[理学]2-3 Bonulli试验和直线上的随机游走

k 0 k 0
n
n
k n
p q
k
nk
( p q) 1
n
例1 设一批产品中有a件是次品,b件是正
品.现有放回及不放回地从中抽取了n件产品. 求:事件A={n件产品中恰有k件次品}的概 率,k=0,1,2,…,n.
解: n重伯努利分布,p=a/(a+b)
b(k ; n, p) C p q
分赌注问题
甲、乙两赌徒按某种方式下注赌博，先胜t 局者将赢得全部赌注，但进行到甲胜r局、 乙胜s局(r<t,s<t)时，因故不得不中止，试 问如何分配这些赌注才公平合理？
建议： 1. 用r:s来分配 2.用最终甲乙取胜的概率P甲：P乙来分配
分析：
• • • • 甲若想获胜，需要再胜n=t-r局 乙若想获胜，需要再胜m=t-s局 记A={甲获胜},P(A)=p,P(Ac)=q 甲若想获胜，当甲再胜n局时，乙再胜的局数k<m 局，即A的第n次成功发生在第n+k次(k<m)试验
设试验E1的样本空间是 1 {(1) }，试验 E2的的样本空间是 2 {(2) } ，… En的样本 空间是 n {(n) }，为了描述这n次试验，应 构造复合试验E，他表示依次进行试验 其样本点为 { , , , }
(1) (2) ( n)
这样的样本空间记作
思考：试验E1与试验E重复试验”的数 学模型，其满足： 1. 1 2 n ； 2. 有关事件的概率保持不变；
3. 各次试验是相互独立的。
例如: 投n个硬币或进行n次有放回摸球
§3 伯努里试验 与直线上的随机游走
一 伯努里概型
１ｎａ＋ｂ－１
(2)
(k )
P( A A A ) P( A )P( A )P( A )
(1) (2) ( n) (1) (2) ( n)
则称试验E1，E2，…，Eｎ是相互独立的.
例如: 1. n次有放回摸球所构成的n个试验是 相互独立的； 2. n次不放回摸球所构成的n个试验不 独立。
例
若试验E1是掷一枚硬币， 1={正,反}
P 甲
n m 1 k n
C
k n m 1
p q
k
n m 1 k
例（巴拿赫火柴盒问题）Ｐ８8
三 直线上的随机游走
直线上的随机游走
随机游动 : 描述质点在ｔ＝ｎ时刻的位置的质点 运动 分类：①无限制随机游走：质点可以在整个数轴的
整数点上游动
质点一旦到达该点即被吸收整个游动结束。
n 重伯努利试验的样本点w=(w1,w2,...,wn) wi =A或A ,表示第i次试验是A是否发生 共有2n个样本点 n次独立重复的伯努里试验.
样本点 ( A1, A2 ,..., An1, An ),可简记做 A1 A2 ...An1 An
P( A1 A2 ...An1 An ) pp...pq
p q

r 1 k r
p C
k r
r
r 1 k 1
pq
r
k r
f (k; r, p) C
k r
r 1 k 1
pq
r 1 k 1
r
, k r, r 1,
k r
f (k ; r , p) C
k r
pq
1
称f(k;r,p)为帕斯卡分布 当r=1时,为几何分布
P( A1 A2 ...Ak 1 Ak ) q
k 1
k 1
p
记g (k; p) q
p, k 1,2,...
为几何级数的一般项 , 故称g (k; p)为几何分布
g (k ; p) q
k 1 k 1


k 1
1 p p 1 1 q
例3 一个人要开门，共有n把钥匙， 其中仅有一把钥匙开门，这人在第s 次试开时才首次成功的概率是多少
， ( 反 ,白 ) ， (反 ,黑 ) 。
“与第k次试验有关的事件”：这种事
件发生与否仅与第k次试验的结果有关。 因此判断某一样本点是否属于这个事 件，只需察看它的第k个分量。
定义2.2.4 以Ak 记为与第k次实验有关的事 件全体。若对于任意的
A A1， A A2，…，A Aｎ
均成立
(1)
Pn k C p q
k n
k n k
q 1 p
注
P k 1
k 0 n
n
二项分布: 记n重倍努利试验中A出现k次的概率为b(k;n,p) 则, b(k; n, p) C k p k q nk
n
称b(k;n,p)决定的概率分布为二项分布,且有
b(k; n, p) C
可列重伯努利试验
可列重伯努利试验：
样本点w=(w1,w2,...,wn,...)
样本点的个数不再可列 不在把样本空间的任何子集看作是事件
二 伯努利概型中的一些分布
1.伯努利分布
• • • •
只进行一次伯努利试验 概率:P(A)=p, P( A ) =q, p+q=1,p>0,q>0), 这种概率分布称为伯努利分布 伯努利概型中最简单的情形
试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相不影响，即每个 随机试验的各种结果出现的概率不依赖于其它随机试验出现的结 果，就称这些随机试验是相互独立的。
如果一些随机试验是相互独立的，那么分别属 于不同试验的随机事件彼此之间就是相互独立的； 反之，随机试验的相互独立可以理解为分别属于这 些试验的随机事件都是相互独立的。
独立重复的贝努里试验中三个重要问题：
(1). n 次试验中 A 恰好发生 k 次的概率是多少？
(2). 直到第 k 次试验 A 才第一次发生的概率是多少？ (3). 一直不停地做试验，A 最终发生的概率是多少？
2.二项分布
根据乘法原理，A 要在 n 次试验中恰好发生 k 次， 由三个步骤组成： 哪 k 次试验 → A 发生 k 次 → A 不发生 n – k 次 因此，当P (A 发生) = p， P (A 不发生) = q = 1 – p ， 每次试验的结果要么 A 发生，要么 A 不发生。独立重复 进行 n 次试验，其中 A 恰好发生 k 次的概率是：
(2) A:“5个样品中至少有2个一级品”
有: P ( A) P5 ( i )
i2 5
1 P5 ( i )
i 0 1 i 1 C5 0 . 3 i 0 .7 5 i i 0
1
0.47178
3. 几何分布
讨论伯努利试验中首次成功出现在第k次的概 率,有
如果一次随机试验E只有与两种相反的结果 • 掷一枚硬币，只出现“正面”或“反面”； • 考察一条线路，只有“通”与“不通”； • 传递一个信号，只有“正确”与“错误”； • 播下一颗种子，了解它“发芽”与否； • 观察一台机器“开动”与否…） 这种随机试验称为伯努里(Bernoulli)试验.
• 有时试验的结果虽有多种，但如果只考虑某事件 发生与否，也可作为伯努利试验， • 例如抽检一个产品，虽有各种质量指标，但如果 只考虑合格与否，就是伯努利试验.
k n k
nk
a k b nk C ( ) ( ) ab ab
k n
设一批产品中有30％的产品是一级 品.现对该产品中进行重复抽样检查,共取 5个样品 求 (1)取出的5个样品中恰有2个一级品的 概率 (2)取出的5个样品中至少有2个一级品 的概率
2 2 3 (1) P ( 2 ) C 0 . 3 ( 1 0 . 3 ) 0.3087 解: 5 5
分析：n重伯努利试验 p=1/n 第s次首次成功的概率： g(s;1/n)=[(n-1)/n]s-1 1/n
4. 帕斯卡分布
• 记Ck={第r次成功发生在第k次}（Ｋ次实验是相继做的） • 记f(k;r,p)=P(Ck) • Ck={前k-1次成功r-1次,且第k次成功}
P(Ck ) C

r 1 k 1
如果随机试验 E 只有两个结果: A 和
A ,其中P(A)=p, P( A ) =q,
p+q=1,p>0,q>0), 则称E为Bernoulli试 验．
n 重伯努利试验
n 重伯努利试验： n次独立重复的伯努里试验. n重伯努利试验的特点: 每次试验最多出现两个可能结果 A在每次试验种出现的概率p保持不变 各次试验相互独立 共进行了n次试验
P 甲 C
k 0
m 1
n 1 n k 1
p q
n
k
甲若想获胜,在乙再胜m局时,甲胜的 局数k>=n,即Ac的第m次成功发生在 m+k次(k>=n)试验
P C 甲
k n

m1 k m m k 1
pq
易证:再赌n+m-1局可以决定胜负
甲若想获胜,必须在n+m-1局中胜n次 根据二项分布:

②有吸收壁的随机游走：某点处设有吸收壁，
例：布朗运动的近似 股票价格涨落和汇率变化
无限制随机游动模型：
s n 为质点在ｔ＝ｎ时刻的位置
{sn k} 表示ｔ＝ｎ质点位于Ｋ，即其向右移动
的次数比向左移动多了K次
Ｘ为前ｎ次移动中向右移动的次数 Ｙ为前ｎ次移动中向左移动的次数

ｘ＋ｙ＝ｎ Ｘ－ｙ＝ｋ
，试验E2是从装有红白黑三球的袋子中
摸出一球，2 ={红,白,黑}，则复合试验 E表示先掷一枚硬币再一球，它相应的样 本空间 1 2由下列6个样本点构成
:( 正 , 红 ) ， ( 正 , 白 ) ， ( 正 , 黑 ) ， ( 反 , 红 )
， ( 反 ,白 ) ， (反 ,黑 ) 。