三个二次问题

提升成绩题型训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）
1. 解关于x 的不等式：(1) x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，(2) 0222
>++mx x ．
2 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围．
3．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．
4．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－
2
1＜x ＜
3
1，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0．
5．若不等式012
>++p qx x p
的解集为{}42|<<x x ，求实数p 与q 的值．
6. 设()()f x ax bx c a =++≠2
0，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，
有()f x ≤54
.
7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数()()02>++=a c bx ax x f ，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足a
x x 1021<
<<. 当()1,0x x ∈时，证明()1x x f x <<.
8. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.
11.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.
12.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足
m
r m q m p +++
+1
2
=0,其中m >0,求证：
(1)pf (
1
+m m )<0;
(2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.
13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
15. 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a
.
且函数()f x 的图像关于直线x x =0对称，证明：x x 012
<.
16. 已知二次函数)0,,(1
)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .
（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.
17. 设0232=++++=c b a .c bx ax )x (f 若,00>)(f ，01>)(f ,求证：
(Ⅰ) a ＞0且－2＜
b
a ＜－1；
(Ⅱ)方程0=)x (f 在（0，1）内有两个实根.
18. 已知二次函数
的图象如图所示：
（1）试判断
及
的符号；
（2）若|OA|＝|OB|，试证明 。

19.
为何值时，关于
的方程
的两根：
（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。

20. 证明关于 的不等式 与 ，当 为任意实数
时，至少有一个桓成立。

21. 已知关于 的方程 两根为 ，试求 的极值。

22. 若不等式
2
2
8200
1
x x m x m x -+<--对一切x 恒成立，求实数m 的范围.
23. 设不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx 2
+bx+a<0的解集.
答案：
1.解：(1)原不等式可化为：,0)1)((<--x a x 若a ＞1时，解为1＜x ＜a ，若a ＞1时， 解为a ＜x ＜1，若a =1时，解为φ
(2)△=162
-m ．
①当时或即440162>-<>-m m m ，△＞0．
方程0222
=++mx x 有二实数根：.4
16
,416
2
22
1-+-=
--
-=
m m x m m x
∴原不等式的解集为.4
164
16
|2
2
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨
⎧-+
->
--
-<m m x m m x x 或
①当m =±4 时，△=0，两根为.4
21m x x -
==
若,4=m 则其根为－1，∴原不等式的解集为{}1,|-≠∈x R x x 且． 若,4-=m 则其根为1，∴原不等式的解集为{}1,|≠∈x R x x 且． ②当－4＜4<m 时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R ．
2．解：}0)]1()][13([|{≥+---=k x k x x A ，比较,1,13的大小+-k k
因为),1(2)1()13(-=+--k k k
(1)当k ＞1时，3k －1＞k ＋1，A={x |x ≥3k －1或x 1+≤k }.
(2)当k =1时，x R ∈.
(3)当k ＜1时，3k －1＜k ＋1，A={}131|+≤+≥k x k x x 或.
B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式k k k k 4)(442
2
-=+-=∆， (1)当k =0时，R x ∈<∆,0. (2)当k ＞0时，△＜0，x R ∈.
(3)当k ＜0时，k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.
故：当0≥k 时，由B=R ，显然有A B ⊆，
当k ＜0时，为使A B ⊆，需要⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+≥+--≤-k
k k k
k k 113k 1-≥，于是k 1-≥时，B A ⊆.
综上所述，k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或
3..解： (１)当m 2－2m －3＝0，即m ＝3或m ＝－1时，
①若m ＝3，原不等式解集为R
②若m ＝－1，原不等式化为4x －1＜0
∴原不等式解集为｛x ｜x ＜
4
1＝，不合题设条件.
(２)若m 2
－2m －3≠0，依题意有
⎪⎩⎪⎨⎧<--+-=∆<--0)32(4)3(0322
22m m m m m 即⎪⎩⎪
⎨⎧<<-<<-35
13
1m m ∴－
5
1＜m ＜3
综上，当－
5
1＜m ≤3时，不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R .
4..解： 由已知得x 1＝－
2
1，x 2＝
3
1是方程x 2＋px ＋q =0的根，
∴－p =－2
1＋
3
1 q =－
2
1×3
1
∴p ＝6
1，q ＝－
6
1，∴不等式qx 2＋px ＋1＞0
即－
61x 2＋
6
1x ＋1＞0
∴x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3.
即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为｛x ｜－2＜x ＜3｝.
5.．解：由不等式
012
>++p qx x p
的解集为{}42|<<x x ，得
2和4是方程
012
=++p qx x p
的两个实数根，且
01<p
．(如图)
∴
.0424201
2<⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=⋅-=+<p p pq P
解得.22
3,22=-=q P
y
x
o
2
4
6. 解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,
∴ ()()()()0)),1()1((2
1),0211(2
1f c f f b f f f a =--=
--+=
,
∴ ()()()()()
222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.∴ 当01≤≤-x 时， ()
()()()2
2
2
2
2
222
2
22
110122
1(1)2
2
221551().
2
44
x x x x f
x f f f x
x x x x x x x x x x x x x +-≤⋅+-⋅
+⋅-⎛⎫⎛⎫+-+-≤
++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+=-++
≤
当10-≤≤x 时，()()()()2
2
2
102
12
1x
f x x f x x f x f -⋅+-⋅
-++⋅
≤
2
2
222
21(1)2
2
22x x x x x x x x x
x ⎛⎫⎛⎫+-+-+≤
+
+-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
2
1551().2
4
4
x x x =-++=--
+
≤
7. 证明：由题意可知
))(()(21x x x x a x x f --=-.
a
x x x 1021<<<<
,∴ 0))((21>--x x x x a ,
∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.
又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,
0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,
综上可知，所给问题获证.
8. 解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎧-
>-<∈-
<⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=6
5,21,210
56)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m
R m m m f
m f f m f
∴2
16
5-
<<-m .
(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧<-<≥∆>>10,0,
0)1(,0)0(m f f
⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨
⎧
<<--≤+≥->->⇒.
01,
2121,2
1,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)
11.解：∵f (0)=1>0
(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.
(2）当m >0时，则⎪
⎩⎪
⎨⎧>-≥∆030m
m 解得0＜m ≤1
综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}.
12.证明：(1)])1
(
)1
(
[)1
(
2
r m m q m m p p m m pf ++++=+
]
)
2()1()1()2([
]
2
)
1([
]1
)
1([
2
2
2
2
2
+++-+=+-
+=+
++
+=m m m m m m p m p m pm pm m
r m q m pm pm
)
2()1(1
2
2
++-=m m pm
,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (
1
+m m )＜0.
(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1
+m m )＜0
若r >0,则f (0)>0,又f (
1
+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，
1
+m m )内有解;
若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m
r m p -+2
)+r =m
r m p -+2
>0,
又f (
1
+m m )＜0,所以f (x )=0在(
1
+m m ,1)内有解.
②当p ＜0时同理可证.
13..解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得
y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500 由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300
∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.
(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －
2
65)2+1612.5
∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元. 15. 解：由题意 ()c x b ax x x f +-+=-)1(2.
它的对称轴方程为a
b x 21--=
由方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<
x x a
, 可得
,121021a
x a
b x <
<--<
<且
a
b x x a
b 2121
21---
=---,
∴ a
b a a b x x a b 21121
2121---
<---=---， 即 1x a b
<-
， 而a
b x 20
-=
故 x x 012
<.
16. 解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x .
（1） 由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨
⎧><0
)4(0)2(g g ，
即 ⎩⎨
⎧>-+<-+0
34160124b a b a ，
即 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b
两式相加得
12<a
b
，所以，10->x ;
（2）由a a b x x 4)1()
(22
21--=-, 可得 1)1(122
+-=
+b a .
又0121>=
a
x x ，所以21,x x 同号.
∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(120
22
12b a x x ,
即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0
)2(2b a g g
解之得 4
1<
b 或4
7>
b .
17. 证明：（错误！未找到引用源。

）因为(0)0,(1)0f f >>，
所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=，消去b ，得 0a c >>；
由条件0a b c ++=，消去c ，得 0a b +<，20a b +>. 故21b a -<
<-.
（错误！未找到引用源。

）抛物线2
()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2
3(,
)33b ac b a
a
--
，
在21b a
-<<-的两边乘以13
-，得123
33
b a
<-<.
又因为(0)0,(1)0,f f >>
而2
2
()0,33b a c ac
f a
a
+--=-<
所以方程()0f x =在区间(0,)3b a
-与(,1)3b a
-内分别有一实根。

故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.
18. 解析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与 轴交点个数）及函数零
点（方程）的有关知识，即
（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与
轴交点个数，立即可得： ，。

（2）由方程 结论
19. 解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与 轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两
根为
则
1）；
（2）；
（3）；
4）；
（5）。

20.解析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒
在轴上方或下方的充要条件即可。

即由恒成立对应抛物线恒在轴下方
；
由恒成立对应抛物线恒在轴上方。

因此,当为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证。

21. 解析：求
的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值
的问题。

即
为方程的两根
，
，又
22. 解析：∵x 2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴ 只须mx 2
-mx-1<0恒成立，即可：
①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m ≠0
时，则须2
40
m m m <⎧⎨∆=+<⎩
解之：-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m ≤0.
23. 分析：由题001111c b b a c c a a c ααβαβαβαβ
⎧⎧
⎪⎪<<⎪⎪
⎪⎪
+=-⇒+=-
⎨⎨⎪⎪⎪⎪=⋅
=⎪⎪⎩⎩∴cx 2+bx+a<0的解集是{x|x<
1
β
或x>
1
α
}．。