06章04_证明题

1.难度等级1，定积分计算，性质。

()f x (0,)C ∈+∞，积分值()ab
a f x dx ⎰与a 无关，求证()c f x x
=。

分析 利用变限求导可证． 证 因为()ab
a f x dx ⎰与
a 无关，所以[()]()(
)ab
a f x dx f a bf a
b '=-+=⎰，即
()()b f a b f a
=，特别取1,a b x ==，则有()(1)xf x f =，于是(1)()f c
f x x x
==． 2．难度等级1，定积分计算，无穷小性质。

证明sin 20
()tan x
f x t dt =⎰是x 的３阶无穷小．
分析 利用变限积分求导公式和等价无穷小可得
证 sin 220
33200
0tan ()tan sin cos 1
lim lim lim 33
x
x x x t dt f x x x x x x →→→⋅⎰
===， 所以sin 20
()tan x
f x t dt =⎰是x 的３阶无穷小．
3．难度等级１，定积分计算，性质．
设02
()0()00
x tf t dt
x F x x x ⎧⎰≠⎪
=⎨⎪=⎩
证明()F x 在0x =处连续．
分析 利用变现积分求导公式可得
证明 因0
0()1
lim ()lim
(0)0(0)22
x x xf x F x f F x →→====，所以()F x 在0x =处连续．
4．难度等级１，定积分计算，性质．
证明
()()()()x
a
d x t f x dx f x f a dx '-=-⎰． 分析 用分部积分公式和变限积分求导公式可得 证明
()()()()x x
a a d d x t f x dx x t df x dx dx '-=-⎰⎰ ()()()()()()x x x a a a d d x t f t f t dt a x f a f t dt dx dx ⎡⎤⎡⎤=-+=-+⎰⎰⎣⎦⎣⎦＝()()f x f a -． 5．难度等级１，定积分计算，性质．
()(.)f x C ∈-∞+∞且0()(2)()x
F x x t f t dt =-⎰，证明若()f x 非增，则()F x 非减．
分析 利用变限积分求导公式可得 证明
000()()()2()()()[()()]0x
x
x
F x f t dt xf x xf x f t dt xf x f t f x dt '=+-=-=-≥⎰⎰⎰
所以()F x 非减．
6．难度等级１，定积分计算，性质．
()()a
a F x x t f t dt -=-⎰，()0f x >且为偶函数，证明()F x '是单增的．
分析 利用变限积分求导公式可得 证明 ()()()x
x
a a g x f t dt f t dt -'=+⎰⎰，
()()()2()0g x f x f x f x ''=+=>，
所以()g x '是严格单调增的． 7. 难度等级１，定积分计算，性质． 证明0()[()()]a
a
a f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰． 分析 利用变量替换可得
8. 难度等级１，定积分计算，性质．
证明00(sin )(sin )2
xf x dx f x dx ππ
π
=
⎰⎰．
分析 利用分部积分公式可得 9.难度等级１，定积分计算，性质．
证明12e
π
≤
分析 利用定积分的绝对值小于绝对值的积分这一性质进行放缩 .证明
112dx e e
π≤≤=
10．难度等级１，定积分计算，性质． 证明2
1
3
2
ln dx
x x
⎰发散． 分析 积分区间分段，计算暇积分 证明 2
12
1
11
3332
211ln ln ln dx dx dx x x x x x x
=+⎰⎰⎰， 而11
1113320012
22
111lim lim ln ln 2ln dx dx x x x x x ε
εεε++--→→⎡⎤==-=∞⎰⎰⎢⎥⎣⎦2
13
2
ln dx x x ∴⎰发散．
11．难度等级１，定积分计算，性质． 证明2
2
2
3xdx
x -⎰-发散． 分析 对积分区间分段，判断广义积分的收敛性 证明
2
2
23xdx x -=⎰⎰⎰-而右边每个积分都发散，
2
2
2
3xdx
x -∴⎰-发散． 12．难度等级１，定积分计算，性质．
证明12dx e
π
≤． 分析 利用定积分的绝对值小于绝对值的积分这一性质进行放缩 证明
(1)
(1)
(1)
e x e x e x ≤≤+++11arctan 12e e e
π≤
=≤
13.难度等级１，定积分计算，性质．
0()(3)()x
F x x t f t dt =-⎰，其中()f x 单增且为奇函数．证明()F x 为奇函数．
分析 利用()f x 的奇性，做变量替换即得 证明
0()(3)()(3)()t u
x
u F x x t f t dt x u f u du =---=--=--+-⎰⎰0(3)()()x
x u f u du F x =--=-⎰ ()F x ∴奇函数．
14.难度等级１，定积分计算，性质．
0()sin x
n F x tdt =⎰，n 为奇数，证明()F x 为偶函数．
分析 作变量替换，代入公式计算即得 证明 0
0()sin sin ()t u
x x
n
n
F x tdt u du =---==--⎰⎰
0sin ()x
n tdt F x ==⎰，
()F x ∴为偶函数．
15．难度等级１，定积分计算，性质．
证明2
3
2
01()()(0)2
a a x f x dx xf x dx
a =>⎰⎰．
分析 作变量替换即得
证明 222
3
2
011()()()22
x t
a
a a x f x dx tf t dt xf x dx ===⎰⎰⎰
16．难度等级１，定积分计算，性质．
02
cos 0
()0
x t tdt x f x x
x ⎧≥⎪⎰=⎨<⎪⎩，证明(0)0f '=. 分析 分别计算左、右导数即得
证明 2
0(0)lim 0,
h h f h -→'-==000cos cosh (0)lim lim 01
h
h h t tdt
h f h ++
→→⎰'+===， (0)0f '∴=．
11
22
1ln ln ()()011x x t u
f x F dt du x t u ∴-=-=⎰⎰++ 18.难度等级１，定积分计算，性质． 利用积分不等式证明1
1ln(1)01x x x
+>>+．
分析 将1
ln(1)x +
表达成定积分形式 证明 11111
1ln(1)11x x x x dt dt x t x x
+++=>=
⎰⎰++． 18. 难度等级１，定积分计算，性质．
证明1
lim 01n
n x dx x
→∞=⎰+．
分析 将被积函数进行放缩即得
证明 11
01011
n n x dx x dx x n <<=⎰⎰++， 10
lim 01n
n x dx x →∞
∴=⎰+．
19．难度等级１，定积分计算，性质．
设(),()[,],()f x g x C a b g x ∈在[,]a b 上不变号， 证明()()()()[,]b b
a a f x g x dx f g x dx a
b ξξ=∈⎰⎰．
分析 积分中值定理
证明 设 ()m f x M ≤≤ 则()()()
()mg x f x g x Mg x ≤≤
()()()()()()()b
b b b a a
a
a
b a f x g x dx
m g x dx f x g x dx M g x dx m M g x dx ⎰∴≤≤⇒≤≤⎰⎰⎰⎰ 由介值定理得
()()()()(,)b
a b
a f x g x dx
f a b
g x dx
ξξ⎰=∈⎰
所以()()()()[,]b b
a
a f x g x dx f g x dx a
b ξξ=∈⎰⎰
20. 难度等级１，定积分计算，性质． 证明曲线sin (02)y x
x π=≤≤的弧长等于椭圆2222x y +=的弧长．
分析分别计算弧长即得。