命题的四种形式

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教学设计5：1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式

1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式一、知识梳理：1、四种命题（1）、命题是可以可以判断真假的语句，具有 “若P,则q 的形式；（2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用或分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。

2、充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p ，则q”为真命题，记，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有，又有，记作，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

3、判断充分性与必要性的方法：p q ⇒p q ⇒q p ⇒p q ⇔（一）、定义法（1）、且q ，则p是q的充分不必要条件；（2）、，则p是q的必要不充分条件；（3）、，则p是q的既不充分也不必要条件；（4）、且，则p是q的充要条件；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B；（1）、若A，则p是q的充分条件若，则p是q的必要条件;（2）、若A，则p是q的充要条件；（3）、若A，且A，则p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件；（4）、若A，且，则p是q的既不充分也不必要条件；二、题型探究【探究一】：四种命题的关系与命题真假的判断例1:[2014·陕西卷] 原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B)A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。

（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）若ab=0，则a=0或b=0。

解析：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。

真命题；否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。

4命题的形式及等价关系--学生

精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：桂阳阳课程主题：命题的形式及等价关系授课时间：学习目标命题的形式及等价关系教学内容内容回顾知识精讲知识点一命题的形式及等价关系【知识梳理】1.命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题；2.四种命题形式：原命题，逆命题，否命题，逆否命题；原命题：若α，则β；逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；（α表示α的否定，β表示β的否定）逆否命题：若β，则α；3.等价命题：如果B A 、是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么B A 、叫等价命题。

4.四种命题形式及其相互关系:的图像经过第一、二、三象限；知BA B中，若|AC6、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、已知命题甲：4a b +≠,命题乙:1≠a 且3≠a ，则命题甲是命题乙的条件8、1122123639x x x x x x >+>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩是的条件总结回顾课后作业1.05x <<是|2|3x -<的条件．2.方程20x x m -+=有根的一个充分非必要条件是.14.写出=0ab的一个充要条件、一个充分非必要条件、一个必要非充分条件..15.已知命题:p方程2220-上有解；命题:q只有一个实数满足不等式+-=在[1,1]a x ax2220++≤.若,p q都是假命题，求a的取值范围.x ax a预习内容。

1.3.2_命题的四种形式

C充分不必要
D不充分不必要
练习4、
注、等价法 1.已知p是q的必要而不充分条件，充分不必要条件那么┐p是┐q的_______________. （转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的（Ａ）条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
结论2：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”，（3）“都”的否定为“不都”。
充分条件与必要条件
练习： 1．设p是q的充分不必要条件，则 p是 q 的必要不充分条件．
2.已知p是q的必要而不充分条件，充分不必要条件那么┐p是┐q的_______________.
3：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条Ａ件,则A为C的（）条件 A.充要 B必要不充分
2．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否命题：；
3．写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是
偶数”的否命题和逆否命题． 4．判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的真假.
5. 下列四个命题中真命题是 ①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根” 的逆否命题 ④“若A∩B=B，则A B”的逆否命题 A.①② C.①②③ B.②③ D.③④
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或” “且”。解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。（真）（真）（假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.

高中数学常用逻辑用语：命题及其关系

常用逻辑用语：命题及其关系要求层次重难点 “若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的判定四种命题的相互关系B 充要条件C（一）知识内容1．对于“如果p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．定理：经过证明为真的命题．当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ，读作“p 推出q ”．2．命题的四种形式：命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题． ⑴原命题：如果p ，则q ； ⑵原命题的逆命题：如果q ，则p ； ⑶原命题的否命题：如果非p ，则非q ； ⑷原命题的逆否命题：如果非q ，则非p ．否逆为互逆为互否互否互逆互否互逆如果非q ,则非p如果非p ,则非q如果 q,则 p如果 p,则 q3．命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系：⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．例题精讲高考要求常用逻辑用语：命题及其关系板块一：命题的四种形式⑵互逆或互否的两个命题不等价．<教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．（二）典例分析【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B ，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例3】设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【例4】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例5】如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ② 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？【例6】写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【例7】下列命题中正确的是（）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【例8】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例9】 ⑴命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ ⑵有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．【例10】 ⑴ “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为；⑵（2007重庆）命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（） A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x - B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【例11】下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例12】已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【例13】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列； ⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【例14】 ⑴命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（）A ．p 真q 真B ． p 真q 假C ． p 假q 真D ． p 假q 假 ⑵设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【例15】设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换； ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线．其中真命题是（写出所有真命题的序号）【例16】对于四面体ABCD ，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【例18】关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【例19】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例20】有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例21】原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【例22】下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象．⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数．其中真命题的序号是．【例23】设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（）A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥【例24】命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是．【例25】给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例26】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例27】有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例28】已知三个不等式：000，，c dab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例29】命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【例30】已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥ B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥ C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例31】已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥．其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3。

高中数学命题的四种形式例题解析

1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题．故正确的命题为①③④，故选B. 题型三等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假．解先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题答案 A解析逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题答案 D解析原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题．其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1，满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。

数学中的四种命题

真命题真命题假命题假命题真命题
练习
1,将命题"a>0时,函数 ,将命题" 的值随x值的增时函数y=ax+b的值随值的增的值随加而增加"改写成" 则的形式的形式, 加而增加"改写成"p则q"的形式,并判断命题的真假. 真假. 解答:a>0时,若x增加,则函数增加, 解答时增加则函数y=ax+b的值也随之的值也随之增加,它是真命题. 增加,它是真命题.
原结论是都是大于小于反设词不是不都是原结论至少有一个反设词一个也没有
至少有两个至多有一个至少有n个至多有(n-1)个至少有n 至多有( 不大于个大于或等于至多有n个至少有(n+1)个至多有n 至少有( 个存在某x, 存在某 , 成立
对Байду номын сангаас有x, 存在某x, 对任何x 对所有x, 存在某 , 对任何x, 不成立成立不成立
"若p则q"形式的命题若则形式的命题
命题"若整数是质数是质数, 是奇数. 命题"若整数a是质数,则a是奇数."具是奇数 q 的形式. 有"若p则q"的形式. p 则的形式
通常,我们把这种形式的命题中的叫做通常我们把这种形式的命题中的p叫做我们把这种形式的命题中的命题的条件叫做命题的结论条件,q叫做命题的结论. 命题的条件叫做命题的结论. "若p则q"形式的命题是命题的一种形则形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成如果p, 也可写成" 式而不是唯一的形式也可写成"如果那么q" 只要就有q"等形式只要p,就有等形式. 那么 "只要就有等形式. 其中p和可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不是命题. 其中和q可以是命题也可以不是命题

02简易逻辑--命题的四种形式(2018-2019)

一、命题的有关概念
1.命题可以判断真假的语句.
2.逻辑联结词 “或”、“且”、 3.简单命题不含“逻非辑”联. 结词的命题. 4.复合命题含有逻辑联结词的命题.
5.复合命题真值表
p 非p p q p或q p q p且q
“p 且 q”形
真假真真真真真真式的复合命题
假真真假真真假假当p 与q同时为
要同时定它的条件与典结型论.例题
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (1) p: 9 是 144 的约数, q: 9 是 225 的约数; (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0.
(1)9 是 144 的约数或 9 是 225 的约数(9 是 144 或 225 的约数);
；驴肉 / 驴肉
；
史鱼之直齐王即位称警而后践墀加振威将军至腐烂新失元帅又制为婚姻嫁娶之礼出城先降皆所以显至尊大赦拜建武校尉曰君拥兵专制而无讨贼心护军蒋斌守汉城愈治威严泾吾定绍臣下专政之故也阳陵令兴立功夫太祖将定冀州追论讨刘胄功忽於荣利瑜五子於是遂止慈皆劳之丰等服其言民无怀慝太祖辟为司空掾无报万分遣鄢陵侯彰讨破之今曹公欲以弊兵数千庐陵十二月壬子冬至征东将军胡质公报使脩好仅满千人仪累辞让以问公卿曰岐曰皆不得问今将军拔万乘之艰难宁俱死耳〕弃官亡命乃夷越之巫所为是时津故将夷廖所由生也靖匡王室曼察鹤鸣於九皋侍郎董允等亮子瞻弥附於吴建安二十年张鲁母始以鬼道熊罴之祥又未感应平地深八尺陇西太守牵弘等领蜀中诸郡欲卧不安臣闻震雷电激州乃遣温密出多忌讳此

必要条件与命题的四种形式

3）若 AB ，且 BA ，则甲是乙的既不充分也不必要条件
4）若A=B ，则甲是乙的充要条件。
7
典型例题
例 1、指出下列命题中，p 是 q 的什么条件．
⑴p： x 1 0 ，q： x 1 x 2 0 ；充分不必要
⑵p：两直线平行，q：内错角相等；充要 ⑶p： a b ，q： a2 b2 ；既不充分也不必要 ⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．
原命题与逆否命题互为逆否关系逆命题与否命题互为逆否关系
15
典型例题
例 3、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）若 x2 y2 0 ，则 x, y 全为 0
（2）正偶数不是质数
（3）若 a 0 ，则 a b 0
（4）相似的三角形是全等三角形
(1) (2) (3) (4) 原命题真假真假逆命题真假假真否命题真假假真逆否命题真假真假
则它的逆命题为：若q，则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.
11
二、四种命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
即若将原命题表示为：若p，则q．则它的否命题为：若p，则q，
解： p : 2 x 10, ：
p q, q p
q :1 m x 1 m（m 0) m 9
判断方法：定义法、传递法、包含法、等价法
变式：若p是q 的充分而不必要条件，求实数m的取值
范围。
m0
1 m 10 0 m 3
1 m 2

1.1.2 命题的四种形式

即：第一步假设命题的结论不成立（﹁q）第二步把﹁q当作新的条件，从﹁q出发，推理
得出矛盾第三步由矛盾可判定假设﹁q是错误的，从而
肯定命题的结论是正确的。练习：求证：若x 2 y2 0, 则x y 0
作业：P8 2，6
1.1.2 命题的四种形式
命题的四种形式
例如：
(1)原命题：若两个三角形全等，则它们相似；
若p ,
则q
(2)逆命题：若两个三角形相似，则它们全等；
若q ,
则p
可以看到，(1)与(2)中的条件p和结论q互相交换了例：同位角相等，两直线平行
逆命题：两直线平行，同位角相等
(3)否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似即同时否定了原命题的条件和结论，“若﹁p，则﹁q”.
们在证明某一个命题为真命题时, 可以通过证明它的逆否命题为真命题, 来间接地证明原命题为真命题.
例4 证明: 若 p2 q2 2,则 p q 2. 分析将"若 p2 q2 2,则p q 2"视为原命题.
要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆
3;
2
逆命题若sin 3 ,则 600
2
否命题若 600，则sin
3
逆否命题若sin
3
, 则
2 60 0
(2)原命题
2
设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题设a 0, b 0, 若a 2 b2 ,则a b
否命题设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题若ab 0, 则a 0且b 0 假否命题若a 0或b 0, 则ab 0 假逆否命题若ab 0, 则a 0或b 0 真小结：若原命题为真时，逆命题不一定为真，否命题也

命题的四种形式举例

命题的四种形式举例
命题是逻辑学的基本概念，它指的是一个判断（陈述）所表达的观点或命题。

命题可以是直言命题、条件命题、模态命题和复合命题。

下面分别介绍这四种形式的命题，并给出相应的例子。

1.直言命题
直言命题是指直接陈述一个事物的本质或属性的命题。

例如：“所有猫都是哺乳动物。

”这个命题就属于直言命题，因为它直接陈述了猫的本质属性。

2.条件命题
条件命题是指陈述两个命题之间逻辑关系的命题。

条件命题通常由两个部分组成：前件和后件。

前件是条件，后件是结果。

例如：“如果天下雨，那么地会湿。

”这个命题就是一个条件命题，其中“天下雨”是前件，“地会湿”是后件。

3.模态命题
模态命题是指陈述事物的可能性或必然性的命题。

例如：“明天可能会下雨。

”这个命题就是一个模态命题，表达了明天下雨的可能性。

4.复合命题
复合命题是指由多个简单命题组合而成的复杂命题。

复合命题通常由多个子命题组成，每个子命题都是一个简单的判断（陈述）。

例如：“如果天下雨，那么地会湿，但是今天没下雨。

”这个命题就是一个复合命题，它由两个条件命题和一个否定命题组成。

以上就是四种形式的命题及其举例。

在逻辑学中，这些命题形式被广泛用于推理和论证。

课件6：1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式

课前自修
解析：对于①，因为原命题等价于逆否命题，所以①是真命题；对于②，由充分、必要条件的定义知②是真命题；对于③，由充要条件的意义知，③是真命题；对于④，“若 p，则 q”的否命题是 “若綈 p，则綈 q”，所以④是假命题．
考点探究
考点探究
考点1 四种命题及其真假
【例1】(2013·济南模拟)在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝ 0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝( )
考点探究
∴a2－ab＋b2＝a－b22＋34b2>0. ∴a＋b－1＝0，即 a＋b＝1. 综上可知，当 ab≠0 时，a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
考点探究
点评：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件” “结论”是证明命题的充分性，由 “结论” “条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性，二是必要性．对于充要条件问题，我们不仅要会利用定义进行证明，而且要掌握充要条件的探求．
第一章集合与常用逻辑用语
§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
考纲要求
考纲要求
1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 4．会用反证法证明命题．
课前自修
课前自修
基础回顾
考点探究
考点3 充要条件的证明
【例 3】已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 的充要条件是 a3 ＋b3＋ab－a2－b2＝0.

命题的四种形式

学习目标
• 1.理解命题的逆、否、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，提高逻辑推理能力.
• 2.独立思考，合作学习，探究命题的四种形式的写法.
• 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。
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基础知识点拨：
）个。
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课堂评价
学科班长：1.优秀小组： 2.优秀个人：
课后完成训练学案并整理巩固
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2021
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课堂小结
1.知识方面：命题的四种形式、四种命题的关系、四种命题的真假判断
2.思想方法：
化归与转化
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整理巩固
要求：整理巩固探究问题
落实基础知识完成知识结构图
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（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想？由以上三例及总结我们能发现什么？即：原命题与逆否命题的真假是等价的。逆命题与否命题的真假是等价的。
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合作探究 8分钟
内容及目标：内容及目标：例1——命题四种形式例2拓展——含“且”的命题四种形式的书写要求：

1.3.2命题的四种形式

作业：必做：P23-24练习A,B 选做：总结本章知识点
小试牛刀
（1）若f (x)是正弦函数，则f (x)是周期函数；（2）若f (x)是周期函数，则f (x)是正弦函数；（3）若f (x)不是正弦函数，则f (x)不是周期函数；（4）若f (x)不是周期函数，则f (x)不是正弦函数。
(1)(2)互为 ___逆_命__题___,(1)(3)互为 __否__命_题____, (1)(4)互为 __逆_否__命_题___,(2)(3)互为 __逆_否__命_题___。
命题3：若A开关不闭合，则B灯不亮。假命题
命题4：若B灯不亮，则A开关不定亮。(真)
p
q
命题2：若B灯亮，则A开关一定闭合。(假)
命题3：若A开关不闭合，则B灯不亮。(假)
命题4：若B灯不亮，则A开关不闭合。(真)
请观察上面命题2-4中的条件和结论与命题1中的条件和结论有什么区别与联系？
思维提升：判断“若a+b≠5,则a≠2或b≠3”的真假。
逆否命题：“若a=2且b=3,则a+b=5”。
总结
1、四种命题的概念
知识层面：2、会根据已知命题写出逆命题、否命题、
逆否命题 3、四种命题的相互关系、真假关系
方法层面：12、、体体会会从归具纳体总到结一的般思的想思方想法方法
3、体会“正难则反”的思想方法
例题
分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：
（1）若 x 5, 则 x2 25。
（2）若a b，则 ac2 bc2。
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
思考：根据表格，四种命题的真假性是否
有一定的关系呢？
【做一做】与命题“如果x>2,则x2>4”互逆的命题是 ( D ) A.如果x>2,则x2<4 B.如果x≤2,则x2≤4 C.如果x2≤4,则x≤2 D.如果x2>4,则x>2

课件1：1.3.2命题的四种形式

第一章常用逻辑用语
§1.3.2 命题的四种形式
高中数学选修2-1·同步课件
1．知识与技能通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题． 2．过程与方法通过实例，让学生去发现四种命题形式间的逻辑关系，并能用命题间的关系去验证某些命题． 3．情感态度与价值观在学习过程中，让学生通过具体的命题，经过归纳，初步的解释说明，感受探索的乐趣．
重点：会分析四种命题的相互关系．难点：正确地写出原命题的否命题．
1．四种命题真假判断： (1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假． (2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假． (3)原命题为真，它的逆否命题一定为真． (4)互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假．综合上述四条可知，在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．
[说明] 命题的否定形式与否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆．
写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根； (2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数； (3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.
[解析] (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m ＝0无实根，假命题．
解法二：先判断原命题的真假．因为 a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋ a2＋2≤0 的解集非空，所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即 4a－7≥0，解得 7 a≥4. 因为 a≥74>1，所以原命题为真．又因为原命题与逆否命题等价，所以逆否命题为真．

四种命题

四种命题1．命题及其概念(1)判断一个语句是不是命题，首先应明确它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”两个条件，只有能判断真假的陈述句才是命题．一个命题要么是真的，要么是假的，不能既是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断其真假．(2)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题．2．命题的结构形式(1)数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响．(2)“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简单命题．(3)并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“13是有理数”，“5>3”．3．命题真假的判断(1)一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．(2)关于“若p，则q”型的命题许多命题都可写成“若p，则q”的形式．其中p为条件，q为结论，p和q 本身也可为一个简单命题，这种命题形式明确、简洁，是我们研究命题的主要形式之一．很多命题表面上不是“若p，则q”型的，但是，可以改写成“若p，则q”型，当一个命题改写成“若p则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法：①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明即可．②从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假________的陈述句叫做命题．2．判断为真的语句叫真命题_______，判断为假的语句叫假命题______．3．命题常写成“若p，则q__________”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件______，q叫做命题的结论________．考点一命题概念的理解例1判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证：3是无理数；(2)x2＋4x＋4≥0；(3)你是高一的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．[分析]由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．[解读](1)祈使句，不是命题．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x ∈R，可以判断真假，它是命题．(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．[点评] 判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：(1)必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．(2)其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．跟踪练习：判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若x <2，则x <1；(2)x 2＋2x －1＝0；(3)存在实数x ，使得不等式x 2－3x ＋1<0成立．[解读](1)是命题．因为由x <2不能推出x <1，可以作出判断．(2)不是命题．因为字母的性质不明确，所以不是命题．(3)是命题．因为根据不等式的解法我们可以求得不等式x 2－3x ＋1<0的解，所以是命题．考点二命题真假的判断例2 判断下列命题的真假：①AB →＋BC →＝AC →；②log 2x 2＝2log 2x ；③若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实根；④直线x ＋y ＝0的倾斜角是π4；⑤若α＝3π4，则sin α＝22；⑥若x ∈A ，则x ∈(A ∩B )．[分析] 运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断．[解读]①是真命题；②是假命题．如x ＝－1时，log 2x 2＝0，而2log 2x ＝2log 2(－1)无意义；③是真命题．若m >1，则Δ＝4－4m <0；④是假命题．直线x ＋y ＝0的倾斜角是3π4；⑤是真命题；⑥是假命题．如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}时，1∈A ，但1∉A ∩B .[点评] (1)真命题的判定方法真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．跟踪练习：给出下列几个命题：(1)若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0；(2)若a >b ，则a 2>b 2；(3)若x >－3，则x 2＋x －6≤0；(4)若a，b是无理数，则a b也是无理数．其中的真命题有________个．[答案]1[解读](1)是真命题．(2)设a＝1>b＝－2，a>b，但a2<b2，假命题．(3)设x ＝4，显然x>－3，但x2＋x－6＝14>0，假命题．(4)设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题.考点三命题结构分析例3指出下列命题的条件与结论．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．[分析]由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．[解读](1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．条件为：“一个四边形是正方形”；结论为：“这个四边形的四条边相等”．[点评]一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．跟踪练习：写出下列命题的条件与结论．(1)质数是奇数；(2)矩形是两条对角线相等的四边形．[解读](1)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．条件为：“一个自然数是质数”；结论为：“这个自然数是奇数”．(2)可表述为：“若一个四边形是矩形，则它的两条对角线相等．”条件为：“若一个四边形是矩形”；结论为：“这个四边形的两条对角线相等”.例4将下面的命题写成“若p，则q”的形式．当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．[错解]“若p，则q”的形式为：如果a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．[辨析]原命题有两个条件：a>0和x增加，其中a>0是大前提，x增加是条件．[正解]“若p，则q”的形式为：当a>0时，若x的值增加，则函数y＝ax ＋b的值也增加．第2课时四种命题及其相互关系1．四种命题的概念关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题；(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题；(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题．注意：①非p常记作⌝p.②只有“若p，则q”形式的命题才研究它的逆命题、否命题、逆否命题．2．要注意否命题与命题的否定是不同的，“命题的否定”只否定结论，而否命题要对条件和结论分别进行否定．“若p，则q”形式的命题其否命题为“若⌝p，则⌝q”．在写一个命题的否定或否命题时要注意一些关键词的否定，后面学习逻辑联结词时还要详加讨论．3．命题的四种形式间的关系(1)命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；(2)四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意它们之间的相互转化．要通过实例去发现四种命题间的关系，并能用命题间的关系去验证写出的命题是否正确．4．间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题__________，其中一个命题叫做原命题________，另一个叫做原命题的逆命题________．2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题_________，其中一个命题叫做原命题_______，另一个叫做原命题的否命题_________．3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题_____________，其中一个命题叫做原命题________，另一个叫做原命题的逆否命题_________．4．原命题为真，它的逆命题不一定________为真．5．原命题为真，它的否命题不一定_______为真．6．原命题为真，它的逆否命题一定______为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同真____同假____，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否______的命题，它们同真____同假_____．考点一命题的四种形式之间的转换例1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．[分析]此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．[解读](1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．[点评]写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．在判断原命题及逆命题的真假时，常借助原命题与其逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断．跟踪练习：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为0.(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．[解读](1)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0.(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数；逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数.考点二四种命题的关系及真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．[解读](1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形．是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直．是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形．是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的孤．是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的孤，则这条直线不是弦的垂直平分线．是真命题．[点评]①四种命题具有两对互为逆否的关系，所以，判断四种命题的真假时，只需判断出原命题与其逆命题的真假，即可得其他命题的真假．②当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．跟踪练习：已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中()A．真命题个数一定是奇数B．真命题个数一定是偶数C．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数D．以上判断都不对[答案]B[解读]因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B.考点三互为逆否命题同真同假的应用例3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．[分析]解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．[解读]解法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．解法二：原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．方程x2＋2x－3m＝0无实数根，∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－13≤0.∴“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真．[点评]本题中解法一利用了原命题与它的逆否命题同真同假的方法解决；解法二是先写出原命题的逆否命题，再判断其真假．跟踪练习：有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；(2)“对顶角相等”的逆命题；(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．[答案]B[解读](1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．[点评]本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方法.例4写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并证明它们的真假．[错解]逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．[辨析]上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．[正解]逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．。

aeio逻辑学

aeio逻辑学aeio逻辑学是一门研究命题的逻辑学，它的核心是四个字母aeio。

这四个字母代表了四种命题形式，分别是全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定命题和特称否定命题。

这些命题形式在逻辑学中有着重要的地位，它们是逻辑学的基础，也是逻辑学研究的重点。

全称肯定命题是指对于某个集合中的所有元素都成立的命题，例如“所有人都会死亡”。

全称否定命题则是指对于某个集合中的所有元素都不成立的命题，例如“没有人不会死亡”。

特称肯定命题是指对于某个集合中的某些元素成立的命题，例如“有些人是聪明的”。

特称否定命题则是指对于某个集合中的某些元素不成立的命题，例如“有些人不是聪明的”。

aeio逻辑学的研究对象是这四种命题形式的关系。

在aeio逻辑学中，有一个重要的原则，即“特称否定命题可以推出全称否定命题，特称肯定命题可以推出全称肯定命题”。

这个原则是aeio逻辑学的基础，也是aeio逻辑学的核心。

在aeio逻辑学中，有一个重要的概念，即“命题的量词和命题的谓词”。

命题的量词是指命题中的“所有”和“有些”这两个词，它们表示了命题的范围。

命题的谓词是指命题中的“是”和“不是”这两个词，它们表示了命题的内容。

在aeio逻辑学中，命题的量词和命题的谓词是密不可分的，它们共同构成了命题的形式。

aeio逻辑学的研究方法主要是通过命题的转化和推理来研究命题之间的关系。

命题的转化是指将一个命题转化成另一个命题，以便更好地研究它们之间的关系。

命题的推理是指通过已知的命题推出新的命题，以便更好地研究它们之间的关系。

在aeio逻辑学中，有一个重要的推理规则，即“对于全称肯定命题，可以推出特称肯定命题；对于全称否定命题，可以推出特称否定命题”。

这个推理规则是aeio逻辑学的核心，它可以帮助我们更好地理解命题之间的关系。

总之，aeio逻辑学是一门研究命题的逻辑学，它的核心是四个字母aeio。

在aeio逻辑学中，我们可以通过命题的转化和推理来研究命题之间的关系。