江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练函数与导数

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2019高考数学总复习优编增分练高考填空题分项练6函数与导数

高考填空题分项练函数与导数．设曲线＝在点()处的切线与直线＋＋＝垂直，则＝.答案－解析∵＝＝＋，∴′＝－.∴曲线在点()处的切线斜率＝－.∴－＝，即＝－.．设函数()＝()＋，曲线＝()在点(，())处的切线方程为＝＋，则曲线＝()在点(，())处切线的斜率为．答案解析依题意得′()＝′()＋，所以′()＝′()＋＝＋＝.．已知函数()＝在(－，＋∞)上单调递减，则的取值范围是．答案解析∵′()＝，且函数()在(－，＋∞)上单调递减，∴′()≤在(－，＋∞)上恒成立，∴≤. 当＝时，′()＝恒成立，不合题意，应舍去．∴<.．已知≤＋对任意∈恒成立，则的最大值为．答案解析令()＝＋，∈，则′()＝，当∈时，′()<，当∈[]时，′()≥，∴()在上单调递减，在[]上单调递增，∴()＝()＝，∴的最大值为.．若函数()＝＋－＋(为常数，且>)有极大值，则的值是．答案解析由′()＝＋－＝(＋)(－)＝，得＝－或＝，当变化时，′()与()的变化情况如下表：从而可知，当＝－时，函数()取得极大值，即(－)＝－＋＋＋＝，解得＝.．函数()＝－－在()内有最小值，则的取值范围是．答案()解析′()＝－＝(－)．当≤时，′()>，所以()在()内单调递增，无最小值．当>时，′()＝(－)(＋)．当∈(－∞，－)和(，＋∞)时，()单调递增；当∈(－，)时，()单调递减，所以当<<，即<<时，()在()内有最小值．．若函数()(＝…是自然对数的底数)在()的定义域上单调递增，则称函数()具有性质，下列函数中具有性质的是．(填序号)①()＝－；②()＝；③()＝－；④()＝ .答案①解析若()具有性质，则[()]′＝[()＋′()]>在()的定义域上恒成立，即()＋′()>在()的定义域上恒成立．对于①式，()＋′()＝－－－＝－(－ )>，符合题意．经验证，②③④均不符合题意．．如果函数()＝－＋在[－]上的最大值是，那么()在[－]上的最小值是．答案－解析∵′()＝－，令′()＝，得＝或＝.∴在[－]上，当∈[－)时，′()>，。

2019高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练五函数与导数A

江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考附加题加分练数学归纳法

(九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5，n ＝1，－1，n≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，n ＝1，0，n≥2.(2)证明当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 错误!·44t －5＋…－(－1)r C 错误!·44t －4－r ＋…－C 错误!·4， ∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3. (1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a n ≥4n n .(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)． (2)证明原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ≥4. 显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C0n ＋C1n 2n ＋C2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋Cn n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C0n ＋C1n 2n ＋C2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n >4. 综上所述，当n ≥2时，a n ≥4n n .3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.(1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，∴f ′(x )＝－12－x＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立， ∴a ≥12－x. 又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数， ∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明先用数学归纳法证明0<a n <1.当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，∴a n <a n ＋1.综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f(k)的解析式；(2)记S n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，P n＝n2＋n－1(n∈N*)，试比较S n与P n的大小．解(1)∵log2x＋log2(3·2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)，∴错误!解得2k－1≤x≤2k，∴f(k)＝2k－2k－1＋1＝2k－1＋1.(2)∵S n＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＋n＝2n＋n－1，∴S n－P n＝2n－n2.当n＝1时，S1－P1＝2－1＝1>0；当n＝2时，S2－P2＝4－4＝0；当n＝3时，S3－P3＝8－9＝－1<0；当n＝4时，S4－P4＝16－16＝0；当n＝5时，S5－P5＝32－25＝7>0；当n＝6时，S6－P6＝64－36＝28>0.猜想：当n≥5时，S n－P n>0.证明如下：①当n＝5时，由上述可知S n－P n>0.②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时，S k－P k＝2k－k2>0.当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1＝2k＋1－(k＋1)2＝2·2k－k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1＝2(S k－P k)＋k2－2k－1>k2－2k－1＝k(k－2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.∴当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1>0成立．由①②可知，当n≥5时，S n－P n>0成立，即S n>P n成立．由上述分析可知，当n＝1或n≥5时，S n>P n；当n＝2或n＝4时，S n＝P n；当n＝3时，S n<P n.。

江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考附加题加分练(打包9套)

(一)几何证明选讲1.如图，O 是△ABC 外接圆的圆心，∠ACB ＝54°，求∠ABO 的值．解连结OA ，因为O 是圆心，所以∠AOB ＝2∠ACB ，所以∠ABO ＝12(180°－∠AOB )＝12(180°－2∠ACB ) ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°.2.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，BE 切圆O 于点B ，D 是CE 与圆O 的交点，若∠BAC ＝60°，BE ＝2，BC ＝4，求线段CD 的长．解因为BE 切圆O 于点B ，所以∠CBE ＝∠BAC ＝60°. 因为BE ＝2，BC ＝4，由余弦定理得EC ＝2 3. 又BE 2＝EC ·ED ，所以DE ＝233，所以CD ＝EC －ED ＝23－233＝433.3．如图，已知点C 在圆O 的直径AB 的延长线上，CD 是圆O 的一条切线，D 为切点，点D 在AB 上的射影是点E ，CB ＝3BE .求证：(1)DB 是∠CDE 的平分线； (2)AE ＝2EB .证明 (1)连结AD ，∵AB 是圆O 的直径， ∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠DBA ＝90°， ∴∠DAB ＝∠BDE ， ∵CD 切圆O 于点D ， ∴∠CDB ＝∠DAB ， ∴∠BDE ＝∠CDB ， ∴DB 是∠CDE 的平分线．(2)由(1)可得DB 是∠CDE 的平分线， ∴CD DE ＝CB BE＝3，即CD ＝3DE .设BE ＝m (m >0)，DE ＝x (x >0)，则CB ＝3m ，CD ＝3x ，在Rt△CDE 中，由勾股定理可得(3x )2＝x 2＋(4m )2，则x ＝2m ，由切割线定理得CD 2＝CB ·CA ，(32m )2＝3m ·CA ，CA ＝6m ，AB ＝3m ，AE ＝2m ，则AE ＝2EB .4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连结AD ，与内切圆相交于另一点P ，连结PC ，PE ，PF ，已知PC ⊥PF ，求证：(1)PF FD ＝PDDC；(2)PE ∥BC . 证明 (1)连结DE ，则△BDF 是等腰直角三角形，于是∠FPD ＝∠FDB ＝45°，故∠DPC ＝45°.又∠PDC ＝∠PFD ，则△PFD ∽△PDC ，所以PF FD ＝PD DC.①(2)由∠AFP ＝∠ADF ，∠AEP ＝∠ADE ，知△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE . 于是，EP DE ＝AP AE ＝AP AF ＝FPDF .故由①得EP DE ＝PD DC，②由∠EPD ＝∠EDC ，结合②得，△EPD ∽△EDC ，从而△EPD 也是等腰三角形．于是，∠PED ＝∠EPD ＝∠EDC ，所以PE ∥BC .(二)矩阵与变换1．(2018·南京模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001.若直线l ：x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．解因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2201，设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )，因为P 0(x 0，y 0)在直线l ：x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0.①由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 201 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2y 0＝x ，y 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y .②将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0.2．已知曲线C ：y 2＝12x ，C 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y .令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1. 4．(2018·扬州模拟)已知x ，y ∈R ，若点M (1,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y 对应的变换作用下得到点N (3,5)，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＝3，3＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 132 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，3a ＋2c ＝0，2b ＋d ＝0，3b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝－3，d ＝2，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 2.(三)坐标系与参数方程1．(2018·南京六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t(t 为参数)．求直线l 被曲线C 截得的弦长．解曲线C 的直角坐标方程是x 2＋(y －1)2＝1，直线l 的普通方程是x ＋2y －3＝0，圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|2－3|12＋22＝55，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为 212－⎝⎛⎭⎪⎫552＝455. 2．(2018·江苏南京外国语学校月考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数，m 为常数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.若直线l 与圆C 有两个不同的公共点，求实数m 的取值范围．解圆C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 直线l 的极坐标方程化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝2，即22x ＋22y ＝2，化简得x ＋y －2＝0. 因为圆C 的圆心为C (m,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2，直线l 与圆C 有两个不同的公共点，所以d ＝|m －2|2<2，解得2－22<m <2＋22，即实数m 的取值范围是(2－22，2＋22)．3．(2018·江苏南京师大附中模拟)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2.直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x .圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1.所以AB ＝2.4．(2018·江苏泰州中学月考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，曲线D 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)．曲线C 和曲线D 相交于A ，B 两点． (1)求点P 的直角坐标；(2)求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程； (3)求△PAB 的面枳S ，解 (1)设点P 的直角坐标为(x ，y )，则x ＝2cos π2＝0，y ＝2sin π2＝2，∴点P 的直角坐标为()0，2.(2)将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入ρcos θ－ρsin θ＝1，得x －y ＝1，∴曲线C 的直角坐标方程为x －y －1＝0.消去方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α 中的参数α，得(x －1)2＋y 2＝1，∴曲线D 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(3)因为直线C ：x －y －1＝0过圆D ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心， ∴AB 为圆D 的直径， ∴AB ＝2.又点P (0,2)到直线C ：x －y －1＝0的距离为d ＝32＝322，∴S △PAB ＝12AB ·d ＝12×2×322＝322.(四)不等式选讲1．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝2，求证：x ＋y ≥2xy . 证明 ∵x >0，y >0，∴要证x ＋y ≥2xy ，只要证(x ＋y )2≥4x 2y 2，即证x 2＋y 2＋2xy ≥4x 2y 2.∵x 2＋y 2＝2，∴只要证2＋2xy ≥4x 2y 2，即证2(xy )2－xy －1≤0，即证(2xy ＋1)(xy －1)≤0. ∵2xy ＋1>0，∴只要证xy ≤1. ∵2xy ≤x 2＋y 2＝2，∴xy ≤1成立，当且仅当x ＝y ＝1时取等号． ∴x ＋y ≥2xy .2．已知a ，b ，c 都是正数且abc ＝1，求证：(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥27. 证明由算术－几何平均不等式可得 2＋a ＝1＋1＋a ≥33a ， 2＋b ＝1＋1＋b ≥33b ， 2＋c ＝1＋1＋c ≥33c . 不等式两边分别相乘可得，(2＋a )(2＋b )(2＋c )≥33a ×33b ×33c ＝273abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．3．已知函数f (x )＝2|x －2|＋3|x ＋3|.若函数f (x )的最小值为m ，正实数a ，b 满足4a ＋25b ＝m ，求1a ＋1b的最小值，并求出此时a ，b 的值．解依题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x －5，x <－3，x ＋13，－3≤x ≤2，5x ＋5，x >2，当x ＝－3时，函数f (x )有最小值10，故4a ＋25b ＝10，故1a ＋1b ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ()4a ＋25b ＝110⎝⎛⎭⎪⎫29＋25b a ＋4a b ≥110⎝ ⎛⎭⎪⎫29＋225b a ·4a b ＝4910，当且仅当25b a ＝4ab时等号成立，此时a ＝57，b ＝27.4．(2018·镇江调研)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋a |，若对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．解 ∵对任意x ∈R ，不等式f (x )>a 2－3恒成立， ∴f (x )min >a 2－3，又∵|x －a |＋|x ＋a |≥ |x －a －(x ＋a )|＝|2a |， ∴|2a |>a 2－3，即|a |2－2|a |－3<0，解得－1<|a |<3. ∴－3<a <3.(五)空间向量与立体几何1．(2018·盐城模拟)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在PD ，PC 上，PN →＝12NC →，PM ＝MD .(1)求证：PC ⊥平面AMN ； (2)求二面角B －AN －M 的余弦值．(1)证明以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．又∵PA ＝AD ＝2， ∴P (0,0,2)，D (0,2,0)，B (2,0,0)，∴M (0,1,1)，C (2,2,0)．∴PC →＝(2,2，－2)，AM →＝(0,1,1)． ∵PC →·AM →＝0＋2－2＝0， ∴PC ⊥AM .设N (x ，y ，z )，∵PN →＝12NC →，求得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，43. ∵PC →·AN →＝43＋43－83＝0，∴AN ⊥PC .又AM ∩AN ＝A ，AM ，AN ⊂平面AMN ， ∴PC ⊥平面AMN .(2)解设平面BAN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，23x ＋23y ＋43z ＝0，令z ＝－1，∴n ＝(0,2，－1)．∵PC →＝(2,2，－2)是平面AMN 的法向量， ∴cos〈n ，PC →〉＝n ·PC →|n ||PC →|＝155.由图知二面角B －AN －M 为钝二面角， ∴二面角B －AN －M 的余弦值为－155. 2.如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)，∴co s 〈EB →，AC →〉＝－25，又异面直线所成的角为锐角或直角， ∴异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)，设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)，平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值的绝对值为23，∴sin θ＝53，即二面角A －BE －C 的正弦值为53. 3.三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)．设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0，得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)．由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265，sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值为345565.4.如图，在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小．解连结OB ，由题意得OS ，OB ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.所以O (0,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，S (0,0,3)，B (3,0,0)．(1)设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，连结OD ，则OD →＝(1－λ)OB →＋λOS →＝(3(1－λ)，0,3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)．因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故当SD DB ＝12时，CD ⊥AB .(2)平面ACB 的法向量为n 1＝(0,0,1)．设平面SBC 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·SB →＝0，n 2·SC →＝0，得⎩⎨⎧3x －3z ＝0，3y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝z ，y ＝3z ，取z ＝1，则n 2＝(1，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋3×0＋1×112＋12＋(3)2＝15，显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55. (六)曲线与方程、抛物线1.如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作抛物线的两条弦AB ，CD ，设直线AC 与BD 的交点为P ，直线AC ，BD 分别与y 轴交于M ，N 两点．(1)求证：点P 恒在抛物线的准线上； (2)求证：四边形PMFN 是平行四边形．证明 (1)由题意知F (1,0)，不妨设A (a 2,2a )，D (b 2,2b )，a >0，b <0，B (x B ，y B )．直线AB 的方程为2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2ax ＋(1－a 2)y －2a ＝0，得ay 2＋2(1－a 2)y －4a ＝0，由2ay B ＝－4，得y B ＝－2a，代入抛物线方程y 2＝4x ，得x B ＝1a 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，－2a ，同理得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2，－2b ，则直线AC 的方程为y ＝2b ab －1x －2aab －1，直线BD 的方程为y ＝2a ab －1x －2bab －1，则M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a ab －1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2b ab －1. 联立直线AC ，BD 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2b ab －1x －2aab －1，y ＝2a ab －1x －2bab －1，可得点P 的横坐标为定值－1，即点P 恒在抛物线的准线上．(2)因为k FN ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b ab －11－0＝2b ab －1＝k AC ，k FM ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ab －11－0＝2a ab －1＝k BD ，所以四边形PMFN 是平行四边形．2.如图，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点(2,1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A ′，连结A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)将点(2,1)代入抛物线C 的方程，得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y . (2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝kx －1，得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16>0，x 1,2＝4k ±16k 2－162，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4k ，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－(－x 1)＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝x 2－x 14x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0,1)．3.如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使PQ →＝12QM →，且PR →·PM →＝0.(1)求动点M 的轨迹C 1；(2)圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点(0,1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点(从左到右)，交C 2于B ，C 两点(从左到右)，求证：AB →·CD →为定值．(1)解方法一设M (x ，y )，P (x 1,0)，Q (0，y 2)，则由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R (0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1(x －x 1)＋(－3)y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简得x 2＝4y .所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．方法二设M (x ，y )．由PQ →＝12QM →，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以PR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－3，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y . 所以动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(2)证明由题意，得AB →·CD →＝AB ·CD ，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F . 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1. 同理CD ＝y 2.直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1,2＝4k ±16k 2＋162，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4，所以AB →·CD →＝AB ·CD ＝y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－4k 2＋4k 2＋1＝1，所以AB →·CD →为定值1.4.如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，T (－1,0)，当l ⊥x 轴时，A (1,2)，B (1，－2)，此时TA →·TB →＝0，与TA →·TB →＝1矛盾，所以可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， x 1,2＝2k 2＋4±(2k 2＋4)2－4k 42k 2，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①故y 21y 22＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4.②因为TA →·TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1，将①②代入并整理，得k 2＝4，所以k ＝±2. (2)因为y 1>0，所以tan∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时取等号，因为点A 在第一象限，所以∠ATF 的最大值为π4.(七)计数原理1．已知等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，其中a i (i ＝0,1,2，…，10)为实常数．求：(1)∑n ＝110a n 的值；(2)∑n ＝110na n 的值．解 (1)在(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10中，令x ＝－1，得a 0＝1.令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝25＝32.所以∑n ＝110a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝31.(2)等式(x 2＋2x ＋2)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10两边对x 求导，得5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9. 在5(x 2＋2x ＋2)4·(2x ＋2)＝a 1＋2a 2(x ＋1)＋…＋9a 9(x ＋1)8＋10a 10(x ＋1)9中，令x ＝0，整理得∑n ＝110na n ＝a 1＋2a 2＋…＋9a 9＋10a 10＝5·25＝160.2．设等差数列{a n }的首项为1，公差为d (d ∈N *)，m 为数列{a n }中的项． (1)若d ＝3，试判断⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．(1)解因为{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n －2. 假设⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中第r ＋1项为常数项(r ∈N )，T r ＋1＝C r mx m －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝32C m r rm x -，于是m －32r ＝0.设m ＝3n －2(n ∈N *)，则有3n －2＝32r ，即r ＝2n －43，这与r ∈N 矛盾．所以假设不成立，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中不含常数项．(2)证明由题设知a n ＝1＋(n －1)d ，设m ＝1＋(n －1)d ，由(1)知，要使对于每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项，必须有：对于n ∈N *，满足1＋(n －1)d －32r ＝0的r 无自然数解，即r ＝2d 3(n －1)＋23∉N .当d ＝3k (k ∈N *)时，r ＝2d 3(n －1)＋23＝2k (n －1)＋23∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x m的展开式中均不含常数项．3．已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式． (1)解因为T r ＋1＝C r n2n －rx 2r ，当r2＝3时，r ＝6，故x 3项的系数为C 6n 2n －6＝14，解得n ＝7.(2)证明由二项式定理可知， (2＋3)n＝C 0n 2n(3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝p ＋3q ＝p 2＋3q 2，p ，q ∈N *，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *，则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *.∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n＝1， ∴a －b ＝1，令a ＝s ，s ∈N *，得b ＝s －1，∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *. 4．设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *. (1)求值：①k C k n －n C k －1n －1；②k 2C kn －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1(k ≥2)；(2)化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn . 解 (1)①k C kn －n C k －1n －1＝k ×n ！k ！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝0. ②k 2C kn －n (n －1)C k －2n －2－n C k －1n －1 ＝k 2×n ！k ！(n －k )！－n (n －1)×(n －2)！(k －2)！(n －k )！－n ×(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝k ×n ！(k －1)！(n －k )！－n ！(k －2)！(n －k )！－n ！(k －1)！(n －k )！＝n ！(k －2)！(n －k )！⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1－1－1k －1＝0.(2)由(1)可知当k ≥2时，(k ＋1)2C kn ＝(k 2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2k C k n ＋C kn ＝[n (n －1)C k －2n －2＋n C k －1n －1]＋2n C k －1n －1＋C kn ＝n (n －1)C k －2n －2＋3n C k －1n －1＋C kn .故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n (n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n (C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn )＝(1＋4n )＋n (n －1)2n －2＋3n (2n －1－1)＋(2n－1－n )＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．(八)随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2n C 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6. (2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝69＝23，P (X ＝2)＝3×69×8＝14， P (X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114，P (X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.所以取球次数X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值范围．解 (1)所求概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎪⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 而ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ，由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤54.又0≤P 2≤1，∴34≤P 2≤1.3．(2018·南通调研)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m 个． (1)若m ＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若m ＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．解 (1)当m ＝1时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3，所以P (A )＝31－(7＋3)31＝2131.(2)当m ＝2时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (ξ＝0)＝C 2C 15＋C 2C 25＋C 2C 35＋C 2C 45C 231＝110465＝2293， P (ξ＝1)＝C 15C 25＋C 25C 35＋C 35C 45＋C 45C 55C 231＝205465＝4193， P (ξ＝2)＝C 15C 35＋C 25C 45＋C 35C 55C 231＝110465＝2293，P (ξ＝3)＝C 15C 45＋C 25C 55C 231＝35465＝793， P (ξ＝4)＝C 15C 55C 231＝5465＝193，所以ξ的概率分布为所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×2293＋1×4193＋2×2293＋3×793＋4×193＝11093.4．(2018·启东模拟)如图，已知正六棱锥S －ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝3)的值；(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个．因此P (X ＝3)＝6C 37＝635.(2)由题意知，X 的可能取值为3，2，6，23，3 3. 其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个；其中X ＝6的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个；其中X ＝23的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个；其中X ＝33的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此P (X ＝3)＝635，P (X ＝2)＝935，P (X ＝6)＝635，P (X ＝23)＝1235，P (X ＝33)＝235.所以随机变量X 的概率分布为所求数学期望E (X )＝3×635＋2×935＋6×635＋23×1235＋33×235＝363＋66＋1835. (九)数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)． (1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数． (1)解当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n . ∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(2)证明当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1. 下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ， ∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r＋…－C 4t －54(t －1)·4，∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立． 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明； (2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n.(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．(2)证明原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫1＋2n n≥4.显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n>4.综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n.3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数． (1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1. (1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数， ∴f ′(x )＝－12－x ＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立，∴a ≥12－x.又g (x )＝12－x在区间(0,1)上是增函数，∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)． (2)证明先用数学归纳法证明0<a n <1. 当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数， ∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ， ∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，即0<a k ＋1<1成立，∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．下证a n <a n ＋1.∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0， ∴a n <a n ＋1. 综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小．解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3·2k －1－x >0，x (3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k，∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n ) ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n＋n －1，∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0；当n ＝2时，S 2－P 2＝4－4＝0；当n ＝3时，S 3－P 3＝8－9＝－1<0；当n ＝4时，S 4－P 4＝16－16＝0；当n ＝5时，S 5－P 5＝32－25＝7>0；当n ＝6时，S 6－P 6＝64－36＝28>0. 猜想：当n ≥5时，S n －P n >0. 证明如下：①当n ＝5时，由上述可知S n －P n >0.②假设当n ＝k (k ≥5，k ∈N *)时，S k －P k ＝2k －k 2>0. 当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1＝2k ＋1－(k ＋1)2＝2·2k－k 2－2k －1＝2(2k－k 2)＋k 2－2k －1 ＝2(S k －P k )＋k 2－2k －1>k 2－2k －1 ＝k (k －2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0. ∴当n ＝k ＋1时，S k ＋1－P k ＋1>0成立．由①②可知，当n ≥5时，S n －P n >0成立，即S n >P n 成立．由上述分析可知，当n ＝1或n ≥5时，S n >P n ；当n ＝2或n ＝4时，S n ＝P n ；当n ＝3时，S n <P n .。

江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考解答题仿真练1

高考解答题仿真练11．已知向量m ＝(cos x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，f (x )＝m ·n .(1)求f (x )在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，若角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (B )＝54，sin A sin C ＝sin 2B ，求a －c 的值．解由题意得，f (x )＝cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋1＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＋1＝34sin 2x －12×1＋cos 2x2＋1 ＝34sin 2x －14cos 2x ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34.(1)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.(2)由f (B )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋34＝54，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1.又B 是△ABC 的内角，∴2B －π6＝π2，B ＝π3.又sin A sin C ＝sin 2B ，∴由正弦定理可得ac ＝b 2. 在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得ac ＝(a －c )2＋2ac －ac ，则a －c ＝0.2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，∠APB ＝90°，BP ＝BC ，M 为PC 的中点．求证：(1)AP ∥平面BDM ； (2)BM ⊥平面ACP .证明 (1)设AC ∩BD ＝O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．因为M 为PC 的中点，所以AP ∥OM . 又因为AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM .(2)因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP .又因为平面ABP ⊥平面BCP ，平面ABP ∩平面BCP ＝BP ，AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP .又因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM . 因为BP ＝BC ，M 为PC 的中点，所以BM ⊥CP . 又因为AP ∩CP ＝P ，AP ，CP ⊂平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP .3．如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C －D －E －F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<t ≤13，8－1t ，13<t <2.(1)用t 表示线段EF 的长； (2)求修建该参观线路的最低费用．解设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ ⊥l ，DQ ＝QE .以O 为坐标原点，OF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .(1)由题意，得点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，1. 设直线EF 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 2(k <0)，即kx －y ＋1－tk2＝0.因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－tk 2k 2＋1＝1，解得k ＝4tt 2－4. 代入y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 2，可得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ，0.所以EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t －t 22＋1＝t 4＋1t ，即EF ＝t 4＋1t(0<t <2)．(2)设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当0<t ≤13时，y ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2＋2t ，由y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2t 2<0，则y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上单调递减．所以当t ＝13时，y 取最小值32.5；②当13<t <2时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋1t ＋t ＝12t ＋16t －32－2t2，所以y ′＝12－16t 2＋4t 3＝4(t －1)(3t 2＋3t －1)t3，因为13<t <2，所以3t 2＋3t －1>0，所以当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，y ′<0，当t ∈(1,2)时，y ′>0，所以y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减；在(1,2)上单调递增．所以当t ＝1时，y 取最小值24.5.由①②知，修建该参观线路的最低费用为24.5 万元．4．(2018·江苏金陵中学调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12.设F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF ，BF 并延长，分别交椭圆于C ，D 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2＝mk 1？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，则c ＝a 2－b 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AF ⊥x 轴时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12，F (3，0)．则k BF ＝143，直线BD 的方程为y ＝143(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝143(x －3)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得13x 2－23x －45＝0，因为x ＝－3是该方程的一个解，所以点D 的横坐标x D ＝15313，则y D ＝126，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫15313，126.所以k 2＝126＋1215313－3＝723，又k 1＝123，所以k 2＝7k 1，即m ＝7. ②当AF 与x 轴不垂直时，设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，k 1＝y 0x 0，又F (3，0)，所以直线AF 的方程为y ＝y 0x 0－3(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－3(x －3)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(7－23x 0)x 2－83y 20x －7x 20＋83x 0＝0. 因为x ＝x 0是该方程的一个解，所以点C 的横坐标x C ＝83－7x 07－23x 0.又点C (x C ，y C )在直线y ＝y 0x 0－3(x －3)上，所以y C ＝y 0x 0－3(x C －3)＝－y 07－23x 0，从而点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫83－7x 07－23x 0，－y 07－23x 0，所以k 2＝y 07＋23x 0－－y 07－23x 083＋7x 07＋23x 0－83－7x 07－23x 0 ＝14y 02x 0＝7k 1，即m ＝7.综合①②可知，存在m ＝7，使得k 2＝7k 1.5．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)．(1)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值； (2)若λ＝12，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )；(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数λ的取值范围． (1)解 f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(1)＝1且f (1)＝0，所以函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1，从而g ′(1)＝2λ＝1，即λ＝12.(2)证明设函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝ln x ＋1－x .设p (x )＝ln x ＋1－x ，从而p ′(x )＝1x－1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，所以p (x )＝ln x ＋1－x ≤p (1)＝0，即h ′(x )≤0，因此函数h (x )＝x ln x －12(x 2－1)在[1，＋∞)上单调递减，即h (x )≤h (1)＝0，所以当x ≥1时，f (x )≤g (x )成立． (3)解设函数H (x )＝x ln x －λ(x 2－1)，x ∈[1，＋∞)，从而对任意x ∈[1，＋∞)，不等式H (x )≤0＝H (1)恒成立．又H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，当H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≤0，即ln x ＋1x≤2λ恒成立时，函数H (x )单调递减．设r (x )＝ln x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，则r ′(x )＝－ln x x2≤0，所以r (x )max ＝r (1)＝1，即2λ≥1，所以λ≥12，符合题意；当λ≤0时，H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ≥0恒成立，此时函数H (x )单调递增．于是，不等式H (x )≥H (1)＝0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，不符合题意；当0<λ<12时，设q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx ，x ≥1，则由q ′(x )＝1x －2λ＝0，得x ＝12λ>1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，q ′(x )＝1x －2λ>0，此时q (x )＝H ′(x )＝ln x ＋1－2λx 单调递增，所以H ′(x )＝ln x ＋1－2λx >H ′(1)＝1－2λ>0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，函数H (x )单调递增．于是当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12λ时，H (x )>0成立，不符合题意．综上所述，实数λ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 6．(2018·苏州调研)已知等差数列{a n }的前2m －1项中，奇数项的和为56，偶数项的和为48，且a 2＝3(其中m ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若ak 1，ak 2，…，ak n ，…是一个等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，求数列{k n }的通项公式； (3)若存在实数a ，b ，使得a ≤(n －1)a n 3n≤b 对任意n ∈N *恒成立，求b －a 的最小值．解 (1)由题意，a 1＋a 2m －12·m ＝56，a 2＋a 2m －22·(m －1)＝48，因为a 2＋a 2m －2＝a 1＋a 2m －1，所以mm －1＝76，解得m ＝7. 所以a 1＋a 13＝16，因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12，且a 2＝3，所以a 12＝13.设数列{a n }的公差为d ，则10d ＝a 12－a 2＝10，所以d ＝1.所以a 1＝2，通项公式a n ＝n ＋1(n ∈N *)． (2)由题意，ak 1＝a 1＝2，ak 2＝a 5＝6，设这个等比数列的公比为q ，则q ＝a 5a 1＝3. 那么ak n ＝2×3n －1，另一方面ak n ＝k n ＋1，所以k n ＝2×3n －1－1(n ∈N *)．(3)记c n ＝(n －1)a n 3n＝n 2－13n ，则c n ＋1－c n ＝(n ＋1)2－13n ＋1－n 2－13n ＝－2n 2＋2n ＋33n ＋1. 因为n ∈N *，所以当n ≥2时，－2n 2＋2n ＋3＝－2n (n －1)＋3<0，即c n ＋1<c n ，又c 2－c 1＝13>0，所以当n ＝2时，c n 取最大值c 2＝13，所以b ≥13.又c 1＝0，当n >1时，c n >0，所以当n ＝1时，c n 取最小值c 1＝0，所以a ≤0. 综上，b －a 的最小值为13.。

江苏省2019高考数学总复习优编增分练：高考解答题分项练(七)数列(A)

七)数列(A)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由；(3)若对于数列{b n }及任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4，两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝22－n(n ∈N *)．(2)解由于数列{d n }是常数列，d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数，则2－log C 2＝0，由C >0且C ≠1，解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ＋22，① 当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ＋12，②②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ＋14，③由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，－18为公差的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3na n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2.又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3na n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解由(1)知3na n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，所以S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋(－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(3－2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，所以13S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(5－2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋(3－2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(3－2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，所以S n ＝n3n .(3)解假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p＋r3r . 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减．又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2，所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解唯一确定)．综上可知，存在正整数p ＝1，q ＝2，r ＝3，使得S p ，S q ，S r 成等差数列． 3．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”． (1)若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{b n }是否为“和等比数列”，并给出证明；(2)若数列{c n }是首项为c 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，试探究d 与c 1之间的等量关系．解 (1)数列{b n }为“和等比数列”，证明如下：因为数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，因此b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }为“和等比数列”． (2)设数列{c n }的前n 项和为R n ，且R 2nR n＝k (k ≠0)．因为数列{c n }是等差数列，所以R n ＝nc 1＋n (n －1)2d ，R 2n ＝2nc 1＋2n (2n －1)2d ，所以R 2n R n ＝2nc 1＋2n (2n －1)2dnc 1＋n (n －1)2d＝k 对于n ∈N *都成立，化简，得(k －4)dn ＋(k －2)(2c 1－d )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧(k －4)d ＝0，(k －2)(2c 1－d )＝0，因为d ≠0，所以k ＝4，d ＝2c 1，因此d 与c 1之间的等量关系为d ＝2c 1.。

2019高考江苏数学优编增分练：高考解答题分项练(全WORD,全解析)(一)

(一)三角函数与解三角形1．(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q .已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314. (1)求cos 2α的值；(2)求2α－β的值．解 (1)因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. (2)因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314. 又因为β为锐角，所以cos β＝1314. 因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝ 437×1314－17×3314＝32. 因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<π2，又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2，所以2α－β＝π3.2．已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值．解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x ) ＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －cos 2x 2＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0，又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154，此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6＝－14×32＋154×12＝15－38. 3．(2018·江苏省泰州中学月考)已知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－cos x . (1)求f (x )在[]0，π上的最小值；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，b ＝53，cos A ＝35，且f (B )＝1，求a 的长．解 (1)f (x )＝3⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7π6， ∴当x ＝π时，f (x )min ＝－12.(2)∵当x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )有最大值1，又f (B )＝1，B 是三角形的内角，∴B ＝π3， ∵cos A ＝35，A 是三角形的内角，∴sin A ＝45. 由a sin A ＝b sin B，得a ＝8. 4．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6－cos C ＝12. (1)求角C 的大小；(2)若c ＝23，求当△ABC 的周长最大时三角形的面积．解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6－cos C ＝32sin C ＋12cos C －cos C ＝32sin C －12cos C ＝sin ⎝⎛⎭⎫C －π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝12，因为C ∈(0，π)，所以C －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，所以C －π6＝π6，即C ＝π3. (2)因为C ＝π3，c ＝23，由余弦定理得， (23)2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即12＝(a ＋b )2－3ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以(a ＋b )2≤48,0<a ＋b ≤43，当且仅当a ＝b ＝23时，△ABC 的周长取得最大值，此时三角形的面积为12ab sin C ＝12×23×23×sin π3＝3 3.。

2019高考江苏数学优编增分练：高考解答题分项练(四) Word版含解析

(四)解析几何1．(2018·苏州市高新区一中考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .(1)若点P 的坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2)延长AF 交椭圆C 于点Q ，已知椭圆的离心率为22，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的m 倍，求实数m 的值．解 (1)因为点P (3，1)，所以k OP ＝13，又因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2，又点P (3，1)在椭圆C 上，所以3a 2＋1b2＝1，解得a 2＝133，b 2＝134. 故椭圆方程为x 2133＋y 2134＝1. (2)因为e ＝c a ＝22，即a 2－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12. 又因为k AQ k BQ ＝y Q －b x Q ·y Q ＋b x Q ＝y 2Q －b 2x 2Q ＝－b 2a2，所以m ＝k OP k BQ ＝－1k AQ k BQ ＝a 2b 2＝2.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)求证：直线PQ 的斜率为定值．(1)解因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1. 由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧ y ＝－12x ，x 24b 2＋y 2b 2＝1，得A ⎝⎛⎭⎫－2b ，22b . 又AB ＝210，所以OA ＝10，则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1. (2)证明由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1， A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，。

2019高考江苏数学优编增分练：高考解答题分项练(八) Word版含解析

(八)数列(B)1．(2018·江苏金陵中学期末)设数列{a n }的前n 项的和为S n ，且满足a 1＝2，对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝(p －1)S n ＋2(其中常数p >1)，数列{b n }满足b n ＝1nlog 2(a 1a 2…a n )． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若p ＝222017，求b 2 018的值；(3)若∃k ∈N *，使得p ＝2221k +，记c n ＝⎪⎪⎪⎪b n －32，求数列{c n }的前2(k ＋1)项的和． (1)证明因为∀n ∈N *，都有a n ＋1＝(p －1)S n ＋2， a n ＋2＝(p －1)S n ＋1＋2，所以两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝(p －1)a n ＋1，即a n ＋2＝pa n ＋1，当n ＝1时，a 2＝(p －1)a 1＋2＝pa 1，所以a n ＋1＝pa n (n ∈N *)，又a 1＝2，p >1，所以{a n }是以2为首项，p 为公比的等比数列．(2)解由(1)得a n ＝2p n －1.b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝ 1n log 2(1)22n n n p -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n (n －1)2 017 所以b 2 018＝2.(3)解由(1)得a n ＝2p n －1. b n ＝1n log 2(a 1a 2…a n )＝ 1n log 2(1)22n n n p -⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 1n log 2(1)2122n n n k -+⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦＝1＋n －12k ＋1.因为b n －32＝2n －2k －32(2k ＋1)，所以当1≤n ≤k ＋1时，c n ＝32－b n ，当n ≥k ＋2时，c n ＝b n －32. 因此数列{c n }的前2(k ＋1)项的和T 2k ＋2＝－(b 1＋b 2＋…＋b k ＋1)＋(b k ＋2＋b k ＋3＋…＋b 2k ＋2)＝－0＋1＋…＋k 2k ＋1＋ (k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋2k ＋12k ＋1＝－k (k ＋1)22k ＋1＋ (k ＋1)(k ＋2k ＋2)22k ＋1＝(k ＋1)22k ＋1. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)．(1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列， a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k ) ＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2。