(完整版)北师大数学七年级第三章《整式及其加减》全章复习与巩固(基础)

《整式及其加减》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联系.3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律. 4. 理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5. 理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；6. 深刻体会本章体现的主要的数学思想 ----- 整体思想． 【知识网络】【要点梳理】 要点一、代数式诸如：16n，2a+3b，34， n， (a b )2 等式子，它们都是用运算符号2(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：代数式的书写规范： （1） 字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2） 除法运算一般以分数的形式表示； （3） 字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4） 字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5） 如果字母前面的数字是 1，通常省略不写． 要点二、整式的相关概念1. 单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2） 多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次m 项式．3.多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4.整式：单项式和多项式统称为整式．要点三、整式的加减1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3.去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4.添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5.整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．要点四、探索与表达规律寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用. 解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.【典型例题】类型一、代数式cm）（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含 a、b、c 的代数式表示）（2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含 a、b、c 的代数式表示）【思路点拨】（1）根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积，再相加化简可得；（2）根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减，化简可得．【答案与解析】解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料 2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac，答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米．（2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc，答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大 11abc 立方厘米．2x【总结升华】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力，准确表示出各部分的面积或体积是关键．举一反三：2a -b【变式】a +b的意义是（）A.a 与b 差的 2 倍除以a 与b 的和B.a 的 2 倍与b 的差除以a 与b 和的商C.a 的 2 倍与b 的差除a 与b 的和D.a 与b 的 2 倍的差除以a 与b 和的商【答案】B类型二、整式的相关概念2．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．(1) a - 3 1(a +b) h 2(2)5 (3) -ba(4) -y2x(5)3xy (6) (7)m +n5(8)1+a% (9)【答案与解析】解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9) 单项式：(2)、(5)、(6)，其中：5 的系数是 5，次数是 0；3xy 的系数是 3，次数是 2；多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：x的系数是1，次数是 1.a - 3 是一次二项式；x2-y 是一次二项式；m +n5是一次二项式；1+a%是一次二项式；1(a +b) h 是二次二项式. 22【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故a x -b 不是整式；②π是常数而不是字母，故是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如举一反三：m +n5其实质为m+n，5 51(a +b)h 其实质为21ah +12 2bh ．【变式1】(1) -xy3的次数与系数的和是；(2)已知单项式6x2y 的系数是等于单项式-2x m y5的次数，则m＝；(3)若ma n b 是关于a、b 的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n＝．【答案】(1)3 (2)1 (3)-5【变式2】多项式2 y4-y3+ 3y2-y +1是次项式，常数项是，三次项是．【答案】四，五， 1 ，-y3【变式3】把多项式1-3x - 2x3+ 5x2按x 的降幂排列是．【答案】-2x3+ 5x2- 3x +1类型三、整式的加减运算3．（2015•遵义）如果单项式﹣xy b+1 与x a﹣2y3 是同类项，那么（a﹣b）2015=．【答案】1．【解析】解：由同类项的定义可知a﹣2=1，解得 a=3，b+1=3，解得 b=2，所以（a﹣b）2015=1．【总结升华】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入求解即可．举一反三：【变式】若7x a y4与-7x5y b是同类项，则 a＝9，b＝．【答案】5 ， 44．计算【答案与解析】3x2- 2(1- 2x) -[5x2- (4x2- 3x + 6)]解法 1：3x2- 2(1- 2x) -[5x2- (4x2- 3x + 6)]= 3x2- 2 + 4x - (5x2- 4x2+ 3x - 6)= 3x2+ 4x - 2 -x2- 3x + 6= 2x2+x + 4解法 2：3x2- 2(1- 2x) -[5x2- (4x2- 3x + 6)]= 3x2- 2 + 4x - 5x2+ (4x2- 3x + 6)=-2x2+ 4x - 2 + 4x2- 3x + 6= 2x2+x + 4【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．举一反三：【变式1】下列式子中去括号错误的是( )．12 A ．5x －(x －2y ＋5z )＝5x －x ＋2y －5z B ．2a 2＋(－3a －b )－(3c －2d )＝2a 2－3a －b －3c ＋2d C ．3x 2－3(x ＋6)＝3x 2－3x －6 D ．－(x －2y )－(－x 2＋y 2)＝－x ＋2y ＋x 2－y 2【答案】C 【变式 2】化简：-2a+(2a-1)的结果是()． A ．-4a-1 B ．4a-1 C ．1 D ．-1【答案】D 类型四、化简求值5. （1）直接化简代入已知 x = 1， y = -1，求5(2x 2 y - 3x ) - 2(4x - 3x 2 y ) 的值．2（2） 条件求值(烟台)若3x m +5 y 2 与 x 3 y n 的和是单项式，则 m n =．（3） 整体代入已知 x 2-2y ＝1，那么 2x 2-4y+3＝．【答案与解析】解：（1）5(2x 2y-3x)-2(4x-3x 2y)＝10x 2y-15x-8x+6x 2y＝16x 2y-23x当 x = ，y ＝-1 时，2⎛ 1 ⎫21 23 31原式＝16 ⨯ ⎪ ⎝ ⎭⨯(-1) - 23⨯ = -4 - 2 2 = - ．2（2） 由题意知： 3x m +5 y 2 和 x 3 y n 是同类项，所以 m+5＝3，n ＝2，解得，m ＝-2，n ＝2， 所以 m n = (-2)2 = 4 ．（3）因为2x 2 - 4 y + 3 = 2(x 2 - 2 y ) + 3 ， 而 x 2 - 2 y = 1所以2x 2 - 4 y + 3 = 2 ⨯1+ 3 = 5 ．【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系． 举一反三：【变式 1】（2015•娄底）已知 a 2+2a=1，则代数式 2a 2+4a ﹣1 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．﹣2 【答案】B【变式 2】已知-m + 2n = 5 ，求5(m - 2n )2 + 6n - 3m - 60 的值.【答案】5(m - 2n)2+ 6n - 3m - 60 = 5(m - 2n)2+ 3(2n -m) - 60-m + 2n = 2n -m = 5所以，原式= 5⨯ 52+ 3⨯ 5 - 60 = 80 ．类型五、探索与表达规律6.将一张长方形的纸对折，如下图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7 条折痕，那么对折四次可以得到条折痕．如果对折n 次，可以得到条折痕．【思路点拨】对前三次对折分析不难发现每对折 1 次把纸分成的部分是上一次的 2 倍，折痕比所分成的部分数少 1，求出第 4 次的折痕即可；再根据对折规律求出对折 n 次得到的部分数，然后减 1 即可得到折痕条数．【答案】15，2n－1【解析】解：由图可知，第 1 次对折，把纸分成 2 部分，1 条折痕，第2 次对折，把纸分成 4 部分，3 条折痕，第3 次对折，把纸分成 8 部分，7 条折痕，所以，第 4 次对折，把纸分成 16 部分，15 条折痕，…，依此类推，第 n 次对折，把纸分成 2n部分，2n-1 条折痕．故答案为：15；2n-1．【总结升华】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．类型六、综合应用7. 已知多项式(2mx2 -x2 + 3x +1) - (5x2 - 4 y2 + 3x) 是否存在 m ，使此多项式与 x 无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值.【答案与解析】解：原式 = (2m -1- 5)x2+ (3 - 3)x + 4 y2+1= (2m - 6)x2+ 4 y2+1要使原式与x 无关，则需该项的系数为 0，即有2m - 6 = 0 ，所以m = 3答：存在m 使此多项式与 x 无关，此时m 的值为 3.【总结升华】一个多项式不含某项或说与某项无关，都是暗含此多项式中该项的系数为 0.x 4【巩固练习】一、选择题1．（2016•富顺县校级模拟）在-3，π式中，是单项式的个数（ ）2-1，-2 x -2 ， - 1 x 2 y ， -a -1 ， - 六个代数 2 A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 2．（2015•厦门）已知一个单项式的系数是 2，次数是 3，则这个单项式可以是（）A ．﹣2xy 2B ． 3x 2C ． 2xy 3D ． 2x 313.有下列式子： 2 x + yz ， b 2 ， 3x 2 - 2x - 3 ， abc ，0， y x， x ， a + b ab ，对于这些式子下列结论正确的是( )．A. 有 4 个单项式，2 个多项式B. 有 5 个单项式，3 个多项式C. 有 7 个整式D. 有 3 个单项式，2 个多项式4. 对于式子-1.2 ⨯104 x 2 y ，下列说法正确的是()．A ．不是单项式B. 是单项式，系数为-1.2×10，次数是 7C. 是单项式，系数为-1.2×104，次数是 3 D. 是单项式，系数为-1.2，次数是 35．下面计算正确的是 （ ）A ．3 x 2－ x 2=3B ．3 a 2＋2 a 3=5 a 51C ．3＋ x =3 xD ．－0.25 ab ＋ ba =046．2a-(5b-c+3d-e)＝2a□5b□c□3d□e，方格内所填的符号依次是()． A ．+，-，+，-B ．-，-，+，-C ．-，+，-，+D ．-，+，-，-7．某工厂现有工人 a 人，若现有工人数比两年前减少了 35%，则该工厂两年前工人数为( )．aA ．1+ 35%B ．(1+35%)aC ．a 1- 35%D ．(1-35%)a8．若2 y 2 + 3y + 7 的值为 8，则4 y 2 + 6 y - 9 的值是()． A ．2 B ．-17 C ．-7D ．7二、填空题 9．比 x 的 15％大 2 的数是．10．（2015•中江）单项式﹣ x 2y 5 的次数是．x 4 x y2 11． - +3x 2 2+ 7 是 次 项式，最高次项的系数是 ．12．化简：2a-(2a-1)＝．13．如果 a 2 + ab = 4 ， ab + b 2 = -1，那么 a 2 - b 2 =．14．一个多项式减去 3x 等于5x 2 - 3x - 5 ，则这个多项式为 ．15．（2016 春•永春县校级月考）若 与﹣3ab 3-n 的和为单项式，则 m+n=．16．如图所示，外圆半径是 R 厘米，内圆半径是 r 厘米，四个小圆的半径都是 2 厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．三、解答题17．（2014 秋•镇江校级期末）合并同类项①3a﹣2b ﹣5a+2b②（2m+3n ﹣5）﹣（2m ﹣n ﹣5） ③2（x 2y+3xy 2）﹣3（2xy 2﹣4x 2y ）18.已知： A = 2x 2 + 6x - 3 ， B = 1- 3x - x 2 ， C = 4x 2 - 5x -1，当 x = - 3时，求代数2式 A - 3B + 2C 的值. 19. 计算下式的值：(2x 4 - 4x 3 y - 2x 2 y 2 ) - (x 4 - 2x 2 y 2 + y 3 ) + (-x 4 + 4x 3 y - y 3 )x = 1 , y = -1,甲同学把 x = 1 错抄成 x = - 1，但他计算的结果也是正确的，你能说4 4 4明其中的原因吗？20. 某农场有耕地 1000 亩，种粮食、棉花和蔬菜. 其中蔬菜用地 a 亩，粮食用地比蔬菜用地的 6 倍还多 b 亩，求棉花用地多少亩？当 a=120，b=4 时，棉花用地多少亩？【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A【解析】解：﹣3，﹣x 2y 是单项式.注意-2 x -2 是分式,- 是根式．故选：A ．2.【答案】D ．【解析】此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．A 、﹣2xy 2 系数是﹣2，错误；B 、3x 2 系数是 3，错误；C 、2xy 3 次数是 4，错误；D 、2x 3符合系数是 2，次数是 3，正确；故选 D ．3. 【答案】A【解析】单项式有 b ， abc ，0，x ；多项式有 1 x + yz ， 3x 2 - 2x - 3 ，其中 y，a + bab22 x不是整式． 4. 【答案】 C【解析】此单项式的系数是以科学记数法形式出现的数，所以系数为-1.2×104，次数应为 x 与 y 的指数之和，不包括 10 的指数 4，故次数为 3．不要犯“见指数就相加”的错误．所以正确答案为 C ．5. 【答案】D 6．【答案】 C【解析】因为括号前是“－”号，所以去括号时，括号里各项都变号，故选 C ． 7. 【答案】C【解析】把减少前的工人数看作整体“1”，已知一个数的(1-35%)是 a ，求这个数，则a是8. 【答案】C1- 35%，注意列式时不能用“÷”号，要写成分数形式．【解析】 2 y 2 + 3y + 7 = 8 ， 2 y 2 + 3y = 1 ， 4 y 2 + 6 y = 2(2 y 2 + 3y ) = 2 ⨯1 = 2 ，故4 y 2 + 6 y - 9 = -7 ．二、填空题9．【答案】15%x+2； 10. 【答案】7.11.【答案】三， 三 ，- 1 ； 2【解析】多项式的次数取决于次数最高项的次数，确定系数时不要忽视前面的“-” 号．12. 【答案】1；【解析】先根据去括号法则去括号，然后合并同类项即可，2a-(2a-1)＝2a-2a+1＝1． 13. 【答案】5；【解析】用前式减去后式可得 a 2 - b 2 = 5 ．14. 【答案】5x 2 - 5 ；【解析】要求的多项式实际上是(5x 2 - 3x - 5) + 3x ，化简可得出结果．15. 【答案】 4；【解析】解：∵ 与﹣3ab3-n 的和为单项式， ∴2m﹣5=1，n+1=3﹣n ，⎩⎪⎨ 3解得：m=3，n=1．故 m+n=4．故答案为：4．16．【答案】(R2-r2-16)；【解析】阴影部分的面积＝大圆面积-最中间的圆的面积-4 个小圆的面积．三、解答题17.【解析】解：（1）原式=（3a﹣5a）+（﹣2b+2b）=﹣2a；（2）原式=2m+3n﹣5﹣2m+n+5=（2m﹣2m）+（3n+n）+（﹣5+5）=4n；（3）原式=2x2y+6xy2﹣6xy2+12x2y=（2x2y+12x2y）+（6xy2﹣6xy2）=14x2y．18.【解析】⎧A = 2x2+ 6x - 3,⎪2解：∵ ⎨B =-x - 3x +1,⎪C = 4x2- 5x -1.⎧A = 2x2 + 6x - 3, ∴⎪-3B = 3x2 + 9x -3,⎪2C = 8x2 -10x - 2.⎩∴A - 3B + 2C = 13x2+ 5x - 8 当x =-时，2A - 3B + 2C = 13⨯(-3)2 + 5⨯(-3) - 8 = 13⨯9-15- 8 =117-30- 8 = 133.2 2 4 2 4 4 419.【解析】解：(2x4- 4x3y - 2x2y2 ) - (x4- 2x2y2+y3 ) + (-x4+ 4x3y -y3 ) 2x4- 4x3y - 2x2y2-x4- 2y32x2y2y3-x4+ 4x3y -y3∵化简结果与x 无关∴将x 抄错不影响最终结果．20.【解析】解：棉花用地：1000－a－(6a＋b)＝(1000－7a－b)亩.当 a＝120，b＝4 时，原式＝1000－7×120－4＝156(亩).答：棉花用地(1000-7a-b)亩.当 a=120，b=4 时，棉花用地为 156 亩.⎪。