送货员最短路径模型论文

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最短路径问题数学建模分析

径上的边权之和称为该路径的权,记为w(P). 从u到v
的路径中权最小者 P*(u,v)称为u到v的最短路径.
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最短路径算法
Dijkstra算法
使用范围:
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输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm. 1) 初始化令l(v0)=0,S=; vv0 ,l(v)=; 2) 更新l(v), f(v)
寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中, 然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v), 即 l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u; 3) 重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止.
②
ins=0;
for j=1:length(s)
if i==s(j)
ins=1;
end, end
if ins==0
v=i;
if k>label(v)
k=label(v); v1=v;
end, end, end
s(length(s)+1)=v1;
u=v1;
end
最短路径算法
Dijkstra算法程序的使用说明：
廉价路线航费表。
0 50 40 25 10 50 0 15 20 25
15 0 10 20 40 20 10 0 10 25

数学建模+快递公司送货策略+论文

快递公司送货策略一摘要：本文是关于快递公司送货策略的优化设计问题，即在给定送货地点和给定设计规范的条件下，确定所需业务员人数，每个业务员的运行线路，总的运行公里数，以及费用最省的策略。

本文主要从最短路经和费用最省两个角度解决该问题，建立了两个数据模型。

模型一：利用“图”的知识，将送货点抽象为“图”中是顶点，由于街道和坐标轴平行，即任意两顶点之间都有路。

在此模型中，将两点之间的路线权值赋为这两点横纵坐标之和。

如A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则权值为D=|x2-x1|+|y2-y1|。

并利用计算机程序对以上结果进行了校核。

模型二：根据题意，建立动态规划的数学模型。

然后用动态规划的知识求得最优化结果。

根据所建立的两个数学模型，对满足设计要求的送货策略和费用最省策略进行了模拟，在有标尺的坐标系中得到了能够反映运送最佳路线的模拟图。

最后，对设计规范的合理性进行了充分和必要的论证。

二关键词：快递公司送货最优化图模型多目标动态规划TSP模型三问题重述：在快递公司送货策略中，确定业务员人数和各自的行走路线是本题的关键。

这个问题可以描述为:一中心仓库(或配送调度中心) 拥有最大负重为25kg的业务员m人, 负责对30个客户进行货物分送工作, 客户i 的快件量为已知 , 求满足需求的路程最短的人员行驶路径,且使用尽量少的人数,并满足以下条件:1) 每条送快件的路径上各个客户的需求量之和不超过个人最大负重。

2) 每个客户的需求必须满足, 且只能由一个人送货.3）每个业务员每天平均工作时间不超过6小时，在每个送货点停留的时间为10分钟，途中速度为25km/h。

4）为了计算方便，我们将快件一律用重量来衡量，平均每天收到总重量为184.5千克。

表一为题中所给的数据：表一处于实际情况的考虑, 本研究中对人的最大行程不加限制.本论文试图从最优化的角度，建立起满足设计要求的送货的数学模型，借助于计算机的高速运算与逻辑判断能力，求出满足题意要求的结果。

基于最短路径算法的物流配送车辆优化调度的研究

学位论文作者签名：１匀张殳
签字日期：力斫。矿、≥弓
导师签名：陪屯午
学位论文使用授权书
蒸嚣夸篙嚣嚣篙嚣箍越茹剖删研宪本人完全了解重庆大学有关保留、使用学位论文的规定。本人完全同意《中
下简称“章程”），愿意将本人自够豹士学位论文僭ｉ蔼缝屋趁笪眩匝盘物垃盈蹩缸耐。、提…””
交中国学术期刊（光盘版）电子杂志社（ＣＮＫＩ）在《中国博士学位论文全文数据库》、《中国优秀硕士学位论文全文数据库》以及《重庆大学博硕学位论文全文数据库》中全文发表。《中国博士学位论文全文数据库》、《中国优秀硕士学位论文全文数据库》可以以电子、网络及其他数字媒体形式公开出版，并同意编入ＣＮＫＩ《中国知识资源总库》，在《中国博硕士学位论文评价数据库》中使用和在互联网上传播，同意按“章程”规定享受相关权益和承担相应义务。本人授权重庆大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公开论文的全部或部分内容。
ＩｎＳｅｃｔｉｏｎ２，ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｌｏｇｉｓｔｉｃｓｖｅｈｉｃｌｅｒｏｕｔｉｎｇａｎｄｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅｌｏｇｉｓｔｉｃｓｉｎａｎｄａｂｒｏａｄｆｉｌｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．
ＩｎＳｅｃｔｉｏｎ３，ｓｏｍｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓａｒｅｒｅｖｉｅｗｅｄ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅｉｄｅａｏｆｄｙｎａｍｉｃ
在《中共中央关于制定国民经济和社会发展的第十一个五年规划的建议》中，推进产业结构升级促进服务业加快发展这一块里明确指出要大力发展物流这一现代服务业。这是我国第一次单独将加大物流的发展在国民经济和社会发展五年规划中明确提出来，充分显示了国家对该领域的重视及其发展前景的看好。
首先从世界物流发展现状及我国物流业发展的严峻形势来看，作为企业第三利润源的物流业，已经被称为“降低成本的最后边界”，有关数据表明，产品在物流环节存在的时间大约要占其流通过程的８０％左右，物流成本每降低２％，在其他条件不变的情况下，净资产回报率可增加１５％以上。从这个意义上说，物流将会是在很长一个时间段内制约一个企业，一个国家发展“瓶颈”。有关资料显示，发达国家运输成本占国民经济总成本的１０％，而中国为３０％；在欧美发达国家，社会物流总成本一般占ＧＤＰ的比重为１２％左右，随着物流管理的现代化，这个比例仍趋于下降。美国的物流成本占ＧＤＰ的比重由１９８０年的１７．２％降到１９９５年的９％。据世界银行分析，中国的物流成本占ＧＤＰ的比重为１６．７％。以我国２０００年ＧＤＰｌ００００亿美元计，若物流总成本占ＧＤＰ的比重降到一般发达国家１２０％的水平，每年可为国家增加４７０亿美元的利润，约合人民币３８５０亿元。调查显示，在我国，产品从生产者销往消费者手中，９５％的时间耗在储存、装卸、运输方面，其费用平均占到５０ｏ／６０以上；这９５％的时间与５０％以上的成本空间便是巨大的利润源泉。作为物流业的新型领域，独立于供给方和需求方的第三方物流，是社会化分工和现代化物流发展的方向，是现代物流企业的主体。在国外，物流市场已占相当高比例：在日本达８０％，在美国达５７％，德国为２３％，法国为２７％，英国为３４％，而在我国为１８％。市场经济发展在客观上要求社会化的、专业化的分工与协作，但我国企业的“大而全”、“小而全”的经营状况在许多工、商企业并没有多大改观。据调查：在欧洲，企业使用第三方物流的比重达７６％，而且７００／６０的企业不止使用一家。而在我国，目前很多工厂都有自己的仓库和车队，社会化程度低，设施设备使用率低，运输成本高。据统计，全国仓库面积利用率不到４０％，工商企业自

送货员最短路径

送货线路问题摘要：现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达。

在信息技术高速发展的今天，设计高效实用的物流配送算法为物流配送系统实现合理路径运输,从而节约运输时间、减少运输费用, 提高现代物流系统效率和降低成本非常必要。

本课题借鉴已有的数学模型，建立从库房到所有目标最优路径问题模型，并在此基础上借助运筹学路网中的最短路径算法。

课题最后选择一种较为理想的算法利用C++语言编写了程序，利用C++知识编写程序，计算出两点之间的距离，用它作为连通路线上的权值，建立无向图，利用Dijkstra从起始点O到其他各点的最短路径，再在MATABLE里面根据算出来的最短路径编写程序计算出最快完成路线方式。

关键字：线性规划模型、最短路径、Dijkstra算法送货员线路设计问题一、问题重述在网购越来越普及的情况下，送货线路设计问题成为一个很有研究价值的课题。

送货员在库房选择怎样的路径才能在客户要求的时间内将货物送到，并且保证所选路径为最优路径，即最短时间。

二、模型假设与符号说明2.1 模型假设1．假设连通的道路为直线，送货员只能沿连通道路行走，不能走其他路线。

2.假设每件货物交接的时间相同均为3分钟。

3.送货员在一个地方也可以有多件货物交接，此时货物交接的时间也是3分钟。

4.不考虑道路是否平坦交通状况等，送货员的平均速度为24公里/小时2.2 符号说明G=(V,E,L)————无向图（路线网路）V————m个节点构成的点集（送货地点）E————n条边构成的边集（目的地之间的线路）L————路权集（目的地之间的距离）v i(i=1,2,3,…N)————目的地的代码T标号————临时标号P标号————固定标号P,Q————v1、终点vN开始的扩展点(固定标号)集合vm,vn————P,Q的当前扩展点;d(vm)————起点到vm的最短路径e(vn)————起点到vn的最短路径三、问题分析3.1问题(1)的分析：利用C++知识编写程序，计算出两点之间的距离，用它作为连通路线上的权值，建立无向图，利用Dijkstra从起始点O到其他各点的最短路径，再在MATABLE 里面根据算出来的最短路径编写程序计算出最快完成路线方式。

送货路线论文2

送货路线设计问题摘要本问题是货物运送路线的优化设计问题，要求我们在给定的送货地点，送货时间，综合考虑货物最大载重和体积这些限制条件下找到最快运送完货物的路线。

先利用两点坐标公式，把送达地点的具体位置标出，并求出可达点之间的直接距离，。

对于第一个问题，首先用Floyd算法求解出任意两点间最短距离。

求解得到总路程为54.708 公里，总时间为3.330小时对于第二个问题，在第一问得到的最优解的基础上，进行模型进一步优化操作，使得满足时间限制，最终得到了优化路线以及对应的总路程、总耗时。

总路程为54.996公里，总时间为2.950小时。

对于第三个问题，我们使用节约矩阵和三分法，求解得到总路程为142.9公里，总时间为10.95小时关键词：最佳路线 TSP Floyd算法时间约束节约矩阵三分法1、问题重述现今社会网络越来越普及，网上购物已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。

现有一家快递公司，库房在图1中的O点，一位送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。

该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿着这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。

各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。

假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。

送货员的平均速度为24公里/小时。

假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。

现在送货员要将100件货物送到50个地点。

请按以下要求设计最快完成任务的路线，并且给出路线图和完成时间。

1. 若将1~30号货物送到指定地点并返回。

2. 假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间。

3. 若不需要考虑所有货物送达时间限制(包括前30件货物)，现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。

物流配送路径优化研究论文

物流配送路径优化研究论文标题：物流配送路径优化研究引言：物流配送路径优化是指通过合理规划和优化物流配送路径，以最小的成本和时间满足客户需求。

物流配送路径的优化对于提高物流效率、降低物流成本、提升客户满意度具有重要意义。

随着信息技术的不断发展和物流网络的不断扩展，物流配送路径的优化成为了物流管理中的关键问题之一、本论文将从路径规划方法、优化算法及案例分析等方面展开研究，为物流配送路径的优化提供理论支持与实践指导。

一、路径规划方法1.1最短路径算法最短路径算法是物流路径规划中常用的方法之一、通过计算各个节点之间的距离和时间，选择最短路径来实现物流配送的目标。

常用的最短路径算法包括Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法和A*算法等。

本论文将比较不同最短路径算法的优缺点，选择适用于不同场景的算法进行路径规划。

1.2多目标路径规划算法物流配送路径的优化不仅仅是追求最短路径，还需要考虑多个指标的综合优化。

多目标路径规划算法能够考虑多个目标指标，找到一组最优解。

常用的多目标路径规划算法有NSGA-II算法、MOEA/D算法和SPEA2算法等。

本论文将基于多目标路径规划算法，将配送时间、成本、客户满意度等多个指标结合起来进行路径优化。

二、优化算法2.1遗传算法遗传算法是模拟生物进化过程的一种优化算法。

通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，以寻找最优解。

在物流配送路径的优化中，遗传算法通过随机生成初始解，不断迭代和进化，找到最优路径。

本论文将基于遗传算法，进行物流配送路径的优化，并对算法进行参数调优与实验验证。

2.2模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式优化算法，通过模拟固体退火过程，在一定概率下接受劣解，以避免陷入局部最优解。

在物流配送路径优化中，模拟退火算法能够在全局范围内最优解，并且能够跳出局部最优解。

本论文将研究模拟退火算法在物流配送路径优化中的应用，并与其他优化算法进行对比分析。

三、案例分析本论文将选取物流公司为案例，以其物流配送为研究对象，通过实际数据和实验来验证所提出的路径规划方法和优化算法的有效性。

物流论文-配送中心车辆最短路径问题的研究

III
刘孝配：配送中心车辆最短路径问题的研究
参考文献...................................................................................................................... 31 附录 A........................................................................................................................... 32 附录 B........................................................................................................................... 33
II
山东交通学院毕业设计（论文）
目录
前言.............................................................................................................................. 1 1 绪论............................................................................................................................ 2 1.1 研究的背景及意义......................................................................................... 2 1.2 论文研究现状................................................................................................. 3 1.3 论文研究的内容.............................................................................................. 4 2 配送中心车辆最短路径问题概述............................................................................ 5 2.1 配送中心概述................................................................................................. 5 2.1.1 配送中心的概念................................................................................... 5 2.1.2 配送中心的功能................................................................................... 5 2.2 最短路径问题介绍......................................................................................... 5 2.3 最短路径问题的相关概念.............................................................................. 6 2.3.1 图论相关定义...................................................................................... 6 2.3.2 最短路径.............................................................................................. 7 2.4 最短路径问题的常用解决方法——Dijkstra 算法................................... 10 2.4.1 介绍..................................................................................................... 10 2.4.2 Dijkstra 算法思想.......................................................................... 10 2.4.3 Dijkstra 算法步骤.......................................................................... 10 2.4.4 Dijkstra 算法缺陷........................................................................... 11 3 配送中心车辆最短路径算法的实现...................................................................... 13 3.1 SPFA 算法解决最短路径问题...................................................................... 13 3.1.1 SPFA 算法介绍................................................................................... 13 3.1.2 SPFA 算法的理论基础....................................................................... 13 3.2 lingo 软件解决最短路径问题.................................................................... 17 3.2.1 软件概述............................................................................................ 17 3.2.2 利用 lingo 软件解决最短路径问题................................................. 18 4 案例分析及其结果分析.......................................................................................... 21 4.1 案例................................................................................................................ 21 4.1.1 案例说明............................................................................................ 22 4.1.2 案例分析............................................................................................ 23 4.2 SPFA 算法计算.............................................................................................. 23 4.3 Lingo 软件运行............................................................................................ 26 结论............................................................................................................................ 29 致谢............................................................................................................................ 30

送货线路优化模型

最优送货路线设计问题日期：7月27日最优送货路线设计问题摘要现今社会，网购已成为一种常见的消费方式，本文巧妙地解决了由网购的普及而造成的物流行业的兴盛情况，即货机如何以最快的时间，最短的路程以及最少花费将货物送达到目的地的最优路线方案问题。

我们先建立0-1规划模型，利用Floyd算法根据MATLAB编程处理数据到两省辖市间最短路径。

问题一：我们可以建立20个省辖市之间的单旅行售货员模型（TSP），利用二边逐次修正法算法，通过LINGO得到最优送货路线，即得出该单旅行售货员模型（TSP）的最短路程16400公里，用时62.22小时，最优送货路线为北京→上海→台湾→福建→江苏→宁夏→甘肃→青海→广西→海南→湖南→香港→重庆→河南→云南→西藏→新疆→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。

问题二：考虑到货机最大载重和最大体积限制，由题知总需求量为114件，即货机不能一次携带所需，需中途返回北京，根据最大载重我们可将其分为三组，即此问题可等价于为多旅行商售货员问题(MTSP)。

我们利用LINGO同步实现分组和最优送货路线，得到三组最优送货路线，将其加和，得到总的最优送货路线。

即得出该多旅行商售货员问题(MTSP)的最短路程为21900公里，用时74.34小时。

即北京→上海→台湾→上海→福建→江苏→宁夏→甘肃→青海→新疆→北京→新疆→西藏→云南→河南→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京→吉利→黑龙江→内蒙古→黑龙江→吉林→北京。

问题三：考虑到使花费最少，且对问题一和问题二分别有所用时间最少，即我们建立双目标规划模型，利用LINGO求解出最少花费和最优送货路线。

得到针对问题一的最少花费为584750元，路线为北京→吉林→黑龙江→内蒙古→台湾→上海→福建→江苏→宁夏→甘肃→青海→新疆→西藏→云南→河南→重庆→广西→海南→湖南→香港→北京。

最后，最后我们进行模型的优缺点评价及改进和推广，使得模型能更加广泛地应用到其他领域。

快递公司送货策略数学模型_数学建模论文

快递公司送货策略快递公司送货策略模型摘要本文是关于快递公司送货策略的优化设计问题，即在给定送货地点和给定设计规划的前提下，确定所需的业务员人数，每个业务员的行程路线，总的运行公里数及费用最省的策略。

在问题一中，在考虑业务员工作时间及载重限制的两方面因素的情况下，寻求路程最短的路线优化组合，建立TSP（旅行商问题）模型，采用最近邻算法，以原点（配送中心）为起点，通过距离矩阵依次寻找距离最近的未服务送货点，运用MATLAB软件求解出最优的路线组合。

并根据遗传算法的思想，提出了模型优化的方案，得到了一个相对较优的策略，模型结果为：共需6名送货员，所需总路程为536千米，所需总时间为26.44小时。

对于问题二，以业务员酬金最少为目标，选取最优路线时应尽量避免快件回送现象，同样建立TSP（旅行商问题）模型，依次寻找费用最小的点的组合，由此寻找最优路线组合，优化模型结果为：总路程是620千米，所花总时间是31.43小时，共需要送货员8人，所需最少费用为16189.9元。

对于问题三，业务员工作时间增加2小时，以寻找业务员人数最小的路线分配为目标，并尽量保证时间和路程的相对均衡。

由于业务员工作时间对总的运行路线影响较小，所以只需对业务员数量和各业务员送货线路进行调整，调整后将业务员人数减少到4人。

关键字：TSP（旅行商问题）最近邻法交叉算子一、问题重述目前，快递行业正蓬勃发展，为我们的生活带来更多方便。

一般地，所有快件到达某地后，先集中存放在总部，然后由业务员分别进行派送；对于快递公司，为了保证快件能够在指定的时间内送达目的地，必须有足够的业务员进行送货，但是，太多的业务员意味着更多的派送费用。

假定所有快件在早上7点钟到达，早上9点钟开始派送，要求于当天17点之前必须派送完毕，每个业务员每天平均工作时间不超过6小时，在每个送货点停留的时间为10分钟，途中速度为25km/h，每次出发最多能带25千克的重量。

为了计算方便，我们将快件一律用重量来衡量，平均每天收到总重量为184.5千克，公司总部位于坐标原点处（如图2），每个送货点的位置和快件重量见下表，并且假设送货运行路线均为平行于坐标轴的折线。

数模_送货路线设计问题论文[1]1

目录一、问题重述 ............................................................................................................................. - 2 -1.1问题背景 ...................................................................................................................... - 2 -1.2实际现状 ...................................................................................................................... - 2 -1.3问题提出 ...................................................................................................................... - 2 -二、基本假设 ............................................................................................................................. - 3 -三、符号说明及名词解释.......................................................................................................... - 3 -3.1基本符号 ...................................................................................................................... - 3 -3.2部分符号说明与名词解释........................................................................................... - 3 -四、问题分析、模型建立与模型求解...................................................................................... - 4 -4.1问题一 .......................................................................................................................... - 4 -4.1.1问题分析............................................................................................................. - 4 -4.1.2 模型建立............................................................................................................ - 4 -4.1.3模型求解............................................................................................................. - 6 -4.1.4 模型的优化........................................................................................................ - 7 -4.2问题二 .......................................................................................................................... - 9 -4.2.1问题分析........................................................................................................... - 9 -4.2.2模型建立........................................................................................................... - 9 -4.2.3模型求解......................................................................................................... - 10 -4.2.4 通过模拟进行校验.......................................................................................... - 11 -4.3问题三 ........................................................................................................................ - 12 -4.3.1问题分析........................................................................................................... - 12 -4.3.2模型建立........................................................................................................... - 12 -4.3.3模型求解........................................................................................................... - 14 -五、模型分析 ........................................................................................................................... - 17 -5.1模型优点..................................................................................................................... - 17 -5.2 模型缺点..................................................................................................................... - 17 -5.3模型的推广................................................................................................................. - 17 -六、参考文献 ........................................................................................................................... - 17 - 附录： ....................................................................................................................................... - 19 - 附录一：............................................................................................................................ - 19 - 附录二：............................................................................................................................ - 23 - 附录三：............................................................................................................................ - 23 -送货路线设计问题一、问题重述1.1问题背景现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方。

最短路径毕业论文

最短路算法的比较与应用作者：胡义棚指导老师：丁超摘要：本文较详尽地介绍了最短路算法相关的基本概念，给出了Dijkstra算法、Floyd算法、SPFA算法等常用算法及其核心思想，并对各种最短算法做了多角度的比较，阐述了各种算法的应用范围，并对其在运输网络、舰船通道路线设计、工业生产中的应用做岀了举例说明，侧重于模型的建立、思考和证明的过程，最后作岀总结.关键词：最短路算法Dijkstra算法Floyd算法SPFA算法一、引言最短路算法是图论中的核心问题之一，他是许多更深层次算法的基础，同时，该问题有着大量的生产实际的背景•很多问题从表面上看与最短问题没有什么关系•却也可以归结为最短路问题，本文通过收集整理关于最短路径的普遍算法，为研究最短路径问题在一些出行问题，工程问题，及实际生活问题中的应用，为企业和个人提供方便的选择方法二、最短路2.1最短路的定义对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权(吗-。

)的有效算法是由荷兰著名计算机专家 E.W.Dijkstra 在1959年首次提出的，该算法能够解决两指定点间的最短路，也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短路.后来海斯在Dijkstra算法的基础之上提出了海斯算法.但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题.因此由Ford提出了Ford算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题.但在现实生活中，我们所遇到的问题大都不含负权，所以我们在(W j亠0)的情况下选择Dijkstra 算法定义1 若图G =G(V,E)中各边e都赋有一个实数W(e),称为边e的权,则称这种图为赋权图，记为G =G(V,E,W).定义2 若图G =G(V, E)是赋权图且W(e)亠0,e • E(G),若u是v i到v j的路W(u)的权, 则称W(u)为u的长，长最小的V到V j的路W(u)称为最短路.若要找出从比到V n的通路u , 使全长最短，即mi nW u - 7 W e .2.2各类最短路算法的介绍2.2.1 Floyd 算法Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法.该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特弗洛伊德命名.其核心思路是通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵.即从图的带权邻接矩阵A二[a(i,j)]n2开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0) A，按一个公式，构造出矩阵D(1);又用同样地公式由D(1)构造出D(2);,,;最后又用同样的公式由D(1)构造出矩阵D(n).矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径.下面介绍其算法过程：1) 从任意一条单边路径开始•所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大；2) 对于每一对顶点u和v ,看看是否存在一个顶点w使得从u到w再到v比已知的路径更短.如果是更新它；3) 把图用邻接距阵G表示出来，如果从V到/有路可达，则G[i,j] = d,d表示该路的长度；否则G[i, j]为无穷大；4) 定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D[i, j]表示从V到V j需要经过的点，初始化D[i, j] =j；5) 把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i, j] = min(G[i, j])，G[i,k] G[k, j]，如果G[i, j]的值变小，则D[i, j]二k;6) 在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息. 2.2.2 Dijkstra 算法Dijkstra (迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径.主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止.Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等.Dijkstra —般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPENCLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式.注意该算法要求图1中不存在负权边.下面介绍其算法过程：首先，引进一个辅助向量，它的每个分量D表示当前所找到的从始点V到每个终点V i的最短路径的长度.如D[3]=2表示从始点v到终点3的路径相对最小长度为 2.这里强调相对就是说在算法过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于最短路径长度.它的初始状态为：若从V到V j有弧，则D为弧上的权值；否则置D为7显然，长度为D[ j ]二Min{ D |V i • V}的路径就是从V出发的长度最短的一条最短路径.此路径为(V,V j).那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设该次短路径的终点是V k，则可想而知，这条路径或者是(V,V k)，或者是(V,V j,V k).它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[ j ]和从V j到V k的弧上的权值之和.一般情况下，假设S为已求得最短路径的终点的集合，则可证明：下一条最短路径(设其终点为X )或者是弧(V,X)，或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点X的路径.因此，下一条长度次短的最短路径的长度必是D[j]二Mi n{D|V「V}其中，D或者是弧(V,VJ上的权值，或者是D[k](V「S)和弧(V k,V i)上的权值之和.迪杰斯特拉算法描述如下：1) arcs表示弧上的权值•若不存在，则置arcs为旳.S为已找到从v出发的最短路径的终点的集合，初始状态为空集•那么，从v出发到图上其余各顶点vi可能达到的最短路径长度的初值为 D =arcs[Locate Vex(G,V),i](y • v?),使得D[ j ]二Min{ D |V i • S}修改从V出发到集合V - S上任一顶点V可达的最短路径长度•2.2.3 Bellma n-Ford 算法Dijkstra 算法中不允许边的权是负权，如果遇到负权，则可以采用Bellman-Ford算法.Bellma n-Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题•对于给定的带权(有向或无向)图G =(V,E)，其源点为S,加权函数W是边集E的映射• 对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点S可达的负权回路•若不存在这样的回路，算法将给出从源点S到图G的任意顶点V的最短路径D[V].下面介绍其算法过程：1) 初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值D[V]T OO, D[S]T 02) 迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点V的最短距离估计值逐步逼近其最短距离(运行V1次)；3) 检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛•如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点V的最短距离保存在d[v]中•224 SPFA算法求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm •SPFA算法由西南交通大学段凡丁于1994年发表•很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了•下面介绍其原理与算法过程：我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在•当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路我们用数组D记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G •我们采取的方法是松弛：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点U，并且用U点当前的最短路径估计值对离开U点所指向的结点V进行松弛操作，如果V 点的最短路径估计值有所调整，且V点不在当前的队列中，就将V点放入队尾•这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的•换言之，每次的优化将会有某个点V的最短路径估计值D[V]变小•所以算法的执行会使D越来越小•由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值•因此，算法不会无限执行下去，随着D值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值•所以只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值•2.3最短算法的比较231 Floyd 算法3求多源、无负权边的最短路•用矩阵记录图•时效性较差，时间复杂度0(V ) • Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm )是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题Floyd-Warshall 算法的时间复杂度为 0( N 3) 空间O(N 3)Floyd-Warshall 的原理是动态规划：设Di,j,k 为从i 到j 的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度 .若最短路径经过点 k ，则Di, j,k = Di, j,k -1 Di, j,k 若最短路径不经过点 k ，贝U Di , j,k 二Di, j,k因此，Di, j,k 二 mi n( Di ,k,k -1 Dk, j,k -1,Di, j,k -1) Dijkstra求单源、无负权的最短路.时效性较好，时间复杂度为 O (V 2 + E).源点可达的话， O(VlgV ElgV) _O(Elg v).当是稀疏图的情况时，此时E 二V 2/lgV ，所以算法的时间复杂度可为 O(V 2).若是斐波那契堆作优先队列的话，算法时间复杂度，则为O(VlgV - E).Bellma n-Ford求单源最短路，可以判断有无负权回路(若有，则不存在最短路)，时效性较好，时间复杂度 O(VE).Bellman-Ford 算法是求解单源最短路径问题的一种算法单源点的最短路径问题是指：给定一个加权有向图 G 和源点s ，对于图G 中的任意一点v ,求从s 到v 的最短路径•与Dijkstra 算法不同的是，在 Bellman-Ford 算法中，边的权值可以为负数设想从我们可以从图中找到一个环路(即从V 出发，经过若干个点之后又回到 V )且这个环路中所有边的权值之和为负 •那么通过这个环路，环路中任意两点的最短路径就可以无穷小下去•如果不处理这个负环路，程序就会永远运行下去•而Bellman-Ford 算法具有分辨这种负环路的能力•SPFA是Bellman-Ford 的队列优化，时效性相对好，时间复杂度0(ke).(kMv)与Bellman-ford 算法类似，SPFA 算法采用一系列的松弛操作以得到从某一个节点出发到达图中其它所有节点的最短路径 •所不同的是，SPFA 算法通过维护一个队列，使得一个节点的当前最短路径被更新之后没有必要立刻去更新其他的节点，从而大大减少了重复的操作次数•SPFA 算法可以用于存在负数边权的图，这与dijkstra 算法是不同的•与Dijkstra 算法与Bellman-ford 算法都不同，SPFA 的算法时间效率是不稳定的，即它对于不同的图所需要的时间有很大的差别•在最好情形下，每一个节点都只入队一次，则算法实际上变为广度优先遍历，其时间复杂度仅为0(e)另一方面，存在这样的例子，使得每一个节点都被入队 (V-1)次，此时算法退化为Bellman-ford 算法，其时间复杂度为 O(VE).SPFA 算法在负边权图上可以完全取代Bellman-ford 算法，另外在稀疏图中也表现良好•但是在非负边权图中，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra 算以及它的使用堆优化的版本•通常的SPFA 算法在一类网格图中的表现不尽如人意 •最短路算法的应用在运输网络中的应用设6个城市w,V 2,…，V 6之间的一个公路网(图1)每条公路为图中的边，边上的权数表示该法，宀完•2.4段公路的长度(单位：百公里),设你处在城市V i ,那么从V i 到V 6应选择哪一路径使你的费用最省•(1)第一次迭代①计算T V j , j=2,3,4,5,6如下T V 2二 mi nV 2 ,W V 1 w 12 / = mi n 「：,05f=5 Tv 3二 min :T v 3 ,W v 1 w^』=mi n 「：,02/ =2Tv 4 = min "T v 4 ,W v ^ 亠 w 14 f =min ：：： ,0::,-::③由于 k=3= n =6，令 s = 1v2,v 4,V 5,v 6』，i =3 转(1)-V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6〕V 10 5 2□Ci00O0 V 25 0 1 5 900V 32 1 0 8 10 00V 4 O0 5 8 0 2 5 V 5 od 9 10 2 0 2 V6 O0 O0 cO 5 2 0一L 工m,V 3,V 4,V 5,V 6 ?,(0)设W v 1 = 0,T v = ：：,V j s 二 T V 5 "：,T V 6 二 ②取 min V j -s〈T V j —2 二T V 3 ,令W V 3 二T V 3 =2算洗作出该网络的距离矩阵，如下:第二次迭代：①算T V j , j =2,4,5,6 如下T v2= min YT v2,Wv3丨亠w23 f = min 15,2 1=3T v4二min 汀v4,W v3w341 = min18,2 81 = 8T v5= min ：T v5,W v^;:w3^ = min：10,2 10^=10 T v6= min'T v6,W v3y：w36J = min'：：,2 ：：[- ：：②取mi*T v j、3=T v2令W v2二T v2 =3vj WS-③由于k=2 = . n=6，令s二：v4,v5,v6和二2 转⑴第三次迭代：①算T v j , j -4,5,6如下T v4=min YT v4,W v2 w241 = min 18,3 5] = 8T v5= min {T M ),W (v2 )+W25> =min(10,3 +9} =10T v6八②取mi*T v j 二8 二T v4 ,W v4二T v4 =8v j :-S③由于k = 4艺n = 6，令s - ' v5,v6』i = 4转①第四次迭代：①算T v j , j =5,6如下T v5= min "T v5,W v4 1 亠w45』=min '10, 2 8=10T v6= min 'T v6,W v4i 亠w46』=min ； ,8 5^=13②取min'T v j 1=10 二T v5 ,W v5二T v5 =10v j F s③由于k = 5 = n = 6，令s - % :转(1)第五次迭代：①算T v j , j -6如下T v6 = min 汀v6 ,W v5i 亠w56 4 min H3,10 21 = 12②由于k=6二n •因此已找到v i到V6的最短距离为12.计算结束.找最短路线：逆向追踪得v^ —v3r V2 —v^ —v5—V6最短距离为12,即从城市v到城市v的距离最短，即费用最省•在舰船通道路线设计中的应用利用图论的经典理论和人群流量理论研究舰船人员通道路线的优化设计及最优线路选择.首先介绍图论相关理论，对船舶通道进行路网抽象，建立网络图，然后根据人群流动的相关理论，选取不同拥挤情况下的人员移动速度，从而确定各条路段（包括楼梯）的行程时间•以行程时间作为通道网络的路权，得出路阻矩阵以选择一对起点/终点的最短时间路线为目标，建立最短路径问题的数学模型，利用经典的Floyd算法确定最短路径•将此方法应用于某舰艇多层甲板的通道网络中，计算结果并进行讨论，最后在此研究的基础上对通道设计相关问题的深化和拓展进行了探讨和总结，并提出设想•路线优化技术通常采用图论中的“图”来表示路网，船舶通道路网与图论的路网对应关系为:结点----- 通道的交叉口或断头路的终点；边 --- 两结点之间的路段称为边，若规定了路段的方向，则称为弧；边（弧）的权- 路段某个或某些特征属性的量化表示路权的标定决定了最短的路径搜索依据，也就是搜索指标•根据不同的最优目标，可以选择不同的路段属性•由于舰船上除了平面上的通道之外还有垂直方向的楼梯（或直梯）,如果以最短路程距离作为优化目标，路线的效率未必最高（距离最短未必耗时最少）•所以，以最短行程时间作为优化的目标，道路权重即为各路段的平均行程时间•对于要研究的对象，取各条通道的起点（或终点）和交叉点为图的顶点，各路段为边，路权为路段行走的平均时间•寻找从起点到终点的最短时间路径即为最优路径•在规定了结点、边和权值以后，便将路网抽象为一个赋权无向图或赋权有向图，从而确定路网中某两地间的最优路线便转化为图论中的最短路径问题•首先将空间问题抽象为图，图2为某舰的两层甲板的部分抽象图，上下两个平面上纵横交错的直线为各层甲板的主要通道，连接两层甲板的直线表示楼梯，包括2个直梯和3个斜梯.每条路段上的标注a,b中,a表示路段实际长度或者楼梯的类型m；b表示此路段的行程时间（即路权）,S如（40,32）.图2两层甲板的部分抽象图图3赋权图再利用上述求最短的方法即可求得需要的通道路线.在工业生产中的应用设备更新问题•某企业使用一台设备，在每年年初，企业领导部门就要决定是购置新的, 还是继续使用旧的•若购置新设备，就要支付一定的购置费用；若继续使用旧设备，则需支付一定的维修费用•现在的问题是如何制定一个几年之内的设备更新计划，使得总的支付费用最少.例如，我们一个五年之内要更新某种设备的计划，若已知该种设备在各年年初的价格为：可供选择的设备更新方案显然很多的，例如，每年都购置一台新设备，则其购置费用为11+ 11 + 12 + 12 + 13 = 59，而每年支付的维修费用为5,五年合计为25 ,于是五年总的支付费用为59 + 25 = 84.双如决定在第一、三、五年各购进一台，这个方案的设备购置费为11 + 12 + 13 = 36 , 维修费为5 + 6 + 5+ 6 + 5 = 27.五年总的支付费用为63.这个例子中一种最佳方案为在第1年、第3年各购置一台新设备，五年总费用为53.编写一个程序，输入n年年初设备的价格与使用不同时间（年）的设备所需要的维修费用，为该企业领导部门确定一个方案使得在n年内为这台机器支付的总费用最少.3结束语本文将最短路理论应用到实际生活中，尤其是在舰船通道路线中的应用具有很重要的意义将实际生活中出现的安全隐患尽量降低•同时也凸显出学习和应用最短路问题原理的重要性•另外，最短路问题在城市道路建设、物资供应站选址等问题上也有很重要的作用•分析和研究最短路问题趋于热门化•参考文献：[1] 王树禾，图论（第二版）,科学出版社[M],2009[2] 余为波基于图论的舰船通道路线优化[M],2008[3] 李玲，最短路问题在运输网络中的应用[M],清华大学出版社,2006[4] 刁在筠，运筹学（第三版）[M],高等教育出版社,2010[5] 谢灼利，地铁车站站台火灾中人员的安全疏散[J].中国安全科学学报,2004,14⑺:21⑹荣玮,基于道路网的最短路径算法的研究与实现[M].武汉理工大学出版社,2005[7] 朱建青，张国梁.数学建模方法[M],郑州大学岀版社•[8] 杨民助，运筹学[M].西安交通大学出版社•[9] 殷剑宏，吴开亚•图论及其算法[M].中国科学技术出版社.[10] 王朝瑞•图论[M].国防工业出版社.[11] 姚思瑜•数学规划与组合优化[M].浙江大学出版社.[12] 秦裕瑗，秦明复.运筹学简明教[M].高等教育岀版社•The Most Short-circuit Comparis on And Applicati on Of The AlgorithmAuthor: Yipe ng Hu Supervisor: Din gChaoAbstract: The short circuit is an importa nt issue as early as the 20th cen tury has bee n people attach great importance to, at that time, there are also many scientists to study the solution of this problem. Computer scientists in the Netherlands in 1959 but guidance Edsger Wybe Dijkstra did n't give the basic ideas, solve the problem and the algorithm is give n. Then put forward the Dijkstra algorithm main ly solve the problem from a fixed point to every otherpoint of the shortest path problem, later became known as the algorithm of Dijkstra algorithm, also became a gen eratio n of classic.Keywords: short circuit Dijkstra algorithm applicati on。

快递员派送货物最短路径的模型研究

快递员派送货物最短路径的模型研究2 河北经贸大学管理科学与工程学院 063210摘要：网上购物的日益普及使消费者们对于快递物流的要求不断提高，这一趋势生出了关于快递配送的路线选择问题，如何规划路线从而使得耗费时间最少、路径最短成为待解决的问题模型。

本文关于配送路径的规划提出了两个解答方法，即Dijkstra方法和Lingo模型。

类似快递配送的路线规划的问题也普遍存在于现实生活中，而使用Dijkstra方法和Lingo模型可以便捷地解决这类问题。

关键词：最短路径；Dijkstra；Lingo；快递配送一、前言伴随着人们物质精神水平的不断提高以及互联网技术应用的飞速发展，在当今社会中，网上购物已经逐渐成为人们日常消费的主要手段之一，人们足不出户就能浏览店家、挑选心仪的商品、货比三家、下单购物。

这种相比传统的实体店购物方式更为便捷的网络购物方式，也催生了一大批相关产业的发展，比如物流、快递。

尤其在前段时期的新冠疫情爆发、扩散、情势严峻的时期，由于所居住的村庄、居民区的全方位封闭隔离，以及对人与人之间的近距离接触的杜绝，人们对于日常生存、生活用品的需求只能通过从网上的渠道购得。

这使大家对物流快递公司的要求也越来越高。

快递公司出于节省时间、提高效率进而节约成本、满足客户要求的迫切需求，不得不面临着优化派送路线的问题。

二、对快递派送路径问题的提出消费者们拍下消费订单后，除了对商家货物质量优劣的关注外，最大的担忧便是快递派送的问题。

这家快递公司的物流配送速度快不快？物流信息的更新及不及时？配送过程的安全保障怎么样？如果因为市场问题而发生货物的损毁灭失谁来向我承担损害赔偿？公司的配送效率高不高？快递工具是火车还是飞机？到达我市后市内的配送路线是什么样的？我的货物会被优先配送吗？消费者与快递公司间的信任关系常常受到一系列类似以上的问题的挑战。

就我本人的真实经历来说，某天上午8点钟物流信息显示包裹到达了我们市里并且正在派送中，按惯例一般1小时左右就能到达快递驿站，而我却一直等到傍晚都依然没有接收到包裹到达的消息通知。

运用动态规划模型解决最短路径问题

运用动态规划模型解决物流配送中的最短路径问题王嘉俊（盐城师范学院数学科学学院09（1）班）摘要：随着现代社会的高速发展，物流配送成为了连接各个生产基地的枢纽，运输的成本问题也成为了企业发展的关键。

运费不但与运量有关，而且与运输行走的线路相关。

传统的运输问题没有考虑交通网络，在已知运价的条件下仅求出最优调运方案，没有求出最优行走路径。

文中提出“网络上的物流配送问题“，在未知运价，运量确定的情况下，将运输过程在每阶段中选取最优策略，最后找到整个过程的总体最优目标，节省企业开支。

关键词：动态规划，数学模型，物流配送,最优路径1 引言物流配送是现代化物流系统的一个重要环节。

它是指按用户的订货要求, 在配送中心进行分货、配货, 并将配好的货物及时送交收货人的活动。

在物流配送业务中, 合理选择配送径路, 对加快配送速度、提高服务质量、降低配送成本及增加经济效益都有较大影响。

物流配送最短径路是指物品由供给地向需求地的移动过程中, 所经过的距离最短(或运输的时间最少, 或运输费用最低) , 因此, 选定最短径路是提高物品时空价值的重要环节。

[1]经典的Dijkstra 算法和Floyd 算法思路清楚,方法简便,但随着配送点数的增加,计算的复杂性以配送点数的平方增加,并具有一定的主观性。

我国学者用模糊偏好解试图改善经典方法[]5,取得了较好的效果。

遗憾的是,模糊偏好解本身就不完全是客观的。

文献[]6详细分析了经典方法的利弊之后,提出将邻接矩阵上三角和下三角复制从而使每条边成为双通路径,既适用于有向图也适用于无向图, 但复杂性增加了。

为了避免上述方法存在的不足,本文以动态规划为理论,选择合理的最优值函数,用于解决物流配送最短路径问题。

动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。

1951年美国数学家Bellman（贝尔曼）等人根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法——动态规划。

车辆派送问题最短行驶路线的建模分析

车辆派送问题最短行驶路线的建模分析摘要车辆派送选取最短的行驶路线是商业公司经常要考虑的问题，一个最优的派送方案可以使公司的费用降到最低，从而使公司的利益最大化。

通过建立最优化规划模型来解决最优的车辆行驶路径问题，采用0-1整数规划简化模型，通过Lingo软件进行求解，有效解决了问题2中的具体算例，同时也给出了较普遍的求解这一类车辆行驶路径即问题3当客户i的货物需求量q i为随机参数时的数学模型及处理方法。

对于问题1，我们建立的规划模型是在客户的需求量在车辆运送的承载范围之内，我们使用0-1整数规划来解决车辆是否从客户i行驶到客户j这个问题，有效的简化了模型。

然后在考虑中心仓库的车辆数约束、车辆的载物量约束、时间约束、客户需求量约束的约束情况下，设立了行驶路径最短的目标函数。

并在问题1的具体算例中，利用Lingo软件求得了最优的规划方案：车辆最少数位3辆，行驶路径最短为910公里，路线分别为：0-3-1-2-0，0-8-5-7-0，0-6-4-0。

考虑当客户i的货物需求量q i为随机参数的情况下，客户的需求量可能大于车辆的载物量，此时每个客户可能被服务不止一次，我们通过调整约束条件，建立了车辆行驶最短路径的目标函数，使这一类的问题求解有一个更适用的模型。

关键词：车辆行径问题；0-1整数规划；目标规划模型；LINGO软件一、问题重述随着社会经济的日益发达和商业活动的日益频繁，合理的货物派送路径成了商业公司密切关注的问题。

车辆路径问题（VRP ）是指给定一个或多个中心仓库、一个车辆集合和一个客户集合，每个客户有自己不同的货物需求，由车辆集合进行派送，要求在满足一定约束条件的情况下，组织合理的行车路线，达到路径最短、成本最少、或时间最短等目的。

一个商品基地，拥有一定数量容量为Q 的车辆，负责对N 个客户进行货物派送工作，客户i 的货物需求量为q i ，且i q Q <，车辆必须在一定的时间范围[],i i a b 内到达，早于i a 到达将产生等待损失，迟于i b 到达将处以一定的惩罚，给出使派送费用最小的车辆行驶路径问题的数学模型及其求解算法。