高等代数课件资料科技大学理学院高等代数精品课程教5.ppt

合集下载

高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教.

V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
定理2：如果V1 ，V2是线性空间V的两个子空
间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空间。
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合，如果＝ 1＋ 2 ，＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2，因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ，有＋＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 因此V1+V2 是V的子集. 有限个子空间的和
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
推论2 : 和V1 V2为直和的充分必要条件是 V1 V2 0 证明 : 必要性 V1 V2 , 0 ( ) 0 0 因为V1 V2是直和, 零元素的表示法唯一, 从而 0 , V1 V2 {0} 充分性任意1 ,V1 , 2 V2 , 如果1 2 0, 有
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
例1 在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴与y轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. 例2 在三位几何空间中,若V1表示过原点的直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3.
例3 线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空间,V2是Br×nx=0的解空间,
第八章线性空间
§8.2 子空间及其交与和子空间的直和
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的运算。由于两个子空间的并一般未必仍是子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空间集合的运算。因此引入子空间的和。我们切不可把子空间的和与集合的并混为一谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。

高等代数CAI课件.pptx

则 ( y) ( ( y)) (x) y IM( y), 即 IM
∴σ为可逆映射．
2019年7月11
感谢你的观看
24
反之，设 : M M 为可逆映射，则对y M, 有y 1( y) ( 1( y)) 即, x 1( y) M ,使y ( x). 所以σ为满射.
感谢你的观看
14
例4 判断下列M 到M ´对应法则是否为映射
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4
（不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
（不是）
2）M＝Z，M´＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, n Z τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
例6 任意一个在实数集R上的函数 y＝f(x)
都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是映射的一个特殊情形．
2019年7月11
感谢你的观看
17
2、映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M ''，乘积
定义为： (a)＝τ(σ(a))
a M
即相继施行σ和τ的结果，是 M 到 M" 的一个
（双射）
2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z
（是满射，但不是单射）
3）M＝ Pnn ，M´＝P，（P为数域）
σ：σ(A)＝|A|， A Pnn （是满射，但不是单射）
2019年7月11
感谢你的观看
20
4）M＝P，M´＝ P nn , P为数域, E为n级单位矩阵

《高等代数》PPT课件

命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
2021/8/17
15
三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意，存在，使得 + = 0，称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
2021/8/17
8
二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
2021/8/17
4
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
2021/8/17
1
第五章向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构

高等代数【北大版】课件

线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都为零，主对角线上的元素为特征值。通过相似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理解矩阵的性质和特征。

高等代数

多项式
1 设 cd 2 0cd 2 0 （否则当 d 0 c 0 矛盾；当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是 d
ab 2 cd 2 ab 2 a1 b1 2, a1 , b1 Q cd 2 cd 2 cd 2

3 2
f x g x 3x 4 6 x 5 8 3 x
5 4
3
10 4 3 x 2 5 4 x 5
高等代数
多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：
加法交换律： f x g x g x f x
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
1
x 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
2
多项式
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数高等范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做代这样的限制。在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减数
ai bi xi 。当m<n时，取
i 0 n
bm1 bn 0。
n i 0
1
f x g x f x g x ai bi xi
f 定义5：设 f x , g x 如上， x 与 g x 的积为
多项式
f x g x c0 c1x cnm xnm
其中 ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 高

PowerPoint Presentation 高等代数.

0.7 0.2 变换矩阵A 0.3 0.8

2 1 xo 2000 4000 3 1
1 A的特征值为1＝1，2＝， 2 2 1 特征向量1＝ 3 ， 2＝ 1
2）椭圆的长半轴和短半轴的长分别为1
y2
1 和1
2 。
x1
3）椭圆的长半轴和短半轴的所在的直线即为特征向量 e1和e2所在的直线

其他例子：
1.“地球自转一个小时（不考虑公转）”，此变换的特征向量及特征值。

2.“把门推开”这一变换的特征向量和特征值。

思考：假设社会财富在某一阶段内在不同阶层中的分配的变化看成是一线性变换。若社会财富的初始状态是“两头小中间大” （穷人，中产者，富人）健康稳定型的占有状态，并假设变换的特征向量所在的方向分别代表穷人，中产者，富人所在的方向。
k222 k22
1)
A k111 k222
n n 1 1 1 n
2) A k k22 2

k111
A
当 | 1 || 2 | 时，空间中的向量在 A作用下的变化趋势

例 1 在Markov过程中的应用
在某城镇里，若每年有30%已婚妇女离婚，20%的单身女士结婚，假定该镇总体女士人口数保持不变，现假设有8000已婚女士， 2000单身女士，试求： n年后此两类女性人数各为多少?
2）此变换对应的变换矩阵A=?
2 2
2 1
A(1, 2 ) ( A1, A2 ) (21, 2 )
A (21,2 )(1,2 )1

例5.特征值特征向量在二次曲线中的几何意义

高等代数知识点总结课件

行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图像为一条直线。在高等代数中，线性函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加法性质、数乘性质、零元素性质和负元素性质等。这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足欧几里得几何的公理。在欧几里得空间中，向量的长度和角度都可以用实数表示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉几何的公理。在酉空间中，向量的长度和角度都可以用复数表示。酉空间在量子力学、信号处理等领域有广泛应用。

高等代数(绪论)讲解PPT课件

开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
17
2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道，但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
10
2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
2020年9月28日
高等代数
1
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长，喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室办公电话：2891005 电子信箱：
12
2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著

高等代数知识点总结 PPT

• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
f a ( x x 1 ) n 1 L ( x x t) n t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
|U V|i1Lim式 U -i1 --L ---i-m - 式 V i-1 -L ---i-m -
1
x1 V x12
M x n1
1
1L
x2 L
x
2 2
L
M
x n1 L
1
xn
x
2 n
(x j xi )
M
1i j n
x n1 n
V 0 x1, ..., xn 互不相同
对单位矩阵做一次初等变换
•
每个秩数为r的矩阵都等价于
Ir 0
0
0
• 对于m×n矩阵A，B下列条件等价
1. AB，即A可由初等变换化成B
2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
可逆矩阵vs列满秩矩阵
对于n阶矩阵A,下列条件等价
1. A是可逆矩阵
2. |A|0
3. 秩A=n
4. 有B使得AB=I或BA=I
f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)

高等代数课件

一个 (nr)r 阶零矩阵
如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1 的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2 是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是
A1 O O A2
|W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵
推论7.3.4 设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性变换, 它关于某个基的矩阵是A. 则变换可逆当且仅当矩阵A可逆, 且1关于这个基的矩阵就是A1. (保持逆)
二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系
设A, B是两个n阶矩阵, 如果存在n阶可逆矩阵T使得: B=T1AT则称矩阵A与B相似. 矩阵的相似关系是一种等价关系(即相似具有自反性, 对称性和传递性).
2
因此关于基{1, 2}的矩阵是
(2)
csions csoins
设是中V2的一个向量, 它和()关于基
{1, 2}的坐标分别是(x1, x2 )和(y1, y2 ), 则
O
yy1 2c sions csoinsxx1 2
例 2 位似变换关于任意基的矩阵是
kI
k
k
(2)
1
.特别地；
k
单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵, 零变换关于任意基的矩阵是零矩阵.
等式(1)
(2)a121a222an2n
(n)a1n1a2n2an nn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
A aa1211 an1

高代课件

A B B A, A B B A
思考题： 1、下列等式中哪些是正确的，哪些是错误的；正确的，请予以证明，错误的，请给出反例予以说明。 (1) ( A B) ( B A) ( A B) ( A B) (2) ( A B) C ( A C ) ( B C ) (3) ( A B) (C D) ( A C ) ( B D) (4) A ( B C ) ( A B) ( A C ) 2、写出集合的全部子集。 3、设是含有个元素的集合，的含有个元素的子集共有多少个？
思考题： 1、如果 f : A B不是单射时，应如何叙述？ 2、如果不是满射时，应如何叙述？ f : AB 3、如果，都不是双射，它们的合成能成为双射吗？为什 f : A B g:B C 么？
g f : AC
课堂练习 1、试证：映射 f : A B是单射的充要条件为 f 有唯一的左逆映射。 2、试证：f : N N , f (n) n 1是单射但不是满射。 3、设映射： : R R, f ( x) 4 x 5 f f 1 。求
一、映射的概定义1、集合A到集合B的一个对应关系如果满足：A中任一个元素a，关于 f 都存在B中的一个元素与其对应，则称 f 是A到B的一个 f a 映射。习惯上记为 f : A B ， b
a A
b
B
说明：关于映射 f : A B 需要注意 1、(存在性)对每个元素 a A ，都存在 b B 使 f : a b，其中b叫做关于 f 下的象，记为 b f (a) 2、(唯一性)对每个元素 a A ，关于 f 下 a的象都是唯一存在的。映射的相等如果 f : A B, g : C D 都是映射而且 A C, B D 且 a A 都有 f (a) g (a) 那么称 f 与 g 是相等的，记为 f g 。

高等代数(绪论)讲解课件

善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的基本工具，它可以用于图像处理、计算机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何变换。通过线性变换，可以研究几何对象的性质和关系，并将其应用于图像处理、计算机图形学等领域，实现图像的旋转、缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有序数组成。在高等代数中，向量通常表示为有序数对的序列，这些数对可以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若干列组成。在高等代数中，矩阵是重要的数学工具，它可以表示向量之间的关系、线性变换等。

《高等代数课件》

4 1 1 1 0
例3
求矩阵A的特征值和特征向量
A
4
3
0 .
1 1 0
1 0 2
解 (i) 由EA 4 3 0 (2)(1)2
1 0 2
得 A 的特 1 2 征， 2 值 3 1 ；
(ii) 当 1 2 时(2 ， E A )x 解 0 .
3 1 0 1 0 0
由2EA4 1 00 1 0
第4.1节特征值与特征向量
• 特征值与特征向量概念 • 特征值与特征向量性质
返回
1.特征值与特征向量概念
(1)特征值与特征向量定义设A为n阶方阵，若存在数 λ 及非零向量x使
Ax = λx
则称数 λ为A的特征值，x为A的对应于λ 的特征
向量. 例如
A 0 3 1 1 ,1,x 1 2 ,有 A xx
1 0 0 0 0 0
0
例2与例3中,
得xx12 00,全
部
特
征k1向 0(k量 10为 );重特征值所
1
对应的线性
当 23 1 时(， E A )x 解 0 . 无关特征向
2 1 0 1 0 1 由EA4 2 00 1 2
量的个数是不相同的.
1 0 1 0 0 0
1
得 xx212xx33,全
k1x1+k2x2+…+kmxm=0
(*)
用方阵A左乘上式两端,得
k1Ax1+k2Ax2+…+ks Axm=0
再利用 Axi=i xi ( i=1,2, …,m),得
k11x1+k22x2+…+kmmxm=0 (**)
(**)- λm(*),得

数学高等代数第五版精品PPT课件

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A；或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ，则 x A CA.不B论哪A一 C种情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则

高等代数【北大版】课件

多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干个线性因子乘积的过程。通过因式分解，可以更好地理解多项式的结构，简化计算和证明。此外，多项式的根是指满足多项式等于0的数。根的性质包括根的和与积、重根的性质等。求解多项式的根的方法有多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况，提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的基础概念，包括代数余子式、余子式、转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数式，按照一定规则排列，具有一些重要的性质，如交换律、结合律、代数余子式等。这些性质在后续章节中有着广泛的应用。

高等代数课件

线性变换的矩阵表示
对于一个线性变换，如果存在一组基使得该线性变换在这组基下的矩阵表示是恒等变换，那么这组基是这线性变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值按照排列方式决定。行列式的定义可以推广到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质，将行列式按照某一行或某一列展开，转化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列式，将其转化为更简单的形式，以便计算。
高阶矩阵的运算与性质

高等代数课件天津科技大学理学院高等代数精品课程教.

0
1
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1 2
1
0 1 0
0 0
0 1
A 1
0 1 0
1 2003 1 0
1 2
1
0 0 0
0
1 1 0 0
1 0
0
200数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
Ek1 J1
E J
Ek2 J 2
与
E k s
J
s
1
(
) i1i i1
等
1
( ks ) ks
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
因此, J的全部初等因子是: ( 1 ) k1 , ( 2 ) k2 ,, ( s ) ks
定理 : 每个n级的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似, 这个若当形矩阵除去若当块的次序外是被矩阵A唯一确定, 称为矩阵A的若当标准形.
个特征向量为（1，6，0）
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1 x1 x4
则令 P 6 x2 x5 ，由有AP＝PA
0
x3
x6
解出
x1 x3 x4 x6 1, x2 2, x5 3
1 1 1 P 6 2 3
1 1 1
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
例4
设
J
1 0
0 1
0 0
解
0 1 计算A2003 1
1 1 (E A) 0
0 －1
0 1
1 0
0
由于A的初等因子为＋1，（－1）2
0
0

北大精品课件高等代数(上)

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1 若干准备知识1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。

如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。

例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。

命题任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明设K 为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。

于是K aaK a a ∈=∈-=10，。

进而∈∀m Z 0>,K m ∈+⋯⋯++=111。

最后，∈∀n m ,Z 0>，K n m ∈，K nmn m ∈-=-0。

这就证明了Q ⊆K 。

证毕。

1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ⋂；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ⋃；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。

定义（集合的映射）设A 、B 为集合。

如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为).(,:a f a B A f →如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。