6.2方程的解

兴隆台区五中七年级数学下册第6章一元一次方程6.2 解一元一次方程 2解一元一次方程第2课时去

七年级数学下册第一章整式的乘除4整式的乘法第3课时多项式与多项式相乘课件新版北师大版3
同学们，下课休息十分钟。现在是休
息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
(2) (ax + b)(cx + d) = ax·cx + ax·d + b·cx + bd = acx2 + (ad + bc)x + bd
3 2
2.商店降价销售某种商品 , 每件降5元 , 售出 60件后 , 与按原价销售同样数量的商品相比 , 销售额有什么变化？
解 : －5×60 =－300 答 : 销售额下降300元.
随堂演练
1.假设a、b互为相反数 , 假设x、y互为倒数 ,
那么a-xy +－b=1
.
2.相反数等于它本身的数是 0 ; 倒数等于它本身的数是 1 , －1; 绝対值等于它本身的数是非负数.
例3 用正负数表示气温的变化量 , 上升为正 , 下降为负．登山队攀登一座山峰 , 每登高1 km气温的变化量为－6 ℃ , 攀登3 km后 , 气温有什么变化？
解 : 〔－6〕×3 =－18
答 : 气温下降18℃.
强化练习 1.计算 :
〔﹣6〕×0 = 0
1 3
1 4
1 12
2 3
9 4
7 4 28 , …………__把__绝__対___值__相__乘___
所以 (7) 4 —-—28——．
思考：通过上题，你认为：非零两数相乘，关键是什么？
有理数乘法的步骤 :
两个有理数相乘 , 先确定积的__符_号__ , 再确定积的_绝__対_值__．

新华东师大版七年级数学下册《6章一元一次方程 6.2 解一元一次方程等式的性质与方程的简单变形》教案_1

1.等式的性质与方程的简单变形第1课时由等式的性质到方程简单变形归纳导入复习导入类比导入悬念激趣同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．图6－2－1小时候的曹冲是多么聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的质量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．现在认识一下天平，然后回答下列问题：问题1：天平有什么作用呢？它代表什么意义呢？问题2：要让天平平衡应该满足什么条件？问题3：如果天平在平衡的条件下，左盘放着重(3x＋4)克的物体，右盘放着重4x克的物体，你知道怎样列式吗？问题4：已知方程4x＝3x＋4，你能求出x吗？[说明与建议] 说明：通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平，利用天平称物的图示可以形象直观地展现等式的性质，还可以直观地展现方程的求解过程，从而激发学生的求知欲．建议：充分发挥学生的主动性，注重训练学生的合作交流意识，通过解决问题，回顾以前知识，提醒学生注意与新知识的对比．上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型即方程，只列出了方程，并没有求出方程的解．其实，在小学我们利用逆运算能够去求形如ax＋b＝c的方程的解，比如：5x＋4＝9.对于这样的方程：23x＝13，比较复杂，怎么解呢？要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须研究等式的性质，才可以解决这个问题．[说明与建议] 说明：学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决目前的问题，学生遇到了困难，从而激发学生的求知欲，产生了克服困难的决心和信心，更能积极投入到新课的学习情境中去．建议：可让学生去解一下这个复杂的方程，让他们亲身体会此方程的复杂，然后小组讨论，是否能够找到解决办法．——教材第6页例1、例2 例1 解下列方程： (1)x －5＝7；(2)4x ＝3x －4. 例2 解下列方程： (1)－5x ＝2；(2)32x ＝13.【模型建立】利用等式的基本性质解方程就是通过对方程进行简单变形，使含未知数的项在一边，不含未知数的项在另一边，合并同类项后，两边同时除以未知数的系数即可．【变式变形】1．如果5a 3b 5与a 3b 6m －7是同类项，那么m 的值为( B )A ．－4B ．2C ．－2D ．42．当x ＝___3___时，代数式3x －7的值是2. 3．当k ＝__－12__时，方程5x －k ＝3x ＋8的解是－2. 4．解方程：(1)2－3x ＝5.[答案：x ＝－1] (2)－2x ＝6＋3x.[答案：x ＝－65](3)－35x ＋2＝－4.[答案：x ＝10] (4)－14x ＋1＝－2x ＋4.[答案：x ＝127][命题角度1] 等式的基本性质的应用此种题型考查学生对等式的基本性质的理解，应用等式的基本性质对方程进行简单变形．例把方程12x ＝1变形为x ＝2，其依据是__等式的性质2__．[命题角度2] 移项的识别移项的依据是方程的变形规则1，这一变形过程不改变方程的解．注意：(1)移项的时候一定要变号；(2)移项不等于移动，在等号一边利用加法交换律移动的项不能改变符号；(3)移项不改变方程中项的数目，不要漏写任一项．例解方程6x ＋1＝－4，移项正确的是( D ) A ．6x ＝4－1 B ．－6x ＝－4－1 C ．6x ＝1＋4 D ．6x ＝－4－1[命题角度3] 利用等式的基本性质解方程利用等式的基本性质可以把一个等式进行变形，变成ax ＝b 的形式，然后两边同时除以a 即可．例 [湖州中考] 方程2x －1＝0的解是x ＝__12__．[命题角度4] 与其他知识综合此类型试题检测学生的审题能力，并能根据题意准确列出式子，利用一元一次方程的解法求出有关字母的值．例 x 为何值时，代数式2x －3与－3x ＋7的值互为相反数？[答案：x ＝4] [命题角度5] 解决实际应用题列方程解决实际问题是本章的重点及难点，此类型考题注重考查学生的综合分析能力及解决问题的能力，要求学生能够读懂题意，找准等量关系，正确列出方程并求解．图6－2－2例 [金华中考] 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图6－2－2方式进行拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可做多少人？ (2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？解：(1)4张餐桌：4×4＋2＝18(人)；8张餐桌：4×8＋2＝34(人)． (2)设这样的餐桌需要x 张，由题意得4x ＋2＝90，解得x ＝22. 答：这样的餐桌需要22张．练习1 P5 1．回答下列问题：(1)由a ＝b 能不能得到a －2＝b －2？为什么？ (2)由m ＝n 能不能得到－m 3＝－n3？为什么？(3)由2a ＝6b 能不能得到a ＝3b ？为什么？ (4)由x 2＝y3能不能得到3x ＝2y ？为什么？解：(1)能，根据等式的基本性质1，两边同时减去2. (2)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以－13.(3)能，根据等式的基本性质2，两边同时除以2. (4)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以6.2. 填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪一条等式性质得到的： (1)如果x －2＝5，那么x ＝5＋________； (2)如果3x ＝10－2x ，那么3x ＋________＝10； (3)如果2x ＝7，那么x ＝________； (4)如果x －12＝3，那么x －1＝________.解：(1)2，等式的基本性质1. (2)2x ，等式的基本性质1. (3)72，等式的基本性质2. (4)6，等式的基本性质2. 练习2 P71．下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由3＋x ＝5，得x ＝5＋3； (2)由7x ＝－4，得x ＝－74；(3)由12y ＝0，得y ＝2；(4)由3＝x －2，得x ＝－2－3.解：(1)错误，3由等号左边移项到等号右边没有改变符号． (2)错误，方程两边同时除以7，得x ＝－47.(3)错误，方程两边同时乘以2，得y ＝0.(4)错误，x 由等号右边移项到等号左边没有改变符号． 2．(口答)求下列方程的解： (1)x －6＝6； (2)7x ＝6x －4； (3)－5x ＝60； (4)14y ＝12. 解：(1)x ＝12. (2)x ＝－4. (3)x ＝－12. (4)y ＝2. 练习3 P8 1．解下列方程： (1)3x ＋4＝0； (2)7y ＋6＝－6y ； (3)5x ＋2＝7x ＋8； (4)3y －2＝y ＋1＋6y ； (5)25x －8＝14－0.2x ； (6)1－12x ＝x ＋13.解：(1)移项，得3x ＝－4. 两边同时除以3，得x ＝－43.(2)移项，得7y ＋6y ＝－6. 合并同类项，得13y ＝－6. 两边同时除以13，得y ＝－613. (3)移项，得5x －7x ＝8－2. 合并同类项，得－2x ＝6. 两边同时除以(－2)，得x ＝－3. (4)移项，得3y －y －6y ＝1＋2. 合并同类项，得－4y ＝3. 两边同时除以(－4)，得y ＝－34.(5)两边同时乘以20，得8x －160＝5－4x . 移项，得8x ＋4x ＝5＋160. 合并同类项，得12x ＝165.两边同时除以12，得x ＝554. (6)两边同时乘以6，得6－3x ＝6x ＋2. 移项，得－3x －6x ＝2－6. 合并同类项，得－9x ＝－4. 两边同时除以(－9)，得x ＝ 49.2．试解6.1节中问题1所列出的方程．解：移项，得44x ＝328－64. 合并同类项，得44x ＝264. 两边同时除以44，得x ＝ 6. 习题6.2.1 P9 1．解下列方程： (1)18＝5－x ； (2)34x ＋2＝3－14x ； (3)3x －7＋4x ＝6x －2； (4)10y ＋5＝11y －5－2y ； (5)x －1＝5＋2x ；(6)0.3x ＋1.2－2x ＝1.2－2.7x . 解：(1)移项，得x ＝5－18. 合并同类项，得x ＝－13. (2)移项，得34x ＋14x ＝3－2.合并同类项，得x ＝1.(3)移项，得3x ＋4x －6x ＝7－2. 合并同类项，得x ＝5.(4)移项，得10y －11y ＋2y ＝－5－5. 合并同类项，得y ＝－10. (5)移项，得x －2x ＝5＋1. 合并同类项，得－x ＝6，两边同时除以－1，得x ＝－6. (6)移项，得0.3x －2x ＋2.7x ＝1.2－1.2. 合并同类项，得x ＝0. 2．解下列方程： (1)2y ＋3＝11－6y ； (2)2x －1＝5x ＋7； (3)13x －1－2x ＝－1； (4)12x －3＝5x ＋14. 解：(1)移项，得2y ＋6y ＝11－3. 合并同类项，得8y ＝8. 两边同时除以8，得y ＝1.(2)移项，得2x －5x ＝7＋1. 合并同类项，得－3x ＝8. 两边同时除以－3，得x ＝－83.(3)移项，得13x －2x ＝－1＋1.合并同类项，得－53x ＝0.两边同时除以－53，得x ＝0.(4)移项，得12x －5x ＝14＋3.合并同类项，得－92x ＝134.两边同时除以－92，得x ＝－1318.3．已知A ＝3x ＋2，B ＝4－x ，解答下列问题： (1)当x 取何值时，A ＝B? (2)当x 取何值时，A 比B 大4?解：(1)根据题意，要求3x ＋2＝4－x 的解．解这个方程得x ＝12.所以当x ＝12时，A ＝B .(2)根据题意，要求3x ＋2－(4－x )＝4的解．解这个方程得x ＝ 32.所以当x ＝32时，A 比B 大4.专题一一元一次方程1. 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1． 2. 某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利( )．A ．25％B ．40％C ．50％D ．66.7％ 3. 下面判断中正确的是 [ ]A ．方程132=-x 与方程x x x =-)32(同解B ．方程132=-x 与方程x x x =-)32(没有相同的解C ．方程x x x =-)32(的解都是方程132=-x 的解D ．方程132=-x 的解都是方程x x x =-)32(的解专题二探究题4. 对于数x ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数.例如[3.14]＝3,[－7.59]＝－8,则满足关系式[377x +]＝4的x 的整数值有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5. 现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的21，而九年前弟弟的年龄是哥哥年龄的51，则哥哥现在的年龄是___________岁．6.解方程：3x-1.10.4 －4x-0.20.3 ＝0.16-0.7x0.06状元笔记【知识要点】1.等式的基本性质：（1）等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.2.方程的变形规则：（1）方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；（2）方程的两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.3.方程的变形类型：（1）移项：依据方程的变形规则1，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形；（2）将未知数的系数化为1：依据方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数的变形.4.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程.5.解一元一次方程的步骤： ①去分母 ②去括号 ③移项④合并同类项⑤化未知项的系数为1⑥检验方程的解一般不需答出，但要养成检验的习惯 6.列一元一次方程解应用题的步骤：①弄清题意，设未知数：求什么？用字母表示适当的未知数；②分析条件，找等量关系：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；③组织方程，列方程：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程.④解所得的方程：求解所列出的一元一次方程，并检验所求的解是否原方程的解、是否符合实际意义.⑤写出答语.【温馨提示（针对易错）】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+x x 等都不是一元一次方程.2.解方程时要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.【方法技巧】解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，将方程化为“x ＝常数”的形式，最后的“常数”就是方程的解. 答案1.【答案】D2.【答案】C ．【解析】设商品的进价为a 元，标价为b 元，则80%b －a ＝20%a ，解得b ＝32 a ，原标价出售的利润率为b-aa ×100%＝50%3.【答案】D【解析】方程132=-x 的解是2=x；方程x x x =-)32(的解是0=x 和2=x ．因此，A .B ．C ．的判断都是错误的，只有D 判断正确． 4. 【答案】D 5. 【答案】12【解析】设弟弟年龄是x ，则哥哥年龄是2x ，则依题意有5（x －9）＝(2x －9)， ∴x ＝ 12.6. 【答案】解：原方程变形为 30x-114 －40x-23 ＝16-70x6去分母，得3×(30x －11)－4×(40x －2)＝2×(16－70x ) 去括号，得90x －33－160x ＋8＝32－140x 移项，得90x －160x ＋140x ＝32＋33－8 合并，得70x ＝57 系数化为1，得x ＝5770“方程的简单变形”学习点拨学习方程变形的依据及方程的两种简单变形，是为进一步学习解一元一次方程作铺垫。

七年级数学下册第6章一元一次方程6.2解一元一次方程6.22解一元一次方程第1课时课件新版华东师大版

所以a+2=0,m-3=1,故a=-2,m=4.
答案：-2 4
4.观察下列各式，哪几个是方程？哪几个是一元一次方程？
①5x2+2=3;②7+6=13;③3x-1=x-4;④2x+3;
⑤x+5=y+6;⑥ 1 -2x=8x+3.
x
【解析】①③⑤⑥是方程；③是一元一次方程.
5.已知(m-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式 199(m+x)(x-2m)+m的值. 【解析】因为(m-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,所以m-1=0,即m=1. 当m=1时,方程变形为-2x+8=0,因此x=4, 所以原式=199(1+4)(4-2×1)+1=1991; 所以所求代数式的值为1991.
但并不是解每一个方程都需要这五个步骤，这五个步骤的先后顺序并非固定不变，要根据方程的特点，确定恰当的步骤，灵活解方程.
题组一：一元一次方程
1.下列方程中，是一元一次方程的是( )
A.x-3
B.x2-1=0
C.2x-3=0
D.x-y=3
【解析】选C.选项A不是方程，选项B未知数的次数不是1，选
【互动探究】结合本例说明：一元一次方程中,未知数的系数应满足什么条件?为什么? 提示：m-1≠0.当m-1=0时,就会得到0×x+5=0,即5=0,不是一元一次方程. 【总结提升】一元一次方程具备的三个条件 1.一元：只含有一个未知数. 2.整式：含有未知数的式子是整式. 3.一次：未知数的次数是1.
项D含有两个未知数，只有选项C符合一元一次方程的定义.

6.2 二元一次方程组的解法

请同学们独立完成探究题目，完成后组内讨论，组长做好分工。小组以读说纠补拓的方式准备展示。
提高分析解决问题的能力以及提高团队合作精神。
规范做题步骤，注意学科语言。
提高分析解决问题的能力以及提高团队合作精神。
规范做题步骤，注意几何语言。
三、达标检测（10分）
选择适当的方法解方程组
（1）（2）
（3）（4）
冀教版数学七年级下册6.2二元一次方程组的解法导学案
主备：张志广审核：领导审核：赵翔淑
学习目标
1.利用等式的性质，进一步学习代入消元法。
2.熟练应用代入消元法解二元一次方程组．
3灵活应用代入消元法解二元一次方程组．
学习重点
熟练应用代入消元法解二元一次方程组．
学习难点
灵活应用代入消元法解二元一次方程组．
学生独立完成，完成后小组交流解决问题。
加强对知识的巩固，了解学生学习情况。
四、课堂小结（3分）
1、你能说出本节课你学到了哪些知识吗？
2、学到了什么数学思想？
学生自主发言教师总结
进一步巩固本节所学知识。
五、布置作业（1分）
课本A组题目
独立完成作业
巩固知识
板书设计：6.2二元一次方程组的解法（2）
步骤：例2例3练习
二、新知探究（27分）
代入消元法解二元一次方程组
1、解方程组
（1）从具体一个方程中求出x=含y的代数式，或y=含x的代数式，具体应怎样实现这一步？
（2）如果由某个方程实现了（1）中的表示法，将它代入到哪一个方程转化为一元一次方程？
（3）怎样求出另一个未知数的值？
总结：解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变形（）
练一练：用代入法解下列方程组

七年级数学下第6章一元一次方程6.2解一元一次方程6.21等式的性质与方程的简单变形第2课时

(1)由-3-x=5，得x=5-3.
(2)由4x=-8，得x= 1 .
2
(3)由 1 y =1，得y=-2.
2
(4)由3=-x-2，得x=-2+3.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.(1)由-3-x=5，应得x=-5-3；
(2)由4x=-8，应得x=-2； (3)由 1 y =1，得y=-2，正确；
A.由3= 5 x ，得 5 x =3
2
2
B.由6x=3+5x，得6x=5x+3
C.由2x=-1，得x= 1
2
D.由2x-3=x+5，得2x-x=5+3
【解析】选D.移项是将某项从方程的一边移到方程的另一边，移项需要改变符号.A项没有改变符号；B项没有将某项从方程一边移到方程的另一边；C项是将系数化为1，不属于移项；D 项的变形是移项.
3
【总结提升】解决方程变形问题的三个步骤 1.观察：观察对比方程的前后变化情况. 2.依据：确定变形的依据. 3.变形：根据变形规则准确变形，在对方程变形时应做到： ①方程两边不能同时乘以0；②变形后的结果是以等号为界，左边为含未知数的整式，右边是常数项.
知识点 2 利用方程的变形规则解方程【例2】解下列方程： (1) 1 x -2=7.
33
可得 x 4x 5；
3
3
5 4x， 3
(3)根据方程变形规则1，方程7-6x=5-4x两边同时加4x-7，
可得-6x+4x=5-7；
(4)根据方程变形规则1，方程
1 x 可1 ，得
22
x 1x 5 1.
2
2
x1 两1x边同5 时加

6.2二元一次方程组的解法(加减法)

5.写出方程组的解
一.填空题：
x+3y=17
1.已知方程组 2x-3y=6 y 分别相加就可以消去未知数只要两边 25x-7y=16 两个方程
2.已知方程组
25x+6y=10 x 分别相减只要两边就可以消去未知数
两个方程
二.选择题
6x+7y=-19①
1. 用加减法解方程组
6x-5y=17②
求另一个未知数的值
（3）
（4）
解二元一次方程组的步骤
下列方程组各选择哪种消元法来解比较简便? (1) y=2x 3x-4y=5 代入法 (3) 2x+3y=21 4x-5y=7 加减法 (2) x=3y+1 2x-3y=10 代入或加减法 (4) 9x-5y=1 6x-7y=2 加减法
附加题
问题1．观察上述方程组未知数的系数有什么特点？
问题2．除了代人消元，你还有别的办法消去x吗？
解后反思：从上面的解答过程来看，将二元一次方程组中两个方程相加（或相减或进行适当变形后再加减），消去一个未知数，得到一元一次方程，通过求解一元一次方程，再求得二元一次方程组的解．这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
还有别的方法吗？
认真观察此方程组中各个未知数的系数有什么特点，并分组讨论看还有没有其它的解法. 并尝试一下能否求出它的解
x y 10 2 x y 16
①
②
①中的y②中的y系数相同…
分析：
x y 10 2 x y 16
② 左边 — ① 左边
① ②
（2x ＋ y）—（x + y）＝16 -10
= ② 右边 — ① 右边

6.2直线的方程-中职数学-基础模块下册课件

练习
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
2. 判断点 3.分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程. (1)经过点A(1,3),斜率为4； (2)经过点B(2,-5)、D(3,0);
6.2直线的方程
练习
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
4.分别求满足下列各条件的直线的斜截式方程： (1)斜率是-2,在y轴上的截距是4；
6.2直线的方程
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
例6 求直线2x-3y+6=0的斜率及直线在y轴上的截距. 解将直线的一般式方程2x-3y+6=0化为直线的斜截式方程:
6.2直线的方程
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
练习
1. 写出直线x+2y+6=0的斜截式方程. 2.求下列直线的斜率,并将方程化为直线的一般式方程.
6.2直线的方程
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
2. 直线的斜截式方程例4 设直线l的斜率是 ,在y轴上的截距是-2,写出直线l的
斜截式方程. 解由直线的斜截式方程，得
6.2直线的方程
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
练习
1. 填空题：
(1) 若直线的点斜式方程是 y-2=x-1 ，则直线的斜率为
5.已知直线经过点A(2,5),倾斜角为 ,分别求出该直线在x轴与y轴上的截距.
6.2直线的方程
情境导入探索新知例题辨析巩固练习归纳总结布置作业
6.2直线的方程
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七年级数学下册第6章一元一次方程6.2解一元一次方程教学课件新版华东师大版

2x 4 4x 1 3 3x 2x 3 3 3x 2x 3x 3 3 x 6.
*一元一次方程的定义：一元一次方程的特征：
*解一元一次方程（去括号）
（1）移项要变号；（2）去括号时，括号前是“-”，去括号后要将括号内的各项改变符号；
2.1当x取何值时, 代数式3(2 x)和2(3 x)的值相等?
解不变. 2.把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数，方程
的解不变.第①种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别.
练习
(1) 8x = 2x－7 ;
(2) 6 = 8＋2x；
(3) 2y－ 1 = 1 y－3 ; 22
(4) 10m+5= 17m－5－2m.
请同学们分别将x＝7+5与原方程x－5＝7；x＝3x－4－3 与原方程4x＝3x－4比较，你发现这些方程的变形有什么共同特点?
思考与小结
像这样，将方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项.
注意：“移项”是指将方程的某些项从等号的左边移到右边或从右边移到左边，移项时要变号.
解 : 3(2 x) 2(3 x)
6 3x 6 2x
3x 2x 6 6
5x 0 x0
答 :当x 0时, 代数式3(2 x)和2(3 x)的值相等.
2.2当y取何值时,2(3y 4)的值比5(2 y 7)的值大3?
解 : 2(3y 4) 5(2 y 7) 3 6 y 8 10 y 35 3 6 y 8 10 y 32 8 32 10 y 6 y 40 4 y 4 y 40 y 10.

线性方程组有解的条件

1 cr,r1 cr,r2
00
0
00
0
c1n d1
c2n
d2
crn dr .
0 0
0 0
6.2 线性方程组有解的条件
定理6.2<线性方程组有解判别定理> 线性方程组<6.1>有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
例6.4 判断以下线性方程组是否有解
〔１〕
x1 x2 2x3 x4 3x5 1, 2x1 x2 2x32x46x52,
3x12x24x33x49x53;
〔２〕
x1 2 x1
x2 2x3 x4 5， 3x2 x3 2x4 2，
4x1 5x2 3x3
7.
定理6.3 设含有n个未知量的线性方程组 <6.1>有解,其系数矩阵的秩为r.那么
<i> 当r = n 时,方程组有唯一解;
<ii> 当 r<n 时,方程组有无穷多个解. 推论齐次线性方程组有非零解的充分
必要条件是其系数矩阵的秩r小于未知量的个数n. 推论含有n个未知量n个方程的齐次线
性方程组有非零解的充分必要条件是其系数中,方
程的个数m小于未知量的个数n,那么这个方程组必
有非零解.
1 1 1 1 A行 1 1 0 0 0 0
1 c1,r1 c1,r2 1 c2,r1 c2,r2

6.2解一元一次方程(2)学案

6.2解一元一次方程（2）----去分母、去括号设计：姚栋祥学习目标1、了解一元一次方程的概念；2、让学生正确、熟练的掌握和应用解一元一次方程的基本步骤；3、自主探索、归纳解一元一次方程的一般步骤。

课堂研讨一元一次方程的概念：观察下列方程有什么共同点：（1）9x -（5 x-1） =8 ；（2）4x －（6x －x ） =－15；（3）364155.1)35.2(7⨯-⨯-=-+-x x x x含有个未知数，并且未知数的次数是，这样的整式方程就叫。

解：（1）去括号 (2)去括号合并同类项得： = 合并同类项得： =两边，得 x 的系数化为1，得， =x ；∴=x ；（3）[练习一] 解下列方程：（1）6x -（ x-2） = 4 ；（2）－4x +（ 6x －0.5x ） =－0.3；（3）463127.2)53.1(3⨯-⨯-=-+-x x x x . （4）;43132=++x x解：（4）去分母得：根据去括号得：根据合并同类项得：根据把系数化为1得：根据你能概括解一元一次方程的一般步骤吗？试一试：解下列方程（1）)23(85--=-x x ；（2）)22(3073--=+x x 。

（3）)1(3)12(--=+-x x x ；（4）)12(1--=-x x ；（3）x 355-=；（4）32121x x x --=--；（5）x x x 58.4)2.13(-=+-；（6）32123x x -=--；[小结]1，本节学习的解一元一次方程，主要步骤有① ,② , ③ ④ ⑤2，移项时要注意，。

[课后作业]教学反思：。

6.2解一元一次方程(1)

华师版七年级下
6.2解一元一次方程
1.方程的简单变形
代数式
与
等
式
什么叫代数式、什么叫等式？你能区分代数式与等式吗？下列式中哪些是代数式？哪些是等式？
1 abc ; 3a－ 2b; 1 3; xy + y 2 - 5 3 2 - a; 2+3=5; 3×4=12; 9x+10 =19; a+b=b+a; S= r 2. 答：用运算符号连接数字与字母的式子叫代数式；含有等号的式子叫等式；～是代数式；～是等式。
用等式的性质解方程例4 解下列方程：
(1) 8x = 2x－7 ;
(2) 6 = 8＋2x；
1 1 (3) 2y－ = y－3 ; 2 2
(4) 10m+5= 17m－5－2m.
方程知识的应用
例5 方程 2x＋1＝3和方程2x－a＝0 的解相同，求a的值. 变式：关于x的方程 2x－k＋5＝0的根
为－1，求代数式k2－3k－4的值.
P7 习题 6.2.1的第1~3题.
由天平性质看等式性质
添上天平两边同时相同质量的砝码，天平仍然平衡。取下
加上等式两边同时减去
等式仍然成立。相同数值的代数式，
换言之，【等式性质 1】
等式两边同时加上(或减去)同一个代数式 , 所得结果仍是等式.
等式的性质
【等式性质 1】等式两边同时加上(或减去)同一个代数式代数式 , 所得结果仍是等式.
用等式的性质解方程例2 解下列方程： (1) -5x = 2 ; (2)
3 1 x . 2 3
例3 小明编了这样一道题：我是4月出生的，我的年龄的2倍加上8，正好是我出生那一月的总天数。你猜我有几岁？

6.2 解一元一次方程2

移项注意：
移项要改变项的符号后再移。通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到右边。解下列方程 5+2X=1 8-X=3X+2
1、解下列方程，并口算检验 2.4X-2=2X 3X+1=-2 10X-3=7X+3 8-5X=X+2
三、比一比、赛一赛看谁做的快解方程：
① 3y －2 ＝y ＋1 ＋ 6y
6.2 解一元一次方程
---方程的简单变形(2)
复习一下：
1、移项的法则（1）把未知项放在同一边，把常数项放在另一边；（2）移项记得要改变符号.
2、系数化1 把方程的两边同是除以未知项的系数 3、解方程的审题观察考虑哪些项要移项，只有跨过了等于号的项才要变号
一、回顾与思考 1 下面的移项是否正确
⑵根据题意得：2 x 3 (5 x 6) 0
7x 3
2x 5x 3 6 3x 9 x3
当 x 3 时，2x+3与-5x+6的值互为相反数＋8的值相等，则x的值是多少？ 2、解方程： |x －2 | ＝2 3、关于x的方程x ＝6/k的解是正整数，那么k所能取的所有整数值有那些？
② 7y ＋6 ＝－ 6y ③ 5x＋2 ＝7x＋8 ④ 3x＋4＝0
⑤ 0.4x －8 ＝0.25 －0.2x
⑥ 1 － 0.5x ＝x ＋1/3
3 当x取何值时，2x+3与-5x+6的值⑴相等？⑵ 互为相反数？
解：⑴根据题意得： 2x+3 = - 5x+6 2 x 5x 6 3
3 时，2x+3与-5x+6的值相当 x 7 等.
①从5＋y＝７，得到y ＝7 ＋5

6.2可分离变量的微分方程解析

dy k (a1 x b1 y ) c 对于 dx a1 x b1 y c1
令u a1 x b1 y，则方程化为
du ku c a1 b1 , dx u c1 此为变量分离方程。
a b 若 , a1 b1
ax by c 0, 则有唯一解h, k。 a1x b1 y c1 0,
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1) 3 3 x 4 C . 二、1、 2 cos y cos x ； 2、e x 1 2 2 cos y . 三、v 269.3 厘米/秒. 四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为x 轴 ,y 轴指向对 k h 2 1 3 岸,则所求航线为 x ( y y ) . a 2 3
x X h 可化为齐次方程的方程令 . y Y k
小结3
y 1.齐次方程 y f ( ) x
2.线性非齐次方程 3.伯努利方程
令 y xu;
P ( x ) dx
令 y u( x )e
;
令 y 1 n z;
思考题
方程 2 y( t )
x 0
g( y )dy f ( x )dx
数,
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函
G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
典型例题
例1 求解微分方程解分离变量
dy 2 xy 的通解. dx
dy 2 xdx , y
2 3
三、可化为分离变量的方程 dy ax by c 1. 形如的微分方程 dx a1 x b1 y c1

齐次线性方程组解的结构

§6.2齐次线性方程组解的结构
一. 齐次线性方程组解的结构
1. 解向量齐次线性方程组 Ax0,
若 x 1 1 , x 2 1 2 , , 1 x n n 1 为方程A x0的解，则
11
x
1
21
n 1
称为方程组的解向量.
2
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0的解.
A 1 2 A 1 A 2 0
（2）若 x1 为A x0的解，k为实数，则
xk1也是 A x0的解． A k 1 k 1 A k 0 0 .
推广：齐次线性方程组的解的线性组合
k 1 1 k 2 2 k n n
都是方程组的解 3
2. 基础解系
1 A2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 -2 -3
r2 -2r1 r3 - r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
1 2 2 1
1 0 - 2 -5/ 3
r3 -r2 r2(-3)
0 0
1 0
2 0
4 / 3
r1 -2r2
0
0
0
1 0
2 0
4/ 3
0
(2) 由标准阶梯形得到方程组为 x x12- 22xx33- ((54//33))xx44 00,.
简化阶梯形矩阵
方程组有无穷多解可写出一般解自由未知量适当取值基础解系
是
线性组合
方程组有唯一零解
写出全部解
14
习题4.6 3(2)
( 2 )A 0 x 的任1 一 ,2 , ,t线解. 性都
即方程组的通解就是

华东师大版七年级下册数学6.2《解一元一次方程》教案

课题：解一元一次方程(1)教学目标：1、了解与一元一次方程有关的概念，掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质解简单的一元一次方程.2、经历数值代入计算的过程，领会方程的解和解方程的意义.知道求方程的解就是将方程变形为x=a的形式.3、强调检验的重要性，养成检验反思的好习惯.教学重点：比较方程的解和解方程的异同；教学难点：归纳等式的性质；利用性质解方程。

教学过程：板书设计：教学后记：课题：解一元一次方程(2)教学目标：1．使学生理解什么是方程的解？使学生理解什么是解方程？2．使学生理解移项解方程的根据，能熟练运用移项法则解方程。

3．经历和体会解一元一次方程中“转化”的思想方法。

教学重点：理解方程的解，理解解方程的概念；教学难点：对移项时要改变符号的理解。

教学过程：板书设计：教学后记：课题：解一元一次方程（3）教学目标：1．使学生掌握解一元一次方程的移项规律，并且掌握带有括号的一元一次方程的解法；2．培养学生观察、分析、转化的能力，同时提高他们的运算能力．教学重点：带有括号的一元一次方程的解法；教学难点：解一元一次方程的移项规律。

教学过程：板书设计：教学后记：课题：解一元一次方程（4）教学目标：知道解一元一次方程的一般步骤，能灵活运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等五大步骤解一元一次方程.巩固方程解法，经历求解过程，能体会到解法应根据具体方程本身特点而定.体会化归思想——把复杂变简单，将未知变已知的作用，体会数学的应用价值.教学重点：带有分母的一元一次方程的解法；教学难点：解一元一次方程的步骤。

教学过程：板书设计：教学后记：。

01-6.2 线性方程组的解

(ii)有惟一解的充分必要条件是R A R A,b n;
(iii)有无限多解的充分必要条件是R A R A,b
n.
证只需证明条件的充分性. 设R A r .
设 B A,b 的行最简形矩阵为
1
0
B 0
0
0
0 1 0 0 0
0 b11 0 b21
1 br1 0 0 0 0
0
1
1
00
BB 00
00 0
0
0
0
1
1
0
0 0
0 0 0
b11
0b 21
0b
d1 d2
r1
0
10
d
n
0
b1,nr b2,nr
b r,nr 0
0
0
(i) R A R B
d1
d
2
dr 1 1
无解
dr
(iii)R A R B
0
0
r n
0
(ii)
R A
R B n
b1,nr b2,nr
br ,nr 0 0
(i) R A R B
d1
d2
dr 1 1
无解
dr
d r1
0
0 0 0 0
0
0
证只需证明条件的充分性. 设R A r.
设 B A,b 的行最简形矩阵为
1
0
B
0
0
0
0 1 0 0 0
0 b11 0 b21
1b r1
1 4 8
1 4 0
r
~
1 0 0
1 1 0
3 3
2 0

(精选推荐)同济-高等数学-第三版(6.2) 第二节可分离变量方程

由方程 F( x ,y ,y' )= 0 可解出导数 y'，即方程可化为如下形式：
y = f( x ,y ) 或 P( x ,y )d x + Q( x ,y )d y = 0 .
• 导数表达式中的二元函数必须是变量可分离的由于不定积分计算只能对单变量函数进行，而由一
阶方程 F( x ,y ,y )= 0 解出的导数 y' 一般是 x 、y 的二元函数，即导数可解出的方程的一般形式为：
遗憾的是，一般的微分方程未必有初等解，即便对最简单的一阶方程也是如此。
通过对各类微分方程的研究，人们找到了一些方程，它们的解可由初等函数表示，这便是微分方程求解要讨论的内容。
可由初等方法求解的微分方程一般有三类：
(1) 可积型方程从运算角度讲，解微分方程就是设法消去方程中导
数记号，使其化为仅含未知函数 y 及自变量 x 的式子。由于积分运算是导数运算的逆运算，消去导数记号
可分离变量方程是可积方程的最基本形式，其它类型的可积分方程最终都是化为可分离变量方程求解的，掌握可分离变量方程解的存在性理论是理解用积分法解微分方程的基础。
求解微分方程的前提是方程必需有解，从微积分讨论角度考虑，还希望方程的解能够由初等函数表示，那些能由初等函数表示的解称为初等解(公式解)。
(2) 可分离变量方程的一般形式由上分析，对一阶方程 F( x ,y ,y ' )= 0 ，可直接由
积分法求解的方程的一般形式为： y = f( x ,y )= h( x )/ g( y ), g( y ) 0，
或 h1( x )·g1( y )d x + h2( x )·g2( y )d y = 0 ，其中 g1( y )、 h2( x ) 0 .