2017年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科) 有答案
【试卷】2017年福建省高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ)
【试卷】2017年福建省高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ)2017年福建省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜} D．AUB=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2 D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本（xi ，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r=，≈0.09．20．（12分）设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分。
福建省2017年高考文科数学试题及答案(Word版)
福建省2017年高考文科数学试题及答案(Word版)福建省2017年高考文科数学试题及答案一、选择题：1.已知集合 $A=\{x|x0\}$，则 $A\capB=\{x|x<\frac{3}{2}\}$。
2.为评估一种农作物的种植效果，选了$n$ 块地作试验田。
这$n$ 块地的亩产量（单位：kg）分别为$x_1,x_2,\dots,x_n$，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的标准差。
3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 $i(1+i)$。
4.如图，正方形 $ABCD$ 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。
在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 $\frac{1}{4}$。
5.已知 $F$ 是双曲线 $C:x^2-y^2=1$ 的右焦点，$P$ 是$C$ 上一点，且 $PF$ 与 $x$ 轴垂直，点 $A$ 的坐标是 $(1,3)$。
则 $\triangle APF$ 的面积为 $\frac{3}{2}$。
6.如图，在下列四个正方体中，$A,B$ 为正方体的两个顶点，$M,N,Q$ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接$AB$ 与平面 $MNQ$ 不平行的是7.设 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases}x+3y\leq 3,\\y\geq 0,\end{cases}$ 则 $z=x+y$ 的最大值为 $1$。
8.函数 $y=\frac{\sin 2x}{1-\cos x}$ 的部分图像大致为9.已知函数 $f(x)=\ln x+\ln(2-x)$，则 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 单调递减。
10.如图是为了求出满足 $3n-2^n>1000$ 的最小偶数 $n$，那么在 $A>1000$ 和 $n=n+2$ 两个空白框中，可以分别填入。
【福建省莆田】2021学年高考一模数学年(文科)试题答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）
1．已知集合 A { x | x2 3x 2 0} ， B { x | 2x 3 0} ，则 A B （ ）
A ． (1，3 ) 2
4
D． (4kπ π,4 kπ π), k Z
3
3
x2 10．已知双曲线 E: a2
y2 b2 =1(a 0,b 0) ，其一渐近线被圆
C :( x 1)2 ( y 3)2 9 所截得的弦长等于
4，
则 E 的离心率为（
）
5 A．
2
B． 5
C． 5 或 3 2
D． 5 或 5 2
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，平面 过直线 BD ，
B． [1，3 ) 2
2．已知 sin( π
)
1 ，则 cos2 的值是（
2
4
7 A．
8
7 B．
8
C． ( 3 ，5] 2
） 8
C． 9
D． [ 3，2) 2 8
D． 9
3．设 a 为实数，直线 l1 : ax y 1 ， l2 : x ay 2a ，则“ a 1 ”是“ l1∥l2 ”的（
）
A ．充分不必要条件 C．充要条件
π)
，
1 A( ，0)
为
f ( x) 图象的对称中心，
2
3
相邻的最高点和最低点，若 BC 4 ，则 f ( x) 的单调递增区间是（
）
B ，C 是该图象上
2
4
A ． (2 k ,2 k ), k Z
【福建省】2017届普通高中高考(四月)数学(文科)模拟试卷-答案
2 x0
0，
x2 x2 x0
x2 (x2 x0 )
x2 (x2 x0 )
∴ PC QD PD QC ．
解法四：（1）抛物线 顶点为 O ，圆 O 半径 r 2 ，
由 AB 2 ，则 O 到直线 AB 的距离 d = r2 (| AB |)2 =1， 2
如图以 O 为原点，过 O 且垂直于 的对称轴的直线与 x 轴， 的对称轴所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标 系 xOy ， 由对称性，不妨设 A 在 y 轴的左侧，则 A(1,1) ， B(1,1) ， 设抛物线 的方程为 x2 2 py,( p 0)
2 / 18
故 AD 为 A 到平面 BDEF 的距离，
∵ DE 1，
∴ S△OEF
1 2 S四边形BDEF
1 OD EF 2
3， 2
∴ VAOEF
1 3 S△OEF
AD 3 ， 6
∴三棱锥 F AEC 的体积VF AEC 2VAOEF
3． 3
20．解：（1）抛物线 顶点为 O ，圆 O 半径 r 2 ，
| QD | | x2 x0 | x2 x0
5 / 18
y
2 x0
x 1
，整理得： x0 x2
2x
x0
0
，
y x2
则
4 4x02
0，
x1
x2
2 x0
，
x1 x2
1，
x1
x0 x1
2x1x2
x0 (x1 +x2 )
【福建省莆田】2017学年高考一模数学年(文科)试题
三、解答题17．解：（1）∵2n S n kn =+，2n ≥时，2211)(1)21[(]n n n a S S n kn n k n n k --==+--+-=-+．∴6n =时，61113a k =+=，解得2k =．∴2n ≥时，21221n a n n =-+=+．当1n =时，11123a S ==+=，上式也成立． ∴21n a n =+．（2）22111(1)(22)(1)1n n b n a n n n n n n ====-++++， 数列{}n b 的前n 项和111(1)()2211()13n T n n ⋯++---+=+1111n n n =--++． 18．解：（1）从10段中任取一段的基本事件有10个，分别为：(77,72)，(92,87)，(84,78)，(86,83)，(74,83)，(76,85)，(81,75)，(71,89)，(85,90)，(87,95)，这些基本事件是等可能的，用A 表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A 包含的基本事件为：(92,87)，(86,83)，(85,90)，(87,95)，共4个，∴42()105P A ==． （2）根据表中数据，完成下列茎叶图：（3）南岸10段的分值数据的中位数为：1818482.52z +==， 南岸10段分值数据的平均数为： 1(7041467)(80514567)9281.310x ⨯+++++⨯++++++==， 北岸10段分值数据的中位数为：28385842z +==， 北岸10段分值数据的平均数： 2(703258)(80533579)(90205)83.710x ⨯++++⨯++++++⨯++==， 由12z z <，12x x <，可以看出北岸保护更好．19．（1）证明：连接AC ，设ACBD O =， ∵四边形ABCD 为矩形，则O 为AC 的中点， 在ASC △中，E 为AS 的中点，∴SC OE ∥，又OE BDE ⊂平面，SC BDE ⊄平面，∴SC BDE ∥平面；（2）解：过E EH AB ⊥作，垂足为H ，∵BC AB ⊥，且BC SB ⊥，ABSB B =， ∴BC SAB ⊥平面，∵EH ABS ⊂平面，∴EH BC EF AB ABBC B ⊥⊥=，又，， ∴EH ABCD ⊥平面，在SAB △中，取AB 中点M ，连接SM ，则SM AB ⊥，∴1SM =．∵EH SM ∥，1122EH SM ==．∴132BCD S =⨯⨯△∴111332C BDE E BCD BCD V V S EH --===⨯=△．∴三棱锥C BDE -．20．解：（1）由题意ABP △是等腰直角三角形，2a =，(2,0)B ，设00)(,Q x y ，由32PQ QB =， 则006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入椭圆方程，解得21b =， ∴椭圆方程为2214x y +=； （2）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为2y kx =-，11)(,M x y ，22)(,N x y ， 则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22)(1416120k x kx -++=， 由直线l 与E 有两个不同的交点，则0∆>，即22(16)412(140k k -⨯⨯+->)，解得：234k >， 由韦达定理可知：1221614k x x k +=+，1221214x x k =+， 由坐标原点O 位于MN 为直径的圆外， 则0OM ON >，即12120x x y y +>，则12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--21212(12())4k x x k x x =+⨯++-22216(12412)04411k k k k -=⨯++++＞， 解得：24k <， 综上可知：2344k <<2k <<或2k -<<， 直线l斜率的取值范围3(2,(,2)-．21．解：（1）2()(21)(1)0f x x x '=+-=，112x =-或， ∴12x =-是()h x 的零点； ∵1()g x k x'=-， 0k <，()0g x '<，()g x 在[1,)+∞上单调递减，()g x 的最大值为(1)1g k =+． 1k <-，(1)0g <，()g x 在[1,)+∞上无零点；1k =-，(1)0g =，()g x 在[1,)+∞上有1个零点；10k -<<，(1)0g >，11(e e 0)k k g k k --=+<，()g x 在[1,)+∞上有1个零点；综上所述，1k <-时，()h x 有1个零点；10k -≤<时，()h x 有两个零点；（2）设切点(,())t f t ，2()66f x x x '=-，∴切线斜率2()66f t t t '=-，∴切线方程为2()(66)()y f t t t x t -=--，∵切线过(,4)P a -，∴24()(66)()f t t t a t ---=-，∴322436650t t t a ta +--=-①由题意，方程①有3个不同的解．令322()43665H t t t t a ta --=+-，则2()1261260H t t t at a =-+-'=．12t a =或． 12a =时，()0H t '≥，()H t 在定义域内单调递增，()H t 不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；12a >时，在1(,),()2a -∞+∞，上，()0H t '>，函数单调递增，在1(,)2a 上，()0H t '<，函数单调递减，()H t 的极大值为1()2H ，极小值为()H a ； 12a <时，在(,)a -∞，1(,2+∞）上，()0H t '>，函数单调递增，在1(,)2a 上，()0H t '<，函数单调递减，()H t 的极大值为()H a ，极小值为1()2H ； 要使方程①有三个不同解，则1()()02H H a <，即2(27)(1)(2550a a a a -++->）， ∴712a a ><-或． [选修4—4坐标系与参数方程]22．解：（1）∵圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，∴圆C 的参数方程为11x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）， ∵直线l 的极坐标方程为πsin()4ρθ+= ∴)ρθθ+=sin cos 40ρθρθ+-=， ∴直线l 的普通方程是40x y +-=； （2）由题意设(1,1)P αα+，∴点P 到直线l 距离dπ|2sin()2|α+-=， πsin()1|4α=+-， ∵π1sin()14α-≤+≤，∴π0sin()1|4α≤+-≤ 即0d ≤≤，[选修4—5不等式选讲]23．解：（1）62,2()4|+|22,|4|226,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=--=<<⎨⎪-≥⎩．∴当2x ≤时，()2f x >，622x ->，解得2x <；当24x <<时，()2f x >得22>，无解；当4x ≥时，()2f x >得262x ->，解得4x >．所以不等式()2f x >的解集为(,2)(4,)-∞+∞．（2））∵4||22||x x -+-≥，∴2M =，∵2x a M +≥的解集包含[0,1]，∴022a +≥，122a +≥，∴1a ≥．故a 的取值范围为：[1,)+∞．福建省莆田市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即A=[1，2]，由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，2]，故选：C．2．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用诱导公式可求cosα得值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵，∴cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：B．3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A．4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x）∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4故选B．5．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．6．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：设两个直角边长为a，b，则由条件可知，则斜边长不大于1的事件为，a2+b2≤1，则由几何概型的概率可知所求的概率P==，故选B．7．【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球，故球O的半径R满足：4R2=32+42+52=50，故球O的表面积S=50π，故选：B．8．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角．【解答】解：设该A坐标为（x，y），抛物线C：y2=3x的焦点为F（，0），根据抛物线定义可知x+=3，解得x=，代入抛物线方程求得y=±，故A坐标为：（，），AF的斜率为：=，则直线FA的倾斜角为：或．故选：C．9．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣π≤x≤4kπ+π，故f（x）的单调递增区间为（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z，故选：D10．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9可得圆心（1，3），半径为3，双曲线E，的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，渐近线被圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9所截得的弦长等于4，圆心到直线的距离为：由弦长公式可得2=，可得，解得，即c=a或c=a，即e==或e=，故选：D．11．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，可得平面α即为平面DBB1D1．设AC∩BD=O．可得α∩平面AB1C=m为OB1．同理可得：平面A1C1D即为平面β．又A1D∥B1C，可得m，n所成角为∠OB1C，根据△AB1C为正三角形，即可得出．【解答】解：如图所示，∵BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，∴平面α即为平面DBB1D1．设AC∩BD=O．∴α∩平面AB1C=m为OB1．∵平面A1C1D过直线A1C1，与平面AB1C平行，而平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，∴平面A1C1D即为平面β．β∩平面ADD1A1=A1D=n，又A1D∥B1C，∴m，n所成角为∠OB1C，由△AB1C为正三角形，则cos∠OB1C=cos=．故选：D．12．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的对称轴，令g（x）=f（x）cosx，根据函数的单调性判断函数值的大小即可．【解答】解：由f（x）=f（2π﹣x），得函数f（x）的图象关于直线x=π对称，当0＜x＜π时，若f（x）sinx﹣f′（x）cosx＜0，令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，在（π，2π）递减，故g（）＜g（）＜g（）=g（），即a＜b＜c，故选：A．二、填空题13．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z•i=2+3i，得=．故答案为：3﹣2i．14．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则的最大值为．故答案为：3．15．【考点】余弦定理．【分析】由已知化简可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A=，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，即：bc≤4，当且仅当b=c等号成立，∴S△ABC=bcsinA≤=，当且仅当b=c等号成立，则△ABC面积的最大值为．故答案为：．16．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，设出D，求解相关的坐标，利用向量的数量积求解D的坐标，然后求解即可．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设D（0，a），△ABD面积为1，可得B（，0），则C（，2a），=，则E（.），BE⊥CD，可得：（，a）（，）=0，解得a2=，=（0，﹣a），=（，a），•=﹣a2=﹣．给答案为：﹣．三、解答题17．【考点】数列的求和．【分析】（1），n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=6时，a6=13，解得k．进而得出．（2）===，利用“裂项求和”方法即可得出．18．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）利用列举法求出从10段中任取一段的基本事件有10个，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，利用列法求出A包含的基本事件个数，由此能求出在同一段中两岸环保评分均为优良的概率．（2）根据表中数据，能完成茎叶图．（3）分别求出南岸10段的分值数据的中位数、平均数和北岸10段分值数据的中位数、平均数，由此看出北岸保护更好．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，设AC∩BD=O，由题意可得O为AC的中点，又E为AS的中点，由三角形中位线定理可得SC∥OE，再由线面平行的判定可得SC∥平面BDE；（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，由线面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，则EH⊥BC，又EF⊥AB，得到EH ⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，求得SM=1．进一步可得EH=．再求出三角形BCD的面积利用等体积法求得三棱锥C﹣BDE的体积．20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由向量共线定理求得Q点坐标，由a=2，将Q代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及△＞0，向量数量积的坐标运算•＞0，即可求得k的取值范围．21．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论h（x）零点的个数；（2）设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求a的取值范围．22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．23．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，21+a≥2．。
莆田(文科)
2017年福建省莆田市高考数学 一模试卷（理科）
17． （12 分） （2017• 莆田一模）已知数列{an }的前 n 项和 常数，a6=13． （1）求 k 的值及数列{an}的通项公式； （2）若 ，求数列{bn }的前 n 项和 Tn ．
，其中 k 为
】解： （1）∵ ﹣1+k．
k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点； k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1 ，+∞）上有 1 个零点； ﹣1＜k ＜0，g（1）＞0，g（e1 k）=ke1 k+k＜0 ，g（x）在 [1，+∞）上有 1 个零 点； 综上所述，k＜﹣1 时，h （x）有 1 个零点；﹣1≤k＜0 时，h （x）有两个零点； （2）设切点（t，f（t ） ） ，f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率 f′ （t）=6t 2﹣6t， ∴切线方程为 y﹣f（t）=（6t 2﹣6t ） （x﹣t） ， ∵切线过 P（a，﹣4） ，∴﹣4﹣f（t）=（6t 2﹣6t ） （a﹣t ） ， ∴4t3 ﹣3t2﹣6t 2a+6ta﹣5=0①
．
∴当 x≤2 时，f（x）＞2，6﹣2x＞2，解得 x＜2； 当 2＜x＜4 时，f（x）＞2 得 2＞2，无解； 当 x≥4 时，f（x）＞2 得 2x﹣6＞2，解得＞4． 所以不等式 f（x）＞2 的解集为（﹣∞，2）∪（4，+∞） ．
（2） ）∵|x﹣4|+|x﹣2|≥2，∴M=2， ∵2x +a≥M 的解集包含[0，1]， ∴20+a≥2，21+a≥2，∴a≥1． 故 a 的取值范围为：[1，+∞）
﹣ ﹣
由题意，方程①有 3 个不同的解． 令 H（t）=4t 3﹣3t2 ﹣6t2a+6ta﹣5，则 H′ （t）=12t2 ﹣6t﹣12at+6a=0．t= 或 a． a= 时，H′（ t）≥0，H（ t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点， 方程①不可能有两个解，不满足题意； a 时，在（﹣ ） ， （a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（ ，
2017届高三数学一模试卷(文科)Word版含解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x 2+x ﹣12≤0}，N={y|y=3x ，x ≤1}，则集合{x|x ∈M 且x ∉N}为（ ） A ．（0，3] B ．[﹣4，3]C ．[﹣4，0）D ．[﹣4，0]2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R ），则=（ ）A ．2B ．4C ．D ．3．已知，则f[f （1﹣i ）]等于（ ）A ．3B ．1C ．2﹣iD ．3+i4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，28，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．145．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣116．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A．13πB．16πC．25πD．27π7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．310．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an }为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a 13恰为等比数列{bn}的前三项（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Tn 是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1． （I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．2017届高三数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]【考点】集合的表示法．【分析】集合M为不等式的解集，集合N为指数函数的值域，分别求出，再根据新定义求集合{x|x∈M且x∉N}B即可．【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x∉N}=[﹣4，0）．故选：C．2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣，因此，则=4故选：B．3．已知，则f[f（1﹣i）]等于（）A．3 B．1 C．2﹣i D．3+i【考点】函数的值．【分析】根据f（x）中的范围带值计算即可．【解答】解：∵1﹣i∉R∴f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2．那么：f[f（1﹣i）]=f（2）=1+2=3．故选A．4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣16=12，由b ＜a ，则a 变为16﹣12=4， 由a ＜b ，则，b=12﹣4=8， 由a ＜b ，则，b=8﹣4=4， 由a=b=4， 则输出的a=4． 故选：C ．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣11【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，（q ≠0） 由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D6．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：对于选项A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行或者斜交；故A错误；对于选项B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂α；故B 错误；对于选项C，若α∥β，m⊥α，则由面面平行的性质定理可得m⊥β；故C正确；对于选项D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得．【解答】解：∵正实数m，n是满足m+n=1，∴=（）（m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，∴曲线y=xα过点P（，），∴=，解得α=故选：B10．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2=﹣ac，由余弦定理可得cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sinB=，sinA=，sinC=，∵=，可得： =，整理可得：c2+a2﹣b2=﹣ac，∴由余弦定理可得：cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=．故选：B．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选 D12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：函数g（x）=，函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x﹣1=0解得x=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2015=2m，则m=2015．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是[﹣，5）．【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线x=﹣1的距离是5，则点P到x轴的距离是4，∴△PFO的面积为=2，故答案为：2．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用函数y=sinπx的对称性得出∠OAB=2∠OAC，结合二倍角公式求出tan∠OAB的值．【解答】解：如图所示；O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点，∴AB过点D，且∠OAB=2∠OAC；又A（，1），∴tan∠OAC=，∴tan∠OAB===．故答案为：．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是[﹣，2e] ．【考点】函数的图象．【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k=﹣lnx，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），f （x ）与g （x ）的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y=e 对称， ∴设M （x ，kx ），则N （x ，2e ﹣kx ），∴2e ﹣kx=2lnx+2e ，∴k=﹣lnx ，k′=，由k′=0，得x=e ，∵≤x ≤e 2，∴x ∈[，e ）时，k′＜0，k=﹣lnx 是减函数；x ∈（e ，e 2]时，k′＞0，k=﹣lnx 是增函数，∴x=e 时，k=﹣lne=﹣；x=e 2时，k=﹣lne 2=﹣；x=时，k=﹣ln =2e ，∴k min =﹣，k max =2e ．∴实数k 的取值范围是[﹣，2e]．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1﹣2T k =成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出； （II ）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），∴，解得a 1=3，d=2， ∵b 1=a 1=3，b 2=a 4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a=3+2（n﹣1）=2n+1．n，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先检测的3个人的编号．（2）由，能求出a、b的值．（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，满足条件的（a，b）有14组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有6组，由此能求出数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199．…（2）由，得a=14，…∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17．…（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同．…．…其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组．…∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为．…19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直可得AD ⊥平面ABEF ，从而得到AD ⊥BF ，由直径的性质得BF ⊥AF ，故得出BF ⊥平面ADF ，从而得出平面DAF ⊥平面CBF ；（2）V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ，设AD=a ，则可用a 表示出V 1，V 2．从而得出体积比．【解答】证明：（1）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵BF ⊂平面ABE ， ∴AD ⊥BF ，∵AB 是圆O 的直径，∴BF ⊥AF ，又AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF=A ， ∴BF ⊥平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ， ∴平面DAF ⊥平面CBF ．（2）．连结OE ，OF ，则OE=OF=EF=1， ∴△AOF ，△OEF ，△BOE 是等边三角形，过F 作FM ⊥AB 于M ，则FM=，FM ⊥平面ABCD ，设AD=BC=a ，则V 1=V F ﹣ABCD ==．V 2=V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ===．∴V 1：V 2=：=4：1．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a ≥t 2﹣t+对t ∈[，2]恒成立或2a ≤t 2﹣t 对t ∈[，2]恒成立，令g （t ）=t 2﹣t+，则g′（t ）=，令g′（t ）=0，解得：t=1，而2t 2+t+1＞0恒成立，∴≤t ＜1时，g′（t ）＜0，g （t ）递减，1＜t ≤2时，g′（t ）＞0，g （t ）递增，∴g （t ）的最大值是max{g （），g （2）}，而g （）=＜g （2）=，∴g （t ）在[，2]的最大值是g （2）=，又t 2﹣t ∈[﹣，2]，∴2a ≥或2a ≤﹣，解得：a ≥或a ≤﹣，故a 的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1． （I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线MN 的斜率存在和不存在，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．【解答】解：（I ）由题意可得e==，过椭圆的左焦点F （﹣c ，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=（x+c ），由直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a 2﹣b 2=c 2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：（1）当MN 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=﹣y 2，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，即有•=0，即有b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，即x 12﹣4y 12=0， 又（x 1，y 1）在椭圆上，x 12+4y 12=4，可得x 12=2，|y 1|=，S △OMN =|x 1|•|y 1﹣y 2|=••=1；（2）当MN 的斜率存在，设MN 的方程为y=kx+t ， 代入椭圆方程（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0， △=64k 2t 2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣4）=4k 2﹣t 2+1＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又•=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，（1+k 2）x 1x 2+4kt （x 1+x 2）+4t 2=0， 代入整理，可得2t 2=1+4k 2，即有|MN|=•=•=•，又O 到直线的距离为d=，S △OMN =d•|MN|=|t|•=|t|•=1．故△MON 的面积为定值1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）先分别求出普通方程，再写出极坐标方程； （2）利用极径的意义，即可得出结论． 【解答】解：（1）圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x ﹣2）2+y 2=4，x 2+（y ﹣1）2=1，极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=2sin θ；（2）设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α， ∴sin2α=1，|OP|•|OQ|的最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）利用柯西不等式，结合对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，∵关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集∴|a﹣3|≥3，∴a≥6或a≤0；（Ⅱ）由柯西不等式可得（+）（8x+6y）≥（）2，∴≤，∵对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，∴k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）．。
2017年福建省莆田六中高考数学一模试卷(文科)
2017年福建省莆田六中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合P={x∈N|1≤x≤5}，集合Q={x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则P∩Q 等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．[1，2]D．[1，3）2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．B．C．1 D．﹣13．（5分）“x＜3”是“ln（x﹣2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a=5，则输出的结果是（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．36．（5分）若实数x，y满足不等式组，则x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．D．147．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）A．2 B．π+4 C． D．8．（5分）对于函数f（x）=asinx+bx3+cx+1（a，b，c∈R），选取a，b，c的一组值计算f（1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）A．2和1 B．2和0 C．2和﹣1 D．2和﹣29．（5分）南北朝时期我国数学著作《张丘建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，的金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（）A．多斤B．少斤C．多斤D．少斤10．（5分）已知点P（x0，y0）是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1上的一个动点，则x+|PQ|的最小值为（）A．B．C．3 D．411．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象过点P（0，1），则函数f（x）=sin（ωx+φ）（）A．有一个对称中心（，0）B．有一条对称轴x=C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增12．（5分）已知函数f（x）=xlnx+x（x﹣a）2（a∈R），若存在，使得f（x）＞xf'（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知点P（3cosθ，sinθ）在直线l：x+3y=1，则sin2θ=．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且B=2C，点D为边BC上的一点，且CD=3，则△ADC的面积为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=AC=，∠BAC=120°，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角θ，则θ不大于45°的概率为．16．（5分）已知向量，若，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前项和T n．18．（12分）某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20人，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50，55），第二组[55，60），…，第五组[70，75），按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为a：4：10．（1）求a的值，并求这50名学生心率的平均数；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？请说明理由．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d19．（12分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，E为PB中点，D为AB的中点，且△ABE为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由．若，求三棱锥P﹣ABC的体积．20．（12分）已知平面内一动点M与两定点B1（0，﹣1）和B2（0，1）连线的斜率之积等于﹣（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程：（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m≠0）与轨迹E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，当m变化时，求△PAB面积的最大值．21．（12分）设函数．（1）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（2）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，求实数a的取值范围．2017年福建省莆田六中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合P={x∈N|1≤x≤5}，集合Q={x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则P∩Q 等于（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．[1，2]D．[1，3）【解答】解：P={1，2，3，4，5}，Q={x|﹣2＜x＜3}，P∩Q={1，2}，故选：B．2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：设=bi（b≠0），则a﹣i=（2+i）•bi=﹣b+2bi，∴，解得a=．故选：A．3．（5分）“x＜3”是“ln（x﹣2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由ln（x﹣2）＜0得0＜x﹣2＜1，得2＜x＜3，则x＜3是2＜x＜3的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a=5，则输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：S=+…+==．故选：C．5．（5分）已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0，圆的圆心为（2，0），半径为，若双曲线的渐近线与圆相切，则有=，化简可得3a2=2c2，即=，则其离心率e==；故选：A．6．（5分）若实数x，y满足不等式组，则x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．D．14【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=x+2y，化为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过A（0，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．故选：A．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的表面积为（）A．2 B．π+4 C． D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个高和底面半径都是2的圆锥的．∴该几何体的表面积S=+2×=π+4．故选：D．8．（5分）对于函数f（x）=asinx+bx3+cx+1（a，b，c∈R），选取a，b，c的一组值计算f（1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）A．2和1 B．2和0 C．2和﹣1 D．2和﹣2【解答】解：∵f（x）=asinx+bx3+cx+1，∴f（1）=asin1+b+c+1，f（﹣1）=﹣asin1﹣b﹣c+1，由f（1）+f（﹣1）=2，故所得出的正确结果只可能是2和0，其它各组均不满足故选：B．9．（5分）南北朝时期我国数学著作《张丘建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，的金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（）A．多斤B．少斤C．多斤D．少斤【解答】解：设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{a n}，则a1+a2+a3=4，a7+a8+a9+a10=3，由等差数列的性质得，，∴a2﹣（a8+a9）==﹣．∴级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和少斤．故选：D．10．（5分）已知点P（x0，y0）是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1上的一个动点，则x+|PQ|的最小值为（）A．B．C．3 D．4【解答】解：由题意可知圆C的圆心坐标C（﹣2，4），半径为1，抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，丨PM丨为点P到准线的距离，由抛物线的定义可知：丨PF丨=丨PM丨=x0+1，∴故可知x0+|PQ|=丨PC丨﹣1+丨PF丨﹣1≥丨+丨﹣2=丨丨﹣2=﹣2=3，即当C与F共线时，x0+|PQ|取最小值，最小值为3．故选：C11．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象过点P（0，1），则函数f（x）=sin（ωx+φ）（）A．有一个对称中心（，0）B．有一条对称轴x=C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增【解答】解：由题意，函数f（x）的最小正周期是π，即，∴ω=2．∴f（x）=sin（2x+φ），f（x）的图象向左平移个单位，可得：sin（2x++φ），此时图象过P（0，1），可得：+φ=+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+），令是单调递增，可得：，k∈Z，∴C选项不对，令是单调递增，可得：≤x≤+kπ，k∈Z，∴D选项不对，由2x+=kπ，得x=可得对称中心为（，0），考查A不对．由2x+=kπ，得x=，可得对称轴方程为x=，当k=0时，可得x=，∴B选项对．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=xlnx+x（x﹣a）2（a∈R），若存在，使得f（x）＞xf'（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞）【解答】解：由f（x）＞xf'（x）成立，可得[′＜0，设g（x）==lnx+（x﹣a）2，则存在，使得g′（x）＜0成立，即g′（x）=+2（x﹣a）＜0成立，即a＞x+成立．a＞（x+）min．又x+≥2=，∴．当且仅当x=时取等号．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知点P（3cosθ，sinθ）在直线l：x+3y=1，则sin2θ=﹣．【解答】解：∵点P（3cosθ，sinθ）在直线l：x+3y=1，∴3cosθ+3sinθ=1，两边平方，可得sin2θ=2sinθcosθ=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且B=2C，点D为边BC上的一点，且CD=3，则△ADC的面积为6．【解答】解：∵由已知及正弦定理可得：=，∴cosC=，可得：sinC==，∴S=•CD•b•sinC=4×=6．△ADC故答案为：6．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=AC=，∠BAC=120°，D为棱BC上一个动点，设直线PD与平面ABC所成的角θ，则θ不大于45°的概率为．【解答】解：由题意，直线PD与平面ABC所成的角θ=45°，AD=1，∠BAD=90°，∴θ不大于45°的概率为=，故答案为．16．（5分）已知向量，若，则的最小值为9．【解答】解：根据题意，向量，若，则有•=ab+1﹣b=0，即a+=1；=（）（a+）=5+4ab+≥5+2=9；即的最小值为9；故答案为：9．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=4﹣2=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣2）=2n，上式对n=1也成立．则数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N*；（2）=+22n﹣1=+22n﹣1=（﹣）+22n﹣1，数列{b n}的前项和T n =（1﹣+﹣+…+﹣）+=（1﹣）+（4n﹣1）=﹣﹣．18．（12分）某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20人，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50，55），第二组[55，60），…，第五组[70，75），按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为a：4：10．（1）求a的值，并求这50名学生心率的平均数；（2）因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名，该学生是体育生的概率为0.8，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关？请说明理由．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d【解答】解：（1）因为第二组数据的频率为 0.032×5=0.16，故第二组的频数为0.16×50=8，第一组的频数为2a ，第三组的频数为20，第四组的频数为16，第五组的频数为4所以 2a=50﹣20﹣16﹣8﹣4=2⇒a=1； 这50名学生心率的平均数为++=63.7；（2）由（1）知，第一组和第二组的学生共10名，从而体育考生有10×0.8=8名，∴K 2=≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关．19．（12分）如图，已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥AC ，PC ⊥BC ，E 为PB 中点，D 为AB 的中点，且△ABE 为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由．若，求三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】证明：（1）如图，∵△ABE是正三角形，且D为AB的中点，∴DE⊥AB，∵E为PB的中点，∴PA∥DE，∴PA⊥AB，∵PA⊥AC，AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又∵PC⊥BC，PA∩PC=P，∴BC⊥平面PAC．解：（2）如图，过点B作BH⊥CD于H，由（1）知DE⊥平面ABC，∴BH⊥DE，又∵BH⊥CD，DE∩CD=D，∴BH⊥平面DEC，∴H为点B在平面DEC上的射影，在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=，CD=，S△BCD===，由，得，解得x=4，∴AB=5，PB=10，PA=5，∴三棱锥P﹣ABC的体积V==10．20．（12分）已知平面内一动点M与两定点B1（0，﹣1）和B2（0，1）连线的斜率之积等于﹣（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程：（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m≠0）与轨迹E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，当m变化时，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则=﹣，化简为=1（x≠0）；（Ⅱ）y=x+m代入椭圆方程，消去y得3x2+4mx+2m2﹣2=0∵直线l与椭圆有两个交点，∴△＞0，可得m2＜3（*）﹣﹣设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴弦长|AB|=|x1﹣x2|=，AB中点M（﹣，），设P（x，0），∴k AB•k MP=﹣1，∴•1=﹣1，∴x=﹣，∴P（﹣，0），|PM|=，∴S=|AB||MP|=∵m2＜3，∴m2=时，S max=．21．（12分）设函数．（1）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（2）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴φ（x）=f（x）+g（x）=+ax﹣3，x＞0，∴φ′（x）===，（x＞0）．①当a＞1时，由φ′（x）＞0，得x＞；②当a=1时，由φ′（x）＞0，得x＞0；③当0＜a＜1时，由φ′（x）＞0，得x＞0．综上所述，当0＜a≤1时，φ（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间是（0，+∞），当a＞1时，φ（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）当a=1时，f（x）=lnx，g（x）=x﹣3，h（x）=（x﹣3）lnx，∴单调递增，，＞0，∴存在唯一的，使得，即，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，∴h min（x）=h（x0）=（x0﹣3）lnx0=（x0﹣3）（）=﹣=6﹣（x0+），记函数r（x）=6﹣（x+），则r（x）在（，2）上单调递增，∴r（）＜h（x0）＜r（2），即h（x0）∈（﹣），由2，且λ为整数，得λ≥0，∴存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…（4分）所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（7分）当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）x≤﹣1，|x+1|+|x﹣3|＜6可化为﹣x﹣1﹣x+3＜6，∴x＞﹣2，∴﹣2＜x≤﹣1．﹣1＜x＜3，|x+1|+|x﹣3|＜6可化为x+1﹣x+3＜6，∴﹣2＜x≤﹣1；x≥3，|x+1|+|x﹣3|＜6可化为x+1+x﹣3＜6，∴x＜4，∴﹣2＜x≤﹣1，综上所述，不等式的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x+3|=4当且仅当﹣1≤x≤3时，等号成立，即f（x）min=4．∵关于x的不等式f（x）≥|2a+1|不恒成立，∴|2a+1|＞4，∴a＜﹣2.5或a＞1.5．。
福建省莆田市2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=，则|z|=（）A．8 B．2C．2 D．2．已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0），B={x|﹣1≤x≤4），则A∩B=（）A．[﹣l，3）B．（3，4]C．[﹣1，2）D．（2，4]3．已知函数f（x）=sin（2ωx一）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（﹣，0）对称D．关于直线x=﹣对称4．设M是△ABC所在平面内的一点，若+=2，||=2，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）6．执行如图所示的程序框图，欲使输出的S＞11，则输入整数n的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球．若从中随机取2个球，则概率为的事件是（）A．都不是红球B．恰有1个红球C．至少有1个红球D．至多有1个红球8．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若S3=7，a2=2，则a3+a4+a5=（）A ．B ．C ．28D ．569．已知点P 在双曲线=1的右支上，F 为双曲线的左焦点，Q 为线段PF 的中点，O 为坐标原点．若|OQ |的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．3πC ．D ．6π11．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点，点A ，B 在抛物线上，O 为坐标原点．若+2=0，则△OAB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．312．已知函数f （x ）=|log 3（x +1）|，实数m ，n 满足﹣1＜m ＜n ，且f （m ）=f （n ）．若f（x ）在[m 2，n ]上的最大值为2，则=（ ） A ．﹣6 B ．﹣8 C ．﹣9 D ．﹣12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n =a n ﹣1+2n （n ≥2，n ∈N *），则a 4=______．14．若变量x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣y 的最小值为______．15．若一个长方体内接于表面积为4π的球，则这个长方体的表面积的最大值是______． 16．已知函数f （x ）=x 2+bx +1满足f （﹣x ）=f （x +1），若存在实数t ，使得对任意实数x ∈[l ，m ]，都有f （x +t ）≤x 成立，则实数m 的最大值为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．（1）若cosC=，求cos （A +C ）；（2）若b +c=5，A=，求△ABC 的面积．18．某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示．（1）估计产品中该物质含量的中位数及平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；250元，生产1件C级品亏损50元．现管理人员从三个等级的产品中采用分层抽样的方式抽取10件产品，试用样本估计生产1件该产品的平均利润．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是边长为2的正三角形，PD⊥CD，E，F分别为PC，AD的中点．（1）求证：平面CEF⊥平面ABCD；（2）求三棱锥P﹣BDE的体积．20．动圆P过点M（﹣1，O），且与圆N：x2+y2﹣2x﹣15=0内切，记圆心P的轨迹为曲线τ．（1）求曲线τ的方程；（2）过点M且斜率大于0的直线l与圆P相切，与曲线τ交于A，B两点，A的中点为Q．若点Q的横坐标为﹣，求圆P的半径r．21．已知函数f（x）=ax3﹣x2+x，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线方程为y=x﹣2，求a的值；（2）若f′（x）是f（x）的导函数，且不等式f′（x）≥xlnx恒成立，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=，直线l2的极坐标方程为θ=，l1与l2的交点为M．（I）判断点M与曲线C的位置关系；（Ⅱ）点P为曲线C上的任意一点，求|PM|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|．（I）求不等式f（x）≤﹣1的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3a﹣1有解，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=，则|z|=（）A．8 B．2C．2 D．【考点】复数求模．【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=，则|z|===．故选：D．2．已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0），B={x|﹣1≤x≤4），则A∩B=（）A．[﹣l，3）B．（3，4]C．[﹣1，2）D．（2，4]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞3，即A=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），∵B=[﹣1，4]，∴A∩B=（3，4]，故选：B．3．已知函数f（x）=sin（2ωx一）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（﹣，0）对称D．关于直线x=﹣对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得ω值，由2x一=kπ可得对称中心，结合选项可得．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2ωx一）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，解得ω=1，故（x）=sin（2x一），由2x一=kπ可得x=kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的对称中心为（kπ+，0），k∈Z，经验证当k=0时，函数的一个对称中心为（，0），故A正确．故选：A．4．设M是△ABC所在平面内的一点，若+=2，||=2，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出M为AB的中点，从而求出的值．【解答】解：∵+=2，∴M是BC的中点，∵||=2∴||=||=||=1，∴•=||•||cos180°=﹣1，故选：A．5．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质．【分析】求出函数在x≤0时的零点，然后判断x＞0时的零点即可．【解答】解：当x≤0时，y=2x﹣1=0可得x=0，满足题意，当x＞0时，﹣x2+ax=0，可得x=0（舍去）或x=a，函数有两个零点，可得a＞0．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，欲使输出的S＞11，则输入整数n的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a，k的值，当k=5时，应该满足条件5＞n，退出循环输出S的值为26＞11，从而可得输入整数n的最小值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，S=0，k=1S=1，a=3，k=2不满足条件2＞n，S=4，a=7，k=3不满足条件3＞n，S=11，a=15，k=4不满足条件4＞n，S=26，a=31，k=5由题意，可得此时应该满足条件5＞n，退出循环，输出S的值为26＞11，故输入整数n的最小值为4．故选：B．7．盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球．若从中随机取2个球，则概率为的事件是（）A．都不是红球B．恰有1个红球C．至少有1个红球D．至多有1个红球【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从中随机取2个球，基本事件总数n=10，分别求出都不是红球的概率，恰有1个红球的概率，至少有1个红球的概率，至多有1个红球的概率，由此能求出概率为的事件是恰有1个红球．【解答】解：盒中共有形状大小完全相同的5个球，其中有2个红球和3个白球，从中随机取2个球，基本事件总数n==10，都不是红球的概率为：=；恰有1个红球的概率为：=；至少有1个红球的概率为：1﹣=；至多有1个红球的概率为： +=．∴概率为的事件是恰有1个红球．故选：B．8．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若S3=7，a2=2，则a3+a4+a5=（）A．B．C．28 D．56【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=7，a2=2，∴=7，即+2+2q=7，化为2q2﹣5q+2=0，解得q=或2．∴或，∵等比数列{a n}为递增数列，∴取，则a3+a4+a5=a2（q+q2+q3）=2×（2+22+23）=28．故选：C．9．已知点P在双曲线=1的右支上，F为双曲线的左焦点，Q为线段PF的中点，O为坐标原点．若|OQ|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】取F'为双曲线的右焦点，连接PF'，由OQ为△PFF'的中位线，即有|OQ|=|PF'|，由题意可得|PF'|的最小值为2，由PF'的最小值为c﹣a，解方程可得a=3，求出c=5，由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：取F'为双曲线的右焦点，连接PF'，由OQ为△PFF'的中位线，即有|OQ|=|PF'|，由题意可得|PF'|的最小值为2，由PF'的最小值为c﹣a=﹣a，即有﹣a=2，解得a=3，可得双曲线的方程为﹣=1，即有c==5，可得离心率为e==．故选：D．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．11．已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B在抛物线上，O为坐标原点．若+2=0，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由+2=0，可得y1=﹣2y2，解得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|=×1×=，故答案选：C．12．已知函数f（x）=|log3（x+1）|，实数m，n满足﹣1＜m＜n，且f（m）=f（n）．若f（x）在[m2，n]上的最大值为2，则=（）A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．【分析】先结合函数f（x）=|log3（x+1）|的图象和性质，再由f（m）=f（n），得到（m+1），（n+1）的倒数关系，再由“若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2”，求得m，n的值得到结果．【解答】解：∵f（x）=|log3（x+1）|，且f（m）=f（n），∴（m+1）（n+1）=1∵若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2∴log3（n+1）=2∴n=8．∴m=，∴=﹣9，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足a1=1，a n=a n+2n（n≥2，n∈N*），则a4=19．﹣1【考点】数列递推式．【分析】由a n=a n+2n（n≥2，n∈N*），a1=1可得a2，a3，a4即可．﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1；【解答】解：∵a n=a n﹣1∴a2=a1+4=5，a3=a2+2•3=5+6=11，a4=a3+2•4=11+8=19，故答案为：19．14．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为﹣1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出不等式组约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A点，由，可得A（1，2）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1．故答案为：﹣1．15．若一个长方体内接于表面积为4π的球，则这个长方体的表面积的最大值是8．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是确定直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．【解答】解：表面积为4π的球的半径为1．设长方体的三度为：a，b，c，由题意可知a2+b2+c2=4，长方体的表面积为：2ab+2ac+2bc≤2a2+2b2+2c2=8；即a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时，表面积最大，最大为8．故答案为：8．16．已知函数f（x）=x2+bx+1满足f（﹣x）=f（x+1），若存在实数t，使得对任意实数x∈[l，m]，都有f（x+t）≤x成立，则实数m的最大值为3．【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数的对称性可得b=﹣1，f（x）=x2﹣x+1，对任意实数x∈[l，m]，都有f（x+t）≤x成立，即为（x+t）2﹣（x+t）+1≤x，即有（x+t﹣1）2≤﹣t，（t≤0），由二次不等式的解法和恒成立思想，结合二次函数的最值的求法，可得m的范围，即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=x2+bx+1满足f（﹣x）=f（x+1），即有对称轴为x=，即为﹣=，解得b=﹣1，f（x）=x2﹣x+1，对任意实数x∈[l，m]，都有f（x+t）≤x成立，即为（x+t）2﹣（x+t）+1≤x，即有（x+t﹣1）2≤﹣t，（t≤0）即有1﹣t﹣≤x≤1﹣t+，由题意可得1﹣t+≥m，且1﹣t﹣≤1，解得﹣1≤t≤0，由1﹣t+=（+）2+，可得最大值为1+1+1=3，即有m≤3，可得m的最大值为3．故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若cosC=，求cos（A+C）；（2）若b+c=5，A=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）使用正弦定理将边化角，得出A，使用两角和的余弦公式计算；（2）使用余弦定理求出bc，代入面积公式计算．【解答】解：（1）∵，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴sinA﹣cosA=0，即tanA=．∴A=．∵cosC=，∴sinC=．∴cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC==．（2）由余弦定理得cosA==，∴bc=6．∴S△ABC=sinA==．18．某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示．（1）估计产品中该物质含量的中位数及平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；250元，生产1件C级品亏损50元．现管理人员从三个等级的产品中采用分层抽样的方式抽取10件产品，试用样本估计生产1件该产品的平均利润．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）利用中位数的两边频率相等，列出方程求出中位数的值，利用平均数等于每一组底边中点的坐标×对应的频率，再求和的值；（2）按分层抽样法，求出从A、B、C级品中抽取的产品数，估计生产1件产品的平均利润即可．【解答】解：（1）设中位数为x0，则80≤x0＜90，所以10×0.01+10×0.02+（x0﹣80）×0.04=0.5，解得x0=85，即中位数是85；又平均数为=65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.3=84；（2）按分层抽样的方法，从A级品中抽取n1=10×0.7=7（件），从B级品中抽取n2=10×0.2=2（件），从C级品中抽取n3=10×0.1=1（件），所以所抽取出的A级品为7件，B级品为2件，C级品为1件，所以估计生产1件该产品的平均利润为：×[7×100+2×50+1×（﹣50）]=75（元）．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，PD ⊥CD ，E ，F 分别为PC ，AD 的中点． （1）求证：平面CEF ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥P ﹣BDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）连结PF ，由CD ⊥AD ，CD ⊥PD 得CD ⊥平面PAD ，故CD ⊥PF ，又PF ⊥AD ，故PF ⊥平面ABCD ，于是平面CEF ⊥平面ABCD ；（2）由E 是PC 的中点得V P ﹣BDE =V P ﹣BDC ．【解答】解：（1）连结PF ，∵△PAD 是正三角形，∴PF ⊥AD ．∵AD ⊥CD ，PD ⊥CD ，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，AD ∩PD=D ， ∴CD ⊥平面PAD ，∵PF ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥PF ．又∵AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，AD ∩CD=D ， ∴PF ⊥平面ABCD ，∵PF ⊂平面CEF ， ∴平面CEF ⊥平面ABCD ．（2）∵△PAD 是边长为2的正三角形，四边形ABCD 是边长为2的正方形，∴PF=，BC=CD=2，∴V P ﹣BCD ===．∵E 是PC 的中点，∴V P ﹣BDE =V P ﹣BDC =．20．动圆P 过点M （﹣1，O ），且与圆N ：x 2+y 2﹣2x ﹣15=0内切，记圆心P 的轨迹为曲线τ．（ 1）求曲线τ的方程；（2）过点M且斜率大于0的直线l与圆P相切，与曲线τ交于A，B两点，A的中点为Q．若点Q的横坐标为﹣，求圆P的半径r．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心N（1，0），半径r=4，设圆心P（x，y），由椭圆定义得点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，由此能求出曲线τ的方程．（2）设直线l的方程为y=k（x+1），k＞0，联立，得（3+4k2）x2=8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线与圆相切的性质，结合已知能求出圆P 的半径．【解答】解：（1）圆N：x2+y2﹣2x﹣15=0的方程可化为（x﹣1）2+y2=16，∴圆心N（1，0），半径r=4，设圆心P（x，y），∵圆P过点M，∴圆P半径为|PM|，又∵圆P与圆N内切，∴|PN|=4﹣|PM|，即|PM|+|PN|=4，又|MN|=2＜4，∴由椭圆定义得：点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，∴曲线τ的方程为： +=1．（2）依题意设直线l的方程为y=k（x+1），k＞0，联立，得（3+4k2）x2=8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴AB的中点Q的横坐标x Q==﹣，由﹣=﹣，解得k=或k=﹣（舍），∵直线l与圆P相切于点M，∴圆心P在直线y=﹣（x+1）上，由，得5x2+8x=0，解得x=0或x=﹣，∴圆心P（0，﹣）或P（﹣，），当圆心P（0，﹣）时，r2=（0+1）2+（﹣）2=4，即r=2，当圆心P（﹣，）时，r2=（﹣+1）2+（）2=，即r=．∴圆P的半径r为2或．21．已知函数f（x）=ax3﹣x2+x，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线方程为y=x﹣2，求a的值；（2）若f′（x）是f（x）的导函数，且不等式f′（x）≥xlnx恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于x0，a的方程组，解出即可；（2）分离参数，得到a≥﹣+，令t=，得到g（t）=3t﹣t2﹣tlnt，t＞0，根据函数的单调性求出g（t）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=ax3﹣x2+x，f′（x）=ax2﹣3x+1，结合已知得：，由②得：ax0=3或x0=0（不满足①，舍去），把ax0=3代入①，得：x0=±2，从而a=±；（2）f′（x）≥xlnx，即为ax2﹣3x+1≥xlnx，x＞0，得a≥﹣+，令t=，g（t）=3t﹣t2﹣tlnt，t＞0，则g′（t）=2﹣2t﹣lnt，由于g′（t）在（0，+∞）递减且g′（1）=0，∴g′（t）在（0，+∞）上有唯一零点t=1，从而g（t）在t=1处取得最大值，且最大值g（1）=2，因此要a≥g（t）使对任意的t＞0恒成立，需且只需a≥2，综上，f′（x）≥xlnx对任意的正数x恒成立时，a≥2．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=，直线l2的极坐标方程为θ=，l1与l2的交点为M．（I）判断点M与曲线C的位置关系；（Ⅱ）点P为曲线C上的任意一点，求|PM|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）分别根据极坐标和直角坐标构造方程组解得即可，（Ⅱ）设与点P的坐标，根据二次函数的性质即可求出最值．【解答】解：（Ⅰ）方法一：由，得ρ=1，所以l1与l2的交点M的极坐标为（1，）．即点M的直角坐标为（0，1），又曲线C的普通方程为+y2=1，且+12=1，所以点M在曲线C上，方法二：直线l1的直线方程为x﹣y+1=0，直线l1的直线方程为x=0，由，得，所以所以l1与l2的交点M的直角坐标为（0，1），又曲线C的普通方程为+y2=1，且+12=1，所以点M在曲线C上，（Ⅱ）方法一：设点P的直角坐标为（2cosφ，sinφ），所以|PM|2=4cos2φ+（sinφ﹣1）2=﹣3sin2φ﹣2sinφ+5=﹣3（sinφ+）2+，当sinφ=﹣时，|PM|2max=，所以|PM|的最大值为，方法二：设点P（x0，y0），其中x02+4y02=4．则|PM|2=x02+（y0﹣1）2=﹣3y02﹣2y0+5=﹣3（y0+）2+，当y0=﹣时，|PM|2max=，所以|PM|的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|．（I）求不等式f（x）≤﹣1的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3a﹣1有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）法一：通过讨论x的范围，解出各个范围内的x的范围，求出不等式的解集即可，法二：根据函数图象求出不等式的解集即可；（Ⅱ）法一：通过讨论x的范围，解出各个范围内的x的范围，求出不等式的最大值，问题转化为：2≥3a﹣1有解，法二：根据函数图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）法一：x＜﹣1时，不等式化为x+3≤﹣1，解得：x≤﹣4，﹣1≤x≤1时，不等式化为﹣3x﹣1≤﹣1，即x≥0，∴0≤x≤1，x＞1时，不等式化为﹣x﹣3≤﹣1，即x≥﹣2，∴x＞1，∴不等式的解集是{x|x≤﹣4或x≥0}；法二：f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|=，如图示：，由x+3=﹣1，得x=﹣4，由﹣3x﹣1=﹣1，得x=0，∴不等式的解集是{x|x≤﹣4或x≥0}；（Ⅱ）法一：x＜﹣1时，f（x）=x+3∈（﹣∞，2），﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣3x﹣1∈[﹣4，2]，x＞1时，f（x）=﹣x﹣3∈（﹣∞，﹣4），∴x=﹣1时，f（x）max=2，要使关于x的不等式f（x）≥3a﹣1有解，只需2≥3a﹣1有解，解得：a≤1，故a的范围是（﹣∞，1]；法二：由f（x）的图象可知x=﹣1时，f（x）max=2，要使关于x的不等式f（x）≥3a﹣1有解，只需2≥3a﹣1有解，解得：a≤1，故a的范围是（﹣∞，1]．2017-2018学年9月14日。
2017届福建省单科质检文科数学试卷
（A）1
（B）9
（C）17
（D） 2 （D）19
(3) 函数 y x2 ln x 的图
x
O
x
O
x
O x
（A）
（B）
（C）
（D）
(4) 已知集合 A a,1, B a2,0 ，那么“ a 1”是“ A B ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
它经过的“半衰期”个数至少是
（A）8
（B）9
（C）10
（D）11
(6) 已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且 AB 5 ， BC 7 ， AC 2 ，则 此三棱锥的外接球的体积为
（A） 8 3
（C） 16 3
（B） 8 2 3
（D） 32 3
1
(7) 执行如图所示的程序框图，若输入 n 2 017 ，输出 S 的值为 0，则 f (x) 的解析式可以 是
44
22
3
22
(11) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的
三视图，则该几何体最长的棱长为
（A） 4 3 （B） 4 2 （C） 6 （D） 2 5
(12) 已知函数 f x x a ex ，曲线 y f x 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的
（C） 3 5
（D） 4 5
(10) 已知直线 l 过点 A(1,0) 且与 B : x2 y2 2x 0 相切于点
D ，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点 D ，其一条渐近线平行于 l ，则 E 的方程为
（A） 3x2 y2 1 （B） x2 3y2 1 （C） 5y2 x2 1 （D） 3y2 x2 1
2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷(文科)(解析版)
2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1 .已知复数z=m+2i ，且（2+i ） z 是纯虚数，则实数 A . 1 B.2 C. - 1 D .- 2 2.若公差为2的等差数列｛a n ｝的前9项和为81，则 A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件5 .当生物死亡后，其体内原有的碳 14的含量大约每经过5730年衰减为原来的 一半，这个时间称为 半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分 之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14用该放射性探测器探测不到，则它经过的半衰期”个数至少是（ ）A . 8 B. 9 C. 10 D . 116.已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且 AB 壬，BCd ，AC=2m=( a 9=(A . 1 B. 9 C. 17 D . 19已知集合 A=｛a ，1｝，B=｛a 2，0｝，那么 “a = 1”是 函数y=W+ln| x|的图象大致为（)3. C4.则此三棱锥的外接球的体积为（n B RH n CA.163n D.)3237t,则下列结论正确的是（) 已知函效f（X）=[ZQO- gim,sC C8.A.f（x）有极值B. f (x)有零点C. f (x)是奇函数D. f （x）是增函数9. 如图，。
O与x轴的正半轴交点为A,点B, C在。
O上，且B （盲，- ), 点C在第一象限，/ AOC a , BC=1,贝U cos (n4才10.已知直线I过点A （- 1，0）且与。
B：x2+y2- 2x=0相切于点D，以坐标轴E过点D，一条渐进线平行于I，则E的方程为（为对称轴的双曲线C匸-x2=1D. 2=111.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则 A . （- e 2，+x ） B. （- e 2，0）C .（- e 「2, +^） D . （- e「2，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. __________________________________________________________ 设向量仮），？二（皿血）|，且的夹角为三，贝U m= ______________________ .14.若x ，y 满足约束条件 _____ ，则z=x+2y 的最小值为.［空-y-r ---------15. 椭圆C ： ^7r+yy=l （a>b>0）的左、右焦点分别为卩V 卩2，上、下顶点分a b 别为B 1，B 2,右顶点为A ,直线ABi 与B 2F 1交于点D.若2| ABi| =3| B 1 D|，贝U C 的离心率等于 _________ .JT I JU | 兀16. 已知函数f （x ） =si n （3）+孑）（3> 0）在（巨，」「）上有最大值，但没有最小值，则3的取值范围是—.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. A ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，2bcosC- c=2a. （I ）求B 的大小；X ），曲线y=f （x ）上存在不同的两点，使得曲线y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（该几何体最长的棱长为（D. [2^5在这两点处的切线都与（U）若a=3,且AC边上的中线长为匚，求c的值.18. 如图，三棱柱ABC- A1B1G中，侧面ACGA1丄侧面ABBA，/ B1A A=/C i A i A=60°, AA i=AC=4 AB=1.(I )求证：A i B i 丄B i C i;(n )求三棱锥ABC- A1B1C1的侧面积.19•某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.(I )求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；(n)预计从哪一年起该公司开始盈利？(注：盈利是指总收入大于总投入)20. 已知点F (1, 0)，直线I: x=- 1,直线r垂直I于点P,线段PF的垂直平分线交I于点Q.(I )求点Q的轨迹C的方程；(n)已知点H (1, 2)，过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交I于点M , N,求证：以MN为直径的圆必过定点.21. 已知函数f (x) = (ax— 1) e x, a € R.(I )讨论f (x)的单调区间；(n)当m> n > 0 时，证明：me n+n v ne m+m.请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.女口果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. 在极坐标系中，曲线C1：p =2cos,曲线匚才Psin2©以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,曲线C的参数方程为(t为参数).(I )求C l, C2的直角坐标方程；(n) C与C i, C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为P, Q, R, S,求II PQ —I RSI 的值.［选修4-5不等式选讲］23. 已知函数f (x) =| x—a|+| 2x-1| .(I )当a=1时，解不等式f (x)>2;(n)求证：F(K)列匕-寺||.2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知复数z=m+2i，且（2+i）z是纯虚数，则实数m=（）A. 1B. 2C. - 1D.- 2【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】把复数z=m+2i代入（2+i）z,然后利用复数代数形式的乘法运算化简, 再由已知条件列出方程组，求解可得答案.【解答】解：：(2+i) z= ( 2+i) (m+2i) =2m+4i+mi+2i2= (2m - 2) + (m+4) i 为纯虚数，.护时2二0° ° (时4知，解得m=1.故选：A.2.若公差为2的等差数列｛a n｝的前9项和为81，则a9=（）A. 1B. 9C. 17D. 19【考点】等差数列的通项公式.【分析】利用等差数列前n项和公式求出首项，由此能求出第9项.【解答】解：•••公差为2的等差数列｛a n｝的前9项和为81，9X8解得a1=1，.a9=1+ (9 —1 )x 2=17.故选：C.3 .函数y=x2+In | x|的图象大致为（）D.【考点】函数的图象.【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断.【解答】解：••• f (- x) =x2+ln| x| =f (x),••• y=f (x)为偶函数,••• y=f (x)的图象关于y轴对称，故排除B, C,当x—0时，y f-x，故排除D,或者根据，当x>0时，y=W+lnx为增函数，故排除D,故选：A4.已知集合A={a, 1}, B={a2, 0}，那么“a-T是“A B M?”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断.【解答】解：当a=- 1时，A={ - 1,1} , B={1, 0}，则A H B={1}工?成立，即充分性成立，若A H B M?，则a F=1 或a2=a，即卩a=1 或a=- 1 或a=0,当a=1时，A={1, 1}不成立，当 a=- 1 时，A={ - 1, 1} , B={1, 0}，则 A H B={1}丰?成立, 当a=0时，B={0, 0}不成立，综上a=- 1,即“a -1”是“H B M ?”的充要条件， 故选：C5 •当生物死亡后，其体内原有的碳 14的含量大约每经过5730年衰减为原来的 一半，这个时间称为 半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分 之一时，用一般的放射性探测器就测不到了•若某死亡生物体内的碳 14用该放 射性探测器探测不到，则它经过的半衰期”个数至少是（ ）A . 8 B. 9 C. 10 D . 11 【考点】对数的运算性质.【分析】经过n 个 半衰期”后的含量为 可得 隔y 需I 解出即可得出.【解答】解：设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n 个 半衰期”后的 含量为丄' , 由忖）得:n 》10所以，若探测不到碳14含量，至少需要经过10个 半衰期”. 故选：C.6.已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且 AB 壬,BC 三,AC=2 则此三棱锥的外接球的体积为（）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】求出PA=1, PC 二,PB=2以PA PB PC 为过同一顶点的三条棱，作 长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P -ABC 外接球.算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥 P -ABC 外接球的体积.【解答】解：：AB 」,BCJ , AC=2 ••• PA=1, PC 砸,PB=2A .冗以PA PB PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球.T长方体的对角线长为"1卡3+4|=駆！,•••球直径为2『；|,半径R=J,因此，三棱锥P-ABC外接球的体积是旬nR== nX (四)3=a【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=(1)+f(2)+・・+f+f(2) +・・+f+f (2) +- +f+f (2) +-+f 已知函效f f x)z - sinx,Qy3+l, K>0，则下列故选：B.【考点】程序框图.结论正确的是( )A . f (x )有极值 B. f (x )有零点 C. f (x )是奇函数D. f (x )是增函数【考点】分段函数的应用.【分析】当XV0时，f (x ) =x- sinx ,禾I 」用导数判断函数为增函数，当 x >0时, f (x ) =x 3+1，函数为增函数，再去判断零点，极值和奇偶性. 【解答】解：当x v 0时，f (x ) =x - sinx ， ••• f'(x ) =1 - cosx > 0 恒成立，••• f (x )在(-x ，0)上为增函数，• f (x )v f ( 0 ) =0，当x >0时，f (x ) =xM ，函数为增函数， • f (x )> f (0) =1，综上所述f (x )是增函数，函数无极值，无零点， ••• f (- x )M- f (x )，f (- x )工 f (x )， •••函数为非奇非偶函数， 故选：D9•如图，。
【试卷】2017年福建省高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ)
2017 年福建省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ ）一、：本大共12 小，每小 5 分，共 60 分。
在每小出的四个中，只有一是切合目要求的。
1．（5 分）已知会合 A={ x| x＜2} ，B={ x| 3 2x＞ 0} ，（）A．A∩B={ x| x＜} B． A∩B=? C． A∪ B={ x| x＜} D．AUB=R2．（5 分）估一种作物的栽种成效，了n 地作田．n 地的量（位： kg）分是x1， x2，⋯，x n，下边出的指中能够用来估种作物量定程度的是（）A．x1， x2，⋯，x n的均匀数B．x1， x2，⋯，x n的准差C．x1， x2，⋯，x n的最大D．x1， x2，⋯，x n的中位数3．（5 分）以下各式的运算果虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（ 1 i）C．（1+i）2 D． i（1+i）4．（5 分）如，正方形ABCD内的形来自中国古代的太极．正方形内切中的黑色部分和白色部分对于正方形的中心成中心称．在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）已知 F 是双曲 C：x2=1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF与 x垂直，点 A 的坐是（ 1， 3），△ APF的面（）A．B．C．D．6．（5 分）如，在以下四个正方体中， A， B 正方体的两个点， M ， N， Q所在棱的中点，在四个正方体中，直 AB 与平面 MNQ 不平行的是（）A．B．C．D．7．（5 分）设 x，y 知足拘束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．38．（5 分）函数 y=的部分图象大概为（）A．B．C．D．9．（5 分）已知函数 f（ x） =lnx+ln（2﹣x），则（）A．f （x）在（ 0， 2）单一递加B．f （x）在（ 0， 2）单一递减C．y=f（x）的图象对于直线x=1 对称D．y=f（x）的图象对于点（ 1，0）对称10．（ 5 分）如图程序框图是为了求出知足3n﹣2n＞ 1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，能够分别填入（）A．A＞1000 和 n=n+1B．A＞1000 和 n=n+2C．A≤1000 和 n=n+1D．A≤1000 和 n=n+211．（ 5 分）△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinC﹣ cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（ 5 分）设 A，B 是椭圆 C：+ =1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠ AMB=120°，则 m 的取值范围是（）A．（0，1] ∪[ 9，+∞） B．（0， ] ∪[ 9，+∞）C．（0，1] ∪[4，+∞）D．（0， ] ∪[ 4，+∞）二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。
2017届福建省莆田一中高三高考考前模拟文科数学试题及答案
福建省莆田一中2017年高考考前模拟数学文试题数学（文科）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（ ） A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,12．已知复数2(1)(2)()z a a i a =-+-∈R 是纯虚数，则=a （ ）A ．1B ．1-C ．1-或1D ．23．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥a ，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊥a ，n ⊥β，则α∥β4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是（ ） A ．126 B ．105 C ．91 D ．665．以曲线241x y =的焦点为圆心，和直线1-=x y 相切的圆的方程为( ) (第4题)A ．2)1(22=-+y x B ．2)1(22=+-y xC ．128225)161(22=+-y x D ．128225)161(22=-+y x 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸可得该几何体的表面积为（ ） A．12+ B ．16 C．14+．20正视图侧视图俯视图(第6题)7.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时，2()2f x x x a =-+（a 是常数）.则[2,4]x ∈时的解析式为（ ）A.2()68f x x x =-+-B.2()1024f x x x =-+C.2()68f x x x =-+D.2()68f x x x a =-++8.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )．A ．8B ．7C ．6D ．59. 已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且x AF ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是 （ ）A ．(0,)4π B. (,)32ππ C.(,)43ππ D. (,)64ππ10．在边长为2的等边ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则⋅的取值范围是（ ）A ．23[,3]16B ．23[,2]16C ．3[,3]2D ．[2,9]11．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩内，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么|PQ|的最小值为（ ） AB1 CD ．3212．下列四个函数①23)(x x x f +=;②x x x f +=4)(;③x x x f +=2sin )(; ④x x x f sin 2cos )(+=中 ，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为（ ）A ．① ② ③B ．② ③ ④C ．① ② ④D ．① ③ ④二、填空题：（本大题共4小题,每小题4分，满分16分）13．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．14．若双曲线221x ky +=的离心率为2，则实数k 的值为 。
2017届福建省莆田市高三下学期质量检查考试 数学(文)试卷
2017年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{},032,0232>-=≤+-=x x B x x x A 则=B A ( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛2,23D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,232.已知412sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则α2cos 的值是( ) A ．87B ．87-C ．98D ．98-3.设α为实数，直线12:1,:2l ax y l x ay a +=+=，则“1a =-”是21//l l 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()x x f 2=，则()=-2f （ ） A ．4 B ．41C. 41- D ．4-5.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．121 B.81 C.74 D.496.从区间()1,0中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，则所取得的两个数使得斜边长不大于1的概率是（ ） A ．8π B ．4π C. 21 D ．43 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．50π B.25π C.75π D.100π8.设抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，点A 为C 上一点，若3=FA ，则直线FA 的倾斜角为（ ） A ．3π B ．4π C. 3π或32π D ．4π或43π 9.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛><->+=22,0sin 3πϕπωϕωx x f ，⎪⎭⎫⎝⎛0,31A 为()x f 图像的对称中心，若该图像上相邻两条对称轴间的距离为2，则()x f 的单调递增区间是( ) A ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322 B ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ C. Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,344,324 D ．Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,344,324ππππ 10.已知双曲线1:2222=-by a x E ，其一渐近线被圆()()931:22=-+-y x C 所截得的弦长等于4，则E 的离心率为( ) A ．25 B ．5 C.25或3 D ．25或5 11.已知正方体1111D C B A ABCD -，平面α过直线BD ，a ⊥平面 α,1C AB 平面m C AB =1，平面β过直线11C A ,//β平面C AB 1， β平面n A ADD =11，则n m ,所成角的余弦值为( ) A ．0 B ．21C.22 D ．23 12.设函数()x f '是定义在()π2,0上的函数()x f 的导函数,()()x f x f -=π2.当π<<x 0时，()()0cos sin <'-x x f x x f ,若137,0,2326a f b c f ππ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则( )A ．c b a <<B ．a c b << C.a b c << D ．b a c <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设复数z 满足23z i i ⋅=+,则=z ．14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥+-,02,02,01y x x y x 则x y z =的最大值为 ．15.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为.,,,cb a bc c b a c b a -+=+-若2a =,则ABC ∆面积的最大值为 ．16.在直角梯形ABCD 中,ABD AD BC BC AD A ∆==∠,2,//,900的面积为,12DE EC = ,BE CD ⊥ ,则DA DC ⋅=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和kn n S n +=2，其中k 为常数，.136=a （Ⅰ）求k 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()12+=n n a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，将木兰溪流经市区河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如下表：（Ⅰ）记评分在80以上（包括80）为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率； （Ⅱ）根据表中数据完成下面茎叶图；（Ⅲ）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均值，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好.19.如图，在四棱锥ABCD S -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点, 2SA SB ==，23AB =，.3=BC（Ⅰ）证明：//SC 平面BDE ；（Ⅱ）若,SB BC ⊥求三菱锥BDE C -的体积．20.已知点P ()2,0-，点A 、B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，ABP ∆是等腰直角三角形，且32PQ QB =.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于M 、N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.已知函数()().ln 1,13223x kx x g x x x f -+=+-= （Ⅰ）设函数()()()⎩⎨⎧≥<=.1,,1,x x g x x f x h 当0<k 时，讨论()x h 零点的个数；（Ⅱ）若过点(),4P a -恰有三条直线与曲线()x f y =相切，求α的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()21122=-+-y x .在以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. (Ⅰ)写出圆C 的参数方程和直线l 的普通方程;(Ⅱ)设点P 位圆C 上的任一点,求点P 到直线l 距离的取值范围. 23.已知函数()24-+-=x x x f . (Ⅰ)求不等式()2>x f 的解集;(Ⅱ)设()x f 的最小值为M ,若2xa M +≥的解集包含[]1,0,求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBADB 6-10:BBCCD 11、12：DA二、填空题13.i 23- 14.3 15. 3 16. 2-三、解答题17.解:(Ⅰ)由已知kn n S n +=2,有()2121≥-+=-=-n k n S S a n n n又111+==k S a 所以12-+=k n a n又因为613,a =所以13162=-+⨯k 解得2=k 所以.12+=n a n（Ⅱ）因为()()(),1122212+=+=+=n n n n a n b n n所以,111+-=n n b n所以()()1111321211+⨯+⨯-++⨯+⨯=n n n n T n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111113121211n n n n,1111+=+-=n nn所以数列{}n b 的前n 项和1+=n n T n . 18.解:(Ⅰ)从10段中任取一段的基本事件为()()()()()()()()()()95,87,90,85,89,71,75,81,85,76,83,74,83,86,78,84,87,92,72,77共10个,这些基本事件是等可能的.用A 表示“同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A 包含的基本事件为()()()()95,87,90,85,83,86,87,92共4个，所以().52104==A P （Ⅱ）根据表中数据完成下面茎叶图（Ⅲ）南岸10段的分值数据的中位数:,5.82284811=+=z 南岸10段分值数据的平均数：()()3.8110927654158076414701=++++++⨯+++++⨯=x北岸10段分值数据的中位数：,84285832=+=z 北岸10段分值数据的平均数：()()()7.83105029097535808523702=++⨯+++++⨯++++⨯=x由2121,x x z z <<，可看出北岸保护更好. 19.解:(Ⅰ)法一:连接AC ,设,AC BD O =四边形ABCD 为矩形,则O 为AC 的中点.在ASC ∆中，E 为AS 的中点，,//OE SC ∴又⊂OE 平面BDE ,⊄SC 平面BDE ,//SC ∴平面BDE .法二：如图，将三菱锥ABCD S -补形为三菱柱DCP ABS - 取DP 的中点F ，连接,,,FS FE FC∴ES DF // 四边形DESF 为平行四边形，.//DE FS ∴ .//BE CF ∴又DE ⊂平面,BDE FS ⊄平面,BDE//FS ∴平面.BDE//EF BC ,∴四边形BCFE 为平行四边形，//CF BE ∴ ,又因为BE ⊂平面,BDE CF ⊄平面BDE ,//CF ∴平面BDE ,⊂=FS F CF FS , 平面⊂CF SCF ,平面,SCF∴平面//BDE 平面.SCF又⊂SC 平面,SCF//SC ∴平面.BDE（Ⅱ）法一：AB BC ⊥ 且,,B SB AB SB BC =⊥⊥∴BC 平面SAB ，又⊥∴AD AD BC ,//平面.SAB //SC 平面BDE ，∴点C 与点S 到平面BDE 的距离相等.SBE D BD E S BD E C V V V ---==∴在ABC ∆中,,32,2===AB SB SA.313221=⨯⨯=∴∆ABS S E 为AS 中点,.2321==∴∆∆ABS BES S S 又点D 到平面BES 的距离为.AD11333,3322D BES BES V S AD -∆∴=⋅=⨯⨯=,23=∴-BDE C V 即三菱锥BDE C -的体积为.23 法二:过E 作,AB EH ⊥垂足为.H,,,BC AB BC SB AB SB B ⊥⊥=⊥∴BC 平面,ABS ⊂EH 平面,ABS,BC EH ⊥∴又,,B BC AB AB EH =⊥⊥∴EH 平面.ABCD在SAB ∆中，取AB 中点M ，连接SM ，则AB SM ⊥，1=∴SM,2121,21//==∴SM EH SM EH,3332321=⨯⨯=∆BCD S.2321333131=⨯⨯=⋅==∴∆--EH S V V BCD BCD E BDE C所以三棱锥BCE C -的体积为.2320.（Ⅰ）由ABP ∆是等腰直角三角形，得()2,2,0a B = ，，设()00,Q x y ，则由32PQ QB = ，得006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程得21b = ，所以E 的方程为2214x y += ，（Ⅱ）依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为2y kx =- ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：()221416120k x kx +-+= （*）， 因直线l 与E 有两个交点，即方程（*）有不等的两实根，故()()2216414120k k ∆=--+⋅>，解得234k >， 设()11,M x y ，()22,N x y ，由根与系数的关系得12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩，由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外0OM ON ⇔⋅>，即12120x x y y +> ，又由()()()2121212122212162212401414kx x y y x x kx kx k k kk +=+--=+⋅-⋅+>++解得24k <，综上可得2344k <<，则322k <<或322k -<<- .则满足条件的斜率的取值范围为332,,222⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.. 21.（Ⅰ）令()322310f x x x =-+=，解得()()22110x x +-=，得1112x =-≤，21x =， 所以112x =-是()h x 的零点， 又因为()1g x k x'=-，当0k <时，()0g x '<，()g x 在[)1,+∞上单调递减，()g x 的最大值为()11g k =+，（1）当1k <-时，()10g <，()g x 在[)1,+∞上无零点， （2）当1k =-时，()10g =，()g x 在[)1,+∞上有一个零点，（3）当10k -<<时，()10g >，()110kk g eke k --=+<， 所以()g x 在[)1,+∞上有一个零点，综上，当1k <-时，()h x 有一个零点；当10k -≤<时，()h x 有两个零点. （Ⅱ）设切点()0(,)P t f t ， 因为()266f x x x '=-，所以切线的斜率为()266f t t t '=-，切线方程()()()266y f t t tx t -=--，又因为切线过点(),4P a -，故()()()2466f t t ta t --=-- ，整理得，322436650t t at at --+-=（*）又因为曲线恰有三条切线，即方程（*）有三个不同解，令()32243665H t t t t a at =--+-，得()2126126H t t t at a '=--+，由()0H t '=，解得112t =，2t a =. （1）当12a =时，()()0,H t H t '≥在定义域内单调递增，()H t 不可能有两个零点， 方程（*）不可能有两个解，不满足题意.(2)当12a ≠时， （ⅰ）当12a >时，在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(),a +∞上，()0H t '>， ()H t 单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0H t '<，()H t 单调递减， ()H t 的极大值为12H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()H t 的极小值为()H a ， （ⅱ）当12a <时，在()1,,,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上，()0H t '>， ()H t 单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0H t '<，()H t 单调递减， ()H t 的极大值为()H a ，()H t 的极小值为12H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 要使方程（*）有三个不同解，则12H ⎛⎫ ⎪⎝⎭()H a 0<， 即32232321111436654366502222a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⨯-⨯-⨯+⨯-⨯--+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 也即()3213235042a a a ⎛⎫-+-+-< ⎪⎝⎭()()()22712550a a a a -+-+>，解得72a >或1a <-. 22.（Ⅰ）圆C 的参数方程为为12cos 12sin x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （α为参数），直线l 的普通方程为40x y +-=.（Ⅱ）点P 为圆C 上任一点，可设点()12cos ,12sin P αα++，则点P 到直线l 的距离为222sin 212cos 12sin 44211d πααα⎛⎫+- ⎪+++-⎝⎭==+ ， 因为1sin 14πα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，可得022d ≤≤， 所以点P 到直线l 的距离的取值范围为0,22⎡⎤⎣⎦ ..23.（Ⅰ）()62,22,242 6.4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，当2x ≤时，由()2f x >得622x ->，解得2x <，所以2x <， 当24x <<时，由()2f x >得22>，所以无解，当4x ≥时，由()2f x >得262x ->，解得4x >，所以4x >， 所以()6f x >的解集为{2x x <或4}x >.（Ⅱ）由绝对值不等式得()()42422f x x x x x =-++≥---=， 当24x ≤≤时，()f x 取得最小值2，即2M =,因2x a M +≥的解集包含[]0,1，即22xa ≥-在[]0,1上恒成立 记()22x g x =-，其在[]0,1上单调递减，当0x =时，()g x 取得最大值1，所以1a ≥，所以a 的取值范围是[)1,+∞ .。
福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|2x＜1}，N={x|x2-x-2＜0}，则M∩N=（）A. （-1，0）B. （-2，0）C. （0，2）D. （-∞，2）2.已知复数z满足（1-i）z=4，则z=（）A. 2-2iB. 2+2iC. 4-4iD. 4+4i3.函数f（x）=（x+）cos x在[-3，0）∪（0，3]的图象大致为（）A. B.C. D.4.已知各项都为正数的等比数列{a n}满足：a3a7＝2a42，a3＝1，则a2＝（）A. B. C. D. 25.直线y=x+m与圆x2+y2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则m的取值范围是（）A. [-2，2]B. [-4，4]C. [0，2]D. （-2]∪[2，2）6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A. 16πB. 64-16πC. 64-D. 64-7.若函数f（x）=x3-x2+2x没有极小值点，则a的取值范围是（）A. [0，]B. [）8.函数f（x）=sinωx+3cosωx（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则下列结论中错误的是（）A. f（x）的最小正周期为8B. f（x）在（3，4）上单调递减C. f（x）的值域为[-2]D. f（x）图象上所有的点向右平移个单位长度后，图象关于y轴对称9.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=若方程|f（x）|-a=0有四个不同的解，则a的取值范围是（）A. （0，4）B. [0，4）C. [ln2，4）D. （ln2，4]11.已知直线l过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若=，且|AB|=8，则p=（）A. 2B. 3C. 6D. 812.在三棱锥P﹣ABC中，AC＝2AB＝2，BC＝，∠APC＝90°，平面ABC⊥平面PAC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A. 4πB. 5πC. 8πD. 10π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（-1，3），B（2，1），C（m，2），若⊥，则m的值为______．14.若x，y满足约束条件，则z=2x-y的取值范围是______．15.已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+2．若，则n的最大值为______．甲说：照片A是α发回的；乙说：β发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是γ发回的．若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片B是探测器______发回的．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AB=2，BC=，cos A=．（1）求AC的长；（2）若AB∥CD，AD=CD，求四边形ABCD的面积．18.如图，边长为2的菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△DAE，△EBF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C重合于点P．（1）求证：PD⊥EF；（2）若平面PEF⊥平面DEF，求三棱锥P-DEF的体积．19.为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放200台P型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月，试用到期后，为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）．最后该公司共收回有效评分表600份，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如图茎叶图：（1）求40个样本数据的中位数m；（2）已知40个样本数据的平均数a=80，记m与a的最大值为M．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型”．①请以40个样木数据的频率分布来估计收回的600份评分表中，评分不小于M的份数；402×2根据列联表判断能否有的把握认为“认定类型”与性别有关？附：K2=，20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上的一个动点．当P为C的上顶点时，△F1PF2的面积为．（1）求C的方程；（2）设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q．若存在点T（t，0），使得|TP|=|TQ|，求t的取值范围．21.已知函数f（x）=xe x-1-ax+1，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线l的斜率为3e-2．（1）求a的值及切线l的方程；（2）证明：f（x）≥0．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求l的极坐标方程和C1的直角坐标方程；（2）若曲线C2的极坐标方程为θ=，C2与l的交点为A，与C1异于极点的交点为B，求|AB|．23.已知函数f（x）=2|x+4|-|x-1|．（1）求不等式f（x）≤1的解集；（2）当x＞1时，f（x）＞-x2+ax，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|2x＜1}={x|x＜0}，N={x|x2-x-2＜0}={x|-1＜x＜2}，∴M∩N={x|-1＜x＜0}=（-1，0）．故选：A．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由（1-i）z=4，得z=．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系利用排除法是解决本题的关键．属于一般题.判断函数的奇偶性和对称性，再结合f（1）的正负性即可得解.【解答】解：f（-x）=（-x-）cos（-x）=-（x+）cos x=-f（x），所以函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，f（1）=2cos1＞0，排除C，故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】先根据等比中项求出q，再根据a3=1，即可求出a2的值．本题考查了等比数列的等比中项和通项公式，属于基础题．【解答】解：各项都为正数的等比数列{a n}满足：a3a7=2a42，∴a52=2a42，∴q=，∵a3=1，∴a2==，故选：B．【解析】解：根据题意，圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，圆心到直线y=x+m的距离d=，若|MN|≥2，即|MN|2=4（4-）≥8，即≤2，解可得：-2≤m≤2，即m的取值范围为[-2，2]；故选：A．根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线y=x+m的距离，结合直线与圆的位置关系可得|MN|2=4（4-）≥8，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质以及弦长的计算，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是棱长为4的正方体去掉一个半径为4的圆柱的几何体，如图：几何体的体积为：=64-16π．故选：B．判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：当a=0时，f（x）=-x2+2x，满足题意，否则：f'（x）=ax2-2x+2，满足题意时有：△=4-8a≤0，求解不等式可得：，综上可得，实数a的取值范围是．故选：C．首先求得导函数，然后结合题意求解实数a的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．8.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+3cosωx=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+）（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，∴A=2=•|BC|=•，∴ω=，∴f（x）=2sin（•x+），故它的最小正周期为=8，故A正确．在（3，4）上，x+∈（，），f（x）单调递减，故B正确．显然（x）的值域为[-2，2]，故C正确．故所得不是偶函数，故图象不关于y轴对称，故D错误，故选：D．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，确定面积是关键．如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，求出圆的面积，根据概率公式计算即可.【解答】解：如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故BE=O2E=O2O=r，∴BO2=r，∵BO2+O2O=BO=BD=，∴r+r=，∴r=，∴黑色部分面积S=π（）2=π，正方形的面积为1，∴在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为π，故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查由函数零点的个数求参数范围，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键,属于中档题.根据分段函数的表达式，作出|f（x）|的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x＜0时，|f（x）|=|x2+4x|=即当-4≤x＜0时，|f（x）|≤4，若方程|f（x）|-a=0有四个不同的解，即|f（x）|=a有四个不同的解，作出函数y=|f（x）|与y=a的图象，则两函数图象有四个不同的交点，由图象知ln2≤a＜4，即实数a的取值范围是[ln2，4）.故选C．11.【答案】B【解析】解：如图，过A作抛物线准线的垂线AD，由=，得|AD|=|AF|=|FP|，则直线l的倾斜角为150°，设直线l的方程为y=-，联立，得12y2-20py+3p2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|=，即p=3．故选：B．由题意画出图形，得到直线l的斜率，写出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解．本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查球体的表面积的计算，考查了平面与平面垂直的性质定理，考查推理能力与计算能力，属于中等题．由勾股定理得出AB⊥AC，再利用平面与平面垂直的性质定理得出AB⊥平面PAC，先得出直角△APC的外接圆直径AC，再利用公式可得出外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】解：如下图所示，∵，∴，又∵，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，又∵平面ABC⊥平面PAC，平面ABC∩平面PAC=AC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥平面PAC．∵∠APC=90°，所以直角△APC的外接圆直径为AC，所以三棱锥P-ABC的外接球直径为．因此，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2=π（2R）2=10π．故选：D．13.【答案】【解析】解：；∵；∴；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行向量数量积的坐标运算即可求出m的值．考查根据点的坐标求向量坐标的方法，向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．14.【答案】[1，4]【解析】解：根据x，y满足约束条件画出可行域：由图得当z=2x-y过点A（1，1）时，z最小为1．经过B（2，0）z取得最大值：4．故所求z=2x-y的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x-y中，求出2x-y的取值范围．在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.【答案】1009【解析】解：数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+2．则：a n+1-a n=2（常数），故：数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．则：a n=2n-1，所以：=，则：，=，=，=，当n=1009时，不等式成立．故答案为：1009首先利用数列的关系式求出通项，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步求出n 的最大值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】α【解析】解：①假设甲说法正确，即照片A是α发回的，则β发回的照片是C，则丙说法正确，与已知矛盾，即假设不成立，②假设乙说法正确，即β发回的照片不是A就是B，又甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片C是γ发回的．照片A不是α发回的，即照片A是β发回的，照片B是α发回的，③假设丙说法正确，即照片C不是γ发回的，则β发回的照片是C，照片B是α发回的，照片A是γ发回的，综合①②③得：照片B是探测器α发回的，故答案为：α先阅读理解题意，再结合题意进行简单的合情推理，逐一检验即可．本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵AB=2，BC=，cos A=，∴由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos A，可得：5=4+AC2-2×，整理可得：3AC2-8AC-3=0，…3分∴解得：AC=3，（负值舍去）…6分（2）在△ACD中，AD=CD，过点D作DM⊥AC于M，则M为AC中点，则CM=AC=，…7分∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，…8分又∵cos∠BAC=，∴cos∠ACD=，sin∠ACD=sin∠BAC=，…9分∴在Rt△CDM中，CD===，…10分∴四边形ABCD的面积为S=S△ABC+S△ACD=AB•AC•sin∠BAC+=+3×=．∴四边形ABCD的面积为…12分【解析】（1）由已知利用余弦定理可得3AC2-8AC-3=0，进而解得AC的值．（2）在△ACD中，AD=CD，过点D作DM⊥AC于M，则CM=AC=，由AB∥CD，可得∠ACD=∠BAC，进而可求cos∠ACD=，sin∠ACD=，可得CD=，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18.【答案】证明：（1）在菱形ABCD中，连结BD，交EF于点O，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BD⊥EF，∴EF⊥OD，EF⊥PO，又PO∩OD=O，∴EF⊥平面POD，∵PD⊂平面POD，∴PD⊥EF．解：（2）∵平面PEF⊥平面DEF，平南PEF∩平面DEF=EF，PO⊥EF，PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面DEF，又OD⊂平面DEF，∴PO⊥OD，在菱形ABCD中，连结AC，交BD于点M，则BO=OM=OD，从而PO=OD，在Rt△POD中，PD=2，PO2+OD2=PD2，∴PO=，OD=，在Rt△POF中，PF=1，PO2+OF2=PF2，∴OF=，∴△DEF的面积为：S△DEF====，∴三棱锥P-DEF的体积为：==．【解析】（1）推导出BD⊥EF，EF⊥OD，EF⊥PO，从而EF⊥平面POD，由此能证明PD⊥EF．（2）推导出PO⊥平面DEF，PO⊥OD，由此能求出三棱锥P-DEF的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由茎叶图知m==81，（2）因为m=81，a=80，所以M=81，①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，所以在40个样本数据中，评分不小于81的概率为=0.5，可以估计收回的600份评分表中，评分不小于81的份数为600×0.5=300．②根据题意得2×2列联表：由于K2==10＞6.635，查表得P（K2≥60635）=0.010，所以有99%的把握认为“认定类型“与性别有关．【解析】（1）将40个数据从小到大的顺序排列后，根据中位数的定义可得；（2）先得到M=81，由此得到2×2列联表，再根据公式计算K2，根据临界值表回答即可．本题考查了独立性检验，属中档题．20.【答案】解：（1）∵椭圆离心率为，当P为C的上顶点时，△F1PF2的面积为．∴，∴．故椭圆C的方程为：．（2）设直线PQ的方程为y=k（x-1），当k=0时，t=0符合题意，当k≠0时，y=k（x-1）代入，得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0；设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为N（x0，y0），，=k（x0-1）=,即N（，）,∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线；∴TN⊥PQ，则k TN•k PQ=-1．所以，⇒t=，因为4+＞4，∴．综上，t的取值范围为[0，）．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的方程的求法，圆锥曲线的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．属于一般题.（1）根据椭圆离心率为，△F1PF2的面积为．列式计算a，b即可．（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得出关于x的一元二次方程；再设出P、Q的坐标，表示出线段PQ的中点R，根据k TN•k PQ=-1．，求出T点的横坐标t的取值范围，即可得出结论．21.【答案】解：（1）函数f（x）=xe x-1-ax+1的导数为f′（x）=（x+1）e x-1-a，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线l的斜率为3e-2，可得3e-a=3e-2，即a=2：f（2）=2e-3，则切线方程为y-（2e-3）=（3e-2）（x-2），化为（3e-2）x-y-4e+1=0；（2）证明：函数f（x）=xe x-1-2x+1的导数为f′（x）=（x+1）e x-1-2，当x≤-1时，f′（x）＜0，f（x）递减；令g（x）=（x+1）e x-1-2（x＞-1），则g′（x）=（x+2）e x-1＞0，当x＞-1时，g（x）递增，即f′（x）递增，又f′（1）=0，的-1＜x＜1时，f′（x）＜0，即f（x）递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，可得f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，可得f（x）的最小值为f（1）=0，即有f（x）≥0恒成立．【解析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a的值，求得切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）求得f（x）的导数，设g（x）=（x+1）e x-1-2，讨论x≤-1，x＞-1，讨论单调性，求得极值和最值，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和构造函数法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数），转换为直角坐标方程为：x+．设代入x+,整理得直线l的极坐标方程为,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4，（2）曲线C2的极坐标方程为θ=，曲线C2与l的交点为A，则：，解得：，与C1异于极点的交点为B，所以：，则：|AB|=|ρA-ρB|=．【解析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，（2）利用线的关系建立方程组，求出极径，进一步求出结果．23.【答案】解：（1）函数f（x）=2|x+4|-|x-1|=，由f（x）≤1，得，或，或，解得-10≤x≤-2；∴不等式f（x）≤1的解集为{x|-10≤x≤-2}；（2）由（1）知，当x＞1时，f（x）=x+9，不等式f（x）＞-x2+ax可化为x+9＞-x2+ax，即a＜x++1在x∈（1，+∞）上恒成立；又x++1≥2+1=7，当且仅当x=3时取“=”，所以a＜7，即a的取值范围是（-∞，7）．【解析】（1）利用分段函数去掉绝对值，求出不等式f（x）≤1的解集；（2）由（1）知x＞1时f（x）=x+9，把不等式化为x+9＞-x2+ax，分离常数a，利用基本不等式求出a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
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2017年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A． B． C． D．2．已知，则cos2α的值是（）A．B．C．D．3．设a为实数，直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣2）=（）A．B．﹣4 C．﹣ D．45．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）A．121 B．81 C．74 D．496．从区间（0，1）中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，则所得的两个数列使得斜边长不大于1的概率是（）A．B．C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．25πB．50πC．75πD．100π8．设抛物线C：y2=3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|=3，则直线FA的倾斜角为（）A．B．C．或D．或9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（）A．（2k﹣，2k+），k∈Z B．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈ZC．（4k﹣，4k+），k∈Z D．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z10．已知双曲线E，其一渐近线被圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9所截得的弦长等于4，则E的离心率为（）A．B．C．或D．或11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，α∩平面AB1C=m，平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，β∩平面ADD1A1=n，则m，n所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．12．设函数f′（x）是定义（0，2π）在上的函数f（x）的导函数，f（x）=f（2π﹣x），当0＜x＜π时，若f（x）sinx﹣f′（x）cosx＜0，a=f（），b=0，c=﹣f（），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．设复数z满足z•i=2+3i，则z=．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若a=2，则△ABC面积的最大值为．16．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD面积为1，若=，BE⊥CD，则•=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}的前n项和，其中k为常数，a6=13．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表：良的概率；（2）根据表中的数据完成茎叶图：（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形为ABCD矩形，E为SA的中点，SA=SB，AB=2，BC=3．（1）证明：SC∥平面BDE；（2）若BC⊥SB，求三棱锥C﹣BDE的体积．20．已知点P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且=．（1）求E的方程；（2）设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．21．已知函数f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）设函数，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；（2）若过点P（a，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．2017年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A． B． C． D．【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即A=[1，2]，由B中不等式解得：x＞，即B=（，+∞），则A∩B=（，2]，故选：C．2．已知，则cos2α的值是（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由已知利用诱导公式可求cosα得值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵，∴cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故选：B．3．设a为实数，直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可．【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，所以应是充分不必要条件．故选：A4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣2）=（）A．B．﹣4 C．﹣ D．4【考点】函数奇偶性的性质．【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x）∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4故选B．5．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（）A．121 B．81 C．74 D．49【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81．故选：B．6．从区间（0，1）中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，则所得的两个数列使得斜边长不大于1的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：设两个直角边长为a，b，则由条件可知，则斜边长不大于1的事件为，a2+b2≤1，则由几何概型的概率可知所求的概率P==，故选B．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．25πB．50πC．75πD．100π【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球，故球O的半径R满足：4R2=32+42+52=50，故球O的表面积S=50π，故选：B8．设抛物线C：y2=3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|=3，则直线FA的倾斜角为（）A．B．C．或D．或【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．然后求解直线的斜率，得到直线FA 的倾斜角．【解答】解：设该A坐标为（x，y），抛物线C：y2=3x的焦点为F（，0），根据抛物线定义可知x+=3，解得x=，代入抛物线方程求得y=±，故A坐标为：（，），AF的斜率为：=，则直线FA的倾斜角为：或．故选：C．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（）A．（2k﹣，2k+），k∈Z B．（2kπ﹣π，2kπ+π），k∈ZC．（4k﹣，4k+），k∈Z D．（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z【考点】正弦函数的单调性．【分析】由题意可得+=42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f （x）的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜），A（，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，∴+=42，即12+=16，求得ω=．再根据•+φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣）．令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣π≤x≤4kπ+π，故f（x）的单调递增区间为（4kπ﹣π，4kπ+π），k∈Z，故选：D．10．已知双曲线E，其一渐近线被圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9所截得的弦长等于4，则E的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9可得圆心（1，3），半径为3，双曲线E，的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，渐近线被圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9所截得的弦长等于4，圆心到直线的距离为：由弦长公式可得2=，可得，解得，即c=a或c=a，即e==或e=，故选：D．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，α∩平面AB1C=m，平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，β∩平面ADD1A1=n，则m，n所成角的余弦值为（）A．0 B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，可得平面α即为平面DBB 1D1．设AC∩BD=O．可得α∩平面AB1C=m为OB1．同理可得：平面A1C1D即为平面β．又A1D ∥B1C，可得m，n所成角为∠OB1C，根据△AB1C为正三角形，即可得出．【解答】解：如图所示，∵BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，∴平面α即为平面DBB1D1．设AC∩BD=O．∴α∩平面AB1C=m为OB1．∵平面A1C1D过直线A1C1，与平面AB1C平行，而平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，∴平面A1C1D即为平面β．β∩平面ADD1A1=A1D=n，又A1D∥B1C，∴m，n所成角为∠OB1C，由△AB1C为正三角形，则cos∠OB1C=cos=．故选：D．12．设函数f′（x）是定义（0，2π）在上的函数f（x）的导函数，f（x）=f（2π﹣x），当0＜x＜π时，若f（x）sinx﹣f′（x）cosx＜0，a=f（），b=0，c=﹣f（），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的对称轴，令g（x）=f（x）cosx，根据函数的单调性判断函数值的大小即可．【解答】解：由f（x）=f（2π﹣x），得函数f（x）的图象关于直线x=π对称，当0＜x＜π时，若f（x）sinx﹣f′（x）cosx＜0，令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，在（π，2π）递减，故g（）＜g（）＜g（）=g（），即a＜b＜c，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．设复数z满足z•i=2+3i，则z=3﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由z•i=2+3i，得=．故答案为：3﹣2i．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，则的最大值为．故答案为：3．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若a=2，则△ABC面积的最大值为．【考点】余弦定理．【分析】由已知化简可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A=，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴A=，∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc，∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，即：bc≤4，当且仅当b=c等号成立，=bcsinA≤=，当且仅当b=c等号成立，则△ABC面积的最大值为．∴S△ABC故答案为：．16．在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD面积为1，若=，BE⊥CD，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，设出D，求解相关的坐标，利用向量的数量积求解D的坐标，然后求解即可．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设D（0，a），△ABD面积为1，可得B（，0），则C（，2a），=，则E（.），BE⊥CD，可得：（，a）（，）=0，解得a2=，=（0，﹣a），=（，a），•=﹣a2=﹣．给答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}的前n项和，其中k为常数，a6=13．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1），n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=6时，a6=13，解得k．进而得出．（2）===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+kn﹣[（n﹣1）2+k（n﹣1）]=2n﹣1+k．∴n=6时，a6=11+k=13，解得k=2．∴n≥2时，a n=2n﹣1+2=2n+1．当n=1时，a1=S1=1+2=3，上式也成立．∴a n=2n+1．（2）===，数列{b n}的前n项和T n=+…+=1﹣=．18．为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表：良的概率；（2）根据表中的数据完成茎叶图：（3）分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好？【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）利用列举法求出从10段中任取一段的基本事件有10个，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，利用列法求出A包含的基本事件个数，由此能求出在同一段中两岸环保评分均为优良的概率．（2）根据表中数据，能完成茎叶图．（3）分别求出南岸10段的分值数据的中位数、平均数和北岸10段分值数据的中位数、平均数，由此看出北岸保护更好．【解答】解：（1）从10段中任取一段的基本事件有10个，分别为：（77，72），（92，87），（84，78），（86，83），（74，83），（76，85），（81，75），（71，89），（85，90），（87，95），这些基本事件是等可能的，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，则A包含的基本事件为：（92，87），（86，83），（85，90），（87，95），共4个，∴P（A）=．（2）根据表中数据，完成下列茎叶图：（3）南岸10段的分值数据的中位数为：z1==82.5，南岸10段分值数据的平均数为：=81.3，北岸10段分值数据的中位数为：z2=，北岸10段分值数据的平均数：==83.7，由z1＜z2，，可以看出北岸保护更好．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形为ABCD矩形，E为SA的中点，SA=SB，AB=2，BC=3．（1）证明：SC∥平面BDE；（2）若BC⊥SB，求三棱锥C﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，设AC∩BD=O，由题意可得O为AC的中点，又E为AS的中点，由三角形中位线定理可得SC∥OE，再由线面平行的判定可得SC∥平面BDE；（2）过E作EH⊥AB，垂足为H，由线面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，则EH⊥BC，又EF⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，求得SM=1．进一步可得EH=．再求出三角形BCD的面积利用等体积法求得三棱锥C﹣BDE的体积．【解答】（1）证明：连接AC，设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点，在△ASC中，E为AS的中点，∴SC∥OE，又OE⊂平面BDE，SC⊄平面BDE，∴SC ∥平面BDE ；（2）解：过E 作EH ⊥AB ，垂足为H ， ∵BC ⊥AB ，且BC ⊥SB ，AB ∩SB=B ， ∴BC ⊥平面SAB ，∵EH ⊂平面ABS ，∴EH ⊥BC ，又EF ⊥AB ，AB ∩BC=B ， ∴EH ⊥平面ABCD ，在△SAB 中，取AB 中点M ，连接SM ，则SM ⊥AB ， ∴SM=1．∵EH ∥SM ，EH=．∴．∴V C ﹣BDE =V E ﹣BCD =．∴三棱锥C ﹣BDE 的体积为．20．已知点P （0，﹣2），点A ，B 分别为椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左右顶点，直线BP交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且=．（1）求E 的方程；（2）设过点的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于MN 以为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由向量共线定理求得Q 点坐标，由a=2，将Q 代入椭圆方程，即可求得b ，求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及△＞0，向量数量积的坐标运算•＞0，即可求得k 的取值范围．【解答】解：（1）由题意题意△ABP 是等腰直角三角形，a=2，B （2，0），设Q（x0，y0），由，则，代入椭圆方程，解得b2=1，∴椭圆方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，由坐标原点O位于MN为直径的圆外，则•＞0，即x1x2+y1y2＞0，则x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）=（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4=（1+k2）﹣2k×+4＞0，解得：k2＜4，综上可知：＜k2＜4，解得：＜k＜2或﹣2＜k＜﹣，直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．21．已知函数f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）设函数，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；（2）若过点P（a，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论h（x）零点的个数；（2）设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（2x+1）（x﹣1）2=0，x=﹣或1，∴x=﹣是h（x）的零点；∵g′（x）=k﹣，k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；﹣1＜k＜0，g（1）＞0，g（e1﹣k）=ke1﹣k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；综上所述，k＜﹣1时，h（x）有1个零点；﹣1≤k＜0时，h（x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率f′（t）=6t2﹣6t，∴切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），∵切线过P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①由题意，方程①有3个不同的解．令H（t）=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′（t）=12t2﹣6t﹣12at+6a=0．t=或a．a=时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；a时，在（﹣），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（），极小值为H（a）；a时，在（﹣∞，a），（，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H（）；要使方程①有三个不同解，则H（）H（a）＜0，即（2a﹣7）（a+1）（2a2﹣5a+5）＞0，∴a＞或a＜﹣1．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程；（2）由题意设P（，），由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案．【解答】解：（1）∵圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆C的参数方程为（α为参数），∵直线l的极坐标方程为，∴，即ρsinθ+ρcosθ﹣4=0，∴直线l的普通方程是x+y﹣4=0；（2）由题意设P（，），∴点P到直线l距离d===，∵，∴，即，∴点P到直线l距离的取值范围是[0，]．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）设f（x）的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．（2））由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，21+a≥2【解答】解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=．∴当x≤2时，f（x）＞2，6﹣2x＞2，解得x＜2；当2＜x＜4时，f（x）＞2得2＞2，无解；当x≥4时，f（x）＞2得2x﹣6＞2，解得＞4．所以不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．（2））∵|x﹣4|+|x﹣2|≥2，∴M=2，∵2x+a≥M的解集包含[0，1]，∴20+a≥2，21+a≥2，∴a≥1．故a的取值范围为：[1，+∞）。