三角函数的图象与性质

3 2
3 2
规律小结：
例题 2 已知函数 y=sinωx 在[- ， ]上是减函数,则 ω 的取值范围是 ( )
3 3
3 A [- ,0 ) 2
B [-3,0 )
3 C (0, ) 2
D (0,3 ]
变式练习：已知函数 f(x) = 2sinωx (ω>0)在区间 [- ， ]上的最小值是 -2 ，则
1
2
0
-2
0
1
思考：若把本题的区间改为开区间呢？半开半闭呢？
引申：数形结合解决问题
练习：1、 方程 lgx=sinx 的实根个数有____个
3 3 2 、 函数 y=tanx 与函数 y=sinx 在区间（- ， ）内的图像有____个交点。 2 2
1 10
7 2
答案： 1 、3个 2、 3个
热身练习答案：
A A A B
2
知识点小结
典型例题:
一、图象与应用 （回扣基础知识 1、 2、 4 ）
例题 1 已知函数 y＝ 2sin(2x + ) 3
(1)求它的振幅、周期、初相；
5 （2）用“五点法”作出它在区间[- , ]内的图象。 6 6
(3)用“五点法”作出它在[0,
]这一周期内的图象。
解 :（ I）由 cos
w .w .w k. . s. 5u .. c. o. m
函数 f ( x) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为
g ( x) s in 3 x ( m ) 4
即m
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m
k ( k Z ) 4 2

-2
解： （1）由题意知，振幅 A=2
(3) （ 2）列表、描点、连线
周期 T=
初相 φ=
3
X
-
6
0
0
12
4 12
7 12 3 2
-2
10 12
2

2 + 3
2x+ 3 Y=2sin(2x+ ) 3
3
2
2

0
3
0
0
3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
12
4 12
7 12
10 12
实数解 x 1、 x 2 , 求 a 的取值范围，并求此时 x 1+x 2 的值。
解：由题意知
a =2sin(x+ ) 6
2 6 5 6
由数形结合可解
X
0
8 6 3 2
11 6
2
y
2 1 0 -1 -2
6
x+ 6
Y=2sin(x+
6
2

2
2 +
6

x
2
) 6
3 4
ω 的最小值等于
2 A 3
（ B
）
3 2
C
2
D
3
思考：已知函数 y=sinωx
规律小结：
的一个单调递减区间是[- ， ],则 ω 的值为______. 3 3
二 图象变换
(回扣基础知识3）
例题 3 函数 y＝ 2sin(2x + )的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 3
答案： 1、D 2、A
变式练习：
实战演练，高考再现： 1（ 09 江苏）函数
f ( x) A sin(wx ), ( A, w,
是常数，
A 0, w 0) 的部分图象如图所示，则f(0)= ______
2、 （ 11 山东理）若函数 f (x) sin x (ω >0) 在区间 0, 减，则ω = ( ) (A)
（ I）若 cos cos, sin sin 0, 求 的值； 4 4
2
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函数 f ( x) 3
的解析式；并求最小正实数 m ，使得函数 f ( x) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。
3
(2) 列表、描点、连线
X
0
2 12
5 12
8 12
11 12 3 2

14 12
2x-

3


3
0

2



3
2
Y=cos(2x -

3
)
1 2
1
0
-1
0
1 2
1
y
1
1 2
0
1 2

12
6 12

x
-1
变式 2 若方程 3 sinx + cosx =
a
在 x∈[0, 2 ]上有两个不同的
上单调递增，在区间 , 上单调递 3 3 2
(D)3
2 3 (B) 3 2
(C) 2
3、 （ 11 全国大纲理 5） 设函数 f ( x) cos x(＞0) ， 将 y f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后，
所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 （ ）
数的周期性、奇偶性、单调性等问题，难度中等，多为
客观性试题，也常常以解答题的形式综合考查三角恒等 变换，函数图象与性质．
考点： 1、A、 ω、 φ 对函数图像变化的影响及物理意义。 2、y=Asin(ωx+φ)的图像与性质。 请大家做热身练习5个题目，思考这些题目 3、三角函数性质的应用。 和哪些知识点有关。 重点： y=Asin(ωx+φ)的图像与性质；图像变换。 难点：三角函数性质的应用。
解： （1）由题意知，振幅 A=2 （ 2）列表、描点、连线
周期 T=
初相 φ=
3
X
-
6
0
0
12
4 12
7 12 3 2
-2
10 12
2

2 + 3
2x+ 3 Y=2sin(2x+ ) 3
3
2
2

0
3
0
0
3
2
6
0

12 4 12 7 12 10 12
1 A． 3
B． 3
C． 6
D． 9
答案：
6 2
B C
4、 （ 2009 浙江文） 已知 a 是实数， 则函数 f ( x) 1 a sin ax 的图象不可能 是 （ ．．．
） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
D
谢谢各位领导、老师、同学们，敬请多多批评指正。
再见
5． （ 09 福建文） 已知函数 f ( x) sin( x ), 其中 0 ， | |
3 cos sin sin 0 得 cos cos sin sin 0 4 4 4 4 即 c o s ( ) 又 0| | , 4 2 4 （Ⅱ）由（ I）得， f ( x) sin( x ) 4 T 依题意， 2 3 2 , 故 3 ,f (x ) s i nx( 3 ) 又T 4
思考过程中要注意：是从哪个函数变化到哪个函数；是先平移还是伸缩； 伸缩与平移之间有什么影响；在此类问题中我们应该特别注意什么。
规律总结：
π 1．将函数 y＝ sinx 的图象向左平移 φ (0≤ φ<2π)个单位后，得到函数 y＝sin(x－ )的 6 图象，则 φ 等于( ) π 5π A. B. 6 6 7π 11π C. D. 6 6 π 2． 已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋ )(x∈ R， ω>0)的最小正周期为 π， 为了得到函数 g(x)＝ cos ωx 4 的图象，只要将 y＝ f(x)的图象 ( ) π π A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 8 8 π π C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 4 4
§4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考情分析
从近几年高考试题来看，本讲高考命题具有以下特点： 1．三角函数图象历来是高考命题的常考内容之一，高考 主要以选择题形式考查三角函数图象的画法、图象的变 换、对称轴、对称中心、解析式等问题，题目难度较小， 但图象变换为易错题． 2．三角函数的性质是高考命题的热点内容，常与图象一 起进行考查，全国各地考题均有涉及，主要考查三角函

规律小结：
变式 1 设函数 f(x)=cos(ωx+ φ) ( ω>0, 正周期为 ，且 f( (1)求
< φ< 0)的最小 2
3 )= . 4 2
ω 和 φ 的值；
]上的图像。
（2）在给定坐标系中作出 f(x)在[0, （3）求该函数的对称中心及对称轴。
解： （1）ω=2
φ=
k (k Z ) 从而，最小正实数 m 3 12 12
谢谢各位领导、老师、同学们，敬请多多批评指正。
再见