2011届高三数学一轮复习指数函数巩固与练习

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2011届高三数学一轮巩固与练习：数列

巩固1．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n }解析：选C.由数列的定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1k ，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．综上可知，应选C.2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋3，则a 5＝( )A ．108 B.1108 C ．161 D.1161解析：选D.a 1＝1，a 2＝a 12a 1＋3＝15，a 3＝a 22a 2＋3＝117，a 4＝a 32a 3＋3＝153，a 5＝a 42a 4＋3＝1161.3．(2008年高考江西卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n ＝( )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，从而有a n ＝a n －1＋ln nn －1a n －1＝a n －2＋ln n －1n －2⋮ ⋮ a 2＝a 1＋ln2累加得a n ＋1＝a 1＋ln(n ＋1n .n n －1.n －1n －2 (2)1)＝2＋ln(n ＋1)， ∴a n ＝2＋ln n ，故应选A.4.数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由已知，a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)．答案：n (n －1)5．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是________．解析：从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15a －b ＝26，解上式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝412b ＝－112.答案：(412，－112)6．写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝3，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)．解：(1)由条件得a 1＝0，a 2＝0＋1＝1＝12， a 3＝1＋(2×2－1)＝4＝22， a 4＝4＋(2×3－1)＝9＝32，归纳通项公式为a n ＝(n －1)2.(2)由条件得a 1＝3，a 2＝3a 1＝3， a 3＝3a 2＝33，a 4＝3a 3＝34，归纳通项公式为a n ＝3n .练习1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的( ) A ．第18项 B ．第19项 C ．第17项 D ．第20项解析：选B.∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即a n 2－a n －12＝4，∴a n 2＝3＋(n －1)×4＝4n －1，令4n －1＝75，则n ＝19.故选B.2．已知数列的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1 (n 为奇数)2n －1 (n 为偶数)，则a 2009－a 2010等于( )A ．2007B ．2008C ．2009D ．2010 解析：选C.a 2009＝3×2009＋1＝6028； a 2010＝2×2010－1＝4019.故a 2009－a 2010＝6028－4019＝2009.故应选C. 3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝nn ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.①错误，如a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，a 1＝1就无法写出a 2； ②错误，a n ＝n ＋1n ＋2；③正确；④两数列是不同的有序数列．故应选A.4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2， ∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12， ∴12a 4＝12＋(－1)4， ∴a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2)，＝⎩⎪⎨⎪⎧－8 (n ＝1)，－10＋2n (n ≥2).∵n ＝1时适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10. ∵5<a k <8，∴5<2k －10<8， ∴152<k <9，又∵k ∈N ＋，∴k ＝8，故选B.6．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝( )A ．1B ．2 C.12 D ．2－987解析：选 C.由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝1，a 11＝12，a 12＝12，即a n 的值以6为周期重复出现，故a 17＝12.7.已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c (a ，b ，c 均为正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是________．解析：∵a n ＝na nb ＋c＝a b ＋c n，cn 是减函数， ∴a n ＝ab ＋c n 是增函数，∴a n <a n ＋1.答案：a n <a n ＋18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(对n ≥1恒成立)且a 4＝54，则a 1＝________.解析：法一：由S 4＝S 3＋a 4，得a 1(34－1)2＝a 1(33－1)2＋54，即a 1(34－33)2＝54，解得a 1＝2. 法二：由S n －S n －1＝a n (n ≥2)可得a n ＝a 1(3n －1)2－a 1(3n －1－1)2＝a 1(3n －3n －1)2＝a 1·3n －1， ∴a 4＝a 1·33，∴a 1＝5427＝2. 答案：29．已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝5n 2，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝512＝5；当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝5n 25(n －1)2＝52n －1(n ∈N *)．当n ＝1时，也适合上式，所以当n ∈N *时，a n ＝52n －1. 答案：a n ＝52n －1(n ∈N *)10．已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＝38＋12a 2n －1，其中n ≥2，n ∈N ＋，求证：对一切正整数n 都有a n <a n ＋1成立．证明：a n ＋1－a n ＝38＋12a n 2－a n＝12(a n －1)2－18，∵0<a n <12，∴－1<a n －1<－12. ∴18<12(a n －1)2<12. ∴12(a n －1)2－18>0.∴a n ＋1－a n >0，即a n <a n ＋1对一切正整数n 都成立．11．(2010年邯郸模拟)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n ＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n (n ≥2)，23(n ＝1).(2)∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，∴{c n }是递减数列．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ，数列{b n }的前n 项和为T n ＝3n 2－2n .(1)若a 10＝b 10，求p 的值．(2)取数列{b n }的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的通项公式．解：(1)由已知，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋pn )－[(n －1)2＋p (n －1)] ＝2n －1＋p (n ≥2)，b n ＝T n －T n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)] ＝6n －5(n ≥2)． ∴a 10＝19＋p ，b 10＝55. 由a 10＝b 10，得19＋p ＝55， ∴p ＝36.(2)b 1＝T 1＝1，满足b n ＝6n －5. ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝6n －5.取{b n}中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2k－1＝6(2k－1)－5＝12k－11.∴c n＝12n－11.。

高三数学(文)一轮复习夯基提能作业本：第二章函数第五节指数与指数函数 Word版含解析

第五节指数与指数函数A组基础题组1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( )A.1B.C.D.2.已知a=,b=,c=2,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.2,+∞)C.-2,+∞)D.(-∞,-2]4.函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( )A.f(-4)>f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1)D.不能确定5.定义区间x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为a,b],值域为1,9],则区间a,b]的长度的最大值为,最小值为.6.若指数函数y=a x在-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a= .7.(2016安徽江淮十校第一次联考)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.8.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.9.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈-3,0]上的值域;(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.B组提升题组10.已知奇函数y=如果f(x)=a x(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=( )A. B.- C.2-x D.-2x11.已知函数f(x)=e x,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,则下列关于f(x)的性质:①(x1-x2)f(x1)-f(x2)]>0;②y=f(x)不存在反函数;③f(x1)+f(x2)<2f;④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根,其中正确的是( )A.①②B.①④C.①③D.③④12.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系中一定成立的是( )A.3c>3aB.3c>3bC.3c+3a>2D.3c+3a<213.若函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是0,2],则实数a= .14.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)在-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,则a= .15.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.答案全解全析A组基础题组1.Da=(2+)-1=2-,b=(2-)-1=2+,∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2=+=. 2.A 因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a<c,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以<,即b<a,所以b<a<c,故选A.3.B 由f(1)=得a2=,又a>0,所以a=,因此f(x)=.根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是2,+∞).4.A 由题意知a>1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由y=a x(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).5.答案4;2解析由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域可以为-2,m](0≤m≤2)或n,2](-2≤n≤0),故区间a,b]的最大长度为4,最小长度为2.6.答案解析若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0,解得a=或a=(舍去).若a>1,则a-a-1=1,即a2-a-1=0,解得a=或a=(舍去).综上所述,a=.7.答案e解析由于f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;当x<1时,f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)=e.8.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以解得a2=4,又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为.所以m≤,即m的取值范围是.9.解析(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,则t∈.故y=2t2-t-1=2-,t∈,故y∈.即f(x)在x∈-3,0]上的值域为.(2)令m=2x,则m∈(0,+∞).关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.记g(m)=2am2-m-1,当a=0时,m=-1<0,不符合题意.当a<0时,g(m)图象的开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不符合题意.当a>0时,g(m)图象的开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.综上所述,a的取值范围是(0,+∞).B组提升题组10.D 由题图知f(1)=,∴a=,则f(x)=,由题意得g(x)=-f(-x)=-=-2x,故选D.11.B 因为e>1,所以f(x)=e x为定义域内的增函数,故①正确;函数f(x)=e x的反函数为y=lnx(x>0),故②错误;f(x 1)+f(x2)=+>2=2=2f,故③错误;作出函数f(x)=e x和y=x2的图象(图略)可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故④正确.选B.12.D 画出f(x)=|3x-1|的图象,如图所示,要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0,且a>0.∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,又f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2.13.答案解析当a>1时,f(x)=a x-1在0,2]上为增函数,则a2-1=2,∴a=±.又∵a>1,∴a=.当0<a<1时,f(x)=a x-1在0,2]上为减函数,又∵f(0)=0≠2,∴不满足条件.综上可知,a=.14.答案解析g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<.当a>1时,f(x)=a x为增函数,由题意知⇒m=,与m<矛盾.当0<a<1时,f(x)=a x为减函数,由题意知⇒m=,满足m<.故a=.15.解析(1)∵f(x)=e x-,∴f'(x)=e x+,∴f'(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,又≥0,∴=0,∴t=-,∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.。

2011届高三数学一轮巩固与练习：算法初步

巩固1．下列问题的算法适宜用条件结构表示的是( ) A ．求点P (－1,3)到直线l ：3x －2y ＋1＝0的距离 B ．由直角三角形的两条直角边求斜边 C ．解不等式ax ＋b >0(a ≠0) D ．计算100个数的平均数解析：选C.解不等式ax ＋b >0(a ≠0)时需判断a >0和a <0用条件结构．故选C.2．(2010年合肥高中联考)执行下面的程序框图，若p ＝4，则输出的S 等于( )A.78B.1516C.3132D.12解析：选B.由程序框图可知S ＝12＋122＋123＋124＝1516. 3．(2009年高考天津卷)阅读下面的程序框图，则输出的S ＝( )A．14 B．20C．30 D．55解析：选 C.∵S1＝0，i1＝1；S2＝1，i2＝2；S3＝5，i3＝3；S4＝14，i4＝4；S5＝30，i＝5>4退出循环，∴输出结果为30.4．(原创题)如图是一个算法的程序框图，当输入的x的值为5时，其输出的结果是________．解析：x＝5>0，x＝x－3＝5－3＝2>0，x＝x－3＝2－3＝－1<0，故输出y ＝0.5－1＝(12)－1＝2.答案：25．某算法的程序框图如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________．解析：由题意知，程序框图表达的是一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，x －2，x >1. 答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，x －2，x >1.6．画出计算1＋13＋15＋…＋199的程序框图．解：程序框图如下：练习1．如果一个算法的程序框图中有◇，则表示该算法中一定有哪种逻辑结构()A．循环结构和条件结构B．条件结构C．循环结构D．顺序结构和循环结构解析：选B.因为◇表示判断框，所以一定有条件结构．2．下面的程序框图能判断任意输入的数x的奇偶性．其中判断框内的条件是()A．m＝0？B．m＝1?C．x＝0? D．x＝1?解析：选 B.由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0.由图可知应该填m＝1？.3．(2008年高考宁夏、海南卷)如下图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的()A ．c >xB ．x >cC ．c >bD ．b >c 解析：选A.根据程序框图判断，在空白的判断框内填入c >x ？.故选A.4．(2010年深圳调研)在如图所示的程序框图中，当n ∈N *(n >1)时，函数f n (x )表示函数f n －1(x )的导函数，若输入函数f 1(x )＝sin x ＋cos x ，则输出的函数f n (x )可化为( )A.2sin(x －π4)B ．－2sin(x －π2)C.2sin(x ＋π4)D ．－2sin(x ＋π4)解析：选C.由框图可知n ＝2009时输出结果，由于f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝sin x －cos x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，…，所以f 2009(x )＝f 4×501＋5(x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)．5．(2009年高考福建卷)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选 C.由框图可知，程序运行时，数值S 与n故S ＝26．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.当x ≤2时，由x 2＝x 得：x ＝0,1满足条件；当2<x ≤5时，由2x －3＝x 得：x ＝3，满足条件；当x >5时，由1x ＝x 得：x ＝±1，不满足条件，故这样的x 值有3个．故选C.7．如图所给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．解析：由框图知，要经过10次循环才能算出此表达式的值， ∴应填入“i >10？”．答案：i >10?8．定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示．则式子：(2tan 5π4)⊗lne ＋lg100⊗(13)－1的值是________．解析：原式＝2⊗1＋2⊗3＝2×(1＋1)＋2×(3－1)＝8. 答案：89．下图是一个算法的流程图，最后输出的W ＝________.解析：由流程图知，第一次循环：T＝1，S＝1；第二次循环：T＝3，S＝32－1＝8；第三次循环：T＝5，S＝52－8＝17，此时跳出循环，∴W＝5＋17＝22.答案：2210．已知f(x)＝x2－1，求f(2)，f(－3)，f(3)，并计算f(2)＋f(－3)＋f(3)的值，设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．解：算法如下：第一步：x＝2；第二步：y1＝x2－1；第三步：x＝－3；第四步：y2＝x2－1；第五步：x＝3；第六步：y3＝x2－1；第七步：y＝y1＋y2＋y3；第八步：输出y1，y2，y3，y.程序框图：11．某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费只需画出程序框图即可．解：依题意得，费用y 与人数n 之间的关系为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ≤3)5＋1.2(n －3) (n >3). 程序框图如下图所示：12．如图是解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：(1)图框①中x ＝2的含义是什么？(2)图框②中y 1＝ax ＋b 的含义是什么？(3)图框④中y 2＝ax ＋b 的含义是什么？(4)该程序框图解决的是怎样的一个问题？(5)若最终输出的结果是y 1＝3，y 2＝－2，当x 取5时输出的结果5a ＋b 的值应该是多大？(6)在(5)的前提下输入的x 值越大，输出结果ax ＋b 是不是越大？为什么？(7)在(5)的前提下当输入的x 值为多大，输出结果ax ＋b 等于0?解：(1)图框①中x ＝2表示把2赋给变量x 或使x ＝2.(2)图框②中y 1＝ax ＋b 的含义：该图框在执行①的前提下，即当x ＝2时计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 1.(3)图框④中，y 2＝ax ＋b 的含义：该图框在执行③的前提下，即当x ＝－3时计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 2.(4)该程序框图解决的是求函数f (x )＝ax ＋b 的函数值的问题，其中输入的是自变量x 的值，输出的是x 对应的函数值．(5)y 1＝3，即2a ＋b ＝3.(i)y 2＝－2，即－3a ＋b ＝－2(ii)由(i)(ii)得a ＝1，b ＝1，∴f(x)＝x＋1.∴x取5时，5a＋b＝f(5)＝5×1＋1＝6，(6)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．(7)令f(x)＝x＋1＝0得x＝－1，因而当输入的值为－1时，输出的函数值为0.。

高三数学一轮复习练习题--指数函数有详细答案

课时作业(六) 指数函数A 级1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x2．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<1 C ．|a |> 2D ．|a |< 23．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．114．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1) D ．不能确定5．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12的值域为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]6．当x ∈[－2,0]时，函数y ＝3x ＋1－2的值域是________．7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．8．函数f (x )＝a＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.9．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是________． 10．化简下列各式(其中各字母均为正数)．11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．B 级1．(2011·湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2B ．154C.174D ．a 22．若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________． 3．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．详解答案课时作业(六) A 级1．B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．C ∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1， ∴a 2－1>1，∴a 2>2，∴|a |> 2.3．B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7，选B.4．A 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2， ∴f (－4)>f (1)，故选A.5．A ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，又y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上为减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12≥⎝⎛⎭⎫121＝12，即值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 6．解析： ∵x ∈[－2,0]时y ＝3x ＋1－2为增函数， ∴3－2＋1－2≤y ≤30＋1－2，即－53≤y ≤1.答案： ⎣⎡⎦⎤－53，1 7．解析： ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )得m >n . 答案： m >n8．解析： f (x )＝ax 2＋2x －3＋m ，在x 2＋2x －3＝0时，过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9.答案： 99．解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案： (－1,1)10．解析： (1)＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 11．解析： (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)； (2)由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2.B 级1．B ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②得f (x )＝a x －a －x ，又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154. 2．解析：由y ＝2|1－x |与y ＝－m 的图象知m ≤－1.答案： (－∞，－1]．3．解析：方法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.方法二：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2·(－2·2x ＋λ)≤0成立，所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.。

2011届高考数学复习好题精选_指数函数

指数函数1.(827)23＋(－1)372964的值为 ( ) A.0 B.89 C.43 D.29解析：(827) ＋(－1)3372964＝－13(94)3＝49－49＝0. 答案：A 2.计算： (1)(0.027)13-－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫14 23320.1a b --() 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271000 －(－1)2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫259 －1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝132244100•·32a ·32a -·32b ·32b -＝425a 0·b 0＝425.3.已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个232312-13-12解析：由已知得2a ＝3b ，在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝3x 的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出③④不可能成立. 答案：B4.(2010·泉州模拟)定义运算a ⊕b ＝>a a b b a b ⎧⎨⎩(≤)()则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是()解析：∴f (x )＝1⊕2x ＝102<0xx x ⎧⎨⎩(≥),(),故选A.答案：A5.已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如右图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是 ()解析：由f (x )图象，得0<a <1，b <－1， ∴g (x )为减函数且g (0)＝1＋b <0. ∴A 项符合题意. 答案：A6.若x ∈(2,4)，a ＝2x ，b ＝(2x )2，c ＝22，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A.a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC. c ＞a ＞bD.b ＞a ＞c 解析：∵b ＝(2x )2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较x 2,2x ,2x 当x ∈(2,4)时的大小即可. 用特殊值法，取x ＝3，容易得知，x 2＞2x ＞2x ，则a ＞c ＞b .答案：B7.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A.(－∞，2]B.解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，于是a ＝13，因此f (x )＝(13)|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在∪，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，求h (x )； (3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域. 解：(1)由f (0)＝2，得b ＝1，由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0，由a x ＞0得a ＝2，所以f (x )＝2x ＋1.(2)由题意知，当x ∈时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)(x ∈[54，5]).(3)由已知得，y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[54，2]，所以函数y＝g (x )＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[54，2]).由于函数g (x )＝2x ＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[54，2]上均为增函数，当x ＝54时，y ＝242－1，当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[54，2])的值域为.。

2011届高三数学一轮巩固与练习：变量间的相关关系及统计案例

巩固1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )A ．正方形的面积与周长B ．匀速行驶车辆的行驶路程与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力答案：C2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝a ＋bx 中，回归系数b ( )A ．不能小于0B ．不能大于0C ．不能等于0D ．只能小于0解析：选C.∵b ＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0.3．(2009年高考宁夏、海南卷)对变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x 与y 负相关，由题图2可知，各点整体呈递增趋势，u 与v 正相关．4．已知回归方程＝4.4x ＋838.19，则可估计x 与y 的增长速度之比约为________．解析：x 与y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数14.4＝1044＝522.答案：5225．下面是一个2则表中a、b解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54.答案：52、546．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：(1)写出2×2列联表；(2)判断产品是否合格与设备改造是否有关．解：(1)(2)k＝180×(65×49－36×30)2101×79×85×95≈12.38.由于12.38>10.828，有99.9%的把握认为产品是否合格与设备改造有关．练习1．下列关系属于线性负相关的是()A．父母的身高与子女身高的关系B．球的体积与半径之间的关系C．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程D．一个家庭的收入与支出解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．2．下列有关回归直线方程＝bx＋a的叙述正确的是()①反映与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示与x之间的不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.＝bx＋a表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故选D.3．设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时() A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位解析：选B.∵－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位，y 平均减少5个单位．4．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据()A．K2＞3.841 B．K2＜3.841C．K2＞6.635 D．K2＜6.635解析：选 A.比较K2的值和临界值的大小，95%的把握则K2＞3.841，K2＞6.635就约有99%的把握．5．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则下列说法中不．正确的是() A．由样本数据得到的回归方程＝x＋必过样本中心(x，y)B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x 之间具有线性相关关系解析：选C.C中应为R越大拟合效果越好．6．已知回归方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是()A．0.01 B．0.02C．0.03 D．0.04解析：选C.当x＝2时，＝5，当x＝3时，＝7，当x＝4时，＝9.∴1＝4.9－5＝－0.1，2＝7.1－7＝0.1，＝9.1－9＝0.1.3∴i2＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03.7.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D8．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②回归方程＝bx＋a必过点(x，y)；③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．解析：①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．答案：③④9．在2009年十一国庆8天黄金周期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x销售量y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．解析：由数据表可得x ＝10，y ＝8，离差x －x ：－1，－0.5,0，0.5,1；离差y －y ：3,2,0，－2，－3.∴＝－1×3－0.5×2－0.5×2－1×31＋0.25＋0＋0.25＋1＝－3.2，＝y －x ＝40，∴回归直线方程为＝－3.2x ＋40.答案：＝－3.2x ＋4010．在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体相关关系．解：以x 轴表示身高，y 轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．11．(2009年高考辽宁卷)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附K 2＝2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)甲厂乙厂合计k ＝500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．12.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x ＋；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解：(1)设抽到不相邻2组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以P (A )＝1－410＝35.(2)由数据求得，x ＝12，y ＝27，由公式求得．＝52，＝y －x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为＝52x －3.(3)当x ＝10时，＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．。

2011届高三数学一轮巩固与练习：两角和与差的三角函数

巩固1．(2009年高考陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2解析：选 A.3sin α＋cos α＝0，则tan α＝－13，1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103. 2．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝( )A ．－7210B ．－210C.210D.7210解析：选B.由α∈(－π2，π2)，sin α＝35可得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210，故选B.3．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A.4．(原创题)已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3， ∴tan α＝1. 答案：15.已知sin (30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos α的值为________．解析：∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.∵sin (30°＋α)＝35，∴cos (30°＋α)＝－45. ∴cos α＝cos [(30°＋α)－30°] ＝cos (30°＋α)·cos 30°＋sin (30°＋α)·sin 30°＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：3－4310 6．化简：(1)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)； (2)11－tan θ－11＋tan θ. 解：(1)原式＝sin α·cos β＋cos α·sin β－2sin α·cos β2sin α·sin β＋cos α·cos β－sin α·sin β＝－(sin α·cos β－cos α·sin β)cos α·cos β＋sin α·sin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan (α－β)．(2)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. 练习1．(2008年高考海南、宁夏卷)3－sin70°2－cos 210°＝( )C ．2 D.32解析：选C.原式＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝6－2sin70°3－sin70°＝2，故选C.2．已知sinθ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是( )A.229 B ．－229C ．－19 D.19 解析：选B.由已知条件可得θ为第四象限角，根据同角三角函数关系式可得cosθ＝223，由三角函数诱导公式可得sin(θ－5π)sin(32π－θ)＝sinθcosθ＝－13×223＝－229，正确答案为B.3．已知cos(π－2α)sin(α－π4)＝－22，则cosα＋sinα等于( )A ．－72 B.72 C.12 D ．－12解析：选D.由已知可得cos(π－2α)sin(α－π4)＝－cos2α22(sinα－cosα)＝－(sinα＋co sα)(cosα－sinα)22(sinα－cosα)＝sinα＋cosα22＝－22⇒sinα＋cosα＝－12.4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sinα＋sinβ B ．cos(α＋β)>cosαcosβ C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β) 解析：选C.∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．5．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x －25与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，记∠xOA ＝α(0<α<π2)，∠xOB ＝β(π<β<3π2)，则sin(α＋β)的值为( )A.35B.45C ．－35D ．－45解析：选D.由⎩⎨⎧y ＝2x －25x 2＋y 2＝1得点A(35，45)，点B(－725，－2425)．sinα＝45，cosα＝35，sinβ＝－2425，cosβ＝－725，然后由两角和的正弦公式求解．6．(2008年高考山东卷)已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：选C.∵cos(α－π6)＋sinα＝453，∴32cosα＋12sinα＋sinα＝453，∴3(12cosα＋32sinα)＝453，∴sin(α＋π6)＝45，又∵sin(α＋7π6)＝sin(π＋α＋π6)＝－sin(α＋π6)，∴sin(α＋7π6)＝－45. 7.cos2α1＋sin2α·1＋tanα1－tanα的值为________．解析：原式＝cos 2α－sin 2α(sinα＋cosα)2·1＋sinαcosα1－sinαcosα＝cosα－sinαsinα＋cosα·sinα＋cosαcosα－sinα＝1.答案：18．若点P(cosα，s inα)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝________.解析：∵P(cosα，sinα)在y ＝－2x 上， ∴sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.∴sin2α＋2cos2α＝2tanα1＋tan 2α＋2·1－tan 2α1＋tan 2α＝2＋2tanα－2tan 2α1＋tan 2α＝2－4－2×41＋4＝－2.答案：－2 9.2cos5°－sin25°cos25°的值为________．解析：由已知得：2cos5°－sin25°cos25°＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝ 3. 答案： 310．已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sin(α＋π4)cos(2α＋4π)的值．解：∵α是第一象限角，cosα＝513，∴sinα＝1213.∴sin(α＋π4)cos(2α＋4π)＝22(sinα＋cosα)cos2α＝22(sinα＋cosα)cos 2α－sin 2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214. 11．求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．解：(1)原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝ 3. (2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.12．(2008年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝210，cosβ＝255.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝1－cos 2α＝7210，同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4。

高三数学一轮复习《指数函数、对数函数和幂函数》练习题(含答案)

高三数学一轮复习《指数函数、对数函数和幂函数》练习题（含答案）一、单选题1．已知0.33a =，0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 0.3c =，则（）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．设3log 2a =，ln 2b =，125c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）. A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b a c <<D ．c b a <<3．已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（）A ．2或1-B ．1-C ．4D ．24．已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．已知函数()241,012,02x x x x f x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，若方程()()2230f x af x ++=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A．(,-∞B ．714,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．)2D ．7,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若3log 2a =，53b =，7log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系（） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a <<D ．b<c<a7．设0.74a =，0.814b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.70.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b<c<aB ．c<a<bC ．a b c <<D ．c b a <<8．“1n =”是“幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．已知函数(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -<-0成立，则a 的取值范围是（） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)10．已知函数()f x 的图像如图所示，则该函数的解析式为（）A ．3()e ex x x f x -=+B ．3e e ()x xf x x -+=C ．2()e e x x x f x -=-D ．3e e ()x xf x x --=11．若lg 2lg5a =⋅，ln 22b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c <<D ．a c b <<12．为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量y （单位：mg/L ，）与时间t （单位：h ）的关系式为0e kty y -=（0y ，k 为正常数，0y 表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h 的过滤，其中的污染物被消除了40%．则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈） A ．12h B ．16h C ．26h D ．33h二、填空题13．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递增，则m ＝______．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.15．已知函数()()212log 1,1,3,1,x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩则()()31log 12f f -+=______.16．若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.三、解答题17．已知函数1()x xf x a a =-（0a >且1a ≠）. (1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x R ∈上恒成立，求实数b 的取值范围；(3)若()312f =且221()2()xxh x a mf x a =+-在[)1,x ∞∈+上最小值为2-，求m 的值.18．已知函数4()12x f x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.19．已知函数()()()22log 2log 2f x x x =+--． (1)求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； (2)解关于x 的不等式()()2log 1f x x ≥-．20．已知函数()xf x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点12⎛- ⎝⎭.(1)求a 的值；(2)设()()()F x f x f x =--， ①求不等式()83F x <的解集； ②若()23xF x k ≥-恒成立，求实数k 的取值范围.21．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数．．．，当0x ≥时，()()R 3xf x a a =+∈． (1)求函数()f x 在R 上的解析式；(2)若R x ∀∈，()()240f x x f mx -+->恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()24f x x x a x =-+∈R .(1)若(1,3)x ∈时，不等式2log ()1f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程(21)(2)|21|80x x f a +++-+=有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围.23．已知函数2()21x x af x -=+为定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用单调性定义证明；（3）若关于x 的不等式(())()0f f x f t +<有解，求t 的取值范围。

2011河北高考数学一轮复习知识点攻破习题指数与指数函数

A . [1,3]B . [2 , 10] 指数与指数函数谓时柞业•矍璧清时间：45分钟分值：100分一、选择题（每小题5分，共30分） 1. （2010北京海淀模拟）函数f （x ） = 2x +1的反函数y =厂1（x ）的图象是（）解析：y = f - 1(x) = log 2x — 1,故选 A.答案：A2.设 y 1 = 40.9, y 2= 80.44, y 3= (~) 1.5，贝V()A . y 3>y 1>y 2B . y 2>y 1>y 3C . y 1 >y 2>y 3D . y 1>y 3>y 2 解析：要比较y 1, y 2, y 3的大小，必须先将％, y ?, y 3化成底数相同的指数，然后才能比较.0.9 1.8 0.44 1.32 -y 1 = 4 = 2 , y 2= 8 = 2 ,y 3= (J)—1.5= 21.5,1.8>1.5>1.32 , •••根据指数函数的性质可得 y 1>y 3>y 2.答案：D—xi3. 已知函数 f(x)= a (a>0, a 丰 1)，且 f(3) = 8,贝U( ) A . f(2)>f(— 2)B . f(— 3)>f(— 2)C . f(1)>f(2)D . f(— 3)>f(— 4)1解析：由f(3) = a — = 8得a =夕 •- f(x) = (?)-|x|= 2|x|,即当x > 0时，函数f(x)单调递增；当x < 0时，函数f(x)单调递减.• f( — 3)>f(— 2).答案：B.」lx + 1| 4. 函数 f(x) = a 1 (a>0, a * 1)的值域为[1 ,+^ )，贝Uf( — 4)与f(1)的关系是( )A . f( — 4)>f(1)B . f(— 4)= f(1)C . f( — 4)<f(1)D .不能确定解析：易知 a>1，贝U f(— 4) = a 3, f(1) = a 2,• f( — 4)>f(1).答案：Ax + 2y — 19》0,5 . (2008山东高考)设二元一次不等式组 S x — y + 8 > 0,所表示的平面区域为 M ，使函数y = a x (a>0,i2x + y — 14 wa* 1)的图象过区域M的a的取值范围是x—y + 8 = 0,由得交点A(1,9)，由x+ 2y—19= 0,2x+ y—14 = 0,x+ 2y—19 = 0,当y= a x的图象过点当y= a x的图象过点••• 2 w a w 9.故选C.答案：C得交点B（3,8）,A(1,9)时，a= 9,B(3,8)时，a= 2,6. （2009山东高考）函数y= y6 + e-x的图象大致为e— + e e + e—解析：T f(—x)=—x x=_ -x =一f(x),e——e e —e—• f(x)为奇函数，排除 D._ e x+ e—x e2x+ 1 e2x—1 + 2又T y= ~ x="2x—" = ~2x—~ =1+ 2x .e —e—e —1 e —1 e —1在（一8, 0）、（0，+ m）上都是减函数，排除B、C.故选A.答案：A二、填空题（每小题5分，共20分）xl5— 17. （2009 •苏高考）已知a = —2 —，函数f（x）= a x，若实数m、n 满足f（m）＞f（n）,贝Vm、n 为____ .的大小关系C • [2,9]解析：画出可行域如图1D . [10,9]J 5 — 1解析：T a = 2~€ （0,1），故 a m >a n ? m<n. 答案：m<na 2%+ a — 1& 若函数f （x ）= 2^+1—为奇函数，9 .已知函数f(x)=若f(x o ) > 2,则x o 的取值范围是Ijog 2(x + 2)，x>0 , 解析：当x o < 0时，1f(x o )> 2 化为(2)x o 》2，x °w — 1 ；当 x o >o 时，f （x o ）> 2 化为 log 2（x o + 2） >2, • x o + 2> 4, x o > 2.•-x o 的取值范围是（一8,— 1] U [2,+^）. 答案：（―汽―1] U [2,+8 ）1 110. ____________________________________________________________ 若X 1、X 2为方程2x =（2）— x + 1的两个实数解，则 X 1+ X 2= ___________________________________________________ .解析：由 2x = （£） — - + 1 可得 2x = 21— 1,.・.x = - — 1，即2 x x x2 x + x — 1 = o ,…X 1 + X 2= — 1.答案：—1三、解答题洪5o 分）11. （15分）（2oo9宁夏银川一模）若函数y = a 2x + 2a x — 1（a>o 且a ^ 1）在x € [ — 1,1]上的最大值为14.求a 的值.解：令a x = t , • t>o ，贝U y = t 2 + 2t — 1 = （t + 1）2— 2,其对称轴为t =— 1.该二次函数在[—1,+^）上是增函数.1① 若 a>1, T x € [ —1,1], • t = a x € [-, a]，故当 t = a ，即 x = 1 时，y max = a 2+ 2a — 1 = 14,解得 a = 3（a a=—5舍去）.② 若 o<a<1 , •/ x € [ — 1,1],1 1• t = a x € [a , a ，故当 t =孑即 x =— 1 时，1 1 1y max = （a + 1）一 2= 14, •- a = 3或一 5（舍去）.综上可得a = 3或4. 312. （15分）（2oo9山东临沂模拟）已知对任意x € R ，不等式^2^>（^）2x 2— mx + m + 4恒成立，求实数 m 的取值范围.解：由题知：不等式（》x 2+ X >（2）2X 2— mx + m + 4对x € R 恒成立.• x + x<2x — mx + m + 4 对 x € R 恒成立. 解析： a + a — 1 1 -f （0） = o ,…2 = o ，得 a = 2.答案： 12则 a =•x —（m+ 1）x+ m+ 4>o 对x€ R 恒成立.2…△= （m+ 1）—4（m + 4）<o.2…m —2m—15<0・…一3<m<5.•••实数m的取值范围为(一3,5).xe13. (20分)(2009江西高考)设函数f(x)=―X(1)求函数f(x)的单调区间；⑵若k>0,求不等式f' (X) + k(1 - x)f(x)>0的解集.. 1 x 1 x x—1 x解：(1)f' (x)=—x2e + xe = 厂•，由f' (x) = 0,得x= 1.入入入因为当x<0 时，f' (x)<0 ;当0<x<1 时，f' (x)<0 ;当x>1 时，f' (x)>0;所以f(x)的单调增区间是[1 ,+R);单调减区间是(—8, 0), (0,1].2x—1 + kx—kx (x —1)( —kx+ 1)⑵由f' (x)+ k(1 —x)f(x) = x ------------------ e x= r e x>0，得(x—1)(kx—1)<0.x x故当0<k<1时，解集是lx 1<x<k i；当k = 1时，解集是？;当k>1时，解集是jx k<x<1 }。

高中数学必修一指数与指数函数巩固训练题含答案

指数与指数函数巩固训练题1．462(a b )(a, b 为正数)的结果是（） A. b a B. ab C. a bD. 2a b 2．化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（）A. 11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 13212-- D. 1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1235b -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1332c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A. c b a << B. c a b << C. a c b << D. b a c <<4．函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．函数1x y e --=的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ． 6．若方程111042x x a -⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解，则实数a 的取值范围是（） A ．（0，1） B ．（﹣3，0） C ．（﹣2，0） D ．（﹣1，0）7．设,,a b c 均为正数，且133log a a =， 131log 3b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 31log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则（） A. b a c ＜＜ B. c b a ＜＜ C. c a b ＜＜ D. a b c ＜＜8．设函数()2log 2x f x x -=-，的零点分别为1x ， 2x ，则下列结论正确的是（）A. 1201x x <<B. 121x x =C. 1212x x <<D. 122x x ≥9．已知函数()20ln 0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩关于x 的方程()()20f x f x m ++=有三个不同实数根，则m 的取值范围是（）A. mB. mC.D.m10．已知定义在R 上的函数()2x m f x +=（m 为实数）为偶函数，记()1213l o g 2,3,1a f b f c f m ⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<11．设函数1()421x x f x +=-+-，2()lg(41)g x ax x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为（）A ．(0,4]B ．(,4]-∞C ．(4,0]-D ．[4,)+∞12．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠,若()2g a =,则()2f =（）A ．2B ．2a13．已知函数()132221x x x f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M+m 等于 .14.已知1(x)42x x f m +=-，()2121x x g x -=+，若存在实数,a b 同时满足方程()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数m 的取值范围．15.已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ．在()1,0x ∈-时,()22x x f x -=+．（1）试求()f x 的表达式；（2）用定义证明()f x 在()1,0-上是减函数；（3）若对于()0,1x ∈上的每一个值，不等式()241x x t f x <-恒成立，求实数t 的取值范围．16．设函数()x x f x a a -=-（a ＞0且a ≠1）．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性．并求使不等式()()240f x tx f x ++-<对一切x R ∈恒成立的t 的取值范围；（3）若()312f =，()()222x xg x a a mf x -=+-且()g x 在[)1,+∞ 上的最小值为2-,求m 的值．17.设函数()3x f x =,且()218f a +=，函数()()34ax x g x x R =-∈.（1）求()g x 的解析式；（2）判断函数()g x 在[]0,1上的单调性并用定义证明；（3）若方程()0g x b -=在[]2,2-上有两个不同的解，求实数b 的取值范围.18．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值 1.设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若不等式()22x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解，求实数的取值范围；（3）若()2213021x x f k k --⋅-=-有三个不同的实数解，求实数的取值范围.参考答案：1．C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.B 10.B 11.B 12.B13. 4 14. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15.（1） ()()()()()2210002201x x x x x f x x x --⎧+-<<⎪⎪==⎨⎪-+<<⎪⎩ （2）用定义证明；（3）[)0,+∞16.（1）奇函数, (2)()3,5- (3)m=217.(1) ()24x x g x =-(2)单调递减，用定义证明。

2011届高三数学一轮巩固与练习：离散型随机变量的均值与方差、正态分布

巩固1．已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ＝6.3，则a 的值为( )9b A.5 C ．7 D ．8解析：选C.由题意得0.5＋0.1＋b ＝1，且Eξ＝4×0.5＋0.1a ＋9b ＝6.3，因此b ＝0.4，a ＝7，选C.2．(2008年高考湖南卷)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2.故选B.3．若X ～B (n ，p )，且EX ＝6，DX ＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10 D ．2－8解析：选C.EX ＝np ＝6，DX ＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 121·12·(12)11＝3·2－10.4．(原创题)若p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布列如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.2解析：Eξ＝p ＋1≤32(0≤p ≤12)；Dξ＝－p 2－p ＋1≤1.答案：3215．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________.解析：当ξ＝1时，P (ξ＝1)＝C 21×C 2132＝49，P (ξ＝2)＝132＝19，∴Eξ＝1×49＋2×19＝23.答案：236．在某电视台的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获100分，答对问题B 可获200分，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分将决定获奖的档次．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B的概率分别为12、14.(1)记先回答问题A 的得分为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你得分更高？请说明理由．解：(1)X 的分布列为：∴EX ＝0×12＋100×8＋300×8＝8.(2)设先答问题B 的得分为随机变量Y ，则Y 的分布列为∴EY ＝0×4＋200×8＋300×8＝8.∴EX ＞EY .∴先回答问题A 所得的分较高．练习1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 A 发生0 A 不发生，则X 的方差DX ＝( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：选D.显然X 服从两点分布，DX ＝m (1－m )． 2．已知X 的分布列为1错，且Y ＝aX ＋3，EY ＝3，则a 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.先求出EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.再由Y ＝aX ＋3得EY ＝aEX ＋3.∴73＝a (－13)＋3，解得a ＝2. 3.正态总体N (0，49)中，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)内的概率是( )A ．0.46B ．0.997C ．0.03D ．0.0026解析：选D.由题意μ＝0，σ＝23∴P (－2＜X <2)＝P (0－3×23＜X <0＋3×23)＝0.9974，∴P (X ＜－2)＋P (X ＞2)＝1－P (－2≤X ≤2)＝1－0.9974＝0.0026. 4．已知随机变量X 的分布列为则E (6X ＋8)＝( A ．13.2 B ．21.2 C ．20.2 D ．22.2 解析：选B.EX ＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4 ＝0.2＋0.8＋1.2＝2.2，∴E (6X ＋8)＝6EX ＋8＝6×2.2＋8＝13.2＋8＝21.2.5．(2008年高考安徽卷)设两个正态分布N (μ1，σ12)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A.由正态分布N (μ，σ2)性质知，x ＝μ为正态密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2.又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.6．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是( )A.65B.25C.35D.75解析：选A.记“同时取出的两个球中含红球个数”为X ，则P (X ＝0)＝C 30C 22C 52＝110，P (X ＝1)＝C 31C 21C 52＝610，P (X ＝2)＝C 32C 20C 52＝310，EX ＝0×110＋1×610＋2×310＝65.7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则DX ＝________.解析：∵X ～B (3，14)，∴DX ＝3×14×34＝916.答案：9168．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的方差最大，其最大值是________．解析：由Dξ＝npq ≤n (p ＋q 2)2＝n 4，当p ＝q ＝12时取等号，此时Dξ＝25.答案：12259．均值为2，方差为2π的正态分布的概率密度函数为________．解析：在密度函数f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈R 中， μ＝2，σ＝2π，故f (x )＝12πe －(x －2)24π，x ∈R .答案：f (x )＝12πe －(x －2)24π，x ∈R10．(2009年高考江西卷)某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．(1)写出ξ的分布列； (2)求数学期望E ξ.解：(1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P (ξ＝0)＝164，P (ξ＝5)＝332，P (ξ＝10)＝1564，P (ξ＝15)＝516，P (ξ＝20)＝1564，P (ξ＝25)＝332，P (ξ＝30)＝164.(2)Eξ＝5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.11．在北京奥运会期间，4位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门等4个景点服务，已知每位志愿者在每个景点服务的概率都是14，且他们之间不存在相互影响． (1)求恰有3位志愿者在长城服务的概率；(2)设在故宫服务的志愿者人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．由此可得X的概率分布列为所以变量XEX＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1.12.(2009年高考全国卷Ⅱ)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2.B 表示事件：从乙组抽取的是1名男工人． A i 与B 独立，i ＝0,1,2.P (ξ＝2)＝1－[P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)]＝3175.故ξ的分布列为Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝85.。

2011届高三数学一轮巩固与练习：圆锥曲线的综合

巩固1．曲线C 的方程是y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( )A ．(0,0)B ．(15，15)C ．(1,5)D ．(4,4)解析：选D.∵1≤x ≤5，∴C 、D 中点的横坐标满足，又曲线上点的纵坐标与横坐标相等，故只有D 满足．2．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝－x 对称，则C 2的准线方程为( )A ．x ＝18B ．x ＝－18 C ．x ＝12 D ．x ＝－12解析：选A.因y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，关于y ＝－x 对称方程为x ＝18.3．(原创题)设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”：x 1*x 2=( x 1+x 2)2-( x 1-x 2)2,若x ≥0,则动点P (x,x *a )的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分解析：选D.∵x 1* x 2＝( x 1+x 2)2-( x 1-x 2)2， ∴x *a =(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax . 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x ，y 1＝2ax ，消去x 得y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)．故点P 的轨迹为抛物线的一部分．4．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：因为抛物线顶点在原点，焦点F (1,0)，故抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝4y 1＋y 2＝1， ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 答案：y ＝x5．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是________．解析：过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得：x 2－x －a －3＝0.因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．即Δ＝1＋4(a ＋3)＜0，解之得a ＜－134. 答案：(－∞，－134)6．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程．解：(1)由e ＝33，得b 2a 2＝1－e 2＝23；由直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得22＝|b |. 所以，b ＝2，a ＝ 3所以椭圆的方程是x 23＋y22＝1.(2)由条件，知|MF 2|＝|MP |，即动点M 到定点F 2(1,0)的距离等于它到直线l 1：x ＝－1的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹C 2的方程是y 2＝4x .练习1．下列说法正确的是( )A ．△ABC 中，已知A (1,1)，B (4,1)，C (2,3)，则AB 边上的高的方程是x ＝2B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线C ．已知平面上两定点A 、B ，动点P 满足|P A |－|PB |＝12|AB |，则P 点的轨迹是双曲线D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x解析：选 D.曲线与方程概念：(1)曲线上所有点的坐标都是这个方程的解，(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．选项A 符合(1)但不符合(2)．选项B 符合(2)但不符合(1)．选项C 符合(2)但不符合(1)．选项D 符合(1)、(2)．故选D.2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12] B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C.设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0.所以－1≤k ≤1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4 105 D.8 105解析：选C.设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)＞0，即t 2＜5.弦长|AB |＝42×5－t 25≤4 105.4．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54) B ．(1,1) C ．(32，94) D ．(2,4)解析：选B.设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1,1)．5．(2009年高考山东卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5C.52 D. 5解析：选D.不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎨⎧y ＝b a x y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－ba x ＋1＝0有唯一解，5，故选D.6．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若＝λ，(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选B.设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由＝λ得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy .(λ>0) ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y . 由于x 02＋y 02＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1. ∴M 的轨迹是椭圆．7．(2009年高考福建卷)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：∵F (p 2，0)，∴设AB ：y ＝x －p2与y 2＝2px 联立，得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x A ＋x B ＝3p .由焦半径公式x A ＋x B ＋p ＝4p ＝8，得p ＝2. 答案：28．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．答案：29．过抛物线y 2＝4x 的焦点，且倾斜角为34π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则△OPQ 的面积等于________．解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则S ＝12|OF |·|y 1－y 2|.直线为x ＋y －1＝0，即x ＝1－y 代入y 2＝4x 得：y 2＝4(1－y )，即y 2＋4y －4＝0，∴y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4， ∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16＋16＝42， ∴S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×42＝2 2. 答案：2 210．已知直角坐标平面上一点Q (2,0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半径与|MQ |的和，求动点M 的轨迹方程．解：设MN 切圆C 于N ，又圆的半径为|CN |＝1，因为|CM |2＝|MN |2＋|CN |2＝|MN |2＋1，所以|MN |＝|CM |2－1.由已知|MN |＝|MQ |＋1，设M (x ，y )，则 x 2＋y 2－1＝(x －2)2＋y 2＋1，两边平方得2x －3＝(x －2)2＋y 2，即3x 2－y 2－8x ＋5＝0(x ≥32)．11.(2009年高考辽宁卷)已知，椭圆C 经过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意，知c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4(32－k )2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A (1，32)在椭圆上，所以x E ＝4(32－k )2－123＋4k2，y E ＝kx E＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4(32＋k )2－123＋4k 2，y F ＝－kx F＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E＝12. 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1.试证明：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．解：(1)由x ＋ky －3＝0得，(x －3)＋ky ＝0，所以直线过定点(3,0)，即F 为(3,0)．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3a ＋c ＝8a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4，c ＝3.故所求椭圆C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上运动，所以m 225＋n 216＝1. 从而圆心O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n2＝1m 2＋16(1－125m 2)＝ 1925m 2＋16＜1.所以直线l 与圆O 恒相交．又直线l 被圆O 截得的弦长 L ＝2r 2－d 2＝2 1－1m 2＋n 2＝21－1925m 2＋16，由于0≤m 2≤25，所以16≤925m 2＋16≤25，则L ∈[152，465]，即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[152，465]．。

2011届高三数学一轮巩固与练习：空间向量的应用

巩固1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：选C.∵α∥β，∴(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)，∴－2＝λ，k ＝－2λ，∴k ＝4.2．(原创题)如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0,2,1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选D.cos θ＝a ·b |a ||b |＝32，因此a 与b 的夹角为30°. 3．(2008年高考福建卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ) A.63 B.255C.155D.105解析：选D.以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos 〈，〉＝＝45·8＝105.4.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为__________．解析：建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)， cos 〈，〉＝＝3010.答案：30105．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D ∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2.则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于__________．解析：如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,1,0)，B (－1,1,0)，P (0,0,2)，设平面P AB 的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，∴－Dy －12Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，∴d ＝|2×0＋0－2|22＋1＝255.答案：2556．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．解：以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E (a ，a 2，0)，P (0,0，a )，F (a 2，a 2，a 2)．(1)证明：∵·＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴⊥，∴EF ⊥CD .(2)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由，得⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(a 2，a 2，a 2)＝0(x ，y ，z )·(a ，a 2，0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2(x ＋y ＋z )＝0ax ＋a 2y ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)，∴cos 〈，n 〉＝＝－a 2a ·6＝－36. 设DB 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝36.练习1．(2010年北京西城调研)下列命题中，正确命题的个数为( ) ①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量，a 与α共面，则n ·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确，故选C.2．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)解析：选A.∵n ＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n ⊥，在选项A 中，＝(1,4,1)，∴n ·＝0.3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选C.如图，四棱锥P －ABCD 中，过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连结AO ，则AO 是AP 在底面ABCD 上的射影，∴∠P AO 即为所求线面角，∵AO ＝22，P A ＝1，∴cos ∠P AO ＝AO P A ＝22.∴∠P AO ＝45°，即所求线面角为45°.4.如右图所示，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF 、C 1E 与AB所成的角分别为α、β，则α＋β等于( )A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°解析：选D.建立坐标系如图，B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．则＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)，∴cos 〈，〉＝13， cos 〈，〉＝23，∴cos α＝13， cos β＝23，sin β＝13，∴α＋β＝90°，故选D.5．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A.63 B.33 C.23 D.13解析：选B.以正三棱锥O －ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，侧面OAB 的法向量为＝(0,0,1)，底面ABC 的法向量为n ＝(13，13，13)，∴cos 〈， n 〉＝＝131·(13)2＋(13)2＋(13)2＝33. 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A解析：选B.以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建系(图略)，设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，C (1,1,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，E (12，12，1)，∴＝(－12，－12，1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，＝(0,1，－1)，＝(0,0，－1)，显然·＝12－12＋0＝0，∴⊥，即CE ⊥BD .7．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是__________．解析：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0，－a 2，a 2)，则＝(2a,0,0)，＝(－a ，－a 2，a 2)，＝(a ，a,0)，设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈，n 〉＝＝a 2a 2·2＝12， ∴〈， n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 所成的角为90°－60°＝30°.答案：30°8．如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值等于__________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)⇒＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)⇒＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需·＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.答案：19.如图，在正三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AB ＝1，AA 1＝2，则二面角C 1－AB －C 的余弦值为__________．解析：如图建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，＝(0,1,2)，＝(32，12，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 1的法向量则⎩⎨⎧ 32x ＋12y ＝0，y ＋2z ＝0.取n ＝(－233，2，－1)，取m ＝(0,0,1)，作为平面ABC 的法向量．则cos 〈m ，n 〉＝－1193＝－5719.∴二面角C 1－AB －C 的余弦值为5719.答案：571910．如图，在正四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4，E 为BC 的中点，F 为CC 1的中点．(1)求EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值；(2)求二面角F －DE －C 的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)．(1)＝(－1,0,2)．易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设与n 的夹角为θ，则cos θ＝＝255，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为55.(2)＝(－1,0,2)，＝(0,2,2)．设平面DEF的一个法向量为m，则m·＝0，m·＝0，可得m＝(2，－1,1)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝66，∴二面角F－DE－C的余弦值为6 6.11．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点．(1)求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直，请证明你的结论；(3)当BC1⊥B1P时，求二面角C－B1P －C1的余弦值．解：(1)V ABC－A1B1C1＝S△ABC·AA1＝34×22×2＝2 3.(2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AP＝a，则A，C，B1，P的坐标分别为(0，－1,0)，(0,1,0)，(3，0,2)，(0，－1，a)，＝(0,2,0)，＝(－3，－1，a－2)，·＝－2≠0，∴B1P不垂直AC，∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直．(3)＝(－3，1,2)，由BC1⊥B1P，得·＝0，即2＋2(a－2)＝0，∴a＝1.又BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面CB1P，∴＝(－3，1,2)是平面CB1P的法向量．设平面C1B1P的法向量为n＝(1，y，z)，设二面角C －B 1P －C 1的大小为α，则cos α＝＝64，∴二面角C －B 1P －C 1的余弦值的大小为64.12．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ；(3)当BE 为何值时，P A 与平面PDE 所成角的大小为45°？解：(1)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F (0，12，12)，D (3，0,0)，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x,1,0)， ·＝(x,1，－1)·(0，12，12)＝0，∴PE ⊥AF .(3)设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)，（高考、中考、考研、留学英国）由，得m ＝(13，1－x 3，1)．而＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin45°＝22＝， ∴113＋(1－x 3)2＋1＝12，得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍)．故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.。

人教版数学必修一巩固练习_《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固_基础

【巩固练习】1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( )A ．2x y =B ．x x y 2=C ．)10(log ≠>=a a a y x a 且D ．x a a y log =2．函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧>-≤-1,log 11,221x x x x 则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ． [)0,+∞4．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上( )A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值5.为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；6．函数)65(log 2)21(+-=-x x y x 的定义域为（）； A ．()1,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()()1,11,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()3,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()133,,23,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是A ．(0，2) B ．(2，1)C ．(1)D ．，2)8．函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（）A ． 211(0)x y ex +=-> B ．211(0)x y e x -=+> C ． 211()x y e x R +=-∈ D ．211()x y e x R -=+∈ 9．不等式31122x x -+≤的解集为 . 10．已知函数2()f x x bx c =++，对任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-,则(2)f -、 (0)f 、(2)f 的大小顺序是．11．函数1218x y -=的定义域是；值域是 .12．判断函数2lg(y x x =的奇偶性 .13．已知函数211()log 1x f x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性. 14. 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 15．已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的值域.【答案与解析】1. 【答案】D【解析】y x ==，对应法则不同；2,(0)x y x x=≠ l o g ,(0)a x y a x x ==>；log ()x a y a x x R ==∈.2. 【答案】D【解析】由y x =--3得3,(,)(,)xy x y x y --=→--，即关于原点对称.3. 【答案】D 【解析】不等式等价于11,22x x -≤⎧⎨≤⎩或21,1log 2x x >⎧⎨-≤⎩，解不等式组，可得01x ≤≤或1x >，即0x ≥，故选D.4. 【答案】A 【解析】令1u x =-，(0,1)是u 的递减区间，即1a >，(1,)+∞是u 的递增区间，即()f x 递增且无最大值.5. 【答案】C 【解析】3lg 10x y +==lg(3)1x +-，∴只需将lg y x =的图象上所有点向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，即可得要求的图象． 6. 【答案】D【解析】{x x x x x x 或且31210210652>⎪⎩⎪⎨⎧≠->->+-22323213232123<<<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠><>⇒x x x x x x x 或或且或. 故选D.7. 【答案】B【解析】4log xa x <，1a ∴<，又当102x <≤时，4log x a x < ，所以121log 42a>，即2a >，所以综上得：a 的取值范围为,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 8. 【答案】D【解析】由1ln(1)(1)2x y x +-=>，解21ln(1)y x -=-得211,y e x -=-即211y x e -=+，故所求反函数为()211x y e x R -=+∈，故选D ．9. 【答案】(](],30,1-∞- 【解析】依题意得，31122x x -+-≤，311x x -+≤，即()()310x x x +-≤，解得(](],30,1-∞-.10. 【答案】(2)(2)(0)f f f ->>【解析】因为(1)()f x f x +=-，所以函数()f x 的对称轴为12x =，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以(2)(2)(0)f f f ->> 11. 【答案】{}1|,|0,2x x y y ⎧⎫≠>≠⎨⎬⎩⎭且y 1 【解析】 1210,2x x -≠≠；12180,1x y y -=>≠且. 12. 【答案】奇函数【解析】22()lg(f x x x x -=-+=22lg(().x x x f x ==-+=-13．【解析】0x ≠且101x x+>-，11x -<<且0x ≠，即定义域为(1,0)(0,1)-； 221111()log log ()11x x f x f x x x x x-+-=-=-+=--+-为奇函数； 212()log (1)11f x x x=-+-在(1,0)(0,1)-和上为减函数. 14．【解析】f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13＜1，即log a a －1≤log a 13≤log a a . 当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)． 15．【答案】[]24,12-【解析】12()3239(3)633x x x x f x +==+⋅-=-+⋅+，令3,x t =则2263(3)12y t t t =-++=--+，12,x -≤≤193t ∴≤≤，3,t ∴=当即1x =时，y 取得最大值12；当9t =，即2x =时，y 取得最小值-24，即()f x 的最大值为12，最小值为-24，所以函数()f x 的值域为[]24,12-．。

高考数学一轮复习指数与指数函数考点专项练习(含答案)题型归纳

高考数学一轮复习指数与指数函数考点专项练习（含答案）题型归纳以指数为自变量底数为大于0且不等于1常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。

以下是指数与指数函数考点专项练习，请考生仔细练习。

1.化简(_0)得()A.2_2yB.2_yC.4_2yD.-2_2y2.若点(a,9)在函数y=3_的图象上,则tan 的值为()A.0B.2C.1D.33.(____福建三明模拟)设y1=40.7,y2=80.45,y3=,则()A.y3y2B.y2y3C.y1y3D.y1y24.已知函数f(_)=则f(9)+f(0)等于()A.0B.1C.2D.35.(____山东临沂模拟)若函数y=a_+b的图象如图,则函数y=+b+1的图象为()6.定义运算:a_b=如1_2=1,则函数f(_)=2__2-_的值域为()A.RB.(0,+)C.(0,1]D.[1,+)7.若a0,且ab+a-b=2,则ab-a-b= .8.若函数f(_)=a|2_-4|(a0,且a1)满足f(1)=,则f(_)的单调递减区间是 .9.化简下列各式:(1)[(0.06)-2.5-(2).10.已知函数f(_)=3_+为偶函数.(1)求a的值;(2)利用函数单调性的定义,证明f(_)在(0,+)上单调递增.能力提升组11.函数f(_)=34_-2_在_[0,+)上的最小值是()A.-B.0C.2D.1012.函数y=(0a-b(a0),ab-a-b=2.8.[2,+) 解析:由f(1)=得a2=.于是a=,因此f(_)=.又因为g(_)=|2_-4|的单调递增区间为[2,+),所以f(_)的单调递减区间是[2,+).9.解:(1)原式=-1=-1=-1=0.(2)原式=-2)a=a2.10.(1)解:f(-_)=3-_+=a3_+.函数f(_)为偶函数,f(-_)=f(_).a3_+=3_+对任意_R恒成立,a=1.(2)证明:任取_1,_2(0,+),且_1_2,则f(_1)-f(_2)==()+=(._10,_1+_20,1,则1.0,(0,f(_1)f(_2).f(_)在(0,+)上单调递增.11.C 解析:设t=2_,_[0,+),t1.∵y=3t2-t(t1)的最小值为2,函数f(_)的最小值为2.12.D 解析:函数定义域为{_|_R,_0},且y=当_0时,函数是一个指数函数,其底数00,-0,_=log2(1+).(2)当t[1,2]时,2t+m0,即m(22t-1)-(24t-1).22t-10,m-(22t+1).∵t[1,2],-(1+22t)[-17,-5].故m的取值范围是[-5,+).指数与指数函数考点专项练习的全部内容就是这些，希望对考生复习数列有帮助。

2011届高三数学一轮巩固与练习：不等式

巩固1．下列命题正确的是( )A ．若a 2>b 2，则a >b B ．若1a >1b ，则a <bC ．若ac >bc ，则a >bD ．若a <b ，则a <b解析：选D.考虑a 、b 为负值或一正一负的情况，对于选项C ，还要考虑c 取正、负值的两种情况，选项A 、B 、C 均有不成立的情况．2．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π) D ．(－π6，π) 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0， ∴－π6<2α－β3<π.3．(2009年高考安徽卷)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A4．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式为________．解析：设最低生活保障金为x 元，则x ≥300. 答案：x ≥3005．(原创题)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a 这四个式子中，恒成立的不等式的序号是________．解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b.∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，∴③也不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④6．当a<b<0时，比较1a－b与1a的大小．解：法一：利用“作差法”等价转化．∵1a－b－1a＝ba(a－b)<0，∴1a－b<1a.法二：利用“作商法”等价转化．∵1a1a－b＝a－ba＝1－ba<1，且1a－b<0，∴1a>1a－b.法三：利用不等式的性质等价转化．∵a<b<0，∴a－b<0.又∵－b>0，∴a－b>a，而(a－b)a>0，∴1a>1a－b.练习1．已知a<b<|a|，则()A.1a >1b B ．ab <1 C.ab >1 D ．a 2>b 2解析：选D.若b ＝0，可排除A ，C ，无论b >0还是b <0，D 均成立．2．下列命题中的真命题是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若|a |>b ，则a 2>b 2C ．若a >b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2 解析：选D.∵a >|b |≥0，∴a 2>b 2，故选D.3．如果a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：选C.当b ＝0时，b 2＝0，cb 2＝ab 2，故选C.4．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b解析：选C.法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，即a >－b >b >－a . 法二：∵a ＋b >0，b <0， ∴a >－b >0，－a <b <0， ∴a >－b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .5．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值为( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．符号不能确定解析：选A.法一：因为a <0，ay >0，所以y <0，又x ＋y >0，所以x >－y >0，所以x －y >0.应选A. 法二：a <0，ay >0，取a ＝－2得：－2y >0，又x ＋y >0，两式相加得x －y >0.应选A.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B.设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2，显然v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4sv 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．7．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A ，B 的大小关系是________．解析：∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)， ∵(x －1)2≥0,2x 2＋2x ＋1>0， ∴A －B ≥0，即A ≥B . 答案：A ≥B8．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b 成立的充分条件有________．解析：1a <1b ⇒b －aab <0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．答案：①②④9．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件事实中提炼出一个不等式组是________．解析：依题意47＋47k <1，且三次后全部进入，即47＋47k ＋47k 2≥1，故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1.k ∈N*答案：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1k ∈N*10．已知：a >b >0，c >d >0，求证：a d >bc . 证明：∵c >d >0，∴1d >1c >0，又∵a >b >0，∴ad >bc >0. 11.已知a >0，b >0，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小．解：(a b ＋ba)－(a ＋b )＝a a＋b b－a b－b aab＝a(a－b)－b(a－b)ab＝(a－b)(a－b)ab＝(a＋b)(a－b)2ab.∵a>0，b>0.∴a＋b>0，ab>0.又∵(a－b)2≥0(当且仅当a＝b时等号成立)，∴(a＋b)(a－b)2ab≥0.即ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时等号成立)．12．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12000元预订15张下表中球类比赛的门票：该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *)张，则男篮比赛门票预订(15－2n )张，得⎩⎪⎨⎪⎧800n ＋500n ＋1000(15－2n )≤12000800n ≤1000(15－2n )，解得427≤n ≤5514.由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5. ∴可以预订男篮比赛门票5张．。