高等数学第六版(同济版)第十二章复习资料

第十二章 无穷级数引言：一、无穷级数简介：无穷级数是数学分析中的一个重要组成部分，是表示函数，特别是表示非初等函数的一个重要的数学工具，与极限理论并称为数学分析两大理论. 二、分类：常数项级数：它是函数项级数的特殊情况，又是函数项级数的基础. 函数项级数：它是研究函数性质以及进行数值计算的重要手段.第一节 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的相关概念1.引例：关于圆的面积问题：求半径为R 的圆的面积.首先作圆的内接正六边形，算出其面积1a ，得到圆面积的一个近似值：11a A =. 然后，以正六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这6个等腰角形面积之和2a ，得到圆面积的一个近似值：212a a A +=，即正十二边形的面积.再次，以正十二边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这12个等腰三角形的积3a ，得到圆面积的一个近似值：3213a a a A ++=，即正二十四边形的面积.如此进行n 次，得到圆面积的近似值n n a a a A +++= 21，即正n 23⨯边形的面积. n 越大，n A 近似A 的效果越好，自然地认为，圆面积A 是无穷多个数累加的和，即)(lim lim 21n n n n a a a A A +++==∞→∞→ .抽去面积问题的具体意义，就得到无穷级数的概念.2.常数项无穷级数：设有数列 ,,,,,:}{321n n u u u u u ，将该数列的各项依次用加号连接所成的表达式 +++++n u u u u 321称为常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记作∑∞=1n n u ，即 +++++=∑∞=n n n u u u u u 3211.其中n u 称为级数的通项或一般项.注：1°. 级数∑∞=1n n u 是无穷多个数相加的结果.2°. 级数∑∞=1n n u 的形成经历了一个有限到无限的过程.3.级数的和：称级数∑∞=1n n u 的前n 项和∑==nk k n u s 1为级数的部分和.称数列}{n s 为级数的部分和数列.若部分和数列}{n s 有极限s ，即s s n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n n u 收敛，称s 为级数的和,即+++++=n u u u u s 321.称差值n n s s r -=为级数∑∞=1n n u 的余项，显然0lim =∞→n n r .若数列}{n s 的极限不存在，则称∑∞=1n n u 发散.例1.讨论等比级数(几何级数) +++++=∑∞=n n n aq aq aq a aq 21的敛散性，其中0≠a .解：(1).若1≠q ，则部分和•aq aq a aq s n n k k n 11--=+++==∑qaq q a q q a nn ---=--=111)1(. 当1||<q 时，有q as n n -=∞→1lim ，则∑∞=1n n aq 收敛.当1||>q 时，有∞=∞→n n s lim ，则∑∞=1n n aq 发散.(2).若1=q ，则部分和na •s n =，有∞=∞→n n s lim ，则∑∞=1n n aq 发散.(3).若1-=q ，则部分和•k n k n a s n ⎩⎨⎧=+==.2,0.12,，有n n s ∞→lim 不存在，则∑∞=1n n aq 发散. 综上，等比级数∑∞=1n n aq 在1||<q 时收敛，在1||≥q 时发散.例2. 证明等差级数 +++++=∑∞=n n n 3211发散.证明：由于部分和2)1(21+=+++=n n n s n ，有∞=∞→n n s lim ，从而∑∞=1n n 发散.例3.判定级数 ++⋅++⋅+⋅=+∑∞=)1(1321211)1(11n n n n n 的敛散性.解：由于通项111)1(1+-=+=n n n n u n ，因此部分和111131212111+=+-++-+-=n n n n s n ，且1111lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→n s n n n ，则∑∞=+1)1(1n n n 收敛，其和为1. 二、收敛级数的基本性质性质1：若级数∑∞=1n n u 收敛，和为s ，则级数∑∞=1n n ku 也收敛，和为ks ，其中0≠k .性质2：若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛，其和分别为s 和σ，则∑∞=±1n n n v u 也收敛，其和为σ±s .性质3：在级数∑∞=1n n u 中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数∑∞=1n n u 的敛散性.性质4：若级数∑∞=1n n u 收敛，则对该级数的项任意加括号后所形成的级数++++++++++++-)()()(1111211k k n n n n n u u u u u u仍收敛.注：1°. 反之不成立，即去掉收敛级数各项中的括号后得到的级数未必收敛.例如： +-++-=-∑∞=)11()11()11(1n 收敛于0，但去掉括号后所形成的级数+-++-+-=+∞=+∑111)1(1111)1(n n n -却发散.因为∑∞=+-11)1(n n 的部分和⎩⎨⎧+===.12,1.2,0k n k n s n 不存在极限.2°.若级数∑∞=1n n u 的项加括号后所形成的级数发散，则∑∞=1n n u 也发散.性质5：若级数∑∞=1n n u 收敛，则0lim =∞→n n u .注：1°. 若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 发散.2°.若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 未必收敛.例4.证明调和级数∑∞=11n n发散.证明：用反证法.假设级数∑∞=11n n收敛于s ，再令该级数的部分和为n s ，有s s n n =∞→l i m ，从而也有s s n n =∞→2lim ，即0)(lim 2=-∞→n n n s s .但n n n s s n n 2121112+++++=- n n n 212121+++> 21=， 这与0)(lim 2=-∞→n n n s s 矛盾，从而调和级数∑∞=11n n发散.三、级数收敛的判别法——(柯西审敛原理)定理: 级数∑∞=1n n u 收敛⇔0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，+∈∀N p ，都有ε<++++++||21p n n n u u u 成立.证明：级数∑∞=1n n u 收敛⇔数列}{n S 收敛⇔0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，+∈∀N p ，都有ε<+++=-++++||||21p n n n n p n u u u s s 成立.例5.利用柯西审敛原理判定级数∑∞=121n n 的敛散性. 解：0>∀ε，+∈∀N p ，要使不等式22221)(1)2(1)1(1||p n n n u u u p n n n ++++++=++++++))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<p n p n n n n n +--++++-+++-=1112111111 <n1 成立，只须ε1>n .于是， 0>∀ε，11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀，+∈∀N p ，都有ε<++++++||21p n n n u u u 成立，由柯西审敛原理知，数∑∞=121n n收敛.第二节 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法 1.正项级数及其收敛性(1).正项级数：若级数∑∞=1n n u 中的通项0≥n u ，则称∑∞=1n n u 为正项级数.(2).正项级数收敛：设正项级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 收敛于s ，则称∑∞=1n n u 收敛，其和为s .注：正项级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 是单调增加的数列.(3).正项级数收敛的性质：定理1. 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有界.注：正项级数∑∞=1n n u 发散⇔∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 无界.2.正项级数审敛法(敛散性判别法) (1).比较审敛法定理2.对正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，满足n n v u ≤，),2,1( =n ，若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散.(大的收敛保证小的必收敛；小的发散导致大的发散)证明：1°.设∑∞=1n n v 收敛于和σ，则∑∞=1n n u 的部分和σ<++++≤++++= n n n v v v u u u s 2121，即部分和数列}{n s 有上界，且单调增加，于是由单调有界准则知}{n s 收敛，从而∑∞=1n n u 也收敛.2°. 假设∑∞=1n n v 收敛，由1°知∑∞=1n n u 也收敛，出现矛盾，故∑∞=1n n v 发散.推论：对正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若∑∞=1n n v 收敛，且+∈∃N N ，N n ≥∀，有)0(>≤k kv u n n ，则∑∞=1n n u 收敛. 若∑∞=1n n v 发散，且+∈∃N N ，N n ≥∀，有)0(>≥k kv u n n ，则∑∞=1n n u 发散.例1.讨论-p 级数(广义调和级数) ∑∞=11n p n )0(>p 的收敛性. 解：(1). 当10≤<p 时，有n n p 11≥，而调和级数∑∞=11n n 发散，从而广义调和级数∑∞=11n p n发散.(2). 当1>p 时，由于k x k ≤≤-1时，有p p x k 11≤，所以⎰⎰--≤=k k p k k p p dx xdx k k 11111，)2(≥k . 从而级数∑∞=11n p n 的部分和⎰∑⎰∑+=+≤+==-=n p n k k k p n k p n dx x dx x k s 1212111111111111111-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-p n p p ),3,2( =n . 这表明数列}{n s 有界，从而广义调和级数∑∞=11n n收敛.综上，广义调和级数∑∞=11n n当1>p 时收敛，当10≤<p 发散.例2.证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证明：由于2)1()1(+<+n n n ，从而11)1(1+>+n n n ，而级数∑∞=+111n n 是调和级数，发散.故级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.(2).比较审敛法的极限形式定理3.对正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ,满足l v u nnn =∞→lim. (1). 若+∞<<l 0，∑∞=1n n v 与∑∞=1n n u 同敛态.(2). 若0=l ，且∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(3). 若+∞=l ，且∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散.证明： (1).由l v u nn n =∞→lim，则对2l =ε，+∈∃N N ，N n >∀，有2ll v u n n =<-ε，或232l v u l n n <<，即 n n n v lu v l 232<<. 若∑∞=1n n v 收敛，由于n n v l u 23<，从而∑∞=1n n u 收敛.若∑∞=1n n v 发散，由于n n v lu 2>，从而∑∞=1n n u 发散.(2).由0lim =∞→n n n v u ，则对21=ε，+∈∃N N ，N n >∀，有2l v u n n <，即n n v l u 2<.若∑∞=1n n v 收敛，由于n n v lu 2<，从而∑∞=1n n u 收敛.(3).由+∞=∞→nnn v u lim 知0lim =∞→n n n u v ，假设∑∞=1n n u 收敛，则由(2)知∑∞=1n n v 收敛，矛盾，故∑∞=1n n u 发散.例3.判定级数∑∞=11sin n n 的收敛性.解：由于11sinlim =∞→nn n ，又∑∞=11n n 发散，从而∑∞=11sin n n 发散.(3). 比值审敛法 (d’Alembert 判别法)定理4. 对正项级数∑∞=1n n u ，满足ρ=+∞→nn n u u 1lim.(1).若1<ρ，则∑∞=1n n u 收敛.(2).若1>ρ或+∞=ρ，则∑∞=1n n u 发散.(3).若1=ρ，则∑∞=1n n u 敛散性待定.证明： (1).由1lim1<=+∞→ρnn n u u ，取0>ε，使1<=+r ερ，存在正数m ，当m n ≥时，有ερ<-+nn u u 1，或r u u nn =+<+ερ1，即n n ru u <+1.从而 ,,,,2121m k k m m m m m m u r u u r ru u ru u <<<<++++. 由于级数∑∞=1k m ku r 收敛，于是根据比较判别法的推论知∑∞=1n n u 收敛.(2). 由1lim1>=+∞→ρnn n u u ，取0>ε，使1>-ερ，存在正数m ，当m n ≥时，有ερ<-+nn u u 1，或11>->+ερn n u u ，即n n u u >+1，即数列}{n u 是单调增加的，从而0lim ≠∞→n n u ，因此∑∞=1n n u 发散.(3).当1=ρ时，∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散，例如：广义调和级数∑∞=11n p n 满足 11lim /1)1/(1lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→+∞→pn p p n nn n n n n n u u ，但当1>p 时∑∞=11n p n 收敛，当10≤<p 时∑∞=11n p n 发散. 例4．证明级数∑∞=-1)!1(1n n 的收敛性. 证明：由于101lim !)!1(lim lim 1<==-=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n ，故∑∞=-1)!1(1n n 收敛.例5.判定级数∑∞=110!n n n 的收敛性. 解：由于∞=+=+=∞→+∞→+∞→101lim 10/!10/)!1(lim lim 11n n n u u n n n n nn n ，故∑∞=110!n n n 发散. 例6.判断级数∑∞=-12)12(1n n n 的收敛性.解：由于1)22)(12(2)12(lim 2)12/(1)1(2)1)1(2/(1lim lim1=++-=-+-+=∞→∞→+∞→n n n n n n n n u u n n nn n ，故比值判别法失效.由于n n ≥-12，n n ≥2，从而212)12(1n n n <-，而∑∞=121n n 收敛，从而∑∞=-12)12(1n n n 收敛.(4).根值审敛法(柯西判别法)定理5. 对正项级数∑∞=1n n u ，满足ρ=∞→n n n u lim .(1).若1<ρ，则∑∞=1n n u 收敛.(2).若1>ρ或+∞=ρ，则∑∞=1n n u 发散.(3).若1=ρ，则∑∞=1n n u 敛散性待定.注：当1=ρ时，∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散，例如：广义调和级数∑∞=11n p n 满足 11lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→pn n n n n n u ， 但当1>p 时∑∞=11n p n 收敛，当10≤<p 时∑∞=11n p n发散.例7.判断级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解：由于021lim 21lim )1(221lim lim ])1(2ln[1lim ])1(2ln[1===-+=-+∞→-+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n e e u ，从而∑∞=-+12)1(2n n n 收敛.(5).极限审敛法定理6.对正项级数∑∞=1n n u ，(1).若)0(lim +∞≤<=∞→l l nu n n ，则∑∞=1n n u 发散.(2).若1>p 而)0(lim +∞<≤=∞→l l u n n pn ，则∑∞=1n n u 收敛.证明：(1). 在比较审敛法的极限形式中，取n v n 1=，由调和级数∑∞=11n n 发散，结论成立.(2). 在比较审敛法的极限形式中，取p n n v 1=，当1>p 时，由-p 级数∑∞=11n p n 收敛，结论成立.例8.判断级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211ln n n 的收敛性.解：由于)(1~11ln 22∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n ，有11lim 11ln lim 2222=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→n n n n n n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211ln n n 收敛.例9.判断级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1cos 11n n n π的收敛性.解：由于2222122~2sin 2cos 1⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n ππππ，有2222321211lim cos 11lim πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→n n n n n n nn n ， 故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1cos 11n n n π收敛.二、交错级数及其收敛法1.交错级数：称各项是正负交错的级数为交错级数，记作∑∞=--11)1(n n n u 或)0()1(1≥-∑∞=n n n n u u .2.交错级数审敛法：(莱布尼兹判别法) 定理7.若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足(1). ),3,2,1(1 =≥+n u u n n ，(2). 0lim =∞→n n u ，则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤，余项n r 满足1+≤n n u r . 简记：若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 中数列}{n u 单调减少趋近0，则∑∞=--11)1(n n n u 收敛.例10.判断交错级数∑∞=--111)1(n n n 的收敛性.解：由于(1).),3,2,1(1111 ==+>=+n u n n u n n ，(2).01lim lim ==∞→∞→n u n n n ,从而∑∞=--111)1(n n n 收敛. 三、任意项级数及其绝对绝对收敛、条件收敛1. 任意项级数：若级数∑∞=1n n u 中各项为任意实数，则称∑∞=1n n u 为任意项级数.2. 绝对收敛：若级数∑∞=1||n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛.条件收敛：若级数∑∞=1n n u 收敛，而级数∑∞=1||n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛.例如：∑∞=--1211)1(n n n 绝对收敛；∑∞=--111)1(n n n 条件收敛. 3.级数收敛的绝对审敛法：定理8. 若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则∑∞=1n n u 必定收敛.证明：由已知，有∑∞=1||n n u 收敛，设|)|(21n n n u u v +=，则有||n n u v ≤，从而有∑∞=1n n v 收敛.又∑∑∞=∞=+=11|)|(21n n n n n u u v ，有∑∑∑∞=∞=∞=-=111||2n n n n n n u v u ，从而∑∞=1n n u 收敛.注：1°.反之不成立，即收敛的级数未必是绝对收敛的.2°.一般来讲，∑∞=1||n n u 发散，∑∞=1n n u 未必发散，但若||n u 不趋近0，则由∑∞=1||n n u 发散可知∑∞=1n n u 发散.例11.判定级数∑∞=12sin n n n α的收敛性. 解：由于221sin n n n ≤α，而∑∞=121n n 收敛，故∑∞=12sin n n n α收敛，从而∑∞=12sin n n n α也收敛. 例12. 判定级数21121)1(1n n n nn ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=的收敛性.解：记21121n n n n u ⎪⎭⎫⎝⎛+=，有)(121121∞→>→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n e n u nn n ，从而有n u 不趋近0，因此21121)1(1n n n nn ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=发散.第三节 幂级数一、函数项级数的相关概念1.函数项级数：设有区间I 上的函数列)}({x u n ，将)}({x u n 中各项依次用加号连接起来，即++++)()()(21x u x u x u n ，称为函数项无穷级数，简称函数项级数，记作∑∞=1)(n n x u .注：1°.若I x x ∈=0，则函数项级数∑∞=1)(n n x u 成为常数项级数∑∞=10)(n n x u .2°.函数项级数分两类：幂级数、三角级数.2.函数项级数的收敛域：若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛，则称0x 是函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点，收敛点的全体称为它的收敛域. 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散，则称0x 是函数项级数∑∞=1)(n n x u 的发散点，发散点的全体称为它的发散域.3.函数项级数的和函数：对收敛域内的任一数x ，常数项级数∑∞=1)(n n x u 都有一个确定的和数)(x s ，称之为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，即∑∞==1)()(n n x u x s .注：和函数)(x s 的定义域是∑∞=1)(n n x u 的收敛域.4.函数项级数的余项：若∑∞=1)(n n x u 的部分和为)(x s n ，其和函数为)(x s ，有)()(lim x s x s n n =∞→，则称)()()(x s x s x r n n -=为∑∞=1)(n n x u 的余项，有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性1.幂级数：称各项都是幂函数的函数项级数∑∞=0n n n x a 为幂级数，即+++++=∑∞=n n n nn x a x a x a a xa 22100.注：幂级数∑∞=0n nn x a 在0=x 处收敛于0a .(幂级数∑∞=0n n n x a 还在x 轴上哪些点收敛，又在哪些点发散呢？下面的介绍的幂级数的收敛性能回答这些问题.) 2.幂级数的收敛性例1.考察幂级数∑∞=0n n x 的收敛性.解：暂时固定x ，则∑∞=0n n x 为几何级数，从而当1||<x 时，∑∞=0n n x 收敛，其和为xx s -=11)(；当1||≥x 时，∑∞=0n n x 发散，即∑∞=0n n x 在)1,1(-上收敛，在),1[]1,(∞+--∞ 发散.由此可见幂级数∑∞=0n n x 的收敛域是一个区间，这个结论对一般的幂级数也成立，即：定理1.(Abel 定理)若级数∑∞=0n nn x a 当00≠=x x 时收敛，则:x ∀0||x x <，有∑∞=0n n n x a 绝对收敛.若级数∑∞=0n nn x a 当00≠=x x 时发散，则:x ∀0||x x >，有∑∞=0n n n x a 发散.注：由Abel 定理可以看出，幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是以原点为中心的区间：)|||,|(00x x -；]|||,|(00x x -；)|||,|[00x x -；]|||,|[00x x -.推论：若幂级数∑∞=0n n n x a 既不仅在0=x 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得1.当R x <||时，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.2.当R x >||时，幂级数∑∞=0n n n x a 发散.3.当R x =||时，幂级数∑∞=0n n n x a 敛散性待定.注：称R 为幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.2.幂级数收敛半径的求法定理2.设有幂级数∑∞=0n n n x a ，若ρ=+∞→nn n a a 1lim，则∑∞=0n nn x a 的收敛半径⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=ρρρρ,00,0,1R .定理3.设有幂级数∑∞=0n n n x a ，若ρ=∞→n n n a lim ，则∑∞=0n n n x a 的收敛半径⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=ρρρρ,00,0,1R .例2.求幂级数 +-+++-=--∞=-∑nx x x x n x nn n n n 13211)1(32)1(的收敛半径与收敛区间. 解：由1111lim lim1=+==∞→+∞→nn a a n nn n ρ，则该级数的收敛半径为111==R . 又当1-=x 时，∑∑∞=∞=--=-111211)1(n n n n n 发散；当1=x 时，∑∞=--111)1(n n n 是交错级数，收敛，从而收敛区间为]1,1(-.例3.求幂级数 +++++=∑∞=!!21!20n x x x n x nn n 的收敛区间.解：由于011lim !1)!1(1lim lim1=+=+==∞→∞→+∞→n n n a a n n nn n ρ，从而级数∑∞=0!n n n x 的收敛半径+∞=R ，从而收敛区间为),(∞+-∞.例4.求幂级数 +++++=∑∞=n n n x n x x x n !!21!20的收敛区间.解：由于+∞=+=+==∞→∞→+∞→1lim !)!1(lim lim 1n n n a a n n nn n ρ，从而级数∑∞=0!n n n x 的收敛半径0=R ，从而级数∑∞=0!n n x n 仅在0=x 收敛.例5.求幂级数∑∞=022)!()!2(n nx n n 的收敛半径. 解：由于222222||4)!()!2(])!1[)!22(lim x x n n xn n n n n =+++∞→，又当1||42<x ，即21||<x 时，级数∑∞=022)!()!2(n n x n n 收敛；当1||42>x ，即21||>x 时，级数∑∞=022)!()!2(n n x n n 发散，从而级数∑∞=022)!()!2(n nx n n 的收敛半径21=R . 例6.求幂级数∑∞=⋅-02)1(n n nn x 的收敛区间.解：令1-=x y ，则有级数∑∞=⋅02n n n n y .由于2121)1(21lim lim 11=⋅+⋅==+∞→+∞→n n a a nn n nn n ρ，从而级数∑∞=⋅02n nnn y 的收敛半径2=R . 当2=y 时，∑∑∞=∞==⋅00122n n n n n n 发散；当2-=y 时，∑∑∞=∞=-=⋅-001)1(22)1(n n n n n n n n 收敛；因此级数∑∞=⋅02n nnn y 的收敛区间为)2,2[-. 由212<-≤-x ，即31<≤-x ，于是级数∑∞=⋅-02)1(n n n nx 的收敛区间为)3,1[-三、幂级数的运算定理4.设幂级数nn n x a ∑∞=0与n n n x b ∑∞=0的收敛半径分别为1R 和2R ，令{}21,min R R R =，则有n n n nn n x a x a ∑∑∞=∞==0λλ，λ为常数，1R x <；n n n nnn nnn nx b ax b x a )(0∑∑∑∞=∞=∞=±=±，R x <；nn n n n n n n n x c x b x a ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛000，其中k n nk k n b a c -=∑=0，R x <；nn nnn nnn nxc x b x a ∑∑∑∞=∞=∞==0，其中k n nk k n c b a -=∑=0，0R x <，0R 比1R 和2R 都小，例如：10=∑∞=n n n x a ，其中),2,1,0,1(0 ===n a a n ，x xb nn n -=∑∞=10，其中,1,110-==b b ,3,2,0==n b n ，这两个级数的收敛半径均为+∞=R ，但是+++++==-=∑∑∑∞=∞=∞=n n n nn n nn n x x x x x x b xa 200111的收敛半径只是1=R . 四、幂级数和函数的性质定理5.若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径0>R ，则其和函数)(x s 满足：(1).在收敛区间),(R R -上连续；(2).在收敛区间内可逐项求导，且()110)('-∞=∞=∑∑='=n n n nn n x a n xa x s ，),(R R x -∈；(3).在收敛区间内可逐项积分，且x d x a x d x s n xn n x∑⎰⎰∞==0)(，),(R R x -∈.注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.例7.求幂级数∑∞=0!n nn x 的和函数)(x s .解：由于+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim lim1n n a a R n n n n ，所以该级数的收敛域为),(∞+-∞，设其函数为∑∞==0!)(n nn x x s ，)(+∞<<-∞x ，则)(!!)1()('011x s k x n x x s k kn n ==-=∑∑∞=∞=-，)(+∞<<-∞x .两端乘以x-e ，有()0)(e ='-x s x.因此xC x s e )(=.由1)0(=s 得xx s e )(=，故有x n n n x e !0=∑∞=.例8.求幂级数∑∞=0n n nx 的和函数)(x s .解：由于11lim lim 1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，又1±=x 时，级数∑∞=±0)1(n n n 发散，所以该级数的收敛域为)1,1(-，设其函数为∑∞==0)(n n nx x s ，)11(<<-x ，则∑∑∞=-∞===01)(n n n n nx x nx x s ()'==∑∑∞=∞=10)'(n n n n x x x x '⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x 12)1(x x -=，)11(<<-x . 例9. 求幂级数∑∞=+01n nn x 的和函数)(x s .解：由于112lim lim 1=++==∞→+∞→n n a a R n n n n ，又1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n n n 收敛，所以该级数的收敛域为)1,1[-，设其和函数为)(x s ，)11[<<-x ，当0≠x 时，有∑∑∞=+∞=+=+=010111)(n n n n n x x n x x s ()⎰∑∑⎰∞=∞===x n nn x n dx x x dx x x 000011 )1ln(11110x xdx x x x --=-=⎰，)1||0[<<x 及1-=x . 而1)0(0==a s 或由和函数的连续性得到1)1(ln lim )(lim )0(00=⎪⎭⎫⎝⎛--==→→x x x s s x x ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=-∈--=0,1)1,0()0,1[),1ln(1)(x x x xx s .第四节 函数展开成幂级数一、函数展开成幂级数的相关概念1. 函数展开成幂级数：若在区间I 上存在幂级数∑∞=0n n n x a 收敛于给定的函数)(x f ，则称)(x f在I 上能展开成幂级数，即∑∞==0)(n n n x a x f .2.泰勒级数：若函数)(x f 在0x 的某邻域内具有1+n 阶导数，则称+-++-''+-'+=-∑∞=n n n n n x x n x f x x x f x x x f x f x x n x f )(!)()(!2)())(()()(!)(00)(200000000)( 为)(x f 的泰勒级数，即∑∞=-000)()(!)(~)(n n n x x n x f x f . 当00=x 时, 泰勒级数又叫麦克劳林级数. 注：泰勒级数∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f 在0x x =处收敛于)(0x f . 3.函数展成幂级数的条件定理1 .函数)(x f 在点0x 的某一邻域)(0x U 内具有各阶导数，则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是)(x f 的泰勒公式的余项满足0)(lim =∞→x R n n .证明：设knk k n x x k x f x S )(!)()(000)(1-=∑=+为泰勒级数∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f 的1+n 项余和，)(x f 的n 阶泰勒公式为)()()(1x R x S x f n n +=+，其中10)()(!)1()()(+-+=n n n x x n f x R ξ为拉格朗日余项. 必要性：若)(x f 在邻域)(0x U 内能展开成泰勒级数n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞=，则有 []0)()(lim )(lim 1=-=+∞→∞→x S x f x R n n n n .充分性：若0)(lim =∞→x R n n ，则有n n n n n x x n x f x S x f )(!)()(lim )(000)(1-==∑∞=+∞→. 思考：函数)(x f 在0x 处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?定理2.若)(x f 能展成x 的幂级数，则这种展开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同. 证明：设)(x f 所展成的幂级数为),(,)(2210R R x x a x a x a a x f n n -∈+++++= ，有)0(0f a =；由 ++++='-1212)(n n x na x a a x f 可得)0(1f a '=；+-++=''-22)1(!2)(n n x a n n a x f 可得)0(!212f a ''=；以此类推， +=n n a n x f !)()(，可得)0(!1)(n n f n a =，显然结论成立. 二、函数展开成幂级数的方法：直接展开方法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知级数展开式1.直接展开法由泰勒级数理论可知，函数)(x f 展开成幂级数的步骤如下：第一步：求函数)(x f 的各阶导数)()(x f n ，若在求解的过程中发现有某个)0()(k f 不存在，则不再进行，函数不能展开成幂级数. 第二步：求出)0(f 及)0()(n f ; 第三步：写出麦克劳林级数nn n x n f ∑∞=0)(!)0( , 并求出其收敛半径R . 第四步：考察在收敛区间内，1)(!)1()(lim )(lim +∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ是否为零，若0)(lim =∞→x R n n ，则有nn n x n x f x f ∑∞==00)(!)()(. 例1.将函数x e x f =)(展开成x 的幂级数.解：由于x n e x f =)()(，有1)0(=f ，1)0()(=n f ，从而)(x f 有幂级数++++++n x n x x x !1!31!21132， 其收敛半径为+∞=+=∞→)!1(1!1limn n R n ，从而∑∞=0!n nn x 在),(+∞-∞收敛. ),(+∞-∞∈∀x ,常数项级数∑∞=0!n nn x 都收敛，从而有0!l i m =∞→n x n n ，进而有0!lim =∞→n x n n .从而0)!1(lim )!1(lim )(lim 11=+=+=+∞→+∞→∞→n x e n x e x R n n n n n n ξξ， 因此 ++++++=n x x n x x x !1!31!211e 32，),(+∞-∞∈x . 例2.将函数x x f sin )(=展开成x 的幂级数.解：由于⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin )()(πn x x f n ，有)2,1,0(12,)1(2,0)0()( =⎩⎨⎧+=-==k k n k n f kn ，1)0()(=n f ，从而)(x f 有幂级数++-+++-+1253)!12(1)1(!51!31k k x k x x x ， 由于10)22)(32(lim )!12()1()!32()1(lim212321<=++=+-+-∞→+++∞→n n x n x n x n n n n n n ，从而∑∞=++-012)!12()1(n n nn x 在),(+∞-∞收敛. 0)!12(lim12=++∞→n x n n ，而 )!12(]2/)12(sin[lim )(lim 12+++=+∞→∞→n x n x R n n n n πξ )!12(lim]2/)12(sin[12+++=+∞→n x n n n πξ0=， 从而 ++-+++-=+1253)!12(1)1(!51!31sin k k x k x x x x ，),(∞+-∞∈x . 对上式两边求导可推出: +-+-+-=-n n x n x x x 2142!)2(1)1(!41!211cos ，),(∞+-∞∈x . 例3. 将函数m x x f )1()(+=展开成x 的幂级数,其中m 为任意常数.解: 易求出1)0(=f ，m f =')0(，)1()0(-=''m m f ，)1()2)(1()0()(+---=n m m m m f n ， 从而)(x f 有幂级数 ++--++-++n x n n m m m x m m mx !)1()1(!2)1(12， 由于11lim lim1=-+==∞→+∞→n m n a a R n n n n ，因此对任意常数m ，级数在开区间)1,1(-内收敛. 为避免研究余项, 设此级数的和函数为)(x F , 11<<-x ，则++--++-+++=nx n n m m m x m m x m x F !)1()1(!2)1(1)(2， 逐项求导得[] +-+--++-+='-1!)1()1()1(111)(n x n n m m x m m x F , 两端各乘以x ，得[] +-+--++-+='n x n n m m x m x m x F x !)1()1()1(11)(2,两式相加得]!)1()1(!2)1(1[)()1(2 ++--++-+++='+n x n n m m m x m m x m m x F x )(x mF =， 从而有⎰⎰+='x xdx x m dx x F x F 001)()(， 即)1ln()0(ln )(ln x m F x F +=-，又1)0(=F ，有m x x F )1()(+=.由此得++--++-+++=+n m x n n m m m x m m x m x !)1()1(!2)1(1)1(2)11(<<-x . 称为二项展开式.注：(1). 在1±=x 处的收敛性由m 的数值决定.(2). 当m 为正整数时, 级数为x 的m 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理.(3). 对应于21=m 、21-的二项展开式分别为 +⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅-+=+4328642531642314212111x x x x x )11(≤≤-x ； +⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-⋅+-=+43286425316423142121111x x x x x)11(≤<-x ； 2.间接展开法利用一些已知函数的幂级数展开式及幂级数的运算性质，将所给函数展开成幂级数例4. 将函数211)(x x f +=展开成x 的幂级数. 解: 因为 +-+-+-=+n n x x x x)1(1112 )11(<<-x ，把x 换成2x 得 +-+-+-=+n n x x x x2422)1(111 )11(<<-x . 例5. 将函数)1ln()(x x f +=展开成x 的幂级数.解:由于+-+-+-=+=n n x x x xx f )1(111)('2)11(<<-x ， 从 0 到 x 积分, 得 ∑∑⎰∑∞=-∞=+∞=-=+-=-=+110100)1(1)1()1()1ln(n n n n n n x n n n x n x n x d x x )11(≤<-x .例5. 将函数x sin 展开成4π-x 的幂级数. 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=4sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin ππππππx x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 4cos 21ππx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--= 5342)4π(!51)4π(!31)4π()4π(!41)4π(!21121x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-----+= 32)4π(!31)4π(!21)4π(121x x x .。