四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
均匀热环境下四边固支矩形PCB薄板的自由振动
均匀热环境下四边固支矩形PCB薄板的自由振动高军;黄再兴【摘要】表面贴装形式中PCB板可简化为四边固支矩形薄板.基于刚性板的小挠度理论,推导了热载下四边固支矩形PCB薄板的自由振动微分方程.从微分方程中得出,热载下的PCB薄板等效于面内受均布张力的薄板,进而通过结构力学方法将热载下四边固支薄板振动问题转换为受面内均布张力固支薄板振动问题.利用虚位移理论,得出了温度沿厚度均匀线性变化的热载下四边固支矩形PCB薄板固有频率和自由振动的挠度值的计算方法.讨论了热载下温度、薄板的几何尺寸对矩形PCB薄板自由振动固有频率的影响.结论可为矩形PCB薄板在热载下的振动分析以及固有频率计算提供方法上的参考.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(033)012【总页数】5页(P75-79)【关键词】PCB矩形薄板;热环境;四边固支;微分方程;固有频率【作者】高军;黄再兴【作者单位】南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016;南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016【正文语种】中文【中图分类】O343表面贴装技术(SMT)以其成本低、集成度高、电子组件重量轻、易于自动化等优点广泛应用于微电子电路[1-2]。
影响表面贴装电子产品可靠性的主要环境因素是热和振动冲击,特别是在环境振动和热载荷的复杂环境下，两类载荷共同影响贴装形式元器件的内力情况，导致振动产生的动态应力和热疲劳应力相互叠加引起封装的失效，从而影响整个封装形式可靠性与寿命。
同时，这两种载荷相互间产生耦合，并非仅仅只表现为两种载荷作用的简单叠加。
目前，已发现大型的工作站随工作温度升高到一定程度会产生共振，从而会影响其正常工作。
明显地，这是由热环境温度的变化导致封装结构固有频率改变带来的问题。
该问题涉及封装结构固有频率与环境温度的相互耦合，但目前还缺乏定量的研究。
已有学者分别对振动和热环境下表面贴装形式电子元器件的结构和可靠性进行了一些研究[3-6]。
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算四边支承矩形薄板的自振频率是指薄板在四个边界被支承的情况下，能够在固有模态下以多少频率振动。
这在很多工程和物理问题中都非常重要，因为它涉及到材料和结构的固有特性。
以下将详细介绍如何计算四边支承矩形薄板的自振频率。
首先，我们需要了解薄板的振动方程。
对于四边支承矩形薄板来说，其振动方程为二维拉普拉斯方程：∇^2u+k^2u=0其中，u是振幅，∇^2是二维拉普拉斯算子，k是波数，k=2πf/c，f为频率，c为波速。
接下来，我们需要根据边界条件来确定薄板的固有频率，边界条件一般可以是位移边界条件、速度边界条件或应力边界条件。
在四边支承的情况下，我们常常使用位移边界条件。
对于四边支承的矩形薄板，位移边界条件可以表示为：u(0,y)=u(a,y)=0u(x,0)=u(x,b)=0其中，(0,y)和(a,y)表示薄板的两个平行边界，(x,0)和(x,b)表示薄板的两个垂直边界。
这些边界条件表示，在边界上薄板的位移为零，即薄板被四边支撑。
这些边界条件可以用来解二维拉普拉斯方程。
接下来，在振动方程中代入位移边界条件，我们可以得到一个特征值问题。
通过求解特征值问题，我们可以得到薄板的固有频率和对应的振型。
具体来说，我们需要通过使用分离变量法，将二维拉普拉斯方程转化为两个一维波动方程。
然后，我们可以根据一维波动方程的边值条件来解特征值问题。
解特征值问题的方法有很多种，常见的包括解析解法和数值解法。
解析解法适用于一些简单的情况，如正方形或矩形薄板。
对于复杂的几何形状或边界条件，数值解法（如有限元法或边界元法）可能更合适。
在使用数值解法时，我们需要将薄板分割成小的单元，并在每个单元上使用适当的数学模型和数值方法。
然后，我们可以通过迭代计算来获得薄板的固有频率。
在实际计算中，我们还需要确定薄板的材料参数，如杨氏模量、泊松比和密度。
这些材料参数可以通过实验测试获得，或者根据已有的文献和标准进行估算。
固有频率和振型分析的平板算例Workbench版
固有频率和振型分析的平板算例Workbench版人们在制造动力机械、建造桥梁等工程实践中遇到大量灾害性振动问题，由此产生的噪声、疲劳等问题，吸引众多力学家和工程师致力于工程振动问题的研究，发展了近似分析方法、实验方法和有限元等方法。
自从20世纪20年代起，振动逐渐成为机械工程师、结构工程师必须了解的知识，也是高等工程教育的重要内容之一。
上一篇采用ANSYS经典版，对四边铰支平板的固有频率和振型进行了分析。
本篇将采用ANSYS Workbench版，对同一问题进行算例验证。
一、问题描述：某一个矩形薄钢板，板的长度a=1 m，宽度b=1 m，厚度h=4 mm。
材料密度ρ=7850 kg/m3，弹性模量E=200 GPa，泊松比μ=0.3。
假设矩形薄板的四边铰支，计算该薄钢板的固有频率和振型。
二、问题分析：弹性薄板是指厚度比平面尺寸小很多的弹性体，它可提供抗弯刚度。
在板中，与两表面等距离的平面成为中面。
对板弯曲振动的分析基于下述Kirchhoff假设：（1）微振动时，板的挠度远小于厚度，从而中面挠曲线为中性面，中面内无应变。
（2）垂直于平面的法线在板弯曲后仍为直线，且垂直于挠曲线后的中面；该假设等价于忽略横向剪切变形。
（3）板弯曲变形时，板的厚度变化可忽略不计。
（4）板的惯性主要由平动的质量提供，忽略由于弯曲而产生的转动惯量。
根据以上Kirchhoff假设，薄板固有频率的解析解为解析解参考文献：《机械振动基础》，胡海岩，pp118-121。
三、计算结果：四、操作步骤：视频录制：蒋豹。
来源：好学ANSYS(ID:ansys-good）转载分享。
四边支承矩形薄板自振频率计算
ａ 四边 简支 ） ｂ 边简支， 边固支 ｃ相邻边 简支， ） 三 — ） 另相邻边 固支
在此基础上 ， 若假 定板 的挠 度不从 平 面位 置算起 ， 而从 平衡 位置算起 ， 对板 内平 行六面体进行微元 分析 ， 由平衡 条件 、 变形协
调条件和物理方程得板 的弯 曲平衡 方程式 ， 然后分 析板在 振动过
时仍然不是很方 便 。由于最低 自振频 率对应 的振 型比较易 于假
３ 能量 法
能量法是 由 Ｄ Ｃ Ｌ Ｒｙ ｉ ． ．． ａｌｇ 出的一个 计算 薄板最低 自振 ｅｈ提
我们取 Ｗ＝（ ｃｓｔ ｓ ｔ ） （ ） 代 入 方 程 （ ） 除 因子 Ａ ｏｏ 十Ｂｉｏ ， ） ｔ ｎｔ ， １消
医院 、 实验 室等 建筑 ， 特殊 过大 的楼 盖振 动可能 会导致 部 分精 密 仪器设备无法正 常工作 。因此 ， 于大跨 度楼 盖设 计 ， 对 在满 足 强 度、 变形要求 的同时 ， 还应 充分 考虑 振动舒 适度 问题 。而楼 板 自
振频率是评价楼板舒适 度的重 要指标之一 。
程 中的动力平衡 ， 可得板 的 自由振动微分方程 … ：
Ｄｏ ＋ ＋ Ｄ三 ＋ ｗ Ｄ － ２
Ｏ ｘ
Ｌ ３
： ０
ａ‘ ｔ
（） １
ｄ 一对边简支。 ） 一对边 固支
暖 田 嗫
ｅ 三边 固支， ） 一边简支 ｆ四边回支 ）
ａ ｆ
ａ‘ ｘ广
图 １ 不 同边界条件的支承板
一
其中 ， Ｄ＝
ｌ
， 分 别 为板 的弹 性模 量 和泊 松 比， Ｅ， ｈ
ｌ— ，
般而言 ， 假定 合适 的位移 函数 ， 利用 边界条 件可 以求 解上
弹性地基上四边自由矩形薄板的自由振动
在 求解 过程 中不 需要 人为 的选取 挠度 函数而 是从 弹 性 薄 板 的动 力学 方 程 出发 ， 接 利用 数 学 的方 法 求 直
出这 类 问题 的解 析 解 ， 使得 这 类 问题 的求解 更 加 理 论 化 和合理 化 。为 了验证本 文推 导 出的解析 解 的正 确性 ， 中的最 后还 给 出了数值 实例 加 以验 证 。 文
钟 阳， ； 等 弹性地基上 四边 自由矩形 薄板的 自由振动
５７ ６
式 中 Ａ ， 为 待 定 系 数 ； 为 板 自振 频 率 ； ， Ｂ Ｗ． ．
（ ） ， 为振 型 函数 。将式 （ ） 入 式 （ ） ２代 １ 可得 到 弹性
权 残值 法分 析了弹性 地基 上 四边 自由矩形 薄板 的振
动问舾 。
辛几何 方法在 弹性 力学 中的应用 是 由钟万 勰教
授首 先提 出的 ］ 。这一方 法 的应用 为 弹性 力学 的求
解开 辟 了新 的思路 。本 文就是 采用辛 几何 的方 法推 导 出弹性地 基上 四边 自由矩形 薄板 的 固有频率 和振
振 由矩 形 薄 板 的 固有 频 率 和 振 型 的解 析 解 表 达式 。 由 于 在 求 解 过 程 中 不 需 要 事 先 人 为 的选 取 挠 度 函 数 ， 是 从 弹 性 而 眦
直接利用数学 的方 法求 出可 以满 足四边 自由边界条件 的固有频 率和振 型 动 地基上矩形薄板 的动力学基本 方程 出发 ， 的解析解表达式 ， 使得 问题 的求解更加合理化 。文 中的最后 还给 出了计算实例 来验证本文所采用 的方法 以及所 推 Ｖ
维普资讯
第 １ 卷第 ４期 ９
２０ ０ ６年 ｌ 月 ２
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ ４ １ 】 ．
矩形薄板的振动
即有
2 4Y Y 2 4 4 2 ( k )Y 0 4 2 y x
4.106
于是变量得到了分离，要满足式（4.105）的三角函数为
sin x X ( x) cos x
2M y
4.94
因
2014年3月15日 《振动力学》
M x x zdz h M y 2h y zdz 2 h M xy M yx 2h xy zdz 2
h 2 h 2
4.95
11
连续系统的振动
X ( x) sin
m x ,0<x<a,m=1,2 a
4.109
2014年3月15日 《振动力学》
18
连续系统的振动
令
Wm ( x,y ) Ym (y)sin
m x a
代入式（4.100）有 m 4 m x m 2 m x ( ) sin Ym -2( ) sin Ym a a a a m x m x 4 -k sin + sin Ym Ym 0 a a 即为 m 2 4 m 2 Ym -2( ) Ym - k -( ) Ym 0 a a 上式的解为
连续系统的振动
多自由度系统的振动
教学内容
2014年3月15日 《振动力学》
2
连续系统的振动
4.3 薄板的振动 在工程结构中，除梁、柱基本构件外，还经常会遇到一 种板的基本构件。在本节中将简单介绍薄板的振动问题。 薄板是指其厚度要比长、宽这两方面的尺寸小得多板， 薄板在上下表面之间存在着一对称平面，此平面称为中面， 且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成；
任意四边形板的振动问题
任意四边形板的振动问题任意四边形板的振动问题引言：振动是物体在作用力的作用下，围绕平衡位置来回运动的现象。
振动问题是物理学中一个重要的研究领域，它涉及到各种不同形状和材质的物体。
本文将讨论任意四边形板的振动问题，探讨其振动模式和频率。
一、四边形板的基本特性四边形板是指具有四个不同长度的边和四个不同角度的角的平面形状。
它可以是矩形、平行四边形、梯形等等。
不同形状的四边形板具有不同的振动特性，因此我们需要分别研究它们。
二、矩形板的振动问题矩形板是最简单的四边形板，它具有两个相等的对边和四个直角。
矩形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个对边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个直角边同时向内或向外运动。
对于矩形板的振动问题，我们可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
三、平行四边形板的振动问题平行四边形板是具有两组平行边和四个不等角的四边形板。
它的振动模式和频率与矩形板类似，但是由于其不等边和不等角的特性，振动模式更加复杂。
平行四边形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个平行边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个不等角边同时向内或向外运动。
对于平行四边形板的振动问题，我们同样可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
四、梯形板的振动问题梯形板是具有两组平行边和四个不等角的四边形板。
它的振动模式和频率与平行四边形板类似，但是由于其不等边和不等角的特性，振动模式更加复杂。
梯形板的振动可以分为两个方向：横向和纵向。
横向振动是指板的两个平行边同时向内或向外运动，而纵向振动是指板的两个不等角边同时向内或向外运动。
对于梯形板的振动问题，我们同样可以利用波动方程和边界条件来求解其振动模式和频率。
结论：任意四边形板的振动问题是一个复杂而有趣的研究领域。
不同形状的四边形板具有不同的振动特性，因此我们需要分别研究它们。
矩形板、平行四边形板和梯形板是最常见的四边形板，它们的振动模式和频率可以通过求解波动方程和边界条件来得到。
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型
固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、 问题矩形薄板的参数如下33150,100,5,210,0.3,7.9310/a mm b mm h mm E GPa v kg m ρ======⨯求矩形薄板在（1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。
薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成； （2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小； （3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。
为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz ，且坐标原点及xOy 坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如图 1所示。
设板上任意一点a 的位置，将由变形前的坐标x 、y 、z 来确定。
图 1 薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u 、v 是相互独立的。
为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移(,,)w x y t 所决定。
根据假定（4），剪切应变分量为零。
由薄板经典理论，可以求得板上任意一点(,,)a x y z 沿,,x y z 三个方向的位移分量,,a a a u v w 的表达式分别为()a a a w u zx wv zy w w ∂=-∂∂=-∂=+高阶小量 (1.1)根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为222222a x a y a a xyu w z x x v w z y yu v w z y x x yεεγ∂∂==-∂∂∂∂==-∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂ (1.2)胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：2222222222222()()11()()111x x y y y x xy xyE Ez w wx yE Ez w w y xEz wG x yσεμεμμμσεμεμμμτγμ∂∂=+=-+--∂∂∂∂=+=-+--∂∂∂==-+∂∂ (1.3)现画薄板微元的受力图如图 2所示。
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
四角点支承四边自由矩形板自振分析新方法
振
动
与
冲 Ｂ ＲＡＴ Ｉ ＯＮ ＡＮＤ Ｓ ＨＯＣＫ
四 角 点 支 承 四 边 自 由矩 形 板 自振 分 析 新 方 法
许琪楼
（ 郑州 大学 工学 院， 郑州 ４ ５ ０ ０ ０ ２ ）
摘 要 ： 四角点支承四边自由矩形板振形函数表达式由四边 自由板所固有的基本振形和角点力所激发的附加振
关键词 ：弹性振动 ； 矩形 板 ； 角点支承 ； 基本振形 ； 附加 振形
中 图 分 类 号 ：０ ３ ２ ６ ； ０ ３ ２ ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ａ ｎｅ ｗ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｆ ｒ ｅ ｅ ｖ ｉ ｂｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｒ ｅ ｃ ｔ ａ ｎｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｗｉ ｔ ｈ ４－ ｆ ｒ ｅ ｅ － ｅ ｄ ｇ ｅ ｓ ａ ｎｄ ４ ｃ ｏ ｒ ｎ ｅ ｒ ｐｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｕｐ ｐｏ ｒ ｔ ｓ
自振频率计算公式例题解析
自振频率计算公式例题解析在物理学中，自振频率是指一个物体在没有外力作用下，以自然频率进行振动的频率。
这个概念在工程学和物理学中都有着重要的应用，因此了解如何计算自振频率是非常重要的。
本文将通过例题的解析，帮助读者更好地理解自振频率的计算公式和应用。
自振频率的计算公式如下：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]其中，f代表自振频率，k代表弹簧的弹性系数，m代表物体的质量。
这个公式告诉我们，自振频率与弹簧的弹性系数和物体的质量有关，而与振幅和阻尼无关。
现在，让我们通过一个例题来解析自振频率的计算过程。
例题，一个质量为2kg的物体悬挂在一个弹簧上，当物体受到外力拉伸弹簧10cm后，弹簧的弹性系数为200N/m。
求这个系统的自振频率。
解析：首先，我们可以利用胡克定律来计算弹簧的弹性系数。
胡克定律表示弹簧的弹性系数与弹簧的弹性形变成正比，即F=kx，其中F为弹簧的弹力，k为弹性系数，x为弹性形变。
根据题目给出的信息，我们可以得到：\[k = \frac{F}{x} = \frac{200N}{0.1m} = 2000N/m\]接下来，我们可以利用自振频率的计算公式来计算系统的自振频率。
根据公式：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]代入已知的数值，我们可以得到：\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2000N/m}{2kg}}\]\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{1000}\]\[f = \frac{1}{2\pi}\times 31.62\]\[f ≈ 5Hz\]因此，这个系统的自振频率约为5Hz。
通过这个例题的解析，我们可以看到自振频率的计算过程并不复杂。
只需要利用弹簧的弹性系数和物体的质量，就可以轻松地计算出系统的自振频率。
这个公式在工程学和物理学中都有着广泛的应用，可以帮助工程师和科学家们更好地设计和研究振动系统。
第三章板壳理论
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
ansys计算板的自振频率的原理和计算过程
ansys计算板的自振频率的原理和计算过程一、原理板的自振频率是板在特定外力激励下的固有振动频率，是板结构动力学的一个重要参数。
在Ansys中，可以通过有限元法来计算板的自振频率。
有限元法是一种数值分析方法，它通过将连续体离散化为有限个离散单元，并利用这些单元的近似解来求解偏微分方程。
二、计算过程1. 模型建立：首先，在Ansys中建立板的结构模型，可以使用多种单元类型（如SOLID95、SHELL90等）来模拟板的结构。
需要确保模型精确地反映了实际的板结构，包括板厚度、材料属性、边界条件等。
2. 网格划分：将模型离散化为有限个单元，通常使用四面体或六面体网格。
网格的质量直接影响计算的准确性，需要仔细划分并检查网格质量。
3. 施加载荷：施加外部激励，如简谐力、冲击力等。
根据实际情况，可以选择不同的加载方式，如集中力、分布力等。
4. 求解动力学方程：使用Ansys的求解器求解动力学方程，得到板的振动响应。
动力学方程描述了板在外部激励下的振动行为，包括振幅、相位、频率等。
5. 获取自振频率：通过分析振动响应的频率成分，可以找到板的自振频率。
通常，可以通过绘制振幅谱或相位谱来识别自振频率。
6. 结果分析：分析计算得到的自振频率，并与理论预测值进行比较。
如果结果符合预期，则可以进行后续的分析工作；如果不符合预期，可能需要重新考虑模型的准确性或重新划分网格。
三、注意事项1. 模型建立时要充分考虑实际情况，避免过于简化或过于复杂。
2. 网格质量对计算结果影响较大，需要仔细检查和优化。
3. 在施加载荷时要考虑实际的外界激励，如环境噪声、地震等。
4. 在分析自振频率时，要确保计算结果的准确性，必要时可采用多种方法进行验证。
总之，通过以上步骤，可以在Ansys中准确计算出板的自振频率，为结构动力学分析和优化提供有力支持。
第二章 薄板振动
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
m 2 w px, y, t w 2 D t D
4
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。 首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
m 2w w 0 2 D t
4
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
m2 n 2 2 D Cmn 4 t cost sin mx a sin ny b 0 a 2 b2 m wmn t wmn m m 1 n 1
w 0 sinmx a sinny b 0
m 1 n 1
Cmn
4 a b mx ny P x , y sin sin dxdy 0 0 ab a b
其中w已经满足边界条件，wmn(t)为待定函数。
D 4 2 w px, y, t w 2 m t m
将级数表达式代入方程（1）和齐次初始条件，可得
2 mn
D 4 m
m2 n2 a2 b2
2
由此可写出挠度函数的形式解
w Amn cos mn t Bmn sin mn t sin mx a sin ny b
m 1 n 1
其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。
的初值问题，方程的解等于齐次通解加特解
wmn t Amn cos mn t Bmn sin mn t Cmn cost 2 2 m mn
由初值条件可确定通解中的两个系数，最后得
w wmn t sin mx a sin ny b
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算
常为华
【期刊名称】《山西建筑》
【年(卷),期】2012(038)005
【摘要】从弹性薄板的基本振动微分方程出发,利用可以满足各边边界条件的振型函数,根据能量法推导出四边支承六种不同边界条件的矩形薄板的最低自振频率计算公式,为楼板结构的自振频率计算和舒适性设计提供了指导。
【总页数】3页(P63-65)
【作者】常为华
【作者单位】北京市建筑设计研究院,北京100000
【正文语种】中文
【中图分类】TU311.3
【相关文献】
1.具有焊接残余应力的矩形薄板固有频率计算方法研究 [J], 高永毅;唐果;万文
2.四角点支承四边自由矩形板自振分析新方法 [J], 许琪楼
3.四边固定支承矩形薄板振动分析的有限积分变换法 [J], 钟阳;张永山
4.四角点支承四边自由矩形薄板屈曲问题的新解析解 [J], 杨雨诗;安东琦;倪卓凡;李锐
5.四边任意支承条件下弹性矩形薄板弯曲问题的解析解 [J], 钟阳;张永山
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薄板的振动固有频率的求解
ua z
w x w va z y wa w (高阶小量)
(1.1)
根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为
ua 2w z 2 x x v 2w y a z 2 y y
x
(1.2)
xy
ua va 2w 2 z y x xy
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X x 2
(1.17)
(1.18)
现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设
(1.19)
根据上两式，有
4 X ( x) 2 X 4 X x 4
则 4 4 ，故有
(1.20)
固体力学作业 薄板的振动的固有频率与振型
1 、 问题
矩形薄板的参数如下
a 150mm, b 100mm, h 5mm, E 210GPa, v 0.3, 7.93 103 kg / m3
求矩形薄板在 （1） 四边简支（2）四边固支 条件下的固有频率和振型
2 、薄板振动微分方程
(1.23)
于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为
sin x X ( x) cos x
类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为
(1.24)
sin y Y ( y) cos y
(1.25)
现设 x 方向板的长度为 a， y 方向板的长度为 b， 且当 x=0 和 x=a 边为简支， 则满 足此边界的条件 m / a ，故式(1.24)可写为
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X 2 x
将上两式(1.21)代入式(1.19)第一式中，可写为
自振频率计算公式
自振频率计算公式自振频率计算公式是用来计算系统的自振频率的一种公式，也被称为振荡频率计算公式。
它使用物理学中的振荡理论来计算振荡频率，可以用来对系统进行控制。
这个公式也可以用于分析振荡系统中的不同参数，以及预测振荡系统的振荡特性。
自振频率计算公式的基本原理是：量化的质量是一个系统的特性，它是由系统中的外力和内部阻尼决定的。
量化的质量是一个系统的能量在一个振荡周期内的改变，可以用来计算系统的自振频率。
自振频率计算公式可以设计为：自振频率 =k/m其中，k是系统的外力系数，m是系统中量化的质量。
借助该公式，可以根据外力系数和质量，计算出系统的自振频率。
例如，如果系统中的外力系数是k=20，量化的质量是m=10，则根据这个公式，系统的自振频率将会是：自振频率 =20/10 = 2 Hz因此，通过自振频率计算公式，可以结合系统的外力系数和量化的质量，得出系统的自振频率。
除此之外，自振频率计算公式还可以用于分析振荡系统中的振荡特性。
自振频率的变化可以反映出系统中的不同参数，这些参数又能够影响系统的振荡特性。
例如，如果外力系数和质量都发生变化，则振荡频率也会随之发生变化，从而影响振荡系统的性能。
自振频率计算公式主要用于控制和分析振荡系统，可以有效地预测振荡系统的振荡特性，让工程师能够更加准确地控制系统的性能。
因此，它在振荡系统的控制和分析中扮演着重要的角色，有助于保持系统性能的稳定和完美。
自振频率计算公式在物理学和工程科学领域都有广泛的应用。
目前，它被广泛用于各种振荡系统的控制和分析，如电子元件、电路、机械结构和精密仪器等。
此外，它还可以用来分析复杂的控制系统中的不同参数，从而更好地了解和控制振荡系统的振荡特性。
因此，自振频率计算公式在物理学和工程科学领域具有重要的意义，可以有效地控制和分析各类振荡系统，从而更好地维护系统的稳定性和完美性。
四边固定矩形板计算书
LB-1矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 11400 mm; Ly = 8500 mm板厚: h = 400 mm2.材料信息混凝土等级: C30 fc=14.3N/mm2 ft=1.43N/mm2 ftk=2.01N/mm2Ec=3.00×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 55mm保护层厚度: c = 40mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 39.500kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 0.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):固定/固定/固定/固定6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 8500 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=400-55=345 mm六、配筋计算(lx/ly=11400/8500=1.341<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0129+0.0298*0.200)*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52 = 64.434 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*64.434×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0383) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.038) = 0.0394) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.039/360= 529mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 529/(1000*400) = 0.132%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲14@150, 实配面积1026 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0298+0.0129*0.200)*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52 = 110.923 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*110.923×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0653) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.065) = 0.0674) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.067/360= 924mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 924/(1000*400) = 0.231%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲14@125, 实配面积1231 mm23.X向支座左边钢筋1) 确定左边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0565*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 193.613 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*193.613×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1143) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.114) = 0.1214) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.121/360 = 1659mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 1659/(1000*400) = 0.415%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm24.X向支座右边钢筋1) 确定右边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0565*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 193.613 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*193.613×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1143) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.114) = 0.1214) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.121/360 = 1659mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 1659/(1000*400) = 0.415%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm25.Y向上边支座钢筋1) 确定上边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0704*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 241.089 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*241.089×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1423) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.142) = 0.1534) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.153/360= 2102mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 2102/(1000*400) = 0.526%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm26.Y向下边支座钢筋1) 确定下边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0704*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 241.089 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*241.089×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1423) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.142) = 0.1534) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.153/360= 2102mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 2102/(1000*400) = 0.526%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+0.000)*8.52 = 92.436 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+1.0*0.000)*8.52 = 92.436 kN*m 2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 92.436×106/(0.87*345*1231) = 250.174 N/mmσsq = Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 92.436×106/(0.87*345*1231) = 250.174 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*400= 200000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 1231/200000 = 0.615%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.615%*250.174) = 0.252ψq = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.615%*250.174) = 0.2524) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/3.00×104 = 6.6675) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 1231/(1000*345) = 0.357%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[1.15ψk+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1231*3452/[1.15*0.252+0.2+6*6.667*0.357%/(1+3.5*0.0)]= 4.637×104 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[1.15ψq+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1231*3452/[1.15*0.252+0.2+6*6.667*0.357%/(1+3.5*0.0)]= 4.637×104 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= 92.436/(92.436*(2.0-1)+92.436)*4.637×104= 2.318×104 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= 4.637×104/2.0= 2.318×104 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min(23184.291,23184.291)= 23184.2914.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00198*(39.500+0.000)*8.54/2.318×104= 17.630mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/250=8500/250=34.000mmfmax=17.630mm≤fo=34.000mm，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0129+0.0298*0.200)*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 53.695 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=53.695×106/(0.87*345*1026)=174.360N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1026/200000 = 0.0051因为ρte=0.0051 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*174.360)=0.3517) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/150=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*14*14/(6*1.0*14)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.351*174.360/2.0×105*(1.9*40+0.08*14/0.0100)=0.1092mm ≤ 0.30, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 92.436 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=92.436×106/(0.87*345*1231)=250.174N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1231/200000 = 0.0062因为ρte=0.0062 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*250.174)=0.5787) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/125=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*14*14/(8*1.0*14)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.578*250.174/2.0×105*(1.9*40+0.08*14/0.0100)=0.2582mm ≤ 0.30, 满足规范要求3.支座上方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数((ｑgk+ψｑqk)*Lo2)= 0.0704*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 200.908 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=200.908×106/(0.87*345*3142)=213.036N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*213.036)=0.7107) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.710*213.036/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.2554mm ≤ 0.30, 满足规范要求4.支座下方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0704*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 200.908 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=200.908×106/(0.87*345*3142)=213.036N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*213.036)=0.7107) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.710*213.036/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.2554mm ≤ 0.30, 满足规范要求5.支座左方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0565*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 161.344 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=161.344×106/(0.87*345*3142)=171.084N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*171.084)=0.6147) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.614*171.084/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.1774mm ≤ 0.30, 满足规范要求6.支座右方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0565*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 161.344 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=161.344×106/(0.87*345*3142)=171.084N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*171.084)=0.6147) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.614*171.084/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.1774mm ≤ 0.30, 满足规范要求。
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四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
对于四边简支矩形板板，一对边简支，另两边任意的矩形板，可以采用的重三角级数和的单三角级数经典解法，但代数运算和数值计算都比较繁琐。
在工程应用时仍然不是很方便。
由于最低自振频率对应的振形比较易于假定。
因此能量法在工程中经常用来计算最低自振频率值。
本文采用能量法推导出不同边界条件下最低自振频率计算公式。
3.能量法能量法是由提出的一个计算薄板最低自然频率的近似方法。
其基本原理如下：当板以某一圆频率ω及其振形),(y x W 进行自由振动时它的瞬时挠度可以表示成为：),()sin cos (),,(y x W t B t A t y x w ωω+= （3）这里研究自振频率为主，假定不受外荷载作用；薄板发生自由振动时，当板经过平衡位置时，我们有1cos ,0sin ,0±===t t w ωω，速度达到最大值为W ω±，这时板的形变势能为零，动能达到最大值，即：dxdy W m T 22max 21ω⎰⎰=（4） 当薄板振动距离平衡位置最远时，我们有0cos ,1sin ,=±=±=t t W w ωω，这时板的动能为零，而板的形变势能为最大，即：⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂∂--∇=dxdy y x w y w x w w D U 22222222max )()1(2)(2ν （5）按照格林定理：可以推导出⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂∂dxdy y x w y w x w 222222)( ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=dy y w x w dx y x w x w 222 （6） 对于一个矩形薄板没有自由边，而只有简支边和固支边，则在x 为常量的边界上有0=dx 及022=∂∂y w，在y 为常量的边界上有0=dy 及0=∂∂xw，则（6）可简化为得到 ⎰⎰∇=dxdy w D U 22max )(2（7）根据能量守恒定理，最大动能等于最大势能，即 max max T U = （8）利用该等式就可以求出自振频率。
4. 矩形薄板自振频率计算公式推导采用能量法在工程中计算最低自振频率。
一般来说，设定的振形函数只须满足位移边界条件，而不一定要满足内力边界条件，因为内力边界条件是平衡条件，而在能量法中，已经用能量关系代替了平衡条件。
当然，如果能够同时满足一部分或全部内力边界条件，则求得的最低自振频率可以具有较好的精度。
如果振形曲线是精确的，相应的振动频率也是精确值。
如果振形曲线是近似值，相应的频率也是近似值。
本文将根据假定振型函数推导6种不同边界条件的四边支承矩形板的自振频率计算公式 1）四边简支矩形板四边简支板如图（a ）；取振形函数为提出的重三角级数：bxn a x m C W mn n m ππsin sin11∑∑∞=∞== 可以满足位移边界条件（同时也能满足内力边界条件），代入公式（4）（7）可以得到2112max 8mn n m C abm T ∑∑∞=∞==ω，222222114max )(8bn a m C abDU mnn m +=∑∑∞=∞=π求最低频率，可以令1==n m 由0max max =-T U 得到：mDb a )11(2221+=πω。
四边简支板采用的振形函数是精确的，振形函数不仅能满足位移边界条件，还满足内力边界条件；计算得到的振动频率也是精确解。
2三边简支一边固支三边简支一边固支如图（b ），振形函数byx a ax x W πsin )32(334+-=满足x=a 边固支，x=0，y=0，y=b三边简支支边界条件。
由公式（4）（7）（8）得：b a m T 92max630419⨯=ω)352463019536(42224445max b a b a b Da U ππ++= mDb a b a a )1261972436(19126144422221ππω++= 3 相邻边简支，另相邻边固支相邻边简支，另相邻边固支如图（c ），取振形函数)32)(32(3343341y a ay y x a ax x C W +-+-=满足x=0，y=0相邻边简支，x=a ，y=b 相邻边固支边界条件。
由公式（4）（7）（8）得：99222max630219b a m T ⨯=ω )351226305193663051936(222224455maxb a b a b Da U ⨯+⨯⨯+⨯⨯= mDb a b a a )1331441(191266442221++=ω 4 一对边简支，一对边固支一对边简支，一对边固支如图（d ），取振形函数)2cos1(sin byaxW ππ-=，满足x=0，x=a 边简支，y=0，y=b 边固支边界条件，由公式（4）（7）（8）得：mDb a b a a 4422221316381++=πω 5．三边固支一边简支三边简支一边固支如图（e ），取振形函数)2cos 1)(32(334byx a ax x W π-+-=满足x=0边固支，x=a ，y=0，y=b 三边简支边界条件。
由公式（4）（7）（8）得：ba m T 92max6304193⨯⨯=ω)352426302191625336(22224425maxb a b a b Da U ππ⨯+⨯⨯+⨯⨯=mDb a b a a)6301523548554(19420144422221ππω++= 6.四边固支矩形板四边固支矩形板如图（f ），矩形板的的边长分别为2a 和2b ，四边固支时振形函数为......)()()(23221222222+++--=y C x C C b y a x W 假定只取一个系数，即2222221)()(b y a x C W --=可以满足位移边界条件，由公式（4）（7）（8）得：99215max72592b a m T ⨯⨯=ω)74(72592)(22244551422max b a b a b Da dxdy W D U bbaa++⨯⨯=∇=⎰⎰--mDb a b a a)741(2631442221++=ω 对于四边固支矩形板还可以满足边界条件的采用振形函数)cos1)(cos1(1byaxC W ππ++=求解自振频率。
mDba b a a 442222132334++=πω 通过上述分析，得到四边支承6种不同边界条件矩形板自振频率计算公式。
假定矩形边长a=b ，自振频率写为mDak f 22==πω，不同边界条件下k 值如下表：。