【配套K12】2018年秋高中数学课时分层作业7二项式定理新人教A版选修2_3

课时分层作业(七) 二项式定理

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．化简多项式(2x ＋1)5

－5(2x ＋1)4

＋10(2x ＋1)3

－10(2x ＋1)2

＋5(2x ＋1)－1的结果是( )

A ．(2x ＋2)5

B ．2x 5

C ．(2x －1)5

D ．32x 5

D [原式＝[(2x ＋1)－1]5

＝(2x )5

＝32x 5

.]

2．已知⎝

⎛⎭

⎪⎫x －1x 7

的展开式的第4项等于5，则x 等于( )

【导学号：95032078】

A.17 B ．－1

7

C ．7

D ．－7

B [T 4＝

C 37x 4⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1x 3

＝5，则x ＝－17.]

3．在⎝

⎛⎭⎪⎪⎫

x 2－13x 8

的展开式中常数项是( )

A ．－28

B ．－7

C ．7

D ．28

C [T k ＋1＝C k 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k

·⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫－13x k

＝(－1)k ·C k 8·⎝ ⎛⎭

⎪⎫128－k

·x 8－4

3k ， 当8－43k ＝0，即k ＝6时，T 7＝(－1)6·C 6

8·⎝ ⎛⎭

⎪⎫122

＝7.]

4．在⎝

⎛⎭⎪⎫

x 2

－2x 6

的二项展开式中，x 2的系数为( )

A ．－154

B.15

4

C ．－38

D.38

C [T k ＋1＝C k

6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－k

·⎝

⎛⎭⎪⎫－2x k

＝(－1)k 22k －6·C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，则k ＝1，所以x 2

的

系数为(－1)1×2－4×C 1

6＝－38

，故选C.]

5．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若51

2 018

＋a 能被13整除，则a ＝( )

【导学号：95032079】

A ．0

B ．1

C ．11

D ．12

D [51

2 018

＋a ＝(13×4－1)

2 018

＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，51

2 018

＋a 能被13整除．]

二、填空题

6．(1－i)10

(i 为虚数单位)的二项展开式中第7项为________． －210 [由通项公式得T 7＝C 6

10·(－i)6

＝－C 6

10＝－210.]

7．(1＋x )3

＋(1＋x )4

＋…＋(1＋x )10

展开式中x 3

的系数为________.

【导学号：95032080】

330 [x 3

的系数为C 3

3＋C 3

4＋C 3

5＋…＋C 3

10＝C 4

4＋C 3

4＋C 3

5＋…＋C 3

10＝C 4

11＝330.]

8．如果⎝

⎛⎭

⎪⎫3x 2＋1x n

的展开式中，x 2

项为第3项，则自然数n ＝________.

8 [T k ＋1＝C k n (3x 2)n －k ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫1x k

＝C k

n x 2n －5k

3

，由题意知k ＝2时，2n －5k 3

＝2，所以n ＝8.]

三、解答题

9．化简：S ＝1－2C 1

n ＋4C 2

n －8C 3

n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N *

)．

[解] 将S 的表达式改写为：S ＝C 0

n ＋(－2)C 1

n ＋(－2)2C 2

n ＋(－2)3C 3

n ＋…＋(－2)n C n

n ＝[1＋(－2)]n

＝(－1)n

.

∴S ＝(－1)n

＝

.

10．记⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m .

(1)求b m 的表达式；

(2)若n ＝6，求展开式中的常数项； (3)若b 3＝2b 4，求n .

【导学号：95032081】

[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n

的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1

·⎝ ⎛⎭

⎪

⎫1x m －1

＝2n ＋1－m

·C m －1

n ·x n ＋2－2m

，

所以b m ＝2

n ＋1－m

·C m －1

n .

(2)当n ＝6时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n

的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(2x )6－k ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x k

＝26－k ·C k 6·x 6－2k .

依题意，6－2k ＝0，得k ＝3，

故展开式中的常数项为T 4＝23

·C 3

6＝160. (3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2

n －2·C 2n ＝2·2

n －3

·C 3n ，从而C 2n ＝C 3

n ，即n ＝5.

[能力提升练]

一、选择题

1．在⎝

⎛⎭⎪⎪⎫

x ＋13x 24

的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项

D ．6项

C [T k ＋1＝C k 24x 24－k 2·x －k 3＝C k

24·x 12－5

6k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数，所以x 的幂指数有5项是整数项．]

2．使⎝

⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n

(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )

【导学号：95032082】

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

B [T k ＋1＝

C k

n (3x )n －k

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x x k

＝C k n 3n －k x n －52

k

，当T k ＋1是常数项时，n －5

2

k ＝0，当k ＝2，n

＝5时成立．]

二、填空题

3．若⎝

⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5

的展开式中x 5

的系数是－80，则实数a ＝________.

－2 [T k ＋1＝C k

5·(ax 2)5－k

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x k

＝C k 5·a 5－k

x

10－52

k

.令10－5

2

k ＝5，解得k ＝2.又展开式