高中数学三角形四心性质及例题

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

1) O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0;

2) O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA

若O 是 ABC （非直角三角形 ）的垂心，

故

tan AOA tan BOB tan COC 0

2 2 2

3)

O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC |

(或OA

OB OC )

若O 是 ABC 的外心

则 S BOC ：S AOC

：S AOB sin BOC ：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin 2B : sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2COC 4） O 是内

心 ABC 的充要条件是 OA (|A AB B | AC

) OB ( BA AC |BA | |B B C C|) OC (|C CA A | |C C B B |) 0 AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 , e 3 ，则刚才 O 是

ABC

内心的 充 要 条件 可 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3) 0

O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0

若O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ：b ：c

引进单位向量， 使条件变得更简洁。如果

记 sin B OB sin COC

;

以写成 故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA ABC 的内心;

若O 是 ABC 的重心，则

S

BOC

S

AOC

S

AOB

3S

ABC

故

OA

PG 31(PA PB PC)

OB OC

0;

G 为 ABC 的重心 .

则

S BOC ：

S

AOC

： S

AOB

tan A ：tan B ：

tan C

（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例 2 ． H 是△ ABC 所在平面内任一点， HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC 的垂心 . 由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC,

同理 HC AB ，HA BC .故 H 是△ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ） 例 3.（湖南 ）P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ABC 的 （ D ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析:由 PA PB PB PC 得PA PB PB PC 0.

即 PB （PA PC ） 0,即PB CA 0 则 PB CA,同理PA BC,PC AB 所以P 为 ABC 的垂心. 故选 D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及 “数量积为零，则两向量所在直线垂直 ”、三角形垂心 定义等相关知识 .将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及 “数量积为零，则两向量所在直

0） 所在直线过 ABC 的内心 （ 是 BAC 的角平分线所在直

线 ） ； （一）．将平面向量与三角形内心结合考查 例 1 ．O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三 AB AC

） ， AB AC ），

则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ） 个点，动点 P 满足OP OA （ 0, （A ）外心（ B ）内心（ C ）重心（ D ）垂心 解析：因为 AB

是向量 AB

AB 上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ， 基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 的单位向量设 AB 与 AC 方向

又 OP OA ABC

AP ，则原式可化为 AP （e 1 e 2） ，由菱形的

中，AP 平分 BAC ，则知选 B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、 陌

生” ，首先 AB

零向量除以它的模不就是单位向量？ 法、向量的基本定理、菱形的基本性质、 们迁移到一起，解这道题一点问题也没有 是什么？没见过！想想，一个非 AB 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减

角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它 。

线垂直” 等相关知识巧妙结合。

（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例 4． G 是△ ABC 所在平面内一点， 重心.

证明 作图如右，图中 GB GC GE 连结

BE 和 CE ，则 CE=GB ，BE=GC 的中

点， AD 为BC 边上的中线 . 将GB GC GE 代入 GA GB GC =0，

得GA EG =0 GA GE 2GD ，故 G 是△ABC 的重心 .（反之亦然（证略） ）

P 是△ABC 所在平面内任一点 .G 是△ ABC 的重心 PG 1（PA PB PC ）. 3

∵G 是△ ABC 的重心

OA 2OE ，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D 。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：

重

心是三角形中线的内分点，所分这比为 2 。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算

1

与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。 （四）．将平面向量与三角形外心结合考查

例 7若O 为 ABC 内一点， OA OB OC ，则 O 是 ABC 的（ ）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心，选 B 。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 （五）将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量 OP 1 ， OP 2 ， OP 3 满足条件 OP 1 + OP 2 + OP 3 =0，| OP 1 |=| OP 2 |=| OP 3 |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五 B 组第 6题）

1

证明 由已知OP 1 + OP 2 =- OP 3 ，两边平方得 OP 1 · OP 2 = 1，

2

例 5．

证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)

∴GA GB GC =0 AG BG CG =0，即 3PG PA PB PC 由此可得 PG

例 6若O 为 A ．内心 解析：由 OA

（PA PB 3

ABC 内一点， B ．外心 OC 0 PC ） .（反之亦然（证略） ）

OA C ．垂心 OB OC OA ，如图以 OB 、OC

为相邻两边构作 ，则 O 是 ABC 的

（ D ．重心 平行四边形，则 OB OC

得OB

OD ，由平行四边形性质知

OE 21OD

，

E D