傅里叶变换在信号处理中的应用

课程论文
论文名称：傅里叶变换在信号处理中的应用学生姓名：
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授课教师：
二○一三年六月
摘要：
傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和，是一种特殊的积分变换。

傅立叶变换是数字信号处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换信号，对信号的特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述信号分析的第二种语言，广泛应用于信号的分析与处理。

因此，对涉及信号处理的工作者，深入研究和掌握傅立叶变换及其扩展形式的特性，是很有价值得。

把傅立叶变换的理论通其物理解释相结合，将有助于解决大多数信号处理问题。

傅里叶变换可分为连续傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换。

关键词：傅里叶变换、时域、频域、信号处理、调制、滤波、抽样 1.连续傅里叶变换
函数f(x)的傅里叶变换存在的条件是满足狄里赫莱条件，即： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积。

（1）一维连续傅里叶变换及反变换：
单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为：
dx e x f u F ux j ⎰
∞
∞
--=π2)()(
其中12-=j ，x 称为时域变量，u 为频率变量。

当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)
du e u F x f ux j ⎰∞
∞
-=π2)()(
（2）二维连续傅里叶变换及反变换：
二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v) 定义为：
dxdy e y x f v u F vy ux j )(2),(),(+-∞
∞-∞
∞
-⎰
⎰
=π
x,y 为时域变量，u,v 为频域变量。

当给定F(u,v)，通过傅里叶反变换可以得到f(x,y)：
dudv e v u F y x f vy ux j )(2),(),(+∞
∞-∞
∞
-⎰
⎰
=π
2.离散傅里叶变换
（1）一维离散傅里叶变换及反变换：
单变量离散函数f(x)（x=0，1，2，…，M-1）的傅里叶变换F(u)定义为：
∑-=-=
10
/2)(1
)(M x M
ux j e
x f M
u F π
u=0，1，2，…，M-1
当给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)
∑-==
10
/2)(1
)(M u M
ux j e
u F M
x f π
x=0，1，2，…，M-1
由欧拉公式 θθθsin cos j e j += 有：
∑-=-=
10
/)2()(1
)(M x M
ux j e
x f M u F π
)/)2sin(/)2(cos()(1
10
M ux j M ux x f M M x ππ-+-=
∑-=
)/2sin /2(cos )(1
10
M ux j M ux x f M
M x ππ-=
∑-=
（2）二维离散傅里叶变换及反变换：
图像尺寸为M ⨯N 的函数f(x,y)的DFT 为：
)
//(21010
),(1
),(N vy M ux j M x N y e
y x f MN
v u F +--=-=∑∑=
π
其中u=0，1，2，…，M-1， v=0，1，2，…，N-1；u 和v 是频率变量。

当给定F(u,v)，通过傅里叶反变换可以得到f(x,y)：
)//(2101
),(),(N vy M ux j M u N v e v u F y x f +-=-=∑∑=π
其中x=0，1，2，…，M-1， y=0，1，2，…，N-1；u 和v 是频率变量。

3.快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)是计算离散傅里叶变换(DFT)的快速算法。

离散傅里叶变换运算量巨大，计算时间长，即运算时间很长。

而快速傅里叶变换的提出将傅里叶变换的复杂度由降到了，很大程度上减少了计算量。

∑-==
120
2)(21
)(M x ux M
W
x f M
u F
∑∑-=+-=++=10
)
12(210
)2(2})12(1)2(1
{
21M x x u M
M x x u M
W x f M
W
x f M
令∑-==
10
)2(1
)(M x ux M
e W
x f M
u F ，∑-=+=
10
)12(1
)(M x ux M
o W
x f M
u F ，u=0，1，2，…，M-1
则[]
u M o e W u F u F u F 2)()(21)(+=
，[]
u M o e W u F u F M u F 2)()(2
1
)(-=+ 4.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用
在许多工程问题中，调制与解调的概念起着十分重要的作用，并有广泛的应用。

所谓调制就是用一个信号去控制另一个信号的某个参量，产生已调制信号，其实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围。

在几乎所有实际通信系统中，信号从发送端到接收端，为实现有效、可靠和远距离的信号传输，都需要调制和解调。

比如无线通信。

调制过程将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围，这就容易以电磁波形式辐射出去。

调制的目的是把要传输的模拟信号或数字信号变换成适合信道传输的信号，这就意味着把基带信号（信源）转变为一个相对基带频率而言频率非常高的代通信号。

该信号称为已调信号，而基带信号称为调制信号。

调制可以通过使高频载波随信号幅度的变化而改变载波的幅度、相位或者频率来实现。

调制过程用于通信系统的发端。

在接收端需将已调信号还原成要传输的原始信号，也就是将基带信号从载波中提取出来以便预定的接受者（信宿）处理和理解的过程。

该过程称为解调。

从另一方面讲，如果不进行调制而是把被传送的信号直接辐射出去，那么各电台所发出的信号频率就会相同，它们混在一起，收信者将无法选择所要接受的信号。

解调则是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号，实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，也即信号分别依附于不同频率的载波上，接收机就可以分离出所需要频率的信号，不致互相干扰。

5.傅里叶变换在滤波技术中的应用
利用电路容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产生不同的响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。

设滤波器的输入()x t ，输出()y t ，则有滤波器系统的输入关系如下：
()()()x t h t y t *= (5)
由时域卷积定理知，式5可转换为
()()()X H Y ωωω= (6)
其中：()()CFT x t X ω−−−→，()()CFT y t Y ω−−−→，()()CFT
h t H ω−−−→
由式6知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研究，进行频谱分析提供了可能。

又由式6知
()()/()H Y X ωωω= (7)
其中()H ω称为系统函数，可完全表征系统的性质和特征。

因此，若已知输入()x t 及要求的输出()y t ，对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤波系统，从而满足适当地满足实际需要。

6.傅里叶变换在抽样技术中的应用
数字电子技术的迅速发展，尤其是计算机在自动控制、自动检测以及许多其他领域中的广泛应用，使得用数字技术处理模拟信号的情况也更加普遍了。

在通信系统中，利用已有的数字技术处理模拟信号，不仅可以使模拟信号的传输更加简化，而且能保证传输的准确性。

而利用数字技术处理模拟信号，首先得将模拟信号数字化。

利用抽样可以将模拟信号数字化。

通过傅里叶变换可以知道：一定条件下，一个连续时间信号或离散序列均可惟一地用其等间隔的样本值来表示，这种表示是完全和充分的。

换言之，这组等间隔的样本值包含了原信号或序列的全部信息，且原信号可以由这组样本值完全恢复出来。

总结：通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的应用。

通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少码间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输。

另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理。

总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用，学习傅里叶变换是学习其它频域变换的基础。