2012高三数学一轮复习单元练习题：数列(4)

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2012届高考数学一轮复习单元测试卷第四单元数列(人教A版)

2012届高考数学一轮复习单元测试卷第四单元数列一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（2011信阳二模）等比数列{n a }中，若1a ＋2a ＝1，3a ＋4a ＝9，那么4a ＋5a 等于（） A ．27 B ．27或－27 C ．81 D ．81或－81 【答案】B【解析】223412()9a a q a a q +=+==，所以3q =±，所以4534()27a a q a a +=+=±，故选B .2.（2011珠海市五月高三综合测试二）设正项等比数列{}n a ，{}lg n a 成等差数列，公差lg3d =，且{}lg n a 的前三项和为6lg 3，则{}n a 的通项为（）A ．lg 3nB ．3nC ．3nD ．13n - 【答案】B【解析】依题意有13lg 3lg36lg3a +=，所以13a =.设等比数列{}n a 的公比为q ，则21a q a =，所以21lg lg lg lg3q a a d =-==，所以3q =，所以1333n n n a -=⨯=，故选B . 3.（2011福州一联）把1，3，6，10，15，21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示），则第七个三角形数是（） A . 27 B . 28 C . 29 D . 30【答案】B 【解析】观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律可得第七个三角形数是7(17)123467282++++++==.故选B . 4.(2011山东省济南市二模)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且24754a a a =⋅，2a =1，则1a = （）A.21B. 22C.2 D.2【答案】B【解析】由24754a a a =⋅得24264a a =，所以44,q q ==21a a q ==故选B. 15106315.(2011福建三明二中二模) 数列{}n a 满足*12463(),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则15796log ()a a a ++的值是（）A ．2-B ．12-C ．2D ．12【答案】A【解析】由已知得{}n a 是等差数列，公差为3d =，所以5792469a a a a a a d ++=+++36=，所以15796log ()2a a a ++=-.故选A .6. (2011甘肃诊断)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+，则53a a = （）A . 56B . 13C . 35D . 16【答案】 A【解析】因为15535()52a a S a +==，又52853()6S a a a =+=，所以5356a a =.故选A. 7.（2011大连双基测试）在等比数列{}n a 中，若23691032a a a a a =，则2912a a 的值为（）A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】B【解析】设公比为q ，由23691032a a a a a =得 5632a =，所以62a =，所以 2329666126()2a a q a a a q ===.故选B . 8.（2011浙江名校联盟二模）正项等比数列{}n a 中的前n 项和为n S ，且48a =，4138S S -=，则公比等于（）A ．5B ．3C ．2D ．2 9. (2011江西八校联考)设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和n S 为，14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*∈N n ，都有k n S S ≤成立，则k 的值为（）A ．22B ．21C ．20D ．19 【答案】C【解析】依题意即求n S 最大时的项数n .将两已知等式相减，可得公差2d =-，所以13999a d +=，解得139a =，所以392(1)412n a n n =--=-.当0n a >时，n S 取得最大值，所以4120n ->，得20.5n <，所以20k n ==.故选C .10.（2011丰台二模）已知数列{}n a 中，135a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2011a =（）A ．12-B . 23-C . 35D . 52【答案】 C【解析】由递推公式得223a =-，352a =，435a =，523a =-，……，所以数列是周期数列，周期为3，于是201167031135a a a ⨯+===.故选C .11. （2011杭州二中5月模拟）在数列｛a n ｝中，12a =，当n 为正奇数时，12n n a a +=+，当n 为正偶数时，12n n a a +=，则6a = （）A ．11B ． 17C ． 22D ．23 【答案】C【解析】逐项计算得该数列的前6项依次为：2，4，8，10，20，22，故选C .12. （2011大连双基测试）已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若1431,3,9a a S >>≤，设1n nb na =，则使1299100n b b b +++<成立的最大n 值为（） A ．97 B ．98C ．99D ．100【答案】 B【解析】因为3239S a =≤，即23a ≤，且11a >，43a >，首项及公差d 为整数，所以可得12a =，1d =，所以1n a n =+，所以111(1)1n b n n n n ==-++，1211111111223111n n b b b n n n n +++=-+-++-=-=+++所以991100n n <+成立的最大n 值为98.故选B .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. （2011惠州市二模）已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若3n n b a =，则数列{}n b 的前9项和等于 . 【答案】405【解析】由21151634153a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， 33(1)3,n a n n ∴=+-=39,n n b a n == 数列{}n b 的前9项和为99819405.2S +=⨯= 14.(2011上海奉贤区4月调研)在等比数列{}n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则54a a +的最小值为 . 【答案】【解析】由已知得445()16a a ⋅=，因为0n a >，所以得452a a ⋅=，所以45a a +≥=.15．（2011菏泽二模）已知21n a n =-（n N +∈），把数列{}n a 的各项排成如图所示的三角数阵，记(,)S m n 表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则(10,6)S 对应数阵中的数是 . 【答案】101【解析】观察知每一行的第一个数构成数列：1，3，7，13，21，…，相邻两项构成递推关系：12n n a a n +=+，所以 109871816181434a a a a =+=++=++65412481060870137891a a a =++=++=++=+=，即第10行的第一个数为91，所以第10行第6个数为101.16. (2011黑龙江四校联考) 设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12310b b b b a a a a ++++= .【答案】1033【解析】2(1)11n n n a =+-⨯=+，12n n b -=，所以12310124256512b b b b a a a a a a a a a ++++=+++++1012(124256512)1010103312-=++++++=+=-.三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17. （本小题满分10分）(2011江西师大附中等重点学校联考文科)已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求通项n a 及n S ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【解析】（1）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列，所以,212)1(219+-=--=n n a n2(1)19(2)202n n n S n n n -=+⨯-=-. （2）由题意13,n n n b a --=所以13n n n b a -=+，则 1231(133)20.2n n n n T S n n --=++++=-++18. （本小题满分10分）(2011福州市年3月质量检查文科)等差数列{}n a 中，已知......19171513119753112,341==a a ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若42,a a 分别为等比数列{}n b 的第1项和第2项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由已知有⎩⎨⎧=+=123311d a a ，解得3=d ，()n n a n 3313=-+=∴.（2）由（1）得,12,642==a a 则12,621==b b ，设{}n b 的公比为,q 则212==b b q ，从而n n n b 23261⋅=⋅=-，所以数列{}n b 的前n 项和()()12621216-=--=n nn s . 19. （本小题满分12分）（2011江西“八校”4月联合考试文科)数列{}n a 满足11a =，1122n nn nn a a a ++=+（n N +∈）. （1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）由已知可得1122n n n nn a a a ++=+，即11221n n n n a a ++=+，即11221n nn na a ++-= ∴ 数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（2）由（1）知122(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴ 21n n a n =+. （3）由（2）知2nn b n =⋅231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅，相减得：23112(12)22222212n nn n n S n n ++--=++++-⋅=-⋅-11222n n n ++=--⋅∴ 1(1)22n n S n +=-⋅+.20.（本小题满分12分）（2011东北师大附中第三次摸底）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对*n N ∈，都有52n n a S =+成立，(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列2log n n b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n M . 【解析】(1)当1n =时，1115252a S a =+=+，∴112a =-. 当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()1112255n n a a -=--- 11,4n n a a -∴=-即114n n a a -=-∴数列{}n a 成等比数列，其首项112a =-，公比为14-， ∴数列{}n a 的通项公式11124n n a -⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭.(2)由(1)知()1212nnn a -=-⋅,2log 12n n b a n ∴==-.{}12,n n n b b b +-=-∴为等差数列,且首相为11b =-,公差为 2.-()21122n n n M n -+-∴==-21.（本小题满分13分）（2011郑州市五校联考）在数列{n a }中，311=a ，并且对任意n N *∈，2n ≥都有n n n n a a a a -=⋅--11成立，令)(1*∈=N n a b nn . (1)求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}na n的前n 项和n T . 【解析】（1）当1n =时，3111==a b ，当2≥n 时，由n n n n a a a a -=⋅--11得1111n n a a --=，所以11=--n n b b ，所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n ，（2）1111()(2)22n a n n n n n ==-++，所以11111111(123243511n T n n =-+-+-++--+ 2211131135)[()]222124(32)n nn n n n n n ++-=-+=+++++ 34(1)244(1)(2)n n n ++=-++.22. （本小题满分13分）(2011福建四地六校第三次联考理科)数列{}n a 满足11a =，22a =，2221(1cos )2sin 322n n n n a a ππ+=-+，1,2,3,n =.(1)求4,3a a 及数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a a a S +⋅⋅⋅++=21，求n S 2. 【解析】（1）32122sin22cos 31112123=+=+=+⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a ππ，3423231122sin 222cos 31122224=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a ππ 一般地，即21212n n a a +--=，2221212112121(1cos )2sin 2322n n n n n a a a ππ+----=-+=+即数列21{}n a -是以11a =，公差为2的等差数列.1212-=∴-n a nn n m a n a n a 2222223222sin 222cos 311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ππ 又，即数列2{}n a 是首项为22a =，公比为23的等比数列， 112232232--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n na a .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-==*-*N m m n N m m n n a n n ,2,322,12,22综上可得. （2）()()n n n n n a a a a a a a a a a S 2421231212212+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅++=--()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=-132********n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=32662.。

2012高三数学一轮复习阶段性测试题(6)：数列

阶段性测试题六(数列)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(文)(2011·北京朝阳区期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－2[答案] A[解析] S 1＝2a 1－2＝a 1，∴a 1＝2，S 2＝2a 2－2＝a 1＋a 2，∴a 2＝4.(理)(2011·江西南昌市调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴{S n n }是首项为a 1，公差为d2的等差数列，∵S 33－S 22＝1，∴d2＝1，∴d ＝2. 2．(2011·北京西城区期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n[答案] D[解析] 等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝0，即a 2(8＋q 3)＝0，∴q ＝－2，∴a 5a 3＝q 2＝4，a n ＋1a n＝q ＝－2，S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1－q 51－q 3＝113，都是确定的数值，但S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n的值随n 的变化而变化，故选D.3．(文)(2011·巢湖质检)设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2[答案] C[解析] ∵a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，∴a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2，a 5＝0，…，即a 2k －1＝0，a 2k ＝2，∴a 2011＝0.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.4．(2011·辽宁丹东四校联考)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为正偶数时，n 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．3或11[答案] D[解析] ∵{a n }与{b n }为等差数列，∴a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，将选项代入检验知选D.5．(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.6．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12[答案] C[解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12. ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q＝5－12，故选C.7．(文)(2011·四川资阳模拟)数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －49，当该数列的前n 项和S n达到最小时，n 等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27[答案] A[解析] 解法1：a 1＝－47，d ＝2，∴S n ＝－47n ＋n (n －1)2×2＝n 2－48n ＝(n －24)2－576，故选A.解法2：由a n ＝2n －49≤0得n ≤24.5，∵n ∈Z ，∴n ≤24，故选A.(理)(2011·山东实验中学期末)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 [答案] B[解析] ∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0，∵a 11a 10<－1，∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，故选B.8．(文)(2011湖北荆门市调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2046＋a 1978－a 22012＝0，{b n }是等比数列，且b 2012＝a 2012，则b 2010·b 2014＝( )A ．0B ．1C ．4D ．8[答案] C[解析] ∵a 2046＋a 1978＝2a 2012，∴2a 2012－a 22012＝0， ∴a 2012＝0或2，∵{b n }是等比数列，b 2012＝a 2012，∴b 2012＝2， ∴b 2010·b 2014＝b 22012＝4.(理)(2011·豫南九校联考)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1033B ．1034C ．2057D ．2058[答案] A[解析] a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋1×(210－1)2－1＝210＋9＝1033.9．(2011·重庆南开中学期末)已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝3，前三项的和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189[答案] C[解析] ∵a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，∴q 2＋q －6＝0，∵a n >0，∴q >0，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 2＝84，故选C.10．(2011·四川广元诊断)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( )A ．1004B ．1005C ．1006D ．1007 [答案] C[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1＋3×22d ＝a 1＋4d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2， ∵a m ＝a 1＋(m －1)d ＝1＋2(m －1)＝2m －1＝2011，∴m ＝1006，故选C.11．(2011·辽宁铁岭六校联考)设{a n }是由正数组成的等差数列，{b n }是由正数组成的等比数列，且a 1＝b 1，a 2003＝b 2003，则( )A ．a 1002>b 1002B ．a 1002＝b 1002C ．a 1002≥b 1002D ．a 1002≤b 1002[答案] C[解析] a 1002＝a 1＋a 20032≥2a 1a 20032＝b 1b 2003＝b 1002，故选C.12．(2011·蚌埠二中质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A ．50项B ．34项C ．6项D ．5项[答案] D[解析] a 1＝2＝b 1，a 2＝8＝b 3，a 3＝14，a 4＝20，a 5＝26，a 6＝32＝b 5，又b 10＝210＝1024>a 100，b 9＝512，令6n －4＝512，则n ＝86，∴a 86＝b 9，b 8＝256，令6n －4＝256，∵n ∈Z ，∴无解，b 7＝128，令6n －4＝128，则n ＝22，∴a 22＝b 7，b 6＝64＝6n －4无解，综上知，数列{a n }的前100项中与{b n }相同的项有5项．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·四川广元诊断)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1a n，a 1＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.[答案] 2[解析] a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1－(－1)＝2，∴{a n }的周期为3，且a 1a 2a 3＝－1，∴P 2011＝(a 1a 2a 3)670·a 2011＝(－1)670·a 1＝2.14．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．15．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 3＋a 10a 1＋a 8＝________.[答案] 3－2 2[解析] ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，设数列{a n }公比为q ，则a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝－1±2，∵a n >0，∴q ＝2－1，∴a 3＋a 10a 1＋a 8＝q 2＝3－2 2. 16．(文)(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c 的值为________．[答案] 22[解析] 由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q ＝2，∴b ＝2×2＝4由横行等差知c 下边为4＋62＝5，故c ＝5×2＝10，由纵列公比为2知a ＝1×23＝8，∴a ＋b ＋c ＝22.(理)(2011·华安、连城、永安、泉港、漳平、龙海六校联考)有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为________． [答案] 426[解析] 第1斜行有一个数字，第2斜行有2个数字，…第n 斜行有n 个数字，第20行从左向右数第10个数字在第29斜行，为倒数第10个数字，∵29×(29＋1)2＝435，∴第20行从左向右数第10个数字为435－9＝426.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2011·四川广元诊断)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝3－b n .①求数列{a n }和{b n }的通项公式；②设c n ＝14a n ·13b n ，求数列{c n }的前n 项和R n 的表达式．[解析] ①由题意得a n ＝S n －S n －1＝4n －4(n ≥2) 而n ＝1时a 1＝S 1＝0也符合上式 ∴a n ＝4n －4(n ∈N ＋)又∵b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ， ∴b n b n －1＝12∴{b n }是公比为12的等比数列，而b 1＝T 1＝3－b 1，∴b 1＝32，∴b n ＝32⎝⎛⎭⎫12n －1＝3·⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N ＋)． ②C n ＝14a n ·13b n ＝14(4n －4)×13×3⎝⎛⎭⎫12n＝(n －1)⎝⎛⎭⎫12n，∴R n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n＝⎝⎛⎭⎫122＋2·⎝⎛⎭⎫123＋3·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫123＋2·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －2)⎝⎛⎭⎫12n ＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴R n ＝1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n.18．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R )，n ∈N *.(1)求q 的值；(2)若a 3＝8，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和． [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn 2－2n ＋q －p (n －1)2＋2(n －1)－q ＝2pn －p －2 ∵{a n }是等差数列，∴p －2＋q ＝2p －q －2，∴q ＝0. (2)∵a 3＝8，a 3＝6p －p －2，∴6p －p －2＝8，∴p ＝2， ∴a n ＝4n －4，又a n ＝4log 2b n ，得b n ＝2n －1，故{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列．所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1－2n )1－2＝2n－1.19．(本小题满分12分)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n .(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627.(2)⎩⎨⎧b n ＋1＝13S n ①b n＝13Sn －1②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ，∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2)∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2).(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43)2n ]1－⎝⎛⎭⎫432＝37[(43)2n －1]． 20．(本小题满分12分)(2011·湖南长沙一中月考)已知f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意f (a n )＝m 2·m n －1，即ma n ＝m n ＋1.∴a n ＝n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1①①式两端同乘以2得，2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2②②－①并整理得，S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立，①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立； ②当0<m <1时，lg m <0，所以n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23.综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．21．(本小题满分12分)(2011·烟台调研)将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． [解析] (1)化简f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)＝sin x 4cos x 4·⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－14sin x 其极值点为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π2为首项，π为公差的等差数列，a n ＝π2＋(n －1)·π＝2n －12π(n ∈N *)．(2)b n ＝2n a n ＝π2(2n －1)·2n∴T n ＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ]2T n ＝π2[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1]相减得，－T n ＝π2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1]∴T n ＝π[(2n －3)·2n ＋3]．22．(本小题满分12分)(文)(2011·重庆南开中学期末)已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＋a n n ＋1＝8a n ＋1－a n(n ∈N *)，设b n ＝1a n ，S n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <14.[解析] (1)∵a n ＋1＋a n n ＋1＝8a n ＋1－a n，∴a 2n ＋1－a 2n ＝8(n ＋1)，∴a 2n ＝(a 2n －a 2n －1)＋(a 2n －1－a 2n －2)＋…＋(a 22－a 21)＋a 21＝8[n ＋(n －1)＋…＋2]＋9＝(2n ＋1)2，∴a n ＝2n ＋1. (2)b 2n＝1a 2n＝1(2n ＋1)2<14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ∴S n <14[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝14(1－1n ＋1)<14.(理)(2011·四川资阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)令c n ＝a n b n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式 ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)①∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．(3)c n ＝a n b n 4＝n (3n ＋1)＝n ·3n ＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n )＋(1＋2＋…＋n ) 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，① 则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1② ①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ×3n ＋1 ∴H n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34， ∴数列{c n }的前n 项和T n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34＋n (n ＋1)2.。

2012届高三数学一轮复习：数列练习题4

第6章第4节一、选择题1．(文)(2010·重庆理，1)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8[答案] A[解析] a2010＝a2007·q3，故q3＝8，∴q ＝2.(理)(2010·黑龙江哈三中)已知数列{an}满足a1＝4，an ＝4－4an －1(n≥2)，则a5＝( ) A.125B.73C.115D.2411 [答案] A[解析] a1＝4，a2＝4－4a1＝3，a3＝4－4a2＝83，a4＝4－4a3＝52，a5＝4－4a4＝125.2．(2010·大庆铁人中学)若“*”表示一种运算，且满足如下关系：(1)1]N*)．则n*1＝( )A ．3n －2B ．3n ＋1C ．3nD ．3n －1 [答案] A[解析] 设n*1＝an ，于是有a1＝1，an ＋1＝3＋an ，则数列{an}是等差数列，公差d ＝3，所以n*1＝an ＝a1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2.故选A.3．(文)(2010·安徽安庆联考)已知等比数列{an}中有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] C[解析] ∵a3a11＝a72＝4a7，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8.(理)(2010·昌南模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx 的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列(1f n )的前n 项和为Sn ，则S2 010的值为( )A. 2 0072 008B. 2 0082 009C.2 0092 010D.2 0102 011[答案] C[解析] 0＝f ′(x)＝2x ＋b ，∴0＝f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f(n)＝n2＋n ，∴1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴Sn ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝n n ＋1∴S2010＝20102011.4．(2010·浙江金华十校)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn 为{an}的前n 项和，则S3－S2S5－S3的值为( ) A ．2B ．3 C.15 D ．不存在[答案] A[解析] 由条件a32＝a1a4，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，∴a1d ＋4d2＝0，∵d≠0，∴a1＝－4d ，∴S3－S2S5－S3＝a3a4＋a5＝a1＋2d 2a1＋7d ＝－2d －d＝2. 5．(文)(2010·马鞍山市质检)等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S2n ＝3(a1＋a3＋…＋a2n －1)，a1a2a3＝8，则a10等于( )A ．－512B ．1024C ．－1024D ．512[答案] D[解析] ∵{an}为等比数列，a1a2a3＝8，∴a23＝8，∴a2＝2，又S2n ＝a1＋a2＋…＋a2n ＝3(a1＋a3＋…＋a2n －1)，∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n ＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n －1)，∴q ＝2，∴a10＝a2q8＝2×28＝512.(理)(2010·长沙模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝⎠⎛03(1＋2x)dx ，S20＝18，则S30为( )A ．36B ．27C ．24D ．21[答案] D[解析] S10＝⎠⎛03(1＋2x)dx ＝(x ＋x2)03＝12，又S20＝18，且{an}等比数列，∴S10，S20－S10，S30－S20，也成等比数列，即：12,6，S30－18成等比数列，∴S30－18＝3，S30＝21，故选D. 6．(2010·东北三校)在圆x2＋y2＝5x 内，过点⎝⎛⎭⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an ，若公差d ∈⎝⎛⎦⎤16，13，那么n 的取值集合为( ) A ．{4,5,6}B ．{6,7,8,9}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6} [答案] A[解析] 圆心到点⎝⎛⎭⎫52，32的距离 d ＝⎝⎛⎭⎫52－522＋⎝⎛⎭⎫32－02＝32，圆半径为52， ∴a1＝2⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫322＝4，an ＝5. ∴d ＝an －a1n －1＝1n －1，∵16<d≤13，∴16<1n －1≤13，∴3≤n －1<6，∴4≤n<7， ∵n ∈N*，∴n ＝4,5,6.故选A.7．运行如图的程序框图，则输出的结果是( )A ．2009B ．2010C.12009D.12010[答案] D[解析] 如果把第n 个a 值记作an ，第1次运行后得到a2＝a1a1＋1，第2次运行后得到a3＝a2a2＋1，……，第n 次运行后得到an ＋1＝an an ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2010项．将an ＋1＝an an ＋1变形为1an ＋1＝1an ＋1，故数列{1an }是首项为1，公差为1的等差数列，故1an ＝n ，即an ＝1n ，故输出结果是12010.8．(2010·浙江宁波十校)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值是8，则S0的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] A[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3nS0＋3n －1＋3n －2＋…＋3＋1≥20103n －1S0＋3n －2＋…＋3＋1<2010， ∵n ＝8，易验证S0＝0，故选A.9．(文)(2010·海淀模拟)数列{an}的前n 项和是Sn ，若数列{an}的各项按如下规律排列： 12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，…，若存在正整数k ，使Sk<10，Sk ＋1≥10，则ak ＝( )A.17B.67C.57D.37[答案] C[解析] S 20＋1＝12＋1＋23＋1＋2＋34＋1＋2＋3＋45＋1＋2＋3＋4＋56＋1＋2＋3＋4＋5＋67＝12＋1＋32＋2＋52＋3＝10.5∵67>0.5，∴S20<10，S21＝10.5>10，即k ＝20∴a20＝57.(理)(2010·杭州质检)已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1(1,2)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn ，yn)，Pn ＋1(xn ＋1，yn ＋1)(n ∈N*)，若点Pn(xn ，yn)到点Pn ＋1(xn ＋1，yn ＋1)的变化关系为⎩⎪⎨⎪⎧xn ＋1＝yn －xn yn ＋1＝yn ＋xn (n ∈N*)，则|P2 009P2 010|等于( ) A ．2 1 004B ．1 0052C ．22 010D ．2 0102[答案] A[解析] P 1(1,2)→P2(1,3)→P3(2,4)→P4(2,6)→P5(4,8)→P6(4,12)→P7(8,16)→P8(8,24)→P9(16,32)→P10(16,48)→P11(32,64)→P12(32,96)→….由此可归纳出：P2n －1(2n －1,2n)，p2n(2n －1,3×2n －1)，所以P2 009(21 004,21 005)，P2 010(21 004,3×21 004)，所以|P2 009P2 010|＝21 004.10．(文)(2010·广东罗湖区调研)在等差数列{an}中，其前n 项和为Sn.若a2，a10是方程x2＋12x －8＝0的两个根，那么S11的值为( )A ．44B ．－44C ．66D ．－66[答案] D[解析] ∵a2＋a10＝－12，∴S11＝11×a1＋a112＝11×a2＋a102＝11×－122＝－66.(理)(2010·衡水市模考)已知公比不为1的正项等比数列{an}的通项公式为an ＝f(n)(n ∈N*)，记f(x)的反函数为y ＝f －1(x)，若f －1(3)＋f －1(6)＝7，则数列{an}的前6项乘积为( )A ．33B ．36C ．63D ．183 [答案] D[解析] ∵f(x)的反函数为f －1(x)，设f －1(3)＝m ，f －1(6)＝－k ，则f(m)＝3，f(k)＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧am ＝3ak ＝6， ∵{an}为等比数列，m ＋k ＝7，∴a1qm －1＝3，a1qk －1＝a1q6－m ＝6，两式相乘得a12q5＝18，∴{an}的前6项乘积a1a2a3a4a5a6＝a16·q15＝(a12q5)3＝183，故选D.二、填空题11．(2010·新乡市模考)设等差数列{an}、{bn}的前n 项和分别为Sn 、Tn ，若对任意自然数n都有Sn Tn ＝2n －34n －3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为________． [答案] 1941[解析] a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝2a62b6＝a1＋a11b1＋b11＝S11T11＝2×11－34×11－3＝1941. 12．(2010·浙江金华十校模考)数列{an}中，Sn 是前n 项和，若a1＝1,3Sn ＝4Sn －1，则an ＝________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2 n≥2 [解析] ∵3Sn ＝4Sn －1，∴Sn Sn －1＝43，又S1＝a1＝1， ∴{Sn}是以S1＝1，公比为43的等比数列，∴Sn ＝⎝⎛⎭⎫43n －1， ∴当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2 n≥2. 13．(文)(2010·浙江杭州质检)已知数列{an}满足：a1＝1，如果an 是自然数，则an ＋1＝an －2，否则an ＋1＝an ＋3，则a6＝________.[答案] 1[解析] a1＝1∈N ，∴a2＝a1－2＝－1，a2＝－1∉N ，∴a3＝a2＋3＝2；依次类推有：a4＝0，a5＝－2，a6＝1.[点评] 此题若求a2010＝？，则需研究其周期，你知道其周期是几吗？(理)(2010·山东聊城联考)设集合M ＝{m|m ＝7n ＋2n ，n ∈N*，且m<200}，则集合M 中所有元素的和为________．[答案] 450[解析] ∵n ＝6时，m ＝7×6＋26＝106，n ＝7时，m ＝7×7＋27＝177，又28＝256，∴由m<200知，n≤7，n ∈N*，故集合M 中所有元素之和为S ＝7×(1＋2＋…＋7)＋(21＋22＋…＋27)＝450.14．(文)(2010·上海松江区模考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为____．[答案] 2500[解析] 设正整数x ＝(2n ＋2)2－(2n)2＝8n ＋4，由1≤x≤200及n ∈Z 知，0≤n≤24，∴所有这样的神秘数之和为25×4＋1962＝2500. (理)已知数列{an}满足a1＝23，且对任意的正整数m 、n 都有am ＋n ＝am·an ，若数列{an}的前n 项和为Sn ，则Sn ＝________.[答案] 2－2n ＋13n[解析] 令m ＝1，得an ＋1＝a1·an ，即an ＋1an ＝a1＝23，可知数列{an}是首项为a1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是Sn ＝a11－qn 1－q ＝23×[1－23n]1－23＝2[1－(23)n]＝2－2n ＋13n .三、解答题15．(2010·山东滨州)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2n 项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n 项和为Tn ，求Tn 的表达式．[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a1＋3×22d ＋5a1＋4×52d ＝50a1＋3d 2＝a1a1＋12d，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3d ＝2， ∴an ＝a1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，即an ＝2n ＋1.(2)由已知得，bn ＝a2n ＝2×2n ＋1＝2n ＋1＋1∴Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n ＋1＋1)＝41－2n 1－2＋n ＝2n ＋2－4＋n. 16．(文)已知{an}是由正数组成的数列，a1＝1，点(an ，an ＋1)(n ∈N*)在函数y ＝x2＋2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝2，bn ＋1＝bn ＋2an ＋1，求bn.[解析] (1)由已知得an ＋1＝an ＋2，即an ＋1－an ＝2，a1＝1所以数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列．故an ＝2n －1.(2)由(1)知：an ＝2n －1，从而bn ＋1－bn ＝22n ＋1.∴bn ＝(bn －bn －1)＋(bn －1－bn －2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝22n －1＋22n －3＋…＋23＋2＝24n －14－1＝24n －13. (理)(2010·山东潍坊)已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n 项和为Sn ，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a4.(1)求证：数列{bn}中的每一项都是数列{an}中的项；(2)若a1＝2，设cn ＝2log2bn·log2bn ＋1，求数列{cn}的前n 项和Tn ； (3)在(2)的条件下，若有f(n)＝log3Tn ，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值．[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d ，由S4＋a2＝2S3得，4a1＋6d ＋a1＋d ＝6a1＋6d ， ∴a1＝d则an ＝a1＋(n －1)d ＝na1，∴b1＝2a1，b2＝4a1等比数列{bn}的公比q ＝b2b1＝2则bn ＝2a1·2n －1＝2n·a1∵2n ∈N*，∴{bn}中的每一项都是{an}中的项．(2)当a1＝2时，bn ＝2n ＋1，cn ＝2n ＋1n ＋2 ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 则Tn ＝c1＋c2＋…＋cn＝2⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2 ＝2⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝n n ＋2(3)f(n)＝log3Tn ＝log3n n ＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝log313＋log324＋…＋log3n n ＋2＝log3⎝⎛⎭⎫13·24·…·n n ＋2＝log32n ＋1n ＋2≤log321＋11＋2＝－1，即f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值为－1.17．(文)(2010·湖南湘潭市)已知数列{an}的前n 项和为Sn ＝3n ，数列{bn}满足b1＝－1，bn ＋1＝bn ＋(2n －1)(n ∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)若cn ＝an·bn n ，求数列{cn}的前n 项和Tn.[解析] (1)∵Sn ＝3n ，∴Sn －1＝3n －1，(n≥2)∴an ＝Sn －Sn －1＝3n －3n －1＝2·3n －1(n≥2)．当n ＝1时，a1＝S1＝3≠2×31－1，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3 n ＝12·3n －1 n≥2.(2)∵bn ＋1＝bn ＋(2n －1)∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，……bn －bn －1＝2n －3，以上各式相加得bn －b1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝n －11＋2n －32＝(n －1)2 ∵b1＝－1，∴bn ＝n2－2n(3)由题意得cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3 n ＝12n －23n －1 n≥2当n≥2时Tn ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1，∴3Tn ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n ，相减得：－2Tn ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n∴Tn ＝(n －2)×3n －(3＋32＋33＋…＋3n －1)＝(n －2)×3n －3n －32＝2n －53n ＋32，当n ＝1时，Tn ＝－3也满足，∴Tn ＝2n －53n ＋32(n ∈N*)． (理)各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn ，函数f(x)＝12px2－(p ＋q)x ＋qlnx.(其中p ，q均为常数，且p>q>0)，当x ＝a1时，函数f(x)取得极小值，点(an,2Sn)(n ∈N*)均在函数y ＝2px2－q x ＋f ′(x)＋q 的图象上(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数)．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式； (3)记bn ＝4Sn n ＋3·qn ，求数列{bn}的前n 项和Tn. [解析] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝px －(p ＋q)＋q x＝px2－p ＋q x ＋q x ＝x －1px －q x，令f ′(x)＝0得，x ＝1或x ＝q p ，∵p>q>0，∴0<q p <1.当x 变化时，f ′(x)、f(x)的变化情况如下表：所以f(x )在x ＝1处取得极小值，即a1＝1. (2)依题意，y ＝2px2－q x ＋f ′(x)＋q ＝2px2＋px －p ，2Sn ＝2p·an2＋p·an －p(n ∈N*)，所以2a1＝2p·a12＋p·a1－p.由a1＝1得，p ＝1.∴2Sn ＝2an2＋an －1①当n≥2时，2Sn －1＝2an －12＋an －1－1② ①－②得，2an ＝2(an2－an －12)＋an －an －1. ∴2(an2－an －12)－(an ＋an －1)＝0，∴(an ＋an －1)⎝⎛⎭⎫an －an －1－12＝0，由于an ＋an －1>0，∴an －an －1＝12(n≥2)，所以{an}是以a1＝1，公差为12的等差数列，∴an ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.(3)Sn ＝n ＋n n －12·12＝n2＋3n 4，∵bn ＝4Sn n ＋3·qn ＝nqn ， ∴Tn ＝q ＋2q2＋3q3＋…＋(n －1)qn －1＋nqn ③ 由已知p>q>0，而由(2)知p ＝1，∴q≠1.∴qTn ＝q2＋2q3＋3q4＋…＋(n －1)qn ＋nqn ＋1④ ③－④得：(1－q)Tn ＝q ＋q2＋q3＋…＋qn －1＋qn －nqn ＋1 ＝q 1－qn 1－q－nqn ＋1， ∴Tn ＝q 1－qn 1－q 2－nqn ＋11－q.。

2012年高考总复习：数列

数列（2012年高考总复习）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a 、b 、c 成等差数列，则函数f (x )＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定2．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 203．某厂2004年12份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2004年度产值的月平均增长率为( )A ．11nB 1C ． 1D 4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2+a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．50 B ．49 C ．48 D ．475．已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n +1＝3S n (n ≥1)，则下列结论正确的是( )A ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等比数列B ．数列{a n }是等比数列C ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列D ．数列{a n }是等差数列6．数列{a n }的前n 项和S n ＝5n －3n 2(n ∈N ＊)，则有( )A ．S n >na 1>na nB ．S n <na n <na 1C ．na n >S n >na 1D ．na n <S n <na 17．等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21．5C ．－20．5D ．－208．已知关于x 的方程(x 2－2x +m )(x 2－2x +n )=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|＝( )A ．12B ．38C ．34D ．19．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比为－12，用∏n 表示它的前n 项之积，即∏n = a 1·a 2……a n ，则∏n 中最大的是( )A ．∏11B ．∏10C ．∏9D ．∏810．已知数列{a n }满足a 0=1，a n =a 0+a 1+…+a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．21n (n +1) D ．2n －1 11．设数列{a n }是公比为a (a ≠1)，首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，对任意的n ∈N ＊，点(S n ，S n +1)在直线( )A ．y =ax －b 上B ．y =ax+b 上C ．y =bx+a 上D ．y =bx －a 上12．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

高三数学一轮复习备考试题：数列(含答案)

高考一轮复习备考试题(附参考答案)数列一、填空题1、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若12=a ，2682a a a +=，则6a 的值是 ▲2、（2013年江苏高考）在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为。

3、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．4、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝ ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1324412a a a a S +=++=，，则数列{}n a 的公比q 为 ▲6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列{}n a 的各项均为正数,3614,,2a a ==则45a a += ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ▲8、（南通市2014届高三第三次调研）设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = -1，S 3 =6，则S 6 = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}3n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ▲11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d 的值为 ▲二、解答题1、（2014年江苏高考）设数列{}的前n 项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H 数列。

高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列》练习题（含答案）一、单选题1．数列{}n a 满足：13a =，12n n a a +=-，则100a 等于（） A ．98B ．195-C ．201-D ．2012．在等比数列中，1912,,833n a a q ===，则项数n 为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，如果1a ，2a ，5a 成等比数列，那么d 等于（） A ．2或2-B ．2-C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 的前n 和为n S ，22S =，412S =，则56a a +=（） A ．48B ．50C ．60D ．625．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若36S =，618S =，则9S =（）． A ．30B ．36C ．40D ．486．自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（）A ．201320143⨯+B ．201320142⨯+C ．201320141⨯+D ．20132014⨯7．已知{}n a 为等差数列，且1713πa a a ++=，则()212tan a a +的值为（） A 3B ．3-C ．3±D ．38．已知数列{}n a 中，112n a n =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大值时n 的值为（） A ．4B ．5C ．6D ．79．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()()121n n n n S S S n n --=+-()*,2n N n ∈≥，则22n nS n -的最小值为（）A ．23B ．3C ．2-D ．1-10．已知无穷递减实数列{}n a 满足11a =，则下列可作为{}n a 递推公式*()n N ∈的是（） A ．1sin n n a a += B ．1cos n n a a += C ．12na n a +=D ．12log n n a a +=11．数列}{n a 的首项12a =，且)(146n n a a n N *+=+∈，令)(2log 2n n b a =+，则1220212021b b b ++⋅⋅⋅+=（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．202312．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*111n n na S n +++=∈N ，则24816S S S S +++=（） A ．398B ．7916C ．418D ．5二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若171251,0S a ==，则{}n a 的通项公式为_____________14．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若小暑、立秋、白露的日影子长的和为18尺，霜降的日影子长为10尺，则秋分的日影子长为_______________________尺．15．记n T 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21a =，54a =，则10T =________． 16．等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且38S S =，7k S S =，则k 的值为__________. 17．已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()(0,)2f x wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S =___________.三、解答题18．已知等差数列{}n a 中，61013,25a a == （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n a 的第8项，第16项．19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，2716a a +=，10100S =．求数列{}n a 的通项公式.20．已知数列{}n c 的前n 项之积为n T ，即12n n T c c c =，且()110n n n T +=，lg 1n n a c =-.（1）求数列{}n c 、{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n b =n *∈N ，均有121113nb b b +++<.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）当数列{}n a 为等差数列时，记数列{}3nn a 的前n 项和为n T ，证明：1n T <．22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .23．已知等差数列{}n a 中，42a =，()5433a a a =-，数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，试比较1n n a a +⋅与12n S +的大小；（3）任意*N n ∈，()()2322,?n n nn n n a a n b c a n b +⎧+--⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为偶数，为奇数，求数列{}n c 的前2n 项和．24．设函数()11lnxf x x-=+，设11a =，()1231,2n n a f f f f n n n n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若112b =，()()()11,211nn n b n n a a *+=∈≥++N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()11n n a S λ+<+对一切n *∈N 成立，求λ的取值范围．25．设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足()11na nn nb a +=+-，求数列{}n b的前2n 项的和2n T参考答案1．B2．B3．C 4．B5．B6．B7．B8．B9．D10．A11．C12．B13．12n a n =- 14．8.4 15．45 16．4 17．18．（1）()*35n a n n N =-∈；（2）81619,43a a ==．19．21n a n =-.20．（1）对任意的n *∈N ，12n n T c c c =.当2n ≥时，()()1211101010n n n n n n n n T c T +--===，当1n =时，21110c T ==满足210n n c =，故()210n n c n N *=∈，所以，lg 121n n a c n =-=-；（2）证明：()()1211212n n a a n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，故数列{}n a 为等差数列，所以，()122n n n a a S n +==，n b ∴=(2124nn n ++=+，故当2n ≥时，n b=<2===当1n =时，1113b =<，当2n ≥时，12111111111132411n b b b nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭223=<<，故对任意的n *∈N ，121113nb b b +++<. 21．证明：（1）由11n n n a a S λ+=-，得1211n n n a a S λ+++=-，两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，由121111a a S a λλ=-=-；11a =，得21a λ=-，又31a a λ-=，得31a λ=+，所以1(1)11λλλ+--=--，解得4λ=；所以3124d a a =-=，解得2d =，所以12(1)21n a n n =+-=-，令3n n na b =，则1(21)()3n n b n =-⋅；所以121111()3()(21)()333nnT n =⨯+⨯+⋯+-⨯，则23111111()3()(21)()3333n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得，21231121()[1()]2111111121332[()()()](21)()2(21)()()(121)1333333333313n n n n n n T n n n -++-=+++⋯++--⋅=+⨯--=-+--，所以113()13n n T n =-⋅<．22．（1）a n ＝2n －1(n ∈N *)；（2）T n ＝(2n －3)×2n ＋3. 23．（1）由题意可得:113243a d a d d +=⎧⎨+=⎩，解得:111a d =-⎧⎨=⎩，故()1112n a n n =-+-⨯=-因为数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⋅=，（2）由（1）知：()()212132n n a a n n n n +⋅=--=-+，()()12322n n n n n S -+--==，所以()()1122n n n S ++-=所以()()212122n S n n n n +=+-=--，所以11224n n n a a S n ++⋅-=-+，所以当2n <时，112n n n a a S ++⋅>，当2n =时，112n n n a a S ++⋅=，当3n ≥时，112n n n a a S ++⋅<；（3）当n 为奇数时，2n nn c =，当n 为偶数时，()()2223443161641616222nnnnn n n n n n n c ---+--+-=-==222222224161644(2)222222n n n n n n n n n n n n n n ---+-+-=-=-=- 对于任意正整数n ，有211321132111321222nk k n k n c c c c ---=-=+++=+++∑①， 213212111123214222n k n n k n n c --+=--=+++∑②，①-②得21321212111131222112141422222214nn k n n n k n n c --++=---=+++-=---∑ 441215863334224664n n nn n -+-=---=-⋅⋅⋅，所以211110659184n k n k n c --=+=-⨯∑，以及22421ni n i c c c c ==+++∑22222226222204224862220426486(2)(22)2222222222n n n n --=-+-+-+-++-2220104244n n n n -=-+=，因此2221211111106591844nnnk k k n n k k k n n c c c ---===+=+=-+⨯∑∑∑，所以，数列{}n c 的前2n 项和为211106591844n n n n--+-+⨯. 24．（1）1,11,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）14λ>．25．选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列得()()211128a a a +=+，解得11a =.∴()*21N n a n n =-∈.（2）()()()112121na n nn n n b a n +=+-=+--，()()()22122211357 (434122221)n n n T n n n+-=+-+-+---+-=-+⎡⎤⎣⎦-. 选②，（1）由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列. 由69a =得1529a +⨯=，解得11a =-，∴()*23N n a n n =-∈.（2）()()()1112123na n nn n n b a n +-=+-=+--，∴()()22211135...454321n n T n n -=++-+---+-⎡⎤⎣⎦- 2212412n n n n =-+=-+.选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由535S =得151035a d +=，解得13a =，∴()*21N n a n n =+∈.（2）()()()1112121na n nn n n b a n ++=+-=+-+， ∴()()()2222213579 (414121)n n T n n -=+-+-+---++⎡⎤⎣⎦- 221242442n n n n ++=-+=-+.。

高三数学第一轮复习专题测试试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第一学期高三数学第一轮复习专题测试
〔1〕—集合与函数
〔2〕—数列
〔3〕—三角函数
〔4〕—平面向量
〔5〕—不等式
〔1〕—集合与函数
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.
1．设集合 ,那么满足的集合B的个数是〔〕
[解法二]当时， .
由得，
令，解得或者，
在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；
当时，的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线
绕点逆时针方向旋转得到.因此，在区间上，的图像
位于函数图像的上方.
22．〔1〕∵ ，∴要使有意义，必须且，即
A．1B．3C．4D．8
2．集合M＝｛x| ｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xR｝，那么MN＝〔〕
A．B．{x|x1}C．｛x|x1｝D．{x|x1或者x0}
3．有限集合中元素个数记作card ，设、
① 的充要条件是card =card +card ；
② 的必要条件是card card ；
③ 的充分条件是card card ；
card card =0 .由的定义知card card .
4．D． ,用数轴表示可得答案D．
5．A．∵ ∴ 即
∵ ∴ 即
∴函数的反函数为 .
6．B．由，应选B．
7．B．在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇
函数,是减函数;应选A．
8．C．利用互为反函数的图象关于直线y=x对称，得点〔2，0〕在原函数的图象上，即，

人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：数列(含答案)及参考答案

高考一轮复习备考试题(附参考答案)数列一、填空题1、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲2、（2013年江苏高考）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为。

3、（2012年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．4、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S n ＝2(a 1＋a n )(n ≥2，n ∈N *)，则S n ＝▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为▲6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列的各项均为正数则▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若，，且，则数列{b n }的公比为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1 = 1，S 3 = 6，则S 6 =▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）在等比数列中，已知，．设为该数列的前项和，为数列的前项和．若，则实数的值为▲11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a1d 的值为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）设数列{}的前n 项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H 数列。

”（1）若数列{}的前n项和=（n），证明：{}是“H数列”；（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H数列”{}和{}，使得=（n）成立。

(完整版)高三数学第一轮复习单元测试--数列

高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a = （）A ．4B ．2C ．－2D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（）A ．40B ．42C ．43D ．454．在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12，S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为（） A ．48 B ．54 C ．60 D ．665．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝（）A ．310B ．13C ．18D ．196．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（）A ．120B ．105C ．90D ．757．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（）A ．100B ．101C ．200D ．2018．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（）A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n -9．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +- 10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有（） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx Λ则设 . 15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.16．已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1，则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n 18．（本小题满分12分）设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）19．（本小题满分12分）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 20．（本小题满分12分）某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项，并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． 22．（本小题满分14分）已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{n b 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列；（2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）（理做文不做）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．参考答案（2）1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ． 3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =． ∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d +＝42． 4．B ．因为461912a a a a +=+=，所以1999()2a a S +==54，故选B ． 5．A ．由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 6．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．7．A ．依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．8．C ．因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C ．9．D ． f （n ）=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--，选D ． 10．B ．正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++Λ则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ，k 最大为6，剩4，选B ．11．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．12．C ．由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30，选C ．13．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3. 14．由()()11=+-x f x f ，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n ΛΛ )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f Λ所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=ΛΛ 6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n 为的 n －1个，于是，借助()21321+=++++n n n Λ估算，取n=10，则第55个整数对为()1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为()7,517．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =，故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18．ο1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d －1d =0，∴1+≤n n b b （n =1，2，3，…）成立；又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1，2，3，…） ∴数列}{n c 为等差数列.ο2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①－②得：)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1，2，3，…），由此，不妨设3d b n =（n =1，2，3，…），则2+-n n a a 3d =（常数）故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=（常数）（n =1，2，3，…）， ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）. 19．（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20．设第n 天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，()()N n ,n n n n n n S n∈≤≤-=⨯-+=3015255021202，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ，公差为30，项数为30－n 的等差数列的和，()()()()(),n n n n n n Tn148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有，(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简，120588612=∴=+-n ,n n 或49=n （舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.21．（1）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；（任一非负偶数均可）; 1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．（任一正奇数均可）; （2） 4d =时，422(21),n a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项（3）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项．理由是：①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =，即{}n b 的项都是{}n a 中的项；②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项． 22．（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列．（2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0)5.3(12<--=x y'，在（3.5，∞+）上为减函数. 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0， 0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝－1. （3）先用数学归纳法证明21<<n a ，再证明n n a a <+1. ①当1=n 时，211<<a 成立； ②假设当k n =时命题成立，即21<<k a ，当1+=k n 时，1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立，综合①②有，命题对任意+∈N n 时成立，即21<<n a . （也可设x x f 12)(-=（1≤x ≤2），则01)(2'>=xx f ，故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ）.下证： n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。

高三数学第一轮复习单元测试--数列(最新整理)

18．（本小题满分 12 分）设数列{an } 、{bn } 、{cn } 满足： bn an an2 ， cn an 2an1 3an2 （n=1，2，3，…），证明：{an } 为等差数列的充分必要条件是{cn } 为等差数列且 bn bn1 （n=1，2，3，…）
19．（本小题满分 12 分）已知数列 a1 , a2 , , a30 ，其中 a1 , a2 , , a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a10 , a11 , , a20
则第 60 个整数对是_______________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）
数列{an}的前 n 项和记为 Sn， a1 1, an1 2Sn 1n 1
（1）求{an}的通项公式; （2）等差数列{bn}的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3 15 ，又 a1 b1, a2 b2 , a3 b3 成等比数列，求 Tn
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列， c 、 a 、 b 成等比数列，且 a 3b c 10 ，
则a =
（）
A．4
B．2 C．－2
A．2002
（） B．2004
C．2006
D．2008
12．已知数列 an 对任意的 p，q N* 满足 apq ap aq ，且 a2 6 ，那么 a10 等于（）
A． 165
B． 33 C． 30 D． 21

高三一轮复习数列测试题及答案(K12教育文档)

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数列一．选择题：1．等差数列｛b n }中，b 1＝1, b 1＋b 2＋b 3＋……＋b 10＝145, 则数列{b n ｝的通项公式b n 是（）。

（A ）3n －2 (B ）4－3n （C )16n －15 (D )37310-n 2．在公比为q 且各项均为正数的等比数列｛a n }中，若a n －3 ·a n ＋1＝a k 2(n ， k 均为自然数），则a k 为（）。

（A ）a 1q n －1 （B ）a 1q n －2 （C ）a 1q n －3 （D ）以上答案都不正确3．在等差数列{a n ｝中,a 3＋a 7－a 10＝8, a 11－a 4＝4，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋……＋a n ，则S 13等于（）。

（A )168 （B ）156 （C ）78 （D ）1524．数列｛a n }的前n 项和是S n ，如果S n ＝3＋2a n (n ∈N ），则这个数列一定是（）. （A ）等比数列（B )等差数列（C ）除去第一项后是等比数列 (D ）除去第一项后是等差数列5．等差数列{a n ｝的前n 项和是S n ,a 3＋a 8>0, S 9<0, 则S 1， S 2， S 3, ……，S n 中最小的是（）。

高三数学单元测试《数列》

高三数学单元测试《数列》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列}{n a 中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=50，则公比q 的值为（）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{a n }中，a 6=a 3＋a 8=5，则a 9的值是（）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程bx 2－2ax+c=0 （） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且65867424,20042a a a a a a a 则=++等于（）A ．501B ．±501C ．2004D ．±20046．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m等于（）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（）A ．7)1(p a + B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p p a+-+ D ．()()[]p p pa+-+118 9．已知()1+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()=n g ⎩⎨⎧≥-=)1()],1([)0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1，则数列{}n a 为（）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61）（）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%二、填空题（本题每小题5分，共20分）11．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.12．设数列{a n }满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，求数列{a n }的通项公式__________________. 13．设()244+=x xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛112111f f …⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110f 的值为______ ___.14．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块.（理）已知nn a ⎪⎭⎫⎝⎛∙=312，把数列{}n a 的各项排成三角形状；1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a ……记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10，8）= .三、解答题（本大题共6小题，共80分。

高三数学一轮复习《数列》练习题 (含答案)

高三数学一轮复习《数列》练习题（含答案）一、单选题1．已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（） A ．最大值为－4B ．最小值为4C ．最小值为－4D ．最大值为42．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（） A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且34S =，714S =，则23n n S a +-最小时，n 的值为（）. A ．2 B ．1或2 C ．2或3 D ．3或44．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若1q >，2152m m m a a a +++=，且29m m S S =，*m ∈N ，则m 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =（） A ．28B ．32C ．16D ．246．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元7．由1a =4，3d =确定的等差数列{}n a ，当an =28时，序号n 等于（） A ．9B ．10C ．11D ．128．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为（） A ．6B ．8C ．12D ．139．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26712a a a ++=，则9S =A ．20B ．27C ．36D ．4510．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是 A ．290B ．920C ．511D ．101111．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（） A ．7B ．8C ．9D ．1012．等比数列{}n a 中，3103384a a ==，，则该数列的通项n a =（） A ．32?3n -B ．13?2n -C ．3?2nD ．33?2n -二、填空题13．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=________.14．在正项等比数列{}n a 中，若3453a a a π=，()313237sin log log log a a a ++⋯+的值为______________.15．已知数列{}n a 的通项公式212n a n n=+，其前n 项和为n S ，则10S =_____．（用分数作答）16．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________.三、解答题17．已知实数111,,a b c 成等差数列，求证：,,222b b b ac --成等比数列.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4120S =，13n n a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设321log n n b a -=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19．设数列{}n a 满足11a =，1123n n n a a -+-=⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.21．已知数列{}n a 中，13a =，点()1,n n a a +在直线3y x =上. (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项的和n S ； (2)设*,N n nnb n a =∈，证明：1234n b b b +++<.22．若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()221log *n n b a n N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.24．已知数列1a ，2a ，…，6n a 的项{1,2}i a ∈，其中1,2,3,i =…，6n ，*n ∈N ，其前6n 项和为6n S ，记6n S 除以3余数为1的数列1a ，2a ，…，6n a 的个数构成的数列为{}n b ，*n ∈N . （1）求1b 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式，并化简.参考答案1．B解：∵递增等差数列{an }中，a 1a 2=﹣2， ∴a 1(a 1+d )=﹣2，且d >0， ∴d =112a a --，∴a 1<0， ∴a 3=a 1+2d =114a a --≥4=，当且仅当a 1=﹣2时，等号成立， ∴a 3有最小值4. 2．D当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=，整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确；B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.3．C解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为34S =，714S =，所以1132342767142a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a =，13d =，所以2223(1)11550[1(2)]23318n n n n n n S a n n +----=+⨯-++=，因为n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，其有最小值. 4．B因为2152m m m a a a +++=，所以252m m m a a q a q +=，得到25102q q -+=，因为1q >，所以2q .由29m m S S =，得()()211121291212m m a a --=⨯--，又10a ≠，所以()212912mm -=-，因为*m ∈N ，则120m -≠，所以129m +=，解得3m =， 5．B由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =. ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列，可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =. 6．B设每年偿还x 万元，则()()()()()234511111x x x x x a γγγγγ++++++++=+，所以()()()5511111xa γγγ++--=+，解得()()55111a x γγγ+=+-．7．A解：因为14a =，3d =，所以()1131n a a n d n =+-=+，所以3128n a n =+=，解得9n = 8．C因为1815360a a a ++=，所以8560a =，所以812a =，所以910180108212a a a a a a =+-==-，故选：C. 9．C因为{}n a 为等差数列，26712a a a ++=，131212+=a d ∴，因此144+=a d 又()9111989936942S a d a d a d ⨯=+=+=+，936S =∴. 10．C由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--，当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以()43n a n n N *=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+，所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.11．A∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 12．D设等比数列{}n a 的公比为q ，因为3103384a a ==，，可得71033841283a q a ===，解得2q ,所以数列{}n a 的通项公式为33332n n n a a q --==⨯.13．4设公比为q ，由23341,2a a a a +=+=，得()2323342a q a q q a a a a q =+=+=+=，所以()453434224a a a q a q q a a +=+=+=⨯=. 14数列{}n a 是正项等比数列，∴343a π= ，()3132373127log log ......log log ...a a a a a a +++= ， ()77733312744...3a a a a a π=== ，∴()73313237312737log log ......log log ...log 33a a a a a a ππ⎛⎫+++=== ⎪⎝⎭， ()3132377sin log log log sinsin 33a a a ππ∴++⋯+===15．175264因为数列{}n a 的通项公式21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以10111111111...21324351120S ⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭，111111752121226411⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，故答案为：17526416．6±因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==，因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±.17．因为111,,a b c 成等差数列，所以112a c b +=，即2b ac a c=+且0abc ≠，又()()2220222444b b b b ac b b a c ac a c ac a c a c ⎛⎫⎛⎫-⋅-=-++=-++=> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立且各项均不为零，所以：,,222b b ba c --成等比数列.18．（1）3nn a =（2）n T 21nn =+ （Ⅰ）∵13n na a +=，∴{}n a 是公比为3q =的等比数列，又()4141312013a S -==-，解得13a=.∴{}n a 是以13a =为首项，以3q =为公比的等比数列，通项公式为113n nn a a q -==.（Ⅱ）∵213log 321n n b n -==- ∴()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11(122121nn n =-=++） 19．（1）13-=n n a ，*n N ∈；（2）3n n S n =⋅，*n N ∈.（1）由已知，当2n ≥时， 2123n n n a a ---=⋅，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()12211312133312313n n n ----=+++++=+⨯=-当1n =时，11131a -==符合上式，13n n a -∴=，*n N ∈.（2）由（1）知()()121213n n n b n a n -=+=+⨯，()0113353213n n S n -=⨯+⨯+++⨯①3n S =()()1213353213213n n n n -⨯+⨯++-⨯++⨯②①-②得()()121232333213n n n S n --=++++-+⋅()()121213332131n n n -=++++-+⋅+()132213113nn n -=⨯-+⋅+-23n n =-⋅所以，3nn S n =⋅，*n N ∈.20．（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+，所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===，所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列，于是122,5,31n b b b n ===-． [方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=．由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知，数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ．所以11213(1)11222b a a -==++=+=， 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-．（2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+，所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．(1)3nn a =，1332n n S +-=；因为点()1,n n a a +在直线3y x =上，所以13n na a +=，又13a =，故数列{n a }是以3为公比，3为首项的等比数列，所以3nn a =，()31313n n S -==-1332n +-. (2)由题可知3n n nb =，记12nn T b b b =+++，所以212333n nnT =+++① ①13⨯，得2311123333n n nT +=+++②①-②，得2111211111132133333233223n n n n n n n n nT ++++⎛⎫=+++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，故332443n n n T +=-⨯，又32043nn+>⨯，故34nT <，即证. 22．（1）2n n a =；（2）2n T n =.（1）数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈.2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=，1n =时，1122a a =-，解得12a =.∴数列{}n a 是等比数列，首项为2，公比为2.2n n a ∴=.（2）221log 21n n b a n -==-.因为12n nb b ，∴数列{}n b 是等差数列，首项为1，公差为2，所以21()(1+21)22n n n a a n n T n +-∴===. 23．（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤.24．（1）121b =（2）6213n n b -=，*n ∈N 解：（1）因为前六项的和除以3余数为1 所以这6项中包含2个1或5个1，其余均为2，所以这样的数列共有256621C C +=个，故121b =（2）因为1a ，2a ，…，6n a 和6n S 除以3余数为1，所以这6n 项中包含2个1或5个1……或61n -个1，其余均为2，所以2561666n n n n n b C C C -=+++，设6n S 除以3余数为2，0的数列1a ，2a ，…，6n a 的个数构成的数列分别为{}n c ，n d同理，1462666n n n n nc C C C -=+++，036666nn n n n d C C C =+++∵146261642666666n n n n n n n n n n n c C C C C C C b ---=++⋯+=++⋯+=∵66222n nn n n n n b c d d b ++=⇒=-结合（1）猜想6213n n b -=，*n ∈N下面用数学归纳法证明当1n =时，6121213b -==，成立假设当n k =时，有6213k k b -=，*k ∈N 成立，且6213k k k c b -==，6223k k d += 则当1n k =+时，数列共()66k +项，分两步看，第一步先看前6k 项，前6k 项的和除以3余数为1，2，0的数列的个数分别为k b ，k c ，k d ，第二步看后6项，最后6项的和除以3众数为0，2，1的数列的个数分别为22，21，21∴6666(1)1212122212221212221213333k k k k k k k k b b c d ++--+-=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=所以当1n k =+时，猜想也成立综上，6213n n b -=，*n ∈N。

高三数学一轮复习材料04数列试题

复习〔数列〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、要点透视数列是高中代数的主要内容，同是数列与高等数学联络亲密。

在内容上本章包括数列的概念、等差数列、等比数列的有关概念、性质、通项、前n项和等。

等差数列与等比数列是两个特殊数列，是本章的核心。

由于数列可以看成是正整数集*N或者其子集上的函数，因此，要注意用函数的观点和方法研究数列。

二、知识复习（1）有关概念：1°数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。

2°数列的通项公式：假如数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

3°数列的递推公式：假如数列{a n}的第一项〔或者前n项，且任一项a n与它的前一项a n-1〔或者前n项〕间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

4°假设数列{a n}的前n项和为S n那么aS S nS nnn n=-≥=⎧⎨⎩-1121（）（）〔2〕等差与等比数列三、典型例题例1．数列{}n a 中11=a ，)2(1211≥+=-n a a n n ，求该数列的通项公式n a 。

解：由)2(1211≥+=-n a a n n 有：)2(2121-=--n n a a )2(21212≥=-∴--n a a n n 故数列{}2-n a 是以21为公比的等比数列，且首项为121-=-a nn a --=∴122 说明：一般地，形如q p q pa a n n ,(1+=-为非零常数，)1≠p ，可变形为)(1λλ+=+-n n a p a ，其中1-=p q λ，那么⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 是一个公比为p 的等比数列。

例2．设{}n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(*1221N n a a na a n n n n n ∈=⋅+-+++，那么其的通项公式=n a 。

高考数学一轮复习数列多选题练习题及答案

高考数学一轮复习数列多选题练习题及答案一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠，当1q =时，10n S na =>，符合题意；当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.2．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++，若()01f '=，则（）A ．{}lg n a 为单调递增的等差数列B ．01q <<C ．11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列 D ．使得1n T >成立的n 的最大值为6【答案】BCD 【分析】令()()()()127g x x a x a x a =+++，利用()()127001f g a a a '===可得3411a a q ==，01q <<，B 正确；由()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-可得A 错误；由()111111111n n n a a a qS q q q q q --=--=⋅---可得C 正确；由11a >，01q <<，41a =可推出671T T >=，81T <可得D 正确. 【详解】令()()()()127g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =， ()()()f x g x xg x ''∴=+，()()127001f g a a a '∴===，因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3411a a q ==，11a >，01q ∴<<，B 正确；()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-，{}lg n a ∴是公差为lg q 的递减等差数列，A 错误；()111111111n n n a a a q S q q q q q --=--=⋅---，11n a S q ⎧⎫∴-⎨⎬-⎩⎭是首项为101a q q <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确；11a >，01q <<，41a =，3n ∴≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<，4n ∴≤时，1n T >，7712741T a a a a ===，8n ∴≥时，78971n n T T a a a T =<=，又75671T T a a =>，7671T T a =>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nn S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB 【分析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案. 【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+，故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误.故选：AB . 【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.5．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S >【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确；选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确；选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >，可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.6．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（）A ．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A ，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案；对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】对于A ，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++，所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++，所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+，所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++，化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =，所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．8．下列说法中正确的是（）A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列【答案】AC 【分析】利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立；必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-，可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-==-=，所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有212n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B选项错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，()2122122n n n d S na -=+，()3133132n n n dS na -=+，所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22n n S S =-，所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0，故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）；（2）等差中项法：()122n n n a a a n N*++=+∈；（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；（4）前n 项和法：2n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.2.判断等比数列有如下方法：（1）定义法：1n na q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）；（2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠；（3）通项公式法：nn a p q =⋅（p 、q 为非零常数）；（4）前n 项和法：nn S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；10．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.。

2012届高考数学第一轮数列专项复习

2012届高考数学第一轮数列专项复习复习数列时目标综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋的值为()12121abA1 B．2 ．3 D．42．已知等比数列{an}，a1＝3，且4a1、2a2、a3成等差数列，则a3＋a4＋a等于()A．33 B．72．84 D．1893．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为8，偶数项之和为170，则这个数列的项数为()A．4 B．6 ．8 D．104．在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a7依次成等比数列，前7项和为3，则数列{an}的通项an等于()A．n B．n＋1．2n－1 D．2n＋1．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n (n≥2，n∈N＋)，则a3a的值是()A116 B18 34 D386．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝ln an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于()A．126 B．130．132 D．134二、填空题7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．8．一个等差数列的前12项和为34，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是________．9．如果b是a，的等差中项，是x与z的等比中项，且x，，z都是正数，则(b－)lgx＋(－a)lg＋(a－b)lgz＝______10 等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则a13＋a14＋a1＝__________三、解答题11．设{an}是等差数列，bn＝12an，已知：b1＋b2＋b3＝218，b1b2b3＝18，求等差数列的通项an12．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1n(an＋3) (n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>t36总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．能力提升13．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中a1，a2，…，an恰为等比数列，若1＝1，2＝，3＝17，求1＋2＋…＋n14．设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t (t>0，n＝2,3,4，…)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f1bn－1 (n ＝2,3,4，…)．求数列{bn}的通项bn；(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b＋…＋b2n－1b2n－b2n•b2n ＋11．等差数列和等比数列各有五个量a1，n，d，an，Sn或a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d(或q)，问题可迎刃而解．2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．复习数列答案作业设计1．A[由题意知，a＝12，b＝16，＝316，故a＋b＋＝1]2．[由题意可设公比为q，则4a2＝4a1＋a3，又a1＝3，∴q＝2∴a3＋a4＋a＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×4×(1＋2＋4)＝84]3．[设项数为2n，公比为q由已知S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1①S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ②②÷①得，q＝1708＝2，∴S2n＝S奇＋S偶＝2＝a1(1－q2n)1－q＝1－22n1－2，∴2n＝8] 4．B[由题意a23＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，得a1d＝2d2 又d≠0，∴a1＝2d，S7＝7a1＋7×62d＝3d＝3∴d＝1，a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝n＋1]．[由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴a3•a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝12，∴12a4＝12＋(－1)4，∴a4＝3，∴3a＝3＋(－1)，∴a＝23，∴a3a＝12×32＝34]6．[∵{an}是各项不为0的正项等比数列，∴{bn}是等差数列．又∵b3＝18，b6＝12，∴b1＝22，d＝－2，∴Sn＝22n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋23n，＝－(n－232)2＋2324∴当n＝11或12时，Sn最大，∴(Sn)ax＝－112＋23×11＝132]7．2,4,8解析设这三个数为aq，a，aq由aq•a•aq＝a3＝64，得a＝4由aq＋a＋aq＝4q＋4＋4q＝14解得q＝12或q＝2∴这三个数从小到大依次为2,4,88．解析S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12；S奇＝a1＋a3＋a＋a7＋a9＋a11则S奇＋S偶＝34S偶÷S奇＝32∶27，∴S奇＝162，S偶＝192，∴S偶－S奇＝6d＝30，d＝9．0解析∵a，b，成等差数列，设公差为d，则(b－)lgx＋(－a)lg＋(a－b)lgz＝－dlgx＋2dlg－dlgz＝dlg2xz＝dlg1＝010．48解析易知q≠1，∴S3＝a1(1－q3)1－q＝3S6＝a1(1－q6)1－q＝9，∴S6S3＝1＋q3＝3，∴q3＝2∴a13＋a14＋a1＝(a1＋a2＋a3)q12＝S3•q12＝3×24＝48 11．解设等差数列{an}的公差为d，则bn＋1bn＝12an＋112an＝12an＋1－an＝12d∴数列{bn}是等比数列，公比q＝12d∴b1b2b3＝b32＝18，∴b2＝12∴b1＋b3＝178b1•b3＝14，解得b1＝18b3＝2或b1＝2b3＝18 当b1＝18b3＝2时，q2＝16，∴q＝4(q＝－4<0舍去)此时，bn＝b1qn－1＝18•4n－1＝22n－由bn＝12－2n＝12an，∴an＝－2n当b1＝2b3＝18时，q2＝116，∴q＝14q＝－14<0舍去此时，bn＝b1qn－1＝2•14n－1＝122n－3＝12an，∴an＝2n－3综上所述，an＝－2n或an＝2n－312．解(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2∵d>0，∴d＝2∵a1＝1∴an＝2n－1 (n∈N＋)．(2)bn＝1n(an＋3)＝12n(n＋1)＝121n－1n＋1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝121－1n＋1＝n2(n＋1)假设存在整数t满足Sn>t36总成立，又Sn＋1－Sn＝n＋12(n＋2)－n2(n＋1)＝12(n＋2)(n＋1)>0，∴数列{Sn}是单调递增的．∴S1＝14为Sn的最小值，故t36<14，即t<9又∵t∈Z，∴适合条的t的最大值为813．解由题意知a2＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)．∵d≠0，由此解得2d＝a1公比q＝aa1＝a1＋4da1＝3∴an＝a1•3n－1又an＝a1＋(n－1)d＝n＋12a1，∴a1•3n－1＝n＋12a1∵a1≠0，∴n＝2•3n－1－1，∴1＋2＋…＋n＝2(1＋3＋…＋3n－1)－n＝3n－n－114．(1)证明由a1＝S1＝1，S2＝1＋a2，得a2＝3＋2t3t，a2a1＝3＋2t3t又3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t，①3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t②①－②，得3tan－(2t＋3)an－1＝0∴anan－1＝2t＋33t，(n＝2,3，…)．∴数列{an}是一个首项为1，公比为2t＋33t的等比数列．(2)解由f(t)＝2t＋33t＝23＋1t，得bn＝f1bn－1＝23＋bn－1∴数列{bn}是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴bn＝1＋23(n－1)＝2n＋13(3)解由bn＝2n＋13，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和3，公差均为43的等差数列．于是b1b2－b2b3＋b3b4－b4b＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b)＋b6(b－b7)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1)＝－43(b2＋b4＋…＋b2n)＝－43•12n3＋4n＋13＝－49(2n2＋3n)．。