考研数学二历年真题(2001—2013)
2001【考研数二】真题及解析
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1) 1x →= (2) 设函数()y f x =由方程2cos()1x ye xy e +-=-所确定,则曲线()yf x =在点(0,1)处的法线方程为 . (3)()32222sin cos xx xdx ππ-+=⎰(4) 过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足关系式'arcsin 1y x +=的曲线方程为 .(5) 设方程123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多个解,则a = . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]{}()f f f x 等于 ( )(A)0 (B)1 (C)1,1,0,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ (D)0,1,()1,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩(2) 设当0x →时,2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小,sin nx x 是比()21x e -高阶的无穷小,则正整数n 等于 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (3) 曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为 ( )(A)0. (B)1. (C)2. (D)3(4)已知函数()f x 在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数,'()f x 严格单调减少,且(1)'(1)1,f f ==则 ( )(A)在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x <. (B)在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x >.(C)在(1,1)δ-内,()f x x <.在(1,1)δ+内,()f x x >. (D)在(1,1)δ-内,()f x x >.在(1,1)δ+内,()f x x <. (5)设函数()f x 在定义域内可导,()y f x =的图形如右图所示,则导函数()y f x '= 的图形为 ( )三、(本题满分6分)求四、(本题满分7分)求极限sin sin sin lim sin x t xt x t x -→⎛⎫⎪⎝⎭,记此极限为()f x ,求函数()f x 的间断点并指出其类型.五、(本题满分7分)设()x ρρ=是抛物线y =(,)(1)M x y x ≥处的曲率半径,()s s x =是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长,计算2223d d ds ds ρρρ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(在直角坐标系下曲率公式为322"(1')y K y =+)六、(本题满分7分)设函数()f x 在[0,)+∞上可导,(0)0f =,且其反函数为()g x .若()20()f x x g t dt x e =⎰,求()f x . 七、(本题满分7分)设函数(),()f x g x 满足()(),()2()xf xg x g x e f x ''==-,且(0)0,(0)2f g ==,求20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰八、(本题满分9分)设L 是一条平面曲线,其上任意一点(,)P x y (0)x >到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y 轴上的的截距,且L 经过点1,0.2⎛⎫⎪⎝⎭(1) 试求曲线L 的方程(2) 求L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围图形面积最小.九、(本题满分7分)一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S 成正比,比例常数0K >.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的78,问雪堆全部融化需要多少小时?十、(本题满分8分)设()f x 在区间[,](0)a a a ->上具有二阶连续导数,00f =(), (1) 写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2) 证明在[,]a a -上至少存在一点η,使3()3().aaa f f x dx η-''=⎰十一、(本题满分6分)已知矩阵100011110,101.111110A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且矩阵X 满足,AXA BXB AXB BXA E +=++其中E 是3阶单位阵,求X .十二、(本题满分6分)设124,,,ααα为线性方程组0AX =的一个基础解系,112223,,t t βααβαα=+=+334441,,t t βααβαα=+=+试问实数t 满足什么关系时,1234,,,ββββ也为0AX =的一个基础解系.2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】6-【详解】1x →()()1lim21x x x →=+-1x →=131x x x→--+=121x x →-=1x →=-lim 2====(2)【答案】 x −2y +2=0. 【详解】在等式2cos()1x yexy e +-=-两边对x 求导, 其中y 视为x 的函数,得()()22sin()0x y e x y xy xy +''++=,即2(2')sin()(')0x y e y xy y xy +⋅++⋅+=将x =0, y =1代入上式, 得(2')0e y ⋅+=,即'(0) 2.y =- 故所求法线方程斜率12k -=-12=,根据点斜式法线方程为:11,2y x -= 即 x −2y +2=0.(3)【答案】8π 【分析】根据区域对称性与被积函数的奇偶性:设()f x 在有界闭区域[],a a -上连续,则有 ()()()()()02,0a a aaaf x dx f x dx f x f x dx f x --⎧= ⎪⎨⎪= ⎩⎰⎰⎰为偶函数,为奇函数,【详解】由题设知()32222sin cos xx xdx ππ-+⎰32222222cos sin cos x xdx x xdx ππππ--=+⎰⎰在区间[,]22ππ-上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数,故3222cos 0x xdx ππ-=⎰,22222202sin cos 2sin cos x xdx x xdx πππ-=⎰⎰,所以,原式32222222cos sin cos x xdx x xdx ππππ--=+⎰⎰22202sin cos x xdx π=⎰2201sin 22xdx π=⎰201(1cos 4)4x dx π=-⎰ 220011cos 44416x xd x ππ=-⎰2011sin 44216x ππ=⋅-08π=-.8π=(4)【答案】1arcsin .2y x x =- 【详解】方法1:因为()arcsin 'arcsin y x y x '=,所以原方程'arcsin 1y x +=可改写为 ()a r c s i n 1,y x '=两边直接积分,得 arcsin .y x x c =+ 又由1()02y =代入上式,有 10arcsin 2x c ⋅=+,解得1.2c =- 故所求曲线方程为 1arcsin .2y x x =- 方法2:将原方程写成一阶线性方程的标准形式1'.arcsin y y x+=由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式: ()()()()P x dx P x dx f x e C Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这里()()1arcsin P x Q x x==,代入上式得:1arcsin y eC e dx x -⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 11arcsin arcsin arcsin arcsin 1arcsin d x d x x xe C e dx x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ln arcsin ln arcsin 1arcsin x x e C e dx x -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰1arcsin arcsin arcsin x C dx x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰arcsin arcsin C x x x =+ 又由1()0,2y =解得1.2C =- 故曲线方程为:1arcsin .2y x x =-(5)【答案】 -2【详解】方法1:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1121,3111111aa a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行互换 21121(-1),(-)01132301112a a a a a aa -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦行的倍分别加到,行 11223011300(1)(2)2(2)a a a a a a -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦行加到行 由非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件:设A 是m n ⨯矩阵,方程组Ax b =有无穷多解()()r A r A n ⇔==<. 可见,只有当a =−2 时才有秩()()23r A r A ==<,对应方程组有无穷多个解.方法2: 设A 是m n ⨯矩阵,方程组Ax b =有无穷多解()()r A r A n ⇔=<,则方程组123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多解()()3r A r A ⇔=<. 从而有0A =,即 111111a A a a=2222,311111a a a a a+++行分别加到行1111211211a a a a ++行提出()()1111(1)201023001a a a ⨯-+--行分别()加到,行10201a a a -+-1+1=(-1)()2(2)(1)0,a a =+-=则,12a a ==-或.当1a =时,1111111111111(1)23000011120003A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦行分别加到,行 可见()1()2,r A r A =≠=原方程组无解.当2a =-时,有211112111122A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11221312112111--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,行互换 11222103332111--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行行1122103330333--⎡⎤⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行2加到3行 112203330000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行+2行11222(3)01110000--⎡⎤⎢⎥÷---⎢⎥⎢⎥⎣⎦行 可知,()()23,r A r A ==<故当2a =-时,原方程组有无穷多解.二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】因为1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,所以在整个定义域内()0()1f x f x ==或,所以()1f x ≤,于是[]()1f f x =,从而[]{}()()11f f f x f ==(2)【答案】(B)【详解】根据高阶无穷小的定义:如果lim0βα=,就说β是比α高阶的无穷小,由题设当0x →时,2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小,所以20(1cos )ln(1)0lim sin n x x x x x →-+=22012lim nx x x x x →⋅ ⋅等价3012limn x x x → 等价301lim 2n x x -→= 从而n 应满足2n ≤;又由sin nx x 是比2(1)x e -高阶的无穷小,所以根据高阶无穷小的定义有:20sin 0lim 1nx x x x e →=-20lim nx x x x →⋅ 等价10lim n x x -→=,从而n 应满足2n ≥综上,故正整数2n =,故选(B)(3)【答案】(C)【详解】22(1)(3)y x x =--,所以 y '222(1)(3)2(1)(3)x x x x =--+--4(1)(2)(3)x x x =---y ''[]4(2)(3)(1)(3)(1)(2)x x x x x x =--+--+--2224564332x x x x x x ⎡⎤=-++-++-+⎣⎦2431211x x ⎡⎤=-+⎣⎦y '''[]4612x =-()242x =-令0y ''=,即2312110x x -+=,因为判别式:∆224124311b ac =-=-⋅⋅120=>,所以0y ''=有两个不相等的实根,且()2y ''23212211=⋅-⋅+10=-≠,所以两个实根不为2,因此在使0y ''=这两点处,三阶导数0y '''≠,(一般地,若()00f x ''=,且()00f x '''≠,则点()()00,x f x 一定是曲线()y f x =的拐点),因此曲线有两个拐点,故选(C)或根据y ''2431211x x ⎡⎤=-+⎣⎦是一条抛物线,且与x 轴有两个不相同的交点,所以在两个交点的左右y ''符号不相同,满足拐点的定义,因此选(C)(4)【答案】(A)【详解】方法1:令()()F x f x x =-,则()()1F x f x ''=-()()1f x f ''=-由于'()f x 严格单调减少,因此当(1,1)x δ∈-时,()()1f x f ''>,则()F x '()()1f x f ''=-0>;当(1,1x δ∈+时,()()1f x f ''<,则()F x '()()1f x f ''=-0<,且在1x =处()()1(1)10F f f '''=-=,根据判定极值的第一充分条件:设函数()f x 在0x 处连续,且在0x 的某去心δ领域内可导,若()00,x x x δ∈- 时,()0f x '>,而()00,x x x δ∈ +时,()0f x '<,则()f x 在0x 处取得极大值,知()F x 在1x =处取极大值,即在在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()()10F x F <=,也即()f x x <. 故选(A)方法2:排除法,取()21()2x f x x -=-+,则()()21123f x x x '=--+=-+,()20f x ''=-<,所以满足题设在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数,'()f x 严格单调减少,且(1)'(1)1,f f ==当1x <时或1x >时,均有()f x ()212x x -=-+x <,因此可以排除(B)、(C)、(D),选(A)(5) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见,在y 轴的左侧,曲线()y f x =是 严格单调增加的,因此当0x <时,一定有'()0f x >,对应()y f x '=图形必在x 轴的上方,由此可排除(A),(C);又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增,所以在这一段内一定有'()0f x >,对应()y f x '=图形必在x 轴的上方,进一步可排除(B),故正确答案为(D).三【详解】作积分变量变换,令tan ,x u =则2sec ,dx udu =原式2=22sec (2tan 1)sec uduu u =+⎰ 2(2tan 1)cos du u u =+⎰222sin (1)cos cos du u u u=+⎰()222cos 2sin cos cos uduu u u =+⎰ 22cos 2sin cos udu u u =+⎰2cos sin 1udu u =+⎰2sin sin 1d uu =+⎰arctan(sin )u C=+C +四【分析】应先求出()f x 的表达式,再讨论它的间断点,首先明确间断点的类型分为两大类:第一类间断点和第二类间断点,第一类间断点又可分为:可去间断点(左右极限存在且相等的间断点)和跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点);第二类间断点又可分为:无穷间断点(有一个极限为无穷的间断点)和振荡间断点(极限值在某个区间变动无限多次).【详解】由 ()f x =s i n s i ns i nl i m s i n xt x t x t x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭si ns i ns i n ln sin lim x t x t x t xe-⎛⎫ ⎪⎝⎭→=s i n ln sin sin sin lim x t t x x t xe⎛⎫⎪-⎝⎭→=又 sin limln sin sin sin t xx t t x x →⎛⎫= ⎪-⎝⎭sin lim ln 11sin sin sin t x x t t x x →⎛⎫+- ⎪-⎝⎭sin sin limln 1sin sin sin t xx t x t x x →-⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭sin sin lim sin sin sin t x x t x t x x →-⎛⎫= ⎪-⎝⎭limsin t xx x →=sin xx=所以 ()f x sin ln sin sin sin lim x t t x x t xe⎛⎫⎪-⎝⎭→=sin limln sin sin sin t x x t t x x e→⎛⎫⎪-⎝⎭=sin xxe=由()f x sin x xe=的表达式,可以看出自变量x 应满足sin 0x ≠,从而,0,1,2,x k k π≠ =±± 当0x →时,sin 0lim ()lim xxx x f x e→→=0lim1sin x x x ee →==e =,所以0x =为()f x 的第一类间断点(左右极限相等,又进一步可知是可去间断点);对于非零整数k ,sin lim ()lim x xx k x k f x eππ--→→=limsin x k xxeπ-→=sin 0x → ∞,故,1,2,x k k π= =±±为()f x 的第二类间断点(无穷间断点)五【解答】由y ='y y ''== 抛物线在点(,)M x y 处的曲率半径3221(1')()"y x K y ρρ+===3221⎡⎤+⎢⎥=3211⎡⎤+⎢⎥=321(41).2x =+ 若已知平面曲线AM 的显式表示为()y f x =()a xb ≤≤,则弧长为as =⎰,其中()f x 在[],a b 有连续的导数.根据上述结论,所以抛物线上AM 的弧长()ss x =1=⎰1=⎰1x =⎰ 故 d d dxds dsdxρρ=3211(41)2x '⎡⎤+⎢⎥⎣⎦='⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰1213(41)4x ⋅+⋅=2(41)x=+=221()d d d ds ds dx ds dx ρρ=⋅11d dx =⋅'⎛⎫⎪⎝⎭⎰===因此 2223()d d ds ds ρρρ-()(32213142x =⋅+-()91436x x =+-9=六【详解】()f x 的反函数是()g x ,根据反函数的性质有(())g f x x =,()20()f x xg t dt x e =⎰两边对x 求导,有()()()20()f x x g t dt x e ''=⎰()2()2x xg f x f x x e xe '⇒=+⎡⎤⎣⎦又(())g f x x =,所以2()2x x xf x x e xe '=+()2x x f x xe e '⇒=+, (0,)x ∈+∞两边积分()()2x x f x dx xe e dx '=+⎰⎰()2x x f x xe dx e dx ⇒=+⎰⎰()2x x f x xde e ⇒=+⎰()2x x x f x xe e dx e ⇒ -+⎰分部()2x x x f x xe e e C ⇒=-++()x x f x xe e C ⇒=++.由于题设()f x 在[0,)+∞上可导,所以在0x =处连续,故()()00lim ()lim 10x xx x f f x xe e C C ++→→==++=+=, 所以1C =-,于是()1x x f x xe e =+-, [0,)x ∈+∞七【详解】由()(),()2()xf xg x g x e f x ''==-,得()()2()xf xg x e f x '''==-,即()()2x f x f x e ''+=此为二阶常系数线性非齐次方程,且右端呈()xm P x e λ型(其中()2,1m P x λ= =),对应的齐次方程为()()0f x f x ''+=,特征方程为210r +=,对应的特征值为r i =±, 于是齐次方程的通解为:12cos sin y C x C x =+,因为1λ=r ≠,所以设特解为*xy ae =(a 为实数),()*xyae''=,代入()()2xf x f x e ''+=,2x x xae ae e +=,所以2a a +=,即1a =,从而特解*xy e =,非齐次方程的通解为()12cos sin xf x C x C x e =++,又(0)0f =,所以,()0120cos0sin00f C C e =++=110C ⇒+=11C ⇒=-又,()12sin cos xf x C x C x e '=-++(),0(0)2fg '==,所以,()0120sin0cos0f C C e '=-++21C =+2=21C ⇒=,所以原方程的解为:()sin cos xf x x x e =-+以下计算积分,有两个方法: 方法1:20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰()20()1()(1)g x x f x dx x π+-=+⎰ ()20()1()()()(1)f x x f x f x g x dx x π'+-' = +⎰0()1f x dx x π'⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰0()1f x d x π=+⎰0()1f x x π=+()(0)110f f ππ=-++sin cos (0)1e f ππππ-+=-+11e ππ+=+ 方法2:20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰200()()1(1)g x f x dx dx x x ππ=-++⎰⎰ 00()1()11g x dx f x dx x x ππ'⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰00()1()11g x dx f x d x x ππ=+++⎰⎰ 000()()()111g x f x f x dx dx x x xπππ' +-+++⎰⎰分部()000()()()()111g x f x g x g x f x dx dx x x xπππ' = +-+++⎰⎰0()1f x x π=+()(0)110f f ππ=-++sin cos (0)1e f ππππ-+=-+11e ππ+=+八【详解】(1)设曲线L 过点(,)P x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-,令0X =,则Y xy y '=-+,即它在y 轴上的截距为xy y '-+,根据两点()()00,,,x y x y 距离公式d =,所以原点到点(,)P x y (,)P x y (0)x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距,所以:xy y '-+=(0)x >, 即yy x '=, (0)x >此为一阶齐次方程,按规范方法解之,命y ux =,则dyu xdu dx=+,代入,方程变为: du u x u dx +=⇒du xdx =⇒dx x =-积分得d xx=-⎰(l n l n u c x⇒=-Cu x⇒+= 把yu x=代入上式,得y C x x +=y C ⇒=. 由题设曲线经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入得0C =,则12C =,故所求方程为:12y =,即21.4y x =- (2) 由(1)知214y x =-,则2y x '=-,点21(,),4P x y P x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以在点P 处的切线方程为:()2124Y x x X x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,分别令0X =,0Y =,解得在y 轴,x 轴上的截距分别为214x +和128x x+. 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为:()A x 21112284x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22141,064x x x=+ > 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值,记0S ,于是题中所要求的面积为:()()0S x A x S =-()220141,64x S x=+- 求最值点时与0S 无关,以下按微分学的办法求最值点.()S x '()22014164x S x '⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()222228414164x x x x ⋅+-+= ()()222228414164x x x x x ⋅+-+=()()2224112164x x x +-=令()0S x '=得x ==,当06x <<时,()0S x '<;当6x >时,()0S x '>, 根据极值存在的第一充分条件:设函数()f x 在0x 处连续,且在0x 的某去心δ领域内可导,若()00,x x x δ∈- 时,()0f x '>,而()00,x x x δ∈ +时,()0f x '<,则()f x 在0x处取得极大值,知:6x =是()S x 在0x >处的唯一极小值点,即最小值点, 于是所求切线方程为:214666Y X ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即13Y X =+九【详解】方法1:半球形雪堆在时刻t 时设其半径为r ,则半球体积323V r π=,侧面积22S r π=. 由题设体积融化的速率与半球面面积S 成正比,知:dVkS dt=-, 由于r 是t 的函数,323dV d r dt dt π⎛⎫= ⎪⎝⎭22dr r dt π=,代入上式,得:22drr kS dt π=-,即2222drrk r dtππ=-⋅,从而dr kdt =-,00t r r ==. 积分得r kt c =-+,把00t r r ==代入,得0c r =,所以0r kt r =-+.又半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的78,即00037188t VV V V ==-=,其中0V 表示0t =时的V . 以V 的公式代入上式,为33330212383t t t Vr r ππ=====⋅ 将0r kt r =-+代入上式,两边约去23π,得:()330018kt r r -+=,即0012kt r r -+= 从而求得:016k r =,于是0r kt r =-+0001166t r t r r ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,当6t =时0r =,雪融化完.方法2:半球形雪堆在时刻t 时设其半径为r ,则半球体积323V r π=,侧面积22S r π=,联立323V r π=,22S r π=消去r,得:S =由题设体积融化的速率与半球面面积S 成正比,知:dVkS dt=-,从而推知00t dVV V dt==-=分离变量23dV V=-,积分:133V c =-+,把00t V V ==代入,1303c V =,所以,1133033V V =-.又由00037188t VV V V ==-=,代入上式1133003332V V =-得k =,故 133V 1303V =-1303V =113300132V V t =-.命0V =,解得:6t =,即雪堆全部融化需6小时.十【应用定理】闭区间上连续函数的介值定理:设()f x 在[],a b 上连续,()()f a f b ≠,则对()()f a f b 与之间的任何数η,必存在c (a c b <<),使得()f c η=. 【详解】(1)麦克劳林公式其实就是泰勒公式中,把函数在零点展开.()f x 的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为:221()()(0)(0)()(0)22f f x f f x f x f x x ξξ''''''=++=+, 其中ξ位于0和x 为端点的开区间内,[],x a a ∈-.(2)方法1:将()f x 从a -到a 积分21()(0)().2aaaaaaf x dx f xdx f x dx ξ---'''=+⎰⎰⎰而2(0)(0)(0)02aaa a ax f xdx f xdx f a--'''==⨯=-⎰⎰从而有21()().2aa aa f x dx f x dx ξ--''=⎰⎰ 因()f x ''在[],a a -上连续,故有()f x ''在[],a a -上存在最大值M ,最小值m (由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值),即[,][,]min (),max (),a a a a m f x M f x --''''==易得 (),[,].m f x M x a a ''≤≤∈-因此3322111()(),22233aa a a a a a x Ma f x dx f x dx M x dx M a ξ---''=≤==-⎰⎰⎰同理223111()().223aa a aa a f x dx f x dx m x dx ma ξ---''=≥=⎰⎰⎰ 因此 33()aam f x dx M a -≤≤⎰.由连续函数介值定理知,存在[],a a η∈-,使33()()aaf f x dx a η-''=⎰,即3()3()aaa f f x dx η-''=⎰.方法2 :观察要证的式子,做变限函数:()()xxF x f t dt -=⎰,易得(0)0F =,()()()F x f x f x '=+-(变限积分求导) ()()()()()()F x f x f x f x f x '''''=+-=-- ()()()()()()F x f x f x f x f x ''''''''''=--=+-则有 (0)(0)(0)000F f f '=+-=+=(0)(0)(0)(0)(0)0F f f f f ''''''=--=-=将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式:2311()(0)(0)(0)()23!F x F F x F x F x ξ''''''=+++331100()(()())66F x f f x ξξξ'''''''=++=+-其中(0,)x ξ∈,[],x a a ∈-由于()f x ''在[],a a -上连续,则由连续函数介值定理,存在[],ηξξ∈-,使1()(()())2f f f ηξξ''''''=+- (因为[]1(()())(),,2f f f x x a a ξξ''''''+-∈∈-)于是有,存在(),a a η∈-,使3331111()00()(()())()6323F x F x f f x f x ξξξη'''''''''=++=⨯+-=把x a =代入()F x 有:31()()3F a f a η''=,即3()()3a a a f x dx f η-''=⎰ (),a a η∈- 即 3()3()aaa f f x d x η-''=⎰(),a a η∈-十一【详解】题设的关系式AXA BXB AXB BXA E +=++⇒AXA BXB AXB BXA E +--=⇒()()AXA AXB BXB BXA E -+-=⇒()()AX A B BX B A E -+-= ⇒()()AX A B BX A B E ---=⇒()()AX BX A B E --=即 ()().A B X A B E --=其中, A B -100011110101111110⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111011001--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭因为 11111001A B ---=-1111(1)01+-=-10=≠,故由n 阶矩阵A 可逆的充要条件0A ≠,知矩阵A B -可逆,用初等行变换求()1A B --:111100(,)011010001001A E E --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭1101013010011001001-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭行分别加到1,2行 100112010011001001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2行加到1行故而 ()1112011,001A B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭于是,等式()()A B X A B E --=两边左、右乘 ()1A B -- 可得()21X A B -⎡⎤=-⎣⎦112112011011001001⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭125012.001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭十二【详解】由题设知,12,,,s βββ均为12,,,s ααα的线性组合,齐次方程组当有非零解时,解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量,所以12,,,s βββ均为0Ax =的解.下面证明12,,,s βββ线性无关. 设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+代入整理得,()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++=由12,,,s ααα为线性方程组0Ax =的一个基础解系,知12,,,s ααα线性无关,由线性无关的定义,知()*中其系数全为零,即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t 122211321211211100000000000(1)s s s t t t t t t t t t t t +--*+-()1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+- (*()变换:把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行,其中1,, 1.i s =-)由齐次线性方程组只有零解得充要条件,可见,当12(1)0,s s t t +-≠,即12(),s st t ≠-即当s 为偶数,12;t t ≠±当s 为奇数,12t t ≠时,上述方程组只有零解120,s k k k ====因此向量组12,,,s βββ线性无关,故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时,12,,,s βββ也是方程组0Ax =的基础解系.。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题-推荐下载
(C)与 x 同阶但不等价无穷小
(A)2
f
(x)
f x是由方程 cosxy ln y x
sin x, x [0, )
2,
(B)1 (C)-1
,
x [ ,2 ]
3.设
4.设函数
F ( x)
(B)比 x 低阶的无穷小
(D)与 x 等价无穷小
1
确定,则
x
f (t)dt 则(
x
x
e
(B) a 2
5.设函数 z y f xy,其中 f 可微,则 x z z ( )
x
e
,且反常积分
(A) 2 yf '(xy) (B) 2 yf '(xy) (C) 2 f (xy) (D) 2 f (xy)
y x y
6.设 Dk 是圆域 D (x, y) | x2 y 2 1的第 k 象限的部分,记 I k ( y x)dxdy ,则( )
1 a 1
(A) a 0,b 2
(C) a 2,b 0
0 0 0
(B) a 0 , b 为任意常数
(D) a 2 , b 为任意常数
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上)
9. lim 2 ln(1 x) x
Aij aij 0(i, j 1,2,3) ,则 A =
三、解答题
15.(本题满分 10 分)
当 x 0 时,1 cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小,求常数 a, n .
[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc
(B)必要条件但非充分条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题,二)设数列xn满足 xnyn=0,则下列断言正确的是( ).
(A)若xn发散,则yn必发散
(B)若xn无界,则yn必有界
(C)若xn有界,则yn必为无穷小
(D)若 为无穷小,则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题,二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“ ”表示“M的充分必要条件是N”,则必有( )。
(A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
(B)F(x)是奇函数 (x)是偶函数
(A)充分必要条件
(B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件
(D)非充分也非必要条件
6 (2003年试题,二)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且 =∞,则必有( )。
(A)ann对任意n成立
(B)bnn对任意n成立
(C)极限 ancn不存在
(D)极限 bncn不存在
7 (1999年试题,二)“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有|xn一a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( ).
35 (2002年试题,一)
36 (1999年试题,十)设f(x)是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数, 证明数列{an}的极限存在.
9 (2002年试题,二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解,则当x→0时,函数 的极限( ).
历年考研数学二历年真题
sin x x
x→0
(I)求 a 的值;
(II)若 x → 0 时, f ( x) − a 与 xk 是同阶无穷小,求常数 k 的值.
(16)(本题满分 10 分)
( ) − x2+y2
求函数 f x, y = xe 2 的极值.
(17)(本题满分 12 分) 过 (0,1) 点作曲线 L : y = lnx 的切线,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 AB 围成,求区域 D 的面
(C)
0
1
0
0 0 2
2 0 0
(D)
0
2
0
0 0 1
二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答.题.纸.指定位置上.
(9)
设
y
=
y(x)
是由方程
x2
−
y
+ 1 =ey
所确定的隐函数,则
d2y dx2
x=0 =
.
(10)
lim
n→∞
n
1
1 + n2
+
22
x→0 2
10.微分方程 y′ + y = e−x cos x满足条件y(0) = 0的解y = ____________
∫ 11.曲线 y = x tan tdt(0 ≤ x ≤ π ) 的弧长 s=____________
0
4
{ λ f ( x) = , > 0 12.设函数
λ− , x>0
0,x≤0
2
2
而成。
(1)求容器的容积。
(2)若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出,至少需要多少功?(长度单位:m;重力加速度为 gm / s2 ;水
考研数二历年真题答案
考研数二历年真题答案为了帮助考研数学二科目的学生更好地备考,以下整理了近几年的考研数学二历年真题及其详细答案。
通过仔细研究和解析这些真题,考生们可以更好地了解考试内容和出题思路,从而更有针对性地复习和备考。
一、2000年考研数学二真题及答案(下面是2000年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)二、2001年考研数学二真题及答案(下面是2001年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)三、2002年考研数学二真题及答案(下面是2002年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)四、2003年考研数学二真题及答案(下面是2003年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)五、2004年考研数学二真题及答案(下面是2004年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)六、2005年考研数学二真题及答案(下面是2005年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)七、2006年考研数学二真题及答案(下面是2006年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)八、2007年考研数学二真题及答案(下面是2007年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)九、2008年考研数学二真题及答案(下面是2008年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)十、2009年考研数学二真题及答案(下面是2009年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)十一、2010年考研数学二真题及答案(下面是2010年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)十二、2011年考研数学二真题及答案(下面是2011年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)十三、2012年考研数学二真题及答案(下面是2012年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)十四、2013年考研数学二真题及答案(下面是2013年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)十五、2014年考研数学二真题及答案(下面是2014年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
)十六、2015年考研数学二真题及答案(下面是2015年考研数学二的真题及其答案,请考生查看。
2001年考研数学二试题答案与解析
考生还有更方便的解法,事实上,等式的左端等于 ( y arcsin x)' , 关系式变成
( y arcsin x)' =1,两边积分得
y arcsin x = x + C,
再以
y
⎛⎜⎜⎜⎝ 12 ⎞⎠⎟⎟⎟
=
0代入得C
=
−
1 2
.
(5)设方程 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝11a
1 a 1
11a⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
x t−sin
x
,
记此极限为
f
(x) ,求函数
f
(x) 的间断点并指出其类型。
( ) 解 因 f x = e , lim t→x
sin
x t−sin
x
ln
sin sin
t x
cos t
而由洛必达法则得, lim t→x
x sin t −sin
x
ln
sin t sin x
= lim t→x
x⋅
sin t cos t
π
∫ ( ) (3)
2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx =
2
答 应填 π 8
分析 这是对称区间上的定积分,一般都可利用积分性质而化简计算,所以
π
π
∫ ( ) ∫ 2 −π
x3 + sin2 x cos2 xdx = 2
2 sin2 x cos2 xdx
0
2
π
= 2∫ (2 sin2 x −sin4 x)dx
e2
x− y
⎛⎜⎜⎜⎝2
+
dy dx
⎞⎠⎟⎟⎟
+
2001考研数学二真题及答案解析
x→1
(2)【答案】 x−2y+2=0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos(xy) = e −1 两边对x求导, 其中 y 视为 x 的函数,得
e2x+y (2x + y)′ + sin(xy) ( xy)′ = 0 ,即 e2x+y ⋅ (2 + y ') + sin(xy) ⋅ ( y + xy ') =0
= f (1) f= '(1) 1, 则
()
(A)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) < x .
❤
(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) > x .
(C)在 (1− δ ,1) 内, f (x) < x .在 (1,1+ δ ) 内, f (x) > x .
又由 y(1) = 0, 解得 C = − 1 . 故曲线方程为: y arcsin x= x − 1 .
2
2
2
(5)【答案】 -2 【详解】方法1:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
a 1 1 1
1 1 a −2
A = 1 a 1 1
1 a
1
−2
1, 3行 互换
1 a
a 1
1 1
1
1
1 1 a −2
求 f (x) .
七、(本题满分 7 分)
❤
设函数 f (x), g(x) 满足 f ′(= x) g(x), g′(= x) 2ex − f (x) ,且= f (0) 0= , g(0) 2 ,
∫ 求
2001年考研数学二试题答案与解析
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求
∫
dx
(2x2 +1)
. x2 +1
分析 这是一道常规的不定积分题,用换元法解即可。
解 设 x = tan u, dx = sec2 udu.
求
∫π 0
⎡⎢⎢⎢⎣
g (x)
1+ x
−
f( (1+
x) x)2
⎤⎥⎥⎥⎦dx.
分析 本题实质是分两部分:求 f (x) ;计算所求积分,第一部分是解微分方程;
第二部分求积分2,先利用题设条件进行运算,最后再代入 f (x) 的式子得解。
解法1 由 f ' (x) = g (x)得f '' (x) = g' (x) = 2ex − f (x),
原式 =
∫
cos
u
⋅
du
(2 tan
2
u
+
1)
=
∫
cos udu 2 sin2 u + cos2 u
=
∫
d sin u 1+ sin2 u
= arctan(sin u)+ C
= arctan⎜⎜⎝⎛⎜⎜
x 1+
x2
⎠⎞⎟⎟⎟⎟
+
C
四、(本题满分6分)
求极限
lim
t→x
⎛⎜⎜⎜⎝
sin sin
t x
⎞⎠⎟⎟⎟sin
y '' )
3
1+ y'2 2
数学二解析2001
2001年数学(二)真题解析一、填空题(1)【答案】72T【解】方法一i . 丿3 —工—%/ ] + g lim X-*l x 2 x 一 21. %/3 — x — V 1 ~F lim —----——--------x->i (jc + 2) (jc 一1)lim --------------- ]------ ----Li (x + 2)(丿3 — 工 + 丿1 + 工)2(1 ―工)x 一 1方法二lim = lim -4-7工~* 1 x + 工一2工一1 + 111x 2 x 一 2 a /3 — x 2 丿]+ 匚(2)【答案】夕=*工+1.【解】e 2x+y — cos xy = e — 1两边对x 求导得严•+ sin xy •夕+熄) = 0,将X =0,y = 1代入得字I = — 2 ,ckr 丨 z=o则法线方程为夕一1 = *(久一0),即夕=*広+ 1-(3)【答案】 v-O【解】方法一sin 2 x cos 2 x dx — 2 sin 2 x cos 2 x dr4 J 。
,三=2 I 2 sin 2 j; • (1 一 sin 2 jc )dz = 2(12 — I 4 )2” (z 3 + sin 2 jc )cosx dx =方法二(x 3 + sin 2 )cos 2jc dj?=2 sin 2 x cos 2 jc dj? J 0丄72 sin 2 d(2工)=*sin 2x djro2 J 0 o(4)【答案】j/arcsin x = x【解】方法一丄由 j/arcsin x H — …一 =19得(jyarcsin x Y = 19解得 j/arcsin x = x + C 9J \ — 2因为曲线经过点(j,0),所以C=-y,故所求曲线为jarcsin x =x ----.方法二jy'arcsin x ~\-------------= 1 化为 y' ~\—,… ------------y =-----\-----,71-x 2 Jl —/arcsin z arcsln 工f d~r _ f 1 丄解得夕=([——?——e +C )e =(工 +c )・ ———\J arcsin x / arcsin x 因为曲线经过点(y,o ),所以C=-y,1x 2故所求曲线为—丄arcsin x因为r (A ) y^r (A ),所以方程组无解;(5)【答案】—2.a11【解】由题意得1a 1=(a + 2) (a 一 1 )2=0,解得 a = — 2 ,或 a = 1,11a /I 111 \I 1111 \当a =1时,才=b11100—3 ,\i11—2丿'o0 '当 a = — 2 时,A =_2111 \1-2111-2—2)因为r (A )=r (A )=2 V 3,所以a = —2时方程组有无数个解.二、选择题(6)【答案】(E ).【解】y[y (z )] = ]'9丨心)丨€1,丨心)丨>1,而 I /(J7 ) | ^ 1 (一°°<工 <+ °°),故 /[/(J : )] = 1 ,从而 f)]} =1,应选(E ).(7)【答案】(E ).1 2【解】(1 — cos x )ln ( 1 + z 2)〜—x 4 , x sin 工”〜x n+i , e" — 1 ~ j ?2 , 由题意得2 < n+l<4,解得n =2,应选(E ).(8)【答案】(C ).【解】<‘ = C ; • 2(工一3)2+© • 2(工一1) • 2(工一 3) +C ; • 2(工一I )?,令夕"=4 (3工 $ — 12_z + 11) = 0,得工 16+V336 — 4^3工2当工<C X 1时当久1 •< X X 2时j/'<0,当鼻 > 工2时j/‘>0,故曲线有两个拐 点,应选(C ).(9) 【答案】(A ).【解】 由拉格朗日中值定理得/(工)一/(1)= /'(£)(工一1),其中e 介于1与工之间,当工 6 (1-^,1)时 HVWV 1,再由 f'(x )单调递减得 > /(I ) =1,于是 y z ($)(— 1)<工一1,即 y (x )•— 1<久一1,或 f (兀)<工;当工e (1,1十厂 时1 vw <工,再由单调递减得1 =y'(i )>/"(£),于是 — 1) <工一1,即/•(#) — 1 V# — 1,或/(工)<工,应选(A ).(10) 【答案】(D ).【解】 从题设图形可见,在夕轴的左侧,曲线夕=/■&)是严格单调增加的,因此当工<0时,一定有于'(工)〉0,对应夕=于'(工)的图形必在工轴的上方,由此可排除(A ),(C ); 又的图形在y 轴右侧有三个零点,因此由罗尔中值定理可知,其导函数y=f\x )的图形在y 轴右侧一定有两个零点,进一步可排除(E ).应选(D ).三、解答题(11)【解】djr(2jc 12 + 1)丿兴 + ]1(]___\ 2 3_(1 + j//2 ) 2 ' 4工丿 (4jc + 1) 2Z )= 肿一 I = ~~2'sec 21(2tan 2i + 1 )sec tdtr cos tJ 2sinS + cosL弓豐將=arctan(sin/)+C=arctan .- + C.Jx 2 + 1(12) 【解】f(x ) =Sin "B ,nr = lim [(1 + $1叮一 sm ”)t-~x 'sin x / L 、 sin x /fCx)的间断点为工=kit (k e z),由lim/(j?) = e 得工=0为/(j :)的可去间断点;•z —*0由f (n — Q) — + °°,/(7r + 0) = 0得工=7T 为第二类间断点,同理工=kn(k 6 Z 且怡H0)为第二类间断点.(13) 【解】“=士,『=—— ,2 V j c 4工』工4«zdp _ dp / dj? ds ds / dr131••4( 4 工 +1)2--------------- ---------=6 J~x , 丿4无+ ]2 J~x6d 2 p d ( 6 \/~t ) /dj?2 \[x 6& $ ds/dx g + 1+ 12则^兽-伴)(4h +l)72一;… 一 — 36 无=9.J 4 无 + ](14)【解】gCt)dt x 2e 两边求导,得g[_f (j? )]/,(jc ) = (jc 2 +2工)『9 即) = (e + 2)e° 9积分得 /(^) = (h +1)『+ C9由 /(O) = 0 得 C = — 1,故/'(z ) = («z + 1)『一1.(15)【解】 由 g"Q ) = 2e J 一厂(2 )得 g 〃(H ) + g(z ) = 2e J ,解得 g (工)=C] cos x + C 2 sin x + e r ・ 由 g (0)=2 得 Ci = 1 ;由 g'(0) = 2 — /(0) = 2 得 C 2 = 19从而 g (jc ) = cos x + sin jr + e * 9 于是 fCx)= sin jc — cos 无 + e° ,rg(H )1 + zg (工)/(j ?)_1+乂 (1 + )2dj : +/(j : )d土)J 0g&) 1, fCx )i+7d " +TT7lo _Jg (#)1 +Ax_/(7T )_e n + 1= i + tt = 7t + r(16)r 解】(i )丨 op |=好 +$2,切线方程为Y —y =j/(X —乂),令X = 0,则切线在y 轴上的截距为Y = y — xy',由题意得y — xy' = Jx 2 + j^2,整理得字=2 — /1 + (―),dr jc \ \戈丿令u =—,则"+ z 学 =u — \/1 + z/2,变量分离得 d ----=——工 山 丿1 + / 工______ ______ 「积分得 ln(“ + \/m 2 + 1 ) = In C — In x ,即"+ a /m 2 + 1 = 一,x 再由 -“ + vV +1 =咅得“=*岸-咅),或$=*9 -青),因为曲线经过点(*,0),所以C=y,故所求曲线为夕=土一工2.(H)曲线汁* —在第一象限与两坐标轴所围成的面积为设切点为P1X 22) 9切线为y —=一 2a (jc 一 a ) 9令夕=0得z =二 + #;令工=0得,=++/oa z 4切线与L 及两个坐标轴围成的位于第一象限的面积为4a112 5Sa • 4a令s'++斜4a 2T + fl24a 24)=°得「古所求的切线方程为丿—(土―召),整理得(17)[解】 设/时刻雪堆的半径为r(Z ),r(0) =r 0,v 2 3 Q 9 2 dV 2 "V = —nr , o = Z7tr 9 -7— = Z7ir • —3 dt dtdV" d 厂由题意得不=TS,整理得不=T,解得")=f+c°,由厂(0)=厂 ° 得 C =r Q= —kt +r 09再由 r (3) = #•得怡=¥•,故 r ⑺=----t + r 0 ,Z令r (?) =0得t =6,故雪堆全部融化需要6小时.(18) ( I )【解】/(^)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式为/(J?) = /(0) + /''(0)工 + I ;£)乂2= /,(0)jf + [『力2,其中£介于0与工之间.(II )【证明】/(j : ) =/,(0)j' +食,)工2两边在[—a ,a ]上积分得[/(jc)dj- = _1_[ /7,($)2d:r ,J —au J —a因为f'\x )在[—a ,a ]上连续,所以f'\x )在[—a ,a ]上取到最小值m 和最大值M,由W */"(£)広2 C yMjr 2 得扌a 3 C yj 厂(£)工'dr < y-a 3 ,m ra m 3 f a即百^3 W /(工)clr W —a 3 9或 Tzz — /(j : )djc M ,3 J —a 3 a J —a由介值定理,存在少E [—a,a],使得/'"(可)=弓[/'(工)山,a J —a故 a "/■"(”)=3〕/ ( jc ) d j ?.(19)【解】 由 AXA +BXB =AXB + BXA + E 得(A -B)XCA -B) =E,解得 X = [(A -B)2]"1 ,/I — 1 — 1而A - B = 0 1 一 1'o 0 1/!-1一1\J 1(AB)2=01-11 0'001丿'0I 1_ 2-110°\I 1由01-2010 -* 0'0100J'0-1-1I 1-2一1\1-1=01-201/'o 01 100125\10012|得0100/]25\X =-012 •、00J(20)【解】0] ,p 2,“3,04为AX =0的基础解系的充分必要条件是01 ,庆,/h ,力线性无关,1t0100t '而(01 902 9 03,04)=(。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ,当0→x 时,()x α ( ) (A )比x 高阶的无穷小 (B )比x 低阶的无穷小(C )与x 同阶但不等价无穷小 (D )与x 等价无穷小2.已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→12lim n f n n ( ) (A )2 (B )1 (C )-1 (D )-23.设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ,⎰=x dt t f x F 0)()(则( ) (A)π=x 为)(x F 的跳跃间断点. (B)π=x 为)(x F 的可去间断点. (C))(x F 在π=x 连续但不可导. (D))(x F 在π=x 可导. 4.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα,且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛,则( )(A )2-<α (B )2>a (C )02<<-a (D )20<<α 5.设函数()xy f xy z =,其中f 可微,则=∂∂+∂∂y z x z y x ( ) (A ))('2xy yf (B ))('2xy yf -(C ))(2xy f x (D ))(2xy f x- 6.设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(,则( )(A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I7.设A,B,C均为n 阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则(A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价.(B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.(C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价.(D )矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价.8.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是(A )2,0==b a (B )0=a ,b 为任意常数(C )0,2==b a (D )2=a ,b 为任意常数二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→xx x x 10)1ln(2lim . 10.设函数dt e x f xt ⎰--=11)(,则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx . 11.设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数,则L 所围成的平面图形的面积为 . 12.曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty t x 对应于1=t 处的法线方程为 . 13.已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解,则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为 .14.设()ij a A =是三阶非零矩阵,A 为其行列式,ij A 为元素ij a 的代数余子式,且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ,则A = .三、解答题15.(本题满分10分)当0→x 时,x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 是等价无穷小,求常数n a ,.16.(本题满分10分)设D 是由曲线3x y =,直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形,y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积,若y x V V =10,求a 的值.17.(本题满分10分)设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成,求⎰⎰Ddxdy x 2.18.(本题满分10分)设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数,且1)1(=f ,证明:(1)存在)1,0(∈ξ,使得()1'=ξf ;(2)存在)1,1(-∈η,使得1)()(='+''ηηf f .19.(本题满分10分)求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.20.(本题满分11) 设函数xx x f 1ln )(+= ⑴求)(x f 的最小值;⑴设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ,证明极限n n x ∞→lim 存在,并求此极限. 21.(本题满分11)设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=. (1)求L 的弧长.(2)设D 是由曲线L ,直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形,求D 的形心的横坐标.22.本题满分11分) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011,问当b a ,为何值时,存在矩阵C ,使得B CA AC =-,并求出所有矩阵C .23(本题满分11分)设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=.记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα.(1)证明二次型f 对应的矩阵为 T T ββαα+2;(2)若βα,正交且为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +.。
2001年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析
= arctan ( sin t ) + C ⎛ x = arctan ⎜ 2 ⎝ 1+ x
x
⎞ ⎟ + C. ⎠
⎛ sin t ⎞ sin t −sin x , 记此极限为 f ( x ) , 求函数 f ( x ) 的间断点并指出其类型. 四、求极限 lim ⎜ ⎟ t → x sin x ⎝ ⎠
∫
π
2
−
3 2 2 2 2 π ( x cos x + sin x cos x )dx = ∫ π 2
1 2 sin 2 xdx − 4 2
π
= =
1 π 2 π (1 − cos 4 x )dx 8 ∫− 2
π
8
.
(4)过点 ⎜ 【答】
y ⎛1 ⎞ = 1 的曲线方程为 , 0 ⎟ 且满足关系式 y ' arcsin x + ⎝2 ⎠ 1 − x2
=
1 (c + x) , arcsin x
1 ⎛1⎞ y⎜ ⎟ = 0 ⇒ c = − . 2 ⎝2⎠
故曲线方程为:
1 y arcsin x = x − . 2
⎡ a 1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (5)设方程 1 a 1 x2 = 1 有无穷多个解,则 a = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 a ⎣ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ −2 ⎥ ⎦
(3)
∫ π (x
2 − 2
π
3
+ sin 2 x ) cos 2 xdx =
.
【答】
π
8
在区间 ⎢ −
【详解】 故
⎡ π π⎤ , ⎥ 上, x3 cos 2 x 是奇函数, sin 2 x cos 2 x 是偶函数, ⎣ 2 2⎦
考研数学二历年真题及答案详解_2003—2013李永乐
阵 C. 23(本题满分 11 分)
a1 b1 设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) 2( a1 x1 a 2 x2 a3 x3 ) (b1 x1 b2 x2 b3 x3 ) .记 a 2 , b2 . a b 3 3
2
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2013)
轴旋转一周所形成的立体的体积,若10V x V y ,求 a 的值. 17. (本题满分 10 分) 设平面区域 D 是由曲线 x 3 y, y 3x, x y 8 所围成,求 18. (本题满分 10 分) 设奇函数 f ( x ) 在 1,1 上具有二阶导数,且 f (1) 1 ,证明: (1)存在 (0,1) ,使得 f ' 1 ; (2)存在 (1,1) ,使得 f ( ) f ( ) 1 . 19. (本题满分 10 分) 求曲线 x 3 xy y 3 1( x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 20. (本题满分 11) 设函数 f ( x ) ln x
2.已知 y f x 是由方程 cos xy ln y x 1 确定,则 lim n f 1 (
n
2 n
)
(A)2 3.设 f ( x )
(B)1
(C)-1
(D)-2
x sin x, x [0, ) , F ( x ) f (t )dt 则( ) 0 2, x [ ,2 ]
d2y dx 2
x 0
.
1 1 1 2 2 2 2 2 n n n2 1 n
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考研数学二历真题及答案详解(—)
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2013 )2013 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题1—8 小题.每题 4 分,共 32 分.1.设cos x1x sin(x),(x),当 x0 时,x()2( A )比x高阶的无量小( B)比x低阶的无量小( C )与x同阶但不等价无量小( D )与x等价无量小2.已知y f x 是由方程 cos xy ln y x 1 确立,则 lim n f21()n n(A)2(B) 1(C)-1(D)-23.设 f (x)sin x, x[0,), F ( x)x2, x[,2]f (t )dt则()(A) x为 F ( x) 的跳跃中断点.(B) x为 F ( x) 的可去中断点.(C) F ( x) 在x连续但不行导.(D) F (x) 在x可导.1,1x e( x1)14.设函数 f ( x),且失常积分f x dx收敛,则()1, x ex ln1x(A )2( B)a 2( C)2 a 0(D)025.设函数 z y f xy,此中 f可微,则x z z()x y x y( A )2 yf ' ( xy)(B) 2 yf ' (xy ) (C)2f ( xy)(D )2f (xy )x x6.设D k是圆域D(x, y) | x2y 21的第 k 象限的部分,记 I k( y x)dxdy ,则()D k(A) I10(B)I20(C)I30(D)I407.设A,B,C均为n 阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则(A )矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价.(B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价.(C )矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价.(D )矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价.数学二历年考研试题及答案详解(2003~2013 )1a12008.矩阵a b a 与矩阵0b0相像的充足必需条件是1a1000( A )a0, b2( B)a0 , b 为随意常数( C )a2, b0( D)a2, b 为随意常数二、填空题(本题共 6 小题,每题 4 分,满分 24分. 把答案填在题中横线上)19.lim2ln(1x) x.xx010.设函数 f ( x) 1 e t dt ,则y f ( x) 的反函数x f 1 ( y) 在y 0处的导数dx|y 0.x1dy11.设关闭曲线L的极坐标方程为r cos36t 为参数,则L 所围成的平面图形的面积6为.x arctan t1处的法线方程为12.曲线上对应于 t.y ln 1 t 213 .已知y1e3 x xe2x , y2e x xe2 x , y3xe2 x是某个二阶常系数线性微分方程三个解,则知足y(0)0, y' (0) 1 方程的解为.14.设A aij是三阶非零矩阵, A 为其行列式, A ij为元素 a ij的代数余子式,且知足Aij aij0(i, j1,2,3),则A =.三、解答题15.(本题满分10 分)当 x0时,1cos x cos2x cos3x 与 ax n是等价无量小,求常数 a, n .16.(本题满分 10 分)设 D 是由曲线y 3a (a 0)及 x 轴所转成的平面图形,V x ,V y分别是D绕 x 轴和y轴旋转一x ,直线 x周所形成的立体的体积,若10V x V y,求 a 的值.数学二历年考研试题及答案详解( 2003~2013 )17.(本题满分 10 分)设平面地区 D 是由曲线 x 3y, y3x, xy 8所围成,求x 2 dxdy .D18.(本题满分 10 分)设奇函数f ( x) 在 1,1 上拥有二阶导数,且 f (1) 1,证明:(1)存在 (0,1) ,使得 f ' 1;(2)存在( 1,1) ,使得 f ( )f ( )1 .19.(本题满分 10 分)求曲线 x 3xyy 3 1( x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.20.(本题满分 11)1 设函数f (x)ln xx⑴求 f ( x) 的最小值;⑵设数列 xn知足 ln x n11 ,证明极限 lim x n 存在,并求此极限.xn 1n21.(本题满分 11)设曲线 L 的方程为y 1 x 21ln x(1 x e) .42(1)求 L 的弧长.(2)设 D 是由曲线 L ,直线 x 1, x e 及 x 轴所围成的平面图形,求D 的形心的横坐标.22.本题满分 11 分)1 a0 1 a, b 为什么值时,存在矩阵C ,使得 ACCAB ,并求出所有矩阵C .设 A, B1 ,问当 1 0b23(本题满分11 分)a 1b 1 设二次型f ( x 1, x 2 , x 3 )2(a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2 (b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 ) 2 .记a 2 ,b 2 .a 3b 3(1)证明二次型 f 对应的矩阵为2TT;(2)若 ,正交且为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为 2 y 12 y 22 .2012 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、选择题 :1-8 小题 , 每题 4 分 , 共 32 分. 以下每题给出的四个选项中 , 只有一个选项切合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸 指定地点上 .... (1) 曲线 yx 2x的渐近线条数 ( )x 2 1(A) 0 (B) 1(C) 2(D) 3(2) 设函数f ( x)(e x 1)(e 2 x2)(e nxn) ,此中 n 为正整数 , 则 f (0)( )(A) ( 1)n 1(n 1)!(B)( 1)n ( n 1)!(C)( 1)n 1 n!(D)( 1)n n!(3)设a n0 (n1,2,3 ),S n a 1 a 2a 3a n ,则数列 S n 有界是数列 a n 收敛的( )(A) 充足必需条件(B) 充足非必需条件 (C) 必需非充足条件(D)非充足也非必需(4)设I kk ex 2sin xdx,( k 1,2,3),则有( )(A)I 1 I 2I 3 (B) I 3 I 2 I 1 (C) I 2I 3 I 1(D)I 2 I 1 I 3(5) 设函数为可微函数,且对随意的x, y 都有( x, y) ( x, y) 0, 则使不等式f ( x 1 , y 1 ) f ( x 2 , y 2 )f ( x, y )x 0, y成立的一个充足条件是( )(A)x 1 x 2 , y 1 y 2 (B) x 1 x 2 , y 1 y 2 (C) x 1 x 2 , y 1 y 2 (D) x 1 x 2 , y 1 y 2(6)设地区 D由曲线y sin x,x, y 1 围成,则 ( x 5 y 1)dxdy2D( )(A)(B) 2 (C) -2 (D) -11(7)设 α10 , α21 ,α31 ,α41 , 此中 c 1 ,c2 ,c3 ,c4 为随意常数,则以下向量组线性有关c 1c 2c 3c 4的为( )(A)α1,α2 ,α3(B)α1,α2 ,α4(C)α1,α3 ,α4(D)α2 ,α3 ,α4100(8) 设A为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且P1AP010. 若Pα1,α2,α3,Qα1α2,α2,α3002则Q 1AQ()100100200200(A) 020(B)010(C)010(D)020001002002001二、填空题: 9-14 小题 , 每题 4分,共 24分 . 请将答案写在答题纸指定地点上 ....(9) 设y y( x) 是由方程x2y 1 e y所确立的隐函数,则 d 2 y x 0.dx2(10)lim n 111 22222n 1 n2n n n.(11)设z f ln x1,此中函数f u 可微,则xz y 2 z.y x y(12)微分方程 ydx x3y 2 dy0 知足条件y x11的解为y.(13)曲线y x2x x0 上曲率为2的点的坐标是.2(14)设 A 为3阶矩阵,A=3,A*为 A 陪伴矩阵,若互换 A 的第1行与第2行得矩阵B,则BA*.三、解答题: 15-23 小题 , 共 94 分 . 请将解答写在答题纸指定地点上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤....(15)( 本题满分 10分)1 x1lim f x ,已知函数 f x,记 asin x x x 0(I) 求a的值 ;(II) 若x0 时,f x a 与 x k是同阶无量小,求常数k 的值.(16)( 本题满分 10分)x2y2求函数 f x, y xe 2的极值 .(17)( 本题满分 12 分)数学二历年考研试题及答案详解(2003~2013 )过 (0,1) 点作曲线 L : y lnx 的切线 , 切点为 A , 又 L 与 x 轴交于 B 点 , 地区 D 由 L 与直线 AB 围成 , 求地区D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)( 本题满分 10分)计算二重积分xyd ,此中地区 D 为曲线 r 1cosD(19)( 本题满分 10 分)已知函数 f ( x) 知足方程 f (x)f ( x) 2 f ( x) 0 及 f ( x)(I) 求 f ( x) 的表达式 ;(II)求曲线 y f ( x2) x f ( t 2)dt 的拐点 .(20)( 本题满分 10 分)证明 xln1x cos x 1 x 2 , ( 1 x 1) .1 x 2(21)( 本题满分 10 分)(I) 证明方程x n +x n-1x 1 n 1的整数 ,在区间(II) 记(I) 中的实根为 xn ,证明 lim x n存在,并求此极限.n与极轴围成 .f ( x) 2e x ,1,1 内有且仅有一个实根;2(22)( 本题满分 11 分)1 a 0 0 1 0 1 a 01设 A0 1 a ,0 0 a 0 0 1(I)计算队列式 A ;(II) 当实数 a 为什么值时,方程组 Ax 有无量多解,并求其通解 .(23)( 本题满分 11 分)1 0 1已知A0 1 1 ,二次型 f x 1 , x 2 , x 3 x T A T A x 的秩为 2, 1 0 a0 a 1(I)务实数 a 的值;(II)求正交变换 xQy 将 f 化为标准形 .2011 年全国硕士研究生入学一致考试数学二试题一、 选择题: 1~8 小题,每题4 分,共 32 分。
考研数学二历年真题(2000-2021)
2000年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1.2.3.4.5.二、选择题6.7.8.10.三、解答题11.12.13.14.15.17.18.19.20.21.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1、213lim21-++--→x x xx x =().2、曲线1)cos(2-=-+e xy e yx 在点(0,1)处的切线方程为:().3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=().4、微分方程11arcsin 2=-+'xy x y 满足(21y =0的特解为:().5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解,则a =().二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =(A )0;(B )1;(C )1101>≤⎩⎨⎧x x ;(D )1110>≤⎩⎨⎧x x .2、0→x 时,)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小,而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小,则正整数n 等于(A )1;(B )2;(C )3;(D )4.3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为(A )0;(B )1;(C )2;(D )3.4、函数)(x f 在区间(1-δ,1+δ)内二阶可导,)(x f '严格单调减小,且)1(f =)1(f '=1,则(A )在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有)(x f x <;(B )在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有)(x f x >;(C )在(1-δ,1)内有)(x f x <,在(1,1+δ)内有)(x f x >;(D )在(1-δ,1)内有)(x f x >,在(1,1+δ)内有)(x f x <.5、设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示:则)(x f y '=的图形为()三、(本题满分6分)求⎰++221)12(xxdx.四、(本题满分7分)求函数)(x f =sin sin sin lim(sin xt x t x t x-→的表达式,并指出函数)(x f 的间断点及其类型.五、(本题满分7分)设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M (y x ,)(1≥x )处的曲率半径,)(x s s =是该抛物线上介于点A (1,1)与M 之间的弧长,计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值(曲率K =23)1(2y y '+'').六、(本题满分7分))(x f 在[0,+∞)可导,)0(f =0,且其反函数为)(x g .若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰,求)(x f .七、(本题满分7分)设函数)(x f ,)(x g 满足)(x f '=)(x g ,)(x g '=2xe -)(x f 且)0(f =0,(0)g =2,求dx x x f x x g ⎰+-+π02)1()(1)([八、(本题满分9分)设L 为一平面曲线,其上任意点P (y x ,)(0>x )到原点的距离,恒等于该点处的切线在y 轴上的截距,且L 过点(0.5,0).1、求L 的方程2、求L 的位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小.九、(本题满分7分)一个半球型的雪堆,其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状,已知半径为r 0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少时间?十、(本题满分8分))(x f 在[-a ,a]上具有二阶连续导数,且)0(f =01、写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;2、证明在[-a ,a]上至少存在一点η,使⎰-=''a adxx f f a )(3)(3η十一、(本题满分6分)已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ,求X .十二、(本题满分6分)设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系,144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=,其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1.设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续,则=a ().2.位于曲线xxey -=(+∞<≤x 0)下方,x 轴上方的无界图形的面积为().3.02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是().4.1limn n →∞+=().5.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是().二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)1.函数)(u f 可导,)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时,相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1,则)1(f '=(A)-1;(B)0.1;(C)1;(D)0.5.2.函数)(x f 连续,则下列函数中,必为偶函数的是(A)⎰x dt t f 02)(;(B)⎰x dt t f 02)(;(C)⎰--xdt t f t f t 0)]()([;(D)⎰-+x dt t f t f t 0)]()([.3.设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解,则极限)()1ln(lim20x y x x +→(A)不存在;(B)等于1;(C)等于2;(D)等于3.4.设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x ;(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x ;(C)当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x ;(D)当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .5.设向量组321,,ααα线性无关,向量1β可由321,,ααα线性表示,而向量2β不能由321,,ααα线性表示,则对于任意常数k 必有(A)21321,,,ββααα+k 线性无关;(B)21321,,,ββααα+k 线性相关;(C)21321,,,ββαααk +线性无关;(D)21321,,,ββαααk +线性相关.三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ,求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程.四、(本题满分7分)设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x x x x f y x xe xe ,求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式.五、(本题满分7分)已知函数)(x f 在+R 上可导,0)(>x f ,1)(lim =+∞→x f x ,且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→,求)(x f .六、(本题满分7分)求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =,使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小.七、(本题满分7分)某闸门的形状与大小如图所示,其中直线l 为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次曲线与线段AB所围成.当水面与闸门的上断相平时,欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为5:4,闸门矩形部分的高h 应为多少?八、(本题满分8分)设30<<n x ,)3(1n n n x x x -=+(n =1,2,3,…).证明:数列{n x }的极限存在,并求此极限.九、(本题满分8分)设0>>a b ,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.十、(本题满分8分)设函数)(x f 在x =0的某邻域具有二阶连续导数,且0)0()0()0(≠'''f f f .证明:存在惟一的一组实数c b a ,,,使得当0→h 时,)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++.十一、(本题满分6分)已知A,B为三阶方阵,且满足E B B A 421-=-.⑴证明:矩阵E A 2-可逆;⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ,求矩阵A.十二、(本题满分6分)已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为四维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=.若4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.2003年考研数学(二)真题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)若0→x 时,1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小,则a=.(2)设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.(3)xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.(4)设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ,则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.(5)设α为3维列向量,T α是α的转置.若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111Tαα,则ααT =.(6)设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2,其中E 为三阶单位矩阵,若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ,则B =________.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立.(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[](2)设dx x x a n n nn n +=⎰+-123101,则极限n n na ∞→lim 等于(A)1)1(23++e .(B)1)1(231-+-e .(C)1)1(231++-e .(D)1)1(23-+e .[](3)已知x x y ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解,则(yxϕ的表达式为(A ).22xy -(B).22x y (C).22yx -(D).22yx [](4)设函数f(x)在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有一、一个极小值点和两个极大值点.二、两个极小值点和一个极大值点.三、两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[](5)01x dx x02tan ,则(A).121>>I I (B).121I I >>(C).112>>I I (D).112I I >>[](6)设向量组I :r ααα,,,21 可由向量组II :s βββ,,,21 线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关.(B)当s r >时,向量组II 必线性相关.(C)当s r <时,向量组I 必线性相关.(D)当s r >时,向量组I 必线性相关.[]三、(本题满分10分)设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax 问a 为何值时,f(x)在x=0处连续;a 为何值时,x=0是f(x)的可去间断点?四、(本题满分9分)设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定,求.922=x dx y d 五、(本题满分9分)计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六、(本题满分12分)设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七、(本题满分12分)讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(,其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(A)求曲线y=f(x)的方程;(B)已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ,试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九、(本题满分10分)有一平底容器,其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以min /33m 的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).(1)根据t 时刻液面的面积,写出t 与)(y ϕ之间的关系式;(2)求曲线)(y x ϕ=的方程.(注:m 表示长度单位米,min 表示时间单位分.)十、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在,证明:(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点ξ,使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰;(3)在(a,b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十一、(本题满分10分)若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ,试确定常数a 的值;并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a 2004年考硕数学(二)真题一.填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x =.(2)设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定,则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..(3)1+∞=⎰_____..(4)设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定,则3z zx y∂∂+=∂∂______.(5)微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.(6)设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,矩阵B 满足2ABA BA E **=+,其中A *为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =______-.二.选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(7)把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰,20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A ),,.αβγ(B ),,.αγβ(C ),,.βαγ(D ),,.βγα[](8)设()(1)f x x x =-,则(A )0x =是()f x 的极值点,但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点.(B )0x =不是()f x 的极值点,但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(C )0x =是()f x 的极值点,且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(D )0x =不是()f x 的极值点,(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[](9)lim n →∞等于(A )221ln xdx ⎰.(B )212ln xdx ⎰.(C )212ln(1)x dx +⎰.(D )221ln (1)x dx +⎰[](10)设函数()f x 连续,且(0)0f '>,则存在0δ>,使得(A )()f x 在(0,)δ内单调增加.(B )()f x 在(,0)δ-内单调减小.(C )对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.(D )对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[](11)微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为(A )2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++.(B )2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++.(C )2sin y ax bx c A x *=+++.(D )2cos y ax bx c A x*=+++[](12)设函数()f u 连续,区域{}22(,)2D x y x y y =+≤,则()Df xy dxdy ⎰⎰等于(A )11()dx f xy dy -⎰⎰.(B )2002()dy f xy dx ⎰⎰.(C )2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.(D )2sin 200(sin cos )d f r rdrπθθθθ⎰⎰[](13)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为(A )010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B )010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C )010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D )011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.[](14)设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵,则必有(A )A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.(B )A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.(C )A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.(D )A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三.解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(16)(本题满分10分)设函数()f x 在(,-∞+∞)上有定义,在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-,若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+,其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时,()f x 在0x =处可导.(17)(本题满分11分)设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.(18)(本题满分12分)曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体,其体积为()V t ,侧面积为()S t ,在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.(19)(本题满分12分)设2e a b e <<<,证明2224ln ln ()b a b a e->-.(20)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.(21)(本题满分10分)设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.(22)(本题满分9分)设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(23)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)设xx y )sin 1(+=,则π=x dy=.(2)曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为.(3)=--⎰1221)2(xxxdx.(4)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.(5)当0→x 时,2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小,则k=.(6)设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ,如果1=A ,那么=B .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则f(x)在),(+∞-∞内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[](8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N”,则必有(D)F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数.(B )F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数.[](9)设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+.(B)32ln 81+-.(C)32ln 8+-.(D)32ln 8+.[](10)设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,f(x)为D 上的正值连续函数,a,b 为常数,则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A)πab .(B)π2ab .(C)π)(b a +.(D)π2ba +.[](11)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ,其中函数ϕ具有二阶导数,ψ具有一阶导数,则必有(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂.(B )2222y ux u ∂∂=∂∂.(C)222yuy x u ∂∂=∂∂∂.(D)222xuy x u ∂∂=∂∂∂.[](12)设函数,11)(1-=-x x ex f 则五、x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.(B )x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点.[](13)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α,)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ.(B)02≠λ.(C)01=λ.(D)02=λ.[](14)设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,B A 分别为A,B 的伴随矩阵,则[]15.交换*A 的第1列与第2列得*B .(B)交换*A 的第1行与第2行得*B .(C)交换*A 的第1列与第2列得*B -.(D)交换*A 的第1行与第2行得*B -.三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)设函数f(x)连续,且0)0(≠f ,求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x (16)(本题满分11分)如图,1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象,过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象.过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l .记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ;32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =,求曲线3C 的方程).(y x ϕ=(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x (18)(本题满分12分)用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ,并求其满足2,10='===x x y y的特解.(19)(本题满分12分)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:(I )存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ;(II )存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (20)(本题满分10分)已知函数z=f(x,y)的全微分ydy xdx dz 22-=,并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(21)(本题满分9分)计算二重积分σd y xD⎰⎰-+122,其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .(22)(本题满分9分)确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示,但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.(23)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321(k 为常数),且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.(1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为(2)设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续,则a =.(3)广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是(5)设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定,则0d d x y x==(6)设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B .二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则[](A)0d y y <<∆.(B)0d y y <∆<.(C)d 0y y ∆<<.(D)d 0y y <∆<.(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()d x f t t ⎰是(A )连续的奇函数.(B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数(D )在0x =间断的偶函数.[](9)设函数()g x 可微,1()()e,(1)1,(1)2g x h x h g +''===,则(1)g 等于(A )ln 31-.(B )ln 3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-[](10)函数212e ee xxx y C C x -=++满足的一个微分方程是(A )23e .xy y y x '''--=(B )23e .xy y y '''--=(C )23e .xy y y x '''+-=(D )23e .xy y y '''+-=[](11)设(,)f x y 为连续函数,则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于(A)(,)d xx f x y y .(B )00(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x .(D)(,)d y f x y x .[](12)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0y x y ϕ'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[](A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=.(B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠.(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.(13)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是[]16.若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.17.若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关.(C)若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D)若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关.(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A)1C P AP -=.(B)1C PAP -=.(C)T C P AP =.(D)TC PAP =.[]三、解答题:15-23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)试确定,,A B C 的值,使得23e (1)1()xBx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求arcsin e d e x xx ⎰.(17)(本题满分10分)设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥,计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰(18)(本题满分12分)设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== (Ⅰ)证明lim n n x →∞存在,并求该极限;(Ⅱ)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(19)(本题满分10分)证明:当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.(20)(本题满分12分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数,且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(I )验证()()0f u f u u'''+=;(II )若(1)0,(1)1f f '==,求函数()f u 的表达式.(21)(本题满分12分)已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程;(III )求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.(22)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =;(Ⅱ)求,a b 的值及方程组的通解.(23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)当0x +→时,与等价的无穷小量是(A)1-(B)(C)1-(D)1-[](2)函数1(e e)tan ()e e x x xf x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x =[](A )0(B )1(C )2π-(D )2π(3)如图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设0()()d xF x f t t =⎰,则下列结论正确的是:(A )3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =(C )3(3)(2)4F F =(D )5(3)(2)4F F =--[](4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是:(A )若0()limx f x x →存在,则(0)0f =(B )若0()()lim x f x f x x→+-存在,则(0)0f =.(C )若0()lim x f x x →存在,则(0)0f '=(D )若0()()lim x f x f x x→--存在,则(0)0f '=.[](5)曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为(A )0.(B )1.(C )2.(D )3.[](6)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数,且()0f x ''>,令()n u f n =,则下列结论正确的是:(A)若12u u >,则{}n u 必收敛.(B)若12u u >,则{}n u 必发散(C)若12u u <,则{}n u 必收敛.(D)若12u u <,则{}n u 必发散.[](7)二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[](A )()[](,)0,0lim (,)(0,0)0x y f x y f →-=.(B )00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.(C )((,)0,0lim0x y →=.(D )00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且.(8)设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于(A )10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰(B )10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰(C )1arcsin 02d (,)d yy f x y xππ+⎰⎰(D )1arcsin 02d (,)d yy f x y xππ-⎰⎰(9)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关的是线性相关,则(A)122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---.(D)1223312,2,2αααααα+++.[](10)设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,则A 与B (A)合同且相似(B )合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同也不相似[]二、填空题:11~16小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.(11)30arctan sin limx x xx →-=__________.(12)曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_________.(13)设函数123y x =+,则()(0)n y =________.(14)二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.(15)设(,)f u v 是二元可微函数,,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭,则z z x y x y ∂∂-=∂∂__________.(16)设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,则3A 的秩为.三、解答题:17~24小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数,且满足()100cos sin ()d d sin cos f x x t t f t t t t t t --=+⎰⎰,其中1f -是f 的反函数,求()f x .(18)(本题满分11分)设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.(Ⅰ)求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ;(Ⅱ)当a 为何值时,()V a 最小?并求此最小值.(19)(本题满分10分)求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.(20)(本题满分11分)已知函数()f u 具有二阶导数,且(0)1f '=,函数()y y x =由方程1e1y y x --=所确定,设()ln sin z f y x =-,求2002d d ,d d x x z z x x ==.(21)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得()()f g ξξ''''=.(22)(本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤,计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰,其中(){},||||2D x y x y =+≤.(23)(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(24)(本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-,T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.(I )验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量;(II )求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为()()A 0()B 1.()C 2()D 3(2)曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数,则定积分()at af x dx ⎰()()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.(3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是()()A ''''''440y y y y +--=()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是()()A 若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛.()B 若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛.(6)设函数f连续,若22(,)uvD F u v =⎰⎰,其中区域uv D 为图中阴影部分,则F u ∂=∂()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u(7)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若30A =,则()()A E A -不可逆,E A +不可逆.()B E A -不可逆,E A +可逆.()C E A -可逆,E A +可逆.()D E A -可逆,E A +不可逆.(8)设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则在实数域上与A 合同的矩阵为()()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.(9)已知函数()f x 连续,且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-,则(0)____f =.(10)微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.(11)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .(12)曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______.(13)设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭,则(1,2)____z x ∂=∂.(14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-,则___λ=.三、解答题:15-23题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定,其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂.(17)(本题满分9分)求积分1⎰.(18)(本题满分11分)求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数,且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞,直线0,x x t ==,曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数()f x 的表达式.(20)(本题满分11分)(1)证明积分中值定理:若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b η∈,使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数,且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰,证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得(21)(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.(22)(本题满分12分)设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,现矩阵A 满足方程AX B =,其中()1,,T n X x x = ,()1,0,,0B = ,(1)求证()1nA n a =+;(2)a 为何值,方程组有唯一解,并求1x ;(3)a 为何值,方程组有无穷多解,并求通解.(23)(本题满分10分)设A 为3阶矩阵,12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量,向量3α满足323A ααα=+,(1)证明123,,ααα线性无关;(2)令()123,,P ααα=,求1P AP -.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数,则()()A 1.()B 2.()C 3.()D 无穷多个.(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.(3)设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()()A 不是(),f x y 的连续点.()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点.()D 是(),f x y 的极小值点.(4)设函数(),f x y 连续,则()()222411,,y xydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰.()B ()241,xx dx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx⎰⎰(5)若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则()f x 在区间()1,2内()()A 有极值点,无零点.()B 无极值点,有零点.()C 有极值点,有零点.()D 无极值点,无零点.(6)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:1()f x -2023x-1O则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()()A .()f x 023x1-2-11()B .()f x 023x1-2-11()C .()f x 023x1-11()D .()f x 023x1-2-11(7)设A 、B 均为2阶矩阵,**A B ,分别为A 、B 的伴随矩阵。
2001考研数二真题及解析
2001考研数二真题及解析考研对于众多学子来说,是一场知识与毅力的较量。
数学二作为其中的重要科目,其真题的研究对于备考有着至关重要的作用。
接下来,我们就一同来探讨一下 2001 年考研数学二的真题。
首先来看选择题部分。
第一题考查了函数的极限概念。
这需要我们对极限的定义和性质有清晰的理解。
例如,当 x 趋近于某个值时,函数的变化趋势是怎样的。
第二题则涉及到导数的定义和计算。
导数作为函数变化率的体现,其计算方法和应用在数学中十分常见。
填空题部分,也不乏对基础概念和计算能力的考察。
像第三题,要求我们求出某一函数的不定积分。
这就需要熟练掌握积分的基本公式和运算规则。
而第四题则是关于空间几何的问题,需要我们具备一定的空间想象能力和相关的计算公式。
再看解答题。
第五题是关于函数的单调性和极值问题。
要解决这类问题,首先要求出函数的导数,然后根据导数的正负来判断函数的单调性,进而求出极值。
这道题考查了我们对导数应用的掌握程度。
第六题是一道关于定积分的计算题。
定积分的计算需要我们掌握好积分的基本方法,如换元积分法、分部积分法等。
同时,还要注意积分区间的处理,以及被积函数的特点。
第七题是关于微分方程的问题。
微分方程在实际应用中有着广泛的应用,比如物理、工程等领域。
解微分方程需要我们熟悉常见的类型和相应的解法。
第八题是一道综合性较强的题目,涉及到函数、导数、积分等多个知识点。
这要求我们能够将所学的知识融会贯通,灵活运用。
对于这一年的真题,我们可以总结出一些特点和规律。
首先,基础知识的考察始终是重点。
无论是函数、导数、积分,还是微分方程,都是数学二的核心内容。
其次,题目注重对知识的综合运用能力的考察。
不再是单一知识点的简单测试,而是需要我们将多个知识点串联起来,解决复杂的问题。
在备考过程中,针对这些特点,我们要有针对性地进行复习。
对于基础知识,要做到扎实掌握,不仅要知道是什么,还要知道为什么和怎么用。
多做一些综合性的练习题,提高自己解决实际问题的能力。
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f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) 成立的一个充分条件是
(A) x1 x2 , y1 y2 (B) x1 x2 , y1 y2 (C)
x1 x2 , y1 y2
(D) x1 x2 , y1 y2
(6) 设区域 D 由曲线 y sin x, x (A) (B) 2
1 x 1 ,记 a lim f x , x 0 sin x x
k
(II)若 x 0 时, f x a 与 x 是同阶无穷小,求常数 k 的值.
(16)(本题满分 10 分) 求函数 f x, y xe
1 a 1 2 0 0 (8)矩阵 a b a 与 0 b 0 相似的充分必要条件为 1 a 1 0 0 0
(A) a 0, b 2 (B) a 0, b为任意常数 (C) a 2, b 0 (D) a 2, b为任意常数 二、填空题:914 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸 指定位置上. ...
)
y x z z f ( xy ) ,其中函数 f 可微,则 ( x y x y
(B) 2 yf ( xy) (C)
2
(A) 2 yf ( xy)
2 f ( xy ) x
2
(D)
2 f ( xy ) x
( 6 ) 设 Dk 是 圆 域 D ( x, y) | x y 1
(1 x e) ,
(22) (本题满分 11 分) 设A
1 a 0 1 当 a, b 为何值时, 存在矩阵 C 使得 AC CA B , 并求所有矩阵 C 。 , B , 1 0 1 b
5
(23) (本题满分 11 分) 设二次型 f x1 , x2 , x3 2 a1 x1 a2 x2 a3 x3 b1 x1 b2 x2 b3 x3
2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1
二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ... (9) 设 y y( x) 是由方程 x2 y 1 e y 所确定的隐函数,则 (10) lim n
n
1
Q α1 α 2 , α 2 , α3 则 Q1 AQ
1 0 0 (A) 0 2 0 0 0 1
1 0 0 (B) 0 1 0 0 0 2
2 0 0 (C) 0 1 0 0 0 2
n
2 n
)
(3)设函数 f ( x)=
x sin x, 0 x , F ( x) f (t )dt ,则( 0 x 2 2,
(A) x 是函数 F ( x) 的跳跃间断点 (C) F ( x) 在 x 处连续但不可导
(B) x 是函数 F ( x) 的可去间断点 (D) F ( x) 在 x 处可导
1 , 1 x e ( x 1) 1 (4)设函数 f ( x)= ,若反常积分 f ( x)dx 收敛,则( 1 1 , xe 1 x ln x
(A) 2 (5)设 z (B) 2 (C) 2 0 (D) 0 2 )
y 1)dxdy
D
(C) -2
(D) -
0 1 1 0 (7) 设 α1 0 , α 2 1 , α 3 1 , α 4 1 ,其中 c1 , c2 , c3 , c4 为任意常数,则下列向量 c c c c 2 3 4 1
2 2
a1 b1 ,记 a2 , b2 。 a b 3 3
(I)证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ;
2 2 (II)若 , 正交且均为单位向量,证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型 2 y1 。 y2
6
6
) ,则 L 所围成的平面图形的面积
x arctan t
2 y ln 1 t
上对应于 t 1 的点处的法线方程为
x 2x 2x
.
(13)已知 y1 e xe , y2 e xe , y3 xe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3
1 1 ,证明 lim xn 存在,并求此极限. n xn
(21) (本题满分 11 分) 设曲线 L 的方程为 y (1)求 L 的弧长; (2)设 D 是由曲线 L ,直线 x 1, x e 及 x 轴所围平面图形,求 D 的形心的横坐标。
1 2 1 x ln x 4 2
(19)(本题满分 11 分) 求曲线 x xy y 1( x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
3 3
4
(20) (本题满分 11 分) 设函数 f ( x) ln x
1 , x
(I)求 f ( x) 的最小值 (II)设数列 {xn } 满足 ln xn
2
x 1
1的解为 y
.
2 的点的坐标是 2
.
(14) 设 A 为3阶矩阵, A =3 , A* 为 A 伴随矩阵,若交换 A 的第1行与第2行得矩阵 B ,则
BA*
.
三、解答题:15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明 ... 过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 已知函数 f x (I)求 a 的值;
三、解答题:15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证 ... 明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 当 x 0 时, 1 cos x cos 2 x cos3x 与 ax 为等价无穷小,求 n 与 a 的值。
n
(16)(本题满分 10 分) 设 D 是由曲线 y x 3 ,直线 x a(a 0) 及 x 轴所围成的平面图形,Vx ,Vy 分别是 D 绕 x 轴, y 轴旋转一周所得旋转体的体积,若 Vy 10Vx ,求 a 的值。
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目 要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ... (1)曲线 y
x2 x 的渐近线条数 x2 1 (A) 0 (B) 1
(C) 2
2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ... (1)设 cos x 1 x sin ( x) ,其中 ( x) (A)比 x 高阶的无穷小 (C)与 x 同阶但不等价的无穷小
3x 2x
2
个解,该方程满足条件 y
x 0
0 y
x 0
1 的解为 y
.
( 14 ) 设 A (a ij ) 是 三 阶 非 零 矩 阵 , | A | 为 A 的 行 列 式 , A ij 为 a ij 的 代 数 余 子 式 , 若
a ij Aij 0(i, j 1, 2,3), 则 A ____
1
3
(17)(本题满分 10 分) 设平面内区域 D 由直线 x 3 y, y 3x 及 x y 8 围成.计算
x dxdy 。
2 D
(18)(本题满分 10 分) 设奇函数 f ( x) 在 [1,1] 上具有二阶导数,且 f (1) 1 .证明: (I)存在 ,使得 f ( ) 1 ;(II)存在 ,使得 f ( ) f ( ) 1 。 (0,1 ) (0,1 )
d2y dx 2
x 0
.
1 1 2 2 2 1 n 2 n
1 n n2
2
.
7
(11) 设 z f ln x
1 z 2 z , 其中函数 f u 可微,则 x y y x y
.
(12) 微分方程 ydx x 3 y 2 dy 0 满足条件 y (13) 曲线 y x x x 0 上曲率为
Sn a1 a2 a3
6
an ,则数列 Sn 有界是数列 an 收敛的
(A) 充分必要条件 (C) 必要非充分条件 (4) 设 I k e x sin xdx,(k 1,2,3), 则有
2
(B) 充分非必要条件 (D) 非充分也非必要
k
0
(A) I1 I 2 I 3
1
在 第 k 象 限 的 部 分 , 记
I k ( y x)dxdy(k 1, 2,3, 4) ,则(
Dk
) (D) I 4 0
(A) I1 0
(B) I 2 0
(C) I 3 0
(7)设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若 AB C, 则B可逆,则 (A)矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (C)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 (D)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
ln(1 x) 1 )x (9) lim(2 x x
(10) 设 函 数 f ( x)
.
t 1 e d, t 则 y f ( x) 的 反 函 数 x f 1 ( y) 在 y 0 处 的 导 数