一个Lagrange中值定理问题的变形与推广
三大微分中值定理及其推广形式和应用
三大微分中值定理及其推广形式和应用
丁亚红
南京师范大学数学科学学院，南京（210046）
E-mail: dyahong@
摘 要：三大微分中值定理既有区别，又紧密相联。在这三大定理中，Rolle 定理是基础， Lagrange 中值定理是关键。本文介绍了一阶、高阶形式的中值定理及其应用。给出了一阶形 式的微分中值定理的相互证明。在高阶情形中，用高阶 Lagrange 中值定理证明了高阶 Cauchy 中值定理。其应用方面为:判断函数方程根的存在性,求极限,证明不等式,证明单调性。 关键词：中值定理，推广，应用
(1)
g (n) (ξ )
1
1L1
x0
x1 L xn
x02
x12
L
x
2 n
L LLL
x n−1 0
x n−1 1
L
x n−1 n
g(x0 ) g(x1 ) L g(xn )
3.3 用高阶 Lagrange 中值定理证明高阶 Cauchy 中值定理
在一阶形式中，我们可以运用 Lagrange 中值定理证明 Cauchy 中值定理。这里，我们将 运用高阶 Lagrange 中值定理来证明高阶 Cauchy 中值定理。
λi (x j )
= δ ij
=
⎧1,i = ⎩⎨0,i ≠
j; j.
n
∑ 则存在ξ ∈ (a,b), 使得， f (n) (ξ ) = f (xi )λ(in) (ξ ).
i=0
证 作辅助函数
n
F (x) = f (x) − ∑ f (xi )λi (x),
i=0
故
F (xi ) = 0,i = 0,1,L, n 反复运用罗尔定理，可得，存在 ξ ∈ (a, b), 使得
拉格朗日中值定理的推广及其应用
嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：拉格朗日中值定理的推广及其应用姓名：徐佳琳学号： 101010045学院：数学学院专业：数学与应用数学（师范）指导老师：温坤文申请学位：学士学位嘉应学院教务处摘要拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有极其重要的意义.本文先对拉格朗日中值定理作了一定的阐述，并将其进行了推广，然后通过对几种类型问题的解决，对拉格朗日值定理的应用作一些探讨和归纳，以起到对定理的深入理解，熟悉掌握并能够正确应用的作用.字典关键词：拉格朗日中值定理，定理的推广及应用，极限，不等式，级数的敛散性.AbstractLagrange mean value theorem is one of the basic theorem of differential calculus，It has extremely important meaning in the theory and application.This article first to make the Lagrange theorem certain, and put it to the promotion, then through several types on the solution of the problem,and it will make some discussions and studies on the application of lagrange mean value theorem .It’s purpose is to have in-depth understanding of theorem, the role of expert knowledge and be able to correct application.Keywords： Lagrange mean value theorem,The generalization and application of the theorem, The limit, Inequality, The convergence and divergence of the series.1. 引言罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理，这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，他们之间的关系可用简图示意如下：以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理，他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态，中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征.拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，它有许多推广，这些推广都有一个基本特点，就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式.除此之外，拉格朗日中值定理在理论和应用上也有着极其重要的意义.该定理叙述简单明了,并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是中值点的含义，就有较大难度.总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具，而著名的拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具，必须深刻认识定理的内容，熟练掌握定理的本质，在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区.现借下文中的若干例子来对拉格朗日中值定理作一些探讨，以起到对定理深入理解、熟练掌握并正确应用的作用.2.拉格朗日中值定理定理2.1（拉格朗日中值定理）若函数满足下列条件：（i）在闭区间上连续；(ii) 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.3. 拉格朗日中值定理的推广命题3.1 若函数在开区间内可导，函数极限都存在；则至少存在一点,使得.证明不妨记,,令函数则函数在闭区间上连续,函数在开区间内可导,.由拉格朗日中值定理,至少存在一点，使得又，，，所以.命题3.2 若函数在内可导,函数极限与都存在；则至少存在一点，使得证明令则复合函数在开区间内可导,其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点，使得,令,则时，，并且.所以，至少存在一点，使得命题3.3 若函数在开区间内可导,函数极限与都存在，则至少存在一点使得.证明令,且则复合函数在开区间内可导，其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点使得令则时，所以，至少存在一点使得命题3.4 若函数在开区间,使得证明令，且则复合函数在开区间内可导，其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点，使得令则时，所以，至少存在一点使得显然,有如下的推论:若把上述命题的第二个条件加强为：有关的函数极限存在且相等,则至少存在一点属于上述各区间,使得.于是我们得到了推广的罗尔中值定理.不难看出,推广的罗尔中值定理,有其明确的几何意义:在符合定理的条件下,曲线在点处有水平的切线.4. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用广泛，可用于计算、证明、估算、判定等，在应用中灵活性较大，下面从求极限、证明不等式、判别级数敛散性等方面对拉格朗日中值定理的应用做进一步的研究.4.1 利用拉格朗日中值定理求极限用拉格朗日中值定理,最重要的是去找函数和相应的区间,而公式可变形为:它的左端是有特点的，恰好是在区间上的增量与的区间长度的比值.因此公式变形后就可以确定函数和相应的区间.例1．求极限：.解函数在或上运用拉格朗日中值定理，得(在与之间).故.例2．设连续,,有公式, （1）试求解对函数在或上运用拉格朗日中值定理，得,代入（1）式，得. （2）将按泰勒公式展开：, （3）由（2）（3）得,故.例3．求极限：.解令在或上对变量运用拉格朗日中值定理，得（在之间）,故.4.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理存在的形式并不是不等式的形式.那么怎么能用拉格朗日中值公式去证明不等式呢?我们知道,在拉格朗日中值公式中而不知道具体是多少,但根据在之间的取值却可以估计的取值范围.或者说可以估计出取值的上、下界，分别用取值的上、下界去代换拉格朗日中值公式中的就可以得到不等式.这就是用拉格朗日中值公式证明不等式的思想.例4．证明当时，.证明设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故有. （1）又,故（1）式为,则,即.例5．设函数在上连续，有二阶连续导数且,若有使得，则必有，使得.证明由题知，在,上分别满足拉格朗日中值定理的条件，则有,且.因且,故，又由题知在上满足拉格朗日中值定理，即.例6．证明：当时，.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在，使得,即.又因，故.当时，,即.所以当时，不等式成立.4.3 利用拉格朗日中值定理证明恒等式由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点（不妨设），有，那么若恒为0，则有，所以.由的任意性可知，在定义域内函数值恒等.即有下面一个推论：推论如果函数在开区间内的导数恒为零，那么在内是一个常数.利用这个推论可以证明一类反三角恒等式的题目.例7．证明恒等.证明令在时，有意义，且.所以，在时，（常数）.又取内任一点，如，有，且，所以端点值也成立，由推论有恒等.4.4 利用拉格朗日中值定理证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项,证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用.例8．设在内可导，且，试证，使得.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，由条件，可得，再令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，综合上述两式可得，即.4.5 利用拉格朗日中值定理研究函数在区间上的性质因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识.比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉格朗日中值定理的结论，通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法.例9．证明：若函数在有穷或无穷的区间内存在有界的导函数，则在内一致连续.证明设当时，对于，在以为端点的区间上由拉格朗日中值定理，有，在之间，那么对于,取，则当，且，就有（在之间），由一致连续定义可知，在内一致连续.4.6 利用拉格朗日中值定理证明估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便，特别是二阶及二阶以上的导函数估值时.但对于某些积分估值，可以采用拉格朗日中值定理来证明.例10．设在上连续，且，试证：.证明若，不等式显然成立；若不恒等于0，，使，在及上分别用拉格朗日中值定理，有,从而,这里利用了,所以原不等式得证.4.7 利用拉格朗日中值定理判别级数的敛散性在级数敛散性的判别问题上，可以构造辅助函数，研究在各个区间上的特点，最后相加可以进行化简，利用级数敛散性的判别法则给出判断.例11．证明调和级数的敛散性.。
巧解高考数学压轴题(6)——拉格朗日(lagrange)中值定理证明
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这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明. 显然， 函数 x 满足条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在
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3.4 转轴法
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w.
由拉格朗日中值定理的几何图形可知，若把坐标系 xoy 逆时针旋 转适当的角度 ，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新
显 然 ， 函 数 x 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 在 开 区 间 a, b 内 可 导 ，
a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点 a, b ，使 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark
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拉格朗日(lagrange)中值定理 若函数 f x 满足如下条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在开区间
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如图 4 过点 a, O 作直线 A' B ' ∥ AB ，直线 A' B ' 的方程为：
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.c
使得 Y sin f ' cos 0 ，即 f ' tan
lagrange中值定理的证明
lagrange中值定理的证明1 定义我们知道，lagrange中值定理是罗尔中值定理的推广,如果，我们将罗尔中值定理中这个条件去掉，并且把结论改为,这样就将罗尔中值定理，推广到了lagrange中值定理。
定理（lagrange中值定理）.如果函数满足：•在闭区间上连续•在开区间上可导那么，使得。
介绍完了定义，我们来看看它的图像。
从图上，可以很明显地看出就是割线(图中的红线)的斜率。
这样lagrange中值定理的结论就是，在内至少存在一点 ,这一点的切线斜率，与割线的斜率，是相等的。
也就是至少有一点，它的切线与割线是平行的。
2 联系前面我们说过,lagrange中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就有所体现。
具体地，罗尔中值定理，可以看做lagrange中值定理旋转到特定角度后的结果。
在上面这组图中，可以看出罗尔中值定理lagrange中值定理左边的图右边的图这说明，lagrange中值定理确实是罗尔中值定理的推广。
3 证明定理（lagrange中值定理）.如果函数满足：•在闭区间上连续•在开区间上可导那么，使得。
证明.引进辅助函数：容易知道，满足：•在闭区间上连续•在开区间上可导•所以根据罗尔中值定理可知，使得，即：由此可得。
看懂上面这个证明并没有难度，但要自己写出来却不容易，其中的难点，就是构造出辅助函数。
那为什么在上面那个证明中，要构造出这个辅助函数呢，下面我们就来分析一下。
3.1 辅助函数构造首先对lagrange中值定理的结论进行变形结合罗尔定理，我们很自然联想(1)式左边是某个函数的导数就好了这样，可以假设很容易验证则满足罗尔中值定理，存在使得即(1)式成立，由此lagrange中值定理就证明出来了。
拉格朗日（Lagrange）中值定理讲义
拉格朗日（Lagrange ）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：中值定理的应用技巧 教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'()0f ξ=图1 图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。
)a )(()('b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'()0f b f a f b a b aξ−===−−，即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=拉格朗日（微分）中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商()y f x b =(f a)a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()()f b f a f b aξ−′=−成立。
拉格朗日(Lagrange)中值定理的构造性证明
微分 中值 定 理 ， 作 为微分 学 中 的重要定 理 ， 是 微分 学应 用的理论基础， 是沟通函数与其导数之间的桥梁， 是微分学 的核心理论 。目前 ， 对微分 中值定理的证明方法， 除了数学
分析或高等数学课本上的之外，还有很多值得学 习借鉴的 方法。 基于微分中值定理的重要意义， 同时为了使学生都能 更加全面 、 深入地理解微分 中值定理， 掌握构造辅助函数证
明 的技巧 ， 本文 从几 何和 分析 角度 加 以分析 证 明。 罗尔定 理 的回顾 与拉 格 朗 日中值定 理 的引入
一
、
我们 简单 回顾一下罗尔定理 的内容 ： 若 函数ｆ （ ｘ ） 满足 下列条件 ： ①在 闭区间 ａ ， ｂ １ 连续 ， ②在开区间（ ａ ， ｂ ） 可导 ， ③ ｆ （ ａ ） ＝ ｆ （ ｂ ） ， 则在 （ ａ ， ｂ ） 内至少存在一点 ∈， 使得ｆ ． （ ∈） ＝ ０ 。 罗尔定理的几何意义大家都清楚了（ 如图１ ） ， 现在我们 把 曲线 ｖ ＝ （ ｘ ） 绕Ａ 在 平 面 内 的逆 时 针旋 转 Ｏ ． ｒ 角， 得 到 新 的 曲线（ 如图２ ） ， 大家看看有什么不 同？
性等 导致 的教 学问题 ， 进而 提高课 堂教 学效 率 。
参 考 文献 ：
要是担心“ 探究教学” 会降低课堂效率 。探究教学真 的会 降 低课堂效率吗？什么叫课堂效率？课堂效率是指在课堂规 定的教学时间内所取得 的教学效果的大小 ，其中教学效果 包括 数 量与 质量 。而 所谓 的高 效课 堂 ， 不仅 有量 ， 还要 有 质 （ 即学 生对 知识 的理解 程度 和学 生能 力 的培养 ） 。如果 按 照 传统的教学方式进行教学 ，虽然教师噼里啪啦讲了很多知 识 ，但 是学 生真 正理 解 的又有 多少 。一 些教 师认 为这 没 什 么， 我们 可 以通过 题海 战术 来巩 固提 高 。 这 样对 于学 生能 力 的培养 有用 吗 ？ 没用 ， 只会解 题不 是新 课程 对学 生培 养 的 目
一个Lagrange中值定理问题的变形与推广
一个Lagrange中值定理问题的变形与推广作者：窦慧来源：《教育教学论坛》2014年第10期摘要：掌握好Lagrange中值定理是学好微分中值定理的关键。
通过一道题目的求解、变形和推广，得到了新的结论，推广了文献中的结论，增加了中值定理问题的趣味性。
关键词：介值定理；微分中值定理；Lagrange定理中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）10-0084-02Roll定理、Lagrange定理和Cauchy定理三个微分中值定理是高等数学的重点和难点，而Roll定理是Lagrange定理的特例，Cauchy定理是Lagrange定理的变形推广，因此，掌握好Lagrange中值定理是学好微分中值定理的关键。
在全国大学生数学竞赛和研究生入学考试中经常会有微分中值定理的问题，这就需要深化微分中值定理问题的研究。
本文讨论了一类Lagrange中值定理问题的证明、变形和推广。
一、问题原形[1]设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且有f（0）=0，f（1）=1，试证明：对任意的正数a，b，存在两点ξ，η∈（0，1）使得■+■=a+b二、问题求解证法一对任意的正数a，b，■∈（0，1）由连续函数的介值定理得存在x0∈（0，1）使得f（x0）=■对函数f（x）在[0，x0]，[x0，1]上分别运用Lagrange中值定理，得存在两点ξ∈（0，x0）？奂（0，1），η∈（x0，1）？奂（0，1）使得f'（ξ）x0=f（x0）-f（0）=■，①f'（η）（1-x0）=f（1）-（x0）=■.②①+②并整理得■+■=a+b证法二对任意的正数a，b，■∈（0，1）且1-■=■.对函数f（x）在[0，■]，[■，1]上分别运用Lagrange中值定理，得存在两点ξ∈（0，■）？奂（0，1）η∈（■，1）？奂（0，1），使得f'（ξ）■=f（■）-f（0），①f'（η）（1-■）=f（1）-f（■）. ②①+②得af'（ξ）+bf'（η）=a+b证法一显然是对的，可是也不能判定证法二错误，虽然证法二没得到要证明的结论，却得到了另有意义的结论。
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理是一个比较有用的数学定理，它的意思是：如果一个函数f在一个定义域内连续，在一个闭区间[a,b]上增加，那么在这一区间内至少存在一个数c，使得函数f在c处取得直线ab上f(a)和f(b)之间的中值。
拉格朗日中值定理的使用有很多，它的用处就在于它能够在较为复杂的问题中把许多复杂的计算简化，帮助我们快速找出求解结果。
比如，我们可以把积分运算归结为二阶多项式，再使用拉格朗日中值定理，从而把积分运算搞定，这样就可以把复杂的求积问题变成表达式计算，简单、快速。
此外，拉格朗日中值定理也被实际应用在非线性方程求解、曲线拟合、曲线分割以及高精度数值积分、极限的求解等等。
总的来说，拉格朗日中值定理的运用极其广泛，它在数学计算中也是有用的，可以大大减轻我们的计算量，为复杂的计算提供直接的解决方案。
浅谈拉格朗日中值定理的推广和应用
浅谈拉格朗日中值定理的推广和应用邓敏(湖南长沙干杉湖南交通职业技术学院湖南·长沙410132)中图分类号：G712文献标识码：A文章编号：1672-7894（2013）18-0055-02摘要拉格朗日中值定理是微分学中的重要的基本定理之一，也是三大微分中值定理中的核心定理，本文应用拉格朗日中值定理及推论证明等式、举例说明Lagrange 中值定理在求解极限中的应用、就拉格朗日中值定理的一个推广进行了浅要说明，其中在拉格朗日中值定理推广上证明了拉格朗日中值定理在开区间有连续右导数的情况也能使用，这一推广大大拓宽了拉格朗日中值定理的使用范围。
关键词拉格朗日中值定理推广应用A Brief Discussion on the Popularization and Application of Lagrange Mean Value Theorem //Deng MinAbstract Lagrange mean value theorem is one of the basic theo-rems in differential calculus,and also the core theorem of the three mean value theorems.This paper briefly interprets the pop-ularization and application of Lagrange mean value theorem,and introduces the application expansion of this theorem.Key words Lagrange mean value theorem;popularization;appli-cation1Lagrange 中值定理定理1.1拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f （x ）满足如下条件：(i)f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续；(ii)f （x ）在开区间（a ，b ）内可导，则在（a ，b ）内至少存在一点整=f （b ）-f （a ）b-a(1.1)当f （a ）=f （b ）时，这个定理的结论其实就是罗尔定理的结论，这也表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。
关于拉格朗日(lagrange)中值定理的逆定理问题
关于拉格朗日(lagrange)中值定理的逆定理问题拉格朗日（Lagrange）中值定理可以概括为，对于函数f(x)在某区间内取值，满足f(a)f(b)<0，则必定存在c使得a<c<b，且f(c)=0。
拉格朗日中值定理的逆定理，即不定式f(x)在区间[a,b]内的所有实根的数目，等于函数f(x)在区间[a,b]内取得极大值减去取得极小值的差值。
1.基本定义拉格朗日（Lagrange）中值定理逆定理是根据拉格朗日中值定理，将中值定理由一个具体的求解方法推广到一般求解形式的派生定理。
它指出，如果在一个定义域[a,b]上的一个连续函数的的两个端点有不同的数字和异号，则函数f(x)在[a,b]这个定义域内有至少一个根，而这个根的个数正好等于f(x)在区间[a,b]内的极大值与极小值的差值，即：f(x)在[a,b]的特征数= f(x)在[a,b]的最大值减去最小值，即特征数= f(x)最大值- f(x)最小值。
2.基本原理拉格朗日（lagrange）中值定理逆定理是根据拉格朗日中值定理推出，它指出，如果在一个定义域[a,b]上的一个连续函数的的两个端点有不同的数字和异号的时候，就会出现对称的曲线，也就是极大值和极小值，这时函数在定义域[a,b]内必定有一个根，而这个根的个数正好为函数f(x)在该区间内取得极大值减去取得极小值的差值。
3.具体推导（1）设f(x)在区间[a,b]内为恒小值或恒大值。
设f(x)在区间[a,b]内为恒小值，则f(x)在[a,b]中包含的根一定为0，故f(x)在[a,b]的特征数=f(x)最大值-f(x)最小值=0。
设f(x)在区间[a,b]内为恒大值，则f(x)在[a,b]中不会有根，故f(x)在[a,b]的特征数= f(x)最大值- f(x)最小值= ±∞。
（2）当f(x)在区间[a,b]内交替取得极大值和极小值时。
设f(x)在区间[a,b]内交替取得极大值和极小值，那么f(x)在[a,b]中一定会有若干个根，其中以极大值和极小值之间的根的数目最多，故f(x)在[a,b]的特征数=f(x)最大值-f(x)最小值，即特征数=f(x)最大值- f(x)最小值。
3-1拉格朗日中值定理
1,2
5 13 12
0,1 ,
使得
f '( ) f (1) f (0) .
10
因此，拉格朗日中值定理对函数 f (x) 4x3 5x2 + x 2
在区间[0，1]上成立．
注：只需要有一个根满足就行，这是一个存在性定理。
例2 意
证明：对任
0 a b, 不等式
b a ln b b a 成立．
解 f (x) 4x3 5x2 +x2 是初等函数，故它在闭区 [0 ，1]
间 上连续，在开区间(0,1)内可导，所以函数在 [0，1]上满
足拉格朗日中值定理的条件．
令
f
'(x)
f
(1) f 1 0
(0)
,即
12 x2 10x+1 0,
得
5 13
5 + 13
x1 12 , x2 12 ,
即存在
由于 f '( ) 0 ，则 f (x2 ) f (x1) 0 ，即 f (x2 ) f (x1) 也就是说，函数 f (x) 在区间 I上任意两点的函数值相等，
故 f (x) 在区间 I上为一常数．
推论2 若两个函数 f (x)与g(x) 的导数在区间 I 内相等，即
f '(x) g'(x)(x I )，则 f (x) g(x) C （常数）．
b
a
a
解 设 f (x) ln x ．显然它在 [a, b]上满足
拉格朗日中值定理的条件，所以有
ln b ln a
1
b a (ln x)' x
，
(a b)
即 ln b ln b ln a b a .
拉格朗日中值定理拓展
拉格朗日中值定理拓展
拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，描述了函数在某个区间上连续且可导时，在该区间内必然存在一个点，该点处的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
拉格朗日中值定理的拓展包括以下几个方面：
1. 拉格朗日中值定理的微分形式拓展：拉格朗日中值定理可以用微分的形式来表示，即f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c是a和b
之间的某个点。
这个形式可以应用于更一般的函数，如多元函数或向量值函数。
2. 拉格朗日中值定理的高阶导数形式拓展：拉格朗日中值定理可以推广到高阶导数的情况，即f^(n)(c)=(n!)/(a^n) f^(n)(a)，
其中n是正整数，f^(n)表示函数的第n阶导数，c是a和b之
间的某个点。
这个形式可以用于证明泰勒展开的剩余项。
3. 拉格朗日中值定理的平均值形式拓展：拉格朗日中值定理可以推广到函数在区间上的平均值的情况，即f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)，其中c是a和b之间的某个点。
这个形式可以用于推导积分的
定义和性质。
4. 广义拉格朗日中值定理：广义拉格朗日中值定理是拉格朗日中值定理的一个更一般的形式，可以应用于一些特殊的函数，如周期函数或反函数。
这些拓展形式使得拉格朗日中值定理在微积分和相关领域有更广泛的应用。
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的应用武㊀婷㊀黄光鑫(四川省成都市四川师范大学附属中学㊀６１００００)摘㊀要:拉格朗日Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理是微分学中的一个基本定理ꎬ本文将举例介绍这个定理在解决高中函数问题中的一些应用.关键词:拉格朗日中值定理ꎻ应用举例中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００６３－０３收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:武婷(１９７９.３－)ꎬ女ꎬ学士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.黄光鑫(１９６６.９－)ꎬ男ꎬ学士ꎬ中学高级教师ꎬ中国数学学会会员ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁引言拉格朗日Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理本是微分学中的一个重要定理ꎬ不在高中数学课本范畴之内ꎬ是否有必要教给学生呢?我们先看下面一个问题:例１[２０１９年清华大学自主招生考试(６)]若对∀ｃɪＲꎬ∃ａꎬｂꎬ使得ｆ(ａ)－ｆ(ｂ)ａ－ｂ＝ｆ(ｃ)成立ꎬ则称函数ｆ(ｘ)满足性质Ｔꎬ下列函数不满足性质Ｔ的是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ２＋３ｘ㊀㊀Ｂ.ｆ(ｘ)＝１ｘ２＋１Ｃ.ｆ(ｘ)＝ｅｘ＋１Ｄ.ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(２ｘ＋１)解㊀ȵ∀ｃɪＲꎬ∃ａꎬｂꎬ使得ｆ(ａ)－ｆ(ｂ)ａ－ｂ＝ｆ(ｃ)ꎬ则ｆ(ｘ)的值域是ｆᶄ(ｘ)值域的子集.对于Ａ选项:ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２－６ｘ＋３ɪ[０ꎬ＋¥)ꎬｆ(ｘ)ɪＲꎬ不满足性质Ｔꎬ符合题意.对于Ｂ选项:ｆᶄ(ｘ)＝－２ｘ(ｘ２＋１)２ꎬ令ｘ＝ｔａｎαꎬ则ｆᶄ(ｘ)转化为ｇ(α)＝－１２ｓｉｎ２α(１＋ｃｏｓ２α).当ｓｉｎ２αꎬｃｏｓ２α>０时ꎬ则由四元均值不等式可知:ｓｉｎ２２α(１＋ｃｏｓ２α)２＝２７ˑ(１＋ｃｏｓ２α３)３(１－ｃｏｓ２α)ɤ２７ˑ(２４)４ꎬ当且仅当ｃｏｓ２α＝１２时ꎬ等号成立.ȵｇ(α)为奇函数ꎬʑｆᶄ(ｘ)ɪ[－３３８ꎬ３３８]ꎬｆ(ｘ)ɪ(０ꎬ１]ꎬ不满足性质Ｔꎬ符合题意.对于Ｃ选项:ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋１ꎬｆ(ｘ)ɪＲꎬｆᶄ(ｘ)ɪＲꎬ满足性质Ｔ.对于Ｄ选项:ｆᶄ(ｘ)＝２ｃｏｓ(２ｘ＋１)ꎬｆ(ｘ)ɪ[－１ꎬ１]ꎬｆᶄ(ｘ)ɪ[－２ꎬ２]ꎬ满足性质Ｔ.综上:选ＡꎬＢ.从上面的解法可以看出ꎬ对于学有余力的学生而言ꎬ对于想参加高校自主招生考试或者想参加数学竞赛的学生而言掌握拉格朗日中值定理也是很有必要的!㊀㊀二㊁拉格朗日Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理拉格朗日Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理:如果函数ｆ(ｘ)在闭区间[ａꎬｂ]上连续ꎬ在开区间(ａꎬｂ)内可导ꎬ那么在(ａꎬｂ)内至少存在一点ξ(ａ<ξ<ｂ)ꎬ使等式ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)＝ｆᶄ(ξ)(ｂ－ａ)成立.证明㊀做辅助函数:Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)－ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)ｂ－ａ(ｘ－ａ).显然Ｆ(ａ)＝Ｆ(ｂ)(＝０)ꎬ且Ｆ(ｘ)在闭区间[ａꎬｂ]上连续ꎬ在开区间(ａꎬｂ)上可导ꎬ根据罗尔定理在(ａꎬｂ)上至少存在一点ξꎬ使得Ｆᶄ(ξ)＝ｆᶄ(ξ)－ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)ｂ－ａ＝０ꎬ移项后定理可证得.㊀㊀三㊁拉格朗日Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理的应用下面我们本着由易到难ꎬ循序渐进的原则介绍拉格朗日中值定理在解决高中数学题中的应用.例２㊀[２０１９ 安徽十校联考]已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ａｘ＋１(ａɪＲ).(１)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)若函数ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴相切ꎬ求证:对于任意互不相等的正实数ｘ１ꎬｘ２ꎬ都有ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)ｘ２－ｘ１<１ｘ１＋１ｘ２.３６解㊀(１)函数ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ＋¥)ꎬｆᶄ(ｘ)＝ａｘ＋１ｘ.当ａȡ０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增ꎻ当ａ<０时ꎬ由ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ＝－１ａ.若ｘɪ(０ꎬ－１ａ)ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)单调递增ꎻ若ｘɪ(－１ａꎬ＋¥)ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)单调递减.综上所述:当ａȡ０时ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增ꎻ当ａ<０时ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ－１ａ)单调递增ꎬ在(－１ａꎬ＋¥)上单调递减.(２)证明:由(１)知ꎬ当ａȡ０时ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ不满足条件.所以ａ<０ꎬ此时ｆ(ｘ)的极大值为ｆ(－１ａ)＝－ｌｎ(－ａ)ꎬ由已知得－ｌｎ(－ａ)＝０ꎬ故ａ＝－１ꎬ此时ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１.不妨设０<ｘ１<ｘ２ꎬ函数ｆ(ｘ)在[ｘ１ꎬｘ２]上满足拉格朗日中值定理的条件ꎬ在(ｘ１ꎬｘ２)内至少存在一点ξ(ｘ１<ξ<ｘ２)ꎬ使等式:ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝ｆᶄ(ξ)(ｘ２－ｘ１)ꎬʑｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)ｘ２－ｘ１＝ｆᶄ(ξ)＝１ξ－１成立.欲证:ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)ｘ２－ｘ１<１ｘ１＋１ｘ２只需证明:１ξ－１<１ｘ１＋１ｘ２.ȵｘ１<ξ<ｘ２ꎬʑ１ｘ２<１ξ<１ｘ１ꎬ从而１ξ－１<１ｘ１－１<１ｘ１＋１ｘ２.所以对于任意互不相等的正实数ｘ１ꎬｘ２ꎬ都有ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)ｘ２－ｘ１<１ｘ１＋１ｘ２成立.例３㊀设函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘꎬｇ(ｘ)＝２ｘ－２(ｘȡ１).(１)试判断Ｆ(ｘ)＝(ｘ２＋１)ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)在定义域上的单调性ꎻ(２)当０<ａ<ｂ时ꎬ求证:ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)>２ａ(ｂ－ａ)ａ２＋ｂ２.解㊀(１)ȵ函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘꎬｇ(ｘ)＝２ｘ－２(ｘȡ１)ꎬＦ(ｘ)＝(ｘ２＋１)ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝(ｘ２＋１)ｌｎｘ－(２ｘ－２)的定义域为[１ꎬ＋¥)ꎬʑＦᶄ(ｘ)＝２ｘｌｎｘ＋(ｘ－１)２ｘꎬ当ｘȡ１时ꎬＦᶄ(ｘ)ȡ０恒成立ꎬ故函数Ｆ(ｘ)在定义域[１ꎬ＋¥)上为增函数.(２)函数ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上满足拉格朗日中值定理的条件ꎬｆᶄ(ｘ)＝１ｘꎬʑ∃ξɪ(ａꎬｂ)使得ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)＝ｆᶄ(ξ)(ｂ－ａ)＝ｂ－ａξ.ȵａ<ξ<ｂꎬʑ１ｂ<１ξ<１ａꎬ从而ｂ－ａξ>ｂ－ａｂ.考察:ｂ－ａｂ－２ａ(ｂ－ａ)ａ２＋ｂ２＝(ｂ－ａ)３ｂ(ａ２＋ｂ２)>０ꎬʑｂ－ａｂ>２ａ(ｂ－ａ)ａ２＋ｂ２ꎬ即ｂ－ａξ>２ａ(ｂ－ａ)ａ２＋ｂ２.故ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)>２ａ(ｂ－ａ)ａ２＋ｂ２.例４㊀[２０１９届高三黄冈模拟]已知函数ｆ(ｘ)＝λｌｎｘ－ｅ－ｘ(λɪＲ).(１)若函数ｆ(ｘ)是单调函数ꎬ求λ的取值范围ꎻ(２)求证:当０<ｘ１<ｘ２时ꎬｅ１－ｘ－ｅ１－ｘ>１－ｘ２ｘ１.解㊀(１)ｆᶄ(ｘ)＝λｘ＋ｅ－ｘ(ｘ>０).若λȡ０ꎬｆᶄ(ｘ)ȡｅ－ｘ>０ꎬ函数ｆ(ｘ)单调递增ꎬ符合题意.若λ<０ꎬ①设ｆᶄ(ｘ)ɤ０恒成立ꎬ则λɤ－ｘｅ－ｘ(ｘ>０)恒成立ꎬ令ｇ(ｘ)＝－ｘｅ－ｘ(ｘ>０)ꎬ易求得ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(１)＝－１ｅꎬʑλɤ－１ｅꎬ此时ｆ(ｘ)单调递减ꎻ②设ｆᶄ(ｘ)ȡ０恒成立ꎬ则λȡ－ｘｅ－ｘ(ｘ>０)恒成立ꎬȵｇ(ｘ)无最大值ꎬ不合题意.综上所述ꎬλȡ０或λɤ－１ｅ.(２)记函数ｇ(ｘ)＝ｅ１－ｘꎬ则函数ｇᶄ(ｘ)＝－ｅ１－ｘꎬｇ(ｘ)在[ｘ１ꎬｘ２]上满足拉格朗日中值定理的条件ꎬʑ∃ξɪ(ｘ１ꎬｘ２)使得:ｇ(ｘ２)－ｇ(ｘ１)＝－ｅ１－ξ(ｘ２－ｘ１)＝ｅ１－ξ(ｘ１－ｘ２).ȵｘ１<ξ<ｘ２ꎬʑ１－ｘ２<１－ξ<１－ｘ１ꎬ从而ｅ１－ξ<ｅ１－ｘ.ȵｘ１－ｘ２<０ꎬʑｅ１－ξ(ｘ１－ｘ２)>ｅ１－ｘ(ｘ１－ｘ２).要证ｅ１－ｘ(ｘ１－ｘ２)>１－ｘ２ｘ１＝ｘ１－ｘ２ｘ１成立ꎬ只需证明:ｅ１－ｘɤ１ｘ１⇐ｅｅｘɤ１ｘ１⇐ｅｘȡｅｘ１ꎬ易求得函数ｙ＝ｅｘ过原点的切线方程为ｙ＝ｅｘꎬ从而可得:ｅｘȡｅｘ１ꎬ故原不等式成立.点评㊀前面３个例题所要证明的式子中具有明显的结构特征:包含ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)ｂ－ａ或者ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)ꎬ容易想到使用拉格朗日中值定理求解.这三个例题都是在用拉格朗日中值定理证明不等式问题.例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘｘ(ｘʂ０).(１)判断函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬπ２)上的单调性ꎻ(２)若ｆ(ｘ)<ａ在区间(０ꎬπ２)上恒成立ꎬ求实数ａ的最小值.解㊀(１)ｆᶄ(ｘ)＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｘ２ꎬ令ｇ(ｘ)＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝－ｘｓｉｎｘꎬ显然ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬ４６ｇᶄ(ｘ)＝－ｘｓｉｎｘ<０ꎬ即函数ｇ(ｘ)在区间(０ꎬπ２)上单调递减ꎬ且ｇ(０)＝０.从而ｇ(ｘ)在区间(０ꎬπ２)上恒小于零ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬπ２)上恒小于零ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬπ２)上单调递减.(２)记函数ｇ(ｘ)＝ｓｉｎｘꎬｇ(ｘ)在[０ꎬπ２]上满足拉格朗日中值定理的条件ꎬ在(０ꎬπ２)内至少存在一点ξ(０<ξ<π２)ꎬ使等式:ｇ(ｘ)－ｇ(０)＝ｇᶄ(ξ)(ｘ－０)成立ꎬʑｓｉｎｘｘ＝ｇ(ｘ)－ｇ(０)ｘ－０＝ｇᶄ(ξ)＝ｃｏｓξ.要使不等式ｓｉｎｘｘ<ａ在(０ꎬπ２)上恒成立ꎬ只需ｃｏｓξ<ａ在(０ꎬπ２)上恒成立.ȵｃｏｓξ<１ꎬʑａȡ１ꎬ即实数ａ的最小值为１.点评㊀这个例题需要对所要证明的式子仔细观察ꎬ发现ｇ(０)＝０ꎬ于是可以将ｇ(ｘ)ｘ转化为ｇ(ｘ)－ｇ(０)ｘ－０才能使用拉格朗日中值定理求解.这个题使用拉格朗日中值定理解决了不等式恒成立问题.㊀㊀参考文献:[１]同济大学数学系.微积分(第三版)上册[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００９.[２]王朝银.创新设计 复习用书 数学 理科[Ｍ].西安:陕西人民出版社ꎬ２０１４.[责任编辑:李㊀璟]例谈平面向量的数量积的应用刘立强(甘肃省康县第一中学㊀７４６５００)摘㊀要:本文举例说明利用平面向量的数量积可以求解向量的长度㊁两向量夹角㊁两向量的垂直问题ꎬ参数的取值范围ꎬ判断三角形的形状ꎬ证明平面几何题.关键词:平面向量ꎻ数量积ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００６５－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:刘立强(１９８２.６－)ꎬ男ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀平面向量的数量积是平面向量的重要内容ꎬ也是高考命题的一个热点ꎬ主要考查平面向量数量积的运算㊁几何意义㊁模与夹角㊁垂直等问题.下面举例说明平面向量的数量积常见的几种应用ꎬ供参考.㊀㊀一㊁求向量的长度(模)例１㊀已知向量ａ㊁ｂ㊁ｃ两两所成的角相等ꎬ均为１２０ʎꎬ且｜ａ｜＝２ꎬ｜ｂ｜＝３ꎬ｜ｃ｜＝１ꎬ求向量ａ＋ｂ＋ｃ的长度.分析㊀由公式｜ａ｜＝ａ２得｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝(ａ＋ｂ＋ｃ)２ꎬ再利用条件即可求解.解㊀因为已知向量ａ㊁ｂ㊁ｃ两两所成的角相等ꎬ均为１２０ʎꎬ且｜ａ｜＝２ꎬ｜ｂ｜＝３ꎬ｜ｃ｜＝１ꎬ所以ａ ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓ１２０ʎ＝－３ꎬｂ ｃ＝｜ｂ｜｜ｃ｜ｃｏｓ１２０ʎ＝－３２ꎬａ ｃ＝｜ａ｜｜ｃ｜ｃｏｓ１２０ʎ＝－１.所以｜ａ＋ｂ＋ｃ｜２＝(ａ＋ｂ＋ｃ)２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａ ｂ＋２ｂ ｃ＋２ａ ｃ＝｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＋｜ｃ｜２＋２ａ ｂ＋２ｂ ｃ＋２ａ ｃ＝４＋９＋１－６－３－２＝３.所以｜ａ＋ｂ＋ｃ｜＝３.点评㊀根据题意先求｜ａ＋ｂ＋ｃ｜２的值是求｜ａ＋ｂ＋ｃ｜的关键.㊀㊀二㊁求两向量夹角例２㊀已知ａꎬｂ是两个非零向量ꎬ且｜ａ｜＝｜ｂ｜＝｜ａ－ｂ｜ꎬ求ａ与ａ＋ｂ的夹角.分析㊀求ａ和ａ＋ｂ的夹角ꎬ一般应先计算ａꎬ｜ａ＋５６。
拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用
拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，它是微积分中的一个基本工具，在解决问题时经常会用到。
拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的，用来研究函数在某个区间上的平均变化率与函数的导数之间的关系。
在理解和应用拉格朗日中值定理时，首先需要了解函数的导数和连续性的概念。
函数的导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线的切线斜率。
函数在某一点的导数可以用极限的概念来定义，即函数在该点的导数等于函数在该点附近的一个小区间上的平均变化率的极限。
连续性是函数的一个重要性质，一个函数在某一点连续，意味着这个函数在该点的极限等于该点的函数值。
拉格朗日中值定理的表述是：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在(a, b)内的每一个点都有一个导数，则这个函数在(a, b)内至少存在一个点c，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换言之，拉格朗日中值定理告诉我们，如果一个函数在闭区间上连续且在开区间内可导，那么在这个开区间内至少存在一个点，该点的导数等于函数在闭区间上的平均变化率。
拉格朗日中值定理在微积分解题中具有广泛的应用。
它可以用来证明一些函数的性质，以及求解一些特殊问题。
1. 证明函数的性质：拉格朗日中值定理可以用来证明函数的单调性。
如果在闭区间上连续的函数f(x)在开区间内可导，且在该区间内导数恒大于零或者恒小于零，那么可以根据拉格朗日中值定理，证明函数在该区间内是严格单调递增或者递减的。
2. 求解特殊问题：拉格朗日中值定理可以用来求解函数的近似值或者极限。
对于一个连续且可导的函数f(x)，可以根据拉格朗日中值定理，找到一个点c，使得函数在该点附近的变化率等于在整个区间上的平均变化率，进而可以用这个点的函数值近似表示整个区间上的函数值。
拉格朗日中值定理拓展
拉格朗日中值定理拓展【原创实用版】目录1.拉格朗日中值定理的定义与含义2.拉格朗日中值定理与罗尔中值定理、柯西中值定理的关系3.拉格朗日中值定理的应用举例4.拉格朗日中值定理的推广与发展正文拉格朗日中值定理，又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一。
它反映了可导函数在闭区间上的整体平均变化率与区间内某点的局部变化率之间的关系。
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。
拉格朗日中值定理描述的是：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且在开区间 (a, b) 上可导，那么至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
这意味着，在函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续、可导的前提下，其在区间内必有一点，其导数等于该区间内函数的平均变化率。
拉格朗日中值定理与罗尔中值定理的关系十分密切。
罗尔中值定理描述的是：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 上可导，并且在端点 a 和 b 处取相同的值，那么至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
可以看出，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，因为它不需要在端点处取相同的值。
拉格朗日中值定理同样也是柯西中值定理的特殊情形。
柯西中值定理描述的是：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 上可导，那么至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) + f"(c) * (x - a) / (b - a)。
对比拉格朗日中值定理，可以看出，当函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的变化仅由导数 f"(x) 决定时，拉格朗日中值定理即成为柯西中值定理的特殊情形。
拉格朗日中值定理拓展
拉格朗日中值定理拓展
拉格朗日中值定理是中值定理中的重要分支，它以其简洁的证明过程和重要的应用而闻名于世。
然而，中值定理在某些情况下，我们需要对其进行拓展，以更充分地讨论问题的复杂性。
在这方面，拉格朗日中值定理拓展是一个非常有用的工具。
拉格朗日中值定理拓展的主要思想是，通过对中值定理进行一定的拓展，以便更好地讨论问题中出现的某些特殊情况。
具体来说，拉格朗日中值定理拓展主要包括以下两个方面：
1.函数的单调性
中值定理通常只关注函数在某一个区间内的单调性，而拉格朗日中值定理拓展则关心函数在整个定义域内的单调性。
在某些情况下，我们需要更详细地讨论函数的单调性，这就需要拉格朗日中值定理拓展的支持。
2.函数的凸性
中值定理主要研究函数在某一个区间内的最值问题，而拉格朗日中值定理拓展则扩展了中值定理的研究范围，关注了函数在整个定义域内的最值问题。
在这种情况下，我们需要引入拉格朗日中值定理拓展，以便更好地讨论函数的凸性。
总结起来，拉格朗日中值定理拓展对于解决复杂数学问题具有重要的作用。
通过对其进行拓展，我们可以更好地讨论函数中出现的某些特殊情况，从而更好地理解问题的本质。
拉日朗格中值定理
拉日朗格中值定理拉日朗格中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）是微积分学中的一个重要定理，它揭示了函数在某个区间内的平均变化率与该区间内某点的瞬时变化率之间的关系。
该定理是法国数学家约瑟夫·拉日朗格（Joseph-Louis Lagrange）在18世纪提出的，并成为微积分学中的基本定理之一。
拉日朗格中值定理的表述如下：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，则存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
简单来说，这个定理告诉我们，对于一个连续可导的函数，在某个区间内，存在一个点，使得这个点的瞬时变化率等于整个区间的平均变化率。
拉日朗格中值定理的证明需要运用到罗尔中值定理（Rolle's Theorem）。
首先，我们考虑函数f(x)在闭区间[a,b]上连续的情况。
根据罗尔中值定理，若f(x)在[a,b]上连续，并且在(a,b)内可导，且满足f(a)=f(b)，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
这意味着函数在(a,b)内存在一个驻点（即导数为零的点）。
我们可以将拉日朗格中值定理看作是罗尔中值定理的推广。
假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，若满足f(a)≠f(b)，则罗尔中值定理的条件不再满足。
为了解决这个问题，我们引入一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)·x。
这个函数在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导。
此外，根据构造，g(a)=g(b)。
因此，根据罗尔中值定理，存在一个点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
接下来，我们来计算g'(c)。
根据导数的定义，g'(c)=[f(c)-f(b)+f(a)-f(a)]/(b-a)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)。
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（ １ １ ）
星距太阳的位矢为 ｒ ， ｄ ｔ 时间
●
开普勒在提 出行星运动定律时曾指 出其具有普适性 ， 即可应用于任意星系， 因此由其推导出的 （ １ １ ） 式应适用于 任意两物体 ， 也就是说 （ １ １ ） 式 即为我们现在所广泛应用的
万 有 引力 公式 。 综上 ， 开普勒行星运动定律的提出， 体现了科学研究的
线， 考率到行星围绕太 阳运动而不逃逸 ， 可知行星的受力方 向沿行星与太阳的连线 ， 并 由行星指 向太阳。 和谐定律 ： 对太阳系的九大行星而言， 应用和谐定律及 圆周运动的一般公式
、
问题 原 形［ １
＝
设 函数ｆ （ ｘ ） 在［ ０ ， １ 】 上连续 ， 在（ ０ ， １ ） 内可导 ， 且有ｆ （ ０ ） ０ ， ｆ （ １ ） ＝ １ ， 试证 明 ： 对 任意 的正数 ａ ， ｂ ， 存 在两点 专， ∈
（ ０ ， １ ） ／ ｌ ￣南 ＋ － ａ ＋ ｂ
Ｌ厂
（ １ ０ ）
们对天体运动的思考 ， 对天体问作用力的研究 。 面积定律 ： 借助于高等数学中关于矢量的运算 ， 应用面 积定律我们可以得出星体间作用力的方向。 如图所示 ：设某时刻行
÷
其中（ １ Ｏ ） 式 中的Ｍ 为太阳的质量。
由（ ９ ） 、 （ １ ０ ） 两式 可得 ， Ｆ ＝ ｋ
由面积定律 ， 可知（ ｄ Ａ ） ｌ 一 ０
即ｄ ｒ Ｘ ｄ ｒ ＋ ｒ Ｘ ｄ ｒ （ ４ ）
将ｄ ｚ ｒ ＝ ａ ＝ Ｆ ／ ｍ 代入（ ４ ） 式， 得
ｄｒ Ｘ ｄｒ ＋ ｒ Ｘ ｄ ｒ ＝ ０ ＋ｒ Ｘ ｄ ｒ ＝ｒ ｘ Ｆ ／ ｍ＝ ０
一
Ｒ ｏ ｌ ｌ 定理 、 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 定理和ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ 定理三个微分 中值定 理是高等数学的重点和难点 ， 而Ｒ ｏ ｌ ｌ 定理是Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 定理 的 特例 ， Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ 定理是Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 定理的变形推广 ， 因此 ， 掌握好 Ｉ ． ａ ａ ｎ 中值定理是学好微分 中值定理的关键 。在全国大 学生数学竞赛和研究生入学考试 中经常会有微分 中值定理 的问题 ， 这就需要深化微分中值定理问题的研究。 本文讨论 了一类Ｉ ． ａ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定理问题 的证 明、 变形和推广。
２ ０ １ ４年 ３ 月 第 １ ０ 期
教 育教 学论 坛
ＥＤ Ｕ ＣＡ ＴＩ ＯＮ ＴＥ Ａ ＣＨＩ Ｎ Ｇ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ｍａ ｒ． ２ Ｏ１ ４ Ｎ ０． １０
一
个Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｅ ｑ Ｉ 值 定理 问题 的变形 与推广
窦
拿墼
—
蕊
（ 滨 州学 院 ， 山东 滨州
参考文献 ： 【 １ ］ Ｏｐ ｅ ｒ ａ ， ｅ ｄ ． Ｆ ｒ ｉ ｓ ｈ ， Ｖ ｏ １ ． Ⅲ． ， ３ ３ ７ ， ４ ０ ８ ； Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｎ ｏ ｖ １ ．
［ ２ ］ Ｄｅ Ｈａ ｒ ｍｏ ｍａ ｍｕ ｎ ｄ ａ ， Ｉ ｉ ｂ ． Ｖ． ， Ｃ ｈ ａ ｐ ． ３ ． Ｏｐ ｅ ｒ ａ ， Ｖ ｏ １ ． Ｖ． ， ２ ７ ９ ．
内矢径 ｒ 所扫 过 的面积 为 ：
÷ ÷
ｄ Ａ ＝ ｌ ｒ ｌ ・ Ｉ ｄ ｒ ｌ ・ ｓ ｉ ｎ ０
（ １ ）
利用矢量运算法则 ， （ １ ）
式 可 化 为ｄ Ａ ＝ ｒ Ｘ ｄ ｒ （ ２ ）
（ ２ ） 式两侧同时对时间求导 ， 可得
（ ｄ Ａ） ＝ ｄ ｒ Ｘ ｄ ｒ ＋ ｒ Ｘ ｄ 。 ｒ （ ３ ）
２ ５ ６ ６ ０ ０ ）
摘要 ： 掌握好Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 中值定理是 学好微分中值定理的关键 。通过一道题 目的求解 、 变形和推 广， 得到 了新的结论 ， 推
广 了文献 中的结论 ， 增加 了中值 定理 问题的趣味性。
关键词 ： 介 值 定理 ； 微 分 中值 定 理 ； Ｌ ａ ａ ｎ ｇ ｅ 定理 中 图分 类 号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４ 文 献 标 志码 ： Ａ 文 章 编号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ４ ） １ ０ — ０ ０ ８ ４ 一 Ｏ ２
二、 问题 求解
证法一 对任意 的正数ａ ， ｂ ， ｛
∈（ ０ ， １ ） 由连续 函数
圆定律 的提出则打破了这种“ 完美 ” ， 揭示 出行星运动与普 通物体一样可以被观测 ， 可以被研究 ； 再加上当时伽利略等 已经指 出， 物体改变运动状态要有力 的作用 ， 由此引发了人
系） ， 太 阳也应受到来 自于行星的作用力 ， 而这个力应 与行 星所受力对称 ， Ｒ Ｐ Ｆ Ｉ ＿ ｋ ＝ Ｆ
即ｒ ｘＦ ＝ ０
（ ５ ）
即行星受到 的来 自太阳的作用力沿行星与太阳的连
实质（ 循序渐进的将 自然现象及科学实验现象进行演绎 、 分 析， 再经过严密 的推理归纳出精确 的表述 ， 即定律 、 定理等 ［ ３ １ ） ，从而使近代科学的开路先锋——天文学真正成为一 门 精确科学 ； 同时 ， 开普勒行星运动定律又蕴藏着伟大的万有 引力定律 ，在其推导过程中同样体现了科学研究 的精髓［ ａ ｌ （ 严密的逻辑推导 ） 。 因此， 本文对以培养学生科学精神为己 任的现代物理课程嘞 提出如下建议 ： 将开普勒行星运动定律 作为重点内容来处理 ， 并从中推导万有引力定律。 这将使学 生真正了解万有引力定律提出的社会及科学背景 ，从而打 破很多学生心中万有引力定律的“ 神秘性 ” ， 避免学生将万 有引力定律作为“ 苹果落地” 时上帝赐予天才物理学家牛顿 的“ 灵感” 来接受［ ６ １ 。这 即是培养学生科学思维、 科学方法的 要求 ， 也是使学生能够熟练驾驭万有引力定律的要求 。