第十章 对策论课件

❖ 类似地，如果局中人Ⅱ愿意冒险，想要最小支付值a 33 =-10， 选择策略3，而局中人Ⅰ识破其企图，而选择策略4，造成局 势( 4 , 3 )，则局中人Ⅱ的支付值a 43 =6。
极大极小原则
如果局中人Ⅰ采用他的策略αi ,则至少赢得为
min aij
1 jn
局中人Ⅰ希望a ij越大越好，因此他可以选择使上式为最大 的策略，从而他的赢得不少于
❖ 在对策行为中，参与竞争的各方（局中人）各有不同的 利益目标，各有自己的可能的行动方案（策略），在每 一次竞争过程（局势）中，都力图选取对自己最为有利 或最为合理的方案（最优策略）。
齐王赛马
❖ 战国时代，齐王有一天要和他的大将军田忌赛马。比赛 三场，每场各自选上中下三个等级的马一匹进行比赛， 并规定每个等级的马只能赛一场，三赛二胜者为赢。已 知在同等级的马中，齐王的马都比田忌的马强；在不同 等级中，齐王的马要比田忌的高一个等级的马弱。
齐王赛马支付矩阵
3 1 1 1 1 1
1 3 1 1 1 1
A
1
1311来自11 1 1 3 1 1
1 1
1 1 1 3 1 1 1 1
1 3
如α11=3表明，当齐王取策略α1，田忌取策略β1时， 齐王应取得的支付值3，即田忌得到的支付值是-3；
或者说齐王赢得3，田忌输掉3。
教学内容
❖ 讨论二元对策论的数学模型、 ❖ 二元对策论与线性规划的关系， ❖ 给出最优策略的算法。
§10.1 二元对策
设Ⅰ,Ⅱ表示二元对策中的两个局中人； 局中人Ⅰ和局中人Ⅱ的策略集分别表示，
S1 ={α1,α2, …,αm}， S2={β1，β2，…,βn}。 设αij表示局势（αi,βj)的结果， αij表明局中人Ⅰ选定策略αi、局中人Ⅱ选定策略βj后，局 中人Ⅰ得到的赢得值。
齐王赛马的策略集
❖ 在齐王赛马中，一次对策行为分为三场进行，三匹马依次参赛 的次序就是一个完整的行动方案，构成齐王或田忌的一个策略。
❖ 齐王和田忌各有六个策略： (上中下)、(上下中)、(中上下)、(中下上)、(下中上)、(下上中)。 S1={α1，α2，α3，α4，α5，α6} S2={β1，β2，β3，β4，β5，β6}
4 610
策略分析
6 1 8
A
3 9 3
2 1 0
4 610
❖ 如果局中人Ⅰ愿意冒险，想获得最大赢得值a 31 =9，而选择策 略3，同时满心希望局中人Ⅱ选择策略1，造成最有利于自己 的局势( 3 , 1 )。
❖ 若局中人Ⅱ识破局中人Ⅰ的企图，而选择策略3，则将造成最 不有利于局中人Ⅰ的局势（ 3 ， 3 ），使其赢得值a 33 = -10.
对局策略
❖ 田忌为取得比赛的胜利，接受了孙膑的建议：每场比 赛时先让齐王牵出要比赛的马 (名为恭敬实有对策)， 然后用自己的下马对齐王的上马，中马对齐王的下马， 上马对齐王的中马。比赛结果，田忌获胜。
❖ 在这个故事里，田忌并没有设法去得到更好的马，而 只是在比赛中运用了较好的策略而获胜。
基本概念一
齐王赛马数学模型
“齐王赛马”的数学模型 G= {S1，S2；A}，
S1={α1，α2，α3，α4，α5，α6} S2={β1，β2，β3，β4，β5，β6} 其中αi与βj表示策略为 (上中下),(上下中),(中上下),(中下上),(下中上),(下上中)。 齐王赛马是零和对策。
策略分析
❖ 给定一个二元对策G={S1，S2；A}。局中人如何选取对自 己最为有利，或最合理的策略问题。
赢得矩阵（或支付矩阵）
❖ 局中人Ⅰ的赢得矩阵（支付矩阵）可记为：
a 11
A
a 21
a 12
a 22
a 1n
a 2n
(1)
a m1
a m2
a mn
数学模型
二元对策矩阵的数学模型记为 G={Ⅰ，Ⅱ；S1，S2；A}，
如果无需表明局中人，则二元对策模型可简记为 G={S1，S2；A}。
在一个二元对策G中，如果两个局中人所得到的支付值之和 都等于0，称对策G为零和对策（zero-sum games),或二元零 和对策（two-person zero-sum games）。
基本概念三
❖ 局势 在二元对策行为中，参与对策的所有局中人各自选取一个 策略后，即可构成这次对策行为的一个局势，或结局。 当局势出现后，对策行为的结果也就确定。
基本概念四
❖ 支付矩阵（payoff matrix） 在二元对策行为中，所有局势的结果可构成一个矩阵， 称之为支付矩阵或赢得函数、支付函数。 二元对策也称为矩阵对策。因为利用对策的支付矩阵能 够完成确定对策。 ❖ 对策问题的三要素： 局中人、策略集、支付矩阵。
❖ 在支付矩阵A中 A ij mn
❖ a ij 既是局中人Ⅰ的赢得值，又是局中人Ⅱ的损失值。 ❖ 局中人Ⅰ希望赢得值a ij越大越好， ❖ 而局中人Ⅱ则希望损失值a ij越小越好。 ❖ 因此，矩阵对策完全是对抗性的。
例1 矩阵对策G={S1，S2；A}
6 1 8
A
3 9 3
2 1 0
❖ 局中人（player) 在对策行为中，有权决定自己行动方案的对策参加者，称
为局中人。 如齐王赛马中，齐王和田忌就是局中人。 如果局中人数为2，则称对策为二元对策。
基本概念二
❖ 策略集（strategy set） 在一次对策行为中，可供局中人选择的一个实际可行的完 整的行动方案称为一个策略（strategy）。 所有策略构成局中人的策略集。
第十章 对策论
❖ 对策论（game theory)是运筹学的又一重要分 支，它研究具有竞争（或斗争）性质现象的数 学理论和方法，也称为博奕论。
概述
❖ 在人类社会活动中，经常会遇到这种具有竞争或对抗性 质的行为，比如体育比赛、军事战争、政治斗争等，尤 其是在经济生活中，企业之间为争夺市场而竞争，企业 之间的各种经济谈判，不胜枚举。称这种具有竞争性质 的或对抗性质的行为为对策行为。
v1
max
1im
min
1 jn
aij
(1)
极小极大原则
如果局中人Ⅱ选取策略βj，则他至多失去
max aij (4)
1im
❖ 局中人希望a ij越小越好，他可以选择使上式最小的策略， 即保证他的损失不大于
v2
min
1 jn
max