杭州二中高一期末考数学卷
2023届浙江省杭州市杭州第二中学高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题
A.176B.100
C.77D.88
4．若 ，则 所在象限是
A.第一、三象限B.第二、三象限
C.第一、四象限D.第二、四象限
5．三棱锥 的外接球为球 ，球 的直径是 ，且 ， 都是边长为1的等边三角形，则三棱锥 的体积是
A. B.
C. D.
6．已知 是定义在区间 上的奇函数，当 时， .则关于 的不等式 的解集为
7、D
【解析】先利用偶函数的对称性判断函数在区间 内单调递减，结合偶函数定义得 ，再判断 ， 和 的大小关系，根据单调性比较函数值的大小，即得结果.
【详解】偶函数 的图象关于yБайду номын сангаас对称，由 在区间 内单调递增可知， 在区间 内单调递减.
，故 ，而 ， ，即 ，故 ，
由单调性知 ，即 .
故选：D.
8、B
①求圆 的方程
②过点 的直线 截图所得弦长为 ，求直线 的方程
20．已知集合A={x|x2-px+q=0}，B={x|x2-x-6=0}
（Ⅰ）若A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）若∅ A B，且p+q＞0，求p，q的值
21．已知向量 ，
2023届浙江省杭州市杭州第二中学数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析
【解析】根据所给关系图（Venn 图），可知是求 ( U A） B ,由此可求得答案. 【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是 ( U A） B ， 故 ( U A） B=[1，+) (-1,3)=[1,3) ，
19．（1）设函数 f (x) ax2 (1 a)x a 2 .若不等式 f (x) 2 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（2）解关于 x 的不等式 x2 (1 a)x a 0, (a R) .
20．设函数
.
（1）计算
；
（2）求函数 的零点；
（3）根据第（1）问计算结果，写出
A.（﹣1，0）
B.（0，1）
C.（1，2）
D.（2，3）
11．已知集合 A 1,0,1, 2， B {x |1 2x <4}，则 A B 等于（）
A.0,1
B. 1, 2
C. 1, 0,1
D.{0,1, 2}
12．已知
x1
log 1
3
2，
x2
1
22
，
x3
满足
1 3
x3
log3
x3
，则（
）
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
浙江省杭州市杭州第二中学2022-2023学年高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
∵ ，
∴ ，则 ，又 ，
∴ .
故选：B
8、A
【解析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将 带入即可完成求解.
【详解】由已知使用诱导公式化简得： ，
将 代入即 .
故选：A.
9、C
【解析】计算函数解析式，取 计算得到答案.
【详解】∵函数图像过点 ，
∴ ，
当 时，取 ，
【详解】因为 为单元素集，所以方程 只有一个解，且解为 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，即 ，此时 ，
故选：D.
6、D
【解析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 ，
故选：D
7、B
【解析】根据已知条件，应用向量数量积的运算律可得 ，由 得 ，即可求出向量 、 的夹角.
（2）利用函数单调性的定义证明即可.
【详解】解：（1） ∴
∴ ,
∴ 是奇函数
（2）设
，
∵ ， , ，∴ ，
∴ 在 上是单调减函数.
【点睛】本题考查函数解析式的求法，奇偶性的证法、单调性的证明，属于中档题.
22、（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）设 ，然后代点求解即可；
（2）利用定义证明函数 在区间 上单调递增即可，然后可得在 上， ，然后可求出t的取值范围
A.25B.30
C.45D.60
10．下列集合与集合 相等的是（）
A. B.
C. D.
11．已知函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
12．实数 满足 ，则下列关系正确的是
A. B.
2019-2020学年浙江省杭州二中高一(上)期末数学试卷
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
(22)（本小题满分12分）
已知函数 .
（ ） 判断 的奇偶性，并说明理由；
（ ） 判断函数 的单调性，并利用定义证明；
（ ）解不等式 .
2019-2020学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷
答 案
第Ⅰ卷（共60分）
值域为 ---12分
(21) 解：（ ）由图像可知， ， ---2分
解得， ，
所以 ． -----4分
（ ）①由（ ）,
， ． -----8分
②由①可知， ，其图像开口向下，对称轴为 ，所以当 时， ． ---11分
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．
---12分
（ ）求 ， ；
（ ）求 ．
(18)（本小题满分12分）
求值： （ ）
（ ）
(19)（本小题满分12分）
已知一次函数 满足 ， ．
（ ）求这个函数的解析式；
（ ）若函数 ，求函数 的零点．
(20)（本小题满分12分）
已知 是定义在 上的奇函数，且 时， ．
（ ）求函数 的解析式；
（ ）画出函数 的图象，并写出函数 单调递增区间及值域．
(22)解：（ ） 是奇函数. ---1分
(23)理由如下: 由题意得，
的定义域为 ,关于原点对称 ----2分
所以， 是奇函数. ---4分
（ ）函数 在 上单调递减 ----5分
----6分
，所以函数 在 上单调递减----8分
（ ）由函数的单调性和奇偶性得：
不等式
-----10分
----------12分
浙江省杭州二中10-11学年高一上学期期末试卷数学
杭州二中2010学年第一学期高一年级期末考试数学试卷命题：徐存旭 审核：黄宗巧 校对：李 鸽一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人,则样本容量为（ ）A.7B.15C.25D.352.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B ⋃=,则集合2{}x x a =的子集的个数为（ ）A.1B.2C.3D.43.设12log 3a =，0.213b =⎛⎫⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A. a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.a c b <<4.东信大道十字路口,交通信号灯设置为红灯时间12秒,黄灯时间3秒, 绿灯时间15秒,则某车经过这个路口碰到红灯的概率是（ ） A.110 B.12 C.25 D.355.关于函数||,y x x x R =∈，下列说法正确的是（ ）A.既是奇函数又是减函数B.既是偶函数又是增函数C.既是奇函数又是增函数D.既是偶函数又是减函数6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于( )A ．15B ．29C ．31D ．637.已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点,（第6题）若1020(1,),(,)x x x x ∈∈+∞,则（ ） A.12()0,()0f x f x ＜＜B.12()0,()0f x f x ＜＞C.12()0,()0f x f x ＞＜D.12()0,()0f x f x ＞＞8.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A.“至少有一个黑球”与“都是红球” B.“至少有一个黒球”与“都是黒球” C.“至少有一个黒球”与“至少有1个红球” D.“恰有1个黒球”与“恰有2个黒球” 9.函数:{1,2,3}{1,2,3}f →，则满足“若12x x ≠，则12()()f x f x ≠”的函数()f x 的个数为（ ）A.10B.9C.8D.610.设定义在R 上的函数1,(2),2()1,(2)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩． 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有5个不同的实数解，则这5个根的和等于 （ ）A.12B.10C.6D.5二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 三进制数(3)2011化为十进制数为 .12.如图,是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这 几场比赛得分的中位数之和是 .13.若1()2ax f x x +=+在区间(2)-+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是____________.14.已知,x y 的取值如下表所示：（第12题）从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，由此预测当 1.5x =时，ˆy = .15.对任意的函数()f x ，()g x ，在公共定义域内，规定()()min{()()}f x g x f x g x *=，，若()6f x x =-，()g x =()()f x g x *的最大值为_______________.16. 4张不同的贺卡随机投入3个不同的空邮筒，则至少有一个邮筒为空的概率为 .（结果用数字表示）杭州二中2010学年第一学期高一年级期末试考数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12. 13.14. 15. 16.三、解答题：本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）为了解某校高一年级女生的身高情况，选取一个容量为80的样本分组151.5～158.5 158.5～165.5 165.5～172.5 172.5～179.5频数12 24 m频率a0.15（Ⅱ）试估计身高高于162.0cm的女生的比例.18.（本题满分10分) 已知某种钻石的价值υ(万元)与其重量ω(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为35万元.（Ⅰ）写出υ关于ω的函数关系式;（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石,求价值损失的百分率;（Ⅲ）请猜想把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为多少时价值损失的百分率最大？（直接写出结果，不用证明）(注:价值损失的百分率=原有价值现有价值原有价值×100%;在切割过程中的重量损耗忽略不计)19.（本题满分12分) 先后抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6），骰子向上的数字依次记为a 、b . （Ⅰ）求a b +能被3整除的概率；（Ⅱ）求使关于x 的方程20x ax b -+=有实数解的概率；（Ⅲ）求使,x y 方程组322x by x ay +=⎧⎨+=⎩有正数解的概率.20.（本题满分14分） 函数()af x x x=+（a 为常数）的图象过点(2,0)， （Ⅰ）求a 的值并判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）函数()lg[()2]x g x f x m =+-在区间[2,3]上有意义，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x 的方程2()4f x t x x =+-（t 为常数）的正根的个数.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDACCCBDDB二、 填空题：11． 58 12. 64 13. 12a >14. 4.025 15. 2 16. 59三、 解答题： 17.解:（Ⅰ）0.151280mm =⇒=， 又12240.1510.48080a a +++=⇒= 频率分布直方图（Ⅱ）由频率分布直方图，知身高高于162cm 同学的比例为 (165.5162.0)24[0.40.15]10070780-⨯++⨯=％％18．解：（Ⅰ）依题意设v =kω2，又当ω=3时,v =35,即3500009k =，得： 23500009v ω=（Ⅱ）设这颗钻石的重量为a 克拉,由(Ⅰ)可知,按重量比为l ∶3切割后的价值为k (14a )2+k (34a )2价值损失为 k a 2一[k (14a )2+k (34a )2]价值损失的百分率为222213[()()]440.37537.5%ka k a k a ka-+== 答:价值损失的百分率为37.5%.(Ⅲ)重量比为1∶1时,价值损失的百分率达到最大。
浙江省杭二中2022年高一数学第一学期期末统考试题含解析
17．化简求值
（1） ；
（2） .
18．在△ 中， 的对边分别是 ，已知 ， .
（1）若△ 的面积等于 ，求 ；
（2）若 ，求△ 的面积.
19．已知二次函数 满足 ，且
求 的解析式；
设 ，若存在实数a、b使得 ，求a的取值范围；
【详解】因为方程 有解,即方程 有解，
令 ，则 ，即 ；
因为函数 在区间 上恒为正值，
所以 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
解得 ，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：B
2、B
【解析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.
【详解】由题设， 且 ，
所以B正确，A、C、D错误.
故选：B
【详解】（1）由题意，函数 ，
所以 的图象如右图所示：
（2）由（1）中的函数 图象，
可得函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 和 .
（3）由方程 有四个解等价于函数 与 的图象有四个交点，
又由函数 的最小值为 ，
结合图象可得 ，即实数 的取值范围
21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为 •S△A1DE•CD，运算求得结果
13、
浙江省杭州市第二中学2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
浙江省杭州市第二中学2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）1.若5sin 13α=-且a 为第三象限角，则tan α的值等于（ ） A.125 B. 125-C.512D. 512-【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解. 【详解】因为5sin 13α=-且a 为第三象限角， 所以12cos 13α=-， 则5tan 12α=. 故选C【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，属于中档题. 2.函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） A. 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线6x π=对称D. 关于直线3x π=对称【答案】B 【解析】 【分析】根据sin y x =关于点(),0,()k k Z π∈对称,sin y x =关于直线()2x k k Z ππ=+∈对称来解题.【详解】解：令2()3x k k Z ππ+=∈,得126x k ππ=-, 所以对称点为1,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭.当1k =,为,03π⎛⎫⎪⎝⎭,故B 正确； 令2()32x k k Z πππ+=+∈,则对称轴为212k x ππ=+, 因此直线6x π=和3x π=均不是函数的对称轴.故选B【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据sin y x =关于点(),0,()k k Z π∈对称,关于直线()2x k k Z ππ=+∈对称.3.函数3()f x x =在定义域上是（ ） A. 单调递减的偶函数 B. 单调递减的奇函数 C. 单调递增的偶函数 D. 单调递增的奇函数【答案】D 【解析】 【分析】先由()()f x f x -=-得出函数是奇函数,再根据3()f x x =在R 上为增函数得出结论.【详解】解:33()()()f x x x f x -=-=-=-,根据奇偶性的定义,3()f x x =为奇函数; 又3()f x x =在R 上为增函数.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题.4.ABC 的三边分别为a ,b ,c ,若ABC 是锐角三角形,则（ ） A. sin cos A B <B. tan tan 1A B >C. cos()0A B +>D.sin()sin A B C +>【答案】B 【解析】 【分析】根据ABC 是锐角三角形,令60A B C ===︒,然后逐项判断排除即可.【详解】解:ABC 是锐角三角形,可令60A B C ===︒,1sin cos 2A B =>=,A 错误; 1cos()cos12002A B +=︒=-<,C 错误;sin()sin120sin A B C +=︒==,D 错误; tan tan 31A B =>,B 正确.故选:B【点睛】本题考查三角形内角和定理,以及三角形内角的正余弦值之间的关系,可用排除法得出正确选项.5.设α∈R ,且44log (2sin cos )log (sin 2cos )1αααα+++=,则tan α的值是（ ） A.12B. 2C.12或2 D. 不存在【答案】C 【解析】 【分析】先进行对数运算,将44log (2sin cos )log (sin 2cos )1αααα+++=化为4log [(2sin cos )(sin 2cos )]1αααα+⨯+=,然后利用同角三角函数商的性质得到22tan 5tan 20αα-+=,即可求出tan α的值.【详解】解:44log (2sin cos )log (sin 2cos )1αααα+++=,4log [(2sin cos )(sin 2cos )]1αααα∴+⨯+=即：(2sin cos )(sin 2cos )4αααα+⨯+=,化简得：222sin 5sin cos 2cos 4αααα++=,22222sin 5sin cos 2cos 4sin cos αααααα++∴=+222tan 5tan 24tan 1ααα++⇒=+ 22tan 5tan 20αα⇒-+=,解得tan α为12或2.故选:C【点睛】本意考查对数的运算,和同角三角函数商的性质,属于跨章节的综合应用题,掌握好运算性质是解题的关键.6.已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先确定实数a ,b 的取值范围，然后结合函数的性质即可确定满足题意的函数图像. 【详解】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<， 故函数y =log a (x −b )是定义域内的减函数,且过定点(1+b ,0). 结合所给的图像可知只有C 选项符合题意. 故选：C .【点睛】本题主要考查三角函数的性质，对数函数的图像识别等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设1x ,2x 分别是函数()1xf x xa =-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >）,则122x x +的取值范围是（ ）A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. [3,)+∞D. (3,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】解法一:（图象法）根据题意可知12,x x 分别为xy a =与1y x=和log a y x =与1y x=交点的横坐标,,再根据同底数的指数对数函数互为反函数,有121x x =.代入1222122x x x x +=+,再根据区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知1x 、2x 是方程1xa x =和1log a x x=的根,又1a >,所以函数1()xF x a x =-在(0,)+∞上单调递增,所以121x x =.代入1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.【详解】解:解法一:（图象法）根据函数零点的定义可知函数xy a =与1y x =的图象交点为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 同理可得函数log ay x =与1y x=的图象交点为221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭. 又因为函数xy a =与log a y x =的图象关于直线y x =对称,函数1y x=的图象也关于直线y x =对称, 所以点111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点221,x x ⎛⎫⎪⎝⎭关于直线y x =对称,所以121x x =.由1a >可知21>x ,所以1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增, 所以1223x x +>. 故选:D解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知1x 是方程1xa x=的根, 所以1x 也是函数1()xF x a x=-的零点.同理可得2x 是方程1log a x x=的根,即221log a x x =,所以212x ax =,所以21x 也是函数1()xF x a x=-的零点. 又1a >,所以函数1()xF x a x =-在(0,)+∞上单调递增,所以121x x =.由1a >可知21>x ,所以1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增, 所以1223x x +>. 故选:D【点睛】本题考查了方程的根的确定、反函数性质的应用以及利用函数的单调性求最值,属于基础题.8.对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A. 01a ≤≤B. 11a -≤≤C. 12a -≤≤D.22a -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥. 令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B .解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题. 9.已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭,(0>ω)在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是（ ） A. 10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,根据2536x ππ-≤≤,得出253363X πωππωπ-+≤≤+. 再根据sin y X =的单调性得出25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得15ω≤.又因为0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,函数在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,可得5232ππππω≤+<,即可解得11366ω≤≤.解法二:(特殊值法)带入特殊值当12ω=,112ω=,逐项排除即可. 【详解】解：解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,2536x ππ-≤≤,则253363X πωππωπ-+≤≤+. 所以函数sin y X =在区间25,3363πωππωπ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上单调递增, 从而可得25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则22335632ππωππωππ⎧-≤-+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得15ω≤.当0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,所以函数sin y X =在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,所以5232ππππω≤+<,解得11366ω≤≤. 综上所知1165ω≤≤. 故选:C解法二:(特殊值法) 当12ω=时,令23x X π=+,2536x ππ-≤≤,则304X π≤≤,则函数sin y X =在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调, 所以12ω=不合题意,排除B 、D . 当112ω=时,令123x X π=+,0x π≤≤, 则5312X ππ≤≤,则函数sin y X =在区间5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦取不到最大值1, 所以112ω=不合题意,排除A .【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数ω的取值,属于基础题. 10.设不等式3412xx a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）A. 15a <-或47a >B. 15a <-C. 47a >或01a <<D. 15a <-或1064a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式3412xx a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2431a ->,解得15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为281t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况讨论2()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围.【详解】解:因为不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,当2x =时,312x +-有最大值31,不等式显然要成立,即2431a ->,解得15a <-或47a >, 当[1,2]x ∈时,令2[2,4]xt =∈, 则24[4,16]xt =∈,328[16,32]x t +=∈,所以3412x x a +->-等价于281t a t ->-,①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t h t >+-=, 即求2()81h t t t =+-最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >;②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即281()a t t f t <-+=,即求2()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-;综上:15a <-或47a >.【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.11.圆心角为1弧度的扇形半径为1，则该扇形的周长为________，面积为________. 【答案】 (1). 3 (2). 12【解析】 【分析】 先根据公式lr ,求出弧长l ,即可得出周长,再根据12S lr =得出面积. 【详解】解：已知知弧长1l =, 根据弧度制公式：lr, 所以111lr ,则周长23C l r =+=;11111222S lr ==⨯⨯=.故答案为：(1). 3 (2).12【点睛】本题考查弧度制,利用弧度与半径求扇形周长和面积,属于基础题.12.若函数()f x 满足：对任意的实数x ,有(2)()0f x f x -+=且(2)()0f x f x ++=,当[0,1]x ∈时,2()(1)f x x =--,则(6)f =________,当[2019,2020]x ∈时,()f x =________.【答案】 (1). 1 (2). ()()22019f x x =-- 【解析】 【分析】根据(2)()0f x f x ++=可得函数的周期为4T=,所以()()()6201f f f ==-=,又根据(2)()0f x f x -+=得出()()()221f x f x x =-+=-+,整理可知[]2019,2020x ∈时,[]20201,0x -∈-,所以()()()()222020202012019f x f x x x =-=--+=--.【详解】解：由()()20f x f x ++=,则()()420f x f x +++=,故()()4f x f x =+,即4T =,()()()6201f f f ==-=;当[1,2]x ∈时,2[0,1]x -∈,()()()221f x f x x =--=-, 当[1,0]x ∈-时,2[1,2]x +∈,得()()()221f x f x x =-+=-+, 所以[]2019,2020x ∈时,[]20201,0x -∈-,即()()()()222020202012019f x f x x x =-=--+=--, 故答案为：（1）1;（2）()()22019f x x =--【点睛】本题考查函数的周期性,利用函数的周期性解决函数求值问题,属于基础题.13.若sin x >,[0,2)x π∈,则x 的取值范围是________；若sin cos 0x x ++=,则x 的取值范围是________.【答案】 (1). 2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ (2). 372,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ 【解析】 【分析】根据sin 2x >,又因为[0,2)x π∈,结合特殊的三角函数值,即可就出解;利用换元法令sin cos t x x =+,则sin cos 0x x +=转化为0t =,解得0t <,结合sin cos 04t x x x π⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭即可求出不等式的的解.【详解】解：由sin 2x >,又因为[0,2)x π∈, 解得：2,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭; 令sin cos t x x =+,则212sin cos t x x =+⋅,0t ∴=,||0t t +=,0t ∴<sin cos 04t x x x π⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭,解得372,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 故答案为：（1）2,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭;（2）372,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,以及根据三角函数的值域求参数,属于简单题. 14.已知函数()sin (01)3f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.()f x 在x π=处取得最大值，则(7)(6)f f ππ-=________；若函数()f x 的周期是4π，函数|()|f x 的单调增区间是________.【答案】1- (2). 22,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()k ∈Z 【解析】 【分析】 根据()f x 在x π=处取得最大值,得232k ππωππ+=+,求出16ω=,1()sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则可以求出(7)(6)f f ππ-的值;根据函数()f x 的周期是4π,求出12ω=,则1()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()f x 的周期为2π,再根据10232x ππ<+<,即可求出函数()f x 的单调增区间.【详解】解析：由()f x 在x π=处取得最大值, 得232k ππωππ+=+,k Z ∈,126k ω=+, 01ω<<,16ω∴=,1()sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34(7)(6)sinsin 123f f ππππ∴-=-=-.函数()f x 的周期是4π,所以24T ππω==,12ω∴=,1()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()f x 的周期为2π,由10232x ππ<+<,233x ππ∴-<<, 函数()f x 的单调增区间是22,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,()k ∈Z .故答案为：（11-;（2）22,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,()k ∈Z . 【点睛】本题考查三角函数的周期性和单调性,属于基础题.15.设函数1()(0)f x x x x =+≠,则()()22sin cos 0,2f f πααα⎛⎫⎛⎫⋅∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是________. 【答案】254【解析】 【分析】 根据1()(0)f x x x x =+≠,得出()()2222222sin cos sin cos 2sin cos f f αααααα⋅=+-,利用换元法得到2t t +,再根据10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,得出最小值. 【详解】解：()()22222211sin cos sin cos sin cos f f αααααα⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 2sin cos αααα=+-令221sin cos (1cos 4)8t ααα==-,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,10,4t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦,2t t ∴+的最小值为334,因此()()22sin cos 0,2f f πααα⎛⎫⎛⎫⋅∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值254.故答案为：254【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式,以及利用不等式求最小值,属于基础题.16.设函数()f x 是以2为最小正周期的周期函数，且[0,2]x ∈时，2()(1)f x x =-，则72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 【答案】14【解析】 【分析】根据()f x 是以2为最小正周期的周期函数,将72f ⎛⎫⎪⎝⎭整理成33222f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为3[0,2]2∈,则根据2()(1)f x x =-求解即可. 【详解】解：因为()f x 是以2为最小正周期的周期函数,7332222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又因为[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-2733112224f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：14【点睛】本意考查函数的周期性,是基础题.17.已知实数()(),0{lg ,0x e x f x x x ≥=-<，若关于x方程()()20fx f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________． 【答案】(],2-∞- 【解析】试题分析：原问题等价于()()2fx f x t+=-有三个不同的实根，即y t =-与()()2y f x f x =+有三个不同的交点，当0x ≥时，()()22x x y f x f x e e =+=+为增函数，在0x =处取得最小值为2，与y t =-只有一个交点.当0x <时，()()22lg ()lg()y f x f x x x =+=-+-，根据复合函数的单调性，其在,0上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需2t -≥，解得2t ≤-. 考点：函数与方程零点.【思路点晴】本题主要考查复合函数零点与单调性的问题.函数()f x 是一个分段函数，先对含有t 的方程进行分离常数()()2fx f x t +=-，变为探究两个函数图像3个交点的问题来研究.分离常数后，由于()f x 是一个分段函数，故分成两个部分来研究，当0x ≥时，函数()()22x x y f x f x e e =+=+为增函数，在0x =时有最小值为2，由此在y 轴右边仅有一个交点.利用复合函数单调性可知函数在y 轴左边先减后增，故要使两个函数有3个交点，则需2t -≥，解得2t ≤-.18.已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）画出函数在一个周期上的图像; （2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =,求12y g x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）作图见解析（2）[2] 【解析】 【分析】 （1）令320,,,,2322x πππππ+=,得相应的x 值与y 值,列表,描点,连线即可. （2）现根据正弦函数的平移变化得出()y g x =的解析式,再求出12y g x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的解析式,根据30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求出值域即可. 【详解】解析:（1）（五点法作图）x6π-12π3π 712π 56π ()f x1 311-1（2）()12sin 2112sin 2663g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 则2sin 2126y g x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以42,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 从而12g x π⎛⎫-⎪⎝⎭在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[3,2]. 【点睛】本题考查“五点法”作函数在一个周期内的简图,考查正弦函数的平移伸缩变换,考查给区间求函数的值域,都是基础题型.19.已知函数2()f x x ax b =++.（1）若对任意的实数x 都有(1)(1)f x f x +=-成立，求实数a 的值； （2）若()f x 在(,1]-∞内递减，求实数a 的范围； （3）若函数()sin ()g x x f x =⋅为奇函数，求实数a 的值. 【答案】（1）2a =-（2）2a ≤-（3）0a = 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性结合二次函数的对称轴即可求出实数a 的范围. （2）根据二次函数的对称轴大于等于只要1,即可求出实数a 的范围. （3）根据奇函数的定义()()g x g x -=-,即可求出实数a 的范围【详解】解：（1）由()f x 对任意的实数x 都有()()11f x f x +=-成立可知, 二次函数的对称轴为012ax -==, 所以2a =-;（2）由（1）知二次函数的对称轴为012ax -==, 若()f x 在(,1]-∞内递减, 只要122aa -≥⇒≤-, 所以实数a 的范围是2a ≤-.（3）由()g x 对任意的实数x 都有()()g x g x -=-, 所以sin()()sin ()x f x x f x -⋅-=-⋅,()()f x f x ⇔-=x R ⇔∀∈,0ax =,所以0a =.【点睛】本题考查二次函数的对称性、单调性与奇偶性,属于基础题,掌握每个性质的判断方法是关键.20.已知函数()2()ln 1f x x ax =++，a R ∈. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）若1a =，用定义证明：()f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数. 【答案】（1）当0a =时，()f x 为偶函数，0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义,得()2()ln 1f x x ax -=-+,分情况讨论a 的取值即可得出,0a =时,()f x 为偶函数,0a ≠时,()f x 为非奇非偶函数.（2）代入1a =,则()2()ln 1f x x x =++,令()21g x x x =++,用定义证明()21g x x x =++为单调递增函数,又因为ln y x =也为单调递增函数,则复合函数()f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数.【详解】解：（1）()2()ln 1f x x ax =++,()2()ln 1f x x ax -=-+. ∴当0a =时,()f x 为偶函数,0a ≠时,()f x 为非奇非偶函数. （2）当1a =,则()2()ln 1f x x x =++, 令()21g x x x =++,所以121,2x x ⎛⎫∀<∈-+∞ ⎪⎝⎭,()()()()12121210g x g x x x x x -=-++<, 故()21g x x x =++为单调递增函数, 又因为ln y x =也为单调递增函数, 故由复合函数的性质可得()f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数. 【点睛】本题考查奇偶性的判断和复合函数单调性的判断,掌握定义是的解题的关键. 21.定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)0f =,并且在区间(0,)+∞上递减,设2()2sin (43)cos 62x x m x m ϕ=-+--,()0,0,2M m x x πϕ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎡⎤=≤∀∈⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎩⎭,(())0,0,2N m f x x πϕ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎡⎤=≤∀∈⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎩⎭,求M N ⋂.（注:x ∀意思是任意的实数x.）【答案】M N ⋂=∅ 【解析】 【分析】根据定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)0f =,并且在区间(0,)+∞上递减,可解得()0[4,0][4,)f x x ≤⇒∈-⋃+∞,用换元法得2()2(43)6t t m t m ϕ=--+-,根据()0t ϕ≤,[0,1]t ∈,解得0m ≥,即[0,)M =+∞.又由(())0()[4,0][4,)f x x ϕϕ≤⇒∈-⋃+∞.当()[4,)x M N ϕ∈+∞⇒⋂=∅,当()[4,0]x ϕ∈-时,换元得22(43)600t m t m m --+-≤⇒≥,又22344223(23)t t m t t t --+≤=-++,[0,1]t ∈递减;110m ⇒≤-.即()[4,0]x m ϕ∈-⇒不存在.所以M N ⋂=∅. 【详解】解:f x 在R 上为奇函数,()40f =,并且在区间0,上递减()0[4,0][4,)f x x ∴≤⇒∈-⋃+∞.令cos [0,1]t x =∈.2()2sin (43)cos 62x x m x m ϕ∴=-+--()221(43)62t m t m =--+--22(43)6t m t m =--+-22()02(43)602346x t m t m t t mt m ϕ≤⇒--+-≤⇒--≤+,[0,1]t ∈223(23)0462(23)2t t t t tm m t t ---+-⇒≥==⇒≥++.()0,0,[0,)2M m x x πϕ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎡⎤∴=≤∀∈=+∞⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎪⎩⎭.由(())0()[4,0][4,)f x x ϕϕ≤⇒∈-⋃+∞. 当()[4,)x M N ϕ∈+∞⇒⋂=∅,只需算2()[4,0]42(43)60x t m t m ϕ∈-⇒-≤--+-≤, 由上可知22(43)600t m t m m --+-≤⇒≥22234442(43)6223(23)t t t m t m m t t t --+-≤--+-⇒≤=-++,[0,1]t ∈递减;110m ⇒≤-.即()[4,0]x m ϕ∈-⇒不存在. 综上所述M N ⋂=∅.【点睛】本题考查给定函数的零点和单调性,求二次函数的参数,分情况讨论是解题的关键.22.已知函数()(0)af x x a x=+>具有如下性质:在上是减函数,在)+∞上是增函数.（1）若函数2(0)by x x x=+>的值域为[6,)+∞,求b 的值;（2）已知函数24123()21x x f x x --=+,[0,1]x ∈,求函数()f x 的单调区间和值域;（3）对于（2）中的函数()f x 和函数()2g x x c =--,若对任意1[0,1]x ∈,总存在2[0,1]x ∈,使得()()21g x f x =成立,求实数c 的值.【答案】（1）2log 9b =（2）()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减,在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增;值域为[4,3]--（3）32c = 【解析】 【分析】（1）由所给函数()(0)a f x x a x =+>知,即可得出对于函数2(0)by x x x=+>,当x =时取得最小值6=,解出即可.（2）设21t x =+,[1,3]t ∈,2(1)6(1)34()8t t f t t t t----==+-.由所给函数()(0)af x x a x=+>性质知:()f t 在[0,1]单调递减,在[2,3]单调递增.进而取得最值.（3）()g x 在[0,1]单调递减,可得()[]12,2c g x c -∈--.对任意1[0,1]x ∈,总存在2[0,1]x ∈,使得()()21g x f x =成立,[4,3][12,2]c c ,解出即可.【详解】解:（1）由条件知2by x x=+在上单调递减,在)+∞上单调递增,所以当x =,则min 6y ==,所以2log 9b =.（2）令21t x =+,则[1,3]t ∈,所以2(1)6(1)34()8t t f t t t t----==+-,- 21 - 由条件知48y t t=+-在[1,2]t ∈上递减,在[2,3]t ∈上递增, 而21t x =+在[0,1]上递增,根据复合函数单调性知()f x 在[1,2]t ∈即10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递减, 在[2,3]t ∈即1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增, 所以()f x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减,在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增; 根据48y t t=+-的单调性知, 当2t =时,min ()4f x =-,当1t =时,max ()3f x =-,所以值域为[4,3]--.（3）()g x 的值域为[]12,2c c ---,对任意1[0,1]x ∈,总存在2[0,1]x ∈,使得()()21g x f x =成立由题意知()f x 的值域为()g x 的值域的子集,所以[4,3][12,2]c c 所以1243323232c c c c --≤-⎧⇒≤≤⇒=⎨-≥-⎩. 【点睛】本题考查了“双勾函数"函数()(0)a f x x a x=+>性质及其应用、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法,考查了分析问题和解决问题的能力,属于难题.。
2024届浙江省杭州市杭州第二中学高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析
2024届浙江省杭州市杭州第二中学高一数学第二学期期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）A ．63B ．33C ．22D ．662．定义运算:a b ad bc c d=-.若不等式22301k kx x+<-的解集是空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．{}[)024,⋃+∞ B ．[]0,24C ．(]0,24D ．(][),024,-∞⋃+∞3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，33S =，33a =，则1011a =（ ） A ．2019 B ．1010C ．2018D ．10114．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递增 C ．在区间上单调递增 D ．在区间上单调递增5．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（ ） A ．12019B ．12C ．12020D ．201920206．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．27．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ．2B ．42C ．6D ．2108．已知向量()4,a x =，()8,4b =--且//a b ，则x 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．8-D ．89．对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.6]3=，[ 3.4]4-=-，关于函数1()33x x f x ⎡+⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，有下列命题：①()f x 是周期函数；②()f x 是偶函数；③函数()f x 的值域为{0,1}；④函数()()cos g x f x x π=-在区间(0,)π内有两个不同的零点，其中正确的命题为( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④10．如图，'''A B C ∆是ABC ∆的直观图，其中'''',''//A B A C A B x =轴，''//A C y 轴，那么ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
浙江省杭州第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题四、解答题(1)为了观赏效果，需要保证则α应设计在什么范围内?(2)若BC =AD ，求当α为何值时，四边形21．已知函数1()1x x f x axa -=-++(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)证明：()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点；(3)设()f x 在(0,)+∞上的零点为22．已知函数()f x 满足：对∀2()f x x x m =--+.函数()log g x =(1)求实数m 的值；(2)已知22()3h x x x λλ=-+-+，成立?若存在，求出实数λ的取值范围；参考答案：【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0,0.5)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．6．C【分析】依题意画出函数图像，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】因为()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，画出函数()f x 的图像如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =有两个实数根，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图像可得1m ≤-，如图，单位圆A 中，BAC θ∠=则 BC的长度l θ=，sin BD θ=当π2θ<，则ππ24θC -=>，故tan 故当1π20232θ=<时，有BC BD >∴1111cos 202220232023c >>-Þ综上，a c b >>.故选：D.【点睛】（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答9．ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解【详解】则题意可得2tan xα-==()()22225sin 512α-==--+-，()()2215cos 512α-==--+-，C 由()1,2P --，角α的终边在第三象限，即()π3ππ,πZ 224k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，即角2α的终边在二、四象限，所以故选：ABD.10．BC由题意得，BAC ∠由余弦定理得cos120则灯塔与轮船原来的距离为故答案为：4．15．(]1,4【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合【详解】当0a <当02x <≤时，所以此时()f x ∈当2x >时，(f x 若函数()f x 存在最大值，则所以a 的取值范围为故答案为：(]1,416．2π2π22-+【分析】由tan x 02πx y <+≤02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0【详解】因tan x故只需2t >恒成立，则22(0)32(1)132h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得01λ<<，综上所述：存在01λ<<满足条件.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．。
浙江省杭州二中高一数学上学期期末试题【会员独享】.doc
杭州二中第一学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知：}0tan {},02{2≥=≤--=ααB x x x A ，则AB =( )(A)[]2,1- (B) []1,0 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,1π 2. 某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有( )人.（A ）2700 (B)3000 (C)3700 (D)4000 3. 方程lg 82x x =-的根(,1)x k k ∈+，k Z ∈，则k =( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. 下列说法中，正确的个数是（ ）(1)在频率分布直方图中，中位数为最高的直方图的中点. (2)平均数是频率分布直方图的“重心”.(3)如果将一组数据的平均数加入这组数据，则这一组数据的平均数不变.(A)3 (B)2 (C)1 (D) 05. 有两个质地均匀、大小相同的正方体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．把两个玩具各抛掷一次，向上的面写有的数字之积能被4整除的概率为（ ） (A)41 (B) 31 (C) 187 (D)1256. 设()xf x a =，13()g x x =，()log a h x x =，且a 满足2log (1)0a a ->，那么当1x >时必有（ ）(A)()()()h x g x f x << (B)()()()h x f x g x << (C)()()()f x g x h x <<(D)()()()f x h x g x <<7.若函数)0(||)(2≠++=a c x b ax x f 有四个单调区间，则实数c b a ,,满足( )（A ）0,042>>-a ac b （B ）042>-ac b （C ）02>-a b （D ）02<-ab 8.周长相等的扇形与圆形面积分别为21,s s ，则21s s 的范围是（ ）(A) )21,0((B) ]4,0(π (C) ]2,0(π(D) ]1,0(9. 若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是( )(A)[0,]4π (B)[,]4ππ (C)5[,]44ππ (D)3[,)42ππ10.已知函数2()()f x ax bx c x R =++∈)0(>a 的零点为)(,2121x x x x <，函数)(x f 的最小值为0y ，且),[210x x y ∈，则函数))((x f f y =的零点个数是（ ） (A)2或3 (B)3或4 (C)3 (D)4二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 已知[]3,1,log )(3∈=x x x f ，则函数[])(2)(2x f x f y +=的值域为_________．12. 已知一组数据：2012,2011,,2009,2008a 的方差为2，则=a __________． 13. 已知sin cos θθ+=51,(2π＜θ＜π),则θtan =__________． 14.出6,4,2,猴子就往上跳一级；若掷出5,1,15.若此程序恰好运算3次，则x 16.函数b ax x x f +++=1)(,)1(≠b 若存在三个互不相等的实数,,,321x x x 使f 则=a ．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12.13.14. 15. 16. 三、解答题：本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本题满分10分） 在生产过程中，测得某产品的直径（单位mm ） 共有100个数据，将数据分组如右表： (1)画出频率分布直方图；(2)若原始数据不慎丢失，试从频率分布直方图估计出直径的众数与中位数．18. （本题满分12分）已知,,(,),(0,)22ππαβαβπ∈-∈，且等式：sin(3))2ππαβ-=-))απβ-=+同时成立．(1) 求,αβ；(2) 若γ满足:βγαγγγγsin tan tan sin 1sin 1sin 1sin 1=+---+，求γ的范围．19. （本题满分10分）将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个．(1)求有偶数号球放入奇数号盒子的概率；(2)记)(i f 为放入i 号盒子内的小球编号与盒子编号之差的绝对值（4,3,2,1=i ），求4)4()3()2()1(≤+++f f f f 的概率．（本题满分14分） 已知函数：123)(2--=mx x x f ,47)(-=x x g ． (1)求证:一定存在)2,1(0-∈x ，使0)(0≥x f ；(2)若对任意的)2,1(-∈x ,)()(x g x f ≥，求m 的取值范围；(3))(x h 为奇函数,当0≥x 时,12)()(++=mx x f x h ,若)sin (2)(3α+≤x h x h 对R ∈α恒成立,求x 的取值范围．杭州二中第一学期高一年级期末考数学答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. []3,0 12. 2010 13. 2-14.8515. ]28,10( 16. 1± 三、解答题：本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本题满分10分） 在生产过程中，测得某产品的直径（单位mm ） 共有100个数据，将数据分组如右表： (1)画出频率分布直方图；(2)若原始数据不慎丢失，试从频率分布直方图估计出直径的平均数与中位数． 16. 解（1）（2）．众数为:140,中位数为:8.14043021138=⨯+ 10分17.（本题满分12分）已知,,(,),(0,)22ππαβαβπ∈-∈，且等式： sin(3)cos(),2ππαβ-=-))απβ-=+同时成立．(1)求,αβ；(2)若γ满足:βγαγγγγsin tan tan sin 1sin 1sin 1sin 1=+-+-+,求γ的范围. 解:(1)由题意:⎩⎨⎧==)2(,cos 2cos 3)1(,sin 2sin βαβα 2分:)2()1(22+1cos 22=α所以:22cos =α,代入(1)(2),22sin .21sin ,23cos ===αββ,所以6,4πβπα==6分(2)化简得:γγγγcos sin 2cos sin 2= 8分 故:0sin =γ或0cos >γ 10分 所以Z k k k k ∈+++-∈},2{)22,22(ππππππγU 12分19. （本题满分10分）将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个,(1)求有偶数号球放入奇数号盒子的概率；(2)记)(i f 为放入i 号盒子内的小球编号与盒子编号之差的绝对值（4,3,2,1=i ），求4)4()3()2()1(≤+++f f f f 的概率．解: (1)因为:偶数号球放入偶数号盒子的概率为:61244= 所以有偶数号球放入奇数号盒子的概率为:65611=- 4分(2) 0)4()3()2()1(=+++f f f f 1种 5分1)4()3()2()1(=+++f f f f 0种 6分 2)4()3()2()1(=+++f f f f 3种 7分3)4()3()2()1(=+++f f f f 0种 8分 4)4()3()2()1(=+++f f f f 6种 9分所以4)4()3()2()1(≤+++f f f f 的概率为1252410=10分 （本题满分14分）已知函数：123)(2--=mx x x f ,47)(-=x x g ，(1)求证:一定存在)2,1(0-∈x ，使0)(0≥x f ；(2)若对任意的)2,1(-∈x ,)()(x g x f ≥，求m 的取值范围．(3) )(x h 为奇函数,当0≥x 时,12)()(++=mx x f x h ,若)sin (2)(3α+≤x h x h 对R ∈α恒成立,求x 的取值范围.解:(1) 若存在)2,1(0-∈x ，使0)(0≥x f只需022)1(>+=-m f 或0114)2(>+-=m f即:R m ∈ ,证毕. 4分（2）47||1232-≥--x mx x ，对任意的)2,1(-∈x 恒成立, ①当20<<x 时，043)12(32≥++-x m x ，即12433+≥+m x x 在20<<x 时恒成立因为3433≥+x x ，当21=x 时等号成立．所以123+≥m ，即1≤m②当01<<-x 时，043||)12(||32≥+-+x m x ，即m x x 21||43||3-≥+在01<<-x 时恒成立，因为3433≥+x x ，当21-=x 时等号成立． 所以m 213-≥，即1-≥m③当0=x 时，R m ∈．综上所述，实数m 的取值范围是]1,1[-． 9分(3)x x x h 3)(=,在R 上单调递增 )sin (2)(3α+≤x h x h 可以化为)sin 22()3(α+≤x h x h即:αsin 223+≤x x 对R ∈α恒成立αsin 232-≤x 对R ∈α恒成立所以]26,(---∞∈x 14分。
浙江省杭州市杭州二中2023届数学高一上期末联考试题含解析
16．已知 = ，则 =_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知 ， ，且
若 ，求 的值；
与 能否平行，请说明理由
18．设全集 ，集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，求实数 的取值范围.
（2）判断函数 的奇偶性，并证明；
（3）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】可知分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可
18、（1） ；（2）① ；② ；③ .
【解析】（1）将 代入集合 ，求出集合 和 ，然后利用交集的定义可求出集合 ；
（2）选择①，根据 得出关于实数 的不等式组，解出即可；选择②，由 ，可得出 ，可得出关于实数 的不等式组，解出即可；选择③，求出集合 ，根据 可得出关于实数 的不等式，解出即可.
【详解】（1）当 时， ，
【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
19、（1） ；（2） .
【解析】（1）利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可
（2） 与 图象交点有3个，画出图象观察，求得实数 的取值范围
【详解】（1）①由于函数 是定义域为 的奇函数，则 ；
17、（1） ；（2）不能平行.
【解析】 推导出 ，从而 ， ，进而 ，由此能求出 假设 与 平行，则 推导出 ， ，由 ，得 ， 不能成立，从而假设不成立，故 与 不能平行
2024届杭州市高级中学 数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
2024届杭州市高级中学 数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线31ax y +=的倾斜角为30，则a =（ ）A ．33-B ．3-C ．33D ．32．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若324a c C π===，则角A的大小为（ ） A ．4π或34πB ．3π或23π C ．3πD ．4π 4．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．（0，1）D ．（0，2）5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ） A ．3πB ．6π C ．2π D ．23π 6．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（ ）A ．棱台B ．圆台C ．圆柱D ．圆锥7．在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A ．不完全归纳法B ．数学归纳法C ．综合法D ．分析法8．已知函数21()cos sin 2f x x x =++，下列结论错误．．的是( ) A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B ．()f x 在[],0π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 9．若函数()()sin 3R f x x x x ωω=∈，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A ．13 B ．32C ．43D ．2310．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +43423ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3-C ．6-D 53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省杭州市第二中学2022年高一上数学期末教学质量检测模拟试题含解析
（Ⅰ）求 x 与 y 的函数关系；
（Ⅱ）当 a 为 120 时,若该班每年需要纯净水 380 桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个 人买饮料相比,哪一种花钱更少？ 20．已知对数函数 f (x) (a2 2a 2) loga x .
c
cc
对于 D：因为 a b 0， c 0 ，所以 ac bc 0 ，所以 ac bc ，故 D 错误.
故选：C 2、C 【解析】根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可；
【详解】解：集合 A {2,3} ，表示含有两个元素 2 、 3 的集合，
对于 A：{(2,3)}，表示含有一个点 (2, 3) 的集合，故不相等；
3
4
2
4
∴
f
(x)
2
sin
3x
4
.
故选：D. 4、D 【解析】因为侧棱长为 a 的正三棱锥 P﹣ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体
的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为： 3a ；
2
所以球的表面积为：4π
一、选择题（本大题共 10 小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若 a b 0， c 0 ，则下列结论正确的是（）
A. c c ab
C. a b cc
B. 1 1 ac bc
D. ac bc
2．下列集合与集合 A {2,3} 相等的是（ ）
x
2
4
（1）求 a,b, c 的值；
杭州二中2020学年第一学期高一年级期末考数学试卷
22℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33℃ 的保鲜时间是 (
)
A. 22
B. 23
C. 24
D. 33
4. 函数 f x = asinaxa > 0, 且 a ≠ 1 的图象不 可 能 为 (
)
A.
B.
C.
D.
5. 若向量 a =
2 cosα,
2 sinα ,b = 2cosβ,2sinβ
·3·
20.（本题满分 12 分）
已知函数 f x
=
sin
2x
cos
2x
+
1 2
cos
（2）若 f θ = 1,θ ∈ 0,π ，求 cosθ 的值.
18.（本题满分 12 分）
如图 ，杭州西湖某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地 ，△ABC 外的地方种草 ，
△ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池，其余的地方种花，若 BC = 2,∠ABC = θ，设 △ABC 的面
12. 某同学在研究函数 f x = x2 + 1 + x2 - 6x + 10 的性质时，受到两
点间距离公式的启发 ，将 f x 变形为 f x = x - 0 2 + 0 - 1 2 +
x - 3 2 + 0 - -1 2 ，则 f x 表示 PA + PB 如图 ，下列关于函
数 f x 的描述，描述正确的是 (
积为 S1，正方形的面积为 S2.
（1）
变化时
，求
S1 S2
取最小值时的角
θ.
19.（本题满分 12 分）
已知单位向量
a,b
的夹角为
浙江省杭州二中2022高一数学上学期期末考试试题新人教A版
杭州二中2022学年第一学期高一年级期末考数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中） 1．若{1,2,3,4},U ={1,2}M =,{2,3}N =，则()U C MN =（ ）A ．{1，2，3}B ．{2}C ．{1，3，4}D ．{4} 2．某种动物繁殖量y （只）与时间x （年）的关系为)1(log 3+=x a y ，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到（ ）A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只3．已知角α的正弦线和余弦线长度相等，且α的终边在第二象限，则 αtan =（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1- D ．3 4．将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=34cos πx y 的图象向左平移()0>φφ个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小值为（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ． 34π 5．已知x x f 2sin )(cos =,则)30(sin 0f 的值为（ ）A ．21B ． 21-C ．23-D ． 23 6．已知2=a,1=b ，1=⋅b a ，则向量a 在b 方向上的投影是（ ）A ．12-B ．1-C ．12D ．17．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，j i AB +-=→2，j i k AC 3+=→，则k 的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起， 若→→→+=AC k AB AD λ，则=+k λA ．21+B ．22-C ．2D ．22+ 9．已知向量n m，满足：对任意R λ∈，恒有2)(n m n m m+≥--λ，则（ ）A ．m n m -=B ．n m =C ． m n m +=D ．n m2=10．已知函数⎩⎨⎧>≤≤=）（）（1log 10sin )(2012x x x x x f π错误!未定义书签。
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命题：徐存旭审核：黄宗巧 校对：李 鸽
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人,则样本容量为（）
（Ⅰ） 能被3整除的事件有 共12种，则 能被3整除的概率为 ；
（Ⅱ）方程 有实数解，则 ，符合条件的 有：
共19个则方程 有实数解的概率为 ；
（Ⅲ） ，由 得 ，符合条件的 有：
共10个，则方程组 有正数解的概率 .
20．解：（Ⅰ）依题意有 ，
此时 ，其定义域为 ，由 即 为奇函数；
（Ⅱ）函数 在区间 上有意义，即
分组
151.5～158.5
158.5～165.5
165.5～172.5
172.5～179.5
频数
12
24
频率
0.15
（Ⅰ）求出表中 ， 的值，并画出频率分布直方图；
（Ⅱ）试估计身高高于162.0cm的女生的比例.
18.（本题满分10分)已知某种钻石的价值υ(万元)与其重量ω(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为35万元.
A.既是奇函数又是减函数B.既是偶函数又是增函数
C.既是奇函数又是增函数D.既是偶函数又是减函数
6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于( )
A．15B．29
C．31D．63
7.已知 是函数 的一个零点,
若 ,则（）
A. B.
C.
D.
8.从装有 个红球和 个黒球的口袋内任取 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
C
C
B
D
D
B
二、填空题：
11．5812.6413.
14.4.02515.216.
三、 解答题：
17.解:（Ⅰ） ，
又
频率分布直方图
（Ⅱ）由频率分布直方图，知身高高于162cm同学的比例为
18．解：（Ⅰ）依题意设v=kω2，又当ω=3时, =35,即 ，得：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析， 与 线性相关，且 ，由此预测当 时， .
15.对任意的函数 ， ，在公共定义域内，规定 ，若 ， ，则 的最大值为_______________.
16.4张不同的贺卡随机投入3个不同的空邮筒，则至少有一个邮筒为空的概率为.（结果用数字表示）
杭州二中2010学年第一学期高一年级期末试考数学答题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.12.13.
14.15.16.
三、解答题：本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）为了解某校高一年级女生的身高情况，选取一个容量为80的样本(80名女生的身高，单位：cm)，分组情况如下：
对 恒成立，得
令 ， 先证其单调递增：
任取 ，则
因为 ，则 ，故 在 递增，
则 ，得 .
（Ⅲ）构造函数
结合图象有：
①当 时，正根的个数为0；
如图一
②当 时，正根的个数为1；
如图二
③当 时，正根的个数为2；
如图三
A.7B.15C.25D.35
2.集合 , ,若 ,则集合 的子集的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
3.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
4.东信大道十字路口,交通信号灯设置为红灯时间12秒,黄灯时间3秒,绿灯时间15秒,则某车经过这个路口碰到红灯的概率是（）
A. B. C. D.
5.关于函数 ，下列说法正确的是（）
（Ⅱ）设这颗钻石的重量为a克拉,由(Ⅰ)可知,按重量比为l∶3切割后的价值为
( a)2+ ( a)2价值损失为
a2一[ ( aห้องสมุดไป่ตู้2+ ( a)2]
价值损失的百分率为
答:价值损失的百分率为37.5%.
(Ⅲ)重量比为1∶1时,价值损失的百分率达到最大。
19．解：一次事件记为 ，则共有 种不同结果，因此共有36个基本事件，
（Ⅰ）写出υ关于ω的函数关系式;
（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石,求价值损失的百分率;
（Ⅲ）请猜想把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为多少时价值损失的百分率最大？（直接写出结果，不用证明）(注:价值损失的百分率= ×100%;在切割过程中的重量损耗忽略不计)
19.（本题满分12分)先后抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标以数字 ），骰子向上的数字依次记为 、 .
A.12B.10C.6D.5
二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.三进制数 化为十进制数为.
12.如图,是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是.
13.若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是____________.
14.已知 的取值如下表所示：
（Ⅰ）求 能被3整除的概率；
（Ⅱ）求使关于 的方程 有实数解的概率；
（Ⅲ）求使 方程组 有正数解的概率.
20.（本题满分14分）函数 （ 为常数）的图象过点 ，
（Ⅰ）求 的值并判断 的奇偶性；
（Ⅱ）函数 在区间 上有意义，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于 的方程 （ 为常数）的正根的个数.
参考答案
A.“至少有一个黑球”与“都是红球”B.“至少有一个黒球”与“都是黒球”
C.“至少有一个黒球”与“至少有 个红球”D.“恰有 个黒球”与“恰有 个黒球”
9.函数 ，则满足“若 ，则 ”的函数 的个数为（）
A.10B.9C.8D.6
10.设定义在 上的函数 若关于 的方程 有5个不同的实数解，则这5个根的和等于（）