齐齐哈尔万有引力与宇宙单元测试卷 (word版,含解析)

一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）

1．如图所示，a 、b 、c 是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a 和b 质量相等，且小于c 的质量，则（ ）

A ．b 所需向心力最小

B ．b 、c 的周期相同且大于a 的周期

C ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度

D ．b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度 【答案】ABD 【解析】 【分析】 【详解】

A ．因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，由2

GMm

F r =向知，b 所受的引力最小，故A 正确； B ．由

2

2

22GMm mr mr r T πω??== ???

得3

2r T GM

=，即r 越大，T 越大，所以b 、c 的周期相等且大于a 的周期，B 正确；

C ．由

2

GMm

ma r

= 得2

GM

a r =

，即 2

1a r ∝

所以b 、c 的向心加速度大小相等且小于a 的向心加速度，C 错误； D ．由

2

2GMm mv r r

=

得v =

v

∝

所以b 、c 的线速度大小相等且小于a 的线速度，D 正确。 故选ABD 。

2．2020年也是我国首颗人造卫星“东方红一号”成功发射50周年。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km ，远地点高度约为2060km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km 的地球同步轨道上。设东方红一号在近地点的加速度为1a ，线速度1v ，东方红二号的加速度为2a ，线速度2v ，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为3a ，线速度3v ，则下列大小关系正确的是（ ） A ．213a a a >> B ．123a a a >>

C ．123v v v >>

D ．321v v v >>

【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】

AB ．对于两颗卫星公转，根据牛顿第二定律有

2

Mm

G

ma r = 解得加速度为2

GM

a r =

，而东方红二号的轨道半径更大，则12a a >；东方红二号卫星为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律 2a r ω=

且东方红二号卫星半径大，可得23a a >，综合可得123a a a >>，故A 错误，B 正确；

CD ．假设东方红一号卫星过近地点做匀速圆周运动的线速度为1v '，需要点火加速变为椭圆轨道，则11

v v '>；根据万有引力提供向心力有 2

2Mm v G m r r

=

得卫星的线速度v =

可知，东方红二号的轨道半径大，则1

2v v '>；东方红二号卫星为地球同步卫星，它和赤道上随地球自转的物体具有相同的角速度，由匀速圆周运动的规律有

v r ω=

且东方红二号卫星半径大，可得23v v >，综上可得11

23v v v v '>>>，故C 正确，D 错误。

故选BC。

3．如图所示，卫星在半径为1r的圆轨道上运行速度为1υ，当其运动经过A点时点火加速，使卫星进入椭圆轨道运行，椭圆轨道的远地点B与地心的距离为2r，卫星经过B点的速度为B

υ，若规定无穷远处引力势能为0，则引力势能的表达式

p

GMm

E

r

=-，其中G 为引力常量，M为中心天体质量，m为卫星的质量，r为两者质心间距，若卫星运动过程中仅受万有引力作用，则下列说法正确的是

A．1

b

υυ

<

B．卫星在椭圆轨道上A点的加速度小于B点的加速度

C．卫星在A点加速后的速度为2

12

11

2

A B

GM

r r

υυ

??

=-+

?

??

D．卫星从A点运动至B点的最短时间为

()3

12

11

1

2

r r

t

r

υ

+

=

【答案】AC

【解析】

【分析】

【详解】

假设卫星在半径为r2的圆轨道上运行时速度为v2．由卫星的速度公式

GM

v

r

=知，卫星在半径为r2的圆轨道上运行时速度比卫星在半径为r1的圆轨道上运行时速度小，即

v2

v B

2

GMm

ma

r

=，可知轨道半径越大，加速度越小，则

A B

a a

>，故B 错误；卫星加速后从A运动到B的过程，由机械能守恒定律得，

22

12

11

()()

22

A B

GMm GMm

mv mv

r r

+-=+-得2

12

11

2()

A B

v GM v

r r

=-+C正确；设卫星在半径为r1的圆轨道上运行时周期为T1，在椭圆轨道运行周期为T2．根据开普勒第三

定律3

123

122

1

2(

)2r r r T T += 又因为1112r T v π= 卫星从A 点运动至B 点的最短时间为22T t =，联立

解得t =

故D 错误．

4．若第一宇宙速度为v 1，绕地球运动的卫星最小的周期为T ，地球同步卫星的周期为T 0，引力常量为G ，则（ ）

A ．地球的质量为2

1v G

B ．卫星运动轨道的最小半径为

12v T

π

C

．地球同步卫星的线速度大小为1v D

【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】

A ．设地球质量和半径分别为M 、R ，则第一宇宙速度满足

2

12=

mv Mm G R R

所以地球质量为

21v R

M G

= A 错误； B ．由

22224=='

Mm mv G m r r r T π 得

v =

，'T = 所以轨道半径r 越小，线速度越大，周期越小，且最小轨道半径即为地球半径R ，联立得

12R

v T

π=

所以

12v T

R π

=

B 正确；

CD ．设地球同步卫星线速度和轨道半径分别为为2v 、2T ，则

22GM v r = ，232

04r T GM

π=

且

1GM v R =，234R T GM

π=，12v T R π=

联立得

3

210

T

v v T =? 所以同步卫星离地面高度为

23

1

0211320()22v TT T v v T r TT ππ-=?-= C 正确，D 错误。 故选BC 。

5．如图所示，宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱与人的总质量为m ，月球质量为M ，月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，轨道舱到月球中心的距离为r ，不计月球自转的影响。卫星绕月过程中具有的机械能由引力势能和动能组成。已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r 时，引力势能为

p GMm

E r

=-

，则（ ）

A ．返回舱返回时，在月球表面的最大发射速度为v gR =

B ．返回舱在返回过程中克服引力做的功是(1)R W mgR r

=-

C ．返回舱与轨道舱对接时应具有的动能为2

2k mgR E r

=

D ．宇航员乘坐的返回舱至少需要获得(1)R

E mgR r

=-能量才能返回轨道舱

【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】

A ．返回舱在月球表面飞行时，重力充当向心力

2

v mg m R

＝

解得

v =已知轨道舱离月球表面具有一定的高度，故返回舱要想返回轨道舱，在月球表面的发射速

，故A 错误；

B ．返回舱在月球表面时，具有的引力势能为GMm

R

-

，在轨道舱位置具有的引力势能为GMm

r

-

，根据功能关系可知，引力做功引起引力势能的变化，结合黄金代换式可知 0

02

GMm m g R = GM =gR 2

返回舱在返回过程中克服引力做的功是

(1)R

W mgR r =-

故B 正确；

C ．返回舱与轨道舱对接时，具有相同的速度，根据万有引力提供向心力可知

2

2 GMm v m r r

＝ 解得动能

2

22212k GMm mgR E mv r r

==

＝ 故C 正确；

D ．返回舱返回轨道舱，根据功能关系可知，发动机做功，增加了引力势能和动能

22

(1)22R mgR mgR mgR mgR r r r

-+=-

即宇航员乘坐的返回舱至少需要获得2

2mgR mgR r

-的能量才能返回轨道舱，故D 错误。

故选BC 。

6．行星A 和行星B 是两个均匀球体，行星A 的卫星沿圆轨道运行的周期为T A ，行星B 的卫星沿圆轨道运行的周期为T B ，两卫星绕各自行星的近表面轨道运行，已知

:1:4A B T T =，行星A 、B 的半径之比为A B :1:2R R =，则（）

A ．这两颗行星的质量之比A

B :2:1m m = B ．这两颗行星表面的重力加速度之比:2:1A B g g =

C ．这两颗行星的密度之比A B :16:1ρρ= D

．这两颗行星的同步卫星周期之比A B :T T =【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】

A ．人造地球卫星的万有引力充当向心力

2224Mm R G m R T

π＝ 得

23

2

4R M GT

π＝ 所以这两颗行星的质量之比为

32()116(2 811

)A A B B B A m R T m R T ??＝＝＝ 故A 正确；

B ．忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力

2

Mm

G

mg R ＝ 得

2

GM

g R ＝

所以两颗行星表面的重力加速度之比为

2248 11()1

A A

B B B A g m R g m R ??＝＝＝ 故B 错误；

C ．行星的体积为3

4

3

V R π＝ 故密度为

23

2234343

R M GT V GT R ππρπ＝＝＝ 所以这两颗行星的密度之比为

2

)

16

1

(

A B

B A

T

T

ρ

ρ

＝＝

故C正确；

D．根据题目提供的数据无法计算同步卫星的周期之比，故D错误。

故选AC。

7．中国北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（GPS）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导航系统。2020年北斗卫星导航系统已形成全球覆盖能力。如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做匀速圆周运动，a是地球同步卫星，则

（）

A．卫星a的运行速度大于卫星c的运行速度

B．卫星c的加速度大于卫星b的加速度

C．卫星c的运行速度小于第一宇宙速度

D．卫星c的周期大于24h

【答案】BC

【解析】

【分析】

【详解】

A．由万有引力提供向心力有

2

2

Mm v

G m

r r

=

则得

GM

v

r

=

则半径大的运行速度小，选项A错误；

B．由万有引力提供向心力：

2

Mm

G ma

r

=

则

2

GM

a

r

=

则半径小的加速度大，选项B正确；

C．第一宇宙速度是人造地球卫星飞船环绕地球做匀速圆周运动时的最大速度，所以卫星c

的运行速度小于第一宇宙速度，选项C 正确； D ．由万有引力提供向心力

2224Mm G mr r T

π= 可得

3

2r T GM

π

= 则半径大的周期大，即a 的周期(24h)大于c 的周期，选项D 错误。 故选BC 。

8．有a ，b ，c ，d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近的近地轨道上做圆周运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有( )

A ．a 的向心加速度等于重力加速度g

B ．b 在相同时间内转过的弧长最长

C ．c 在4h 内转过的圆心角是3

π D ．d 的运动周期可能是30 h 【答案】BCD 【解析】 【分析】 【详解】

A 、a 受到万有引力和地面支持力，由于支持力等于重力，与万有引力大小接近，所以向心加速度远小于重力加速度，选项A 错误；

B 、由GM

v r

=

知b 的线速度最大，则在相同时间内b 转过的弧长最长，选项B 正确； C 、c 为同步卫星，周期T c ＝24 h ，在4 h 内转过的圆心角＝

42243

π

π?=，选项C 正确；D 、由3

2r T GM

=知d 的周期最大，所以T d >T c ＝24 h ，则d 的周期可能是30 h ，选项D

正确． 故选BCD

9．“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接及“蛟龙”号下潜突破7000米入选2012年中国十大科技进展新闻。若地球半径为R ，把地球看作质量分布均匀的球体（质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零）。“蛟龙”号下潜深度为d ，“天宫一号”

轨道距离地面高度为h ，“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为（ ）

A ．R

d R h

B ．3

2

()()R R d R h -+

C ．23

()()R d R h R

D ．

2

()()

R d R h R

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

“天宫一号”绕地球运行，所以

32

2

4

3()()R m

Mm G G mg R h R h ρπ?==++

“蛟龙”号在地表以下，所以

32

2

4()3

()()

R d m M m G

G

m g R d R d ρπ-?'

''

==''--

“天宫一号”所在处与“蛟龙”号所在处的重力加速度之比为

2

3

2

3(()()1)g R R R g R h R h d d R =?'-+=+- 故ACD 错误，B 正确。 故选B 。

10．2020年1月7号，通信技术试验卫星五号发射升空，卫星发射时一般需要先到圆轨道1，然后通过变轨进入圆轨道2。假设卫星在两圆轨道上速率之比v 1∶v 2=5∶3，卫星质量不变，则（ ）

A ．卫星通过椭圆轨道进入轨道2时应减速

B ．卫星在两圆轨道运行时的角速度大小之比12ωω：=125∶27

C ．卫星在1轨道运行时和地球之间的万有引力不变

D ．卫星在两圆轨道运行时的动能之比

E k1∶E k 2=9∶25 【答案】B 【解析】 【分析】

【详解】

A ．卫星通过椭圆轨道进入轨道2，需要做离心运动，所以应加速才能进入2轨道，选项A 错误；

B ．根据万有引力提供向心力有

2

2GMm v m r r

= 解得

GM

v r

=

因为v 1:v 2=5:3，则

r 1:r 2=9∶25

根据万有引力提供向心力有

22

GMm

mr r

ω= 解得

3=

GM

r

ω 可得卫星在两轨道运行时的角速度大小之比

ω1:ω2=125:27

选项B 正确；

C ．万有引力大小不变，但方向一直变化，选项C 错误；

D ．根据2

12

k E mv =

，则卫星在两轨道运行时的动能之比 E k1∶E k2=25:9

选项D 错误； 故选B 。

11．．图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是

A ．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

B ．在绕月圆轨道上，卫星的周期与卫星质量有关

C ．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

第三宇宙速度是卫星脱离太阳系的最小发射速度，所以“嫦娥一号”卫星的发射速度一定小于第三宇宙速度，A项错误；设卫星轨道半径为r，由万有引力定律知卫星受到引力F＝

G

2

Mm

r

，C项正确．设卫星的周期为T，由G

2

Mm

r

＝m

2

2

4

T

π

r得T2＝

2

4

GM

π

r3，所以卫星的

周期与月球质量有关，与卫星质量无关，B项错误．卫星在绕月轨道上运行时，由于离地球很远，受到地球引力很小，卫星做圆周运动的向心力主要是月球引力提供，D项错误．

12．如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则不正确的是（）

A．A的加速度一定大于B的加速度

B．L一定时，m越小，r越大

C．L一定时，A的质量减小△m而B的质量增加△m，它们的向心力减小

D．A的质量一定大于B的质量

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

A．双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，根据2

a rω

=，因为

A B

r r

>

所以

A B

a a

>

A正确；

BD．双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故有

22

A A

B B

m r m r

ωω

＝

所以

A B

B A

r m

r m

=

其中

A B r r L +=

所以L 一定时，m 越小，r 越大； 因为

A B r r >

所以

A B m m <

B 正确，D 错误；

C ．双星的向心力由它们之间的万有引力提供，有

2

=A B

m m F G

L 向 A 的质量m A 小于B 的质量m B ，L 一定时，A 的质量减小Δm 而B 的质量增加Δm ，根据数学知识可知，它们的质量乘积减小，所以它们的向心力减小，C 正确。 本题选不正确的，故选D 。

13．靠近地面运行的近地卫星的加速度大小为a 1，地球同步轨道上的卫星的加速度大小为a 2，赤道上随地球一同运转（相对地面静止）的物体的加速度大小为a 3，则（ ） A ．a 1=a 3＞a 2 B ．a 1＞a 2＞a 3

C ．a 1＞a 3＞a 2

D ．a 3＞a 2＞a 1

【答案】B 【解析】 【分析】

题中涉及三个物体：地球赤道上有一随地球的自转而做圆周运动物体3、绕地球表面附近做圆周运动的近地卫星1、地球同步卫星2；物体3与卫星1转动半径相同，物体3与同步卫星2转动周期相同，从而即可求解． 【详解】

地球上的物体3自转和同步卫星2的周期相等为24h ，则角速度相等，即ω2=ω3，而加速度由a =r ω2，得a 2＞a 3；同步卫星2和近地卫星1都靠万有引力提供向心力而公转，根据

2GMm ma r =，得2

GM

a r

=，知轨道半径越大，角速度越小，向心加速度越小，则a 1＞a 2，综上B 正确；故选B ． 【点睛】

本题关键要将赤道上自转物体3、地球同步卫星2、近地卫星1分为三组进行分析比较，最后再综合；一定不能将三个物体当同一种模型分析，否则会使问题复杂化．

14．如图所示，假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船在距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。则（ ）

A ．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为

01

4

g R B ．飞船在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为 0

R

g

C ．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过 A 点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过 A 点的加速度

D ．飞船在 A 点处点火时，速度增加 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

A ．飞船在轨道I 上运行时，根据万有引力等于向心力得

()

2

2

33Mm

v G

m R R

R R =++

在月球表面上，根据万有引力等于重力，得

02Mm

G

mg R

= 联立得飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为

01

2

v g R =

选项A 错误；

B ．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行，有

2

024mg mR T

π=

得

R T 2g =选项B 正确；

C ．在轨道Ⅰ上通过A 点和在轨道Ⅱ上通过A 点时，其加速度都是由万有引力产生的，而万有引力相等，故加速度相等，选项C 错误。

B ．飞船在A 点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是速度减小的，选项D 错误。 故选B 。

15．牛顿发现了万有引力定律以后，还设想了发射人造卫星的情景，若要发射人造卫星并将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近（）

A．地球的引力较大

B．地球自转角速度较大

C．重力加速度较大

D．地球自转线速度较大

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

A．由万有引力定律可知物体在地球表面各点所受的引力大小相等，故A错误；

B．在地球上各点具有相同的角速度，故B错误；

C．赤道处重力加速度最小．故C错误；

D．相对于地心的发射速度等于相对于地面的发射速度加上地球自转的线速度．地球自转的线速度越大，相对于地心的发射速度越大，卫星越容易发射出去．赤道处，半径最大，所以自转线速度最大．故D正确．

故选D。