中考数学复习一次函数的图象和性质专题训练

中考数学复习一次函数的图象和性质专题训练
一、知识要点：
1.正比例函数和一次函数是分别用)0(≠=k kx y 和)0(≠+=k b kx y 来定义的，其中x 是自变量，y 是自变量的函数，k 是自变量的系数，是常数，这两种函数解析式都是方程，而且它的图象上的点的坐标都是对应方程的解，因此，一次函数与一次方程有密不可分的关系。

2.课本中,用具体的函数利用描点法得出正比例函数)0(≠=k kx y 和一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象都是一条直线，既然是一条直线，我们只要描出两点即可确定该直线。

因为正比例函数是过原点的直线，当然坐标原点是所描的两点中的一个，另外一个是1=x 时y=k 就是点),1(k ，所以正比例函数的图像是过（0，0）、（1，k ）两点的直线。

而一次函数与两条坐标轴各有一个交点（注意：与x 轴、y 轴交点的坐标是极其重要的），那么“两点确定一条直线”中的两点就可以取这两个交点，由于一次函数与x 轴的交点必在x 轴上,而在x 轴上的点的特点是纵坐标为0，即：在一次函数)0(≠+=k b kx y 中，当y=0时可得kx+b=0，解
此方程得x=-k b ，从而得出一次函数)0(≠+=k b kx y 与x 轴交于（-k
b ，0）点；同理，由一次函数)0(≠+=k b kx y 与y 轴交点的横坐标为0可以得出：它与y 轴的交点为（0，b ）；因此一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是过它与x 轴的交点
（-k
b ，0）和它与y 轴的交点（0，b ）两点的直线。

（实践证明，很多同学不会求直线与轴的交点坐标，这是不会解一些一次函数题目的直接原因）。

例如描述
52-=x y 的图象：令50-==y x 得,令2
5,0==x y 得,所以52-=x y 的图像是过y 轴上的（0，-5）和x 轴上的（2
5，0）两点的直线。

)0
A(0,5)
3.b kx y +=的图象的性质中x y k 随,0>的增大而增大，
y
k 随,
0<
减少，此性质反映在图象上是0>k
时图象自左而右是“
上升”的，如
反之，图象自左而右是上升的,则0>k ；0<k 图象自左而右是“下降”的，如 。

由于b kx y +=与),0(,0),0(b b b y >轴交于在y 轴的正半轴上，直线与
y 轴交于正半轴，),0(,0b b <在y 轴的负半轴，b kx y +=与y 轴交于负半轴。

①b kx y b k +=⇔>>0,0的图象在一、二、三象限 x
②b kx y b k +=⇔<>0,0
③⇔><0,0b y 图象在一、二、四象限x
y
④⇔<<0,0b y 图象在二、三、四象限 0 x
4.如果在x 轴上有两个点)0,()0,(21x B x A 和，则A 、B 两点的距离是| x 2—x 1|，如(-1，0)和(3，0)两点的距离就是|3-(-1)|=4，在y 轴上有两点A(0，y 1)和B(0，y 2)，则A 、B 两点的距离是|y 2-y 1|，如(0，2)和(0，-5)的距离是|-5-2|=7。

5.两条直线b x k y b x k y +=+=22111和的交点坐标是方程组 2
221
11b x k y b x k y +=+=的解.如y=x-2和y=-3x+1的交点坐标就是方程组 132+-=-=x y x y 的解 45
4
3
-
==y x 即交点
坐标是(4
5,43--)。

6.利用待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式，一般步骤是: ①先设出函数的一般形式，如求正比例函数解析式时，先设kx y =，求一次函数的解析式时，先设b kx y +=。

②将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组。

③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式。

(注意：求正比例函数，只要一对y x ,的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数b kx y +=则需要两组y x ,的值。

）
二、例题:
例1:已知x y 与3-成正比例,且72==y x 时
(1)求x y 与间的函数解析式.
(2)求当的值时y x ,3=.
(3)求当x y ,3时-=的值.
解:(1)∵x y 与3-成正比例
∴)0(3≠=-k kx y
把7,2==y x 代入上式得k=2
∴3223+==-x y x y 即
注意: [1]因为x y 与3-成正比例,把3-y 看成一个变量
[2]x y 与3-成正比例,设kx y =-3.
(2)当9332,3=+⨯==y x 时.
(3)当3,332,3-=-=+-x x y 时.
例2:已知一次函数的图象经过(1,1)和(-1,-5)
求(1)此函数解析式.
(2)求此函数与y x ,轴轴的交点坐标及它的图象与两坐标轴围成的三角形面积.
(3)设另一条相干直线与此一次函数图象交于(-1,m)点,且与y 轴交点的纵坐标是4,求这条直线的解析式.
解:(1)设一次函数的解析式是b kx y +=
将1,1==y x 和5,1-=-=y x 代入得 51-=+-=+b k b k 解得 23-==b k ∴此一次函数解析式为23-=x y
(2)对23-=x y ,令2,0-==y x
3
20=
=x 得,则此函数与x 轴交于B(0,3
2). y 图象与两坐标轴围成的三角形面积 是SΔAOB,其底长|
3
2|个单位,高|-2|=2 个单位. ∴SΔAOB=3
232221=⨯⨯ (3)由于(-1,m)即在23-=x y 图象上,又在所求的另一条直线上,所以(-1,m)满足y=3x-2,将x=-1,y=m,代入y=3x-2得m=-5,所以两直线交于(-1,-5),说明第二条直线也经过(-1,-5)且还经过(0,4).
设另一条直线为y 1=k 1x+b,将x=-1,y=-5.x=0,y=4代入得
4
5=-=+-b b k ∴ 49==b k ∴第二条直线的解析式是y=9x+4.
例3:一次函数y=2x+3的图象与y 轴交于A ，另一个次函数图象与y 轴交于B ，两条直线交于C,C 点的纵坐标是1,且SΔABC=16,求另一条直线的解析式.
解:∵y=2x-3与y 轴交于A(0,-3)
设另一条直线的解析式是y=kx+b,则它与y 轴交于B(0,b)
∵两直线交于C,C 的纵坐标是1,设C(x,1) y y=2x-3
∴C 在y=2x-3上
∴将y=1代入y=2x-3中得x=2 ∴C 的坐标是(2,1)
画草图分析 则ΔABC 的底AB=|b-(-3)|=|b+3| 高是C 点的横坐标|2|=2 由题意得162|3|2
1=⋅+⨯b y=kx+b |b+3|=16
b+3=16或b=-19则函数解析式是y=kx+13或y=kx-19再将x=2,y=1代入得k=-6或k=10.
∴所求函数解析式为y=-6x+13或y=10x -19
(注意:画草图分析是非常必要的.否则此题的解题思路不会清楚).
三、练习题:
(1)填空题:
1.函数b x y +=2的图象经过点(1,-3),则b=____,它的图象经过第____象限,y 随x 的增大而____.
2.函数4-=mx y 的图象经过点(-2,6),则它的图象经过第____象限,它的图象 象与x 交于____,与y 轴的交点坐标是____,它的图象与坐标轴围成的三角形面积是____.
3.若一次函数)3(2m m mx y -+=图象过原点,则=m ____.若图象与y 轴交于点(0,4),则m =____.
4.一次函数b x y +=2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b =____.
5.已知一次函数b kx y +=的图象与x 轴交点A(a,0)和B(0,b),且a,b 是方程01892=+-x x .则该函数的解析式是____.
6.已知:直线42-=x y 与直线3+=x y ,它们的交点C 的坐标是____,设两直线
与x 轴分别交于A,B,则SΔABC=____,设两直线与y 轴交于P,Q,则SΔPCQ=____
7.一次函数411-=x k y 与正比例函数x k y 22=的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x 轴围成的三角形面积是____.
(2)选择题:
1. 若一次函数b kx y +=的图象经过一、二、三象限,则b k ,应满足的条件是:
A.0,0>>b k
B.0,0<>b k
C.0,0><b k
D.0,0<<b k
2. 已知：)2()2(122+++=-+m x m y m m 是正比例函数,则m 的值是：
A.m =1
B. m =-2
C. m =1或m =-2
D. m ≠0
3. 函数42+=x y ,如果22≤≤-y ,则x 的相应的取值范围:
A.22≤≤-x
B.13-≤≤-x
C.31≤≤x
D.31≤≤-x
4. 如图,两个一次函数a bx y b ax y +=+=21,,它们在同一直角坐标系中大致的图象是:
2 2 1 2
A. B. C. D.
5.如果函数3-=ax y 的图象与函数2+=bx y 的图象和交于x 轴上的同一点,则b a :等于:
A.2
3 B.2:3 C.3:(-2) D.(-3):(-2) (3)解答题:
1.已知4-=x y 的图象与x 轴交于A,它与b kx y +=的图象交于C,C 点的横坐
标是b kx y +=与x 轴交于B,且SΔABC=2
5,求函数b kx y +=的解析式. 2.已知直线b x k y +=11的图象经过点(1,6)和(-3,-2)它和x 轴,y 轴交点是B,A,直线222b x k y +=的图象经过点(2,-2)且与y 轴交于(0,-3),它与x 轴,y 轴的交点是D,C.
求: (1)两直线的解析式.
(2)S 四边形ABCD
(3)若直线E y y 交于与21,求S ΔBCE:S 四边形ABCD.
3.如图,已知直线PA,)0(>+=n n x y 与x 轴交于A,与y 轴交于Q,另一条直线n n m m x y 与)(2>+-=轴交于B,而直线交于P
求: (1)A,B,Q,P 四点的坐标(用m 或n 表示)
(2)若AB=2,且S 四边形PQOB=6
5,求两个函数的解析式.
x
五、练习答案:
(1)1. -5, 一、三、四象限, 增大
2． 二、三、四象限,(-0,54),(0,-4),5
8 3. 3,-1或4
解题指导:直线b x y +=2与x 轴交于y b 与)1,2
(-轴交于)0,(b 由题意,9|2
|||21=-⋅⋅b b ,解得69±=b 5.32
162+-=+-=x y x y 或 6.SΔABC=25,SΔPCQ=2
49.
解题指导:由题意得C(7,10),A(2,0),B(-3,0),P(0,-4),Q(0,3),则AB=|2-(-3)|=5,高是
C 的纵坐标10.所以SΔABC=251052
1=⨯⨯. 7.34 解题指导:将(2,-1)代入21y y 和解得:21,2321-==k k ,所以x y x y 21,42321-=-=.x y 与1轴交于A(0,3
8),x y 与2轴交于B(0,0).所以AB=38,高是|-1|=1,所以SΔ3
436121=⨯⨯ (2)选择题:
1.A
2.B
3.B
4.B
5.C
(3)1.由题意得C(3,-1) A(4,0) 设B(0,x )
2
51|4|21=⨯-x 5|4|=-x 19-==x x 或 即B 点坐标是(0,9)或(-1,0)
用(9,0)和(3,-1)两点求解析式2
3611+-=x y 用(-1,0)和(3,-1)两点求解析式32
12-=
x y 2.(1)321,4221-=+=x y x y (2)由题意得B(-2,0),A(0,4),D(6,0),C(0,-3)
S 四边形ABCD=SΔABC+SΔADC
∵A(0,4) C(0,-3)
∴AC=7
SΔABC=7272
1=⨯⨯ SΔADC=21672
1=⨯⨯ ∴S 四边形ABCD=28
(3)由题意得E )316,314(-- SΔAEC=3
49698314721==⨯⨯
SΔAEC=SΔAEC -SΔABC =349-7=3
28 ∴SΔBEC:S 四边形ABCD=3
128:38= 3.由题意得),0(),0,2
(),0,(n Q m B n A - P 点坐标是 m x y n x y +-=+=2的解，即P )32,3(
n m n m +- ∵AB=2 2|2|=+n m
0>>n m
∴22=+n m
42=+n m
SΔABP=3232221n
m n
m +=+⨯⨯
SΔAOQ=22
n
∴65
2322
=-+n n na 65
2342=-n
5382=-n 332=n 1=n ∴1+=x y 22+-=x y。