5.3任意角的三角函数

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5.3象限角的正负号

第5章三角函数
5.3任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数
动脑思考
探索新知
三
角函数
y x sin cos r r
y tan x
在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值,按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别
有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的
函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．
创设情景
兴趣导入
0, y 0，
当角α的终边在第三象限时，点的终边在第一象限时，点的终边在第二象限时，点的终边在第四象限时，点P在第一象限，x 所以， sinα 0,cosα 0,tanα 0；
sinα>0
cosα<0
y
sinα>0
19 3 ；（4）． 4 6
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 , 确定是第几象限的角．
归纳小结自我反思
三
角函数
本次课学习哪些内容？
你会解决哪些新问题？
体会到哪些学习方法？
布置作业继续探究
三
角函数
阅读
书面
实践
教材章节5.3
学习与训练5.3
0， 27 0， cos 5 0，
0． 0．
0，
巩固知识典型例题
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ，确定是第几象限的角．
角函数
y
y
+ o
sinα
+
x
+
o
-
+
-
x
tanα
应用知识强化练习

三角函数的诱导公式高中数学课件(人教A版2019必修第一册)

x
y
在题中横线上。
y
-x
sin(π-α)=
cos(π-α)=
tan(π-α)= －

x
3

tan

( 2)tan
4
4
y
公式四：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan -1
P′(-x,y)
π-a
α 与π-α关于y轴对称
+(°-°)(°+°)
(2)证明:左边=

(1)解:原式=
( +)( +)

(°+°)+(°+°)

=
=
=
-°°
|°-°|
-
=
=-tan °-°
如：sin(π+a)，假设 a 是锐角，则π+a 是第三象
限角，所以sin(π+a)=-sina
思考2：如果α为锐角，你能得到什么结论？
a

-
2

cos( -)=sin
2
c
α
b

sin ( ) cos
2
思考3：若α为一个任意给定的角，那么的终边与
角

2
的终边有什么关系？
2k ( k Z ), - , 的三角函数值，等于角
的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时
原函数值的符号。
即：
函数名不变，符号看象限！
“函数名不变”是指等号两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指等号右边是正号还是负号，可
以通过先假设a是锐角，然后由等号左边的式子中的

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案

5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》教案授课题目任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数授课课时3课型讲授教学目标1.知识与能力（1）能够运用公式求解任意角的三角函数值；（2）掌握三角函数的表达式；（3）正确判断任意角的三角函数值的符号.2. 过程与方法观察、分析知识形成的过程，归纳、抽象、概括知识的概念，提升寻找数学规律的能力.3. 情感、态度与价值观（1）感知数学知识与实际生活的普遍联系；（2）享受积极交流的课堂气氛，增强学习的兴趣和勇于创新的精神.教学重难点重点：任意角的三角函数值；难点：三角函数值的符号.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路复习引入在初中，我们在直角△ABC中，我们定义了锐角α的正弦、余弦和正切，如图1所示.正弦：asincαα∠==的对边斜边；图1余弦：cos b c αα∠==的邻边斜边；正切：tan a b ααα∠==∠的对边的邻边.现在我们将一个锐角α放入平面直角坐标系中，使得顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，如图2所示.已知点(,)P x y 是锐角α终边上的任意一点，点P 与原点O 的距离(0)OP r r =>，你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角α所对应的三角函数值吗？分析过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .在Rt OMP ∆中，根据勾股定理可得，222r x y =+，即220r x y =+>.MP sin y OP r α==；OM cos xOP r α==； MP tan yOM xα==.一、探究新知在弧度制下，我们已将α的范围扩展到了全体实数.一般地，如图3所示，当α为任意角时，点结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图2(,)P x y 的α终边上异于原点的任意一点，点P 到原点的距离为22r x y =+.我们仍然将α的正弦、余弦、正切分别定义如下.sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠ 注意：当的α终边不在y 轴上时，tan α才有意义.对于每一个确定的α，其正弦、余弦及正切都分别对应一个确定的比值，因此，正弦、余弦及正切都是以α为自变量的函数，分别叫作正弦函数、余弦函数及正切函数.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数 y=sin x ，x R ∈；余弦函数 cos y x =，x R ∈；正切函数 y=tan x ，()2x k k Z ππ≠+∈.二、例题讲解例 1.如图3所示，已知角α的终边经过点(3,4)P -，求 sin α，cos α，tan α的值.理解记忆相关概念和结论在理解的基础上熟练写出相关函数表达式和定义域直观展示知识点，让学生在理解的基础上记忆概念图2解由已知有，x =3,y =-4,则，()234 5.r =+-=２于是4 ,5ysin r α==-3,5x cos r α==43y tan x α==-.三、巩固练习已知角α的终边分别经过以下各点，求sin cos tan .ααα，和.（1）P(-8，6)；（2）P(5，12)；（3）P （-1，2）.认真读题，积极思考，掌握解题的基本思路认真思考、完成相关题目展示问题解决的基本步骤，培养学生分析解决问题能力加深对定义和公式的理解和记忆图3一般地，α为任意角，(,)P x y 为α终边上异于原点的任意一点，点P 与原点O 的距离OP r =，因为0r >，由定义可知，正弦值的符号与点P 的纵坐标y 的符号相同；余弦值的符号与点P 的横坐标x 的符号相同；正切值的符号与点P 的纵坐标与横坐标的比值yx的符号相同. 请同学们将点P 的坐标与各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号列表.为了便于记忆，我们将，，的正负号标在各象限内，如图4所示.二、例题分析例1确定下列各值的符号.（1）() 210sin -︒；（2）17 12cos π; （3） 760tan ︒. 解（1）因为-210°是第二象限角，所以() 2100sin -︒>. （2）由1751212πππ=+，可看出π＜π+5π12＜π+6π12=3π2是第三象限的角，所以 17012cos π<. （3）因为760402360︒=︒+⨯︒，可知760°的角与400的角终边相同，是第一象限的角，理解并熟记各象限角正弦值、余弦值和正切值的正负号认真读题，积极思考，了解知识运用的一般过程在理解的基础上记忆概念展示问题解决的基本方法，培养学生分析解决问题能力图4第3课时教学过程教学活动学生活动设计思路提出问题如图5所示，两个三角板上有几个特殊的锐角：30°，45°，60°.初中已研究了它们对应的正弦值、余弦值和正切值.现将角的范围进行了推广，已经在平面直角坐标系中研究了各象限角的正弦值、余弦值和正切值的符号分布规律.对于在平面直角坐标系中不属于任何象限的特殊角，如0°，90°，180°，270°等，它们的正弦值、余弦值和正切值又是多少？以180°为例，试求出它的正弦值、余弦值和正切值. 结合老师给出的问题，积极主动的思考，得出初步结论.激发学生好奇心，增强学习热情，更主动参与到课堂学习过程中.图5图6分析在平面直角坐标系中，180°角的终边正好与x 轴的负半轴重合，如图6所示.以坐标原点为圆心、半径为单位长度的圆(简称单位圆)与x 轴交于点(1,0)P -，于是有1x =-，0y =，1γ=.根据任意角的正弦、余弦和正切的定义可知，sin 1800yr ︒==； cos 1801xr ︒==-；tan 1800yx︒==.一、探究新知一般地，取单位圆与坐标轴的交点就可以得到0°，90°，180°和270°等特殊角的正弦值、余弦值和正切值，如下表所示表中360°角与0°角的终边相同，对应的三角函数值也相同.二、例题讲解例1 求︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5的值.解 ︒-︒+︒-︒270sin 7180tan 290sin 4180sin 5=5×0－4×1＋2×0－7×（－1）=3。

安徽省对口高考复习第五章三角函数

第五章三角函数（基础模块∙上）一、知识点节次知识点 5.1角的概念推广5.1.1任意角的概念角角的始边角的终边角的顶点正角负角零角第几象限角界限角5.1.2终边相同的角定义表示（象限角、界限角） 5.2弧度制5.2.1弧度制1弧度的角弧度制角度与弧度的换算公式特殊角的换算 5.2.2应用举例机械传动公路弯道5.3任意角的三角函数5.3.1任意角的三角函数的概念三角函数定义域已知终边上一点 5.3.2各象限角的三角函数值的正负号象限表示5.3.3界限角的三角函数值特殊角的三角函数值 5.4同角三角函数的基本关系 5.4.1同角三角函数的基本关系式单位圆平方关系商的关系 5.4.2含有三角函数的式子的求值与化简商的关系5.5诱导公式5.5.1()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式()Z k k ∈⋅+ 360α的诱导公式5.5.2 －α的诱导公式－α的诱导公式5.5.3 180°α±的诱导公式 180°α±的诱导公式 5.5.4 利用计算器求任意角的三角函数值5.6三角函数的图像和性质5.6.1正弦函数的图像和性质周期现象周期函数周期最小正周期正弦曲线有界性有界函数无界函数正弦函数性质五点法作图5.6.2余弦函数的图像和性质余弦曲线余弦函数性质 5.7已知三角函数值求角 5.7.1已知正弦函数值求角 5.7.2已知余弦函数值求角 5.7.3已知正切函数值求角阅读与欣赏光周期现象及其应用第一章三角公式（拓展模块）节次知识点1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式1.1.1两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式 1.1.2两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式 1.1.3两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式 1.1.4二倍角公式二倍角公式 1.2正弦型函数1.2.1正弦型函数的周期正弦型函数计算公式1.2.2正弦型曲线正弦型曲线正弦型曲线变化规律正弦型曲线五点规律振幅、频率、相位、初相 a sin x +b cos x 的转化 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理正弦定理 1.3.2余弦定理余弦定理1.3.3正弦定理与余弦定理应用举例阅读与欣赏刘徽与《海岛算经》二、结构展示三角函数三角公式角的度量三角函数角概念推广弧度制终边相同角定义、单位圆特殊角诱导公式同角函数三角函数符号三、考纲解读1、角度概念，弧度制了解角的概念，理解弧度制；终边相同的角的关系是重要的考点之一。

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数

【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【教学目标】
知识目标：
⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵理解三角函数在各象限的正负号；
⑶掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵会判断任意角三角函数的正负号；
⑶培养学生的观察能力．
情感目标：
由三角函数的概念推导出任意角的三角函数值、三角函数的正负号以及界限角的三角函数值使学生体会到数学知识的内在统一性.
【教学重点】
⑴任意角的三角函数的概念；
⑵三角函数在各象限的符号；
⑶特殊角的三角函数值．
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
动脑思考探索新知是任意大小的角，点B
a c
0>，cos43270>，tan 22=⨯π所以，27角为第三象限角，
这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再31206(1)2-⨯+⨯-⨯-=-．
3tan180+213tan tan sin cos 4332πππ
-+-+π．。

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数

c
a
A 邻边 C
b
cos
A

b c

邻边斜边
tan
A

a b

对边邻边
思考角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角的三角函数呢？
任意角三角函数的定义
已知是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角的
终边与两个半径不同的同心圆的交点，则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
三角函数
归纳小结会解决哪些新问题？
体会到哪些学习方法？
本节课所学知识点： 1．任意角三角函数的定义（代数表示）． 2．任意角三角函数值的求法（方法）． 3．任意角三角函数值的符号（口诀）． 4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．
三角函数
布置作业继续探究
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
计算器
补充练习
计算
(1)3cos90 5sin 0 tan 0 cos180 sin180 tan180
(2)5cos270 9sin 0 sin 270
单位圆与三角函数线
1. 以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆.
2. 如图，角的终边与单位圆交于点P，
则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标 x， y 分别为
cos 和 sin ，即 P( cos , sin ).
y1
由于 cos ＝ x ＝ OM；
P (cos , sin )
π
3A OM x

第5章三角函数知识点清单-高一上学期数学湘教版

新教材湘教版2019版数学必修第一册第5章知识点清单目录第5章三角函数5. 1 任意角与弧度制5. 2 任意角的三角函数5. 3 三角函数的图象与性质5. 4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质5. 5 三角函数模型的简单应用第5章三角函数5. 1 任意角与弧度制一、角的概念1. 角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形. 一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角，以顺时针方向旋转所成的角称为负角，不旋转所成的角称为零角.二、象限角1. 取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，那么，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角. 如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.三、终边相同的角1. 所有与角α终边相同的角用集合表示为{β|β=α+k·360°，k∈Z}，当k=0时，角β就是角α本身.四、角度制与弧度制1. 角度制与弧度制的概念360°=2π rad，180°=π rad；rad≈0. 017 45 rad；1°= π180)°≈57. 30°=57°18'.1 rad=(180π五、扇形的弧长与面积公式1. 设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为n°(0<n<360)，α为圆心角的弧度数，则六、终边相同的角的应用 (1)所有与角α终边相同的角可用集合表示为{β|β=α+k·360°，k∈Z}；(2)当角的顶点和始边相同时，相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等； (3)终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍； (4)始边相同，终边不同，则表示的角一定不相等. 七、确定角αn (n ∈N ，且n ≥2)的终边所在象限的方法 1. 分类讨论法利用已知条件写出角α的范围(如k·180°<α<k·180°+90°，k∈Z)，由此确定角αn 的范围，然后对k 进行分类讨论，从而确定角αn的终边所在的象限.2. 几何法先把各象限分成n 等份，再从x 轴的正方向的上方起，按逆时针方向依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ；Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ；……则α原来是第几象限角，标号为几的区域即为角αn的终边所在的区域，从而确定角αn的终边所在的象限.八、求扇形的弧长和面积 1. 由扇形的弧长公式l=αr 及面积公式S=12lr=12αr 2知，对于α，r ，l ，S ，可“知其二求其二”，它实质上是方程思想的运用.2. 扇形的周长及面积的最值问题(1)当扇形的周长一定时，扇形的面积有最大值. 其求法是把面积S转化为关于半径r的二次函数，但要注意r的取值范围，要特别注意扇形的弧长必须满足0<l<2πr. (2)当扇形的面积一定时，扇形的周长有最小值. 其求法是把周长C转化为关于半径r的函数，但要注意r的取值范围.5. 2 任意角的三角函数5. 2. 1 任意角三角函数的定义一、用比值定义三角函数1. 设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义：sin α=yr ，cos α=xr，tan α=yx，其中r=√x2+y2.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切.2. y=sin α，y=cos α，y=tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数. 以上三种函数都称为三角函数. 其中正弦函数、余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为{α |α≠π2+kπ，k∈Z}.二、用有向线段表示三角函数如图，角α的终边与单位圆交于点P，单位圆与x轴的正半轴交于点A，DP，AT 均垂直于x轴，我们把有向线段DP，OD，AT分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，记作sin α=DP，cos α=OD，tan α=AT. 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.三、三角函数值在各象限的符号如图为角α的正弦值、余弦值、正切值在不同象限的符号情况.四、利用三角函数的定义求值 1. 已知角α，求其三角函数值在平面直角坐标系中作出角α和单位圆，求出交点坐标，再利用三角函数的定义求值.2. 已知角α终边上的一点P(x，y)，求其三角函数值先求出点P与原点间的距离r=√x2+y2，再利用三角函数的定义求解.当点P的坐标中含有参数时，要注意根据实际情况及条件进行分类讨论.五、利用三角函数线比较大小用三角函数线定义三角函数时，有向线段的方向表示取值的正负，当指向坐标轴的正方向时，取正实数值，当指向坐标轴的负方向时，取负实数值. 有向线段的长短代表三角函数值的绝对值.5. 2. 2 同角三角函数的基本关系 5. 2. 3 诱导公式一、同角三角函数的基本关系1. 平方关系同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α+cos2α=1.2. 商数关系同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切，即sin αcosα=tan α，其中角α满足条件α≠kπ+π2，k∈Z.3. 同角三角函数的基本关系的常见变形(1)sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α，sin α=±√1−cos2α，cos α=±√1−sin2α(2)sin α=cos α·tan α(α≠kπ+π2，k∈Z)，cos α=sin αtanα(α≠kπ2，k∈Z).(3)1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.二、诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos α，tan(α+2kπ)=tan α，其中k∈Z. 公式二：sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α.公式三：sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α.公式四：sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=-tan α.公式五：sin(π2−α)=cos α，cos(π2−α)=sin α，sin(π2+α)=cos α，cos(π2+α)=-sin α.公式六：tan(π2−α)=sin(π2−α)cos(π2−α)=cos αsinα=1tan α，tan(π2+α)=sin(π2+α)cos(π2+α)=cos α−sinα=-1tan α.三、利用同角三角函数的基本关系求值 1. sin α±cos α与sin αcos α之间的关系(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4·sin αcos α.2. 综合使用同角三角函数的两个基本关系式，对于sin α，cos α，tan α的值，只要知道其中一个就可以求出另外两个.3. 在使用关系式sin α=±√1−cos 2α，cos α=±√1−sin 2α时，注意结合角的范围合理选择三角函数值的符号.四、求含sin α，cos α的齐次式的值 1. 若已知tan α=m，求形如a sin α+b cos αc sin α+d cos α(或asin 2α+bcos 2αcsin 2α+dcos 2α)的式子的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为关于tan α的代数式，再求值. 如果先求出 sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得烦琐. 2. 形如asin 2α+bsin αcos α+ccos 2α的式子，通常把它看作是分母为1的式子，再用sin 2α+cos 2α代换分母1，然后分子、分母同除以cos 2α，再求解. 五、利用诱导公式解决条件求值问题解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系，再将已知式进行变形(向所求式转化)，或将所求式进行变形(向已知式转化). 在诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值是最常见的方法. 常见的互余关系有π3-α与π6+α， π3+α与π6-α， π4+α与π4-α等，常见的互补关系有π3+α与2π3-α， π4+α与3π4-α等.六、利用同角三角函数基本关系式和诱导公式进行化简与证明 1. 三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，灵活应用相关的公式及变形解决问题.(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦.2. 证明三角函数式的常用方法(1)对一边进行化简，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明等号两边都等于同一个数或式子.注意：针对题设与结论间的差异，要有针对性地进行变形，以消除差异.5. 3 三角函数的图象与性质5. 3. 1 正弦函数、余弦函数的图象与性质一、正弦函数、余弦函数的图象二、正弦函数、余弦函数的性质三、正、余弦函数图象的应用 1. 利用正、余弦曲线解三角不等式的一般步骤(1)作出正弦函数或余弦函数在[0，2π]或[-π，π]上的图象；(2)写出不等式在区间[0，2π]或[-π，π]上的解集；(3)根据诱导公式一写出不等式在R上的解集.四、求函数的单调区间 1. 形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A≠0，ω>0)的单调区间的求法(1)当A>0时，把ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x或y=cos x的单调增区间求得的x的范围即为函数的单调增区间，利用y=sin x或y=cos x的单调减区间求得的x的范围即为函数的单调减区间.(2)当A<0时，把ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x或y=cos x的单调增区间求得的x的范围即为函数的单调减区间，利用y=sin x或y=cos x的单调减区间求得的x的范围即为函数的单调增区间.注意：若ω为负，一般先把ω化为正数再求解.五、利用单调性比较三角函数值的大小 1. 利用单调性比较三角函数值大小的步骤(1)依据诱导公式把三角函数化为同名函数；(2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内；(3)依据三角函数的单调性比较大小.六、求与正、余弦函数有关的函数的值域或最值与正、余弦函数有关的函数值域(最值)问题的常见类型及解法(1)形如y=sin(ωx+φ)(ω≠0)的函数，令t=ωx+φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的值域(最值).(2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数，可先设t=sin x，将函数y=asin2x+bsin x+c(a ≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0)，再根据二次函数的单调性求值域(最值)，注意t的取值范围.(3)形如y=asin x+b(或y=acos x+b)的含参函数求值域(最值)时，需要注意对a进行讨论.(ac≠0)的函数的值域(最值)时，可以用分离常量法求解，也可(4)求形如y=a sin x+bc sin x+d以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.5. 3. 2 正切函数的图象与性质一、正切函数的图象与性质二、与正切函数有关的函数的定义域、值域问题 1. (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了满足函数定义域的一般要求外，还要+kπ，k∈Z.保证正切函数y=tan x有意义，即x≠π2(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0，ω≠0)的定义域时，要将ωx+φ视为一个整体，，k∈Z，解得x.令ωx+φ≠kπ+π22. 求与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新元的范围.三、正切(型)函数的图象与性质的应用，0)(k∈Z)是其对称中心. 函数y=Atan(ωx+φ)(Aω1. 正切曲线是中心对称图形，(kπ2≠0)的对称中心可以通过令ωx+φ=kπ，k∈Z求得.22. 正切函数y=tan x 的最小正周期是π，函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期是π|ω|.3. 正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A>0，ω≠0，φ是常数)的单调区间的求法 (1)若ω>0，由于y=tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ-π2<ωx+φ<kπ+π2，k∈Z，解得x 的取值范围，即得原函数的增区间. (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan [-(-ωx -φ)]=-Atan(-ωx -φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的取值范围，即得原函数的减区间.4. 利用正切函数的单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小.5. 4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质一、A(A>0且A≠1)对y=Asin x 的图象的影响1. 一般地，对任意A>0且A ≠1，函数y=Asin x 的图象可以由y=sin x 的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以A 得到. y=Asin x 的周期仍是2π，值域为[-A ，A]，最大值和最小值分别为A 和-A.二、ω(ω>0且ω≠1)对y=sin ωx 的图象的影响1. 一般地，对任意ω>0且ω≠1，函数y=sin ωx 的图象可由y=sin x 的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的1ω而得到. y=sin ωx 的值域为[-1，1]，周期为2πω. 三、φ(φ≠0)对y=sin(x+φ)的图象的影响1. 一般地，y=sin(x+φ)(x∈R，常数φ≠0)的图象可以由y=sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度得到.四、函数y=sin x的图象与y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ是常数)的图象的关系五、描述简谐振动的物理量1. 简谐振动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；(2)周期是T=2πω，它是做简谐振动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)f=1T =ω2π表示单位时间内往复振动的次数，称为频率；(4)ωx+φ称为相位；(5)x=0时的相位φ称为初相.六、三角函数图象的平移与伸缩变换 1. 一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，x∈R)的图象可以由函数y=sin x的图象经过平移变换和伸缩变换得到.七、利用图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的解析式由函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象确定解析式的方法1. 逐一定参法(1)由函数图象上的最高点、最低点来确定A的值.(2)由函数图象与x轴的交点确定T的值，由T=2πω确定ω的值.(3)确定函数y=Asin(ωx+φ)中φ的值. 其方法有两种：①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入y=Asin(ωx+φ)(此时A与ω的值已知)，求得φ的值.，0)为突破口.②五点对应法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的点(−φω2. 待定系数法通过将若干特殊点的坐标代入函数解析式，可以求得A，ω，φ的值. 这里需要注意的是，要认清所选择的点属于“五点法”中的哪一个点，并能正确代入函数解析式. 3. 图象变换法运用逆向思维，先确定函数解析式y=Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数的值.5. 5 三角函数模型的简单应用一、三角函数模型的应用1. 匀速圆周运动、单摆运动等都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律.2. 研究周期现象时，一般先用适当的方法搜集数据，再利用搜集到的数据画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合，获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.二、三角函数模型在物理中的应用 1. 物理学中有单摆运动、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. 处理物理学问题时，要明确物理概念的意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.三、三角函数模型在生活中的应用 1. 解三角函数应用问题的基本步骤(1)审清题意：读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题.(2)建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型.(3)求解函数模型：利用所学的三角函数知识求解得到三角函数模型.(4)得出结论：将所得结果翻译成实际问题的答案，并检验.。

5.3 任意角的三角函数

sin y cos x
y tan ( x 0) x
α 的终边
y α 的终边 P(x,y) O
P(x，y)
x
根据任意角的三角函数定义，确定它们在弧度制下的定义域.
三角函数定义域
sin =y cos =x
P( x, y)
y
R R
y tan = ( x 0) k (k Z ) 2 x
y
P（x，y）
2 3
M O
1 3 P( , ) ，故 2 2
2 3 sin 3 2
2 1 cos － 3 2
x
2 tan 3 3
7 2 思考：若把角改为呢? 3 6
y
7 1 sin , 6 2 7 3 cos , 6 2
7 3 tan 6 3
，
y y
.P
r
y
（x，y）
.P
r x
（x，y）
. O
α
x
. O
y
α
x
x
比值随角的终边的位置变化而变化。
定义：
设角是一个任意角， ( x, y) 是终边上的任意一点， P 点 P 与原点的距离 r
x 2 y 2 0.
y y ①比值叫做的正弦，记作sin ，即 sin ． r r
（2）
（3） tan( tan( k ) Z 6 2 ) tan 6 tan 6 3 其中6
小结：利用公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求
9 2 cos k 2 )2 cos cos( cos( ) cos 4 4 4 2 t an( k 2 ) t an 11 3

任意角的三角函数

利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线．
三角函数的几何表示课件
三角函数的一种几何表示
当角的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ， MP 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
x x cos x OM r 1
而 48 °第一象限角, 所以tan(－672 °)>0
解:
因为tan(11π/3)=4)tan(5π/3+2π )=tan(5π/3)
而 5π/3第四象限角, 所以tan(11π/3)<0
变式
判断 cos(sinα)的符号
分析:
求 sinα 的大小; 弧度制把角度与实数相联系
解:
因为 sinα 的取值为 [-1,1]; 而 -1>-π /2 , 1< π/2 ;
弦 csc
tan 切 cot
全为+ 函 o x cos
余
函:所有的三角函数弦:正弦 (倒数余割) 切:正切 (倒数余切) 余:余弦 (倒数正割)
sec
例3
确定下列三角函数值的符号
(1) cos250° (2) sin(－π /4)
解: 因为250°是第三象限角, 所以cos250°<0 解: 因为－π/4是第四象限角, 所以sin(－π/4) <0 练习4 口答
务正业了,每天坐在飞船当中,正在朝南皇国赶路."罢了,你们主内,咱主外吧..."根汉无奈の自嘲,她们在体验不同の人生,或许对她们の道法有所帮助,因为她们可能之前从来没想到会经历这样の生活.不过因为在这里已经呆了有段时间了,根汉必须要着眼开始找到这星海大陆の出口了,若是再

5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念

5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念一、教材分析1．教材的地位和作用：本节课是《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》的第一课时，在此之前，学生已经学过“锐角三角函数”的相关知识以及“角的推广”，现在学习本节课是一个“从特殊到一般”的学习过程，学好此知识也为接下来学习“同角三角函数的基本关系”打好扎实的基础，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。

另外三角函数知识在物理学、天文学、测量学、模具数控加工等领域均有重要的应用，因此它在现实生活中起着服务专业的作用。

2.学情分析及教材处理：本人所授课的班级为2012级数控专业班的学生，他们优点是思维形象直观，对专业兴趣浓厚，而且他们即将学习的数控专业知识中需要用到三角函数知识。

针对学生的优点，我对教材进行了适当的调整处理：○1增加信息化在教学中的运用，优化教师课堂教学，激发学生学习兴趣。

○2增加解决专业问题的实例，满足学生专业学习需求，体现数学的实用性。

不过中职学生也有自身的不足，那就是深入思考能力欠缺，计算能力比较薄弱。

针对学生的不足，我简化了定义的推导，强化了知识的应用。

同时让学生小组互助合作，借助计算器求值计算。

3．教学目标：➢知识目标：理解任意角三角函数的定义，能熟练运用相关知识解决实际问题。

➢能力目标：培养学生观察分析、探索归纳、解决问题的能力，提高学生信息素养。

➢情感目标：在学习中培养学生互教互学的合作精神，同时让学生感悟数学的实用性。

4．教学重点：任意角三角函数的定义。

5．教学难点：任意角三角函数定义在现实生活中的灵活应用。

二、教法、学法：在教学中，以数学家弗赖登塔尔的“数学现实”理论为指导，借助信息化手段辅助教学。

首先通过教师的动画演示，学生的观察思考，联系专业引入新课。

然后经过教师的启发诱导和学生的讨论交流，探究定义。

接着通过教师示范讲授例题，学生小组合作练习，巩固新知识。

最后通过教师的精讲点拨和学生的自主探究，将数学知识服务于专业。

5.3 诱导公式

1 2
cos
5
6
cos2
3
sin
3
1 2
cos 2
3
cos
3
cos
3
3 2
诱导公式的运用——条件求值
[练习3]若f (x) a sin(x ) bcos(x );, ,a,b为非零常数,
若f (2021) 1,则f (2022) ____1____.
f 2021 a sin2021 bcos2021
公
sin
cos
2
sin 3 cos 2
式五
cos
sin
2
cos 5 sin 2
公 sin( ) cos
式2
六
cos(
)
s in
2
k 的三角值, 奇变偶不变 2
k为奇数函数名变, k为偶数函数名不变.
诱导公式的运用——条件求值
[例4]若sin(53 ) 1 ,且 (270,90),求sin(37 )的值. 5
tan( ) tan
大化小 (锐角)
2k与的终边相同
与的终边关于原点对称
公式三 sin( ) sin
公式四 sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan 负化正
与的终边关于x轴对称
cos( ) cos
tan( ) tan
大化小 (锐角)
与的终边关于y轴对称
诱导公式的运用——求值
[例1]利用公式求下列三角函数值：
①
cos585
①
cos225
cos(180
45)
②
cos45
②
tan
300

5.3诱导公式(第一课时)课件(人教版)

cosπ－αsinπ－α
(3)sin2kπ＋23πcoskπ＋43π(k∈Z)．
－sinα－sinα
＝－cosαsinα
＝－csoinsαα
＝－tanα.
例 3 化简下列各式：
(2) 1s＋in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
1＋2sin360°－70°cos360°＋70°
4－tanα
＝－sin(α－55°)＝2
2 3.
－2＋3×3
＝
＝7.
4－3
例 3 化简下列各式：
题型三三角函数式的化简
(1)tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α；
sin2π－α
(2) 1s＋ in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
·sin－αcos－α cos2π－α [解] (1)原式＝
解 (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30° ＋2×360°)＋tan(135°＋360°)
＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°
＝ 23× 23＋12×12－1＝0.
答案
[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin83πcos316π＋tan－243π.
终边与单位圆的交点坐标如何？
α的终 y 边
o
x π+α的终边
α的终边
P(x ， y)
y
o x Q(-x，-y) π+α的终边
形如的三角函数值与的三角函数值之间的关系

任意角的三角函数

的其他
a, y 2a
(a , 2a )(a 0) ，所以
x r 5 | a |，
2a
y 当a 0时， a sin r
cos a x a 5a r 5 5a
2a 5|a|
2 5 5 5a
tan a 2;

y sin 当 a 0时， a r
小结
本节课学习以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式.
作业
记忆 : 0 ,30 ,45 ,60 ,90 的正弦, 余弦, 正切值.
0 0 0 0 0
x x (2) 叫做a的余弦, 记作 cos a ,即 cos a ; r r y y (3) 叫做a的正切, 记作 tan a ,即 tan a ; x x
特别地, 任意角α的终边与单位圆交于点 P(x, y)时 :
(1) sin a y; (2) cos a x; y (3) tan a ; x
P(x,y) O
y
a
x
A(1,0)
填写正弦, 余弦, 正切函数值在各象限的符号:
y
(
y
y
( (
)
(
(
)
)
O
(
)
x
) ( ) x O ( ) ( )
(

) )
(

)
O
(
)
x
sin a
cosa
tan a
G S P
举例
3π 例1求的正弦, 余弦, 正切值. 2 3 y r 解：设 a ，此时 x 0

任意角的三角函数

（4）负
tanx 例3.求函数y = + 的值域. cosx tanx
解析：定义域：cosx ≠0 ∴x的终边不在x轴上又∵tanx ≠0 ∴x的终边不在y轴上
cosx
∴当x是第一象限角时，x > 0,y > 0, cosx = cosx,tanx = tanx, ∴ y = 2; 当x是第二象限角时，x < 0,y > 0, cosx = -cosx,tanx = -tanx, ∴ y = -2; 当x是第三象限角时，x < 0,y < 0, cosx = -cosx,tanx = tanx, ∴ y = 0; 当x是第四象限角时，x > 0,y < 0, cosx = cosx,tanx = -tanx, ∴ y = 0; 所以，y的值域为 {2， - 2，0}
例2 已知角的终边经过点P（ 2， 3），求角的正弦、余弦、正切值.
解：
因为
所以
x 2, y 3,
r 2 2 ( 3) 2 13 ,
所以
y 3 3 13 sin , r 13 13
x 2 2 13 cos , r 13 13
3 y . tan 2 x
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
2 1

0
1
0
不存在
3 2
2
1
0
tanα
3 2 3 3
0
1

高中数学必修一讲义专题5.3 三角函数的概念-重难点题型精讲(学生版)

专题5.3 三角函数的概念-重难点题型精讲1．任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；③把点P叫做的正切，记作，即=(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则，=，=.2．三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示.3．诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一)：4．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系(2)基本关系式的变形公式【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】【例3】（2022·湖南·高一课时练习）求值：√3cos420°+tan330°+sin(−60°)．【变式3-1】（2021·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405°−sin450°+cos750°；(2)sin25π3+tan(−15π4).【变式3-2】（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：(1)sin760∘√1−cos240∘；(2)tanα√1sin2α−1（其中α是第二象限角）.【变式3-3】（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：【例5】（2021·福建·高一阶段练习）（1）已知cosα+2sinα=0求1−2cos 2αsin 2α−sinαcosα的值；（2）已知sinβ+cosβ=23，且β为第四象限角，求sinβ−cosβ的值.【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知3sin 2α−4sinαcosα+1=0． (1)求tanα的值； (2)求sinαcosα1+cos 2α的值．【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知tan α=2，求下列各式的值. (1)1sin αcos α；(2)11−sin α+11+sin α.【变式5-3】（2022·天津·模拟预测）已知3π4<α<π， tan α＋1tana =−103. (1)求tanα的值； (2)求sinα+cosαsinα−cosα的值；(3)求2sin 2α−sin αco sα−3co s 2α .的值【例6】（2022·全国·高一课时练习）求证： (1)(1−cosαsinα+1sinα)(1−tanα+1cosα)=2；(2)sinα(1+tanα)+cosα(1+1tanα)=1sinα+1cosα.【变式6-1】（2021·全国·高一课时练习）求证： (1)1−2sinxcosx cos 2x−sinx 2=1−tanx 1+tanx(2)tan 2α−sin 2α=tan 2α⋅sin 2α【变式6-2】（2021·全国·高一专题练习）求证：sin 4α+cos 4α＝1﹣2sin 2αcos 2α【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）求证： (1)sinα−cosα+1sinα+cosα−1＝1+sinαcosα；(2)2(sin 6θ+cos 6θ)−3(sin 4θ+cos 4θ)+1=0。

5.3三角函数的诱导公式

授课主题三角函数的诱导公式教学目标1．了解借助于三角函数线及三角函数定义推导诱导公式的过程．2．理解诱导公式一至六的特征及其适用条件，掌握运用诱导公式解题的基本步骤，能灵活运用诱导公式解决三角函数的求值及证明等问题．3．熟练正确地运用诱导公式解决一些三角函数的求值与三角变换的问题．4．在使用诱导公式中，体会由未知到已知，由复杂到简单的转化过程．教学内容1．诱导公式1）公式：公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z；公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α；公式五：sin⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α；公式六：sin⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α.2）说明：公式一：利用诱导公式一可把任意角三角函数转化为0～2π角的三角函数值．公式二：是π＋α与α之间的关系式，若α为锐角时可把0～2π间第三象限角转化为锐角求值．公式三：研究角α与－α间关系，常用来把任意角求值转化为正角求值．公式四：研究π－α与α间关系，若α为锐角时可把0～2π间第二象限角转化为锐角求值．公式五：研究α与π2－α间关系，可实现正、余弦相互转化．公式六：研究α与π2＋α间关系，若α为锐角时，可把0～2π间第二象限角π2＋α转化为锐角求值．3）记忆：公式可以概括为：对于k·π2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos ；cos→sin(奇变偶不变)． ③然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)．2．角的对称关系1）π＋α的终边与角α的终边关于原点对称． 2）π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称． 3）－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．题型一已知角，利用诱导公式求值例1 求下列三角函数值：(1)cos 1 290°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3； (3)cos(－1 650°)．分析：1 290°＝210°＋3×360°，－16π3＝－4π－4π3，－1 650°＝－4×360°－210°. 解析：(1)cos 1 290°＝cos(210°＋3×360°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3＝32. (3)cos(－1 650°)＝cos 1 650°＝cos(4×360°＋210°)＝cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32.巩固求下列各三角函数的值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－173π； (2)cos(－945°)．解析： (1)sin ⎝⎛⎭⎫－173π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝sin π3＝32. (2)cos ()－945°＝cos ()－3×360°＋135°＝cos 135°＝cos(180°－45°)＝－cos 45°＝－22. 题型二已知角的三角函数值，利用诱导公式求值例2 已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．分析：题目提供的主要信息有：已知α角加一个常量的三角函数值．因此，解答本题可先利用诱导公式化简再求值．解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α，当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，例3 已知cos(75°＋α)＝13，且α为第三象限角角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．分析：观察分析各角的内在联系，再利用诱导公式或同角关系式进行求值．解析：cos(105°－α)＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(75°＋α)．∵cos(75°＋α)＝13>0，且α为第三象限角，可知75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋a )＝－23 2.∴cos(105°－a )＋sin(a －105°)＝22－13. 点评：注意观察，展开联想，为使用公式创造条件，是学习三角函数的一个重要基础．巩固已知cos 165°＝a ，求tan 195°的值．解析：∵165°＋195°＝360°，∴195°＝360°－165°. 又∵sin 165°＝1－cos 2165°＝1－a 2，∴tan 195°＝tan(360°－165°)＝－tan 165°＝－sin 165°cos 165°＝－1－a 2a .题型三利用诱导公式化简例4 化简：cos (2π－α)cos (3π＋α)cos (－π＋α)cos (3π－α)cos (－α－π).解析：原式＝cos α(－cos α)－cos α(－cos α)(－cos α)＝1cos α.点评：三角函数式的化简方法．(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.例5 已知α是第三象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋3π2)tan (－α－π)sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)．分析：仔细观察题目中的角，哪些是可以利用公式二至四，哪些是可以利用公式五、六，同时注意同角公式的应用，认真进行化简然后再求值．解析：(1)f (α)＝sin αcos αtan ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (－α－π)＝sin αcos α ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (α＋π)＝sin αcos α · cos αsin α－cos α＝－cos α.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，得cos ⎝⎛⎭⎫a ＋π2＝15即sin α＝－15，又α是第三象限角．∴cos α＝－265.∴f (x )＝－cos α＝256.巩固化简：cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin (－α－π)sin ⎝⎛⎭⎫9π2－α.解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎣⎡⎦⎤6π－⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (α＋π)sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α·(－cos α)sin α·cos α＝1.题型四求角问题例6 是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出a ，β的值；若不存在，请说明理由．分析：先对条件进行化简，再求出α，β的一个三角函数值，进而求角．解析：由条件，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②①2＋②2⇒sin 2α＋3cos 2 α＝2.又∵ sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cos 2 α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入②，得cos β＝32，又∵β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②，得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．A 组1．cos 690°的值为( )A ．－32 B.32 C.12 D ．－12答案：B2．cos ⎝⎛⎭⎫－10π3的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案：B3．sin 1 290°＝________.解析：sin 1 290°＝sin(3×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.答案：－124．下列三角函数：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3(n ∈N)； ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6(n ∈N)；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3(n ∈N)；⑤sin ⎣⎡⎦⎤()2n ＋1π－π3(n ∈Z)．其中与sin π3数值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：∵sin π3＝32，∴cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6＝cos π6＝32，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3＝32，而cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝cos π3≠32，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝si n ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3＝32，且对sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3，当n ＝2k (k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3，当n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 7π3＝sin π3. 答案：C5．若cos(π＋α)＝－12，3π2<α<2π，则sin(2π－α)等于( )A ．－32 B.32 C.12 D ．±32解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.又∵3π2<α<2π，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. 故sin(2π－α)＝－sin α＝32. 答案：B6．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13且－π＜α＜－π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π12－α等于( ) A.233 B.13 C ．－13 D ．－233解析：∵f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝－cos x2＝－f (x )．即A 错． ∵f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－cos x2＝－f (x )．即B 错． ∵f (－x )＝cos (－x )2＝cos x2＝f (x )．即C 错，故选D.答案：D7．(1)sin(－1 200°)＝________；(2)cos 174π＝________.答案：(1)－32 (2) 228．已知函数f (x )＝cos x2，则下列等式成立的是( )A ．f (2π－x )＝f (x )B ．f (2π＋x )＝f (x )C ．f (－x )＝－f (x )D ．f (－x )＝f (x ) 解析：对于A ，f (2π－x )＝cos 2π－x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝－cos x 2≠f (x )，对于B ，f (2π＋x )＝cos 2π＋x 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－cos x 2≠f (x )．对于C ，f (－x )＝cos －x 2＝cos x2≠－f (x )，故选D.答案：D9．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2s in(6π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B ．－3m 2 C.2m 3 D.3m2解析：由sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，得－sin α－sin α＝－m ，即sin α＝m2.∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2si n(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.故选B. 答案：B10．已知α∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，sin α＋cos α的值等于( ) A ．±15 B.15 C ．－15 D ．－35解析：∵tan(α－7π)＝－34，∴tan α＝－34，又α∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，∴α∈⎝⎛⎦⎤π2，π.∴sin α＝35，cos α＝－45. ∴ sin α＋cos α＝－15.故选C.答案：C11．已知α为第四象限角且sin(π－α)＝－13，则tan α等于________．解析：由sin(π－α)＝－13，得sin α＝－13，又α为第四象限角，∴cos α＝223，tan α＝－24.答案：－24B 组1．已知以下四个函数值：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3，②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3，③sin ⎣⎡⎦⎤n π＋(－1)n ·π3，④cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋(－1)n ·π6，其中n ∈Z ，与sin π3的值相同的是________．答案：③④2．已知α是第二象限角，按要求做下列各题：(1)已知cos α＝－34，求sin α和tan α的值；(2)化简：1－cos 2⎝⎛⎭⎫π2－ α · tan α.解析：(1)sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－342＝74，tan α＝sin αcos α＝74－34＝－73. (2)原式＝1－sin 2α·sin αcos α＝－cos α·sin αcos α＝－sin α.3．化简式子：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α).解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为( ) A ．－1 B ．－3－2 C ．－2 D ．－3解析：f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2，∴f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2.故选C.答案：C5．|cos α|＝cos(π＋α)，则角α的集合为________．解析：|cos α|＝cos(π＋α)＝－cos α，∴cos α≤0，α＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤α≤2k π＋32π，k ∈Z 答案：B6．已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值．解析：由已知，得cos(θ－π)＝－35，cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35.∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π.∴tan θ＝－43.∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.7．若sin(x －2π)－cos(π－x )＝1－32，x 是第二象限的角． (1)求sin x 与cos x 的值；解析：(1)由已知，得sin x ＋cos x ＝1－32，∴sin x cos x ＝－34.又x 是第二象限的角， ∴sin x >0，cos x <0.∴sin x －cos x ＝1－2sin x cos x ＝2＋32＝1＋32. ∴sin x ＝12，cos x ＝－32. (2)求x 的集合．解析：(2)∵sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12， ∴在⎣⎡⎦⎤π2，π内符合条件的x ＝5π6. ∴x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .1．计算：1）k ∈Z ，cos ⎝⎛⎭⎫6k π＋π3＝________.2）sin 4π3＝________. 3）tan ⎝⎛⎭⎫－2π3＝________. 4）若cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 5）若cos α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 解析：1）cos ⎝⎛⎭⎫6k π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π3＝cos π3＝12. 2）sin 4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. 3）tan ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－tan 2π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝tan π3＝ 3. 4）sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝13. 5）sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13. 2．下列四个命题正确的是( )A ．sin(－α)＝sin αB ．cos(－α)＝cos α。

5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》课件(1)

余弦和正切函数的值。
设 ∠ = (是锐角),角的邻边＝,对边
= ,斜边长 = => 0。根据锐角三角函
数定义用, , 表示锐角的正弦、余弦、正切三个
比值：
对边 | PM | y
邻边｜OM | x
对边｜PM | y
sin

；
cos
＝
；tan

此时tan =

无意义。因此，正弦函数、余弦函数及正切函数

的定义域如下表所示：
三角函数
sin
cos
tan
定义域
Ｒ
Ｒ

≠ + , ∈
2
巩固知识典型例题
例1 已知角的终边经过点Ｐ 2, −3 ，求角的正弦、余弦、
正切值。
分析：已知角的终边一点的坐标，求角的三个函数值时，
这些比值发生变化吗？

动脑思考探索新知
正弦函数：sin =

；余弦函数：cos

=

；正切函数：tan

=

。

关于定义两点说明：
１.在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值，按照相
应的对应关系，角的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比
值与之对应，它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正
弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。
２.当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有
一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数。
三角函数定义域
由任意角三角函数的定义可以看出，当角的终边在轴上时，

= + , ∈ ，终边上任意一点的横坐标的值都等于0，

5.3诱导公式(第一课时)

tan(−)＝−tan .
用途：“小”角化“锐”角

反思归纳
公式二
sin(＋)＝−sin，
cos(＋)＝−cos ，
tan(＋)＝tan .
公式三
sin(−)＝−sin，
cos(−)＝cos ，
tan(−)＝−tan .
公式四
sin(−)＝sin，
cos(−)＝−cos ，
的关系如何？
探究一：任意角α与（π+α）三角函数值的关系
y
P1(x,y)
+

O
P2（-x,-y）
P2
sin(＋)＝ -y =-sinα
cos(＋)＝ -x =-cosα
y y
tan
tan(＋)＝
x
x
x
导学
探究一：任意角α与（π+α）三角函数值的关系
诱导公式（二）
sin(＋)＝ -sin
概括为：
负化正，正化小，化到锐角就终了
悟学【跟踪训练 1】：求下列各源自角函数值.(1)sin π;
解:(1)sin
(2)cos(-765°);
(3)tan(-750°).
=sin(4π+ π)=sin π=sin(π+ )=-sin =- .
(2)cos(-765°)=cos 765°=cos(2×360°+45°)=cos 45°= .
其中k Z.
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
预学
1
2
1
2
3
2
3
2
3
3
3
3
-
1
2
3
2

5.3(一) 诱导公式(一)

反思感悟
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan
π 4.
跟踪训练3 化简下列各式：
cosπ＋α·sin2π＋α
(1)
；
sin－α－π·cos－π－α
12345
课堂小结
1.知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性； (2)诱导公式. 2.方法归纳：函数名不变，符号看象限. 3.常见误区：符号的确定.
第五章三角函数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.借助圆的对称性推导诱导公式二、三、四. 2.记住诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值与化简.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理题型探究随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一公式二
1.角π＋α与角α的终边关于原点对称.如图所示.
3.已知tan α＝6，则tan(－α)＝－6 .
4.sin 585°＝
－
2 2
.
解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°)
＝－sin
45°＝－
2 2.
2 题型探究
PART TWO
一、给角求值
例1 求值： (1)cos－361π；
解
cos－361π＝cos－6π＋56π＝cos
－
3 3
.
解析 cosα＋56π＝cosπ－π6－α
＝－cosπ6－α＝－
3 3.
延伸探究 1.若本例(2)中的条件不变，如何求 cosα－136π？解 cosα－136π＝cos136π－α ＝cos2π＋π6－α ＝cosπ6－α＝ 33.

5.3任意角的三角函数

5.3象限角的正负号

三角函数的诱导公式 高中数学课件(人教A版2019必修第一册)

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数--参考教案

安徽省对口高考复习第五章三角函数

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数

5.3 任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数

第5章三角函数知识点清单-高一上学期数学湘教版

5.3 任意角的三角函数

任意角的三角函数

5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念

5.3 诱导公式

5.3诱导公式(第一课时)课件(人教版)

任意角的三角函数

任意角的三角函数

高中数学必修一 讲义 专题5.3 三角函数的概念-重难点题型精讲(学生版)

5.3三角函数的诱导公式

5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》课件(1)

5.3诱导公式(第一课时)

5.3(一) 诱导公式(一)

5.3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数

三角函数的诱导公式高中数学课件(人教A版2019必修第一册)

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数

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