高一上期中联考数学试卷(有答案)
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2022-2023学年河南省商开高一数学上学期期中考试卷及答案解析
商开大联考2022-2023学年上学期期中考试高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。
福建省厦门2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
厦门2024-2025学年第一学期期中考高一数学试卷（答卷时间：120分钟 卷面总分：150分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．设全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若命题，则命题的否定为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知命题，若命题是命题的充分不必要条件，则命题可以为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列幕函数满足：“①；②当时，为单调通增”的是（ ）A ． B ．C ．D ．5．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知且，则的最小值是（ ）A ．B ． 25C ．5D ．{}0,1,2,3,4,5,6U ={}{}1,2,3,3,4,5,6A B ==U ()A B = ð{}1,2{}2,3{}1,2,3{}0,1,2,32:0,320p x x x ∃>-+>p 20,320x x x ∃>-+≤20,320x x x ∃≤-+≤20,320x x x ∀≤-+>20,320x x x ∀>-+≤:32p x -<≤q p q 31x -≤≤1x <31x -<<3x <-,()()x R f x f x ∀∈-=-(0,)x ∈+∞()f x ()f x =3()f x x=1()f x x-=2()f x x=()()()f x x a x b =--a b >()2xg x a b =+-0,0x y >>3210x y +=32x y+52657．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，则与之间的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．无法比较二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分．9．下列函数中，与不是同一函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若，则下列不等式成立的是（ ）A ．B．C ．D ．11．设，用符号表示不大于的最大整数，如．若函数，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的值域是C ．若，则D ．方程有2个不同的实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填写在答题卷相应位置上．12．计算________．13．“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为________．()f x ()g x (2,2)-[0,2]x ()()0f x g x ⋅>x (2,1)(0,1)-- (1,0)(0,1)- (1,0)(1,2)- (2,1)(1,2)-- 45342024120241,2024120241a b ++==++a b a b>a b <a b =y x =2y =u =y =2n m n=,0a b c a b c >>++=22a b <ac bc <11a b<32a a a b b+>+x R ∈[]x x [1.6]1,[ 1.6]2=-=-()[]f x x x =-[(1.5)]1f =-()f x [1,0]-()()f a f b =1a b -≥2()30f x x -+=21232927()((1.5)48---+=23208x kx -+-<x k14．某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为________人．优秀合格合计语文202848英语301848四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，集合．（1）当时，求，．（2）若，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（1）判断函数的奇偶性并用定义加以证明；（2）判断函数在上的单调性并用定义加以证明．17．（15分）已知函数．（1）若函数图像关于对称，求不等式的解集；（2）若当时函数的最小值为2，求当时，函数的最大值．18．（17分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：EXP ）与游玩时间（单位：小时）滴足关系式：；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时国成正比例关系，正比例系数为50．（1）当时，写出累积经验值与游玩时间的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值与游现时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围．19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．例如，已知，求证：．{}34A x x =-<≤{}121B x k x k =+≤≤-2k ≠A B ()R A B ðA B B = k 2()f x x x=-()f x ()f x (0,)+∞2()23,f x x bx b R =-+∈()f x 2x =()0f x >[1,2]x ∈-()f x [1,2]e ∈-()f x E t 22016E t t a =++1a =E t ()E f t =E t ()H t 0a >a 1ab =11111a b+=++证明：原式．波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据上述材料解答下列问题：（1）已知，求的值；（2）若，解方程；（3）若正数满足，求的最小值．111111ab b ab a b b b=+=+=++++1ab =221111a b+++1abc =5551111ax bx cxab a bc b ca c ++=++++++,a b 1ab =11112M a b=+++高一数学期中考参考答案1234567891011A DCB DAABABDBDACD12．13．14．1215．解：（1）由题设，则，，则，（2）由，若时，，满足；若时，；综上，．16．解：（1）是奇函数，证明如下：由已知得的定义域是，则，都有，且，所以是定义域在上的奇函数．（2）在上单调递减，证明如下：，且，都有∵，∴，∵，∴∴，即，所以在上单调递减32({}3B ={}34A B x x =-<≤ {}()34R A x x x =≤->或ð()R A B = ð∅A B A B A =⇒⊆ B =∅1212k k k +>-⇒<B ≠∅12151322214k k k k k +≤-⎧⎪+>-⇒≤≤⎨⎪-≤⎩52k ≤()f x ()f x (,0)(0,)-∞+∞ (,0)(0,)x ∀∈-∞+∞ (,0)(0,)x -∈-∞+∞ 22()()()f x x x f x x x-=--=-=--()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x (0,)+∞12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <22212121121212122222()()x x x x x x f x f x x x x x x x --+-=--+=222112************222()()x x x x x x x x x x x x x x x x --+⨯---==211212()(2)x x x x x x -⨯+=12x x <210x x ->12,(0,)x x ∈+∞120x x >12()()0f x f x ->12()()f x f x >()f x (0,)+∞17．解：（1）因为图像关于对称，所以：，所以：得：，即，解得或所以，原不等式的解集为：（2）因为是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为，①若，则在上是增函数所以：，解得：；所以：，②若，则在上是减函数，所以：，解得：（舍）；③若，则在上是减函数，在上是增函数；所以，解得：或（舍），所以：综上，当时，的最大值为11；当时，最大值为6．18．解：（1）当时，，，当时，，当时，当时，所以，当时，．（2）当时，，整理得：恒成立，令函数的对称轴是，当时，取得最小值，即，()f x 2x =2b =22()43()43,1f x xx f x x x e e -+=-+=<2430x x ee -+<2430x x -+<1x <3x >{}13x x x <>或2()23f x x bx =-+x b =1b ≤-()f x [1,2]-min ()(1)422f x f b =-=+=1b =-max ()()7411f x f x b ==-=2b ≥()f x [1,2]-min ()(2)742f x f b ==-=54b =12b -<<()f x [1,]b -(,2]b 2min ()()32f x f b b ==-=1b =1b =-max ()(1)426f x f b =-=+=1b =-()f x 1b =()f x 03t <≤1a =22016E t t =++3t =85E =35t <≤85E =5t >8550(5)33550E t t=--=-22016,03()85,3533550,5t t t E t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩6t =()35E t =03t <≤22016()24t t aH t t++=≥24160t t a -+≥2()416f t t t a =-+2(0,3]t =∈2t =()f t 164a -1640a -≥14a ≥19．解：（1）．（2）∵，∴原方程可化为：，即：，∴，即，解得：．（3）∵，当且仅当，即∴有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值．222211111ab ab b aa b ab a ab b ab a b+=+=+=++++++1abc =55511(1)ax bx bcxab a abc bc b b ca c ++=++++++5551111x bx bcx b bc bc b bc b ++=++++++5(1)11b bc x b bc ++=++51x =15x =2221122111111211223123123ab b b b b M ab a b b b b b b b b b++=+=+==-=-++++++++++12b b +≥=12b b =1b a b===12b b +1123b b ++3-11123b b-++2-11112M a b=+++2。
天津市2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含答案
2023～2024学年度第一学期期中联考高一数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则A B = （）A.{}15x x -<<B.{}15x x <<C.{}1x x >- D.{}1x x >【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}1A x x =>，{}15B x x =-<<，则{}15A B x x ⋂=<<.故选：B.2.设:0p x >，:13q x <<，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为{}0x x >{}13x x <<，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B.3.不等式25240x x +-<的解集是（）A.{8x x <-或}3x >B.{3x x <-或}8x >C.{}38x x -<< D.{}83x x -<<【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】因为()()2524380x x x x +-=-⋅+<，所以83x -<<，即不等式25240x x +-<的解集是{}83x x -<<.故选：D.4.已知0.91.213, 1.2,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b <<B.c b a<< C.c<a<bD.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为01.21b ==，0.90.9133c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又因为3x y =在R 上单调递增，1.20.90>>，所以 1.20.903331>>=，即a c b >>.故选：D.5.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设213x +=，得1x =，则(3)1311f =-+=-.故选：A.6.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则()()04f f +=（）A.11B.11- C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】由()f x 为R 上的奇函数可得()00f =，()()44f f =--，代入计算即可求解.【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，()()44f f =--，又当0x <时，()31f x x =-，所以()()()4443113f f =--=--⨯-=，所以()()0401313f f +=+=.故选：C.7.已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()(3)()g x x f x =-在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A.-1B.-2C.-4D.-8【答案】D 【解析】【分析】先求出幂函数的解析式，从而得出()g x 的表达式，然后再求()g x 的最小值.【详解】因为幂函数()f x x α=的图像过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以155α=，得1α=-，所以1()f x x =，则3()(3)()1g x x f x x =-=-显然在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以所求最小值为11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故选：D8.设(),0,a b ∈+∞，则下面的不等式不正确的是（）A.2b a a b+≥ B.1122a b a b+≥++C.222a b ab +≥ D.22b a a ba b+≥+【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质以及基本不等式，结合特例法逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，(),0,a b ∈+∞，由2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，正确；对于B ，取1a b ==，1121122213a b a b+=+=<+=+=+，不正确；对于C ，由222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，正确；对于D ，由不等式33222()()0a b a b ab a b a b +--=+-≥，可得3322a b a b ab +≥+，当且仅当a b =时，等号成立，两边同除ab ，可得22b a a b a b+≥+成立，正确；故选：B9.已知函数()32e 1xf x x =-+，则不等式()()212f x f x +->-的解集为（）A.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,+∞ C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】由题意可得()()2f x f x -+=-，问题转化为()()21f x f x ->-，再判断函数()f x 的单调性，利用单调性求解即可得解.【详解】()32e 1x f x x =-+ ，()()33222e 1e 1x xf x x x -∴-=--=-+-++，()()2f x f x ∴-+=-，所以不等式()()212f x f x +->-可转化为()()21f x f x ->-，又3y x =在R 上单调递增，e x y =在R 上单调递增，进而2e 1xy =-+在R 上单调递增，所以函数()f x 在R 上单调递增，21x x ∴->-，解得13x >，所以原不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题（共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上）10.命题p ：01x ∃≥，2000x x -<，则命题p 的否定为______.【答案】1x ∀≥，20x x -≥，【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：命题p ：01x ∃≥，2000x x -<的否定为1x ∀≥，20x x -≥.故答案为：1x ∀≥，20x x -≥11.函数()()01x f x x+=的定义域为______.【答案】()(]1,00,2- 【解析】【分析】根据解析式有意义列不等式组求解可得.【详解】由题可知220100x x x x ⎧-++≥⎪+≠⎨⎪≠⎩，解得12x -<≤且0x ≠，所以()f x 的定义域为()(]1,00,2- .故答案为：()(]1,00,2- 12.已知:13p x -<<，:12q x m -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_______.【答案】()1,+∞【解析】【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则{}13x x -<<{}12x x m -<<+，所以，23m +>，解得1m >.因此，实数m 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.13.已知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数=a ______.【答案】1-或2.【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解.【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即21510,2a a a +--==（舍去），或152a =（舍去）；当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =.故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.14.已知0a >，0b >，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】根据题意，将原式化为2822a b a b+++，再由基本不等式，即可得到结果.【详解】因为0a >，0b >，且1ab =，所以1188284222222ab ab a b a b a b a b a b a b +++=++=+≥==+++，当且仅当2822a b a b +=+时，即212a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或212a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，等号成立，所以11822a b a b+++的最小值为4.故答案为：415.已知函数()()()()214112x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式求解.【详解】对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在R 上为减函数，可得21002142a a aa a ⎧⎪-<⎪>⎨⎪⎪-+≥⎩，解得21112a ≤<，所以实数a 的取值范围为21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：21,112⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（共5题，满分75分.必要的文字说明，解答过程和演算步骤不能省略）16.（1）计算()1122013342⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算7log 23log lg 25lg 47+++.【答案】（1）52-.（2）112.【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可.【详解】（1）原式11232221315221412222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯+=-+=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）原式()32333311log 32lg 52lg 222lg 5lg 222lg102222222=+++=+++=++=++=.17.已知集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤.（1）当2a =时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）求能使A B A = 成立的a 的取值范围.【答案】（1）{}311A B x x ⋂=≤≤，{}320A B x x ⋃=≤≤.（2）6a <-或25a ≤≤.【解析】【分析】（1）利用交集、并集运算求解即可；（2）由A B A = 得A B ⊆，分类讨论列不等式组求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}311A x x =≤≤，又{}320B x x =≤≤，所以{}311A B x x ⋂=≤≤，{}320A B x x ⋃=≤≤.【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，又集合{}2135A x a x a =-≤≤+，{}320B x x =≤≤，当A =∅时，2135a a ->+，即6a <-，这时A B ⊆.当A ≠∅时，有21352133520a a a a -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得25a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为6a <-或25a ≤≤.18.设函数()21f x mx mx =--.（1）若对于一切实数(),0x f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）解不等式()()21221f x m x x m <-+--.【答案】18.(]4,0-19.答案见解析.【解析】【分析】（1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且Δ0<；（2）因式分解后对参数m 分类讨论即可.【小问1详解】①若0m =，此时10-<恒成立；②若0m ≠，要使得210mx mx --<恒成立，则2Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<，所以(]4,0m ∈-；【小问2详解】()2211221mx mx m x x m --<-+--，即()2220x m x m -++<，即()()20x x m --<，若m>2，则解集为()2,m ；若2m =，此时不等式无解；若2m <，则解集为()m,219.已知函数()321x af x =-+是定义域在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性并证明；（3）若对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）6（2）()f x 在(),-∞+∞上是增函数，证明见解析（3）()6,+∞【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性得(0)302af =-=，解得a 的值；最后代入验证；（2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明；（3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为222k t t >+-对于[1,2]t ∈-恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果.【小问1详解】函数()321xaf x =-+是定义域在R 上的奇函数，由(0)302a f =-=，得6a =，即有()()321632121x x x f x -=-=++，下面检验：()()()()()()32132123122121212x xxx xx xxf x fx ------⋅--====-+++⋅，且定义域为R 关于原点对称，所以()f x 为奇函数，故符合；【小问2详解】()f x 在(),-∞+∞上是增函数.证明如下：设任意12x x <，()()()()()12121212622663321212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，由于12x x <，则12022x x <<，即有()()()121262202121x x x x -<++，则有()()12f x f x <，故()f x 在(),-∞+∞上是增函数；【小问3详解】因为对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，所以2(2)(2)f t f t k -<--对于[]1,2t ∈-恒成立，因为()f x 是定义域在R 上的奇函数，所以2(2)(2)f t f k t -<-对于[]1,2t ∈-恒成立，又()f x 在R 上是增函数，所以222t k t -<-，即222k t t >+-对于[1,2]t ∈-恒成立，而函数()222g t t t =+-在[]1,2-上的最大值为()26g =，所以6k >，所以实数k 的取值范围为()6,+∞.20.已知函数()f x 的定义域为R ，并且满足下列条件：①()11f -=；②对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+；③当0x >时，()0f x <.（1）证明：()f x 为奇函数.（2）解不等式()()2222f x x f x +-->-.（3）若()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）()4,1-（3）(][),66,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）用赋值法先求出()0f ，再令y x =-即可得证；（2）先证明函数在R 上是减函数，再求得()22f =-，最后将不等式()()2222f x x f x +-->-转化为2340x x +-<求解即可；（3）将题意转化为2560m mt -->，[]1,1t ∈-恒成立即可.【小问1详解】由题意函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，令0x y ==，则(00)(0)(0)2(0)f f f f +=+=，故(0)0f =.令y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=，故()()f x f x -=-.故()f x 为奇函数.【小问2详解】任取12,R x x ∈，且12x x >.由题意120x x ->，()120f x x -<，()()()()1121122f x f x x x f x x f x =-+=-+，故()()()12120f x f x f x x -=-<，即()()12f x f x <，又12x x >，故()f x 在R 上为减函数.因为()11f -=，所以()11f =-，()()211112f f =+=--=-，故()()2222f x x f x +-->-即()()()2222f x x f x f ++->，即2222x x x ++-<，化简可得2340x x +-<，解得()4,1x ∈-.【小问3详解】由（2）知()f x 在[]1,1-上为减函数，故()f x 在[]1,1-上最大值为()11f -=.要使()255f x m mt ≤--对任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，则2551m mt --≥，即2560mt m -+-≥对任意[]1,1t ∈-恒成立.又256y mt m =-+-是关于t 的一次函数，故只需()2251605160m m m m ⎧-⨯-+-≥⎨-⨯+-≥⎩，。
浙江省台州市台州十校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题(含答案)
浙江省台州市台州十校2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则集合（）A. B. C. D.2.命题“”的否定是（）A. B. C. D.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.4.已知a，b为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数的图像是（）A. B. C. D.6.已知，则取最大值时的值为（）A. B. C. D.7.不等式的解集是，则的解集是（）A. B. C. D.{3,5}A={1,2,4,5}B=A B⋃={1,2,3,4,5,5}{1,2,3,4,5}{2,3,4,5}{5}20,0x x∀>>20,0x x∀><20,0x x∀>≤20,0x x∃><20,0x x∃>≤y={1}x x≥∣{1}x x>∣{1}x x≤∣{1}x x<∣1a b>>(1)(1)0a b-->||()xf x xx=+01x<<(1)x x-x1234232520x ax b--<{23}x x<<∣210ax bx-+<{23}x x<<∣115x x⎧<<⎫⎨⎬⎩⎭1123x x⎧⎫⎨-<-⎩<⎬⎭115x x⎧⎫⎨-<-⎩<⎬⎭8.已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.无数个二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题各有四个选项，有多个选项正确）9.设x ，y 为实数，满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.10.下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ）A.和 B.和C.和 D.和11.定义在R 上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）A. B.为奇函数C.在区间[m ，n ]上有最大值D.的解集为非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数则_____________.13.已知正数x ，y 满足:，则的最小值为_____________.14.已知函数，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是_____________.四、解答题（共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（13分）已知集合（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围.16.（15分）设函数，其图像过点（1）求出的解析式;x ()[]f x x =[1.2]2=31[]42x x =+14,12x y ≤≤<≤26x y <+≤02x y <-≤18xy <≤2xy≥()||f x x =()g x =3()1f x x =+3()1g t t =+()31f x x =+()32g x x =-2()3x f x x=-()3g x x =-()f x ()()()f x y f x f y +=+0x <()0f x >(0)0f =()f x ()f x ()f n ()2(1)10f x f x -+->{21}x x -<<∣2,1,()1,1x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩(2)f =112x y+=4x y +2()43,()52f x x x g x mx m =-+=+-1[1,4]x ∈2[1,4]x ∈()()12f x g x =m {24},{}A x x B x x a =-<<=<∣∣3a =R C B A B A ⋂=a ()kf x x=(1,4)()f x（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.17.（15分）某租赁公司，购买了一辆小型挖掘机进行租赁.据市场分析，该小型挖掘机的租赁利润（单位：万元）与租赁年数的关系为.（1）该挖掘机租赁到哪几年时，租赁的利润超过9万元？（2）该挖掘机租赁到哪一年时，租赁的年平均利润最大？18.（17分）函数是定义在上的奇函数，当时，（1）在坐标系里画出函数的图象，并写出函数的单调递减区间;（2）求函数在上的解析式;（3）当时，恒成立，求的取值范围.19.（17分）已知函数（1）若，判断的奇偶性，求的最大值；（2）若的最大值为，求的最小值.()f x (0,)+∞y ()*Nx x ∈21436y xx =-+-()f x R 0x ≥2()24f x x x=-+()f x ()f x R 0x ≥()2f x m x ≤+m 2()4||2f x x x a a =-+-+0a =()f x ()f x ()f x ()g a ()g a2024学年第一学期台州十校联盟期中联考高一年级数学参考答案一、单选题:BDAACADB 二、多选题9.AC10.AB11.ABD三、填空题：12.213.14.四、解答题：15.解：（1）因为，所以;………………………………………………………………………………6分（2）因为，所以，所以实数的取值范围为………………………………………………………………13分16.解：（1）将点坐标代入解析式，，得.……………………………………………………………………………………………4分（2）在上的是减函数.…………………………………………………………6分证明:，且则，即………………………………………15分17.解:（1）由题意得，……………………………………………………….2分整理得，解得，………………………………………………………5分，则92(,3][6,)-∞-⋃+∞{3}B x x =<∣{3}R B xx =≥∣ðA B ⊆4a ≥a {4}a a ≥∣14k=4k =4()f x x=4()f x x =(0,)+∞12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <()()121244f x f x x x -=-()21124x x x x -=12122112,(0,),0,0x x x x x x x x ∈+∞<∴->> ()()()21121240x x f x f x x x -∴-=>()()12f x f x >214369x x -+->214450x x -+<59x <<*N x ∈ 6,7,8x =故该挖掘机租赁到第6，7，8年时，租赁的利润超过9万元……………………………………7分（2）租赁的年平均利润为…………………………………………………10分，因为，所以当且仅当时，即时，，故该挖掘机租赁到第6年时，租赁的年平均利润最大…………………………………………15分18.解:（1）函数的图象为:……………………………………………………3分由图象可得，函数的单调递减区间为：.……………………………………5分（2）函数是定义在上的奇函数，当时，有，，.…………………………………………………………………10分（3）当时，恒成立，，设，则当时，，21436y x x x x-+-=3614x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭3612x x +≥=36x x =6x =max12142y x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭(,1),(1,)-∞-+∞ ()f x R 0x <20,()2()4x f x x x ->-=---2()()24f x f x x x ∴=--=+2224,0()24,0x x x f x x x x ⎧-+≥∴=⎨+<⎩ 0x ≥()2f x m x ≤+222m x x ∴≥-+2()22g x x x =-+12x =max 1()2g x =……………………………………………………………………………………17分19（1）由题意得，当时，，因为，所以是偶函数，故的最大值为4.………………………………………………………………………5分（2）由题意得，…………………7分①若，则当时，在上单调递增，，当时，.因为，所以.………………………………………………………………10分②若，则当时，，当时，.因为，所以当时，，当时，.…………………………………………………13分③若，则当时，，当时，在上单调递减，.因为，所以.……………16分综上所述，当时，，当时，.故的最小值为4.……………………………………………………………………………17分12m ∴≥2()4||f x x x =-+0x ≥22()4(2)44f x x x x =-+=--+≤()()f x f x =-()f x ()f x 222246(2)46,()42(2)42,x x a x a x af x x x a x a x a⎧--+=-+++<=⎨-+-=--+-≥⎩2a ≤-x a <()f x (,)a -∞2()()2f x f a a a <=-+x a ≥()(2)42f x f a ≤=-()222(42)244(2)0a a a a a a ---+=-+=-≥max ()()42f x g a a ==-22a -<<x a <()(2)46f x f a ≤-=+x a ≥()(2)42f x f a ≤=-(46)(42)8a a a +--=20a -<<max ()()42f x g a a ==-02a ≤<max ()()46f x g a a ==+2a ≥x a <()(2)46f x f a ≤-=+x a ≥()f x [,)a +∞2()()2f x f a a a ≤=-+()22(46)2(2)0a a a a +--+=+≥max ()()46f x g a a ==+0a <()424g a a =->0a ≥()464g a a =+≥()g a。
四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷(含答案)
绵阳中学高2024级高一上期期中测试数学试题第I 卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共计40分）1.已知命题，命题的否定是（）A.B.C.. D.2.已知集合，若，则实数的值不可以为（）A.2 B.1 C.0 D.3.下列函数既是奇函数又在单调递增的是（）A. B.C. D.4.已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.5.已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（）A. B. C. D.6.“函数的定义域为”是“”的（ ）2:,210p x x ∀∈+>R p 2,210x x ∀∈+R …2,210x x ∃∈+>R 2,210x x ∃∈+<R 2,210x x ∃∈+R …{}()(){}2320,220A x x x B x x ax =-+==--=∣∣A B A ⋃=a 1-()0,∞+1y x =31y x=1y x x =-1y x x=+()2f x ax x c =--()0f x >()2,1-()y f x =-222y x x =-+[],a b []1,2[],a b []1,0-30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3[]1,1-()211f x ax ax =-+R 04a <<A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）A.B.C. D.8.已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.二､多选题（每小题6分，共计18分）9.对于任意实数，下列四个命题中为假命题的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知为正实数，且，则（ ）A.的最大值为4B.的最小值为18C.的最小值为4D.11.定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.0,0a b >>1ab =11422m a b a b++≥+m 2m ≥4m ≥6m ≥8m ≥()f x [)0,∞+[)0,x ∞∈+()2f f x ⎡=⎣x ()2f x x k +=+k 92,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭133,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭13,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,a b c d ,0a b c >≠ac bc>22ac bc >a b>0a b <<22a ab b >>0,a bcd >>>ac bd>,a b 8ab a b ++=ab 22(1)(1)a b +++a b +1111a b +++R ()f x ()22f =120x x >>()()21122122x f x x f x x x ->-()()2f xg x x -=()g x ()0,∞+()()34g g -<C.在上单调递减D.若正数满足，则第II 卷（非选择题）三､填空题（每小题5分，共计15分）12.函数__________.13.函数，若，则14.已知函数的定义域为的图象关于直线对称，且，若，则__________.四､解答题（共计77分）15.（13分）已知定义在上的函数满足：.（1）求函数的表达式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.16.（15分）设集合.（1）若，求实数的值；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.17.（15分）如图，正方形的边长为分别是和边上的点沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.若（1）证明：的周长为定值.（2）求的面积S 的最大值.()f x ()2,∞+m ()()24202m f m f m -+->()2,m ∞∈+()12f x x =+()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩()()2f a f a =+()2__________.f a =()(),f x g x (),y f x =R 1x =()()()()110,45f x g x f x g x -+=--=()21f =()()12g g +=R ()()2223f x f x x x +-=-+()f x ()21f x ax ≥-[]1,3a {}(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=∣∣{}2A B ⋂=a x A ∈x B ∈a ABCD 1,,E F AD BC EF C AB M M ,A B CD AD G ,BM x BF y==AMG AMG18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式.19.（17分）若函数的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.（1）已知函数，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；（2）已知函数，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.()21ax b f x x-=+[]1,1-()11f =-()f x ()f x []1,1-()()()210f t f t f -+>()f x D M D ⊆t x M ∈x t D +∈()()f x t f x +>()f x M ()P t 2()f x x =()f x [1,0]-(1)P 3()f x x x =-()f x [0,1]()P n n ()f x R 0x ≥()()f x x a a a =--∈R ()f x R (6)P a数学参考答案题号12345678910答案D D C C B B D C AD ABC题号11答案ABD 填空题12.13.414.【详解】因为的图象关于直线对称，则①，又，即，结合①得②，因为，则，结合②得，则，令，得，令，得，由，得，由，得，则，所以.15.【详解】（1）将的替换为得联立()(],22,1∞--⋃-()y f x =1x =()()11f x f x -=+()()110f x g x -+=()()110f x g x -=-()()110g x f x ++=()()45f x g x --=()()135f x g x +--=()()35g x g x +-=1x =()()125g g +-=2x =()()125g g -+=()()110f x g x -+=()()2110f g +-=()()45f x g x --=()()225f g --=()()125g g -+-=()()125g g +=()()2223f x f x x x +-=-+x x -()()2223f x f x x x -+=++()()()()22223223f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩解得（2）不等式为，化简得，要使其在上恒成立，则，，当且仅当取等，所以.16.【详解】（1）由，所以或，故集合.因为，所以，将代入中的方程，得，解得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，实数的值为或（2）因为“”是“”的必要条件，所以对于集合.当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，要想有，须有，此时：，该方程组无解.综上，实数的取值范围是.17.【详解】（1）设，则，由勾股定理可得，即，由题意，，()21213f x x x =++()21f x ax ≥-2121213x x ax ++≥-116x a x ≤++[]1,3min116x a x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭11116x x ++≥=x =1a ≤+()()2320120x x x x -+=⇒--=1x =2x ={}1,2A ={}2A B ⋂=2B ∈2x =B 2430a a ++=1a =-3a =-1a =-{}{}2402,2B x x =-==-∣3a =-{}{}24402B x x x =-+==∣a 1-3-x A ∈x B ∈B A⊆()()22,Δ4(1)4583B a a a =+--=+Δ0<3a <-B =∅B A ⊆Δ0=3a =-{}2B =B A ⊆Δ0>3a >-B A ⊆{}1,2B A ==()221352a a ⎧+=-⎨-=⎩a (],3∞--,,01BM x BF y x ==<<1CF MF y ==-222(1)x y y +=-212x y -=90GMF DCF ∠∠==即，可知，设的周长分别为，则又因为，所以，的周长为定值，且定值为2.（2）设的面积为，则，因为，所以，.因为，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，满足故的面积的最大值为.18.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得，，而，解得，.（2）函数在上为减函数；90AMG BMF ∠∠+= Rt Rt AMG BFM ∽,AMG BFM 1,p p 11p AM x p BF y -==111p x y y x =++-=+()2111112x x x p p x y y y---==⋅+==AMG BFM 1S 22122(1)S AM x S BF y-==112S xy =()2221221(1)(1)(1)211x x x x x x x S S y y x x ----====-+()()()211121311x x x x x⎡⎤⎡⎤-++-⎣⎦⎣⎦==-+-+++10x +>201x>+211x x ++≥=+3S ≤-211x x+=+1x =-()0,1x ∈AMG 3-()21ax b f x x-=+[]1,1-()()22;11ax b ax b f x f x x x ----=-=-++0b =()21ax f x x ∴=+()11f =-2a =-()[]22,1,11x f x x x -∴=∈-+()221x f x x -=+[]1,1-证明如下：任意且，则因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以函数在上为减函数.（3）由题意，，又，所以，即解不等式，所以，所以，解得，所以该不等式的解集为.19.【详解】（1），当时，，故在区间[―1，0]上不具有性质；（2）函数的定义域为，对任意，则，在区间上具有性质，则，即，因为是正整数，化简可得：对任意恒成立，设，其对称轴为，则在区间上是严格增函数，所以，，解得，故正整数的最小值为2；[]12,1,1x x ∈-12x x <()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++12x x <120x x -<[]12,1,1x x ∈-1210x x ->()()120f x f x ->()()12f x f x >()()12f x f x >[]1,1-()()()210f t f tf -+>()00f =()()210f t f t -+>()()21f t f t >--()()21f t f t >-22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩0t≤<()()221(1)21f x f x x x x +-=+-=+0.8x =-()()10.60f x f x +-=-<()f x ()1P ()3f x x x =-R []0,1x ∈x n +∈R ()f x [0,1]()P n ()()f x n f x +>33()()x n x n x x +-+>-n 223310x nx n ++->[]0,1x ∈22()331g x x nx n =++-02n x =-<()g x [0,1]2min ()(0)10g x g n ==->1n >n（3）法一：由是定义域为上的奇函数，则，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，当时，，所以有，若在上具有性质，则对任意恒成立，在上单调递减，则，x 不能同在区间内，，又当时，，当时，，若时，今，则，故，不合题意；，解得，下证：当时，恒成立，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意x ∈R 均有成立，()f x R (0)0f a a =-=0a ≥0a =()f x x =6x x +>0a >0x <()()()f x f x x a a x a a =--=----=-++()2,,2,x a x a f x x a x a x a x a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩()f x R (6)P (6)()f x f x +>x ∈R ()f x [,]a a -6x +[,]a a -6()2a a a ∴>--= [2,0]x a ∈-()0f x ≥[0,2]x a ∈()0f x ≤264a a <≤2x a =-6[0,2]x a +∈(6)()f x f x +≤46a ∴<302a <<302a <<()()6f x f x +>302a <<46a <6x a +≤-()662f x x a +=++()2f x x a =+()()6f x f x +>6a x a -<+<63x a a <-<-()()66f x x a +=-+>-()2f x x a a =+<-()()6f x f x +>6x a +>()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥()()6f x f x +>302a ≤<()()6f x f x +>故实数的取值范围为.法二：由是定义域为上的奇函数，则，解得.作出函数图像：由题意得：，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意x ∈R 均有成立，故实数的取值范围为.a 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x R (0)0f a a =-=0a ≥2(2)46a a a --=<302a ≤<0a =()f x x =6x x +>302a <<46a <6x a +≤-()662f x x a +=++()2f x x a =+()()6f x f x +>6a x a -<+<63x a a <-<-()()66f x x a +=-+>-()2f x x a a =+<-()()6f x f x +>6x a +>()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥()()6f x f x +>302a ≤<()()6f x f x +>a 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
2024-2025学年广州市高一数学上学期期中考试卷及答案解析
天天向上联盟联考高一年级数学学科试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1. 已知集合{N |25}A x x =∈-≤≤，{2,4,6}B =，则A B = （ ）A. {0,1,2,3,4,5,6} B. {1,2,3,4,5,6}C. {2,4} D. {|26}x x -≤≤【答案】A 【解析】【分析】利用自然数集N 的定义化简集合A ，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为{}{N |25}0,1,2,3,4,5A x x =∈-≤≤=，又{2,4,6}B =，所以{0,1,2,3,4,5,6}A B = .故选：A.2. 命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A. 01x ∃≤，2000x x -≤ B. 1x ∀>，20x x -≤C. 01x ∃>，2000x x -≤ D. 1x ∀≤，20x x -≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”为全称量词命题，其否定为：01x ∃>，2000x x -≤.故选：C3. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是A. y =B. 21y x =-+C. 3y x =D. 1y x =+【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义,奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.【详解】对于,A y =定义域为[)0,∞+，不关于原点对称，y ∴=A 错误；对于2,1B y x =-+ 是偶函数，但是(0,+∞)是减函数，选项B 错误；对于3,C y x = 是奇函数，选项C 错误；对于(),1D y f x x ==+ 的定义域为R ，满足()()f x f x -=，1y x ∴=+是偶函数，且在(0,+∞)是递增的，选项D 正确，故选D.【点睛】本题主要考查奇函数和偶函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性，属于基础题.4. 给定数集,(0,),,A B x y ==+∞R 满足方程20x y -=，下列对应关系f 为函数的是（ ）A. :,()f A B y f x →= B. :,()f B A y f x →=C. :,()f A B x f y →= D. :,()f B A x f y →=【答案】B 【解析】【分析】ACD 选项，可举出反例；B 选项，利用函数的定义作出判断.【详解】A 选项，x ∀∈R ，当0x =时，20y x ==，由于0B ∉，故A 选项不合要求；B 选项，()0,x ∀∈+∞，存在唯一确定的y ∈R ，使得2y x =，故B 正确；CD 选项，对于()0,y ∀∈+∞，不妨设1y =，此时21x =，解得1x =±，故不满足唯一确定的x 与其对应，不满足要求，CD 错误.故选：B5. “不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A. 12m >B. 01m << C. 14m >D. 1m >【答案】C 【解析】【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【详解】因为“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，所以当0m =时，原不等式为0x>在R 上不是恒成立的，所以0m ≠，所以“不等式2+0mx x m +>在R 上恒成立”，等价于2>0140m m ⎧⎨∆=-<⎩，解得12m >.A 选项是充要条件，不成立；B 选项中，12m >不可推导出01m <<，B 不成立；C 选项中，12m >可推导14m >，且14m >不可推导12m >，故14m >是12m >的必要不充分条件，正确；D 选项中，1m >可推导1>2m ，且1>2m 不可推导1m >，故>1m 是12m >的充分不必要条件，D 不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．6. 已知0,0a b >>，且121a b +=，则2112a b +--的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 1+【答案】A 【解析】【分析】由121a b+=得02ba b =>-，得到2b >，进而12012b a -=>-，所以()2112122b a b b +=-+---，由均值不等式求得最小值.【详解】因为0,0a b >>且121a b+=，所以1221b a b b -=-=，所以02ba b =>-，所以2b >，所以()22110222b b b a b b b ---=-==>---，所以12012b a -=>-，所以()21122122b a b b +=-+≥=---，当且仅当122b b -=-即3b =时，等号成立，所以2112a b +--的最小值为2，故选：A.7. 定义在(0,+∞)上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∞∀∈+，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()36f =，则不等式()2f x x>的解集为（ ）A. ()3,+∞B. ()0,3C. ()0,2D. ()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()f x g x x=，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可.【详解】令()()f x g x x=，因为对()120,x x ∞∀∈+、，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则()()1212f x f x x x <，即()()12g x g x <，所以()g x 在(0,+∞)上单调递增，又因为()36f =，所以()()3323f g ==，故()2f x x>可化为()()3g x g >，所以由()g x 的单调性可得3x >，即不等式()2f x x>的解集为3x >.故选：A.8. 已知函数()221f x x x =-+，若[)2,x ∃∈+∞对[]1,1a ∀∈-均有()22f x m am <-+成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. ()3,1-B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,3-【答案】B 【解析】【分析】分析可知，()min 22f x m am <-+，可得出210am m --≤对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()21g a am m =--，由题意可得出()()1010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，即可求得实数m 的取值范围.【详解】因为函数()221f x x x =-+，则函数()f x 在[)2,+∞上为增函数，因为[)2,x ∞∃∈+对[]1,1a ∀∈-均有()22f x m am <-+成立，则()2221m am f -+>=，即210am m --<对[]1,1a ∀∈-恒成立，令()21g a am m =--，则()()1310110g m g m ⎧-=--<⎪⎨=-<⎪⎩，解得113m -<<，因此，实数m 的取值范围是1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 若0a b >>且0c ≠，则下列不等式正确的是（ ）A. 33a b > B.11a b< C.a a cb b c+<+ D. 22ac bc >【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质即可判断ABD ，利用作差法即可判断C.【详解】对于AB ，因为0a b >>，所以33a b >，11a b<，故AB 正确；对于C ，()()()()()a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==+++，当2,1,2a b c ===-时，()()20c a b b b c -=>+，此时a a cb b c+>+，故C 错误；对于D ，因为0c ≠，所以20c >，又0a b >>，所以22ac bc >，故D 正确.故选：ABD.10. 我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{|S A x x S =∈ð且}x A ∉，类似地，对于集合,A B 我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉，叫作集合A 和B 的差集，记作A B -，例如：{}{}1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则有{}{}1,2,3,6,7,8A B B A -=-=，下列解答正确的是（ ）A. 已知{}{}4,5,6,7,9,3,5,6,8,9A B ==，则{}378B A -=,,B. 已知{|1A x x =<-或}{}3,|24x B x x >=-≤<，则{|2A B x x -=<-或x ≥4}C. 如果A B ⊆，那么A B -=∅D. 已知全集、集合A 、集合B 关系如上图中所示，则()U A B A B -= ð【答案】BCD 【解析】【分析】依题意根据A B -的定义可知，可先求出A B ⋂，再求出其以A 为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论.【详解】根据差集定义B A -即为{|x x B ∈且}x A ∉，由{}{}4,5,6,7,9,3,5,6,8,9A B ==，可得{}3,8B A -=，所以A 错误；由定义可得A B -即为{|x x A ∈且}x B ∉，由{|1A x x =<-或}{}3,|24x B x x >=-≤<，可知{|2A B x x -=<-或x ≥4}，即B 正确；若A B ⊆，那么对于任意x A ∈，都满足x B ∈，所以{|x x A ∈且}x B ∉=∅，因此A B -=∅，所以C 正确；易知{|A B x x A -=∈且}x B ∉在图中表示的区域可表示为()A A B ð，也即()U A B ∩ð，可得()U A B A B -= ð，所以D 正确.故选：BCD11. 已知函数()()12,1312,32x x f x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨->⎪⎩，则下列说法正确的是（ ）A. ()164f =B. 关于x 的方程()()*21nf x n =∈N 有23n +个不同的解C. ()f x 在[]()*2,21n n n +∈N上单调递减D. 当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤恒成立.【答案】ACD 【解析】【分析】求()6f 的值判断选项A ；当1n =时验证结论是否正确去判断选项B ；由()f x 在[]()*2,21n n n +∈N 上的解析式去判断选项C ；分析法证明不等式去判断选项D.详解】选项A ：()()()1111642(10)2444f f f ===-=.判断正确；选项B ：画出()f x 部分图像如下：当1n =时，由()21f x =，可得131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩或311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩由131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩，可得52x =或32x =；由311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得4x =即当1n =时，由()21f x =可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；选项C ：当*3()n k k =∈N 时，[][]2,216,61n n k k +=+，若[]2,21x n n ∈+即[]6,61x k k ∈+，则()[]622,3x k --∈则()()[]313131111621(6)(16)222k k k f x f x k x k x k ---=-+=--=-++，为减函数；当31()n k k =+∈N 时，[][]2,2162,63n n k k +=++若[]2,21x n n ∈+即[]62,63x k k ∈++，则[]62,3x k -∈则()()[]33311161(62)(36)222k k k f x f x k x k x k =-=---=-++，为减函数；当32()n k k =+∈N 时，[][]2,2164,65n n k k +=++若[]2,21x n n ∈+即[]64,65x k k ∈++，则[]622,3x k --∈则()()[]313131111621(64)(56)222k k k f x f x k x k x k +++=--=---=-++，为减函数；综上，()f x 在[]()*2,21n n n +∈N上单调递减. 判断正确；【选项D ：当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤可化为2()f x x≤，同一坐标系内做出2y x=与()f x 的图像如下：等价于()*11222n n n -≤∈N 即()*1112n n n-≤∈N ，而()1*2n n n -≥∈N 恒成立. 判断正确.故选：ACD【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分12.函数()f x =的定义域为____________．【答案】[)()2,33,⋃+∞【解析】【分析】根据根式以及分式的性质即可求解.【详解】()f x =20x -≥且||30x -≠，解得2x ≥且3x ≠.故答案为：[)()2,33,∞⋃+13 已知幂函数()2233m m y m x+-=-单调递减，则实数m =_________.【答案】2-【解析】【分析】由幂函数的定义及性质列方程求解..【详解】因为幂函数()2233m m y m x+-=-单调递减，所以223130m m m ⎧-=⎨+-<⎩，解得2m =-故答案为：2-14. 已知()()()222f x x xxax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =___.【答案】15-【解析】【分析】列方程组解得参数a 、b ，得到()f x 解析式后，即可求得()3f 的值.【详解】由对一切实数x ，均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩则()()()22268f x x xx x =+-+，满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为：15-四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 集合{}2620A x x x =--+>，{}2560B x x x =-+≥．（1）求A B ，()R A B ⋂ð；（2）若集合{}21C x m x m =<<-，C B ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）{3x x ≥或}2x ≤，{3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）1m ≥-.【解析】【分析】（1）先求出集合A 、B ，再根据集合的交并补运算即可求解；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论，然后借助数轴即可求解.【详解】解：（1）因为{}{}222162062032A x x x x x x x x ⎧⎫=--+>=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2560B x x x =-+≥={3x x ≥或}2x ≤，.12R A x x ⎧=≥⎨⎩ð或23x ⎫≤-⎬⎭，所以A B = {3x x ≥或}2x ≤，()R A B = ð{3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）当C =∅时，显然C B ⊆，此时21m m ³-，即13m ≥；当C ≠∅时，由题意有2123m m m <-⎧⎨≥⎩或2112m m m <-⎧⎨-≤⎩，解得113m -≤<，综上，1m ≥-.16. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．（1）求出当0x >时，()f x 的解析式；（2）如图，请补出函数()f x 的完整图象，根据图象直接写出函数()f x 的单调递减区间；（3）结合函数图象，求当[]3,1x ∈-时，函数()f x 的值域．【答案】（1）()22f x x x =-+ （2）函数图象见解析，()f x 的单调递减区间为：(][),1,1,-∞-+∞（3）[]1,3-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求解，（2）根据奇函数图象关于原点对称即可作出图象，进而可得单调区间，（3）结合函数图象以及单调性，即可求解.【小问1详解】依题意，设0x >，则0x -<，于是()22()22f x x x x x -=--=-，因为()f x 为R 上的奇函数，因此()()22f x f x x x =--=-+，所以当0x >时，()f x 的解析式()22f x x x =-+．【小问2详解】由已知及（1）得函数()f x 的图象如下：观察图象，得函数()f x 的单调递减区间为：(][),1,1,∞∞--+．【小问3详解】当[]3,1x ∈-时，由（1），（2）知，函数()f x 在[]3,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，当=1x -时，()f x 有最小值()()21(1)211f -=-+⨯-=-，当3x =-时，()f x 有最大值()()23(3)233f -=-+⨯-=，而当1x =时，有()11f =，所以，当[]3,1x ∈-时，函数()f x 的值域为[]1,3-17. 已知函数()121x a f x =+-为奇函数，其中a 为常数．（1）求()f x 的解析式和定义域；（2）若不等式()222(2)f x x f ++>成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠； （2）20x -<<【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和分式的定义求解即可；（2）根据函数单调性列不等式求解即可.【小问1详解】由分式的定义可知210x -≠即0x ≠，又因为()121x a f x =+-为奇函数，()2112112x x x a a f x --=+=+--，所以()()()1222021x x a f x f x a -+-=+=-+=-，解得2a =，所以()2121x f x =+-，定义域为{}0x x ≠.【小问2详解】因为()2222110x x x ++=++>，当0t >时，210t y =->，且单调递增，所以()2121t f t =+-单调递减，若不等式()222(2)f x x f ++>成立，则2222x x ++<，即()20x x +<，解得20x -<<.18. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为q F x=，x 为道路密度，q 为车辆密度，()10045,040,7120,4080.8x a x F f x x x ⎧-⋅<<⎪==⎨-+≤≤⎪⎩已知当道路密度2x =时，交通流量95F =，其中0a >．（1）求a 的值；（2）若交通流量95F >，求道路密度x 的取值范围；（3）求车辆密度q 的最大值．【答案】（1）13a =（2）()2,40（3）288007【解析】【分析】（1）由题，待定系数解方程21004595a -⋅=即可得答案；（2）根据题意，解不等式95F >即可得答案；（3）由题知2110045,04037120,40808x x x q F x x x x ⎧⎡⎤⎛⎫-⋅⋅<<⎪⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，进而分段研究最值即可得答案；【小问1详解】解：依题意，21004595a -⋅=，即219a =，故正数13a =,所以，a 的值为13.【小问2详解】解：当4080x ≤≤时，()71208F x f x -+==单调递减，F 最大为()4085f =，故95F >的解集为空集；当040x <<时，由110045953x⎛⎫-⋅> ⎪⎝⎭，解得2x >，即402x >>所以，交通流量95F >，道路密度x 的取值范围为()2,40．【小问3详解】解：依题意，2110045,04037120,40808x x x q F x x x x ⎧⎡⎤⎛⎫-⋅⋅<<⎪⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⋅=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，所以，当040x <<时，1004000q x <⋅<；当4080x ≤≤时，2748028800288008777q x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，由于48040807<<，所以，当4807=x 时，q 取得最大值288007．因为2880040007>，所以车辆密度q 的最大值为288007．19. 若存在常数k ，b 使得函数()F x 与()G x 在给定区间上任意实数x 都有()()F x kx b G x ≥+≥，则称y kx b =+是()y F x =与()y G x =的隔离直线函数．已知函数211()1,()12f x x x g x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．（1）证明：函数()y g x =在区间(0,)+∞上单调递增．（2）当0x >时，()y f x =与()y g x =是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．的【答案】（1）证明见解析（2）存在；y x=【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明结论；（2）求出(),()f x g x 的图象的交点，设y =f (x )与y =g (x )是存在隔离直线函数y kx b =+，可得1y kx k =+-，利用()f x kx b ≥+可求出k 的值，结合证明(),(0)g x x x ≤>，即可得出结论.【小问1详解】任取()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()121212111122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212211212111111222x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=-+-=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦，由()1212,0,,x x x x ∞∈+<，则120x x -<，120x x >，故12121102x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()()()()12120,g x g x g x g x -<∴<，故函数()y g x =在区间(0,)+∞上单调递增．【小问2详解】当0x >时，y =f (x )与y =g (x )存在隔离直线函数；令()()f x g x =，即211112x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，即211022x x x x --+=，即3223102x x x -+=，即()()21210x x -+=，解得1x =或12x =-，由于0x >，故舍去12x =-；当1x =时，()()1f x g x ==，即(),()y f x y g x ==有公共点(1,1)，设y =f (x )与y =g (x )存在隔离直线函数y kx b =+，则点(1,1)在隔离直线函数y kx b =+上，则1k b +=，即1b k =-，则1y kx k =+-；若当0x >时有()f x kx b ≥+，即()211x x kx k -+≥+-，则()210x k x k -++≥(0,)+∞上恒成立，即(1)()0x x k --≥，由于1(0,)∈+∞，故此时只有1k =时上式才成立，则10b k =-=，下面证明(),(0)g x x x ≤>，令()11111022y g x x x x ⎛⎫=-=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭，即()0y g x x =-≤，故()g x x ≤，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，所以1y kx k =+-，即y x =为y =f (x )与y =g (x )的隔离直线函数.在。
2023-2024学年山东省滨州市行知中学联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省滨州市行知中学联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∃x ∈R ，x +1≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +1＜0 B ．∀x ∈R ，x +1＞0 C ．∃x ∈R ，x +1＜0D ．∃x ∈R ，x +1＞02．已知全集为N ，集合A ＝{2，5}，B ＝{2，3，4}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{5}B ．{3，4}C ．{2}D ．{2，3，4，5}3．下列各组函数相等的是（ ） A ．f （x ）＝x 2，g(x)=(√x)4B ．f （x ）＝x ﹣1，g(x)=x 2x −1C ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0D ．f （x ）＝|x |，g(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜04．设x ∈R ，则“x ＜3”是“x （x ﹣2）＜0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．若“∃x ∈M ，|x |＜x 2”为真命题，“∀x ∈M ，x ＜2”为假命题，则集合M 可以是（ ） A ．{x |x ＜0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |x ≤1}6．函数f(x)=2√x −3x 的最大值为（ ） A ．34B ．12C ．1D ．137．已知函数f （x 2﹣1）＝x 4+1，则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ） A ．f （x ）＝x 2+2x +2，x ≥0 B ．f （x ）＝x 2+2x +2，x ≥﹣1 C ．f （x ）＝x 2﹣2x +2，x ≥0D ．f （x ）＝x 2﹣2x +2，x ≥﹣18．设偶函数f （x ）的定义域为R ，当∈[0，+∞）时，f （x ）是增函数，则f(−√7)，f （π），f （﹣3）的大小关系是（ ）A ．f(π)＞f(−3)＞f(−√7)B ．f(π)＞f(−√7)＞f(−3)C ．f(π)＜f(−3)＜f(−√7)D ．f(π)＜f(−√7)＜f(−3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．对于任何一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同D ．f （a ）表示当x ＝a 时，函数f （x ）的值，这是一个常量 10．如果a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，那么下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac ＞bd B ．ac 2＞bd 2 C ．da＜caD ．d+b a+b＜c+b a+b11．已知a ∈R ，关于x 的不等式a(x−1)x−a＞0的解集可能是（ ）A ．{x |1＜x ＜a }B ．{x |x ＜1或x ＞a }C ．{x |x ＜a 或x ＞1}D ．∅12．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：f （x ﹣y ）＝f （x ）﹣f （y ）+1，且f （1）＝0，当x ＞0时，f （x ）＜1．则下列选项正确的是（ ） A ．f （0）＝1B ．f （2）＝﹣2C ．f （x ）﹣1为奇函数D ．f （x ）为R 上的减函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣2）＝0}用列举法表示为 ． 14．函数f(x)=√1−x +√x +3−1的定义域是 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，a ≥1a +2b ，b ≥1b +2a，则a +b 的最小值为 ． 16．已知函数f(x)=3x 2+√x ，若f （3a +1）＜f （16﹣2a ），则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（10分）已知全集U ＝R ，A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |m ＜x ＜5}． （1）若m ＝0，求（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（12分）若关于x 的不等式ax 2+3x ﹣1＞0的解集是{x |12＜x ＜1}，（1）求a 的值；（2）求不等式ax 2﹣3x +a 2+1＞0的解集． 19．（12分）已知函数f(x)={−x 2+1，|x|＜1|x|−1，|x|≥1．（1）画出函数f（x）的图象；（2）求f(f(−32))的值；（3）求出函数f（x）的值域．20．（12分）已知函数f(x)=ax+2x，且f（﹣2）＝1．（1）证明：f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；（2）若f(x)≤1+txx对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数t的取值范围．21．（12分）如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C 在DG上，且B在EG上．若AD＝30米，DC＝20米，设DG＝x米（x＞20）．（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；（2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意的a，b∈R，都有f（a）f（b）＝f（a+b）．当x＜0时，f（x）＞1，且f（0）≠0．（1）求f（0）的值，并证明：当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2）判断f（x）的单调性，并证明；（3）若f(2)=12，求不等式f(5t2−6t)＞116的解集．2023-2024学年山东省滨州市行知中学联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∃x ∈R ，x +1≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +1＜0 B ．∀x ∈R ，x +1＞0 C ．∃x ∈R ，x +1＜0D ．∃x ∈R ，x +1＞0解：因为命题“∃x ∈R ，x +1≥0”，所以其否定为：∀x ∈R ，x +1＜0． 故选：A ．2．已知全集为N ，集合A ＝{2，5}，B ＝{2，3，4}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{5}B ．{3，4}C ．{2}D ．{2，3，4，5}解：根据图形可得，阴影部分表示的集合为（∁N A ）∩B ， ∵A ＝{2，5}，B ＝{2，3，4}∴图中阴影部分所表示的集合是（∁N A ）∩B ＝{3，4}． 故选：B ．3．下列各组函数相等的是（ ） A ．f （x ）＝x 2，g(x)=(√x)4 B ．f （x ）＝x ﹣1，g(x)=x 2x−1 C ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0D ．f （x ）＝|x |，g(x)={x ，x ≥0−x ，x ＜0解：A 、B 、C 选项中f （x ）的定义域为R ，而A 选项g （x ）的定义域为[0，+∞）， B 、C 选项中g （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以A 、B 、C 选项中两个函数的定义域不一样，不是同一函数，故A 、B 、C 选项都错误； 对于D 选项，定义域都为R ，解析式，值域都相同，D 正确． 故选：D ．4．设x ∈R ，则“x ＜3”是“x （x ﹣2）＜0”的（ ） A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：不等式x （x ﹣2）＜0，即0＜x ＜2，由x （x ﹣2）＜0可推出x ＜3， 反之，可能x ＝2，则x （x ﹣2）＝0，所以x ＜3不可以推出x （x ﹣2）＜0， 故“x ＜3”是“x （x ﹣2）＜0”的必要不充分条件． 故选：C ．5．若“∃x ∈M ，|x |＜x 2”为真命题，“∀x ∈M ，x ＜2”为假命题，则集合M 可以是（ ） A ．{x |x ＜0}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |x ≤1}解：若“∃x ∈M ，|x |＜x 2”为真命题，则x ＞1或x ＜﹣1，则B 选项错误， “∀x ∈M ，x ＜2”为假命题，则∃x ∈M ，x ≥2为真命题，则A 、D 选项错误， 则集合M 可以为{x |1＜x ＜3}， 故选：C ．6．函数f(x)=2√x −3x 的最大值为（ ） A ．34B ．12C ．1D ．13解：令t =√x(t ≥0)，则g(t)=2t −3t 2=−3(t −13)2+13(t ≥0)， 由二次函数的性质可知，g(t)max =g(13)=13． 故选：D ．7．已知函数f （x 2﹣1）＝x 4+1，则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ） A ．f （x ）＝x 2+2x +2，x ≥0 B ．f （x ）＝x 2+2x +2，x ≥﹣1 C ．f （x ）＝x 2﹣2x +2，x ≥0D ．f （x ）＝x 2﹣2x +2，x ≥﹣1解：f （x 2﹣1）＝x 4+1＝[（x 2﹣1）+1]2+1，且x 2﹣1≥﹣1， 所以f （x ）＝（x +1）2+1＝x 2+2x +2，x ≥﹣1． 故选：B ．8．设偶函数f （x ）的定义域为R ，当∈[0，+∞）时，f （x ）是增函数，则f(−√7)，f （π），f （﹣3）的大小关系是（ ）A ．f(π)＞f(−3)＞f(−√7)B ．f(π)＞f(−√7)＞f(−3)C ．f(π)＜f(−3)＜f(−√7)D ．f(π)＜f(−√7)＜f(−3)解：因为函数f （x ）为偶函数，所以f(−√7)=f(√7)，f （﹣3）＝f （3）， 因为当x ∈[0，+∞）时，f （x ）是增函数，又√7＜3＜π，所以f(√7)＜f(3)＜f(π)，即f(−√7)＜f(−3)＜f(π)． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．对于任何一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同D ．f （a ）表示当x ＝a 时，函数f （x ）的值，这是一个常量解：对于A ，函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y 是x 的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征，故A 正确；对于B ，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f （x ）＝1定义域为{1}，值域为{1}，故B 错误；对于C ，当x 不同时，函数y 的值可能相同，如函数y ＝x 2，当x ＝1和﹣1时，y 都为1，故C 错误； 对于D ，f （a ）表示当x ＝a 时，函数f （x ）的值是一个常量，故D 正确． 故选：AD ．10．如果a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，那么下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac ＞bd B ．ac 2＞bd 2 C ．da＜caD ．d+b a+b＜c+b a+b解：对于A ，由于a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，则﹣a ＞﹣b ＞0，﹣c ＞﹣d ＞0，所以ac ＞bd ，选项A 正确； 对于B ，由于a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，则﹣a ＞﹣b ＞0，c 2＞d 2＞0，则﹣ac 2＞﹣bd 2，则ac 2＜bd 2，选项B 错误；对于C ，由于c ＜d ＜0，a ＜0，则ca＞da ，选项C 正确；对于D ，由于a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，则a +b ＜0，c +b ＜d +b ＜0，所以c+ba+b＞d+b a+b，选项D 正确．故选：ACD ．11．已知a ∈R ，关于x 的不等式a(x−1)x−a＞0的解集可能是（ ）A ．{x |1＜x ＜a }B ．{x |x ＜1或x ＞a }C ．{x |x ＜a 或x ＞1}D ．∅解：当a ＝0时，原不等式可化为0＞0，无解；当a ＞0时，原不等式等价于（x ﹣1）（x ﹣a ）＞0， 若a ＞1，则不等式的解为x ＜1或x ＞a ； 若0＜a ＜1，则不等式的解为x ＜a 或x ＞1； 若a ＝1，不等式化为（x ﹣1）2＞0，其解为x ≠1；当a ＜0时，原不等式等价于（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0，解得a ＜x ＜1， 综上，当a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞a }； 当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠1}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞1}； 当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜1}． 故选：BCD ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：f （x ﹣y ）＝f （x ）﹣f （y ）+1，且f （1）＝0，当x ＞0时，f （x ）＜1．则下列选项正确的是（ ） A ．f （0）＝1B ．f （2）＝﹣2C ．f （x ）﹣1为奇函数D ．f （x ）为R 上的减函数解：对选项A ：取x ＝y ＝0，则f （0）＝f （0）﹣f （0）+1，故f （0）＝1，正确； 对选项B ：f （﹣1）＝f （0）﹣f （1）+1＝2，f （2）＝f （1）﹣f （﹣1）+1＝﹣1，错误；对选项C ：f （﹣x ）＝f （0）﹣f （x ）+1＝2﹣f （x ），f （﹣x ）﹣1＝﹣[f （x ）﹣1]，f （x ）﹣1为奇函数，正确；对选项D ：当x 1＞x 2时，f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1﹣x 2）﹣1＜0，f （x ）是R 上的减函数，正确， 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣2）＝0}用列举法表示为 {1，2} ． 解：A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣2）＝0}＝{1，2}． 故答案为：{1，2}．14．函数f(x)=√1−x +√x +3−1的定义域是 [﹣3，1] ． 解：要使函数f(x)=√1−x +√x +3−1的解析式有意义 自变量x 须满足{1−x ≥0x +3≥0解得﹣3≤x ≤1即函数f(x)=√1−x +√x +3−1的定义域是[﹣3，1] 故答案为：[﹣3，1]15．已知a ＞0，b ＞0，a ≥1a +2b ，b ≥1b +2a ，则a +b 的最小值为 2√3 ． 解：因为a ≥1a +2b ，b ≥1b +2a ， 所以a +b ≥3a +3b，又a ＞0，b ＞0， 所以(a +b)2≥(3a +3b )(a +b)=6+3ba +3ab ≥12，当且仅当a =b =√3时取等号． 所以a +b ≥2√3，当且仅当a =b =√3时取等号． 所以a +b 的最小值为2√3． 故答案为：2√3．16．已知函数f(x)=3x 2+√x ，若f （3a +1）＜f （16﹣2a ），则实数a 的取值范围是 [−13，3) ． 解：f(x)=3x 2+√x 的定义域为[0，+∞）， 又y =3x 2，y =√x 在[0，+∞）上单调递增， 所以f （x ）在[0，+∞）上单调递增，由f （3a +1）＜f （16﹣2a ），得0≤3a +1＜16﹣2a ，解得−13≤a ＜3， 即实数a 的取值范围是[−13，3)． 故答案为：[−13，3)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（10分）已知全集U ＝R ，A ＝{x |﹣3＜x ＜2}，B ＝{x |m ＜x ＜5}． （1）若m ＝0，求（∁U A ）∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）∁U A ＝（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）， 若m ＝0，B ＝{x |0＜x ＜5}， 所以（∁U A ）∩B ＝[2，5）；（2）因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ， 所以m ≤﹣3，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]．18．（12分）若关于x 的不等式ax 2+3x ﹣1＞0的解集是{x |12＜x ＜1}，（1）求a 的值；（2）求不等式ax 2﹣3x +a 2+1＞0的解集．解：（1）依题意，可知方程ax 2+3x ﹣1＝0的两个实数根为12和1，∴12+1=−3a且12×1=−1a，解得a ＝﹣2，∴a 的值为﹣2；（2）由（1）可知，不等式为﹣2x 2﹣3x +5＞，即2x 2+3x ﹣5＜0， ∵方程2x 2+3x ﹣5＝0的两根为x 1＝1，x 2=−52， ∴不等式ax 2﹣3x +a 2+1＞0的解集为{x |−52＜x ＜1}． 19．（12分）已知函数f(x)={−x 2+1，|x|＜1|x|−1，|x|≥1．（1）画出函数f （x ）的图象； （2）求f(f(−32))的值； （3）求出函数f （x ）的值域． 解：（1）图象如图所示：（2）f(f(−32))=f(32−1)=f(12)=−(12)2+1=34； （3）由（1）得到的图象可知，f （x ）的值域为[0，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=ax +2x，且f （﹣2）＝1． （1）证明：f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减； （2）若f(x)≤1+txx对∀x ∈[1，+∞）恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）证明：f(−2)=−2a +2−2=1，解得a ＝﹣1，所以f(x)=−x +2x ， 任取0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=−x 1+2x 1−(−x 2+2x 2)=(x 2−x 1)(1+2x 1x 2)，又0＜x 1＜x 2，所以x 2﹣x 1＞0，1+2x 1x 2＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减； （2）f(x)≤1+tx x对∀x ∈[1，+∞）恒成立，即x 2+tx ﹣1≥0对∀x ∈[1，+∞）恒成立， Δ＝t 2+4＞0，故二次函数y ＝x 2+tx ﹣1必与x 轴存在两个交点，x =−t±√t 2+42，只需要满足−t+√t 2+42≤1即可，解出t ∈[0，+∞），因此实数t 的取值范围为[0，+∞）．21．（12分）如图，某大学将一矩形ABCD 操场扩建成一个更大的矩形DEFG 操场，要求A 在DE 上，C 在DG 上，且B 在EG 上．若AD ＝30米，DC ＝20米，设DG ＝x 米（x ＞20）． （1）要使矩形DEFG 的面积大于2700平方米，求x 的取值范围； （2）当DG 的长度是多少时，矩形DEFG 的面积最小？并求出最小面积．解：（1）因为DG ＝x ，DC ＝20， 所以CG ＝x ﹣20， 又△GCB ∽△GDE ， 所以GC GD=CB DE ， 即x−20x=30DE，所以DE =30xx−20， 所以S 矩形DEFG=DG ⋅DE =x ⋅30x x−20=30x 2x−20＞2700，即x 2﹣90x +1800＞0， 又x ＞20，则20＜x ＜30或x ＞60，即x 的取值范围是{x |20＜x ＜30或x ＞60}； （2）由（1）知S 矩形DEFG=30x 2x−20=30[(x−20)2+40(x−20)+400]x−20=30(x −20+400x−20+40)≥30[2√(x −20)⋅400x−20+40]=2400，当且仅当x −20=400x−20，即x ＝40时等号成立，故当DG 的长度为40米时，矩形DEFG 的面积最小为2400平方米．22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的a ，b ∈R ，都有f （a ）f （b ）＝f （a +b ）．当x ＜0时，f （x ）＞1，且f （0）≠0．（1）求f （0）的值，并证明：当x ＞0时，0＜f （x ）＜1；（2）判断f（x）的单调性，并证明；（3）若f(2)=12，求不等式f(5t2−6t)＞116的解集．解：（1）令a＝b＝0，则[f（0）]2＝f（0），又f（0）≠0，所以f（0）＝1．证明：当x＞0时，﹣x＜0，所以f（﹣x）＞1，又f（x）f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝1，所以f(x)=1f(−x)，即0＜f（x）＜1．（2）f（x）在R上单调递减．证明如下：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）f（x2）﹣f（x2）＝f（x2）[f（x1﹣x2）﹣1]，又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，所以f（x1﹣x2）＞1，又当x＜0时，f（x）＞1，当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（0）＝1，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上单调递减．（3）因为f(2)=12，所以f(8)=f(2)f(6)=f(2)f(2)f(4)=[f(2)]4=116，所以f(5t2−6t)＞116，即f（5t2﹣6t）＞f（8），又f（x）在R上单调递减，所以5t2﹣6t＜8，解得−45＜t＜2，所以不等式f(5t2−6t)＞116的解集为(−45，2)．第11页（共11页）。
2023-2024学年河北省金科大联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省金科大联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={−32，0，23，1，5}，B={x|x＜12}，则A∩B＝（）A．{−32，0}B．{−32，0，23}C．{−32}D．{−32，0，23，1}2．函数f(x)=1√2x+4√2−x的定义域为（）A．（﹣2，2）∪（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣2，2]D．[﹣2，2]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{a2，﹣1}，若A＝B，则a＝（）A．﹣1B．1C．0D．24．已知函数f（x）满足f（2x）＝4x2+2x，则（）A．f（x）＝2x2+x B．f（x）＝x2+2xC．f（x）＝2x2+2x D．f（x）＝x2+x5．某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费．职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（）A．18吨B．20吨C．22吨D．24吨6．若关于x的不等式ax2﹣5ax+1＞0的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．(0，425)B．[0，425)C．(−∞，0]∪(425，+∞)D．（1，+∞）7．已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且f（3）＝0，则不等式f（x）＜f（﹣x）的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）8．若关于x的不等式2x2+mx﹣3m2＜0的解集中恰好有3个整数，则实数m的取值范围为（）A．(−∞，−43)∪(43，+∞)B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．[−43，−1)∪(1，43]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．已知a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（ ） A ．√a ＞√bB ．ab＞baC ．a 2＞abD ．b 3＞a 2b10．下列命题中为真命题的是（ ）A ．“四边形ABCD 是正方形”是“四边形ABCD 是长方形”的充分不必要条件B ．若a 是无理数，则a 3也是无理数C ．函数f(x)=√x −2+√2−x 和g （x ）＝0是同一个函数D ．在平面直角坐标系中，第一象限内的点构成的集合为{（x ，y ）|x ＞0，y ＞0} 11．已知集合A ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，则（ ） A ．20232∈A B ．A ∪B ＝ZC ．A ∩B ＝{0}D ．若a ∈A ，b ∈B ，则ab ∈B12．已知函数f(x)=x 2−1x 2+1，则下列说法正确的有（ ）A ．函数f （x ）为偶函数B ．当x ≠0时，f(x)=−f(1x )C ．函数f （x ）的值域为[−1，910]D ．若f （a ﹣1）＜f （2a +1），则实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．命题“∀x ∈R ，x x 2+1＜1”的否定是 ．14．已知函数f(x)={−1x ，x ＜0，x 2，x ＞0，，则f （f （﹣3））＝ ．15．已知0＜x ＜2，则 y =12−x +4x 的最小值为 ．16．已知函数f(x)={−18x 2+ax +12，x ＜2，|x −a|，x ≥2在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{x |x ﹣a ＞0}． （1）当a ＝1时，求A ∩（∁R B ）； （2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（3a ﹣2）x +b ．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，3），求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[−103，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．19．（12分）已知命题p：“∃x∈R，x2﹣ax+1＝0”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A．（1）求集合A；（2）设集合B＝{x|m+1＜x＜2m+1}，若t∈A是t∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20．（12分）已知正数a，b满足a2+b2+ab＝3．（1）求√ab的最大值；（2）求a+b的最大值．21．（12分）已知幂函数f(x)=(m2+52m−12)x4m2−m既不是奇函数，也不是偶函数．（1）求m的值；（2）若函数g(x)=x−2af(x)+12a−32的最小值为﹣3，求实数a的值．22．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）|x|．（1）证明：函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；（2）若直线y＝k2﹣4与函数f（x）的图象有且仅有4个交点，求实数k的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[﹣m，m]上的值域．2023-2024学年河北省金科大联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={−32，0，23，1，5}，B={x|x＜12}，则A∩B＝（）A．{−32，0}B．{−32，0，23}C．{−32}D．{−32，0，23，1}解：∵集合A={−32，0，23，1，5}，B={x|x＜12}，∴A∩B＝{−32，0}．故选：A．2．函数f(x)=1√2x+4√2−x的定义域为（）A．（﹣2，2）∪（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣2，2]D．[﹣2，2]解：要使函数有意义，则满足{2x+4＞0，2−x≥0，解得﹣2＜x≤2，所以函数f（x）的定义域为（﹣2，2]．故选：C．3．已知集合A＝{1，a}，B＝{a2，﹣1}，若A＝B，则a＝（）A．﹣1B．1C．0D．2解：由A＝B可知，a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，符合题意．故选：A．4．已知函数f（x）满足f（2x）＝4x2+2x，则（）A．f（x）＝2x2+x B．f（x）＝x2+2xC．f（x）＝2x2+2x D．f（x）＝x2+x解：由f（2x）＝（2x）2+2x，可得f（x）＝x2+x．故选：D．5．某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费．职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（）A．18吨B．20吨C．22吨D．24吨解：小王10月份的实际用水量为15×(70−15×3)+15=20（吨），即小王10月份的实际用水量为20吨， 故选：B ．6．若关于x 的不等式ax 2﹣5ax +1＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，425) B ．[0，425)C ．(−∞，0]∪(425，+∞)D ．（1，+∞）解：①当a ＝0时，不等式可化为1＞0，解集为R ，满足题意； ②当a ≠0时，则{a ＞0Δ=(−5a)2−4a ＜0，解得0＜a ＜425，由①②知实数a 的取值范围为[0，425)． 故选：B ．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）在[0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且f （3）＝0，则不等式f （x ）＜f （﹣x ）的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B ．（﹣3，0）∪（3，+∞） C ．（﹣3，3）D ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）解：因为函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，且在[0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 可知函数f （x ）的减区间为[﹣1，1]，增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）， 又f （3）＝0，可知当x ＜﹣3或0＜x ＜3时，f （x ）＜0； 当﹣3＜x ＜0或x ＞3时，f （x ）＞0．不等式f （x ）＜f （﹣x ）可化为f （x ）＜﹣f （x ），有f （x ）＜0， 故不等式f （x ）＜f （﹣x ）的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）． 故选：A ．8．若关于x 的不等式2x 2+mx ﹣3m 2＜0的解集中恰好有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(−∞，−43)∪(43，+∞) B ．（﹣1，0）∪（0，1）C ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D ．[−43，−1)∪(1，43]解：将不等式2x 2+mx ﹣3m 2＜0整理为：（x ﹣m ）（2x +3m ）＜0， ①当m ＝0时，不等式为2x 2＜0，不等式解集为∅，不合题意；②当m ＞0时，不等式的解为：−32m ＜x ＜m ，若不等式的解集中恰好有3个整数，当这三个整数﹣2，﹣1，0时，则{−3≤−32m ＜−20＜m ≤1，则m ∈∅，当3个整数为﹣1，0，1时，则{1＜m ≤2，−2≤−32m ＜−1，解得1＜m ≤43；因为|−32m |＞|m |，所以三个零点不会都大于等于0， 所以此时m 的范围为（1，43]；③当m ＜0时，不等式的解为m ＜x ＜−32m ，若不等式的解集中恰好有3个整数， 因为|−32m |＞|m |，这3个整数不可能都小于等于0，当这三个整数为﹣1，0，1时，则{1＜−32m ≤2，−2≤m ＜−1，解得−43≤m ＜−1，当这三个零点为0，1，2时，则{−1≤m ＜02＜−32m ≤3，解得m ∈∅， 此时m 的范围为：[−43，﹣1）．综上所述：实数m 的取值范围为[−43，−1)∪(1，43]． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．已知a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（ ） A ．√a ＞√bB ．ab＞baC ．a 2＞abD ．b 3＞a 2b解：若a ＞b ＞0，则√a ＞√b ，故A 正确；a b−b a=a 2−b 2ab=(a+b)(a−b)ab，因为a ＞b ＞0，所以a +b ＞0，a ﹣b ＞0，ab ＞0，所以a b−b a＞0，即a b＞ba，故B 正确；因为a ＞b ＞0，根据不等式的性质可知，a 2＞ab ，故C 正确； a 2b ﹣b 3＝b （a 2﹣b 2）＝b （a +b ）（a ﹣b ），因为a ＞b ＞0，所以a +b ＞0，a ﹣b ＞0，所以 a 2b ﹣b 3＞0，即a 2b ＞b 3，故D 错误． 故选：ABC ．10．下列命题中为真命题的是（ ）A ．“四边形ABCD 是正方形”是“四边形ABCD 是长方形”的充分不必要条件B ．若a 是无理数，则a 3也是无理数C ．函数f(x)=√x −2+√2−x 和g （x ）＝0是同一个函数D ．在平面直角坐标系中，第一象限内的点构成的集合为{（x ，y ）|x ＞0，y ＞0}解：易知四边形ABCD 是正方形⇒四边形ABCD 是长方形，且四边形ABCD 是长方形无法推出四边形ABCD 是正方形”，故A 正确， 当a =√33时，a 3是有理数，故B 错误，f （x ）定义域为{x |x ＝2}，g （x ）定义域为R ，故C 错误， 由第一象限点的定义知D 正确． 故选：AD ．11．已知集合A ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，则（ ） A ．20232∈A B ．A ∪B ＝ZC ．A ∩B ＝{0}D ．若a ∈A ，b ∈B ，则ab ∈B解：集合A 为奇数集，集合B 为偶数集， 则20232∉A ，A 错误；A ∪B ＝Z ，B 正确； A ∩B ＝∅，C 错误；若a ∈A ，b ∈B ，则ab ∈B ，D 正确． 故选：BD ． 12．已知函数f(x)=x 2−1x 2+1，则下列说法正确的有（ ） A ．函数f （x ）为偶函数 B ．当x ≠0时，f(x)=−f(1x)C ．函数f （x ）的值域为[−1，910]D ．若f （a ﹣1）＜f （2a +1），则实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f(x)=x 2−1x 2+1，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)2−1(−x)2+1=x 2−1x 2+1=f(x)，可得函数f （x ）为偶函数，A 正确； 对于B ，f(1x )=(1x )2−1(1x )2+1=1−x 21+x 2=−x 2−1x 2+1=−f(x)，可得f(x)=−f(1x )，B 正确； 对于C ，由于f(x)=(x 2+1)−2x 2+1=1−2x 2+1，又由x 2+1≥1，有0＜1x 2+1≤1，有−1≤1−2x 2+1＜1，可得函数f （x ）的值域为[﹣1，1），故C 选误；对于D ，当x ＞0时，由f(x)=1−2x 2+1，可得函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 又由函数f （x ）为偶函数，可得函数f （x ）的减区间为（﹣∞，0），增区间为[0，+∞）， 若f （a ﹣1）＜f （2a +1），有|a ﹣1|＜|2a +1|， 解可得：a ＞0或a ＜﹣2，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．命题“∀x ∈R ，x x 2+1＜1”的否定是 ∃x ∈R ，xx 2+1≥1 ．解：全称量词命题的否定形式为存在量词命题，并否定结论， 所以命题“∀x ∈R ，x x 2+1＜1”的否定是“∃x ∈R ，xx 2+1≥1”．故答案为：∃x ∈R ，x x 2+1≥1．14．已知函数f(x)={−1x ，x ＜0，x 2，x ＞0，，则f （f （﹣3））＝ 19 ．解：由f(−3)=−1−3=13，有f(f(−3))=(13)2=19． 故答案为：19．15．已知0＜x ＜2，则 y =12−x +4x 的最小值为 92．解：因为0＜x ＜2，则2﹣x ＞0， 所以y =12−x +4x =12（12−x +4x）[（2﹣x ）+x ]=12（1+4+x2−x +4(2−x)x ）≥12×(5+2√x 2−x ⋅4(2−x)x）=92，当且仅当x 2−x =4(2−x)x，即x =43时取得最小值为92．故答案为：92．16．已知函数f(x)={−18x 2+ax +12，x ＜2，|x −a|，x ≥2在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 [12，23] ．解：根据题意，函数f(x)={−18x 2+ax +12，x ＜2，|x −a|，x ≥2在R 上单调递增，若函数f （x ）在R 上单调递增，则有{4a ≥2，a ≤2，|2−a|≥2a ，解得12≤a ≤23，故实数a 的取值范围为[12，23]．故答案为：[12，23]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{x |x ﹣a ＞0}． （1）当a ＝1时，求A ∩（∁R B ）； （2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围． 解：（1）集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}， 又因为当a ＝1时，B ＝{x |x ＞1}， 所以∁R B ＝{x |x ≤1}，故A ∩（∁R B ）＝{x |0＜x ≤1}； （2）由A ＝{x |0＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞a }， 若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为[4，+∞）． 18．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（3a ﹣2）x +b ．（1）若关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为（﹣2，3），求实数a ，b 的值； （2）若函数f （x ）在区间[−103，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：（1）不等式x 2﹣（3a ﹣2）x +b ＜0的解集为（﹣2，3）， 则对应方程x 2﹣（3a ﹣2）x +b ＝0的两个根为﹣2和3， 则{−2+3=3a −2−2×3=b ，得a ＝1，b ＝﹣6， 所以实数a ＝1，b ＝﹣6；（2）函数f （x ）在区间[−103，+∞)上单调递增，则3a−22≤−103，得a ≤−149． 所以实数a 的取值范围(−∞，−149]． 19．（12分）已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2﹣ax +1＝0”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A ． （1）求集合A ；（2）设集合B ＝{x |m +1＜x ＜2m +1}，若t ∈A 是t ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵命题p ：“∃x ∈R ，x 2﹣ax +1＝0”为假命题， ∴方程x 2﹣ax +1＝0无解，Δ＝a 2﹣4＜0，解得﹣2＜a ＜2， ∴A ＝（﹣2，2）；（2）∵t ∈A 是t ∈B 的必要不充分条件， ∴B ⫋A ，B ＝∅时，m +1≥2m +1，解得m ≤0；B ≠∅时，{m +1＜2m +1m +1≥−22m +1≤2，解得0＜m ≤12，综上得，m 的取值范围为(−∞，12]． 20．（12分）已知正数a ，b 满足a 2+b 2+ab ＝3． （1）求√ab 的最大值； （2）求a +b 的最大值．解：（1）由3＝a 2+b 2+ab ≥2ab +ab ＝3ab ，当且仅当a ＝b ＝1时取等号， 可得ab ≤1（当且仅当a ＝b ＝1时取等号），故√ab 的最大值为1； （2）由a 2+b 2+ab ＝3，有（a +b ）2＝ab +3，又由ab ≤(a+b)24（当且仅当a ＝b 时取等号），有ab +3≤(a+b)24+3，有(a +b)2≤(a+b)24+3， 有（a +b ）2≤4，可得a +b ≤2（当且仅当a ＝b ＝1时取等号）， 故a +b 的最大值为2．21．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2+52m −12)x 4m2−m既不是奇函数，也不是偶函数．（1）求m 的值；（2）若函数g(x)=x −2af(x)+12a −32的最小值为﹣3，求实数a 的值． 解：（1）令m 2+52m −12=1，整理为（m +3）（2m ﹣1）＝0， 解得m ＝﹣3或m =12，①当m ＝﹣3时，4m 2﹣m ＝39，可得f （x ）＝x 39，由f （﹣x ）＝（﹣x ）39＝﹣x 39＝﹣f （x ），知函数f （x ）为奇函数，不合题意；②当m =12时，f(x)=x 12，由函数的定义域为[0，+∞），此时f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数，满足题意，由①②知，m 的值为12；（2）由（1）有f(x)=√x ，可得g(x)=x −2a √x +12a −32， 令t =√x （t ≥0），有x ＝t 2，可得g(x)=(t −a)2−a 2+12a −32， 令ℎ(t)=(t −a)2−a 2+12a −32（t ≥0），①当a ≤0时，ℎ(t)min =ℎ(0)=12a −32，又由g （x ）的最小值为﹣3，有12a −32=−3，解得a ＝﹣3；②当a ＞0时，ℎ(t)min =ℎ(a)=−a 2+12a −32，又由g （x ）的最小值为﹣3，有−a 2+12a −32=−3， 解得a ＝﹣1（舍去）或a =32，由①②知a ＝﹣3或a =32．22．（12分）已知函数f （x ）＝（x 2﹣3）|x |．（1）证明：函数f （x ）在区间[0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；（2）若直线y ＝k 2﹣4与函数f （x ）的图象有且仅有4个交点，求实数k 的取值范围；（3）求函数f （x ）在区间[﹣m ，m ]上的值域．解：（1）证明：函数f （x ）＝（x 2﹣3）|x |，当0≤x 1＜x 2≤1时，f(x 2)−f(x 1)=(x 23−3x 2)−(x 13−3x 1)=(x 23−x 13)−3(x 2−x 1)=(x 2−x 1)⋅(x 22+x 2x 1+x 12)−3(x 2−x 1)=(x 2−x 1)(x 22+x 2x 1+x 12−3)， 由于0≤x 1＜x 2≤1，则有x 2﹣x 1＞0，同时0＜x 22≤1，0≤x 2x 1＜1，0≤x 12＜1，则有0＜x 22+x 2x 1+x 12＜3，故x 22+x 2x 1+x 12−3＜0，必有f （x 2）＜f （x 1），故函数f （x ）在区间[0，1]上单调递减；当x 2＞x 1＞1时，有f(x 2)−f(x 1)=(x 23−3x 2)−(x 13−3x 1)=(x 23−x 13)−3(x 2−x 1)=(x 2−x 1)⋅(x 22+x 2x 1+x 12)−3(x 2−x 1)=(x 2−x 1)(x 22+x 2x 1+x 12−3)，由于x 2＞x 1＞1，则有有x 2﹣x 1＞0，同时x 22＞1，x 2x 1＞1，x 12＞1，有x 22+x 2x 1+x 12＞3，可得x 22+x 2x 1+x 12＞3，必有f （x 2）＞f （x 1），故函数f （x ）在区间（1，+∞）上单调递增．综合可得，函数f （x ）在区间[0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；（2）根据题意，f （x ）＝（x 2﹣3）|x |，其定义域为R ，由f （﹣x ）＝[（﹣x ）2﹣3]|﹣x |＝（x 2﹣3）|x |＝f （x ），可得函数f （x ）为偶函数，又由函数f （x ）在区间[0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，可得函数f （x ）的减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1），增区间为[﹣1，0]，[1，+∞），可得函数f（x）的大致图象如下：由f（0）＝0，f（﹣1）＝f（1）＝﹣2，若直线y＝k2﹣4与f（x）的图象有且仅有4个交点，必有﹣2＜k2﹣4＜0，解得−2＜k＜−√2或√2＜k＜2，故若直线y＝k2﹣4与函数f（x）的图象有且仅有4个交点，实数k的取值范围为(−2，−√2)∪(√2，2)；（3）根据题意，区间[﹣m，m]，则有m＞﹣m，必有m＞0，又由函数g（x）为偶函数，故函数f（x）在区间[﹣m，m]上的值域就是该函数在区间[0，m]上的值域，令f（x）＝（x2﹣3）|x|＝0，解可得x＝0或x=±√3，可得函数f（x）的图象与x轴的交点分别为(−√3，0)，（0，0），(√3，0)，分3种情况讨论：①当0＜m≤1时，f(x)min=f(m)=m3−3m，f（x）max＝f（0）＝0，函数f（x）在区间[﹣m，m]上的值域为[m3﹣3m，0]；②当1＜m≤√3时，f（x）min＝f（1）＝﹣2，f（x）max＝f（0）＝0，函数f（x）在区间[﹣m，m]上的值域为[﹣2，0]；③当m＞√3时，f（x）min＝f（1）＝﹣2，f(x)max=f(m)=m3−3m，函数f（x）在区间[﹣m，m]上的值域为[﹣2，m3﹣3m]．。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,新课标版)
高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。
一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高一年级第一学期期中考试数学试卷考试时间120分钟，满分150分。
卷Ⅰ(选择题共60分)一．选择题（共12小题，每小题5 分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则C B A= （）A. B. C. D.2.若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A. B. C. D.3.函数y=的图象是（）A. B. C. D.4.幂函数在时是减函数，则实数m的值为A. 2或B.C. 2D. 或15.若函数y=f（x）的定义域是（0，4]，则函数g（x）=f（x）+f（x2）的定义域是（）A. B. C. D.6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.7.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）表达式是（）A. B. C. D.8.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝-1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=|lg x|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A. B. C. D.10.若函数f（x）=，且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.若在区间上递减，则a的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=则函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为（）A. 1B. 3C. 4D. 6卷Ⅱ(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.方程的一根在内，另一根在内，则实数m的取值范围是______．14.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是______ ．15.当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______ ．16.已知函数的定义域为D，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，18-22题12分）17.计算下列各式的值：（1）（2）．18.已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19.已知函数，且．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集．20.已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f（kx2）＋f（2x－1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力度，某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察，发现该厂产生的废气经过过滤排放后，过滤过程中废气的污染物数量千克/升与时间小时间的关系为，如果在前个小时消除了的污染物，（1）小时后还剩百分之几的污染物（2）污染物减少需要花多少时间（精确到小时）参考数据：22.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．第一学期期中考试高一年级数学试卷答案1.【答案】A解：因为A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，则C B A=[3，+∞) ,故选A．2.【答案】C解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．3.【答案】B解：函数y=是奇函数，排除A，C；当x=时，y=ln＜0，对应点在第四象限，排除D.故选B．4.【答案】B解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m =-1，故选B．5.【答案】A解：∵函数f(x)的定义域为(0,4],∴由,得,即0＜x≤2,则函数g(x)的定义域为(0,2],故选:A.6.【答案】C解：∵函数f（x）=e x+4x-3在R上连续，且f（0）=e0-3=-2＜0，f（）=+2-3=-1=-e0＞0，∴f（0）f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x-3的零点所在的区间为（0，）.故选C．7.【答案】D解：设x＜0，则-x>0，∵当x≥0时，，∴f（-x）=-x（1+）=-x（1-），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）=x（1-），故选D．8.【答案】D解：∵函数f（x）为奇函数，若f（1）=-1，则f（-1）=-f（1）=1，又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f（x-2）≤1，∴f（1）≤f（x-2）≤f（-1），∴-1≤x-2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1，3].故选D．9.【答案】C解：因为f（a）=f（b），所以|lg a|=|lg b|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．10.【答案】D解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得a∈[4，8），故选D．11.【答案】A解：令u=x2-2ax+1+a，则f（u）=lg u，配方得u=x2-2ax+1+a=（x-a）2 -a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．12.【答案】C解：令f（x）=1，当时，,解得x1=-，x2=1，当时，,解得x3=5，综上f（x）=1解得x1=-，x2=1，x3=5，令g（x）=f[f（x）]-1=0，作出f(x)图象如图所示：由图象可得当f（x）=-无解，f（x）=1有3个解，f（x）=5有1个解，综上所述函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为4，故选C.13.【答案】(1,2)解：设f(x)=x2-2mx+m2-1，则f(x)=0的一个零点在(0,1)内，另一零点在(2,3)内．∴，即，解得1<m<2．故答案为(1,2).14.【答案】[-1，0）解：作出函数的图象如下图所示，由图象可知0＜g（x）≤1，则m＜g（x）+m≤1+m，即m＜f（x）≤1+m，要使函数的图象与x轴有公共点，则，解得-1≤m＜0．故答15.案为[-1，0）．【答案】．解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m-5．∴m的取值范围是．故答案为：．．利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16.【答案】[5，+∞）解：函数的定义域为：x≤2，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，令t=≥0，可得2x=4-t2，所以f（t）=5-t2-t，是开口向下的二次函数，t≥0，f（t）≤5，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是：m≥5．故答案为：[5，+∞）．求出函数的定义域，利用换元法结合函数的性质，求解实数m的取值范围．本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，函数恒成立体积的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：（1）原式===；-----------（5分）（2）原式===log39-9=2-9=-7．----（10分）18.【答案】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，----（1分）则A∪B={x|-2＜x≤7}，----（3分）又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|-2＜x＜1}；----（5分）（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，----（7分）②当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得-1＜m＜，----（11分）综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．----（12分）19.【答案】解：（1），若要式子有意义，则,即，所以定义域为. ----（4分）（2）f(x)的定义域为，且所以f(x)是奇函数. ----（8分）（3）又f(x)>0，即，有.当时，上述不等式,解得. ----（12分）20.【答案】解：（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，即，则b=1，经检验，当b=1时，是奇函数，所以b=1；----（3分）（2），f（x）在R上是减函数，证明如下：在R上任取，，且，则，因为在R上单调递增，且，则，又因为，所以，即，所以f（x）在R上是减函数； ----（7分）（3）因为，所以，而f（x）是奇函数，则，又f（x）在R上是减函数，所以，即在上恒成立，令，，，，因为，则k<-1.所以k的取值范围为. ----（12分）21.【答案】解：（1）由已知，∴，当时，，故小时后还剩的污染物. ----（5分）（2）由已知，即两边取自然对数得：，∴，∴污染物减少需要花32小时. ----（12分）22.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；----（3分）（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；----（7分）（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．----（12分）2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试题说明:本试卷分为第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共三个大题，22个小题。
高一数学上学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一年级第一学期数学期中考试卷本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
第一部分 选择题(共60分)一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，{}12C x R x =∈-≤<，则()A B C =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,42．已知集合A={x∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ）A ．3B ．4C ．31D ．323．下列命题为真命题的是（ ）A ．x Z ∃∈，143x <<B ．x Z ∃∈，1510x +=C ．x R ∀∈，210x -=D ．x R ∀∈，220x x ++>4．设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤6．已知实数m ， n 满足22m n +=，其中0mn >，则12m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．127．若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且，()00f =，(2)0=g ，则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，2）8．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，已知 2.7e ≈，则()2f -、()f e 、()3f -的大小关系为（ ）A ．()()()32f e f f <-<-B ．()()()23f f e f -<<-C ．()()()32f f f e -<-<D ．()()()32f f e f -<<- 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，漏选3分，错选0分，满分20分）9．已知A B ⊆，A C ⊆，{}2,0,1,8B =，{}1,9,3,8C =，则A 可以是（ ）A ．{}1,8B ．{}2,3C ．{}1D ．{}210．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C ．2()f x x =与2()g x x =D ．21()1x f x x +=-与1()1g x x =- 11．已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．若()3f x =，则xD ．()1f x <的解集为(1,1)-12．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ） A ．0B ．1C ．32D ．3第二部分 非选择题(共90分)三、填空题（本大题共3小题，每小题5分, 共15分）13．已知2()1,()1f x x g x x =+=+，则((2))g f =_________.14．设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{}2M N =,则a 值是_________.15．如果函数()2x 23f ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围是______．四、双空题（本大题共1小题，第一空3分，第二空2分, 共5分）16．函数()2x f x x =+在区间[]2,4上的最大值为________，最小值为_________五、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知函数()233f x x x =+-A ，()222g x x x =-+的值域为B ． （Ⅰ）求A 、B ； （Ⅱ）求()R AB ．18．（本小题12分）已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-.（1）若()U A B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若A B B ≠，求a 的取值范围.19．（本小题12分）已知函数23,[1,2](){3,(2,5]x x f x x x -∈-=-∈． （1）在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调递增区间及值域；（3）求不等式()1f x >的解集．20．（本小题12分）已知函数()f x ＝21ax b x ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在(－1，1)上是增函数；（3）解不等式：(1)()0f t f t -+<.21．（本小题12分）某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（本小题12分）已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(2)15f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2) 令()(22)()g x m x f x =--，求函数()g x 在x ∈[0，2]上的最小值．参考答案1．C【详解】由{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，则{}1,0,1,2,3,4AB =- 又{}12C x R x =∈-≤<，所以(){}1,0,1AB C =-故选：C2．A 由题集合{}2{|230}{|31}01A x N x x x N x =∈+-≤=∈-≤≤=， ， ∴集合A 的真子集个数为2213-= ．故选A ．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D求解不等式判断A ；方程的解判断B ；反例判断C ；二次函数的性质判断D ；【详解】解：143x <<，可得1344x <<，所以不存在x ∈Z ，143x <<，所以A 不正确； 1510x +=，解得115x =-，所以不存在x ∈Z ，1510x +=，所以B 不正确； 0x =，210x -≠，所以x R ∀∈，210x -=不正确，所以C 不正确；x ∈R ，2217720244y x x x ⎛⎫=++=++≥> ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，考查不等式的解法以及方程的解，属于基础题．4．A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】 21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 5．D【解析】试题分析：因为函数()f x =的定义域是一切实数，所以当0m =时，函数1f x 对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D.考点：函数的定义域.6．A【解析】实数m ，n 满足22m n +=，其中0mn >12112141(2)()(4)(44222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=,当且仅当422,n m m n m n =+=，即22n m ==时取等号.12m n∴+的最小值是4.所以A 选项是正确的. 点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件22m n +=化为1，即112112(2)1,(2)()22m n m n m n m n+=∴+=++. 7．C【解析】【分析】根据函数的图象关于原点对称，可得知函数()g x 在()0,∞+上是减函数，即可利用其单调性在(,0)-∞和()0,∞+上解不等式即可．【详解】函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且()20g =，所以函数()g x 在()0,∞+上是减函数．当0x =时，()00f =，显然0x =不是()0f x <的解．当()0,x ∈+∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =<，而()20g =，所以()()20g x g <=，解得2x >；当(),0x ∈-∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =>，而()()220g g -==，所以()()2g x g >-，解得2x <-．综上，()0f x <的x 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：C.【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题． 8．D【解析】【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以当12x x <时，12()()f x f x >，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又()f x 是偶函数，所以(3)(3)f f -=，(2)(2)f f -=，因为23e <<，所以(2)()(3)f f e f >>，即(2)()(3)f f e f ->>-．故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．9．AC【解析】【分析】推导出(){1A B C A ⊆⇒⊆，8}，由此能求出结果．【详解】∵A B ⊆，A C ⊆，()A B C ∴⊆{}2,0,1,8B =，{}1,9,3,8C =，{}1,8A ∴⊆∴结合选项可知A ，C 均满足题意.【点睛】本题考查集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．BC【解析】【分析】分别求出四个答案中两个函数的定义域和对应法则是否一致，若定义域和对应法则都一致即是相同函数.【详解】对于A ：()g x x ==，两个函数的对应法则不一致，所以不是相同函数，故选项A 不正确； 对于B ：()|1|f t t =-与()|1|g x x =-定义域和对应关系都相同，所以是相同函数，故选项B 正确； 对于C ：2()f x x =与2()g x x =定义域都是R ，22()g x x x ==，所以两个函数是相同函数，故选项C 正确对于D ：21()1x f x x +=-定义域是{}|1x x ≠±，1()1g x x =-定义域是{}|1x x ≠，两个函数定义域不同，所以不是相等函数，故故选项D 不正确；故选：BC【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为相同函数，判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致，属于基础题.11．BC【解析】【分析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A 、 B 的正误，再分段求C 、D 中对应的方程的解和不等式的解后可判断C 、D 的正误．【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(,2)-∞，故A 错误；当1x ≤-时，()f x 的取值范围是(,1]-∞当12x -<<时，()f x 的取值范围是[0,4)，因此()f x 的值域为(,4)-∞，故B 正确；当1x ≤-时，23x +=，解得1x =（舍去)，当12x -<<时，23x =，解得x =x =，故C 正确；当1x ≤-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得-11x -<<，因此()1f x <的解集为(,1)(1,1)-∞--，故D 错误.故选：BC ．【点睛】 本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．12．BC【解析】【分析】根据函数的单调性求出a 的取值范围，即可得到选项.【详解】当1x ≤-时，()22f x x a =-+为增函数， 所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤. 故选：BC【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.13【解析】【分析】根据2()1,()f x x g x =+=(2)f ，再求((2))g f .【详解】因为(2)5f =，所以((2))(5)g f g ===【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于基础题.14．-2或0【解析】【分析】由{}2M N =,可得{}2N ⊆,即可得到22a a +=或22a +=,分别求解可求出答案.【详解】由题意,{}2N ⊆,①若22a a +=,解得1a =或2a =-,当1a =时,集合M 中,212a +=,不符合集合的互异性,舍去;当2a =-时,{2,3,5},{2,0,1}M N ==-,符合题意.②若22a +=,解得0a =,{2,3,1},{0,2,1}M N ==-,符合题意.综上,a 的值是-2或0.故答案为:-2或0.【点睛】本题考查了交集的性质,考查了集合概念的理解,属于基础题.15．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】【详解】由题意得，当0a =时，函数()23f x x =-，满足题意，当0a ≠时，则0242a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得104a -≤<， 综合得所求实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 16．23 12【解析】【分析】分离常数，将()f x 变形为212x -+，观察可得其单调性，根据单调性得函数最值. 【详解】 222()1222x x f x x x x +-===-+++，在[2,4]上，若x 越大，则2x +越大，22x 越小，22x -+越大，212x -+越大， 故函数()f x 在[2,4]上是增函数，min 21()(2)222f x f ∴===+， max 42()(4)423f x f ===+， 故答案为23；12. 【点睛】本题考查分式函数的单调性及最值，是基础题. 17．（Ⅰ）332A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}1B y y =≥；（Ⅱ）()R 312A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（Ⅰ）由函数式有意义求得定义域A ，根据二次函数性质可求得值域B ；（Ⅱ）根据集合运算的定义计算．【详解】（Ⅰ）由()f x =230,30,x x +≥⎧⎨->⎩ 解得332x -≤<． ()()2222111g x x x x =-+=-+≥，所以332A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}1B y y =≥．（Ⅱ）{}1B y y =<R ，所以()R 312A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查求函数的定义域与值域，考查集合的综合运算，属于基础题．18．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭. 【解析】【分析】（1）先计算U A ，再利用数轴即可列出不等式组，解不等式组即可.（2）先求出AB B =时a 的取值范围，再求其补集即可.【详解】 （1）∵{}|02A x x =≤≤，∴{|0U A x x =<或}2x >，若()U A B R ⋃=，则320322a a a a -≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即12a ≤∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）若A B B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32-<a a 得1,a >当B ≠∅时，若B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故a 的取值范围为1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭， 故AB B ≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于中档题.19．（1）见解析（2）()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-， 值域为[1,3]-；（3）[2)(1,5]-⋃【解析】【分析】（1）要利用描点法分别画出f(x)在区间[-1,2]和(2,5]内的图象.（2）再借助图象可求出其单调递增区间.并且求出值域.（3）由图象可观察出函数值大于1时对应的x 的取值集合.【详解】（1）（2）由图可知()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-， 值域为[1,3]-；（3）令231x -=，解得2x =2-（舍去）；令31x -=，解得2x =. 结合图象可知的解集为[2)(1,5]-⋃20．（1）()21x f x x =+；（2）证明见详解；（3）1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】(1)由()f x 为奇函数且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得参数值，即可得到()f x 的解析式； (2)根据定义法取－1＜x 1＜x 2＜1，利用作差法12())0(f x f x -<即得证；(3)利用()f x 的增减性和奇偶性，列不等式求解即可【详解】（1）()f x 在(－1，1)上为奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有(0)012()25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()f x ＝21x x +， 此时2()(),()1x f x f x f x x --==-∴+为奇函数， 故()f x ＝21x x+； （2）证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++ 而122100,1x x x -<+>，且1211x x -<<，即1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，()f x 在(－1，1)上是增函数.（3）(1)()()f t f t f t ，又()f x 在(－1，1)上是增函数∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜12 ∴不等式的解集为1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求解析式，结合奇函数中(0)0f =的性质，要注意验证；应用定义法证明单调性，注意先假设自变量大小关系再确定函数值的大小关系：函数值随自变量的增大而增大为增函数，反之为减函数；最后利用函数的奇偶性和单调性求解集21．（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100千件【解析】【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得： 当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭L x x x x x x ． 当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭ 100001250⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x 所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(60)10003L x x =--+． 此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．当80x ≥时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 12502001050=-=． 此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元． 由于10001050<，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1050万元 【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.22．（1）2()215f x x x =-++，（2）min2411,2()15,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩【解析】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f （x ）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g （x ）的图象是开口朝上，且以x=m 为对称轴的抛物线，分当m ≤0时，当0＜m ＜2时，当m ≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．试题解析：（1）设二次函数一般式()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入条件化简，根据恒等条件得22a =-，1a b +=，解得1a =-，2b =，再根据()215f =，求c .（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m 的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法. 试题解析：（1）设二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则()()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-+∴22a =-，1a b +=，∴1a =-，2b = 又()215f =，∴15c =.∴()2215f x x x =-++（2）①∵()2215f x x x =-++∴()()()222215g x m x f x x mx =--=--.又()g x 在[]0,2x ∈上是单调函数，∴对称轴x m =在区间[]0,2的左侧或右侧，∴0m ≤或2m ≥ ②()2215g x x mx =--，[]0,2x ∈，对称轴x m =，当2m >时，()()min 24415411g x g m m ==--=--； 当0m <时，()()min 015g x g ==-；当02m ≤≤时，()()222min 21515g x g m m m m ==--=--综上所述，()min2411,215,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩广东省深圳市高一上学期期中考试试卷数学试题时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{1}A x x =<∣，{}31x B x =<∣，则（ ）A ．{0}AB x x =<∣ B ．A B R =C ．{1}A B x x =>∣D ．AB =∅2．已知函数22,3()21,3x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则[(1)]f f =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()1f -=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知幂函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()8f 的值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．5．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递增 B ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递减6．已知3log 21x ⋅=，则4x=（ ）A ．4B ．6C ．3log 24D ．97．已知2log 0.3a =，0.12b =， 1.30.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<8．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a -≤≤-C ．2a ≤-D ．0a <二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C．()f x =与 ()g x =-D ．21()1x f x x -=+与()1g x x =-10．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．1y x=-B ．1y x x=-C ．3y x =D ．||y x x =11．若函数()1(0,1)xf x a b a a =+->≠的图象经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A ．1a >B ．01a <<C ．0b >D ．0b <12．下列结论不正确的是（ ）A ．当0x >2≥B ．当0x >2的最小值是2C ．当0x <时，22145x x -+-的最小值是52D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数3()1f x x =+的定义域为_______． 14．函数32x y a-=+（0a >且1a ≠）恒过定点_______．15．定义运算：,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()33x xf x -=⊗的值域为_______．16．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式()0xf x <的解集为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）计算：（1）1130121( 3.8)0.0022)27---⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭；（2）2lg125lg 2lg500(lg 2)++．18．（本小题满分12分）已知函数1()2x f x x +=-，[3,7]x ∈． （1）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；（2）求函数()f x 的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）设集合{}2230A x x x =+-<∣，集合{1}B xx a =+<‖∣． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()243f x x x =-++．（1）求()f x 的表达式；（2）画出()f x 的图象，并指出()f x 的单调区间．21．（本小题满分12分）某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材．通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本()C x 元，且210400,030()10008049000,30x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完．（1）求制造商由该设备所获的月利润()L x 关于月产量x 台的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．22．（本小题满分12分）设函数()22xxf x k -=⋅-是定义R 上的奇函数． （1）求k 的值；（2）若不等式()21xf x a >⋅-有解，求实数a 的取值范围；（3）设()444()x xg x f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值，并指出取得最小值时的x 的值．高一上学期期中考试数学学科试题参考答案一二、选择题三、填空题 13．(,1)(1,2]-∞--14．()3,3 15．(]0,1 16．(2,0)(0,2)-四、解答题17．解：（1）原式12315002)42016=+-+=-=-；（2）原式3lg5lg 2(lg500lg 2)3lg53lg 23=++=+=．18．解：（1）函数()f x 在区间[]3,7内单调递减，证明如下：在[]3,7上任意取两个数1x 和2x ，且设12x x >，∵()11112x f x x +=-，()22212x f x x +=-， ∴()()()()()21121212123112222x x x x f x f x x x x x -++-=-=----． ∵12,[3,7]x x ∈，12x x >，∴120x ->，220x ->，210x x -<，∴()()()()()2112123022x x f x f x x x --=<--．即()()12f x f x <，由单调函数的定义可知，函数()f x 为[]3,7上的减函数．（2）由单调函数的定义可得max ()(3)4f x f ==，min 8()(7)5f x f ==． 19．解：（1）由2230x x +-<，解得31x -<<，可得：(3,1)A =-．3a =，可得：|3|1x +<，化为：131x -<+<，解得42x -<<-，∴(1,1)B =-． ∴(3,1)AB =-．（2）由||1x a +<，解得11a x a --<<-．∴{11}B xa x a =--<<-∣． ∵p 是q 成立的必要条件，∴1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得：02a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,2．20．解：（1）根据题意，()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()2243f x x x -=--+，又由()f x 为奇函数，则2()()243f x f x x x =--=+-，则22243,0()0,0243,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-+->⎩；（2）根据题意，22243,0()0,0243,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-+->⎩，其图象如图：()f x 的单调递增区间为()1,1-，()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，(1,)+∞．21．解：（1）当030x <<时，22()800104003000104003000L x x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000()8008049000300060004L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭． ∴2104003000,030()1000060004,30x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当030x <<时，2()10(20)1000L x x =--+，∴当20x =时，max ()(20)1000L x L ==．当30x ≥时，10000()6000460005600L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当100004x x=， 即50x =时，()(50)56001000L x L ==>．当50x =时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元．22．解：（1）因为()22x xf x k -=⋅-是定义域为R 上的奇函数，所以()00f =，所以10k -=， 解得1k =，()22x xf x -=-， 当1k =时，()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，故1k =；（2）()21xf x a >⋅-有解， 所以211122x x a ⎛⎫⎛⎫<-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解， 所以2max11122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为221111*********x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1x =时，等号成立）， 所以54a <； （3）()444()x x g x f x -=+-，即()()44422x x x x g x --=+--，可令22x x t -=-，可得函数t 在[)1,+∞递增，即32t >， 2442x x t -=+-，可得函数2()42h t t t =-+，32t >， 由()g t 的对称轴为322t =>，可得2t =时，()g t 取得最小值2-，此时222x x -=-，解得2log (1x =，则()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，此时2log (1x =．高一第一学期数学期中考试卷第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分）1．已知集合{}40M x x =-<，{}124x N x -=<，则M N =( )A ．(),3-∞B ．()0,3C ．()0,4D ．∅2．已知集合A ＝{}2|log 1x x <，B ＝{}|0x x c <<，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)3．全集U =R ，集合{}|0A x x =<,{}|11B x x =-<<，则阴影部分表示的集合为( )A ．{}|1x x <-B ．{}|1x x <C ．{}|10x x -<<D ．{}|01x x <<4．．函数的零点所在的区间为A ．B ．C ．(D ．5．如果二次函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是（）A.5a ≤B.3a ≤-C.3a ≥D.3a ≥-6．设函数()2,x f x x R =∈的反函数是()g x ，则1()2g 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．27．设132()3a =，231()3b =，131()3c =，则()f x 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.a b c >>C.c a b >>D.a c b >>8．函数()()215m f x m m x -=--是幂函数，且当()0 x ∈+∞，时，()f x 是增函数，则实数m 等于（ ） A.3或2- B.2- C.3 D.3-或29．函数()2lg 45y x x =--的值域为( )A ．(),-∞+∞B ．()1,5-C ．()5,+∞D ．(),1-∞-10．已知x ，y 为正实数，则（ ）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=C ．lg lg lg lg 222x y x y =+D ．lg()lg lg 222xy x y = 11．已知函数()x x f x a a -=-,若(1)0f <,则当[]2,3x ∈时，不等式()+(4)0f t x f x --<恒成立则实数t 的范围是( )A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞12．已知奇函数x 14()(x 0)23F(x)f (x)(x 0)⎧->⎪=⎨⎪<⎩，则21F(f (log )3= ( ) A ．56- B ．56 C ．1331()2D ．1314()23- 第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分）13．已知函数ln x y a e =+（0a >，且1a ≠，常数 2.71828...e =为自然对数的底数）的图象恒过定点(,)P m n ，则m n -=______．14．求值：2327( 3.1)()lg 4lg 25ln18--++++=__________ 15．若函数()()()21142x f x a x log =++++为偶函数，则a ＝_______.16．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；三、解答题17．（本题满分10分）（1）求值：（log 83+log 169）（log 32+log 916）；（2）若1122a a 2--=，求11122a a a a --++及的值．18．（本题满分12分）函数()log (1)a f x x =-+(3)(01)a log x a +<< （1）求方程()0f x =的解；（2）若函数()f x 的最小值为1-，求a 的值.19．（本题满分12分）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当时0x ≥，()22f x x x =+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式()2f x x ≥+.20．（本题满分12分）已知二次函数f （x ）满足 (1)()21f x f x x +-=+且(0)1,f =函数()2(0)g x mx m =>（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()()()g x F x f x =，在()0,1上的单调性并加以证明.21．（本题满分12分）已知函数()142x x f x a a +=⋅--.（1）若0a =，解方程()24f x =-；（2）若函数()142x x f x a a +=⋅--在[]1,2上有零点，求实数a 的取值范围.22．（本题满分12分）函数()f x 的定义域为R ，且对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，(Ⅰ)证明()f x 是奇函数；(Ⅱ)证明()f x 在R 上是减函数；(III)若()31f =-,()()321550f x f x ++--<，求x 的取值范围.第一学期高一期中考试卷参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，，．故选：．【点睛】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算。
高一上学期期中联考数学试题(解析版)
D. 在[-2-1]上单调递减
【11题答案】
【答案】AC
【解析】
【分析】根据偶函数的对称性结合函数的符号及增减性即可得到结果.
【详解】解：A偶函数的图象关于 轴对称 时 所以当 时有 故A正确；
B偶函数的图象关于 轴对称 时 为增函数所以 在 上单调递减故B错误；
【详解】因为全称命题的否定是特称命题所以命题“ ”的否定是： .
故选:B.
3.已知集合 且 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据 求解.
【详解】∵集合 且
∴
故选：B.
4.下面命题正确的是( )
A.若 则 B.若 则
C.若 则 D.若 则
【4题答案】
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】下列不等式中表示糖水变甜即糖的浓度增大利用溶液的浓度计算公式即可得出结论．
【详解】解：依题意糖水变甜即糖的浓度增大因此 正确．
故选： ．
6.已知函数 则 在区间 的值域为（）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性可求得最大值和最小值由此可得值域.
对于C：由 则 推不出 故C错误；
对于D：由 ．由函数 在区间 上单调递减可得
由 得不到 故 是 的充分不必要条件故D正确．
故选：AD
10.下列各不等式其中正确的是（）
A. B.
C. D.
【10题答案】
【答案】BD
【解析】
【分析】取特殊值可判断AC；利用基本不等式可判断BD.
江西省南昌市进贤县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
2024－2025学年高一上学期数学期中考试一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，若，则（ ）A ．1B ．2C ．1或4D ．42．已知函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．3．“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的定义域为，则函数）A ．B ．C ．D ．5．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”．烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）A ．第4秒B ．第5秒C ．第6秒D ．第7秒6．设，则的大小顺序是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，则（ ）A ．－2B．－1C ．0D ．18．已知函数的定义域为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
{}22,1,24A a a a =--+3A ∈a =()2f x x =+()f x (),8-∞-(],8-∞[)4,+∞[)6,+∞0a b +=22a b =()1f x +[]0,4()g x =[]1,3[)1,2()0,2[]1,7-h 2330h t t =-+P Q R ===,,P Q R Q R P>>Q P R >>P R Q >>P Q R >>()()()21,012,0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩()2f =()f x ()()()R,33,63f x f x f -=+=(]12,,3x x ∀∈-∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-()263f x x x +->{}17x x x <->或{}17x x -<<{}06x x x <>或{}06x x <<9．下列说法正确的有（ ）A ．若是幂函数，则或3B ．与C ．已知函数，则D ．函数的值域为10．若函数满足关系式，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：，其中表示不超过x 的最大整数，例如：．令函数，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．是奇函数C ．的最小值为0，没有最大值D ．三、填空题12．已知函数是偶函数，则实数_________．13．命题“”为假命题，则实数的取值范围为_________．14．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分。
2023-2024学年江苏省徐州市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}2．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．y ＝x +1，y ＝|x +1|B ．y ＝2x （x ＞0），y ＝2x （x ＜0）C ．y =√x 2，y =(√x)2D ．y =x 3+xx 2+1，y ＝x 4．已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．4√2B ．3+2√2C ．16D ．325．命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞27B ．a ≤12C ．a ＜12D ．a ≥276．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则关于x 的不等式bx 2+ax +c ＜0的解集为（ ） A ．{x|−1＜x ＜65} B ．{x|x ＜−1或x ＞65} C ．{x|−23＜x ＜1}D ．{x|x ＜−23或x ＞1}7．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 43＝（ ） A ．a+b−12(b+1)B ．a+b−1b−1 C ．a−b+12(b−1)D ．a−b+1b+18．已知f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝x +2，则函数y =x −√f(x)的值域为（ ） A ．[1，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−54，+∞)D ．[0，+∞）二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列图形不可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题是真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ab ＞1B ．若a ＞b ，且1a＞1b，则ab ＞0C ．若a ＞b ＞0，则b+1a+1＞baD ．若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则5≤4a ﹣2b ≤1011．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若ab ＝1，则a +b ≥2B ．若a ＞b ＞0，且1a +1b=1，则a +b 最小值为4C ．若a ＞0，b ＞0，则(a +1a )(b +1b )≥4 D ．若a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为212．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x （1﹣y ），若命题p ：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，则命题p 成立的充分不必要条件是（ ） A ．{a|a ＜−12或a ＞32} B ．{a|a ≤−12或a ＞32} C ．{a|a ＜−1或a ＞32}D ．{a |a ＞2}三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．命题p ：所有的质数都是奇数，则命题p 的否定是 ．14．已知函数f （x ）对任意实数x 都有f （x ）+2f （﹣x ）＝2x +1，则f （x ）＝ ．15．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2x +1（x ∈R ）有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a 的取值范围为 ．16．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365，则一年后“进步”的是“落后”的 倍；大约经过 天后“进步”的分别是“落后”的10倍．（参考数据：lg 101≈2.004，lg 99≈1.996，102.91≈812.831，102.92≈831.764，102.93≈851.138，结果保留整数）四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算：（1）(214)12+(−2.5)0+√6−2√5(23)−2；（2）log 3√27+lg25−3log 32+2lg2． 18．（12分）已知集合A ={x|x−3x+2＜0}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}，C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}． （1）求集合A ∪B ；（2）若a ＜0且（A ∩B ）⊆C ，求实数a 的取值范围． 19．（12分）已知函数y ＝x 2﹣mx +3．（1）若y ≤﹣4的解集为[2，n ]，求实数m ，n 的值；（2）对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，求实数a 的取值范围． 21．（12分）某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件．（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该产品每件售价最多为多少元？ （2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价x （x ≥26）元，并投入334(x −26)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−25)2万件．则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．22．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）只能同时满足下列三个条件中的两个： ①a ＝2；②不等式f （x ）＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；③函数f （x ）的最大值为4． （1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f （x ）的解析式； （2）求关于x 的不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2（m ∈R ）的解集．2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}解：由已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝{0，1}． 故选：A ．2．设a ∈R ，则“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根， 则Δ＝12﹣4a ≥0，解得a ≤14， 而﹣2∈(−∞，14]，所以“a ＝﹣2”是“关于x 的方程x 2+x +a ＝0有实数根”的充分条件， 故选：A ．3．下列各组函数表示相同函数的是（ ） A ．y ＝x +1，y ＝|x +1|B ．y ＝2x （x ＞0），y ＝2x （x ＜0）C ．y =√x 2，y =(√x)2D ．y =x 3+xx 2+1，y ＝x 解：y ＝x +1与y ＝|x +1|的对应关系不同，不是同一函数； y ＝2x ，x ＞0与y ＝2x ，x ＜0定义域不同，不是同一函数；y =√x 2的定义域为R ，y ＝（√x ）2的定义域为[0，+∞）不同，不是同一函数； y =x+x 3x 2+1=x 与y ＝x 的定义域都为R ，对应关系相同，是同一函数． 故选：D ．4．已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．4√2B ．3+2√2C ．16D ．32解：在a +2b ＝ab 的两边都除以ab ，整理得2a+1b=1，所以a +b =(2a +1b )(a +b)=3+ab +2ba ≥3+2√ab ⋅2ba =3+2√2，当且仅当a b=2b a时，即a =2+√2，b =√2+1时，a +b 的最小值是3+2√2．故选：B ．5．命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞27B ．a ≤12C ．a ＜12D ．a ≥27解：命题p ：“∀x ∈（2，3），3x 2﹣a ＞0”，命题p 是真命题， 当∀x ∈（2，3）时， 则a ＜(3x 2)min ＜3×22， 故a ＜12． 故选：C ．6．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则关于x 的不等式bx 2+ax +c ＜0的解集为（ ） A ．{x|−1＜x ＜65} B ．{x|x ＜−1或x ＞65} C ．{x|−23＜x ＜1}D ．{x|x ＜−23或x ＞1}解：因为不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}， 所以2和3是方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数解，且a ＜0； 由根与系数的关系知，{2+3=−ba 2×3=c a ，所以b ＝﹣5a ，c ＝6a ；所以不等式bx 2+ax +c ＜0可化为﹣5ax 2+ax +6a ＜0， 即5x 2﹣x ﹣6＜0，解得﹣1＜x ＜65， 所求不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜65}． 故选：A ．7．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 43＝（ ） A ．a+b−12(b+1)B ．a+b−1b−1 C ．a−b+12(b−1)D ．a−b+1b+1解：∵a ＝lg 6＝lg 2+lg 3，b ＝lg 20＝1+lg 2， ∴lg 2＝b ﹣1，lg 3＝a ﹣lg 2＝a ﹣（b ﹣1）， ∴log 43=lg3lg4=lg32lg2=a−(b−1)2(b−1)=a−b+12(b−1)． 故选：C ．8．已知f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝x +2，则函数y =x −√f(x)的值域为（ ） A ．[1，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．[−54，+∞)D ．[0，+∞）解：因为f （x ）＝ax +b （a ＞0），满足f （f （x ））＝f （ax +b ）＝a （ax +b ）+b ＝x +2， 所以{a 2=1ab +b =2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝﹣1（舍）， 故f （x ）＝x +1，则函数y =x −√f(x)=x −√x +1， 令t =√x +1，则t ≥0，原函数化为y ＝t 2﹣t ﹣1＝（t −12）2−54≥−54． 故选：C ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列图形不可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：对于A ，D ，存在一个x 对应两个y 的情况，故不满足函数的定义，故排除A ，D ， B ，C 均满足函数定义． 故选：AD ．10．下列命题是真命题的是（ ） A ．若a ＞b ，则ab ＞1B ．若a ＞b ，且1a＞1b，则ab ＞0C ．若a ＞b ＞0，则b+1a+1＞baD ．若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则5≤4a ﹣2b ≤10解：当a ＝1，b ＝﹣1时，A ，B 显然错误； 若a ＞b ＞0，则b+1a+1−b a=a−b a(a+1)＞0，则b+1a+1＞ba，C 正确；若1≤a ﹣b ≤2，2≤a +b ≤4，则4a ﹣2b ＝3（a ﹣b ）+a +b ∈[5，10]，D 正确．故选：CD ．11．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若ab ＝1，则a +b ≥2B ．若a ＞b ＞0，且1a +1b=1，则a +b 最小值为4C ．若a ＞0，b ＞0，则(a +1a)(b +1b)≥4 D ．若a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2解：对于A ，ab ＝1，可能a ＝b ＝﹣1，此时a +b ≥2不成立，故A 不正确； 对于B ，a +b =(1a +1b )(a +b)=2+ba +ab ≥2+2√b a ⋅ab =4， 由于取等号的条件是ba =a b=1，即a ＝b ，与题设a ＞b ＞0矛盾，故a +b 最小值大于4，故B 不正确；对于C ，a ＞0，b ＞0，由a +1a ≥2√a ⋅1a =2，b +1b ≥2√b ⋅1b =2，两不等式相乘，得(a +1a )(b +1b)≥4，当且仅当a ＝1且b ＝1时，等号成立，故C 正确；对于D ，a ＞0，b ＞0且a +b ＝4，设m ＝a +2，n ＝b +2，则m ＞2，n ＞2，且m +n ＝8，a 2a+2+b 2b+2=(m−2)2m+(n−2)2n =m +4m−4+n +4n−4=(m +n)+4m+4n−8=4m+4n，因为4m+4n=4(m+n)mn=32mn≥32(m+n 2)2=2，当且仅当m ＝n ＝4时，即a ＝b ＝2时，等号成立，所以a 2a+2+b 2b+2的最小值为2，故D 正确．故选：CD ．12．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x （1﹣y ），若命题p ：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，则命题p 成立的充分不必要条件是（ ） A ．{a|a ＜−12或a ＞32} B ．{a|a ≤−12或a ＞32} C ．{a|a ＜−1或a ＞32}D ．{a |a ＞2}解：根据题意，可得（x ﹣a ）⊗（x +a ）＞1，即（x ﹣a ）[1﹣（x +a ）]＞1，命题p 可化为：∃x ∈R ，使得（x ﹣a ）[1﹣（x +a ）]＞1，即：∃x ∈R ，使﹣x 2+x +a 2﹣a ﹣1＞0成立．化简得：∃x∈R，使x2﹣x﹣a2+a+1＜0成立，故Δ＝1﹣4（﹣a2+a+1）＞0，解得a＜−12或a＞32．综上所述，命题p成立的充要条件是a＜−12或a＞32，因此，命题p成立的充分不必要条件，对应的集合是{a|a＜−12或a＞32}的真子集，对照各个选项，可知C、D两项符合题意．故选：CD．三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．命题p：所有的质数都是奇数，则命题p的否定是存在某个质数不是奇数．解：命题p：所有的质数都是奇数，则命题p的否定是：存在某个质数不是奇数．故答案为：存在某个质数不是奇数．14．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）+2f（﹣x）＝2x+1，则f（x）＝﹣2x+13．解：因为函数f（x）对任意实数x都有f（x）+2f（﹣x）＝2x+1，所以f（﹣x）+2f（x）＝﹣2x+1，解得f（x）＝﹣2x+1 3．故答案为：﹣2x+1 3．15．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+1（x∈R）有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a的取值范围为（0，1）．解：∵函数f（x）＝ax2﹣2x+1（x∈R）有两个零点，∴a≠0，而且一个大于1另一个小于1，则{a＞0f(1)=a−2+1＜0或{a＜0f(1)=a−2+1＞0，解得：0＜a＜1．∴实数a的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．16．我们可以把（1+1%）365看作每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365；而把（1﹣1%）365看作每天的“落后”率都是1%，一年后是0.99365，则一年后“进步”的是“落后”的832倍；大约经过125天后“进步”的分别是“落后”的10倍．（参考数据：lg101≈2.004，lg99≈1.996，102.91≈812.831，102.92≈831.764，102.93≈851.138，结果保留整数）解：lg 1.013650.99365lg 1.01365﹣lg 0.99365＝365（lg 1.01﹣lg 0.99）＝365（lg 101﹣lg 99）≈2.92，故1.013650.99365=102.92≈832，设x 天后“进步”的分别是“落后”的10倍，则1.01x 0.99x=10，即lg 1.01x0.99x =lg1.01x −lg0.99x =x(lg1.01−lg0.99)=x(lg101−lg99)=1， 解得x =1lg101−lg99≈125． 故答案为：832；125．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）计算：（1）(214)12+(−2.5)0+√6−2√5(23)−2；（2）log 3√27+lg25−3log 32+2lg2．解：（1）原式=32+1+√(√5−1)2+94=32+1+√5−1+94=154+√5； （2）原式=log 3332+2lg 5﹣2+2lg 2=32+2（lg 5+lg 2）﹣2=32+2﹣2=32．18．（12分）已知集合A ={x|x−3x+2＜0}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}，C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}． （1）求集合A ∪B ；（2）若a ＜0且（A ∩B ）⊆C ，求实数a 的取值范围．解：（1）∵集合A ={x|x−3x+2＜0}={x |﹣2＜x ＜3}，B ＝{x ||x ﹣1|＞2}＝{x |x ＞3或x ＜﹣1}， ∴集合A ∪B ＝{x |x ≠3}．（2）由（1）可得A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜﹣1}，若a ＜0，则C ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＜0}＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}＝{x |3a ＜x ＜a }． 由（A ∩B ）⊆C ，可得{3a ≤−2a ≥−1，求得﹣1≤a ≤−23，即实数a 的取值范围为[﹣1，−23]．19．（12分）已知函数y ＝x 2﹣mx +3．（1）若y ≤﹣4的解集为[2，n ]，求实数m ，n 的值；（2）对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由题意可得x 2﹣mx +3≤﹣4，即x 2﹣mx +7≤0，其解集为[2，n ]， 所以x 1＝2和x 2＝n 是方程x 2﹣mx +7＝0的两根，由韦达定理可得{2+n =m2n =7，解得n =72，m =112；（2）因为对于∀x ∈[12，+∞)，不等式y ≥2﹣x 2恒成立， 即对于∀x ∈[12，+∞)，不等式x 2﹣mx +3≥2﹣x 2恒成立， 即m ≤2x +1x 对于∀x ∈[12，+∞)恒成立， 又因为2x +1x≥2√2x ⋅1x=2√2， 当且仅当2x =1x ，即x =√22∈[12，+∞）时，等号成立，所以m ≤2√2，即实数m 的取值范围为（﹣∞，2√2]．20．（12分）已知命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣m ＞0”为真命题，即不等式x 2﹣x ＞m 在R 上恒成立， 因为当x =12时，x 2﹣x 的最小值为−14，所以−14＞m ，即实数m 的取值集合M =(−∞，−14)； （2）若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分条件，则N ⊆M ， 而M =(−∞，−14)，N ＝{x |3a ＜x ＜a +4}，有以下两种情况： ①若3a ≥a +4，则N ＝∅，符合题意，此时a ≥2； ②若N ≠∅，则a ＜2且a +4≤−14，解得a ≤−174． 综上所述，实数a 的取值范围是(−∞，−174]∪[2，+∞）．21．（12分）某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件．（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入﹣月总成本），该产品每件售价最多为多少元？ （2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价x （x ≥26）元，并投入334(x −26)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45(x−25)2万件．则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：（1）该产品每件售价为x 元，则[8﹣（x ﹣25）×0.2]（x ﹣20）≥（25﹣20）×8，解得25≤x ≤60，故产品每件售价最多为60元；（2）设下个月的总利润为W ，则W =(x −20)[8−0.45(x−25)2(x −25)]−334(x −26)=47.8−(x−254+2.25x−25) ≤47.8−2√x−254⋅2.25x−25=46.3， 当且仅当x−254= 2.25x−25，即x ＝28时等号成立，故当每件售价为28时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3．22．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）只能同时满足下列三个条件中的两个： ①a ＝2；②不等式f （x ）＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；③函数f （x ）的最大值为4．（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数f （x ）的解析式；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2（m ∈R ）的解集．解：（1）当a ＝2时，不等式f （x ）＞0的解集不能为{x |﹣3＜x ＜1}，且函数f （x ）没有最大值，所以a ＝2不成立，即满足题意的两个条件是②③，由f （x ）＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜1}，可令f （x ）＝a （x +3）（x ﹣1）＝ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）， f （x ）的最大值为4，所以4a×(−3a)−(2a)24a =4，解得a ＝﹣1，所以f （x ）＝﹣x 2﹣2x +3；（2）不等式f （x ）≥（m ﹣1）x 2+2可化为mx 2+2x ﹣1≤0，当m ＝0时，不等式等价于2x ﹣1≤0，解得x ≤12，所以不等式的解集为(−∞，12]；当m ＞0时，对于一元二次方程mx 2+2x ﹣1＝0，由于Δ＝4+4m ＞0，方程有两个不相等的实数根x 1=−1+√m+1m ，x 2=−1−√m+1m ， 不等式的解集为[−1−√m+1m ，−1+√m+1m ]； 当m ＜0时，对于一元二次方程mx 2+2x ﹣1＝0，Δ＝4+4m ，当m ＜﹣1时，Δ＜0，一元二次方程无实数根，所以不等式的解集为R ；当m ＝﹣1时，Δ＝0，一元二次方程有两个相等的实数根，此时不等式的解集也为R ；当﹣1＜m ＜0时，Δ＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根x 1=−1+√m+1m ，x 2=−1−√m+1m，且x 1＜x 2，所以不等式的解集为(−∞，−1+√m+1m ]∪[−1−√m+1m，+∞)，综上，当m＝0时，不等式的解集为(−∞，12 ]；当m＞0时，不等式的解集为[−1−√m+1m，−1+√m+1m]；当m≤﹣1时，不等式的解集为R；当﹣1＜m＜0时，不等式的解集为(−∞，−1+√m+1m]∪[−1−√m+1m，+∞)．。
高一(上)期中数学试卷(含答案)
一、单选题。
（本大题共8小题，共40高一（上）期中数学试卷分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．（5分）已知集合2{|230A x x x =−−<，}x Z ∈，则A 的真子集共有个( ) A ．3B ．4C ．7D ．82．（5分）已知条件:|4|6p x − ，条件:1q x m + ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( ) A ．(−∞，1]−B ．(−∞，9]C ．[1，9]D ．[9，)+∞3．（5分）已知a ，b ，c R ∈，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a b >，则ac bc > B ．若a bc c>，则a b > C ．若a b >且0ab <，则11a b> D ．若22a b >且0ab >，则11a b> 4．（5分）下列式子成立的是( ) A．=B．=C．D．=5．（5分）命题“存在x R ∈，使220x x m ++ ”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．36．（5分）若()f x 是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则1()4f 等于( ) A ．9B ．9−C ．19D ．19−7．（5分）若关于x 的不等式0ax b −>的解集为{|1}x x <，则关于x 的不等式02ax bx +>−的解集为( )A ．{|2x x <−或1}x >B ．{|12}x x <<C ．{|1x x <−或2}x >D ．{|12}x x −<<8．（5分）已知函数3()f x x x =+，对任意的[2m ∈−，2]，(2)()0f mx f x −+<恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(1,3)−B ．(2,1)−C ．2(0,)3D ．2(2,)3−二、多选题。
2024学年湖北省A9高中联盟高一上学期期中考数学试题及答案
A9高中联盟2023年秋季期中联考高一数学试卷试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）A. 参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B. 小于5的正整数C. 2023年高考数学难题D. 所有无理数2. 下列关系中不正确是（ ）A. 0N∈ B. πR∉ C.1Q 3∈ D. 3N-∉3. 集合{}210A x x =-=的子集个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，q 是p 的必要条件的是（ ）A. 若1x =，则21x =B. 若ac bc =，则a b=C. 若mn 无理数，则,m n 为无理数D. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形5. 命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A. 1x ∃≤，20x x -> B. 1x ∀>，20x x -≤C. 1x ∃>，20x x -≤ D. 1x ∀≤，20x x ->6. 已知函数()3f x x x m =++是定义在区间[]2,2n n --上的奇函数，则m n +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 47. 已知函数()21f x x =-，[)(]2,11,6x ∈- ，则函数()f x （ ）A. 有最小值，无最大值 B. 有最大值，无最小值C. 既有最小值又有最大值D. 既无最小值，又无最大值8. 下列不等关系中，填“>”的是（ ）A. 若a b >且11a b>，则ab ___0 B. 若a b >且0ab <，则11b a-___0的为C. 若0a b c >>>，则b c a c++___ba D. 若0c ab >>>，则b c b -___ac a-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列函数中，与y x =不是同一函数的是（ ）A. 2y =B. u =C. y =D. 2n m n=10. 若集合{}2|320A x x x =-+<，{}|0B x x a =<<，则能使A B ⊆成立的a 的值可能为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，下列说法正确的有（ ）A. 40k ≥ B. 40k ≤ C. 160k ≥ D. 160k ≤12. 下列说法正确的是（ ）A. 不等式212200x x -+>解集为{2x x <或}10x >B. 不等式2560x x -+<的解集为{}|23x x <<C. 不等式29610x x -+>的解集为R D. 不等式22230x x -+->的解集为∅三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数()13f x x =+-的定义域是______.14. “不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立”，则k 的取值范围为________.15. 若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．16. 函数()[]f x x =函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.当(]2.5,3x ∈-时，()y x f x =-的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知全集{212}U x x =-<<，集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<.（1）求A B ⋃；（2）求()U A B ⋂ð.的的18. 已知函数()24,0,2,04,2, 4.x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩（1）分别求()0f ,()5f ,()()()5ff f 的值；（2）若()8f a =，求a 的值.19. 已知集合{}2A x m x m =-≤-≤，{2B x x =≤-或}4x ≥，R 为实数集．（1）若A B =R ，求实数m 取值范围；（2）若“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，且A ≠∅，求实数m 的取值范围．20. 已知函数()0kf x x k x=+≠（）（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并证明.（2）若()36f =，根据函数单调性的定义证明函数()y f x =在区间(],3-∞-的单调性.21. 给定函数()()24,(2),R f x x g x x x =+=+∈.（1）在同一直角坐标系中画出函数()(),f x g x 的图像；（2） ()R,x M x ∀∈表示()(),f x g x 中的较大者，记为()()(){}max ,g M x f x x =.结合图像写出函数()M x 的解析式，并求()M x 的最小值.22. 设矩形ABCD （AB ＞AD ）的周长为24cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB ＝x cm ，DP ＝y cm ．的（1）求y与x之间的函数关系式；A9高中联盟2023年秋季期中联考高一数学试卷试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）A. 参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B. 小于5的正整数C. 2023年高考数学难题 D. 所有无理数【答案】C 【解析】【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.【详解】对于A ，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合；对于B ，小于5正整数明确可知，可以构成集合；对于C ，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合；对于D ，无理数明确可知，可以构成集合.故选：C2. 下列关系中不正确的是（ ）A. 0N ∈ B. πR∉ C.1Q 3∈ D. 3N-∉【答案】B 【解析】【分析】根据常见的数集及元素与集合的关系判断即可.【详解】因为N 为自然数集，所以0N ∈，3N -∉，故A 、D 正确；R 为实数集，所以πR ∈，故B 错误；Q 有理数集，所以1Q 3∈，故C 正确；故选：B3. 集合{}210A x x =-=的子集个数是（ ）A 1B. 2C. 3D. 4【答案】D的为.【解析】【分析】先求得集合A ，根据元素的个数，即可求得子集的个数，即可得答案.【详解】由21x =，解得1x =±，所以集合{1,1}A =-，含有2个元素所以集合A 的子集个数为224=.故选：D4. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，q 是p 的必要条件的是（ ）A. 若1x =，则21x =B. 若ac bc =，则a b=C. 若mn 为无理数，则,m n 为无理数D. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可.【详解】对选项A ：若1x =则21x =，故21x =是1x =的必要条件，故A 正确；对选项B ：若ac bc =，0c =时，不能得到a b =，故B 错误；对选项C ：取1,m n ==，满足mn 为无理数，m 为有理数，故C 错误；对选项D ：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D 错误；故选：A5. 命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A. 1x ∃≤，20x x -> B. 1x ∀>，20x x -≤C. 1x ∃>，20x x -≤ D. 1x ∀≤，20x x ->【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是1x ∃>，20x x -≤.故选：C.6. 已知函数()3f x x x m =++是定义在区间[]2,2n n --上的奇函数，则m n +=（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数得到220n n --+=，()00f m ==，解得答案，再验证即可.【详解】函数()3f x x x m =++是定义在区间[]2,2n n --上的奇函数，则220n n --+=，解得2n =，定义域为[]4,4-，()00f m ==，则0m =，()3f x x x =+，定义域为[]4,4-，()()3f x x x f x -=--=-，函数为奇函数，满足，故2m n +=.故选：C7. 已知函数()21f x x =-，[)(]2,11,6x ∈- ，则函数()f x （ ）A. 有最小值，无最大值 B. 有最大值，无最小值C. 既有最小值又有最大值 D. 既无最小值，又无最大值【答案】D 【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】函数()21f x x =-的图像时是由2y x=向右平移1个单位形成，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数在[)(]2,11,6- 上既无最小值，又无最大值.故选：D8. 下列不等关系中，填“>”的是（ ）A 若a b >且11a b>，则ab ___0B. 若a b >且0ab <，则11b a -___0C. 若0a bc >>>，则b c a c++___ba D. 若0c ab >>>，则bc b -___ac a-【答案】C 【解析】【分析】应用不等式的性质及作差法判断即可.【详解】对A ，若a b >且11a b>，当0a b >>时，满足条件，但0ab <，A 错误；对B ，若a b >且0ab <，则0a b >>，则110b a-<，B 错误；对C ，若0a b c >>>，b c a c++()()()0()()b a b c b a c c a b a a a c a a c +-+--==>++，C 正确；对D ，若0c a b >>>，()()()0()()()()b a bc a a c b c b a c b c a c b c a c b c a -----==<------，D 错误.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列函数中，与y x =不是同一函数的是（ ）A. 2y =B. u =C. y =D. 2n m n=【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的解析式和定义域是否相同，依次判断即可.【详解】函数y x =的定义域为R ，对选项A：2y =定义域为[)0,∞+，不是同一函数；对选项B：u v ==，解析式不同，不是同一函数；对选项C：y x ==，定义域为R ，是同一函数；对选项D ：2n m n=定义域为()(),00,∞-+∞U ，不是同一函数；.故选：ABD.10. 若集合{}2|320A x x x =-+<，{}|0B x x a =<<，则能使A B ⊆成立的a 的值可能为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】CD 【解析】【分析】确定{}12A x x =<<，根据A B ⊆得到2a ≥，对比选项得到答案.【详解】{}{}2|32012A x x x x x =-+<=<<，{}|0B x x a =<<，A B ⊆，故2a ≥.故选：CD.11. 已知函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，下列说法正确的有（ ）A. 40k ≥B. 40k ≤C. 160k ≥D. 160k ≤【答案】BC 【解析】【分析】根据函数单调性得到58k ≤或208k≥，解得答案.【详解】函数()248f x x kx =--在[]5,20上具有单调性，则58k ≤或208k≥，解得40k ≤或160k ≥.故选：BC12. 下列说法正确的是（ ）A. 不等式212200x x -+>的解集为{2x x <或}10x >B. 不等式2560x x -+<的解集为{}|23x x <<C. 不等式29610x x -+>的解集为R D. 不等式22230x x -+->的解集为∅【答案】ABD 【解析】【分析】直接解不等式即可.【详解】对选项A ：等式212200x x -+>的解集为{2x x <或}10x >，故A 正确；对选项B ：不等式2560x x -+<的解集为{}|23x x <<，故B 正确；对选项C ：不等式29610x x -+>的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，故C 错误；对选项D ：不等式22230x x -+->，即215024x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解集为∅，故D 正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数()13f x x =+-的定义域是______.【答案】[2,3)(3,)⋃+∞【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠，所以()f x 的定义域为[2,3)(3,)⋃+∞.故答案为：[2,3)(3,)⋃+∞14. “不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立”，则k 的取值范围为________.【答案】30k -<≤【解析】【分析】对二次项系数分成等于0和不等于0两种情况进行讨论，对0k ≠时，利用二次函数的图象进行分析求解.【详解】当0k =时，不等式23320088kx kx +-<⇔-<对一切实数x 都成立，所以0k =成立；当0k ≠时，由题意得20,3Δ4(2)()0,8k k k <⎧⎪⎨=-⋅⋅-<⎪⎩解得：30k -<<；综上所述：30k -<≤.15. 若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式得3a b ab +=-≥，再解不等式可得结果.【详解】因为3a b ab +=-≥（当且仅当a b =时，等号成立），所以230--≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：916. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.当(]2.5,3x ∈-时，()y x f x =-的值域为______.【答案】[)0,1【解析】【分析】设x a b =+，其中a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，()y x f x b =-=，得到答案.【详解】设x a b =+，其中a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，33a -≤≤，01b ≤<，()[)0,1y x f x a b a b =-=+-=∈.故答案为：[)0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知全集{212}U x x =-<<，集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<.（1）求A B ⋃；（2）求()U A B ⋂ð.【答案】（1）{}0|21x x <<（2）{23x x <<或}710x ≤<【解析】【分析】（1）直接计算并集即可.（2）确定{23U A x x =-<<ð或712}x ≤<，再计算交集得到答案.【小问1详解】{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，{}|210x x A B <<⋃=；【小问2详解】.{212}U x x =-<<，{37}A x x =≤<，{23U A x x =-<<ð或712}x ≤<，又{}|210B x x =<<，(){23U A B x x ⋂=<<ð或}710x ≤<.18. 已知函数()24,0,2,04,2, 4.x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩（1）分别求()0f ,()5f ,()()()5f f f 的值；（2）若()8f a =，求a 的值.【答案】（1）()04f =，()53f =-，()()()51ff f =- （2）4a =【解析】【分析】（1）根据题意，由分段函数解析式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由分段函数解析式，分别讨论，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，()04f =，()53f =-，因为54>，所以()5523f =-+=-，因为30-<，所以()()()53341f f f =-=-+=，因为014<≤，所以()()()()2511211ff f f ==-⨯=-.【小问2详解】当0a ≤时，由()8f a =，可得48a +=，则4a =-（舍），当04a <≤时，由()8f a =，可得228a a -=，解得4a =或2a =-（舍），当4a >时，由()8f a =，可得28a -+=，则6a =-（舍），综上，4a =.19. 已知集合{}2A x m x m =-≤-≤，{2B x x =≤-或}4x ≥，R 为实数集．（1）若A B =R ，求实数m 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，且A ≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】19. [)4,+∞20. [)0,2【解析】【分析】（1）确定{}+2+2A x m x m =-≤≤，根据A B =R 得到2224m m -+≤-⎧⎨+≥⎩，解得答案.（2）确定A 是R B ð的非空真子集，得到2224m m -<-+≤+<，解得答案.【小问1详解】由不等式2m x m -≤-≤，解得22m x m -+≤≤+，则{}+2+2A x m x m =-≤≤，{2B x x =≤-或}4x ≥，A B =R ，则2224m m -+≤-⎧⎨+≥⎩，解得4m ≥，即实数m 的取值范围为[)4,+∞.【小问2详解】{2B x x =≤-或}4x ≥，{}R 24B x x =-<<ð，若“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，则A 是R B ð的真子集，又由题意知A ≠∅，所以A 是R B ð的非空真子集，2224m m -<-+≤+<，解得02m ≤<，所以实数m 的取值范围为[)0,2.20. 已知函数()0k f x x k x=+≠（）（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并证明.（2）若()36f =，根据函数单调性的定义证明函数()y f x =在区间(],3-∞-的单调性.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）确定函数定义域，计算()()f x f x -=-得到证明.（2）根据()36f =得到9k =，设123x x <≤-，计算()()120f x f x -<得到证明.【小问1详解】函数()y f x =为奇函数，函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()k k f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以函数()()0k f x x k x=+≠为奇函数.【小问2详解】函数()f x 在区间(],3-∞-上单调递增，()3363k f =+=，所以9k =，()9f x x x=+，设123x x <≤-，则()()()121212121212999x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=+-+=- ⎪⎝⎭123x x <≤-，所以120x x -<，120x x >，1290x x ->，于是()()120f x f x -<，故()()12f x f x <，所以函数()9f x x x=+在区间(],3-∞-上单调递增.21. 给定函数()()24,(2),R f x x g x x x =+=+∈.（1）在同一直角坐标系中画出函数()(),f x g x 的图像；（2） ()R,x M x ∀∈表示()(),f x g x 中的较大者，记为()()(){}max ,g M x f x x =.结合图像写出函数()M x 的解析式，并求()M x 的最小值.【答案】（1）图象见解析（2）()22(2),34,30(2),0x x M x x x x x ⎧+≤-⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，min ()1M x =【解析】【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可；（2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出()M x 的解析式和其最小值.【小问1详解】对于()4f x x =+，过(4,0),(0,4)-作一条直线即可得到()f x 的图象，对于()2(2),R g x x x =+∈是对称轴为2x =-，开口向上的抛物线，过(4,4),(3,1),(2,0),(1,1),(0,4)----作平滑曲线可得()g x 的图象，图象如图所示，【小问2详解】由2(2)4x x +=+，得2300x x x +=∴=或3x =-，结合图象，可得()M x 的解析式为()22(2),34,30(2),0x x M x x x x x ⎧+≤-⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，结合图象可知，当3x =-时，2min ()(32)1M x =-+=.22. 设矩形ABCD （AB ＞AD ）的周长为24cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB ＝x cm ，DP ＝y cm ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求△ADP 的最大面积及相应x的值．【答案】（1）7212(612)y x x=-<<（2）最大面积为108-，x =【解析】【分析】（1）设AB ＝x ，则12AD x =-，进而AP x DP =-，结合勾股定理计算即可求解；（2）由题意可得432108(6)ADP S x x =-+，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】设AB ＝x ，则24122AD x x =-=-，∵AB ＞AD ，∴x ＞12﹣x ，解得x ＞6，∴6＜x ＜12，由题意可知，DP PB '=，则AP AB PB AB DP x DP ''=-=-=-，在△ADP 中，由勾股定理可得，222(12)()x DP x DP -+=-，故7212DP y x==-，故y 与x 之间的函数关系式为7212(612)y x x =-<<．【小问2详解】1172432(12)(12)108(6)10810822ADP S AD DP x x x x =⋅=--=-+≤-=- ,当且仅当4326x x =即x =。
2023-2024学年天津四十七中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津四十七中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共9个小题，每题5分，共45分）1．设全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，2}，B ＝{﹣2，1}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，1，2}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．{﹣1，0}D ．{0}2．设a ，b ∈R ，且a ＞b 则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a ＜1bB ．a 3＞b 3C ．|a |＞|b |D ．ac ＜bc3．“x ＞1”是“1x＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)={3x +1，x ＜2，x 2+ax ，x ≥2，若f(f(23))=−6，则实数a ＝（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣6D ．65．若函数f(x)=√ax 2−ax +1的定义域为R ，则a 的范围是（ ） A ．（0，4]B ．[0，4）C ．[0，4]D ．（0，4）6．函数f(x)=(m 2−m −1)x m2−2m−3是幂函数，且在x ∈(0，+∞)上是减函数，则实数m ＝（ ）A ．2或﹣1B ．﹣1C ．3D ．27．函数f(x)=x 1+x 2−12x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若f （x ）是偶函数，且∀x 1，x 2∈[0，+∞）都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，若f （﹣2）＝1，则不等式f （x ﹣1）﹣1＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（1，3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣3，﹣1）9．已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a （a ＞0），若对于任意的实数x 有f （x ﹣2）≤f （x ）成立，则正数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．[12，+∞)C ．（0，1]D ．(0，12]二、填空题：（本大题共6小题．每题5分，共30分）10．下列函数中，哪些函数既是奇函数又是增函数 ．（填写序号） ①y ＝x 2； ②y =−1x；③y ＝x 3； ④y ＝x 2+2|x |+1； ⑤y ＝x +1； ⑥y =x 1311．若命题“∃x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为 ． 12．设函数f(x)=√x −2，则f(x 2)+f(10x)的定义域为 ．．13．若函数f(x)={x 2+ax，x ＞1(4−a2)x +2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ．14．函数f(x)=2x +√x −1的值域是 ． 15．已知k ∈R ，函数f(x)={k 2−kx ，x ＜2x 2−kx ，x ≥2．①若f [f （k ）+1]＝2，则k ＝ ；②若不等式f （x ）＞f （2）对任意x ≠2都成立，则k 的取值范围是 ． 三、解答题．本大题共5小题，75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤a ﹣2或x ≥a }，B ＝{x |x 2﹣5x ＜0}． （Ⅰ）当a ＝1时，求A ∩B ，A ∪B ，（∁U A ）∩B ； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 17．（12分）已知函数f(x)={x 2，x ≤04−2x ，x ＞0．（1）画出f （x ）的大致图象；（2）若x ∈[﹣2，3]，求f （x ）的最大值和最小值；（3）当f （x ）≥2时，求实数x 的取值范围．18．（15分）（1）若x ＞2，求1x−2+x 的最小值．（2）已知0＜x ＜12，求12x(1−2x)的最大值．（3）x ＞0，y ＞0，且满足1x +2y=2，若2x +y ≥k 2﹣1恒成立，求k 的取值范围．19．（18分）已知函数f （x ）＝mx 2﹣（a +b ）x +2a ．（1）若f （x ）是二次函数，过点（0，2），顶点坐标为（1，4），求f （x ）解析式；（2）当m ＝1，b ＝2时，若函数f （x ）在[﹣2，1]上为单调递增函数，求实数a 的取值范围； （3）若关于x 的不等式f （x ）＞0的解集为（﹣a ，2），求不等式bx 2+2（a +1）x +2am ≤0的解集（所求解集要求用区间的形式来表示）． 20．（18分）已知函数f(x)=x 2+x+a x．（1）若g （x ）＝f （x ）﹣1判断g （x ）的奇偶性并加以证明． （2）当a =12时，①用定义法证明函数f （x ）在[1，+∞）上单调递增，再求函数f （x ）在[1，+∞）上的最小值． ②设h （x ）＝kx +5﹣2k ，若对任意的x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）≤h （x 2）成立，求实数k 的取值范围．2023-2024学年天津四十七中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共9个小题，每题5分，共45分）1．设全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，2}，B ＝{﹣2，1}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，1，2}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．{﹣1，0}D ．{0}解：因为全集U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A ＝{﹣2，2}，B ＝{﹣2，1}， 所以A ∪B ＝{﹣2，1，2}，所以∁U （A ∪B ）＝{﹣1，0}， 故选：C ．2．设a ，b ∈R ，且a ＞b 则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a ＜1bB ．a 3＞b 3C ．|a |＞|b |D ．ac ＜bc解：当a ＝1，b ＝﹣1时，AC 显然错误； 当c ＝0时，D 显然错误，由a ＞b 可得a 3＞b 3一定成立，B 正确． 故选：B ．3．“x ＞1”是“1x＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为1x ＜1，所以1−xx＜0，∴x （1﹣x ）＜0，∴x （x ﹣1）＞0，∴x ＜0或x ＞1，当x ＞1时，x ＜0或x ＞1一定成立，所以“x ＞1”是“1x ＜1”的充分条件；当x ＜0或x ＞1时，x ＞1不一定成立，所以“x ＞1”是“1x ＜1”的不必要条件．所以“x ＞1”是“1x＜1”的充分不必要条件．故选：A ．4．已知函数f(x)={3x +1，x ＜2，x 2+ax ，x ≥2，若f(f(23))=−6，则实数a ＝（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣6D ．6解：根据题意，函数f(x)={3x +1，x ＜2，x 2+ax ，x ≥2，则f （23）＝3×23+1＝3，则f （f （23））＝f （3）＝9+3a ，若f(f(23))=−6，即9+3a ＝﹣6，解可得a ＝﹣5，故选：A ．5．若函数f(x)=√ax 2−ax +1的定义域为R ，则a 的范围是（ ） A ．（0，4]B ．[0，4）C ．[0，4]D ．（0，4）解：∵函数f(x)=√ax 2−ax +1的定义域为R ， ∴ax 2﹣ax +1≥0对任意实数x 恒成立， 若a ＝0，不等式化为1≥0恒成立；若a ≠0，则{a ＞0(−a)2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上所述，a 的范围是[0，4]． 故选：C ．6．函数f(x)=(m 2−m −1)x m2−2m−3是幂函数，且在x ∈(0，+∞)上是减函数，则实数m ＝（ ）A ．2或﹣1B ．﹣1C ．3D ．2解：∵f(x)=(m 2−m −1)x m2−2m−3是幂函数，可得m 2﹣m ﹣1＝1，解得m ＝2或m ＝﹣1， 若m ＝2可得f （x ）＝x ﹣3=1x 3，在（0，+∞）上为减函数； 若m ＝﹣1可得，f （x ）＝x 0＝1，不满足在（0，+∞）上为减函数； 综上m ＝2， 故选：D ． 7．函数f(x)=x 1+x 2−12x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意可知f （x ）的定义域为R ， 又因为f （﹣x ）=−x 1+(−x)2−12（﹣x ）=−x 1+x 2+12x ＝﹣（x 1+x 2−12x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，故排除C ，D ； 因为f （x ）=x 1+x 2−x 2=x(1−x 2)2(x 2+1)，当x ＞0时，令f （1）＝0，当x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，图象位于x 轴上方； 当x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，图象位于x 轴下方； 所以只有A 选项符合题意． 故选：A ．8．若f （x ）是偶函数，且∀x 1，x 2∈[0，+∞）都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，若f （﹣2）＝1，则不等式f （x ﹣1）﹣1＜0的解集为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（1，3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣3，﹣1）解：∵f （x ）是偶函数，且∀x 1，x 2∈[0，+∞）都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，∴f （x ）是[0，+∞）上的增函数， 又f （﹣2）＝1＝f （2），∴f （x ﹣1）﹣1＜0可化为f （x ﹣1）＜1＝f （2）， ∴|x ﹣1|＜2，解得﹣1＜x ＜3． 故选：C ．9．已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a （a ＞0），若对于任意的实数x 有f （x ﹣2）≤f （x ）成立，则正数a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．[12，+∞)C ．（0，1]D ．(0，12]解：∵a ＞0，∴x ≥0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a ={x −2a ，x ＞a−x ，0≤x ≤a ，且f （x ）是R 上的奇函数，∴画出f （x ）的图象如图所示：∵对任意的实数x ，有f （x ﹣2）≤f （x ）成立，∴a ﹣（﹣3a ）≤2，解得0＜a ≤12，∴正数a 的取值范围为（0，12]．故选：D ．二、填空题：（本大题共6小题．每题5分，共30分）10．下列函数中，哪些函数既是奇函数又是增函数 ③⑤ ．（填写序号） ①y ＝x 2 ②y =−1x③y ＝x 3 ④y ＝x 2+2|x |+1 ⑤y ＝x +1 ⑥y =x 13解：①y ＝x 2为偶函数，不符合题意； ②y =−1x在定义域内不单调，不符合题意；③y ＝x 3为奇函数且在定义域R 上单调递增，符合题意； ④y ＝x 2+2|x |+1为偶函数，不符合题意； ⑤y ＝x +1为非奇非偶函数，不符合题意； ⑥y =x 13为定义域R 上的单调递增的奇函数，符合题意．故答案为：③⑤．11．若命题“∃x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为 [﹣1，3] ． 解：命题“∃x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，使x 2+（a ﹣1）x +1≥0”即：Δ＝（a ﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a ≤3． 故答案为：[﹣1，3]．12．设函数f(x)=√x −2，则f(x 2)+f(10x)的定义域为 [4，5] ．解：由x ﹣2≥0，得x ≥2，即f （x ）的定义域为[2，+∞）， 则{x2≥210x≥2，解得4≤x ≤5．∴f(x 2)+f(10x)的定义域为[4，5]．故答案为：[4，5]． 13．若函数f(x)={x 2+ax，x ＞1(4−a2)x +2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 [103，8） ．解：因为函数f(x)={x 2+ax，x ＞1(4−a2)x +2，x ≤1是R 上的增函数，所以{−12a ≤14−12a ＞01+a ≥4−12a +2，解得103≤a ＜8．故答案为：[103，8）．14．函数f(x)=2x +√x −1的值域是 [2，+∞） ． 解：由x ﹣1≥0，得x ≥1，又y =√x −1为[1，+∞）上的增函数，y ＝2x 在[1，+∞）上也是增函数， ∴f （x ）＝2x +√x −1是[1，+∞）上的增函数，则f （x ）min ＝2，∴函数f （x ）＝2x +√x −1的值域为[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）．15．已知k ∈R ，函数f(x)={k 2−kx ，x ＜2x 2−kx ，x ≥2．①若f [f （k ）+1]＝2，则k ＝ ﹣1或2 ；②若不等式f （x ）＞f （2）对任意x ≠2都成立，则k 的取值范围是 [2，4] ． 解：①当k ＜2时，f （k ）＝k 2﹣k 2＝0，则f [f （k ）+1]＝f （1）＝k 2﹣k ＝2，解得k ＝﹣1（或2舍去）；当k ≥2时，f （k ）＝k 2﹣k 2＝0，则f [f （k ）+1]＝f （1）＝k 2﹣k ＝2，解得k ＝2（或﹣1舍去）； 综上，可得k ＝﹣1或2；②当x ＞2时，f （x ）＝x 2﹣kx ，原不等式即为x 2﹣kx ＞4﹣2k ，即k ＜x +2对x ＞2恒成立， 由x +2＞4，可得k ≤4；当x ＜2时，f （x ）＝k 2﹣kx ，原不等式即为k 2﹣kx ＞4﹣2k ，即kx ＜k 2+2k ﹣4对x ＜2恒成立， 若k ＝0，即有0＜﹣4不成立； 若k ＞0，则2k ≤k 2+2k ﹣4，解得k ≥2； 若k ＜0，kx ＜k 2+2k ﹣4对x ＜2不恒成立． 综上，可得k 的取值范围是[2，4]． 故答案为：﹣1或2；[2，4]．三、解答题．本大题共5小题，75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤a ﹣2或x ≥a }，B ＝{x |x 2﹣5x ＜0}． （Ⅰ）当a ＝1时，求A ∩B ，A ∪B ，（∁U A ）∩B ； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）当a ＝1时，A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥1}，B ＝{x |x 2﹣5x ＜0}＝{x |0＜x ＜5}， 则∁U A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜5}，A ∪B ＝{x |x ≤﹣1或x ＞0}，（∁U A ）∩B ＝{x |0＜x ＜1}； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，因为B ＝{x |x 2﹣5x ＜0}＝{x |0＜x ＜5}，所以a ﹣2≥5或a ≤0，解得a ≥7或a ≤0， 故实数a 的取值范围为（﹣∞，0]∪[7，+∞）． 17．（12分）已知函数f(x)={x 2，x ≤04−2x ，x ＞0．（1）画出f （x ）的大致图象；（2）若x ∈[﹣2，3]，求f （x ）的最大值和最小值； （3）当f （x ）≥2时，求实数x 的取值范围．解：（1）当x ≤0时，f （x ）＝x 2，图象为抛物线的一部分， 当x ＞0时，f （x ）＝4﹣2x ，图象为直线的一部分， 列出表格，如下：描点，连线可得：（2）x ∈[﹣2，3]，由图象可知：当x ＝﹣2时，f （x ）取得最大值，最大值为4，当x ＝3时，f （x ）取得最小值，最小值为﹣2； （3）当x ≤0时，f （x ）＝x 2，令x 2≥2，解得：x ≤−√2， 当x ＞0时，f （x ）＝4﹣2x ，令4﹣2x ≥2，解得：0＜x ≤1， 综上：实数x 的取值范围是(−∞，−√2]∪(0，1]． 18．（15分）（1）若x ＞2，求1x−2+x 的最小值．（2）已知0＜x ＜12，求12x(1−2x)的最大值．（3）x ＞0，y ＞0，且满足1x +2y =2，若2x +y ≥k 2﹣1恒成立，求k 的取值范围．解：（1）若x ＞2，则1x−2+x =1x−2+x −2+2≥2√(x −2)⋅1x−2+2＝4，当且仅当x ﹣2=1x−2，即x ＝3时取等号， 故1x−2+x 的最小值为4；（2）因为0＜x ＜12，所以12x(1−2x)=x （12−x ）≤（x+12−x 2）2=116，当且仅当x =12−x ，即x =14时取等号，故12x(1−2x)的最大值为116； （3）x ＞0，y ＞0，且满足1x +2y=2， 所以2x +y =12（2x +y ）（1x +2y）=12（4+y x +4x y ）≥12(4+2√y x ⋅4x y )=4， 当且仅当y ＝2x 且1x +2y=2，即x ＝1，y ＝2时取等号， 若2x +y ≥k 2﹣1恒成立，则4≥k 2﹣1，所以−√5≤k ≤√5，故k 的取值范围为[−√5，√5]．19．（18分）已知函数f （x ）＝mx 2﹣（a +b ）x +2a ．（1）若f （x ）是二次函数，过点（0，2），顶点坐标为（1，4），求f （x ）解析式；（2）当m ＝1，b ＝2时，若函数f （x ）在[﹣2，1]上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的不等式f （x ）＞0的解集为（﹣a ，2），求不等式bx 2+2（a +1）x +2am ≤0的解集（所求解集要求用区间的形式来表示）．解：（1）由于函数f （x ）过点（0，2），代入得f （0）＝2a ＝2，解得a ＝1，由于顶点坐标为（1，4），得{a+b 2m =1m −(a +b)+2a =4，解得m ＝﹣2，b ＝﹣5， 故f （x ）＝﹣2x 2+4x +2．（2）将m ＝1，b ＝2代入函数解析式得f （x ）＝x 2﹣（a +2）x +2a ，易知：二次函数开口向上，且对称轴为x =a+22， 由于函数f （x ）在[﹣2，1]上为单调递增函数，故a+22≤−2解得a ≤﹣6，即实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣6]． （3）由于mx 2﹣（a +b ）x +2a ＞0的解集为（﹣a ，2），得{−a +2=a+b m −2a =2a m，其中m ＜0，a ＞﹣2； 当a ＝0时，由方程{−a +2=a+b m −2a =2a m，解得b ＝2m ＜0， 代入不等式bx 2+2（a +1）x +2am ≤0，得2mx 2+2x ≤0（m ＜0），解得x ≤0或x ≥−1m， 即解集为（﹣∞，0]∪[−1m，+∞)，当a ≠0时，由方程{−a +2=a+b m −2a =2a m解得{m =−1b =−2， 代入不等式bx 2+2（a +1）x +2am ≤0，得﹣2x 2+2（a +1）x ﹣2a ≤0，即（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0，当a ∈（﹣2，0）∪（0，1）时，解得x ≤a 或x ≥1，即不等式的解集为（﹣∞，a ]∪[1，+∞）； 当a ＞1时，解得x ≤1或x ≥a ，即不等式的解集为（﹣∞，1]∪[a ，+∞）；当a ＝1时，不等式的解集为R ．综上所述：当a ＝0时，不等式的解集为（﹣∞，0]∪[﹣m ，+∞）；当a ∈（﹣2，0）∪（0，1）时，不等式的解集为（﹣∞，a ]∪[1，+∞）；当a ＞1时，不等式的解集为（﹣∞，1]∪[a ，+∞）；当a ＝1时，不等式的解集为R ．20．（18分）已知函数f(x)=x 2+x+a x． （1）若g （x ）＝f （x ）﹣1判断g （x ）的奇偶性并加以证明．（2）当a =12时， ①用定义法证明函数f （x ）在[1，+∞）上单调递增，再求函数f （x ）在[1，+∞）上的最小值． ②设h （x ）＝kx +5﹣2k ，若对任意的x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）≤h （x 2）成立，求实数k 的取值范围．解：（1）g （x ）=x +a x，该函数是奇函数， 证明：首先定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，g （﹣x ）=−x −a x =−（x +a x）＝﹣g （x ），故该函数为奇函数． （2）由已知得f(x)=x +12x +1，x ≠0， ①证明：任取1≤x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）=x 1+12x 1+1−(x 2+12x 2+1)=x 1−x 2+12x 1−12x 2 =(x 1−x 2)(1−12x 1x 2)=(x 1−x 2)2x 1x 2−12x 1x 2①， 因为1≤x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，2x 1x 2﹣1＞0，故①式小于零，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）上单调递增，所以f （x ）min ＝f （1）=52； ②由题意知，只需f （x ）max ≤h （x ）max ，由①知，f（x）在[1，2]上递增，故f（x）max＝f（2）=13 4，k＝0时，h（x）＝5，显然成立；k≠0时，h（x）在[0，1]上是增函数或减函数，故只需h（0）＝5﹣2k≥134，或h（1）＝5﹣k≥134，解得k≤74，故实数k的取值范围是（﹣∞，74 ]．。
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高一上期中联考数学试卷(有答案)高中一年级 数学注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。
考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。
交卷时只交机读卡和答题卷。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}|A x x =是平行四边形,{}|B x x =是矩形,{}|C x x =是正方形,{}|D x x =是菱形,则 A ．A B ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆D ．A D ⊆ 2、函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞,＋∞)上是减函数，则A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123、给出函数①21)(x x f =；②x x f lg )(2=；③22x x y -=-；④x x y -+=22.其中是偶函数的有A.4个B.3个C.2个D.1个 4、下列函数中与函数f (x )=x 相同的是A.()2f x = B.()f x = C.()2x f x x = D. ()f x =5、函数21(0)x y a a a -=+>≠且1的图象必经过点A ．(2,2)B ．(2,0)C ． (1,1)D ． (0,1) 6、设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是A. ·log log log a c c b a b =B.·log lo log g a a a b a b = C.()log og g l lo a a a b c bc = D.()log g og o l l a a a b b c c +=+ 7、下列函数中，满足“对任意的12,,x x R ∈当12x x <时，都有()()12f x f x <”的是A.2log y x =B.1y x=- C.2=x y D.y ＝x 28、已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是A.80>xB.00<x 或80>xC.800<<xD.00<x 或800<<x9、为了求函数()237x f x x =+-的零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值（精确度0.1）如下表所示则方程237x +=的近似解（精确到0.1）可取为A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.210、函数()x x f x =-331的图象大致是11、已知函数3()4f x ax bx =++(,)a b R ∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =A ．3-B ．1-C ．3D ．412、设11322.50.3,log 1.7,0.2a b c -===，则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、若x =32，则x ＝ .14、已知集合11,2,,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭{}2,,B y y x x A ==∈A B = .15、已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为 ． 16、函数()f x 的图像在区间[,]a b 上连续不断，且函数()f x 在(,)a b 内仅有一个零点,则乘积()()f a f b ⋅的符号为 . 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）已知全集U=R，函数3log (4)y x =-的定义域为集合A. （1）求集合A;（2）集合{}|210B x x =<≤,求韦恩图中阴影部分表示的集合C. 18、（本小题满分12分）（1）化简0,0)a b >>(结果写成分数指数幂形式);（2）计算log 2748＋log 212－12log 242的值. 19、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3, x ∈[－2,3]. （1）当a ＝2时，求函数f (x )的值域；（2）若函数f (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．第15题图20、（本小题满分12分）设函数()xf x x =-+142. （1）用定义证明)(x f 在(,)-+∞2上是增函数； （2）求)(x f 的零点的个数. 21、（本小题满分12分）设函数,(),x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩224040. （1）画出)(x f 的图象,根据图象直接写出()f x x >的解集（用区间表示）； （2）判断函数)(x f 的奇偶性,并说明理由.22、（本小题满分12分）我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的,某市用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量am 3时,只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c 元;若用水量超过am 3时,除了付同上的基本费和损耗费外,超过部分每1m 3付b 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示:2014—2015学年上学期期中联考高一数学参考答案一、选择题BDCD ABCA BCCA二、填空题 13、3log 2 14、11,,1,2,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭15、101()212x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩16、不确定三、解答题 17、 解：（Ⅰ）由题得1040x x +≥⎧⎨->⎩,解得14x -≤< ∴{}|14A x x =-≤<………………………………4分（Ⅱ）由韦恩图知阴影部分表示的集合C ()U C A B =……………………6分 又由（Ⅰ）得{}|14U C A x x x =<-≥或∴C ()U C A B =={} 41|≥-<x x x 或{}102|≤<x x ={}104|≤≤x x ………10分 18、解：（1）原式==11463a b -……………………6分（2）原式=222712111148log log 242222⨯==-…………………………12分19、解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.….……………………6分(2)函数 f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3的对称轴为x ＝－2a －12.∴函数f (x )在区间(-∞－2a －12)单调递减,在区间 (－2a －12,+∞)单调递增.又∵ f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3, x ∈[－2,3] 存在单调递减区间……………10分 ∴－2a －12>-2 解得52a < .…………………12分 20、证明：设122x x >>-，则1111()42xf x x =-+，2221()42x f x x =-+ 所以)()(21x f x f -=11142x x -+221(4)2x x --+=12121244(2)(2)x x x x x x --+++…3分 021>>x x ，4x y =是增函数∴121212440,0(2)(2)x x x x x x -->>++，∴0)()(21>-x f x f ∴)(x f 在(,)-+∞2上是增函数。
…………….……………………6分⑵、函数()xf x x =-+142的定义域为x R ∈且2x ≠-当(,)x ∈-+∞2时121112()40122322f --=-=-<-+，11(0)1022f =-=> ∴1()(0)02f f -<∴)(x f 在区间1(,0)2-内有零点………………….……………………10分又由⑴知)(x f 在(,)-+∞2上是增函数，∴)(x f 在(,)-+∞2内仅有一个零点。
又x <-2时, 1()402x f x x =->+ ∴ ()f x 的零点的个数为1. …….………………….……………………12分 21、⑴、图象略; …….………………….……………………4分()f x x >的解集为(－5,0)∪(5，＋∞) …….………………….……………………6分⑵、当0x >时, 0x -<,22()()4()4()f x x x x x f x -=----=-+=--……………8分 当0x =时, 22(0)(0)400(0)4(0)(0)f f =-⨯==--+-=-- 当0x <时, 0x ->,22()()4()4()f x x x x x f x -=---=+=-- ∴对任意的x R ∈有()()f x f x -=--成立∴结合奇函数的定义知()f x 为奇函数….……………………12分 22、设每月用水量为xm 3，支付费用为y 元，则有：80(1)8()(2)c x a y b x a c x a +≤≤⎧=⎨+-+>⎩…………….……………………3分 由表知第二、第三月份的水费均大于13元， 故用水量15m 3，22m 3均大于最低限量am 3，于是就有 198(19)338(22)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩，解之得b=2，从而2a=c+19 （3）…………….……………………8分 再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am 3，不妨设9＞a ，将x=9代入（2）得9=8+2（9-a ）+c ，即2a=c+17， 这与（3）矛盾．∴9≤a ．从而可知一月份的付款方式应选（1）式， 因此，就有8+c=9，得c=1．故a=10，b=2，c=1．…………….……………………12分。