苏省南通市2021届高三月考模拟测试）已知正项等比数列{}n a 满足3112S S -=，212314a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记221221
1
log log n a n b a a +-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q
由已知0q >，由题意得2
1111+12
3214
a q a q a a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，
所以2
75180q q --=，解得2q
=，12a =.
因此数列{}n a 的通项公式为2n n a =.
（2）由（1）知，22122111111
()log log (21)(21)22121
n a n b a a n n n n +-=
==-+--+，
∴1111
1111(1)(1)2335
212122121
n n
T n n n n =-+-++
-=-=
-+++.
20、（河北省石家庄市高中毕业班教学质量检测）公差不为0的等差数列}{n a 中，前n 项和记为S n ．若a 1=l ，且S 1，2S 2，4S 4成等比数列， (1)求}{n a 的通项公式； (2)求数列}{1
1
++n n n S S a 的前n 项和T n .
【解析】：(1)由已知可得：412
244S S S ⨯=，
………2分
即)64(1)2(2
d d +⨯=+， ………3分 解得d =0（舍）或d =2
………4分 所以a n = 2n －1，
………5分
(2)由(1)可得S n =n 2，
………7分
所以2
22211
)
1(1
1)1(12+-=+⨯+=++n n n n n s s a n n n ………9分
所以
))1(11()1)1(1(...)4131()3121()2111(2
222222222+-+--++-+-+-=n n n n T n ……10分
2
22)
1(2)1(11++=+-=n n n n ………12分
21、（山东省威海市乳山一中2021届高三10月学情检测）已知数列的前项和为
，
.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）已知曲线若为椭圆，求的值；
【解析】（1）对任意的，，则且， 所以，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，.
当时，，
也适合上式，所以，.
由于曲线是椭圆，则，即， ，解得或2；
22、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第二次月考）已知各项均为整数的数列}{n a 满足13-=a ，
47=a ，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)求出所有的正整数m ，使得.2121++++=++m m m m m m a a a a a a
【解析】(1)设前6项的公差为d ，则d d a a 21235+-=+=, d d a a 31336+-=+=,
765,,a a a 成等比数列，)12(4)13(27526-=-⇒⋅=∴d d a a a ,
{}n a n
n
S *
112,32,N n n a S S n +==+∈{}1n S +()22
:191n n C x a y +-=n C n *
N n ∈132n n
S S +=+1133
311
n n n n S S S S +++==++113S +={}1n S +11333n n n S -+=⨯=31n
n S =-∴2n ≥()()
111
313123n n n n n n S a S ---=-=---=⨯12a =123n n a -=⨯()2
2
:191n n C x a y +-=190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩112319
2318
n n --⎧⨯<⎪⎨⨯≠⎪⎩*N n ∈∵1n =
解得：1=d , 9
5
=
d （舍），6≤∴n 时，4)3(3-=-+=n d n a a n , 15=∴a , 26=a ，则2=q , 6>∴n 时，5662--=⋅=n n n q a a ,
⎩⎨⎧>≤-=∴-.6,2,6,45
n n n a n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎩⎨⎧≥<-=⎩⎨⎧>≤-=--.5,2,5,4,5,2,5,45
5n n n a n n n a n n n n 或或 …………………6分 (2)由(1)可得： ,8,4,2,1,0,1,23:}{---，
n a 则当1=m 时，3213216a a a a a a =-=++,
当2=m 时，3432-=++a a a , 432432432,0a a a a a a a a a =/++=, 当3=m 时，5435430a a a a a a ==++,
当4=m 时，3654=++a a a , 0654=a a a , 654654a a a a a a =/++, 当5≥m 时，假设存在m ，使得2121++++=++m m m m m m a a a a a a , 则有1235
2)421(2
--=++m m 即：72123527227---=⇒=⋅m m m ,
5≥m , 372≥-∴m ,7822372>=≥∴-m ，从而7227-=m 无解， 5≥∴m 时，不存在这样的m ，使得2121++++=++m m m m m m a a a a a a ,
综上所述：1=m 或3=m . …………………………12分
23、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第三次月考）已知数列}{n a 的首项21=a ，前n 项和为n S ，且数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是以2
1
为公差的等差数列．
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设n n
n a b 2=，*N n ∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，
①求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n T n
为等比数列，
②若存在整数)1(,>>n m n m ，使得)
()(λλ++=n
m n m S n S m T T ，其中λ为常数，且2-≥λ，求λ的所有可能值．
【解析】(1)21=a ，211
=∴S ，2
321)1(212+=-+=∴n n n S n ， 即n n S n 2
3
212+=
， ………………………………1分 当2≥n 时，12
1
21)1(23)1(21221-+=-+-=-n n n n S n ，)2(11≥+=-=∴-n n S S a n n n
当1=n 时，21=a 符合上式，).(1*
N n n a n ∈+=∴ …………………………………3分
(2)①证明：)(1*N n n a n ∈+= ，)1(2+=∴n b n
n ，
)1(242322232+⨯++⨯+⨯+⨯=∴n T n n ，
则)1(242322221
432+⨯++⨯+⨯+⨯=+n T n n ，……………………………5分
两式相减，可整理得12+⋅=n n n T ，11
242-+⨯==∴n n n
n
T
，
∴数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n T n 是以4为首项，2为公比的等比数列. ……………………………7分
②由①可知，1
2+⋅=n n n T ，且由(1)知n n S n 2
3212+=
， 代入
)()
(λλ++=n
m n m S n S m T T ，可得⎪
⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝
⎛++=⋅⋅++λλn n n m m m n m n m 2321232122221
1
，…………………………8分 整理得λ
λ
23232222++++=n n m m n m ，
即m n m m n n 22322322λλ++=++，设n n n n c 2232λ
++=，则n m c c =，………………9分
则.24
222322)1(3)1(1
22121++++---=++-++++=-n n n n n n n n n n n c c λλλ ∴-≥,2λ 当3≥n 时，02
4
21
21<+---=-++n n n n n c c λ， 即n n c c <+1，…………………………10分
1>>n m ，且08
6
38
14
2
542≥+=
+-
+=
-λλλc c ，)5(2≥>∴n c c n 42c c =∴或32c c =，即2=n ，4=m 或3． ………………………………11分
当2=n ，4=m 时，2-=λ，当3,2==m n 时，.1-=λ 故λ的所有可能值为-1，-2． …………………………12分
24、（辽宁省六校2021届高三上学期期中联考）已知数列的各项均为正数,,且对任意,为
和1的等比中项,数列
满足．
(1)求证：数列为等比数列,并求通项公式；
(2)若,的前项和为,求使不小于的的最小值．
【解析】 (1)对任意,都为和1的等比中项,
所以,即 也即
所以,
因为,所以,
所以数列成等比数列,首项为,公比为4,
所以 ---------4分
所以,为正项数列,所以-----------6分
(2) 所以 ---------9分
不小于,即 即,
也即所以或(舍去) 所以不小于的的最小值为 -------12分
25、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,
1
2
12++-=n n n S a S λ，其中λ为常数． (1)证明：.21λ+=+n n S S
{}n a 13a =*
N n ∈2n a 213n a ++{}n b 2*1(N )n n b a n =-∈{}n b {}n a 2log n n c b ={}n c n n T n T 360n *
N n ∈2n a 2
13n a ++221(2)(3)1n n a a +=+⨯221(2)(3)1n n a a +=+⨯22
143n n a a +=-2222
11431444(1)n n n n a a a a +-=--=-=-2
1n n b a =-14n n b b +={}n b 2
1118b a =-=122
2114822n n n n b b --+=⋅=⨯=221
12n n a +-={}n
a n a =21
22log log 2
21n n n c b n +===+12...(211)(221)...(21)n n T c c c n =+++=⨯++⨯++++2(1)
2(123...)222n n n n n n n +=+++++=⨯
+=+n T 36022360n T n n =+≥2
23600n n +-≥(20)(18)0n n +-≥18n ≥20n ≤-n T 360n 18
(2)是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：因为n n n S S a -=++11，12
12++-=n n n S a S λ， 所以12
12)(++--=n n n n S S S S λ，所以.0)2(11=--++λn n n S S S
因为0>n a ，所以01>+n S ，所以021=--+λn n S S ， 所以.21λ+=+n n S S （6分）
(2)解：因为λ+=+n n S S 21，所以)2(21≥+=-n S S n n λ， 两式相减，得).2(21≥=+n a a n n
因为λ+=122S S ，即λ+=+1122a a a ，
所以λ+=12a ，由02>a ，得.1->λ 若}{n a 是等比数列，则2
231a a a =，
即2
)1()1(2+=+λλ，解得.1=λ 经检验，1=λ符合题意. 故存在1=λ，使得数列}{n a 为等比数列． (12分)。