北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末高二数学(文)试卷及答案

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2014-2015学年北京市西城区高二下学期期末考试数学(文科)

2014-2015学年北京市西城区高二下学期期末考试数学（文科）一、选择题（共10小题；共50分）1. 设集合A=1,2,3,4,5，B=x x−1x−4<0，则A∩B= A. 1,2,3,4B. 2,3C. 1,2,3D. 2,3,42. 在实数范围内，下列不等关系不恒成立的是 A. x2≥0B. a2+b2≥2abC. x+1>xD. x+1>x3. 下列函数中，既是偶函数又在0,+∞上是单调递增函数的是 A. y=lg xB. y=−x2+3C. y= x −1D. y=3x4. 命题“存在实数x，使得x>1”的否定是 A. 不存在实数x，使x>1B. 存在实数x，使x≤1C. 对任意实数x，都有x<1D. 对任意实数x，都有x≤15. 已知a n是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则公差等于 A. 2B. 4C. 6D. 86. 已知a，b为不相等的两个正数，且lg ab=0，则函数y=a x和y=b x的图象之间的关系是A. 关于原点对称B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称D. 关于直线y=x对称7. 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 过曲线C:y=1xx>0上一点P x0,y0作曲线C的切线，若切线的斜率为−4，则x0等于 A. 2B. 12C. 4 D. 149. 已知函数f x=1x−1,x>1,−2x+a,x≤1在R上满足：对任意x1≠x2，都有f x1≠f x2，则实数a的取值范围是 A. −∞,2B. −∞,−2C. 2,+∞D. −2,+∞10. 已知函数f x=xe，给出下列结论：①1,+∞是f x的单调递减区间；②当k∈ −∞,1e时，直线y=k与y=f x的图象有两个不同交点；③函数y=f x的图象与y=x2+1的图象没有公共点．其中正确的序号是 A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③二、解答题（共6小题；共78分）11. 设函数f x=log2x2−2x−8的定义域为A，集合B=x x−1x−a≤0．（1）若a=−4，求A∩B；（2）若集合A∩B中恰有一个整数，求实数a的取值范围．12. 已知数列a n是等差数列，S n为其前n项和，a1=−6，S3=S4．（1）求a n的通项公式；（2）设b n=2a n+4，求数列b n的前n项和．13. 已知函数f x=x2−2mx+3．（1）当m=1时，求函数f x在区间−2,2上的最大值和最小值；（2）若函数f x在区间1,+∞上的值恒为正数，求m的取值范围．14. 已知函数f x=a−x e x+1，其中a>0．（1）求函数f x的单调区间；（2）证明函数f x只有一个零点．15. 某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/ kg）满足关系式y=150x−6+a x−92,6<x<9,177x−6−x,9≤x≤15其中a为常数．已知销售价格为8元/ kg时，该日的销售量是80 kg．（1）求a的值；（2）若该商品成本为6元/ kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大．16. 已知函数f x=ln x+x−12mx2．（1）当m=2时，求函数f x的极值点；（2）若关于x的不等式f x≤mx−1恒成立，求整数m的最小值．三、填空题（共6小题；共30分）17. 若x∈R+，则x+4x的最小值为______．18. log22+lne= ______．19. 不等式2x−1x>1的解集为______．20. 已知定义在R上的奇函数f x满足f x−2=f x，且当x∈1,2时，f x=x2−3x+2，则f6= ______；f12= ______．21. 函数f x=ln x−12x2的极值是______．22. 个人取得的劳务报酬，应当交纳个人所得税．每月劳务报酬收入（税前）不超过800元不用交税；超过800元时，应纳税所得额及税率按下表分段计算：劳务报酬收入税前应纳税所得额税率劳务报酬收入税前不超过 4000 元劳务报酬收入税前减 800 元20%劳报报酬收入税前超过 4000 元劳务报酬收入税前的 80%20%⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（注：应纳税所得额单次超过两万，另有税率计算方法．）某人某月劳务报酬应交税款为800元，那么他这个月劳务报酬收入（税前）为______ 元．答案第一部分1. B2. D3. C4. D5. A6. B7. C8. B9. C 10. B第二部分11. （1）由f x=log2x2−2x−8得：x2−2x−8>0，解得x<−2，或x>4，从而定义域为A= x x<−2或x>4．因为a=−4，所以B=x x−1x+4≤0，解得−4≤x≤1，所以A∩B=x−4≤x<−2．（2）当a>4时，B=x1≤x≤a，A∩B=x4<x≤a，若只有一个整数，则整数只能是5，所以5≤a<6．当a<−2时，B=x a≤x≤1，A∩B=x a≤x<−2，若只有一个整数，则整数只能是－3，所以−4<a≤−3．综上所述，实数a的取值范围是−4,−3∪5,6．12. （1）因为S3=S4，所以a4=0．因为数列a n是等差数列，a1=−6，所以−6+3d=0，d=2．所以a n=−6+2n−1=2n−8．（2）由a n=2n−8可得a n+4=2n+4−8=2n，所以b n=2a n+4=4n．从而可知b n是首项b1=4，公比为4的等比数列，所以其前n项和为41−4n1−4=44n−13．13. （1）当m=1时，f x=x2−2x+3．函数f x的对称轴是x=1．所以在x∈−2,2上，当x=1时，有最小值f1=2；当x=−2时，有最大值f−2=11．（2）由已知，函数f x的对称轴是x=m．①当m≥1时，函数f x的最小值为f m=3−m2，若函数f x在区间1,+∞上的值恒为正数，则3−m2>0，解得−3<m<3，所以1≤m<3；②当m<1时，函数f x的最小值为f1=4−2m，若函数f x在区间1,+∞上的值恒为正数，则4−2m>0，解得m<2，所以m<1．综上所述，实数m的取值范围是 −∞,．14. （1）f′x=−e x+a−x e x=e x−x+a−1．令fʹx=e x−x+a−1=0，解得x=a−1．因为x∈−∞,a−1时，fʹx>0，x∈a−1,+∞时，fʹx<0，所以函数f x的单调增区间是−∞,a−1，减区间是a−1,+∞．（2）由（Ⅰ）知，f a−1是极大值，也是最大值．且f a−1=e a−1+1>0．①当x<a−1时，因为a−x>0，e x>0，所以f x在−∞,a−1上恒为正数，函数f x没有零点；②当x>a−1时，取x=a+1，则f a+1=−e a+1+1，因为a>0，所以e a+1>e，−e a+1<−e，从而f a+1=−e a+1+1<0．由零点存在定理可知，在区间a−1,a+1上函数f x有一个零点；因为a−1,+∞是f x的减区间，所以f x零点只有一个．综上，函数f x只有一个零点．15. （1）因为销售价格为8元/ kg时，该日的销售量是80 kg，所以，80=1508−6+a8−92，解得a=5．（2）当商品成本为6元/ kg时，商品销售利润为：x−6y=x−6150x−6+5x−92,6<x<9,x−6177x−6−x , 9≤x≤15①当6<x<9时，利润y1=150+5x−6x−92，y1′=5x−6x−92ʹ=5x−6x2−18x+81ʹ=15x−7x−9所以，y1在区间6,7上单调递增，在区间7,9上单调递减，所以x=7时利润最大，最大值为170元．②当9≤x≤15时，利润y2=177−x x−6=−x2+6x+177，是开口向下的二次函数，对称轴是x=3，在区间上9,15单调递减，所以x=9时利润最大，为150元．综上可知，当销售价格为7元/ kg，该日销售该商品的利润最大，最大值为170元．16. （1）当m=2时，f x=ln x+x−x2x>0．fʹx=1x +1−2x=−2x2+x+1x=−x+12x+1x，在区间0,1上，f′x>0；在区间1,+∞上，f′x<0．所以，f x在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减．所以f x的极大值点为1，没有极小值点．（2）令G x=f x−mx−1=ln x−12mx2+1−m x+1,x>0．则不等式f x≤mx−1恒成立，即G x≤0恒成立．G ʹx=1x −mx+1−m=−mx2+1−m x+1x．①当m≤0时，因为x>0，所以G ′x>0，所以G x在0,+∞上是单调递增函数，又因为G1=ln1−12m×12+1−m+1=−32m+2>0，所以关于x的不等式G x≤0不能恒成立．②当m>0时，G ʹx=−mx 2+1−m x+1x=−m x−1mx+1x．令G ′x=0，因为x>0，得x=1m，所以当x∈0,1m 时，G ′x>0；当x∈1m,+∞ 时，G ′x<0．因此函数G x在x∈0,1m 是增函数，在x∈1m,+∞ 是减函数．故函数G x的最大值为G1m =ln1m−12m×1m2+1−m×1m+1=12m−ln m．令ℎm=12m−ln m，因为ℎm在m∈0,+∞上是减函数，又因为ℎ1=12>0，ℎ2=14−ln2<0，所以当m≥2时，ℎm<0．所以整数m的最小值为2．第三部分17. 418. 3219. x x<0或x>120. 0；1421. −1222. 5000。

2015西城区高二(上)期末数学(文科)

2015西城区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）圆x2+y2+2y=1的圆心为（）A．（0，1） B．（0，﹣1）C．（0，2） D．（0，﹣2）2．（4分）椭圆x2+=1的离心率为（）A． B． C．D．3．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（4分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（4分）命题“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题为（）A．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a=b B．∀a，b∈R，如果a2=ab，则a≠bC．∀a，b∈R，如果a2≠ab，则a≠b D．∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab6．（4分）圆x2+y2=2与圆x2+y2+4y+3=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交7．（4分）“四边形ABCD为菱形”是“四边形ABCD中AC=BD”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0相互垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．C．1 D．或19．（4分）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（）A．10cm B．7.2cm C．3.6cm D．2.4cm10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱AB的中点，M为面BCC1B1上的点．一质点从点P射向点M，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点D1．则线段PM 与线段MD1的长度和为（）A．B．4 C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．（5分）抛物线y2=4x的准线方程是．12．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是．13．（5分）如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为．14．（5分）圆心在直线y=x上，且与x轴相切于点（2，0）的圆的方程为．15．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为．16．（5分）“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度．降水量以mm为单位．为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为mm．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（13分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，∠AEB=90°，F为CE上的点．（Ⅰ）求证：AD∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE⊥BF．18．（13分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（4，0），C（3，1）．（Ⅰ）求△ABC中AC边上的高线所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC外接圆的方程．19．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，E为AC中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1E；（Ⅱ）求证：平面BC1E⊥平面ACC1A1．20．（13分）如图，A，B是椭圆W：+y2=1的两个顶点，过点A的直线与椭圆W交于另一点C．（Ⅰ）当AC的斜率为时，求线段AC的长；（Ⅱ）设D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D．求直线AC的斜率．21．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=BC=3，CD=3，E为PB中点．（Ⅰ）求三棱锥P﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：CE⊥平面PBD；（Ⅲ）设M是线段CD上一点，且满足DM=2MC，试在线段PB上确定一点N，使得MN∥平面PAD，并求出BN的长．22．（14分）已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】由题意可得：圆的方程为：x2+y2+2y=1，所以圆的标准方程为：x2+（y+1）2=2，所以圆的圆心为（0，﹣1）．故选：B．2.【解答】由椭圆x2+=1，可得a2=4，b2=1，则c2=a2﹣b2=4﹣1=3，∵a＞0，c＞0，∴，则椭圆x2+=1的离心率为e=．故选：B．3．【解答】双曲线﹣y2=1的a=，b=1，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，则所求渐近线方程为y=±x．故选D．4．【解答】对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故C正确；对于D，若m∥α，m⊥n，则n⊥α或者n⊂α；故D错误；故选C．5．【解答】“∀a，b∈R，如果a=b，则a2=ab”的否命题是∀a，b∈R，如果a≠b，则a2≠ab．故选：D．6．【解答】圆x2+y2=2的圆心（0，0），半径为R=；圆x2+y2+4y+3=0化为标准方程得：x2+（y+2）2=1，故圆心坐标（0，﹣2），半径为r=1，∵圆心之间的距离d=2，R+r=1+＞2，R﹣r=，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：D．7．【解答】由“四边形ABCD为菱形”推不出“四边形ABCD中AC=BD”，不是充分条件，由“四边形ABCD中AC=BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，不是必要条件，故选：D．8．【解答】当a=1时，直线l1：x+2y+6=0，直线l2：x+a2﹣1=0，显然两直线不垂直．当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得=﹣1，解得a=．故选B．9．【解答】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（10，12）在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．因此，灯泡与反光镜的顶点的距离为3.6cm．故选：C．10．【解答】根据几何体的性质，结合光的反射原理得出P关于B的对称点N，∴MP=NP，即连接DN，D1N，根据正方体的性质，得出Rt△D1DN，∵边长为2，∴AN=3，AD=2，即DN=，∵DD1=2，∴D1N==．故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．【解答】∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．12．【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是：∀x∈R，使x2﹣2x≥0．故答案为：∀x∈R，使x2﹣2x≥0．13．【解答】由三视图知几何体的底面是底边、高均为2的平行四边形，四棱锥的高为2．∴几何体的体积V=×22×2=．故答案为：．14．【解答】∵圆心在直线y=x上故可设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2=r2又∵与x轴相切于点（2，0）故a=2，r=2∴所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．15．【解答】双曲线C：x2﹣=1的a=1，b=2，c==，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则F到渐近线的距离为d==2，故答案为：2．16．【解答】设圆锥形液面的底面半径为r，则圆锥容器的底面半径为2R，圆锥形液面的体积V==4πr2，设降水量为x，则πr2x=4πr2，解得：x=4，故答案为：4三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC又因为BC⊂平面BCEAD⊄平面BCE所以AD∥平面BCE（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面ABEAD∥BCBC⊥平面ABEAE⊥BC因为∠AEB=90°所以：AE⊥BE所以：AE⊥平面BCEBF⊂平面BCE所以：AE⊥BF18．【解答】（Ⅰ）∵A（0，0），C（3，1），∴直线AC的斜率为，又AC边上的高所在的直线经过点B（4，0），且与AC垂直，∴所求直线斜率为﹣3，所求方程为y﹣0=﹣3（x﹣4），即3x+y﹣12=0；（Ⅱ）设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵点A（0，0），B（4，0），C（3，1）在圆M上，则，解得D=﹣4，E=2，F=0．∴△ABC外接圆的方程为x2+y2﹣4x+2y=0．19．【解答】（Ⅰ）证明：连结CB1，与BC1交于点F，连结EF．…（1分）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以四边形BCC1B1是矩形，点F是B1C中点．…（3分）又E为AC中点，所以EF∥AB1．…（5分）因为EF⊂平面BC1E，AB1⊄平面BC1E，所以AB1∥平面BC1E．…（7分）（Ⅱ）证明：因为AB=BC，E为AC中点，所以BE⊥AC．…（9分）又因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，从而CC1⊥BE．…（11分）所以BE⊥平面ACC1A1．…（12分）因为BE⊂平面BC1E，…（13分）所以平面BC1E⊥平面ACC1A1．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）由已知A（0，﹣1），直线AC的方程为．…（1分）由得2x2﹣3x=0，…（2分）解得或x=0（舍），…（3分）所以点C的坐标为，…（4分）所以．…（5分）（Ⅱ）依题意，设直线AC的方程为y=kx﹣1，k≠0．由得（3k2+1）x2﹣6kx=0，…（7分）解得或x=0（舍），…（8分）所以点C的横坐标为，设点D的坐标为（x0，y0），则，…（9分），…（10分）因为以AB为直径的圆恰过点D，所以|OD|=1，即．…（11分）整理得，…（12分）所以．…（13分）21．【解答】（Ⅰ）解：由已知PD=PC=3，可知，△PCD是等腰直角三角形，∠CPD=90°．∵平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD．三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC⊥平面PCD，∴BC⊥PD．∵∠CPD=90°，即PD⊥PC，∴PD⊥平面PBC．∵CE⊂平面PBC，∴PD⊥CE．∵PC=BC，E为PB中点，∴CE⊥PB，∵PD∩PB=P，∴CE⊥平面PBD．（Ⅲ）解：在面PCD上，过M作MF∥PD交PC于F．在面PBC上，过F作FN∥BC交PB于N，连接MN．∵MF∥PD，MF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴MF∥平面PAD．∵FN∥BC∥AD，FN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴FN∥平面PAD．∴平面MNF∥平面PAD．从而，MN∥平面PAD．由所作可知，△CMF为等腰直角三角形，，∴CF=1，PF=2．△PNF，△PBC均为等腰直角三角形，∴，．∴N为线段PB上靠近点B的三等分点，且．22．【解答】（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．将代入直线方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以y A y B=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．设AB中点坐标为（x0，y0），则，，所以弦AB的垂直平分线方程为，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，当，即时，|AB|的最大值为6．当时，；当时，．均符合题意．所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．。

北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题含答案

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学 2015.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A 卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（）（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （）（A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（）（A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（）（A ）2π（B ）3π2（C ）π（D ）π26．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（）（A ）6π （B ）6π-（C ）3π （D ）3π-7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（）（A ）4（B ）2（C （D ）18．当[0,π]x ∈时，函数()cos f x x x =的值域是（）（A ）[2,1]-（B ）[1,2]-（C ）[1,1]-（D ）[-9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（）（A ）向左平移π3个单位（B ）向右平移π3个单位（C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（）（A （B ）1（C ）||m（D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα．（Ⅰ）求πtan()4-α的值；（Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(,)22=-b ，其中α是锐角．（Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ；（Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直；（Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．19．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0}A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =；（Ⅱ）求a 的最大值．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}A a b =，则满足{,,}AB a b c =的不同集合B 的个数是_____．2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则实数m 的取值范围是_____．5．已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得M =成立，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．已知函数()31([0,1])g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,1]上的几何平均数为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值． 7．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数．（Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+．设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+；（Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.B ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7.B ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-； 12.1213-； 13. (,)42ππ；14.32； 1516. ① ② ③. 注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-，得sin α=，【 8分】cos α=. 【10分】所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当30︒=α时，1)2=a ，【 1分】所以 11(,)22+a b =，【 2分】所以 ||+=a b 【 4分】（Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(2=-b ，得 1(cos ,sin 2+=-+ααa b ，1(cos ,sin 2-=+ααa b ，由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】因为 222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ，【 7分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】（Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒，所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 22-+=αα，即 π1sin()62-=α. 【12分】因为 π02<<α，所以 πππ663-<-<α，【13分】所以 ππ66-=α，即3π=α. 【14分】19.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =．【 1分】因为 A B =，所以 0x B ∈，即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =，【 3分】所以 0b =．【 4分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =．【 5分】 ② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==，即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ．【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π (k ∈Z ，且0)k ≠成立．【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x a π≠，所以 1k aπ>，【 8分】即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π，【 9分】所以整数a 的最大值是3．【10分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. 4；2.12； 3. 2-，1； 4. (2,2)-； 5. 2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--，所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】由212a-=，得0a =. 【 4分】解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立，【 2分】所以 20a -=，得0a =. 【 4分】（Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时，因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数；【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->，则 212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->，所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】（Ⅱ）解：由(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*）【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->，解得32log ()2ax b>-. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<，解得32log ()2ax b<-. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=； ③ 【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④ 【 4分】所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+．（Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥．【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤．【 7分】所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数．【 8分】·11· 所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=．【 9分】所以(2014)(2014)20142015f g =+=．【10分】。

2014—2015学年度第二学期期末考试高二数学(文)参考答案与评分标准

2014-------2015学年度第二学期期末考试参考答案及评分标准高二数学（文）一、选择题1、C2、B3、B4、 D5、 C6、 A7、 A8、C9、 C10、C11、 C12、 C二、填空题(13)2(14)2(15) 4836(16) ①②③三、解答题17．（本小题满分10 分）已知A x x24x0 ,B x x 22(a1)x a 210，其中 a R ，如果【解析】化简得A A∩ B=B ，求实数a的取值范围。

0, 4 ，∵集合 B 的元素都是集合 A 的元素，∴B A 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⑴当 B时，4(a 1)24(a 21) 0 ，解得a 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⑵当B0或 4时，4(a 1)24(a2 1) 0 ，解得a 1 ，此时 B0，满足B A ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4(a1)24(a21)0⑶当B 0, 4 时，2(a1)4，解得 a 1。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分a2 10综上所述，实数 a 的取值范围是 a 1或者 a 1 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18．（本小题满分 12 分 , 每个小题 6 分）60 ；（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于（2）已知n 0，试用分析法证明：n2n 1n 1n .【解析】（1）假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60 ，即均小于 602分则三内角和小于180，4分这与三角形中三个内角和等于180矛盾，故假设不成立，原命题成立；6分（2）要证上式成立，需证n 2n2n 1需证 ( n 2n )2(2 n 1)28 分97.5%需证 n1n22n需证 (n1) 2n22n需证 n22n1n 22n10 分只需证 10因为 10 显然成立，所以原命题成立.12分考点：（ 1）反证法；（2）分析法 .19．（本小题满分12 分）对某校小学生进行心理障碍测试得到如下的列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？K 2n( ad bc)2附：(a b)(c d )( a c)(b d )P(K2 ≥ k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.076 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】将列联表补充完整有：有心理障碍没有心理障碍 ]总计女生102030男生107080总计2090110K 2n( ad bc)2，故选择k0 5.024 较由(a b)(c d )(a c)(b d ) ,计算可得K2 6.366 5.024为合适 .10分因此，在犯错的概率不超过0.025 的前提下认为心理障碍与性别有关，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关.12 分考点：独立性检测 .20．（本小题满分12 分）某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月 7日4月15日4月 21日4月30日温差 x / C101113128发芽数 y / 颗2325302616（1）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中??的另三天的数据，求出y 关于的线性回归方程y b xx；?（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：n? bx i y i nx y? i1，a y bx ）n2?2x i nxi1【解析】 (1)由数据得 x12, y27 ，3x y972 ，3977 ，322 x i y i x i434 ， 3x432 i 1i 1由公式，得?9779725?5b27123 43443222所以 y 关于 x 的线性回归方程为?53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x2（ 2）当x 10时， ?， |22-23|2，当x 8时， ?|17-16|2，所以得到的线y 22y 17,性回归方程是可靠的 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21．（本小题满分 12 分）已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x, y 恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当x＞0时，f ( x) ＜0，又 f (1)2。

北京市西城区2013—2014学年度高三第一学期期末数学(文)试题含答案

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2014.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，0{|1}B x x =-≥，则集合A B =I （）（A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)2．已知命题p ：“x ∀∈R ，23x -<”，那么p ⌝是（）（A ）x ∀∈R ，23x ->，（B ）x ∀∈R ，23x -≥ （C ）x ∃∈R ，23x -< （D ）x ∃∈R ，23x -≥3．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥u u u r u u u r，则实数k =（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）14．若坐标原点在圆22()()4x m y m -++=的内部，则实数m 的取值范围是（）（A ）11m -<<（B ）m -<（C ）m -<（D ）22m -<<5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34 （B ）45（C ）56（D ）16．若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[1,0]x ∈-时，()f x 的最小值为（）（A ）18-（B ） 14-（C ）0（D ）148.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组0,0,2x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤所表示的平面区域为D . 在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，则由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为（）（A ）2 （B ）4（C ）8（D ）16第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足2i=1iz +，那么||z =______．10．在等差数列{}n a 中，11a =，8104a a +=，则公差d =______；前17项的和17S =______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则cos C =______；c = ______．13．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 则[(1)]f f -=______；若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是______．14．设{(,)|(,)0}M x y F x y ==为平面直角坐标系xOy 内的点集，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +<，则称点集M 满足性质P . 给出下列三个点集：○1{(,)|cos 0}R x y x y =-=； ○2{(,)|ln 0}S x y x y =-=；侧(左)视图○322{(,)|1}T x y x y =-=. 其中所有满足性质P 的点集的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；甲组乙组 891 a822 FG EH（Ⅱ）求证：平面BDGH //平面AEF ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积. 18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若1114,2a q ==，求3T ；（Ⅱ）证明： n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为n a N *Î；（Ⅲ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 10． 18 3411． 12．13-13． 2- (0,1] 14．○1○3注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π，所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()f α=2α=，即 cos 22α=， ……………… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 2222x x =+ πsin(2)3x =+， ………………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 3分解得 1a =. ……………… 4分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 5分依题意 0,1,2,,9a =L ，共有10种可能. ……………… 6分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a =L 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 7分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 8分（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B ，………… 9分当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ………………10分所以事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). ……………… 11分因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7()9P B =. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. ……………… 1分又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF I 平面ABCD BD =，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分（Ⅱ）证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，所以//GH EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF . ……………… 6分设AC BD O =I ，连接OH ，在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =，所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以//OH 平面AEF . ……………… 8分又因为OH GH H =I ，,OH GH ⊂平面BDGH ，F B CGEAH D O所以平面//BDGH 平面AEF . ………………10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 AC ⊥平面BDEF ，又因为AO =BDEF 的面积3BDEF S =⨯=Y 11分所以四棱锥A BDEF -的体积1143BDEF V AO S =⨯⨯=Y . ………………12分同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：)……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．所以当10a --≤，即1a -≥时，()f x 在[0,4]上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为min ()(0)f x f a ==； ……………… 8分当401a <--<，即51a -<<-时，()f x 在(0,1)a --上单调递减， ()f x 在(1,4)a --上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为1min ()(1)e a f x f a --=--=-；………………10分当41a --≥，即5a -≤时，()f x 在[0,4]上单调递减，故()f x 在[0,4]上的最小值为4min ()(4)(4)e f x f a ==+. ………………12分所以函数()f x 在[0,4]上的最小值为1min4, 1,()e , 51,(4)e , 5.a a a f x a a a ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩≥≤ ……13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以 114k ->，解得 34k <. 因为 0k >，所以 304k <<. ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC 不可能为梯形. ……………… 6分理由如下：假设四边形ABDC 为梯形. ……………… 7分由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 8分同理，得211x k=--. ……………… 9分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-， ……………… 10分抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为2222x k=--. ………………11分由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD . 若//AB CD ，则22k k=--，即2220k k ++=，因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. ………………12分若//AC BD ，则122k k-=-，即22210k k -+=，因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行. ……………13分所以四边形ABDC 不是梯形，与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可能为梯形. ……………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为等比数列{}n a 的114a =，12q =，所以 114a =，27a =，3 3.5a =. ……………… 1分所以 114b =，27b =，33b =. ……………… 2分则 312324T b b b =++=. ……………… 3分（Ⅱ）证明：（充分性）因为 n a N *Î，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 5分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =； ……………… 6分当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. ……………… 7分因为 []n n b a Z =?，0n a >，所以对一切正整数n 都有n a N *Î. ……………… 8分（Ⅲ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 9分因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ………………10分由 21a q a =，得 1q <. ………………11分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ………………13分。

2015西城文科数学-期末

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A 为锐角，2a b =，3sin 4B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C ）3sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件2．设命题p ：2log 0,2xx x ∀>>，则p ⌝为（）（A ）2log 0,2xx x ∀>< （B ）2log 0,2xx x ∃>≤ （C ）2log 0,2xx x ∃><（D ）2log 0,2xx x ∃>≥a =2，x =3开始 x y a =x =x +1103y x >+ 输出x 结束否是（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（）（A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.7．设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤（D ）2||d AB <A BE CD GH F侧(左)视图正(主)视图 22 11111．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-．（Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围． 17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率12 18 38（2）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率p13q（Ⅰ）当12p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.B CA 1 D 1DA B 1C 1E F（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由；（Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．22 10．2π311. 22 12．221416x y -=513．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分（Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤，解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+，所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，A 1 D 1B 1C 1F所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以 1A F ∥CE . …………………3分又 1A F ⊄平面1B CE ，CE ⊂平面1B CE ，所以 1A F ∥平面1B CE . …………………6分（Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =，所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，所以 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ，所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =，所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 38q <， ……………… 4分因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分又因为 113p q ++=，0q ≥，所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x . …………… 11分因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,23b =,222c a b =-=, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅,所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ，即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ，解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………4分由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，x1(,1)21 (1,)+∞()F x ' +0 -()F x↗↘…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分（Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …………………13分。

2014--2015年西城区高一数学期末试题及答案

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学 2015.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A 卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（）（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （）（A ）(0,18)（B ）(12,12)（C ）(8,14)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（）（A ）35（B ）34（C ）34-（D ）45-4．已知函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是（）（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)25．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=（）（A ）2AD（B ）2DA（C ）2BD（D ）2DB6．下列函数中，偶函数是（）（A ）()sin()f x x =π+ （B ）()tan()f x x =π- （C ）()sin()2f x x π=+ （D ）()cos()2f x x π=-7．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数cos y x =的图象（）（A ）向左平移π3个单位（B ）向右平移π3个单位（C ）向左平移π6个单位（D ）向右平移π6个单位8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC ， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（）（A ）4（B ）2（C （D ）19．函数2sin y x =的最小正周期为（）（A ）2π（B ）π（C ）π2（D ）π410．已知向量(1,sin )θ=a ，(cos θ=b ，其中R θ∈，则||-a b 的最大值是（）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若(0,)∈πα，且α与角53π-终边相同，则=α_____． 12．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 13．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3g x x π=-的图象重合； ② 函数()f x 的图象关于点(,0)12π对称； ③ 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，且(,)2π∈πα．（Ⅰ）求πtan()4-α的值；（Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(,22=-b ，其中α是锐角．（Ⅰ）证明：向量+a b 与-a b 垂直；（Ⅱ）当|2||2|+=-a b a b 时，求角α．19．（本小题满分12分）已知函数()sin 21f x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若对于任意ππ[,]42x ∈，都有()2f x m -<成立，求实数m 的取值范围．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．函数1lg y x=的定义域是_____． 2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____． 3．662log 2log 9+=_____． 4．函数21,0,()4,0,x x f x x x ->⎧=⎨-<⎩的零点是_____．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若(21)()f m f m ->，则实数m 的取值范围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}M x a x a =<<+．（Ⅰ）求集合U P ð；（Ⅱ）若U P M ⊆ð，求实数a 的取值范围．7．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R . （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．8．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数．（Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.C ；3.D ；4. D ；5. A ；6. C ；7. C ；8.B ；9. B ； 10.B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.3π； 12. 12-； 13. 1213-； 14.32； 15. 2； 16. ① ② ③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-，得sin α=，【 8分】cos α=. 【10分】所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(,)22=-b ，得1(cos ,sin 2+=-+ααa b，1(cos ,sin 2-=+-ααa b ，【 1分】由π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 2分】因为222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ，【 5分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】（Ⅱ）解：将|2||2|+=-a b a b 两边平方，化简得223(||||)80-+⋅=a b a b . 【 8分】由||||1==a b ，得 0⋅=a b ，【 9分】所以 1cos 02αα-=，所以 tan =α. 【11分】注意到 π(0,)2∈α，所以 π6α=. 【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()sin 21f x x x =+π12sin(2)3x =+-．【 2分】因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π[2π,2π]()22k k k ++∈Z ．由 ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+()k ∈Z ，【 4分】得 5π11πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ．所以()f x 的单调递减区间为5π11π[π,π]1212k k ++()k ∈Z ．【 6分】（Ⅱ）解：因为 ππ[,]42x ∈，所以 ππ2π2633x -≤≤，由（Ⅰ）得 π212sin(2)33x +-≤≤，所以 ()f x 的值域是[23]，．【 8分】 ()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ[,]42x ∈．【10分】所以 max ()2m f x >-，且 min ()2m f x <+，所以 14m <<，即m 的取值范围是(1,4)．【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01x x ∈<<R ，或1}x >；2. 12； 3. 2； 4. 2-，1； 5. 1(,1)3.注：4题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð，【 2分】即集合{|02}U P x x =<<ð. 【 4分】（Ⅱ）解：因为 U P M ⊆ð，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩【 6分】解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩ 【 8分】所以 [2,0]a ∈-. 【10分】注：第（Ⅱ）小问没有等号扣1分. 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--，所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】由212a-=，得0a =. 【 4分】解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立，【 2分】所以 20a -=，得0a =. 【 4分】（Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时，因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数；【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->，则212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0x x x x a a <>⇒->；又122133,0(33)0x x x xb b <>⇒->，所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】（Ⅱ）解：由(1)()2230x xf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*）【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->，解得32log ()2ax b>-. 【 8分】② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xa b-<，解得32log ()2ax b<-.【10分】。

北京市西城区2014-2015学年度高二上学期期末考试数学试题(理科)

北京市西城区2014 —2015学年度第一学期期末试卷高二数学2015.1（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.角角60角二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是_______________.12. 空间向量(1,1,2)=--a ，(1,2,1)=--b ，(,,2)x y =-n ，且//n b . 则⋅a n =_______.13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为_______. 14. 已知F 为双曲线22:13xC y -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______.15. 由直线y x =上一点向圆22(4)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 . 16 .已知点(3,0)M 和点(3,0)N -，直线PM ，PN 的斜率乘积为常数a （0a ≠），设点P 的轨迹为C .给出以下几个命题：①存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ②存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值； ③不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=o ， F 为CE 上的点.（Ⅰ）求证：//AD 平面BCE ；（Ⅱ）求证：AE ⊥BF ．正（主）视图侧（左）视图俯视图AEBCDF18.（本小题满分13分）已知三个点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C ，圆M 为△ABC 的外接圆. （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =-与圆M 交于,P Q两点，且PQ =k 的值.19.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点.（Ⅰ）求证：PD BQ ⊥；（Ⅱ）求直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）已知椭圆22:14x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点.（Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为32时，求线段OC 的长；（Ⅱ）当△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.PAB CDQ21.（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，24AB BC ==,四边形CDEF 是等腰梯形，//EF DC ，2EF =，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AF CF ⊥. （Ⅰ）过BD 与AF 平行的平面与CF 交于点G . 求证：G 为CF 的中点；（Ⅱ）求二面角B AF D --的余弦值.22.（本小题满分13分）如图，曲线E 是由抛物线弧1E :x y 42=(203x ≤≤)与椭圆弧2E :12222=+by a x (a x ≤≤32)所围成的封闭曲线，且1E 与2E 有相同的焦点.（Ⅰ）求椭圆弧2E 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线与曲线E 交于,A B 两点，1||r FA =,2||r FB =，且α=∠AFx (0α≤≤π)，试用αcos 表示1r ；并求21r r的取值范围.ABCDE F G北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.A2.D3.C4. D5. A6. B7.A8. C9.C 10. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 2,20x x x ∀∈-≥R 12. 2- 13.38 14. 116. ②④ 注:16题，仅选出②或④得3分；错选得0分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC . ………………2分又因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，………………4分所以//AD 平面BCE . ………………5分（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面ABE ，BC AD //，所以BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥ . ………………7分又因为90AEB ∠=o，所以AE BE ⊥. ………………9分所以AE ⊥平面BCE . ………………11分又BF ⊂平面BCE ,所以AE BF ⊥. ………………13分 18. （本小题满分13分）（Ⅰ）设圆M 的方程为 220x y Dx Ey F ++++=, ………………1分因为点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C 在圆M 上，则2220,440,3130.F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩………………4分解得4D =-，2E =，0F =. ………………6分所以ABC ∆外接圆的方程为22420x y x y +-+=. ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）圆M 的圆心为(2,1)-AEBCDF又PQ =所以圆M 的圆心到直线1y kx =-的距离为2.………………9分所以=………………11分解得215k =. k =. ………………13分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥PA AD ⊥，又AD AB ⊥，如图，建立以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴的空间直角坐标系. ………………2分由已知，2PA AD ==，1AB BC ==，//AD BC所以，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ………………4分又Q 为PD 中点，所以(0,1,1)Q . 所以(0,2,2)PD =-，(1,1,1)BQ =-，所以0PD BQ ⋅=， ………………6分所以PD BQ ⊥. ………………7分（注：若第一问不用空间向量，则第一问4分）（Ⅱ）解：设平面PCD 的法向量为(,,)a b c =n ，则0PD ⋅=n ,0CD ⋅=n .又(1,1,0)CD =-，所以220b c a b -=⎧⎨-+=⎩， ………………9分令1c =，得1a b ==，所以(1,1,1)=n . ………………11分因此cos ,3BQ BQ BQ ⋅1〈〉===n n n， ………………13分所以直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为31. ………………14分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当直线l 的斜率为32时，直线l 的方程为22y x 3=-. ………………1分由222,214y x x y 3⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得251260x x -+=， ………………2分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)C x y .则12125x x +=， ………………3分所以点C 的坐标065x =，0031225y x =-=-， ………………4分所以OC ==. ………………5分（Ⅱ）设直线:2l y kx =-，由221,42x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(14)16120k x kx +-+=， ………………6分所以222(16)48(14)16(43)k k k ∆=-+=- ………………7分1221614k x x k +=+，1221214x x k =+. ………………8分AB ===. ………………10分原点O 到直线l的距离d =. ………………11分所以△OAB 面积为1122AB d ==. 因为△OAB 面积等于1，1=， ………………12分解得k=， ………………13分带入判别式检验，符合题意，所以2k =±. ………………14分21. （本小题满分13分）（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于点H ，ABCD 为矩形，则H 为AC 中点，连接GH . ………………1分因为//AF 平面BDG ，平面ACF平面BDG GH =， ………………2分所以//AF HG . ………………3分所以G 为CF 的中点. ………………4分（Ⅱ）解：在平面CDEF 上作FO CD ⊥，垂足为O ，由于平面CDEF 为等腰梯形，所以1OC =，因为且平面ABCD ⊥平面DCFE ，所以FO ⊥平面ABCD ， ………………5分在平面ABCD 中，作OM CD ⊥，交AB 于M ，所以FO OM ⊥，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -. ………………6分则(2,3,0)A -，(2,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,3,0)D -. 设(0,0,)F h （0h >）. 因为AF CF ⊥，所以0AF CF ⋅=，即(2,3,)(0,1,)0h h -⋅-=，所以2030h -+=，解得h =………………7分设平面ABF 的法向量为(,,)a b c =n ，而(AF =-，(0,4,0)AB =，由0,0AF AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得230,40.a b b ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩令2c =，解得a =0b =.所以(3,0,2)=n . (9)分由于(2,0,0)AD =-,(0,1CF =-, 所以0AD CF ⋅=，CF AD ⊥，又CF AF ⊥，所以CF ⊥平面ADF ，所以CF 为平面ADF 的法向量， ………………11分cos ,CF 〈〉===n . ………………12分由图知，二面角的平面角为钝角，所以二面角B AF D --的余弦值为7-. ………………13分22. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）抛物线弧1E :x y 42=的焦点为(1,0)，且23x =时，283y =，所以2(3为椭圆上一点，又椭圆的焦点为(1,0),-(1,0)， ………………2分所以752433a ==+=. ………………3分所以2a =，2213b a =-=， ………………4分所以椭圆2E 的方程为22143x y +=（223x ≤≤）. ………………5分（Ⅱ）曲线E 由两部分曲线1E 和2E 组成，所以按A 在抛物线弧1E 或椭圆弧2E 上加以分类，由曲线E 的对称性,不妨设A 在x 轴上方(或x 轴上).当32=x 时，362±=y ，此时35=r ,51cos -=α；当1cos 51≤≤-α时，A 在椭圆弧2E 上，由题设知)sin ,cos 1(11ααr r A +，将A 点坐标代入13422=+y x 得，012)sin (4)cos 1(32121=-++ααr r ，整理得09cos 6)cos 4(1212=-+-ααr r ，解得αcos 231+=r 或2cos 31-=αr (舍去). ………………6分当51cos 1-≤≤-α时，A 在抛物线弧1E 上，由抛物线定义可得αcos 211r r +=，所以αcos 121-=r ， ………………7分综上，当51c o s 1-≤≤-α时，αcos 121-=r ；当1c o s 51≤≤-α时，αcos 231+=r .相应地，22(1cos(),sin())B r r αα++π+π，当1cos 15α≤≤时，B 在抛物线弧1E 上，所以222cos()r r α=++π，221cos r α=+， ………………8分当11cos 5α-≤≤时，B 在椭圆弧2E 上，根据图形的对称性，232cos r α=-. ………………9分所以，当51cos 1-≤≤-α时A 在抛物线弧1E 上,B 在椭圆弧2E 上，]911,1[)cos 111(323cos 2cos 1221∈-+=-⋅-=αααr r ； ………………10分当1cos 51≤≤α时A 在椭圆弧2E 上,B 在抛物线弧1E 上，]1,119[)cos 211(232cos 1cos 2321∈+-=+⋅+=αααr r ； ………………11分当51cos 51<<-α时A 、B 在椭圆弧2E 上，)911,119(cos 2cos 23cos 2cos 2321∈+-=-⋅+=ααααr r ； ………………12分综上，21r r 的取值范围是]911,119[. ………………13分。

北京市西城区高二数学上学期期末考试试题-文

所以 . 【 8分】
由（Ⅰ）知，所以，
从而 △ ，△ 为全等的直角三角形. 【10分】
所以，四棱锥的表面积【11分】
. 【13分】
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：圆的半径，【 3分】
从而圆的方程为．【 5分】
（Ⅱ）解：作于，则平分线段，
所以．【 7分】
在直角三角形中，．【 9分】
由点到直线的距离公式，得，【11分】
所以，【12分】
解得．【13分】
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接交于，连接．
因为分别为和的中点，则 ∥ ．【 2分】
又平面，平面，【 3分】
所以 ∥平面．【 4分】
（Ⅱ）证明：因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，
所以，解得，【 4分】
所以抛物线的方程为 .【5分】
（Ⅱ）证明：设， .
将代入，
消去整理得 .【7分】
所以 .【 8分】
由，，两式相乘，得，【 9分】
注意到，异号，所以 .【10分】
所以直线与直线的斜率之积为，【12分】
即 .【13分】
19 .（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：取中点 .
（A）①
（B）②
（C）③
（D）④
4．抛物线的焦点到其准线的距离是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．两条直线，互相垂直的充分必要条件是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．如图，在长方体中，，
，则下列结论中正确的是( )
（A） ∥

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末高二数学(文)试卷带答案

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）2015.1试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 抛物线24y x =的准线方程为_______________.12. 命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是_____________________. 13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为_______. 14. 圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点(2,0) 的圆的方程为____________________.15. 已知F 为双曲线22:14y C x -=的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为__________.16. “降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度.降水量以m m 为单位.为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥. 雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为 m m .正（主）视图侧（左）视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=o，F 为CE 上的点. （Ⅰ）求证：//AD 平面BCE ；（Ⅱ）求证：AE ⊥BF ．18.（本小题满分13分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C . （Ⅰ）求△ABC 中AC 边上的高线所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC 外接圆的方程.19.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，E 为AC 中点. （Ⅰ）求证：1//AB 平面1BC E ；（Ⅱ）求证：平面1BC E ⊥平面11ACC A .20.（本小题满分13分）如图，,A B 是椭圆22:13x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C . （Ⅰ）当AC 的斜率为31时，求线段AC 的长；（Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线ACABCEA 1B 1C 1AEBCDF21.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且3PD PC BC ===，CD =E 为PB 中点.（Ⅰ）求三棱锥P BCD -的体积；（Ⅱ）求证：CE ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设M 是线段CD 上一点，且满足2DM MC =，试在线段PB 上确定一点N ，使得//MN 平面PAD ，并求出BN 的长.22.（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴交于点P . （Ⅰ）若直线AB 经过抛物线24y x =的焦点，求,A B 两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P 的坐标为(4,0)，弦AB 的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.PABCDEM·北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.B3.D4. C5. D6.D7.A8. A9.C 10. C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 1x =- 12. 2,20x x x ∀∈-≥R 13.8314. 22(2)(2)4x y -+-= 15. 2 16. 1 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC . ………………2分又因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ， ………………4分所以//AD 平面BCE . ………………5分（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面ABE ，BC AD //，所以BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥ . ………………7分又因为90AEB ∠=o，所以AE BE ⊥. ………………9分所以AE ⊥平面BCE . ………………11分又BF ⊂平面BCE ， ………………12分所以AE BF ⊥. ………………13分18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(0,0)A ，(3,1)C ，所以直线AC 的斜率为13k =， ………………2分又AC 边上的高所在的直线经过点(4,0)B ，且与AC 垂直，所以所求直线斜率为3-， ………………4分所求方程为03(4)y x -=--，即 3120x y +-=. ………………5分（Ⅱ）设△ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=, ………………6分因为点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C 在圆M 上，则AEBCDF2220,440,3130.F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩………………9分解得4D =-，2E =，0F =. ………………12分所以△ABC ∆外接圆的方程为22420x y x y +-+=. ………………13分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1CB ，与1BC 交于点F ，连结EF . ………………1分因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以四边形11BCC B 是矩形，点F 是1B C 中点. ………………3分又E 为AC 中点，所以1//EF AB . …………5分因为EF ⊂平面1BC E ，1AB ⊄平面1BC E ，所以1//AB 平面1BC E . ………………7分（Ⅱ）证明：因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BE AC ⊥. ………………9分又因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，从而1CC BE ⊥. ………………11分所以BE ⊥平面11ACC A . ………………12分因为BE ⊂平面1BC E ， ………………13分所以平面1BC E ⊥平面11ACC A . ………………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知(0,1)A -，直线AC 的方程为13y x 1=-. ………………1分由221,313y x x y 1⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得2230x x -=， ………………2分解得32x =或0x =（舍）， ………………3分所以点C 的坐标为31(,)22-， ………………4分所以AC == ………………5分（Ⅱ）依题意，设直线AC 的方程为1y kx =-，0k ≠.ABCEA 1B 1C 1F由221,13y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(31)60k x kx +-=， ………………7分解得2631kx k =+或0x =（舍）， ………………8分所以点C 的横坐标为2631kk +，设点D 的坐标为00(,)x y ，则02331kx k =+， ………………9分0021131y kx k -=-=+， ………………10分因为以AB 为直径的圆恰过点D ，所以1OD =，即222231()()13131k k k -+=++. ………………11分整理得23k 1=， ………………12分所以3k =±. ………………13分21. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知3PD PC ==，CD =△PCD 是等腰直角三角形，90CPD ∠=o. ………………1分因为平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面PCD . ………………2分三棱锥P BCD -的体积1119()3322PCD V S BC PC PD BC ∆=⨯=⨯⨯⨯=. ………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PCD ，所以BC ⊥PD .因为90CPD ∠=o，即PD PC ⊥，所以PD ⊥平面PBC . ………………5分因为CE ⊂平面PBC ，所以PD CE ⊥. ………………6分因为PC BC =，E 为PB 中点，所以CE PB ⊥， ………………7分因为PD PB P =I ，所以CE ⊥平面PBD . ………………8分（Ⅲ）解：在面PCD 上，过M 作//MF PD 交PC 于F .在面PBC 上，过F 作//FN BC 交PB 于N ，连结MN . ………………9分因为//MF PD ，MF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//MF 平面PAD .因为////FN BC AD ，FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PABCDE M· FN所以//FN 平面PAD .所以平面//MNF 平面PAD . ………………10分从而，//MN 平面PAD . ………………11分由所作可知，△CMF 为等腰直角三角形，CM =1CF =，2PF =. ……………12分△PNF ,△PBC 均为等腰直角三角形，所以PN =PB =所以N 为线段PB 上靠近点B 的三等分点，且BN =. ………………13分22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ， ………………1分依题意，设直线AB 方程为(1)y k x =-，其中0k ≠. ………………2分将24y x =代入直线方程，得2(1)4y y k =-，整理得2440ky y k --=， …………4分所以4A B y y =-，即,A B 两点的纵坐标之积为4-. ………………5分（Ⅱ）设:(0)AB y kx b k =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y .由24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩ 得222(24)0k x kb x b +-+=. ………………6分由222241616416160k b kb k b kb ∆=+--=->，得1kb <. ………………7分所以12242kb x x k -+=，2122b x x k=. ………………8分设AB 中点坐标为00(,)x y ，则120222x x kb x k +-==， 002y kx b k=+=， ………………9分所以弦AB 的垂直平分线方程为2212()kby x k k k --=--，令0y =，得222kbx k-=+. ………………10分由已知2224kb k-+=，即222k kb =-. ………………11分AB ====== ………12分当2112k =，即k =AB 的最大值为6. ………………13分当k =b =；当k =b =均符合题意.所以弦AB 的长度存在最大值，其最大值为6. ………………14分。

北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试理科数学(含答案)

北京市西城区2014－2015学年度高三第一学期期末试数学理第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（）（A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b（D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面x O 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（）（A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）（A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（）（A ）(4,8) （B ）(4,)+ （C ）(0,4)（D ）(8,)+侧(左)视图正(主)视图俯视图11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12．如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____． 13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B C D ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1BCE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值；（Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）B CDA B 1C 1E FA 1 D 1已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)Pm m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.20．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<；（Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤，解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p +13+q =1. ……………… 2分又因为14p =，所以q =512． ……………… 3分（Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A =，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分又因为1A F ⊄平面1BCE ，EC ⊂平面1BCE ，所以1A F ∥平面1BCE . …………………4分（Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10AE m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A BCD ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合），所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=，解得22e a =，3e b =. …………………5分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->，所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。

2015-2016学年北京市西城区高二上学期期末考试文科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年北京市西城区高二上学期期末考试文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：132分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、在长方体中，，，，，分别为棱，的中点. 则从点出发，沿长方体表面到达点的最短路径的长度为（） A ．B ．C ．D ．2、已知椭圆的两个焦点分别为，，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（）A ．B ．C ．D ．3、如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是( )A ．∥B ．∥平面C ．D ．平面4、两条直线，互相垂直的充分必要条件是（）A ．B ．C ．D ．5、抛物线的焦点到其准线的距离是（）A ．B ．C ．D ．6、在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④7、复数的虚部是（） A ．B ．C ．D ．8、命题“若，则”的逆命题是（）C．若，则 D．若，则第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知曲线的方程是.关于曲线的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线C所围成的区域的面积大于.其中，所有正确结论的序号是_______.10、已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是_______.11、已知双曲线的一个焦点是，则_____；双曲线渐近线的方程___.12、如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.13、已知球的大圆面积为，表面积为，则_______.14、命题“，”的否定是_______.三、解答题（题型注释）15、如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．16、如图1，在△中，，为中点，于，延长交于.将△沿折起，得到三棱锥，如图2所示.（Ⅰ）若是的中点，求证：∥平面；（Ⅱ）若平面平面，试判断直线与直线能否垂直？并说明理由.17、已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.18、如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）若，，求多面体的体积．19、如图，已知圆心为的圆经过原点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆交于，两点．若，求的值．20、如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，且=.（Ⅱ）求四棱锥的表面积.参考答案1、B2、B3、C4、C5、A6、C7、D8、B9、①③10、11、，12、13、14、15、（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点16、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）不可能垂直17、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析18、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）119、（Ⅰ）（Ⅱ）20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】1、试题分析：如图，∵P，Q分别为棱，的中点，∴问题可转化为从小长方体的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为；沿QN剪开再展开，此时最短距离为；沿QD1 剪开再展开，此时最短距离为∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题2、试题分析：由题意，又∵，∴，∴，设点P到x轴的距离为d，则，故，故考点：椭圆的简单性质3、试题分析：：∵如图，连接BD，在长方体中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥，∵BD∩=D，∴AC⊥平面，∵⊂平面，∴AC⊥考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定4、试题分析：两直线垂直满足斜率之积为-1考点：两直线垂直的判定5、试题分析：中，焦点为，准线为，焦点到其准线的距离是1考点：抛物线性质6、试题分析：①中两直线可能相交平行或异面；②中两平面可能平行或相交；③中结论成立；④中两直线可能相交平行或异面考点：空间线面平行的性质7、试题分析：复数中虚部为，所以的虚部为2考点：复数相关概念8、试题分析：命题的逆命题需将条件和结论交换，因此逆命题为：若，则考点：四种命题9、试题分析：将方程中的x换成-x，y换成-y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M，∵∴∴，即点M在圆外，故③正确；考点：命题的真假判断与应用10、试题分析：：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为，宽为2，∴左视图的面积是考点：三视图11、试题分析：由题意可知，渐近线为考点：双曲线方程及性质12、试题分析：由坐标系可知考点：复数运算13、试题分析：球的大圆面积，表面积考点：球的表面积14、试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，因此否定为：考点：全称命题与特称命题15、试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入消去y，设P，Q，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为．依题意，得，且，解得．所以，椭圆的方程是．（Ⅱ）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为．将直线的方程代入，消去，整理得．设，，则，．（1）因为，且直线的斜率均存在，所以，整理得．（2）因为，，所以，．（3）将（3）代入（2），整理得．（4）将（1）代入（4），整理得．解得，或（舍去）．所以，直线恒过定点．证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为．将直线的方程代入，消去，得解得，或．设，所以，，所以．以替换点坐标中的，可得．从而，直线的方程是．依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上．在上述方程中，令，解得．所以，直线恒过定点．考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程16、试题分析：（Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥，由此能证明DM∥平面；（Ⅱ）推导出EF⊥平面，从而⊥EF，假设⊥CD，则⊥平面BCD，⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线与直线CD不能垂直试题解析：（Ⅰ）证明：取中点.在图1中，由，分别为，中点，所以∥.在图2中，由，分别为，中点，所以∥，所以平面∥平面所以∥平面.（Ⅱ）解：直线与直线不可能垂直.因为平面平面，平面，，所以平面，所以.假设有，注意到与是平面内的两条相交直线，则有平面. （1）又因为平面平面，平面，，所以平面.（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾！所以直线与直线不可能垂直.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质17、试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程18、试题分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC；（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q-ABCD截去三棱锥E-ACD所得，计算求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：连接交于，连接．因为分别为和的中点，则∥．又平面，平面，所以∥平面（Ⅱ）证明：因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，平面，，所以平面．又平面，所以．因为，是的中点，所以．所以平面．所以平面⊥平面．（Ⅲ）解：多面体为四棱锥截去三棱锥所得，所以．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定19、试题分析：（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程；（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则|AD| ＝|AB| ＝4，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m试题解析：（Ⅰ）解：圆的半径，从而圆的方程为．（Ⅱ）解：作于，则平分线段，所以．在直角三角形中，．由点到直线的距离公式，得，所以，解得．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质20、试题分析：（Ⅰ）连结BD．证明PD⊥BD，在直角三角形PDB中，求解PB即可；（Ⅱ）说明△PDA，△PDC为全等的直角三角形，利用四棱锥P-ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD求解即可试题解析：（Ⅰ）解：连结.因为底面，所以.因为底面是正方形，，所以.在直角三角形中，.（Ⅱ）解：因为底面，底面是正方形，从而△，△为全等的直角三角形，所以.由（Ⅰ）知，所以，从而△，△为全等的直角三角形.所以，四棱锥的表面积.考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末高中一年级数学试题

市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高一数学 2015.1A 卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值围是（）（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （）（A ）(0,18)（B ）(12,12)（C ）(8,14)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（）（A ）35（B ）34（C ）34-（D ）45-4．已知函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是（）（A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)25．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=（）（A ）2AD（B ）2DA（C ）2BD（D ）2DB6．下列函数中，偶函数是（）（A ）()sin()f x x =π+ （B ）()tan()f x x =π- （C ）()sin()2f x x π=+ （D ）()cos()2f x x π=-7．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数cos y x =的图象（）（A ）向左平移π3个单位（B ）向右平移π3个单位（C ）向左平移π6个单位（D ）向右平移π6个单位8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（）（A ）4（B ）2（C ）3（D ）19．函数2sin y x =的最小正周期为（）（A ）2π（B ）π（C ）π2（D ）π410．已知向量(1,sin )θ=a ，(cos θ=b ，其中R θ∈，则||-a b 的最大值是（）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若(0,)∈πα，且α与角53π-终边相同，则=α_____． 12．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 13．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3g x x π=-的图象重合； ② 函数()f x 的图象关于点(,0)12π对称； ③ 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，且(,)2π∈πα．（Ⅰ）求πtan()4-α的值；（Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(,)22=-b ，其中α是锐角．（Ⅰ）证明：向量+a b 与-a b 垂直；（Ⅱ）当|2||2|+=-a b a b 时，求角α．19．（本小题满分12分）已知函数()sin 221f x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若对于任意ππ[,]42x ∈，都有()2f x m -<成立，数m 的取值围．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．函数1lg y x=的定义域是_____． 2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．3．662log 2log 9+=_____．4．函数21,0,()4,0,x x f x x x ->⎧=⎨-<⎩的零点是_____．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若(21)()f m f m ->，则实数m 的取值围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}M x a x a =<<+．（Ⅰ）求集合UP ；（Ⅱ）若UP M ⊆，数a 的取值围．已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R . （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数．（Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.C ；3.D ；4. D ；5. A ；6. C ；7. C ；8.B ；9. B ； 10.B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.3π； 12. 12-； 13. 1213-； 14.32； 15. 2； 16. ① ② ③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】3=.【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-，得sin α=，【 8分】cos α= 【10分】所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由向量(cos sin )αα=，a，1(2=-b ，得1(cos ,sin 22+=-+ααa b，1(cos ,sin 22-=+-ααa b ，【 1分】由π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 2分】因为222213()()||||(sincos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ，【 5分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】（Ⅱ）解：将|2||2|+=-a b a b 两边平方，化简得223(||||)80-+⋅=a b a b . 【 8分】由||||1==a b ，得 0⋅=a b ，【 9分】所以 1cos 02αα-+=，所以 tan 3=α. 【11分】注意到 π(0,)2∈α，所以 π6α=. 【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()sin 221f x x x =+π12sin(2)3x =+-．【 2分】因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π[2π,2π]()22k k k ++∈Z ．由 ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+()k ∈Z ，【 4分】得 5π11πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ．所以()f x 的单调递减区间为5π11π[π,π]1212k k ++()k ∈Z ．【 6分】（Ⅱ）解：因为 ππ[,]42x ∈，所以 ππ2π2633x -≤≤，由（Ⅰ）得 π212sin(2)33x +-≤≤，所以 ()f x 的值域是[23]，．【 8分】()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ[,]42x ∈．【10分】所以 max ()2m f x >-，且 min ()2m f x <+，所以 14m <<，即m 的取值围是(1,4)．【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01x x ∈<<R ，或1}x >；2. 12； 3. 2； 4. 2-，1； 5. 1(,1)3.注：4题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}UP x x x =-<，【 2分】即集合{|02}UP x x =<<. 【 4分】（Ⅱ）解：因为UP M ⊆，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩ 【 6分】解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩ 【 8分】所以 [2,0]a ∈-. 【10分】注：第（Ⅱ）小问没有等号扣1分. 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--，所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】由212a-=，得0a =. 【 4分】解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立，【 2分】所以 20a -=，得0a =. 【 4分】（Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=.① 当202a-≤，即 2a ≥时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时，因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-.【 8分】 ③ 当212a -≥，即 0a ≤时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数；【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->，则212121()()(22)(33)xxxxy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->，所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】（Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*）【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->，. . . .... . ... . 解得32log ()2a x b>-. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22x a b -<，解得32log ()2a x b <-. 【10分】。

北京市西城区2014年高二数学下学期期末试卷(含答案文科)

北京市西城区2014年高二数学下学期期末试卷（含答案文科）北京市西城区2014年高二数学下学期期末试卷（含答案文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.设集合，则＝（）A.UB.{2，4}C.{1，3，5}D.{1，2，4}2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.B.C.D.3.已知是等比数列，，则公比q等于（）A.B.C.2D.44.命题“对任意实数x，都有x>1”的否定是（）A.对任意实数x，都有xC.对任意实数x，都有x≤1D.存在实数x，使x≤15.“”是“函数在区间上为增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知，则（）A.B.C.D.7.函数的图象可能是（）ABCD8.设函数，则的极小值点为（）A.B.C.D.9.已知数列的前n项和，那么数列（）A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列10.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数。

其中正确的判断是（）A.①③B.②C.②③D.①②二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

11.＝____________。

12.已知函数，则＝____________。

13.若，则的取值范围是____________。

14.已知函数是奇函数，且当时，，则＝____________。

15.已知函数则方程的解为____________；若关于x的方程有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是____________。

16.若在区间上存在实数x使成立，则a的取值范围是____________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

北京市西城区高二数学上学期期末试卷文(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤12．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．23．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．45．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=06．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P 在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= ．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是．14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．2015-2016学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤1【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】把原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论互换，就得到原命题的逆命题．【解答】解：互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．【点评】本题考查四种命题，解题的关键是熟练掌握四种命题的相互转换和它们之间的相互关系．属基础题．2．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【考点】复数的基本概念．【专题】阅读型；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数的概念得答案．【解答】解：由复数概念知，复数z=1+2i的虚部是2．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．3．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．【解答】解：①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，是基础题．4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的简单性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是：p=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】结合直线垂直的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直⇔A1A2+B1B2=0，故两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是A1A2+B1B2=0，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线垂直的条件是解决本题的关键．6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可证AC⊥平面BDD1，利用线面垂直的性质即可证明AC⊥BD1．【解答】解：∵如图，连接BD，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P 在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作椭圆，从而可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，从而可得|PF1|•|PF2|=2b2，再由三角形的面积公式求得．【解答】解：由题意作图如右，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴|PF1|•|PF2|===2b2，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|•|PF2|=|F1F2|•d，故2b2=2cd，故d=，故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了等面积的应用．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】计算题；运动思想；分割补形法；立体几何．【分析】由题意画出图形，把问题转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．分类剪展求出最小值，求最小值中的最小者得答案．【解答】解：如图，∵P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，∴问题可转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QN剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QD1剪开再展开，此时最短距离为l=．∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为．故选：B．【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查分类讨论和数形结合的解题思想方法，想到剪展的所有情况是解题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣1≤0．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= 1：4 ．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】解：设球的半径为r，所以大圆面积S1=πr2，表面积S2=4πr2，所以S1：S2=1：4故答案为：1：4．【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ﹣1+2i ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；图表型；方程思想；数系的扩充和复数．【分析】由图形得到复数z1=﹣2﹣i，z2=i，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由图可知，z1=﹣2﹣i，z2=i，∴=．故答案为：﹣1+2i．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的一个焦点是（2，0），求出b，即可求出双曲线渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：，【点评】本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b是关键．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是4．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，故左视图是长方形，长为2，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为=2，宽为2，∴左视图的面积是2×2=4，故答案为：【点评】本题考查空间图形的三视图，是一个基础题，考查的内容比较简单，解题时要认真审题，仔细解答14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；对应思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y=x对称的两个点（x，y）点（y，x），是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③正确；故正确的结论的序号是：①③，故答案为：①③【点评】本题考查的知识点是曲线Cx4+y2=1的图象和性质，对称性的判断，面积的求解，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结BD．证明PD⊥BD，在直角三角形PDB中，求解PB即可．（Ⅱ）说明△PDA，△PDC为全等的直角三角形，利用四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD求解即可．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：连结BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．因为底面ABCD是正方形，AB=2，所以．在直角三角形PDB中，．（Ⅱ）解：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，从而△PDA，△PDC为全等的直角三角形，所以．由（Ⅰ）知，所以 AB2+PA2=PB2=BC2+PC2，从而△PAB，△PCB为全等的直角三角形．所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD==．【点评】本题考查几何体的表面积，点、线、面距离的求法，考查计算能力．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程．（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O，∴圆C的半径，∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．（Ⅱ）解：∵直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，∴．在直角三角形ADC中，．由点到直线的距离公式，得，∴，解得m=±15．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】规律型；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，计算求解即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．因为 E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．又 EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，所以QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADPQ．又AE⊂平面ADPQ，所以CD⊥AE．．因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．所以AE⊥平面QDC．所以平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，所以．【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，所以，解得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得 k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．所以 x1x2=4．由，，两式相乘，得，注意到y1，y2异号，所以 y1y2=﹣4．所以直线OM与直线ON的斜率之积为，即OM⊥ON．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥A1F，由此能证明DM∥平面A1EF．（Ⅱ）推导出EF⊥平面A1BD，从而A1B⊥EF，假设A1B⊥CD，则A1B⊥平面BCD，A1E⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线A1B与直线CD不能垂直．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．【点评】本题考查线面平行的证明，考查两直线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程．（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出5m2﹣2m﹣3=0，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，解得x，设 P（x1，y1），转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ 的方程利用直线系方程求出定点坐标．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，且，解得 a2=4．所以，椭圆C的方程是．（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得 x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0．②因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④将①代入④，整理得 5m2﹣2m﹣3=0．解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．解得 x=0，或．设 P（x1，y1），所以，，所以．以替换点P坐标中的k，可得．从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ恒过定点．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题．。

北京市西城区高二数学下学期期末考试试题文

北京市西城区2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 设集合}0)4)(1(|{},5,4,3,2,1{<--==x x x B A ，则B A I ＝（） A. }4,3,2,1{B. }3,2{C. }3,2,1{D. }4,3,2{2. 在实数范围内，下列不等关系不恒成立．．．．的是（） A. 02≥x B. ab b a 222≥+ C. x x >+1D. |||1|x x >+3. 下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上是单调递增函数的是（） A. x y lg = B. 32+-=x y C. 1||-=x yD. x y 3=4. 命题“存在实数x ，使得1>x ”的否定是（） A. 不存在实数x ，使1>xB. 存在实数x ，使1≤xC. 对任意实数x ，都有1<xD. 对任意实数x ，都有1≤x5. 已知}{n a 是等差数列，28,48721=+=+a a a a ，则公差等于（） A. 2B. 4C. 6D. 86. 已知b a ,为不相等的两个正数，且0lg =ab ，则函数xa y =和xb y =的图象之间的关系是（）A. 关于原点对称B. 关于y 轴对称C. 关于x 轴对称D. 关于直线x y =对称7. 已知b a ,是实数，则“0>a 且0>b ”是“0>+b a 且0>ab ”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 过曲线C ：)0(1>=x xy 上一点),(00y x P 作曲线C 的切线，若切线的斜率为－4，则0x 等于（）A. 2B. 21 C. 4 D.419. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=1,2,1,11)(x a x x x x f 在R 上满足：对任意21x x ≠，都有)()(21x f x f ≠，则实数a 的取值范围是（）A. ]2,(-∞B. ]2,(--∞C. ),2[+∞D. ),2[+∞-10. 已知函数xe xx f =)(，给出下列结论： ①),1(+∞是)(x f 的单调递减区间；②当)1,(ek -∞∈时，直线k y =与)(x f y =的图象有两个不同交点； ③函数)(x f y =的图象与12+=x y 的图象没有公共点。

2014西城区高二(上)期末数学(文科)

2014西城区高二（上）期末数学（文科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）圆x2+y2+2y=1的半径为（）A．1 B．C．2 D．42．（4分）双曲线的实轴长为（）A．4 B．3 C．2 D．13．（4分）已知P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且|PF1|=3，则|PF2|=（）A．2 B．5 C．7 D．84．（4分）已知：命题p：∀x∈R，x2≥0，则命题¬p是（）A．∀x∈R，x2≤0 B．∀x∈R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≤0 D．∃x∈R，x2＜05．（4分）关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是（）A．若a∥M，b∥M，则a∥b B．若b∥M，a⊥b，则a⊥MC．若b⊂M，a⊥b，则a⊥M D．若a⊥M，a⊂N，则M⊥N6．（4分）“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）若m＞1，则方程表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线8．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论不正确的是（）A．C1D1⊥B1C B．BD1⊥AC C．BD1∥B1C D．∠ACB1=60°9．（4分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（）A．8 B．6 C．4 D．10．（4分）已知椭圆，O为坐标原点．若M为椭圆上一点，且在y轴右侧，N为x轴上一点，∠OMN=90°，则点N横坐标的最小值为（）A．B．C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11．（5分）已知抛物线的准线为x=﹣1，则其标准方程为．12．（5分）命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：．13．（5分）若圆与圆外切，则r的值为．14．（5分）双曲线的离心率等于；渐近线方程为．15．（5分）已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积为．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E、F、G分别是棱B1B、AB和B1C1上的动点，观察直线CE与D1F，CE与D1G．给出下列结论：①对于任意点E，存在点F，使得D1F⊥CE；②对于任意点F，存在点E，使得CE⊥D1F；③对于任意点E，存在点G，使得D1G⊥CE；④对于任意点G，存在点E，使得CE⊥D1G．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E为PD中点．（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD；（Ⅱ）证明：AE⊥平面PCD．18．（13分）已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．19．（14分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°，D为BC中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）若AC=AA1=BC=2，∠A1AC=60°，求三棱锥A1﹣ABC的体积．20．（13分）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，且，求△AF2B的面积．21．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB．（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PB⊥AC；（Ⅲ）是否存在点Q，到四棱锥P﹣ABCD各顶点的距离都相等？并说明理由．22．（14分）已知抛物线C：y2=12x，点M（a，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．（Ⅰ）若a=1，抛物线C的焦点与AB中点的连线垂直于x轴，求直线l的方程；（Ⅱ）设a为小于零的常数，点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．【解答】圆x2+y2+2y=1化为标准方程为x2+（y+1）2=2，故半径等于，故选B．2．【解答】双曲线中，a2=1，∴a=1，∴2a=2，即双曲线的实轴长2．故选C．3．【解答】∵椭圆的方程为，∴a=5，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，∵|PF1|=3，∴|PF2|=7．故选C．4．【解答】命题p：∀x∈R，x2≥0，则命题¬p是：∃x∈R，x2＜0，故选D．5．【解答】A中，当直线a，b都再一个平面上相交，且这个平面与M平行，可推断出A不一定成立．B中，a可能存在a⊂M的情况，故B的结论不一定成立．C项中，a可能存在a∥M的可能，故C项错误．D项中，若a⊥M，a⊂N，由面面垂直的判定定理可知M⊥N，故D项中说法正确．故选D．6．【解答】若m=n=0时，方程mx2+ny2=1等价为0=1，无意义，不能表示圆，若方程mx2+ny2=1表示圆，则m=n＞0，∴“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圆”的必要不充分条件，故选：B．7．【解答】当m＞1时，m﹣1＞0，m2﹣1＞0，（m﹣1）﹣（m2﹣1）=m﹣m2=m（1﹣m）＜0，∴m﹣1＜m2﹣1，∴方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选：B．8．【解答】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长=1．则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）．∴=（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，﹣1）．∴=1+0﹣1=0．∴．因此不可能有BD1∥B1C．故选：C．9．【解答】根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S底面=×2×2=2，棱柱高为h=2；∴棱柱的体积为V棱柱=S底面•h=2×2=4；故选：C．10．【解答】椭圆，∵点M（a，b）为椭圆上y轴右侧的点，∴a＞0，OM的斜率k=当点M在顶点（2，0）上时，x轴上不存在点N使得∠OMN=90°∴k=不为0，∴MN的斜率k=﹣=﹣，∴MN的直线方程为y﹣b=（﹣）（x﹣a），令y=0：﹣b=（﹣）（x﹣a）解得点N的横坐标x=a+，∵+b2=1，b2=1﹣，∴x=a+=a+﹣=+≥2=．当且仅当，即a=时取得最小值，∴点N的横坐标最小值为．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11．【解答】∵抛物线的准线为x=﹣1，∴设抛物线的标准方程为=2px，p＞0，，解得p=2，∴抛物线的标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．12．【解答】∵“x＞y”的否定是“x≤y”，“|x|＞|y|”的否定是“|x|≤|y|”；∴命题“若x＞y，则|x|＞|y|”的否命题是：“若x≤y，则|x|≤|y|”；故答案为：“若x≤y，则|x|≤|y|”．13．【解答】圆x2+y2=1的圆心坐标（0，0），半径为1；圆的圆心坐标（3，0），半径为r，∵两圆外切，∴两圆圆心距等于两圆半径之和，∴3=1+r，∴r=2，故答案为：2．14．【解答】双曲线中，a=2，b=2，c==4，∴e===2．渐近线方程为：y=±=x．故答案为：2，y=x．15．【解答】设正方体的棱长为：1，正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，∴球的表面积为：S2=4π（）2=3π．故答案为：3π．16．【解答】以D为坐标原点，以DC所在直线为x轴，以DA为直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的边长为1，则C（1，0，0），D1（0，0，1），设E（1，1，m），F（n，1，0），G（1，k，1），则向量，，所以⇔0×n+1×1+m×（﹣1）=0⇔m=1；⇔0×1+1×k+m×0=0⇔k=0，所以②③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】（Ⅰ）因为底面ABCD为矩形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．（Ⅱ）因为PA=AD，E为PD中点，所以AE⊥PD，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD．所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥AE．又AE⊥PD，PD∩CD=D所以AE⊥平面PCD．18．【解答】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，0），依题意，有，…（2分）即a2=a2﹣4a+8，解得a=2，…（4分）所以圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，…（8分）所以直线x=1符合题意．…（9分）设直线l方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，则，…（11分）解得，…（12分）所以直线l的方程为，即3x+4y﹣11=0．…（13分）综上，直线l的方程为x﹣1=0或3x+4y﹣11=0．19．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ACB=90°，所以AC⊥BC，又侧面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACC1A1，又AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1．（Ⅱ）证明：设A1B与AB1的交点为O，连接OD，在△A1BC中，O，D分别为A1B，BC的中点，所以OD∥A1C，又OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，BC⊥平面ACC1A1，所以三棱锥A1﹣ABC的体积为S△ACA1•BC．又AC=AA1=2，∠A1AC=60°，所以S△ACA1=×2×2×sin60°=，所以S△ACA1•|BC|=××2=．三棱锥A1﹣ABC的体积等于．20．【解答】（Ⅰ）由已知2c=2，所以c=1．…（1分）因为椭圆离心率为，所以．…（2分）所以a=．…（3分）所以=1，…（4分）故椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）若直线AB的方程为x=﹣1，则|AB|=，不符合题意．设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，…（6分）显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=…（7分）所以|AB|=•|x1﹣x2|=•=．…（9分）由已知=，解得k=±．…（10分）当k=时，直线AB的方程为y=（x+1），即x﹣y+1=0，点F2到直线AB的距离d==．…（11分）所以△AF2B的面积=|AB|d=．…（12分）当k=﹣时，△AF2B的面积也等于．综上，△AF2B的面积等于．…（13分）21．【解答】（Ⅰ）证明：底面ABCD为梯形，AD∥BC，又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．（Ⅱ）证明：设BC的中点为O，连结AO，在梯形ABCD中，因为AB=AD=BC，∠ABC=60°，所以△ABO为等边三角形，OA=1，又AD∥BC，所以四边形OCDA为菱形．因为∠AOC=120°，OA=OC，所以∠OAC=30°，所以∠BAC=90°，AB⊥AC，又平面PAB⊥平面ABCD，AB是交线，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB，即PB⊥AC．（Ⅲ）解：因为PA⊥PB，PB⊥AC，所以PB⊥平面PAC．所以，PB⊥PC，所以△PBC为直角三角形，∠BPC=90°．连结BD，由（Ⅱ）知∠BCD=60°，所以△ABC≌△DCB，所以△DBC为直角三角形，∠BDC=90°．所以点O是三个直角三角形：△PBC、△ABC和△DBC的共同的斜边BC的中点，所以OA=OB=OC=OD=OP，所以存在点Q（即点O）到四棱锥P﹣ABCD各顶点的距离都相等．22．【解答】（Ⅰ）解：由已知，抛物线C：y2=12x，的焦点坐标为F（3，0）．…（1分）设过点M（1，0）的直线l的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程，消去y可得k2x2﹣（2k2+12）x+k2=0．…（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．…（3分）因为F与AB中点的连线垂直于x轴，所以，即．…（4分）解得k=，．…（5分）所以，直线l的方程为y=（x﹣1）．…（6分）（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=（x﹣a）．代入抛物线方程，消去y可得k2x2﹣（2ak2+12）x+a2k2=0，…（7分）则k2≠0，且△=48ak2+144＞0，即k≠0，且ak2+3＞0．x1+x2=，x1x2=a2．…（8分）因为点A关于x轴的对称点为A′，所以A′（x1，﹣y1），直线A′B：，又y12=12x1，y22=12x2，所以，…（10分）所以．…（11分）因为y12y22=144x1x2=144a2，又y1，y2同号，a＜0，所以y1y2=﹣12a，…（12分）所以直线直线A′B的方程为，…（13分）所以，直线直线A′B恒过定点（﹣a，0）．…（14分）。

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