量子力学一二三章填空简答公式汇总
量子力学习题
的表达式。 10. 写出在
表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12.
的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13. 写出电子自旋
的二本征态和本征值。 14. 给出如下对易关系：
15.
、
分别为电子的自旋和轨道角动量，
为电子的总角动量。证明：
，[
]=0，其中
。 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为
的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应 的本征值又是什么？
21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量
有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）
计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态
可用一组力学量完全集的共同本征态
展开：
， 写出展开式系数
粒子体系的波函数。
二、计算题
（一）.已知厄密算符
，满足
，且
，求 1、在A表象中算符
、
的矩阵表示； 2、在B表象中算符
的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
（二）. 设氢原子在
时处于状态
，求 1、
时氢原子的 、 和 的取值几率和平均值； 2、 时体系的波函数，并给出此时体系的 、 和 的取值几率和平均值。
（十三）、
（1）力学量算符 满足最简单的代数方程为 ，其中 、 、…为常数，试证明 有 个本征值，它们都是方程 的根。 （2）若以 和 表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基 本对易式： ，且
， ，以 表示该单粒子态上的粒子数算符，利用（1）的结论，求 的本征值。
（十四）、
有一带电荷 质量 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
量子力学常用数学公式
ℏ2 ℏ2 * =− ∇ ⋅ (ψ ∇ψ )dτ + ∇ψ * ∇ψdτ ∫∫∫ ∫∫∫ 2m 2m
又 AB 沿界面的投影 c 也是常数，因而
α ，α
1
2
存在约束条件：
atg α 1 + btg α 2 = c
求(1)的变分,而将
（2） 看作能独立变化的,有以下极值条件 (3)
α ,α
1
2
δI = n1 a secα 1 tg α 1 dα 1 + n2 b secα 2 tg α 2 d α 2 = 0
∫
∫
∞
0
sin 2 ax πa dx = 2 2 x
∞
(16)
0
xe − ax sin bxdx =
2ab (a + b 2 ) 2
2
(a > 0)
∫
∞
0
xe − ax cos bxdx =
a 2 −b 2 (a 2 + b 2 ) 2
(a > 0)
第二章：函数与波动方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 V ( x) =
(3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系 .计算速度 并证明它大于光速. (解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:
⋅
q
=
i
∂H ∂
⋅
p
,本题中
i
q
i
= v,
p = p ,因而
i
v=
∂ m 2c 4 + c 2 p 2 = ∂p
c2 p m 2c 4 + c 2 p 2
再求（2）的变分 (3)与(4)消去 d
量子力学公式
(2)
(3)
都是常数,总动量平方 总能量是:
=
=
但 正整数.
#
[3]平面转子的转动惯量为 ,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角 ）决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量 ,但 是角速度,能量是
利用量子化条件,将 理解成为角动量, 理解成转角 ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
(1)
又利用量子化条件,令 电荷角动量 转角
(2)
即 (3)
由(1)(2)求得电荷动能=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能= , 是电荷的旋转频率, ,代入前式得
运动电荷的磁势能= (符号是正的)
点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )
#Hale Waihona Puke [5]对高速运动的粒子(静质量 )的能量和动量由下式给出:
(1)
(2)
试根据哈密顿量 (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: ,本题中 , ,因而
(4)
从前式解出 (用 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.
其次求粒子速度 和它的物质波的群速度 间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方,又用 于(3)式左方,遍除 :
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为 则 这将导得下述折射定律
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有 ，你怎样解决矛盾？
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
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8.波长增量A X=X z -X随散射角增大而增大.这一现象称为康普第一章知识点:1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等 时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
4. 光电效应…光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率vO 只有当光的频率大于某一定值vO 时，才有光电子发射 出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的 这一•频率V0称为临界频率。
2.光电子的能量只是与照射光的频率有关,与光强无关, 光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v 0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；b.黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和 吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的 发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下：［E=hv=ha ） 把光子的波动性和粒子性联系了起来\Eh v h _p=—h ———n=—n=—n = tikICC2XIngA2 = 220 sin 2 — 其中 20 = ------- = 2.4 x I 。
-" cm称为电子的 Compton 波长。
m 0C散射波的波长入'总是比入射波波长长（V >入）且随散射角0增大而增大。
9. 波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念. 10. 德布罗意：假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hvn v = E/hP = h/X=>X = h/p该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：T = A exp —(p»r — Et)\ I de Broglie 关系：v = E/h n(0 = 2K v = 2丸E/h = E/力2 = h/p =>k = 1/ X = 2冗 / 4 =p 〃第二章知识点：.1.描写自由粒子的平面波波函数: T = Aexp -(p»r-Et) h2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数 目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r 点附近的几率.3. |W (r)|2的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。
量子力学基本知识点总概括
En 1 n 0*H ˆ n 0d
En 2
l
'E H n 0ln -H E ln (0)ll
'En H 0n -E 2ll0
H'nm n 0*H ˆm 0d
实际应用：案例（习题集二、25-27）
例转1动P惯18量0求为电I、介电质偶的极极矩化为率D 。的空间转子处在均匀电场中的
能量。
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五个基本假设
• 公设一：量子力学对物质系统的描述方式。微观体系的运动状 态由相应的波函数(r,t)完全描述，归一化的波函数是几率波 振幅；
• 公设二：量子力学对物质系统的运动状态规律。微观体系的运 动状态波函数(r,t)随时间变化的规律遵从薛定谔方程；
• 公设三：量子力学对物质系统的力学量的描述方式。微观体系 的力学量由相应的线性厄米算符表示。基本对应关系是： x ，p 。完全确定一个系统的状态需要一组完全的力 学量集合，代表它们的算符两两对易；
问题。O r * r r,tO ˆ rr r,td r r=c n2n n
如：1.用直接积分法和周期性边界条件求轨道
角动量的
Lˆz
i
Z分量算符的本征值和本
征态，并求本征态的归一化常数。2.无限深势
阱波函数。
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表象问题
比如：
Fmn mFˆ n
F11
F21
Fn1
F12 F22
• 公设四：量子力学对物质系统的力学量的确定方法。它们之间 有确定的对易关系（称为量子条件），因此力学量算符由其相 应的量子条件确定；
• 公设五：量子力学对全同多粒子系统的波函数的特点。全同的 多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性， 玻色子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 返回
《量子力学概论》第一、二章知识点总结和习题解答
§5. 函 数势
§6. 有限深方势阱
小结
1、定态薛定谔方程（能量本征值方程）： 2 d 2 V E .
2m dx2
定态波函数： 一般解可由定态解叠加而成：
系数由初始波函数确定：
2、一维典型例子 （a)一维无限深势阱
能量本征函数和能量本征值为
0
20
1 [xsin2x - 1
2
2
a
s
0
in2
xdx]0a
1 [xsin2x 2
1 2
c os 2x]0a
解：（a)
角频率是
振幅是
解：（a)
（b)
解：（a)
解：由 有
解：（a) （b)
（b)
（c)
（d)
解：
2
解：
解：（a)
（b) （c)
（d)
解：（a) （b)
x x (x,t) 2dx.
x *xdx,
动量 ( p mv)的平均值:
p
dx m
dt
i
*
x
dx.
任一力学量 Q(x, p) 的平均值:
p
*
i
x
dx.
Q(x, p)
*Q
x,
i
x
dx.
4、海森堡不确定原理
p h 2 .
x p 2 ,
粒子的位置和动量不能同时准确测定,或者说不存在粒子的位置和动量同时 取确定值的状态。粒子的位置越精确,它的动量就越不精确。
（c)
（2.100） （2.103）
（d)
解：（a) （b)
（c)
量子力学公式
量子力学常用积分公式 (1)dx e x an e x a dx e x axn ax n axn ⎰⎰--=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e axax-+=⎰ (3) =⎰axdx e axcos )sin cos (22bx b bx a ba e ax++ (4)ax x a ax aaxdx x cos 1sin 1sin 2-=⎰ (5) =⎰axdx x sin 2ax a xaax a x cos )2(sin 2222-+ (6)ax a xax a axdx x sin cos 1cos 2+=⎰(7ax a a x ax ax axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=⎰))ln(2222c ax x a ac c ax x ++++ (0>a ) (8)⎰=+dx c ax 2)arcsin(222x c a ac c ax x --++ (a<0) ⎰20sin πxdx n2!!!)!1(πn n - (=n 正偶数)(9) =⎰20cos πxdx n!!!)!1(n n - (=n 正奇数) 2π(0>a ) (10)⎰∞=0sin dx xax2π- (0<a ) (11))1!+∞-=⎰n n ax a n dx x e (0,>=a n 正整数) (12)adx e ax π2102=⎰∞-(13) 121022!)!12(2++∞--=⎰n n ax n a n dx e x π(14)1122!2+∞-+=⎰n ax n an dx e x (15)2sin 022adx xax π⎰∞= (16)⎰∞-+=222)(2sin b a abbxdx xe ax (0>a )⎰∞-+-=022222)(cos b a b a bxdx xeax(0>a )第二章：函数与波动方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:⎰=nh pdq在量子化条件中,令⋅=x m p 为振子动量,x q = 为振子坐标,设总能量E则 22222x m m P E ω+= )2(222x m E m p ω-=代入公式得:nh dx x m E m =-⎰)2(222ω量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA 的四倍,要决定振幅a ,注意在A 或B 点动能为0,2221a m E ω=,(1)改写为:nh dx x a m aa=-⎰-222ω (2)积分得:nh a m =πω2遍乘πω21得 ωπωηn h E ==2[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t 而不用位移x ,按题意振动角频率为ω,直接写出位移x ,用t 的项表示:t a x q ωsin ==求微分:tdt a dx dq ωωcos == (4) 求积分:t ma x m p ωωcos ==⋅(5) 将(4)(5)代量子化条件:nh tdt ma pdq T==⎰⎰0222cos ωω T 是振动周期,T=ωπ2,求出积分,得nh a m =πω2 ωπωηn n h E ==2 3,2,1=n 正整数 #[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,c b a(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如ppxx-→),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:pp n q p xax xxxa dx h d 220===⎰⎰ (1) pp n q pyby y y ybdy h d 22===⎰⎰ (2)pp n q p zcz z z zc dz hd 22===⎰⎰(3)pp p zyx,,都是常数,总动量平方222z y x p p p p ++=总能量是:)(2122222z y x p p p mm p E ++===])2()2()2[(21222ch b h a h m n n n z y x ++ =])()()[(82222cb a m h n n n z y x ++ 但3,2,1,,=n n n z y x 正整数.#[3] 平面转子的转动惯量为I ,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角ϕ）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量I ω,但⋅=ϕω是角速度,能量是221ωI =E 利用量子化条件,将p 理解成为角动量,q 理解成转角ϕ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有nh d pdq =I =I =⎰⎰ωπϕωπ220(1)(1) 说明ω是量子化的(2)I=I =ηn nh πω2 (3,2,1=n ……..) (2) (3) 代入能量公式,得能量量子化公式:I=I I =I =2)(2212222ηηn n E ω (3)#[4]有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:rmv c Bev 2= (1) 又利用量子化条件,令=p 电荷角动量 =q 转角ϕnh mrv mrvd pdq ===⎰⎰πϕπ220(2)即 nh mrv = (3) 由(1)(2)求得电荷动能=mcnBe mv 2212η=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=c B r ev c c *****2π==场强线圈面积电流场强磁矩,v 是电荷的旋转频率, rvv π2=,代入前式得运动电荷的磁势能=mcnBe 2η (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mcnBe 2η ( 3,2,1=n )#[5]对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出:2221c v mc E -=(1)2221c v mv p -=(2)试根据哈密顿量 2242p c c m E H +== (3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:pqiiH ∂∂=⋅,本题中v q i=⋅,p pi=,因而224222242pc c m p c p c c m pv +=+∂∂= (4)从前式解出p (用v 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v 和它的物质波的群速度vG间的关系.运用德氏的假设: k p η=于(3)式右方, 又用ωη=E 于(3)式左方,遍除h :)(22242k k c c m ωω=+=η按照波包理论，波包群速度vG是角频率丢波数的一阶导数：22242k c c m kv G +∂∂=η =22422222422pc c m p c k c c m kc +=+η最后一式按照（4）式等于粒子速度v ，因而v vG=。
量子力学总复习
n n n Nn Nn Nn e
x y z x y z
2 r 2 2
Байду номын сангаас
H nx ( x) H n y ( y ) H nz ( z )
12、势垒贯穿 隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯 穿势垒的现象，称为隧道效应。
需掌握知识点
1、掌握定态的概念；定态的性质。
几 个 重 要 概 念
本征函数
n N ne
n
x
H n ( x)
Nn
n!
,
11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中） 三维各向同性谐振子的能级和波函数。
3 Enx ny nz nx n y nz 2
nx , n y , nz 0,1,2,
H mn
2 0
E n Em
m,m n
0
H mn
0
1, m n
0 m
En En H nn
0
m,m n
0 ˆ 0 m H mn H n
En Em 0 * ˆ 0 m (r )H n (r )d
( A) ( S ) 1M s A ( S ) ( A) 00
5、角动量（轨道和自旋）
ˆL ˆ i L ˆ L ˆS ˆ i S ˆ S
2 ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z 4
对两个Fermi子体系:
M s 0, 1
2 n x n ( x) sin ,0 x a a a
es4 es2 En 2 2 2 2 2 n 2n a0
量子力学 题纲
一． 量子力学基本原理原理1 态与波函数● 微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。
波函数一般应满足连续性，有限性和单值性三个条件。
● 数学上，波函数是希尔伯特空间中的矢量。
相差一个复数因子的两个矢量，描写同一状态。
波函数归一化。
● 波函数的几率解释。
z y x ∆∆∆2)(r ψ：在r 点处的体积元d x y z τ=∆∆∆中找到粒子的概率。
● 定义一个量子体系的任意两个波函数ψ 与ϕ 的内积⎰=ϕψτϕψ*d ),(,原理2 力学量与算符● 描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符。
● 如果在经典力学中有相应的力学量，在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p 换成算符∇- i 得出：位置算符r r →，动量算符∇-=→ i ˆpp ， 角动量∇⨯-=⨯=r pr Li ˆˆ。
直角坐标分量表示。
角动量算符Lˆ的模方(L ˆ的平方)：22222ˆˆˆˆˆˆˆzy x L L L L ++=⋅==L L L . 角动量在球面坐标系的表示：]sin 1)sin (sin 1[ˆ222ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂-= Lϕ∂∂-= i ˆz Lθθθθθ222sin ˆ)sin (sin ˆz L L +∂∂∂∂-= ● 厄密算符的定义,性质和运算规则：算符Aˆ的复共轭算符*ˆA ，算符A ˆ的转置算符~ˆA ，)*ˆ*,()ˆ,(~ψϕϕψA A = 算符A ˆ的厄米共轭算符或伴随算符+A ˆ：),ˆ()ˆ,(ϕψϕψA A=+， 厄米算符（自伴算符）：AAˆˆ=+ 厄米算符的本征值必为实数，厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
厄米算符的本征函数组成正交归一函数系。
厄米算符所有本征函数组成的函数系构成完备系。
● 算符Aˆ的本征值方程 n n nA A ψψ=ˆ● 物理量所能取的值，是相应算符的本征值。
如果用测量仪器测量这个力学量的取值，则只能测得其本征值。
量子力学第三章算符及量子力学主要知识点复习资料
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv =（3.1-1）ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =，3v =(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx ，x dx ∞-∞，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGuGFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆF Fv FF v v --==，从而由ˆFv af =得：1ˆF af υ-=。
量子力学总结(总)
ˆ 的平均值 F 不随时间而变化,则称 F 力学量 F ˆ 在运动中守恒。 为运动积分，或 F
9、守恒量与定态的异同
10、位力(维里）（Virial）定理
定态的系统的动能平均值与势能平均值之间的关系：
2T r V
11、 对易子的计算 12、 Hellmann-Feynman定理及应用
在阱外（ x a ，经典禁区） 2
d2 2m 2 (V0 E ) 0 2 dx
~ e x
Ae x , x a 2 x 其中 2m(V0 E ) Be , x a 2
在阱内（ x a 2，经典允许区）
d2 2m E 2 0 2 dx
6. 反散射问题
7.力学量平均值随时间变化
dF F 1 ˆ ˆ [F , H ] dt t i
8.守恒量的概念、守恒量的特点、守恒条件
量子力学中的守恒量指：
ˆ 不显含时间 A
ˆ 对易 而且与H
ˆ A 0 t ˆ, H ˆ]0 [A
守恒量的性质:
①平均值不随时间变化
②测值几率分布不随时间变化
4、原子结构与Bohr旧量子论 1.原子具有能量不连续的定态的概念。 2.量子跃迁的概念.
3.电子的角动量L只能取的整数倍，即 L n 其中 n 1,2,3
5. de. Broglie关系: • E = hν • P = h/λ 平面波波函数
A e xp[ i (k r t )] i A e xp ( p r Et )
2
R S 1
2
2
Ⅰ
Ⅱ
一维方势垒
Ⅲ
对于E V0
量子力学复习提纲.doc
量子力学复习提纲.doc量子力学复习提纲一、简答题1、什么是黑体？答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2、简述光的波粒二象性。
答：吸收、发射以微粒形式，传播 c 。
描述波动性的力学量λν,与描述粒子的力学量p E ,之间的联系为νh E =，λhp =。
3、试简述Bohr 的量子理论。
答：（1）定态假设：电子只能在一组特殊的轨道上运动，在这组轨道上电子处于稳定状态，简称定态。
（2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射频率满足：νh E E n m =- 。
（3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必须是h 的整数倍。
4、简述德布罗意假设。
答：具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。
νh E =，λhp =。
5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?答：由基本假设ph =λ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6、波函数模的平方()2,t r ψ的物理意义是什么？答：()2,t r ψ表示在t 时刻r 点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。
7、按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。
答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。
8、简述态叠加原理。
答：若n ψψψ,,,21 是体系的可能状态，则n n C C C ψψψψ+++= 2211也是体系的可能状态。
这一结论称为态叠加原理。
9．何谓定态？答：能量具有确定值的状态称为定态。
它用定态波函数()()iEte r t r -=ψψ,描写。
10、简述定态的特性。
答：定态的特性有：①能量具有确定值。
②几率密度及几率流密度不随t 变化。
③任何力学量（不含t ）的平均值不随t 变化。
④任何力学量（不含t ）取各种可能测量值的几率分布不随t 变化。
11、简要解释一维线性谐振子的零点能。
答：一维线性谐振子的零点能为ω 210=E ，它是谐振子基态的能量，是一种量子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅ 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2λhm p ==v3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
《量子力学》考研基础概念汇总
《量子力学》题库一、 简答题 1试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义答：微观粒子的能量和动量分别表示为：ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。
等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。
试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。
或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。
5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。
在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
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1.如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，这种物体称为“绝对黑体”，简称“黑体”
黑体辐射公式：dv e
c
hv dv T
k hv v B 1
1833-⨯
=πρ 量子论的创始人：“普朗克”；普朗克常量：S J h .1062559.634-⨯= 2.“光电效应”适当光照射在金属上时，有电子从金属中逸出。
这种电子称为光电子。
爱因斯坦光电效应方程：0
2
e m 2
1W hv v m -=
德布罗意波长公式：mE
h p h 2==
λ 3.“波函数”微观粒子所对应波动性的函数。
波函数的统计解释：
① 波函数始终是复数)...t z y x （ψ； ② 完全描述微观粒子的运动状态；
③ ψC 与ψ可以描述同一个微观粒子的状态。
4.态叠加原理：
① 如果ψ1和ψ2是体系可能的状态，那么，它们的线性叠加：
2211ψψψC C +=（C1,C2是复数）也是这个体系的一种可能状态。
也可说
② 当粒子处于态ψ1和态ψ2的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态ψ1，又处于态ψ2
5.定态薛定谔方程：体系处于t h
iE
e r t -=)().r (ψψ所描写的状态时，能量
具有确定值。
6.隧道效应：粒子在能量E 小于势垒高度时，仍能贯穿势垒的现象。
第三章
一、算符的运算规则：
① 如果满足u G u F
ˆˆ=:（算符F ˆ,G ˆ和任意函数u.）则G F ˆˆ= ② 单位算符I ˆ,作用到任意函数u 上，u 不变：u u I =ˆ
③ 算符之和，对于任意函数：u G u F u G F
ˆˆ)ˆˆ(+=+ 结合律：F G G F
ˆˆˆˆ+=+ 交换律：)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(M G F M G F
++=++ ④ 算符乘积：)ˆ(ˆ)ˆˆ(u G F u G F
= 如果
0ˆˆˆˆˆˆ=-=F G G F G F 】，【则算符F ˆ与G ˆ对易 如果F G G F
ˆˆˆˆ≠则算符F ˆ与G ˆ不对易； 如果F G G F
ˆˆˆˆ-=则算符F ˆ与G ˆ反对易。
对易：
1.
0ˆˆ=】，【A A ；]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A -= 2.]ˆ,ˆ/[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A B A B A
λλλ=,λ为常数； 3.*]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A
+=+; 4.*]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B C A C B A
+=+; 5.*]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B A B C A C B A
+=. ⑤ 逆算符：如果I G F ˆˆˆ=：则称F ˆ、G ˆ互为逆算符，记为：G F F G
ˆˆˆˆ11==--，
⑥ 算符F
ˆ的厄米共轭算符十F ˆ： ），（），（十v u F v F u ˆˆ=或ττvd u F vd F u **)ˆ(ˆ⎰
⎰=十 ），（），（），（），（），（十v F
u u F v u F v v u F v F u *
****~ˆˆˆˆˆ==== ⑦ 线性算符：22112211ˆˆ)(ˆu F c u F c u c u c F +=+
（任意函数1u ，2u ;1c ，2c 为任意常数）
二、
1.量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。
如果任意函数ψ，ϕ算符F ˆ满足：x d F x d F ϕψϕψ*
*)ˆ(ˆ⎰
⎰=，则F ˆ为厄米
算符。
2.坐标算符的本征函数：
一维：)('x x x -=δψ
三维：
）（）（）（'
''z z y y x x r ---=δδδψρ
3.动量算符的本征函数： 一维：x p h i p x r e h -=
πψ21)
(ρ
三维：r p h i
p e h
r ϖϖρ-=2
321)(πψ 4.角动量算符的本征函数：p r L
ˆˆˆ⨯= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨
⎧++=-=-=-=2222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
y x x
y z
z x y
y z x
L L L L
P y P x L P x P z L P z P y L 注：z
y x y x L ih L L L L L ih L L ˆˆˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆ?
??=⨯==⨯例如：
5.2ˆL 与...)3.2.1(ˆ=i L i
的对易关系： 0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[222===z
y x L L L L L L
6.角动量分量算符与坐标分量算符对易关系：
ihy x L ihx z L
ihz y L z L y L x L z
y
x
z y x ======],ˆ[],ˆ[],ˆ[0],ˆ[],ˆ[],ˆ[
ihx y L ihz x L
ihy z L z
y
x
-=-=-=],ˆ[],ˆ[],ˆ[
7.角动量各分量算符与动量各分量算符对易关系： y x
z x z y z y x z z y y x x p ih P L p ih P L p ih P L P L P L P L ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[======
x y z z x y y z x p ih P L p ih P L p ih P L ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[-=-=-=。