第二章 数量方法

• 例1 把一枚质地均匀的子抛掷两次设A表示点数之和等于10， • B表示第一次出现奇数点 求P（A） 、P（B） • 例2 某市的电话号码是7位数，某人忘记了他朋友电话号码的 • 后四位数，于是随便拨号，求他拨一次号就拨通他朋友电 • 话概率。
• 例3 一袋中有7个白球和5个红球，从中摸二次，每次一球设A • 表示“两次都摸到红球” B表示“至少一次摸到红球”
机地从中取走一签，求第i（i=1，2，3，…10）人抽得 ”好“签的概率。
• 三事件的独立性：设A、B为同一样本空间中的两事件若 • P（AB）=P（A）P（B）则称A与B互相独立
• 例1 10件产品中有4件正品连续取两次，每次取一件，作有效 • 放回抽样，设B、A分别表示第一、二次取得正品，则 • P（A）=0.4 P(A︱B)=0.4，故 P(A︱B)=P（A）这个例 • 子说明：当事件B对事件A没有任何影响时事件A与事件 • A︱B是等价的当P（B）＞0且P(A︱B)=P（A）时有 • P（AB）=P（A）P（B） • 例2 把一个均匀的四面体每个面分别标上号码1，2，3，4 • 再抛掷两次，设A表示“第一次出现偶数”，B表示“第
• 第二章 随机事件及其概率 • 第一节：随机试验与随机事件
• 第二节：事件间的关系与运算
• 第三节：事件的概率与古典概型 • 第四节：条件概率与事件的独立性
• 1 随机试验：对随机现象进行研究进，人们通常进行大量的 • 观察试验，如果试验具有以下三个特点称为随机试验。 • ① 可以在相同的条件下重复进行。 • ② 试验结果不止一个，但可以预知一切可能的结果的取 • 值范围。 • ③ 试验前不能确定出现哪个结果。 • 下面给出几个随机试验的例子： • 例1 掷一枚子，记录其点数。 • 例2 记录某电话传呼台一小时内收到的呼叫数 • 例3 掷二枚硬币，记录正、反面出现的情况。 • 例4 一天中任取一时刻记录下当时的气温。 • 2 样本空间及随机事件 • 样本空间：试验中每个可能的结果称为样本点用w表示， • 全体样本点构成的空间称为样本空间
• 在例1中 样本空间为 {1 ，2，3，4，5，6}
• 在例2中 样本空间为 {0，1，2…} • 在例3中 样本空间为{（+，-），（-，+），（-，-）， • （+，+）} • 在例4中 设当天最低气温为a℃最高气温为b ℃则样本空间为
• {x︱a≤x≤b} • 在实验中人们常关心于满足某些条件的样本点在试验后是否会
பைடு நூலகம்
• 4 事件的差：事件A发生但B不发生记为A-B称为A与B之差由 • 属于A但不属于B的样本点组成的集合。例如：参军体检中 • 设A表示“身高合格”，B表示“血压合格” 则A-B表示
• •
• •
“身高 合格但血压不合格”。 5 互斥事件 （不相容事件）：若事件 A与B 不能同时发生即 A∩B=∮即A与B没有公共的样本点，显然不同的基本事件 为互不相容事件。
• 6 对立事件（互逆事件）：设A、B为两个事件，若AB= ∮
•
A∪B=全集则A与B为互逆事件。
• 事件间的运算性质： • ① 交换律：A ∪B=B ∪A AB= BA • ② 结合律：A ∪（B ∪ C）=（A ∪B） ∪C • A ∩（B ∩C）=（A ∩B） ∩C
• ③ 分配律：A ∪（B ∩C）=（A ∪ B） ∩（A ∪ B） • A ∩（B ∪C）=（A ∩B） ∪ （ A ∩C） • 例1：某灯泡厂取样检查出厂灯泡的寿命，设A表示“灯泡寿命 • 大于1500小时”，B表示“灯泡寿命在1000到2000小时
出现，例如在汛期水文站关心的是江河水位时否达到或超过警 戒水位H；抽查样品时检验人员关心的是产品某方面指标是否 达到合格标准。 随机事件：样本空间中满足某些条件的样本点构成的子集为 随机事件。通常用A、B、C表示。若实验后的结果 W∈A则称事件A发生了。
• • •
• 基本事件：只含有一个样本点的事件叫基本事件。 • 必然事件：样本空间也是它自己的子集。 • 不可能事件：不包含任何样本点的事件称为不可能事件。
• 例1 A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销“则其对立事 •
件
表示什么？
• 例2 事件A、B、C两两不相容与ABC= ∮是否等价。 • 例3 设A、B为两个事件，且P（A）=0.6 P(B)=0.5 P(A ∪B) • =0.7 求P（ABˉ） P(A﹊B) P(A￣B) • 例4 某城市共发行A、B、C三种报纸，调查表明居民家庭中订 • 购C报的占30﹪，同时订购A、B两报的占10 ﹪，同时
之
• •
间”，请用集合的形式写出下列事件。 全集、A ，B ， A ∪ B ，AB ，A-B ，B-A，
• 例2：甲、乙、丙三人各向靶子射击一次，高Ai表示第i人击中 • 靶子 i=1,2,3 试用事件的运算关系表示下列事件， • ①仅有乙未击中靶 • ②甲、乙至少一个击中而丙未击中靶子。 • ③至少两人击中靶子。 • ④靶上仅中一弹。
•
• •
订购A、C及B、C两报的各占8
﹪、5 ﹪三报都订的占
3 ﹪今在该城市中任找一户问该户①只订A、B两报 ②只订C报的概率各为多少？
• 例5 设P(A)=0.4 P(B)=0.5 P (A ∪B)=0.7 • 及P（B-A)
求P（AB）
• 例6 设P（A）=P（B）=P（C）=1/4 P（AB）=P（BC）=0 • P（AC）=1/8 求A、B、C中至少一个发生的概率。
请在
•
⑴有放回抽样，⑵不放回抽样条件下求P（A） 、P（B）
• 例4 一只箱中共装有100件某产品，其中有8件次品，余下为 • 正品，今从中任取出5件，求①至多一件次品， ② 至少 • 二件次品的概率。 • 例5 桥牌比赛中四人从52张牌中各分得13张，求四张A集中在 • 一人手中的概率。
第四节
条件概率与事件的独立性
•
•
10
﹪，从中随意抽取一件，发现不是三等品，求此件
产品是一等品的概率。
• 概率的乘法公式：P（AB）=P（A）P（B∣A）=P（B）P（A • ∣B） • 例3 已知P（A）=0.6 P(C)=0.2 P(AC)=0.1 • P(B∣Cˉ)=0.7 且A∈B求P（A∪Bˉ∣Cˉ） • • 例4 签筒中放有10支签，其中只有一支是好签，10人依次随 • •
二次
•
否相
出现奇数” ，C表示两次“同奇或同偶”问A、B、C是 互独立。
•
• 例3 设甲、乙、丙三人击中靶子的概率各为0.3、0.5、0.7求 • 靶上仅中一弹的概率。
• 四 贝叶斯公式与全概率公式
• •
• 例1 某厂使用甲、乙、丙三个产地同型号电子元件，用于生
产电视机，其来自三地的元件数量各占24
﹪ 、30 ﹪、
46 ﹪，且他们的合格率分别为94 ﹪、96 ﹪、98 ﹪ ① 若任取一元件，问取到的是合格品的概率是多少？
② 若查出某一元件不合格，问该元件最有可能来自何地
• 例2 设机器正常时生产合格品的概率为95﹪，当机 • 器有故障时，生产合格品的概率为50﹪，而机 • 器的无故障率为95﹪，某天上班时工人生产的 • 第一件产品是合格品，问能以多大把握判断该 • 机器是正常的。
第三节 事件的概率与古典概型
• • • • • • • • • • • • •
概率论：对随机事件发生可能性大小的数量度量。 ㈠ 频率及其性质：一个随机试验有多个可能的结果，各种可 可能的结果出现的机会并不尽相同 （既有些结果出现 的次数明显要多一些，有些则要少不些。例如我国O型 血的人数明显要高于其他血型。 定义：在n次重复试验中，若事件A发生了K次，则称K为事件 A发生的频数，称K/n为事件A发生的频率。 ㈡ 随机事件的概率：用来刻画事件出现可能性大小的数值称 为事件的概率。 概率的统计定义：在相同的条件下重复进行n次试验，事 件A在n次试验中出现了u次，当试验次数n足够大时频 率u/n稳定在某个常数p附近，则我们称p为事件A的概 率P（A）=P，u/n为P（A）的近似值。
• 条件概率的定义：在事件B发生的条件下事件A发生的概率若 • P（B）＞0称为在事件B发生的条件下事件A • 发生的概率。 • 例1 一箱产品共有100件，其中5件为不合格品，且这5件不 • 合格品中有3件次品，2件废品，今从箱中任取一件求 • ① 取得废品的概率 • ② 已知取得的是不合格品，求它是废品的概率。 • 例2 设一批产品中，一、二、三等品各占60﹪，30 ﹪，
• ㈢古典概型：我们把具有以下两个特点的试验称为古典概型
• ①所有可能的试验结果是有限个（有限性） • ②每个可能的结果在一次试验中出现的可能性 • 相同（等可能性） • 在古典概型中设样本空间中包含有n个样本点，则对任意事件 • A，若A中含有K个样本点，那么事件A的概率。P（A）=K/n
• 1 两个计数原理：加法的原理和乘法的原理。 • 2 排列数：从n个不同的元素中任取m个元素按照一定的顺序排 • 成一列叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个 • 排列。当m=n时称为全排列。 • 3 组合数：从n个不同的元素中任取m个元素组成一组称为从n • 个不同的元素中取出m个元素的一个组合。
• 第二节事件间的关系及运算 • 1 事件的包含与相等：若事件A发生导致事件B发生，即A中 • 的每个样本点都属于B则称A包含于B或B包含A，若A包含 • 于B，B包含于A则称A与B相等。 • 2 事件的并（和）：设A、B为两事件则事件A发生或B发生 • 记为A∪B称为A与B的和事件。它由A或B中一切样本点共 • 同组成的集合。 • 3 事件的交（积）：事件 A与事件B同时发生的事件记为 • A∩B或AB它是由既属于A又属于B的样本点构成的集合。