相似三角形添加辅助线的方法举例有答案

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相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线 段或出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下 几种: 一、添加平行线构造“ A “ X 型例1:如图,D 是厶ABC 的 BC 边上的点,BD DC=2 1,E 是AD 的中 BE EF 的值. 解法一:过点D 作CA 的平行线交BF 于点P,贝U ••• PE=EF BP=2PF=4E 所以 BE=5EF : BE: EF=5 1.解法二:过点 D 作BF 的平行线交AC 于点Q, ••• BE EF=5: 1. E 作BC 的平行线交AC 于点S , E 作AC 的平行线交BC 于点T ,BCC 边上的点',,BD DC=2 1, E 是 AD 的中点,求AF: CF 的值.D 作CA 的平行线交 D 作BF 的平行线交E 作BC 的平行线交 E 作AC 的平行线交 ABC 的 AB 边和AC 边上各取一点D 和 使 AD= AE, DE 延长线与BC 延长线相交于F ,求证: (证明:过点C 作CG//FD 交AB 于G ) 例 3:女口图,△ ABC 中, ABvAC 在 AB AC 上分别截取 BD=CE DE, BC 长线相交于点F ,证明:AB- DF=AC EF. 分析:证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对 比例来证明。

不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间 得到,为构造相似三角形,需添加平行线。

• 方法一:过E 作EM//AB,交BC 于点M 则厶EM OAABC (两角等,两三角形相似)•方法二:过D 作DN//EC 交BC 于 N.解法三:过点 解法四:过点 BE _BT ; 点,求: 变式:T 如'图,D 是厶ABC 的F, 过点 过点 过点 过点 解法一 解法二 解法三 解法四 例2:如图,在△ 和厶EFB 相似, ••• BE EF=5 1. 连结BE 并延长交AC 于BF 于点 AC 于点 AC 于点BC 于点 P, Q s,T ,应边成比代换 例4:在厶ABC 中, D 为AC 为CB 延长线上的一点, AB 于 F 。

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

第2讲 相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时,常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件,在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种:一、作平行线一、作平行线例1. 如图,D A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ,且使AD =AE ,DE 延长线与BC 延长线相交于F ,求证:BF CF BDCE=例2. 如图,△ABC 中,AB<AC ,在AB 、AC 上分别截取BD=CE ,DE ,BC 的延长线相交于点F , 证明:AB ·DF=AC ·EF 。

二、作垂线二、作垂线例3. 已知:如图两个等积ABC D 、DBC D ,若AC 、BD 交于E ,EF ∥AB ,EG ∥CD ,分别交BC 于F 、G ,求证:CF=BG 。

如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证:例 4. 如图从2AB=AEACADAF×。

+×三、作延长线三、作延长线例5. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的的面积。

面积为21,求△HBC的面积。

例6. 如图,Rt D ABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FG^AB于G,求证:FG2=CF·BF 四、作中线四、作中线D中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。

例7 如图,ABC动点题型1、如图正方形ABCD的边长为2,AE=EB,线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动,且MN=1,当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似?为顶点的三角形相似?2、如图,正方形ABCD的边长为2,AE AE==EB EB,,MN MN==1,线段MN的两端在CB CB、、CD上滑动,当CM为何值时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似?为顶点的三角形相似?H EDCBAP3、如图,矩形ABCD 中,E 为BC 上一点,DF ⊥AE 于F . (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗?请说明理由. (2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF 的长。

2023年沪科版九年级上册数学第22章相似形方法技巧专题 相似三角形的辅助线添作技巧

2023年沪科版九年级上册数学第22章相似形方法技巧专题 相似三角形的辅助线添作技巧

A.
6 3
B.
5 3
C.236
D.235
-6-
【方法技巧专题】 相似三角形的辅助线添作技巧
4.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在
一起,E为AD的中点,连接BE交AC于点F,则AAFC

3 5.-7- Nhomakorabea【方法技巧专题】 相似三角形的辅助线添作技巧
类型3 巧添垂线段构造相似三角形 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,D为边AB的中 点,M,N分别为边AC,BC上的点,且DM⊥DN. (1)求证:DDMN = BACC; (2)若BC=6,AC=8,CM=5, 求CN的长.
解:过点C作CP∥AB,交FD于点P.
∵CD=BC,CP∥AB,∴CP=12BF.
∵F为AB的中点,∴BF=AF,∴ACFP = 12. ∵CP∥AB,∴△AEF∽△CEP,
∴ACEE

ACFP=2,∴AACE

AE AE+CE

23.
-5-
【方法技巧专题】 相似三角形的辅助线添作技巧
类型2 巧连(或延长)线段构造相似三角形 3.[2022·芜湖二模]已知正方形ABCD的边长为1,E 为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD 交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则 BG的长为( D )
【方法技巧专题】 相似三角形的辅助 线添作技巧
【方法技巧专题】 相似三角形的辅助线添作技巧
本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三 角形,运用相似三角形的知识来解决数学问题.添 作辅助线的方法有:添作平行线、添作垂线、连接 线段等.
-2-
【方法技巧专题】 相似三角形的辅助线添作技巧
类型1 巧添平行线构造相似三角形

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。

而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。

专题一、添加平行线构造“A"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。

定理得基本图形:例1、平行四边形ABCD中,E为AB中点,AF:FD=1:2,求AG:GC变式练习:已知在△ABC中,AD就是∠BAC得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想)例2、如图,直线交△ABC得BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若==2,求BE:EA得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BE:E A得比值。

例3、BE=AD,求证:EF·BC=AC·DF变式1、如图,△ABC中,AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC得延长线相交于点F,证明:AB·DF=AC·EF。

例4、已知:如图,在△ABC中,AD为中线,E在AB上,AE=AC,CE交AD于F,EF∶FC=3∶5,EB=8cm,求AB、AC得长、变式:如图,,求。

(试用多种方法解)说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形得方法与技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.总结:(1)遇燕尾,作平行,构造字一般行。

(2)引平行线应注意以下几点:1)选点:一般选已知(或求证)中线段得比得前项或后项,在同一直线得线段得端点作为引平行线得EF EF EFEF点。

2)引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形例1、,,那么吗?试说明AC BD AC BC CA CD ⊥=⋅22理由?(用多种解法)v变式练习:平行四边形ABC D中,CE ⊥A E,CF ⊥AF,求证:A B·AE+AD ·AF=AC 2例2、如图,RtA BC 中,CD 为斜边AB 上得高,E 为CD 得中点,AE 得延长线交B C于F,FG AB 于G,求证:FG =CFBF【练习】1.如图,一直线与△ABC 得边AB,AC 及BC 得延长线分别交于D,E,F 。

中考相似三角形之常用辅助线

中考相似三角形之常用辅助线

中考相似三角形之常用辅助线Revised on November 25, 2020相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间的比例关系,或者转移线段或角。

而有些时候,这样的相似三角形在问题中,并不是十分明显。

因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需的结论。

专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.定理的基本图形: 例1、平行四边形ABCD 中,E 为AB 中点,AF :FD =1:2,求AG :GC变式练习:已知在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线.求证:. (本题有多种解法,多想想)例2、如图,直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若DCBD =FA FC=2,求BE:EA 的比值.变式练习:如图,直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC = FEED =2,求BE:EA 的比值.例3、BE =AD ,求证:EF ·BC =AC ·DF变式1、如图,△ABC 中,AB<AC ,在AB 、AC 上分别截取BD=CE ,DE ,BC 的延长线相交于点F ,证明:AB·DF=AC·EF 。

例4、已知:如图,在△ABC 中,AD 为中线,E 在AB 上,AE=AC ,CE 交AD 于F ,EF ∶FC=3∶5,EB=8cm,求AB 、AC 的长.变式:如图,21==DE AE CD BD ,求BFAF。

(试用多种方法解)CDBDAC AB =A B CEF A B C EF A BCEF A BC EF说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔. 总结:(1)遇燕尾,作平行,构造 字一般行。

初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!

初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!

初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!1.垂线:对于任意三角形ABC,可以从顶点A引一条垂线AD,垂足D位于BC边上。

通过垂线可以将三角形分成两个直角三角形,进而使用直角三角形的性质解决问题。

2.中线:对于任意三角形ABC,可以从任意两个顶点A和B引两条中线CD和EF,其中C和D是AB边的中点,E和F是AC边和BC边的中点。

通过中线可以将三角形分成三个等边三角形,进而使用等边三角形的性质解决问题。

3.角平分线:对于任意三角形ABC,可以从顶点A引一条角平分线AD,使得∠CAD=∠BAD。

通过角平分线可以将一个角平分成两个相等的角,从而使用相等角的性质解决问题。

4.内切圆:对于任意三角形ABC,可以画出其内切圆,该圆与三角形的三条边都相切。

通过内切圆可以获得三个切点,进而使用切点的性质解决问题。

5.外切圆:对于任意三角形ABC,可以画出其外切圆,该圆与三角形的三条边都相切。

通过外切圆可以获得三个切点,进而使用切点的性质解决问题。

6.高线:对于任意三角形ABC,可以从顶点A引一条高线AH,垂足H位于BC边上。

通过高线可以将三角形分成两个直角三角形,进而使用直角三角形的性质解决问题。

7.中位线:对于任意三角形ABC,可以从任意两个顶点A和B引两条中位线CD和EF,其中C和D是AB边的中点,E和F是AC边和BC边的中点。

通过中位线可以将三角形分成三个面积相等的三角形,进而使用面积相等的性质解决问题。

8.三角形的对称性:对于任意三角形ABC,可以观察到三个顶点关于其中一条边的对称性,根据这种对称性可以找到一些相等的角或边,从而简化问题的解决。

9.倒错:对于任意三角形ABC,可以考虑将这个三角形倒转或翻转,从而改变三角形的位置和形态,进而简化问题的解决。

10.几何图形的组合:对于给定的三角形ABC,可以考虑将它与其他几何图形进行组合,例如,与一个正方形、矩形或平行四边形组合,从而改变问题的形式,解决新问题。

小专题(六) 相似三角形的辅助线添作技巧

小专题(六) 相似三角形的辅助线添作技巧

小专题(六) 相似三角形的辅助线添作技巧本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三角形,运用相似三角形的知识来解决数学问题.添作辅助线的方法有:添作平行线、添作垂线、连接线段等.类型1 巧添平行线求线段的比1.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在BC ,AC 上,BE 与AD 交于点F ,且BD=DC ,AE ∶AC=1∶3,求AFFD 的值.解:过点A 作AG ∥BC 交BE 的延长线于点G ,那么△AEG ∽△CEB ,△AFG ∽△DFB ,∴AG BC =AE EC =12,又BD=DC , ∴AG=BD ,∴AFFD =AGBD =1.2.如图,在▱ABCD 中,E 是BC 的中点,在AB 上截取BF=12FA ,EF 交BD 于点G ,求BG ∶GD 的值.解:过点E 作EM ∥AB 交BD 于点M ,那么△BFG ∽△MEG ,∴BGGM =BFEM .∵AB ∥CD ,∴EM ∥CD ,∵BE=EC ,∴BM=MD ,∴EM=12CD ,∵BF=12FA ,∴BF=13AB , ∵AB=CD ,∴BFEM =BGGM =23,∵BM=MD ,∴BG ∶GD=2∶8=1∶4.类型2 巧连线段证线段之间的关系3.如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 中点,以M 为顶点作∠BMN=∠MBC ,MN 交CD 于点N. 求证:DN=2NC.解:延长MN ,BC 交于点E ,连接MC ,设AB=2a ,那么AM=a ,BM=√5a.由△BAM≌△CDM,那么BM=MC,且∠BCM=∠CBM=∠BMN.∴△BMC∽△BEM.∴BMBE =BCBM,即√5aBE=√5a,∴BE=52a,∴CE=BE-BC=52a-2a=12a.∵四边形ABCD为正方形,∴∠D=∠DCB=90°,即∠D=∠NCE=90°.∵∠DNM=∠CNE,∴△MDN∽△ECN,∴DNNC =MDCE=a12a=2,即DN=2NC.4.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处(AE为折痕,点E在CD上),在AD上截取DG,使DG=CF.求证:(1)△ABF∽△FCE;(2)BD⊥GE.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°,∴∠BAF+∠BFA=90°,由折叠的性质可得∠AFE=∠ADC=90°,∴∠CFE+∠BFA=90°,∴∠BAF=∠CFE,∴△ABF∽△FCE.(2)由(1)知EFAF =FCAB,又EF=ED,AF=AD,FC=GD,∴DEAD=GDAB.又∵∠BAD=∠GDE=90°,∴△BAD∽△GDE,∴∠ADB=∠DEG,又∠ADB+∠BDC=90°,∠DEG+∠BDC=90°,∴BD⊥GE.类型3巧添垂线求线段的长5.如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,点F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,求MN的长.解:过点F作FH⊥AD于点H,交ED于点O,那么FH=AB=2,∵BF=2FC,BC=AD=3,∴BF=AH=2,FC=HD=1,∴AF=√FH 2+AH 2=√22+22=2√2,∵OH ∥AE ,∴HO AE =DH AD =13,∴OH=13AE=13,∴OF=FH-OH=2-13=53,∵AE ∥FO ,∴△AME ∽FMO ,∴AM FM =AE FO ,即AM FM =153=35,∴AM=38AF=3√24,∵AD ∥BF ,∴△AND ∽△FNB ,∴ANFN =AD BF =32,∴AN=35AF=6√25,∴MN=AN-AM=6√25−3√24=9√220. 类型4 巧添垂线求线段的比6.如图,在△ABC 中,AB=AC ,E ,F ,G 分别是BC ,AB ,AC 上一点,∠FEG=2∠B. (1)求证:∠BFE=∠AGE ; (2)假设BECE =12,求EFEG 的值.解:(1)∵2∠B+∠A=180°,∴∠FEG+∠A=180°,∴∠BFE=∠AGE. (2)过点E 作EM ⊥AB 于点M ,作EN ⊥AC 于点N ,∴△EMF ∽△ENG ,∴EFEG =EM EN ,易证△EBM ∽△ECN ,∴EM EN=BECE=12,∴EF EG=12.7.如图,△ABC 中,AB=AC ,∠BAC<60°,D 为BC 延长线上一点,E 为∠ACD 内部一点,且∠ABE=∠ECD=45°,求BE AC的值.解:作AF ⊥BC 于点F ,BG ⊥CE 交EC 的延长线于点G.∵AB=AC ,∴BF=FC=12BC.∵∠ABE=∠ECD=∠BCG=45°,∴∠CBG=45°,BG=√22BC=√2BF.又∵∠ABF=∠EBG ,∴Rt △ABF ∽Rt △EBG ,∴BEAB =BGBF =√2,∴BEAC =√2.8.如图,将一个直角三角板的直角顶点P 放在矩形ABCD 的对角线BD 上滑动,并使其一条直角边始终经过点A ,另一条直角边与BC 相交于点E ,且AD=10,DC=8,求AP ∶PE 的值.解:过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,易证△APM∽△EPN,那么AP∶PE=PM∶PN=AD∶DC=10∶8=5∶4.。

相似三角形常用辅助线

相似三角形常用辅助线

又 BD E, C EM EM ECBD
(EM为 中 间 比 ) , BD
AB AC
EF , DF
A B D F A C E F
编辑ppt
20
• 方法二:如图,过D作DN//EC交BC于N
编辑ppt
21
则 有 , B D N B A C ,
B D D N , 即 B D A C A B D N ( 比 例 的 基 本 性 质 ) A BA C
M
C
又 ADN∽ ACF
N A
BE

AN AD ∴ AF AC
AD A FAC A(N 2)
(1)+(2)
A A B A E A D A F A C A M A C A N ( A C A M )
ADNBCM

∴ AN=CM
∴ A A B A E A D 编辑 pptF A (A C M C ) M A 2C 36
另外在证明等积式时要先转 化为比例式观察相似关系, 有利于证明
编辑ppt
30
1、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD 交于O点,BA、CD的延长线交于E点,连结 EO并延长分别交AD、BC于N、M 求证: BM=CM
E
AN AO AD EA AN MC OC BC EB BM
Aj N
B
编辑ppt
A
nF Ey
?5y n
2k
D k Tk C
22 11
练习:
如图,D是△ABC的BC边上的点, BD:DC=2:1,
E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F,
求AF:CF的值.
A
F
E
B 编辑ppt

相似三角形常用辅助线

相似三角形常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间的比例关系,或者转移线段或角。

而有些时候,这样的相似三角形在问题中,并不是十分明显。

因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需的结论。

专题一、添加平行线构造“A”“X”型定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.定理的基本图形:例1、平行四边形ABCD中,E为AB中点,AF:FD=1:2,求AG:GCG FE D CBAGFED CBA变式练习:已知在△ABC中,AD是∠BAC的平分线.求证:.(本题有多种解法,多想想)例2、如图,直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若DCBD=FAFC=2,求BE:EA的比值. 变式练习:如图,直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若BDDC=FEED=2,求BE:EA的比值.例3、BE=AD,求证:EF·BC=AC·DFCDBDACABACFEB DACFEB D变式1、如图,△ABC 中,AB<AC ,在AB 、AC 上分别截取BD=CE ,DE ,BC 的延长线相交于点F ,证明:AB·DF=AC·EF 。

例4、已知:如图,在△ABC 中,AD 为中线,E 在AB 上,AE=AC ,CE 交AD 于F ,EF ∶FC=3∶5,EB=8cm, 求AB 、AC 的长.变式:如图,21==DE AE CD BD ,求BFAF。

(试用多种方法解)EDCBAA B CEFA B CEFA B CEFA B CEF说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔. 总结:(1)遇燕尾,作平行,构造 字一般行。

(2)引平行线应注意以下几点:1)选点:一般选已知(或求证)中线段的比的前项或后项,在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。

相似三角形常用辅助线

相似三角形常用辅助线
A A C BD E F F, A . B D FA C E F
• 1、在△ABC中,D为AC上的一点,E为CB 延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。
• 求证:EF×BC=AC×DF
.
1、证明: 过D作DG∥BC交AB于G, 则△DFG和△EFB相似,∴
DG DF BE EF
∵BE=AD,∴
ED EC
CF FH FG BF
∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
.
四、作中线
• 例7 如图,中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D 在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。
.
解:取BC的中点M,连AM
∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C 又 BD=DC
Rt AE∽C Rt BAC
相交于F,求证:BF
B
CF
BD CE
G
D
证明:过点C作CG//FD交AB于G
小结:本题关键在于AD=AE这个条件怎
样使用。由这道题还可以增加一种证明线
段相等的方法:相似、成比例。
A
EC
.
F
• 例2. 如Biblioteka ,△ABC中,AB<AC,在AB、 AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线 相交于点F,证明:AB·DF=AC·EF。
• 2、中,,AC=BC,P是AB上一点,Q是 PC上一点(不是中点),MN过Q且 MN⊥CP,交AC、BC于M、N,求证:
P:A P B C:M CN
.
2、证明:
过P作PE⊥AC于E,PF⊥CB于F,
则CEPF为矩形∴ PF //
EC

A B45
RtAEP ∽ RtPFB

专题10 巧添辅助线,构造相似三角形(含答案)

专题10 巧添辅助线,构造相似三角形(含答案)

专题10巧添辅助线,构造相似三角形知识解读相似三角形是几何与图形中的重要内容,是证明角相等和求线段长度的重要依据;有关问题也是中考、竞赛的主要考点之一.近年来的中考数学压轴题、竞赛的解答题中,经常出现以几何、函数知识为背景的探索性问题,特别是有关相似三角形的四边形、圆、抛物线等多方面知识,既考查学生的基本运算能力,又考查学生识图能力、逻辑推理能力和表达能力.若能巧妙添加辅助线,则往往有助于这类问题的迅速解决.因此,构造相似三角形解决问题是数学解题中的重要方法,而添加辅助线的目的是“构造”满足条件的图形,即“构造相似三角形”.在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角、等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系.下面结合例题谈谈怎样构造相似三角形,并运用其性质解决数学问题。

培优学案典例示范例1 如图1-10-1,在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ,且使AD =AE ,DE 延长线与BC 延长线相交于F .求证:BF BDCF CE=. 【提示】过点C 作CG ∥FD 交AB 于点G ,如图1-10-2. 【解答】图1-10-2图1-10-1FEBDCA GFEDCBA跟踪训练如图1-10-3,△ABC 中,AB <AC ,在AB ,AC 上分别截取BD =CE ,DE ,BC 的延长线相交于点F ,证明:AB ·DF =AC ·EF .【提示】证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明.欲证AB ·DF =AC ·EF ,需证AB EFAC DF=,而这四条线段所在的两个三角形显然不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平行线.方法1:过E 作EM ∥AB ,交BC 于点M ,则△EMC ∽△ABC (两角对应相等,两三角形相似). 方法2:过D 作DN ∥EC 交BC 于N .图1-10-3EDBA例2 如图1-10-4,从□ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ,垂足分别为E ,F . 求证:AB ·AE +AD ·AF =AC ².【提示】过B 作BM ⊥AC 于M ,过D 作DN ⊥AC 于N . 【解答】图1-10-4FED CBA跟踪训练如图1-10-5,△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,P 是AB 上一点,Q 是PC 上一点(不是中点),MN 过Q 且MN ⊥CP ,交AC ,BC 于M ,N .求证:PA :PB =CM :CN .【解答】图1-10-5QP N MC BA例3 如图1-10-6,Rt △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高,E 为CD 的中点,AE 的延长线交BC 于F ,FG ⊥AB 于G .求证:FG ²=CF ·BF .【提示】欲证式可化为FG CFBF FG=,由“三点定形”,△BFG 与△CFG 会相似吗?显然不可能(因为△BFG 为直角三角形),但由E 为CD 的中点,可设法构造一个与△BFG 相似的三角形来求解,不妨延长GF 与AC 的延长线交于H .G FED CBA 图1-10-6跟踪训练 如图1-10-7,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,若∠BCD 的平分线CH 垂直AB 于点H ,BH =3AH ,且四边形AHCD 的面积为21,求△HBC 的面积.【提示】因为问题涉及四边形AHCD ,所以可构造相似三角形,把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决.【解答】图1-10-7HDCBA例4 如图1-10-8,△ABC 中,∠BAC =90°,AE ⊥BC 于E ,D 在AC 边上,若BD =DC =EC =1,求AC . 【提示】利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC 中点M ,构造△MAC 与△DBC 相似是解题关键。

相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)-精选.pdf

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相似三角形添加辅助线的方法举例例1:已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于D .求证:BC 2=2CD ·AC .例2.已知梯形ABCD 中,BC AD //,AD BC 3,E 是腰AB 上的一点,连结CE(1)如果AB CE ,CD AB ,AE BE 3,求B 的度数;(2)设BCE 和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ,且2132S S ,试求AEBE 的值例3.如图4-1,已知平行四边ABCD 中,E 是AB 的中点,ADAF31,连E 、F 交AC 于G .求AG :AC的值.ABCD例4、如图4—5,B 为AC 的中点,E 为BD 的中点,则AF :AE=___________.例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于O 点,E 为AB 延长线上一点,OE 交BC于F ,若AB=a ,BC=b ,BE=c ,求BF 的长.例6、已知在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线.求证:CD BD ACAB.相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1:已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于D .求证:BC 2=2CD ·AC .分析:欲证BC 2=2CD ·AC ,只需证BCAC CDBC 2.但因为结论中有“2”,无法直接找到它们所在的相似三角形,因此需要结合图形特点及结论形式,通过添加辅助线,对其中某一线段进行倍、分变形,构造出单一线段后,再证明三角形相似.由“2”所放的位置不同,证法也不同.证法一(构造2CD ):如图,在AC 截取DE =DC ,∵BD ⊥AC 于D ,∴BD 是线段CE 的垂直平分线,∴BC=BE ,∴∠C=∠BEC ,又∵AB =AC ,∴∠C=∠ABC .∴△BCE ∽△ACB .∴BCAC CEBC ,∴BCAC CDBC 2∴BC 2=2CD ·AC .证法二(构造2AC ):如图,在CA 的延长线上截取AE =AC ,连结BE ,∵AB =AC ,∴AB =AC=AE .∴∠EBC=90°,又∵BD ⊥AC .∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°,∴∠E=∠DBC ,∴△EBC ∽△BDC ∴BCCE CDBC 即BCAC CDBC 2∴BC 2=2CD ·AC .证法三(构造BC 21):如图,取BC 的中点E ,连结AE ,则EC=BC 21.又∵AB=AC ,∴AE ⊥BC ,∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE ∽△BCD .∴BC AC CDCE 即BCAC CDBC21.∴BC 2=2CD ·AC .证法四(构造BC 21):如图,取BC 中点E ,连结DE ,则CE=BC 21.∵BD ⊥AC ,∴BE=EC=EB ,∴∠EDC=∠C又∵AB=AC ,∴∠ABC=∠C ,∴△ABC ∽△EDC .A BCDE ABCDEABCDEABCDEABCD∴EC ACCDBC J 即BC ACCDBC 21.∴BC 2=2CD ·AC .说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.例2.已知梯形ABCD 中,BC AD //,AD BC3,E 是腰AB 上的一点,连结CE(1)如果AB CE ,CD AB ,AE BE 3,求B 的度数;(2)设BCE 和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ,且2132S S ,试求AEBE 的值(1)设k AE ,则kBE 3解法1如图,延长BA 、CD 交于点FBC AD //,AD BC 3,AF BF 3k AF 2,E 为BF 的中点又BF CE CF BC ,又BFCF B C F 为等边三角形故60B 解法2如图作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F 则DF CE,得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF 为等边三角形故601B 解法3如图作EC AF //交CD 于G ,交BC 的延长线于F 作AB GI //,分别交CE 、BC 于点H 、I 则GI CE,得矩形AEHGCEAF //3AEBE CFBC ,又AD BC 3AD CF ,故G 为CD 、AF 的中点以下同解法1可得CGI 是等边三角形故601B解法4如图,作CD AF //,交BC 于F ,作CE FG //,交AB 于G ,得平行四边形AFCD ,且ABFG 读者可自行证得ABF 是等边三角形,故60B 解法5如图延长CE 、DA 交于点F ,作CD AG //,分别交BC 、CE 于点G 、H ,得平行四边形AGCD可证得A 为FD 的中点,则k AH 2,故601得ABG 为等边三角形,故60B解法6如图(补形法),读者可自行证明CDF 是等边三角形,得60FB (注:此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等)(2)设S SBCE3,则SS AECD2四边形解法1(补形法)如图补成平行四边形ABCF ,连结AC ,则ADDF2设x S ACD ,则x S S ACE2,xS CDF2由ACFABCSS 得,x xx s s 223,sx45sxsS ACE4324433s s SS AEBE ACEBCE解法2(补形法)如图,延长BA 、CD 交于点F ,91ABCFAD SS sS S SFAD ABCDFAD581梯形s SFAD85,s ss SFEC821285,又sS EBC387BECFBC SS BEEF 设m 8BE,则m 7EF ,m 15BF ,m5AF m 2AE,4AEBE解法3(补形法)如图连结AC ,作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC 则FAD ∽ABC ,故AF AB3(1)ACFACDSS ,FEC AECDS S 四边形23AECDBCE FECBEC S S S S EFBE 四边形故AF AEAF AEEFBE33)(332(2)由(1)、(2)两式得AEBE 4即4AEBE 解法4(割补法)如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ,如图,过E 、A 分别作高1h 、2h ,则ADCG且AECG AECDS S 四边形四边形,sS S ABCDABG 5梯形21212153h BG h BC SS ABGEBC ,又43BG BC 5421h h ,54ABBE ,故4AEBE 说明本题综合考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是作辅助线,构造相似三角形.例3.如图4-1,已知平行四边ABCD 中,E 是AB 的中点,ADAF31,连E 、F 交AC 于G .求AG :AC的值.解法1:延长FE 交CB 的延长线于H ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC AD//,∴∠H=∠AFE ,∠DAB=∠HBE又AE=EB ,∴△AEF ≌△BEH ,即AF=BH ,∵ADAF31,∴BCAF31,即CHAF41.∵AD ∥CH ,∠AGF=∠CGH ,∠AFG=∠BHE ,∴△AFG ∽△CGH .∴AG :GC=AF :CH ,∴AG :GC=1:4,∴AG :AC=1:5.解法2:如图4—2,延长EF 与CD 的延长线交于M ,由平行四边形ABCD 可知,DC AB//,即AB ∥MC ,∴AF :FD=AE :MD ,AG :GC=AE :MC .∵ADAF31,∴AF :FD=1:2,∴AE :MD=1:2.∵DCABAE2121.∴AE :MC=1:4,即AG :GC=1:4,∴AG :AC=1:5例4、如图4—5,B 为AC 的中点,E 为BD 的中点,则AF :AE=___________.解析:取CF 的中点G ,连接BG .∵B 为AC 的中点,∴BG :AF=1:2,且BG ∥AF ,又E 为BD 的中点,∴F 为DG 的中点.∴EF :BG=1:2.故EF :AF=1:4,∴AF :AE=4:3.例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于O 点,E 为AB 延长线上一点,OE 交BC于F ,若AB=a ,BC=b ,BE=c ,求BF 的长.解法1:过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ,∵O 是AC 中点,OM ∥CB ,∴M 是AB 的中点,即aMB21,∴OM 是△ABC 的中位线,bBCOM2121,且OM ∥BC ,∠EFB=∠EOM ,∠EBF=∠EMO .∴△BEF ∽△MOE ,∴EM BE OMBF,即ca cb BF 221,∴c abc BF2.解法2:如图4-8,延长EO 与AD 交于点G ,则可得△AOG ≌△COF ,∴AG=FC=b-BF ,∵BF ∥AG ,∴AE BE AGBF.即c ac BFbBF ,∵cac bBF2∴c abc BF2.解法3:延长EO 与CD 的延长线相交于N ,则△BEF 与△CNF 的对应边成比例,即CN BE CFBF.解得c abc BF2.例6、已知在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线.求证:CD BD ACAB.分析1 比例线段常由平行线而产生,因而研究比例线段问题,常应注意平行线的作用,在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线,这里不存在平行线,于是可考虑过定点作某定直线的平行线,添加了这样的辅助线后,就可以利用平行关系找出相应的比例线段,再比较所证的比例式与这个比例式的关系,去探求问题的解决.证法1:如图4—9,过C 点作CE ∥AD ,交BA 的延长线于E .在△BCE 中,∵DA ∥CE ,∴AEBA DCBD①又∵CE ∥AD ,∴∠1=∠3,∠2=∠4,且AD 平分∠BAC ,∵∠1=∠2,于是∠3=∠4,∴AC=AE .代入②式得AC AB DCBD.分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得,故可过分点D 作平行线.证法2:如图4—10,过D 作DE ∥AC 交AB 于E ,则∠2=∠3.∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.于是EA=ED .又∵DC BD EABE,∴EA BE EDBE ACAB ,∴CD BD ACAB .分析3 欲证式子左边为AB :AC ,而AB 、AC 不在同一直线上,又不平行,故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置.证法3:如图4—11,过B 作BE ∥AC ,交AD 的延长线于E ,则∠2=∠E .∵∠1=∠2,∴∠1=∠E ,AB=BE .又∵AC BE DCBD,∴CD BD ACAB .分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线,故可过D 分别作AB 、AC 的平行线,构造相似三角形求证.证法4 如图4—12,过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ,DF ∥AB 交AC 于F .易证四边形AEDF 是菱形.则DE=DF .由△BDE ∽△DFC ,得DE BE DFBE DCBD.11 又∵AC AB DEBE,∴DC BD AC AB .。

相似三角形添加辅助线的方法举例

相似三角形添加辅助线的方法举例

相似三角形添加辅助线的方法举例1.垂直角辅助线:当三角形中存在垂直角时,我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。

例如,在一个直角三角形中,我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线,这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。

2.中位线辅助线:在一个任意三角形中,我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。

这些中位线的交点被称为三角形的重心。

通过画三角形重心与其他顶点的连线,可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。

3.等角辅助线:当我们需要证明两个三角形相似时,可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。

例如,在两个直角三角形中,如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等,那么我们可以推断这两个三角形相似。

4.比例辅助线:当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时,可以利用比例辅助线。

例如,在两个相似三角形中,我们可以通过添加比例辅助线,将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形,并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。

5.平行辅助线:当我们需要证明两个三角形相似时,可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。

例如,在两个直角三角形中,如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行,那么我们可以推断这两个三角形相似。

以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法,它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。

在实际解题过程中,根据问题的不同,我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。

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相似三角形添加辅助线的方法举例例1: 已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于D . 求证: BC 2=2CD ·AC .例2.已知梯形ABCD 中,BC AD //,AD BC 3=,E 是腰AB 上的一点,连结CE(1)如果AB CE ⊥,CD AB =,AE BE 3=,求B ∠的度数;(2)设B C E ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ,且2132S S =,试求AEBE的值 例3.如图4-1,已知平行四边ABCD 中,E 是AB 的中点,AD AF 31=,连E 、F 交AC 于G .求AG :AC 的值.例4、如图4—5,B 为AC 的中点,E 为BD 的中点,则AF :AE=___________.例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于O 点,E 为AB 延长线上一点,OE 交BC 于F ,若AB=a ,BC=b ,BE=c ,求BF 的长.例6、已知在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线.求证:CD BDAC AB =.相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1: 已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,BD ⊥AC 于D . 求证: BC 2=2CD ·AC .分析:欲证 BC 2=2CD ·AC ,只需证BCACCD BC =2.但因为结论中有“2”,无法直接找到它们所在的相似三角形,因此需要结合图形特点及结论形式,通过添加辅助线,对其中某一线段进行倍、分变形,构造出单一线段后,再证明三角形相似.由“2”所放的位置不同,证法也不同.证法一(构造2CD ):如图,在AC 截取DE =DC , ∵BD ⊥AC 于D ,∴BD 是线段CE 的垂直平分线, ∴BC=BE ,∴∠C=∠BEC , 又∵ AB =AC , ∴∠C=∠ABC . ∴ △BCE ∽△ACB .∴BC AC CE BC =, ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2=2CD ·AC . 证法二(构造2AC ):如图,在CA 的延长线上截取AE =AC ,连结BE , ∵ AB =AC ,BCBCE B C∴ AB =AC=AE . ∴∠EBC=90°, 又∵BD ⊥AC .∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°, ∴∠E=∠DBC , ∴△EBC ∽△BDC ∴BC CE CD BC =即BC AC CD BC 2= ∴BC 2=2CD ·AC .证法三(构造BC 21) :如图,取BC 的中点E ,连结AE ,则EC=BC 21.又∵AB=AC , ∴AE ⊥BC ,∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD .∴BC AC CD CE =即BC AC CD BC=21. ∴BC 2=2CD ·AC . 证法四(构造BC 21):如图,取BC 中点E ,连结DE ,则CE=BC 21∵BD ⊥AC ,∴BE=EC=EB ,∴∠EDC=∠C又∵AB=AC ,∴∠ABC=∠C , ∴△ABC ∽△EDC . ∴EC AC CD BC =J 即BC AC CDBC 21=. ∴BC 2=2CD ·AC .说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.例2.已知梯形ABCD 中,BC AD //,AD BC 3=,E 是腰AB 上的一点,连结CE (1)如果AB CE ⊥,CD AB =,AE BE 3=,求B ∠的度数;(2)设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ,且2132S S =,试求AEBE的值(1)设k AE =,则k BE 3=解法1 如图,延长BA 、CD 交于点FBC AD //,AD BC 3=, ∴AF BF 3= ∴k AF 2=,E 为BF 的中点 又BF CE ⊥ CF BC =,又BF CF = ∴BCF ∆为等边三角形 故︒=∠60B 解法2 如图作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F 则DF CE ⊥,得平行四边形ABFD 同解法1可证得CDF ∆为等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法3 如图B C B作EC AF //交CD 于G ,交BC 的延长线于F 作AB GI //,分别交CE 、BC 于点H 、I 则GI CE ⊥,得矩形AEHGCE AF // ∴3==AEBECF BC , 又AD BC 3= ∴AD CF =,故G 为CD 、AF 的中点 以下同解法1可得CGI ∆是等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法4 如图,作CD AF //,交BC 于F ,作CE FG //,交AB 于G ,得平行四边形AFCD ,且AB FG ⊥ 读者可自行证得ABF ∆是等边三角形,故︒=∠60B 解法5 如图延长CE 、DA 交于点F ,作CD AG //,分别交BC 、CE 于点G 、H ,得平行四边形AGCD 可证得A 为FD 的中点,则k AH 2=,故︒=∠601 得ABG ∆为等边三角形,故︒=∠60B 解法6 如图(补形法),读者可自行证明CDF ∆是等边三角形, 得︒=∠=∠60F B(注:此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等) (2)设S S BCE 3=∆,则S S AECD 2=四边形解法1(补形法)如图补成平行四边形ABCF ,连结AC ,则AD DF 2= 设x S ACD =∆,则x S S ACE -=∆2,x S CDF 2=∆ 由ACF ABC S S ∆∆=得, x x x s s 223+=-+,∴s x 45=解法2 (补形法)如图,延长BA 、CD 交于点F ,91=∆∆ABC FAD S S ∴s S FAD 85=∆,s s s S FEC 821285=+=∆,又s S EBC 3=∆ 设m 8=BE ,则m 7=EF ,m 15=BF ,m 5=AF∴m 2=AE ,∴4==AEBE解法3(补形法)如图连结AC ,作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC则FAD ∆∽ABC ∆,故AF AB 3=(1)ACF ACD S S ∆∆=,FEC AECD S S ∆=四边形故AF AE AF AE EF BE 33)(332+=+==(2) 由(1)、(2)两式得AE BE 4= 即4=AEBE解法4(割补法)如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ,如图,过E 、A 分别作高1h 、2h ,则AD CG =且AECG AECD S S 四边形四边形=,∴s S S ABCD ABG 5==∆梯形∴21212153h BG h BC S S ABGEBC ⋅⋅⋅⋅==∆∆,又43=BG BC ∴5421=h h ,∴54=AB BE ,故4=AEBE 说明 本题综合考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,解题关键是作辅助线,构造相似三角形.例3.如图4-1,已知平行四边ABCD 中,E 是AB 的中点,AD AF 31=,连E 、F 交AC 于G .求AG :AC 的值.解法1: 延长FE 交CB 的延长线于H , ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴BCAD //,∴ ∠H=∠AFE ,∠DAB=∠HBE又AE=EB ,∴ △AEF ≌△BEH ,即AF=BH , ∵AD AF 31=,∴ BC AF 31=,即CH AF 41=.∵ AD ∥CH ,∠AGF=∠CGH ,∠AFG=∠BHE ,∴ △AFG ∽△CGH .∴ AG :GC=AF :CH ,∴ AG :GC=1:4,∴ AG :AC=1:5.解法2: 如图4—2,延长EF 与CD 的延长线交于M ,由平行四边形ABCD 可知,DCAB //,即AB ∥MC ,∴ AF :FD=AE :MD ,AG :GC=AE :MC . ∵ AD AF 31=,∴ AF :FD=1:2,∴ AE :MD=1:2. ∵DC AB AE 2121==.∴ AE :MC=1:4,即AG :GC=1:4,∴ AG :AC=1:5例4、如图4—5,B 为AC 的中点,E 为BD 的中点,则AF :AE=___________. 解析:取CF 的中点G ,连接BG .∵ B 为AC 的中点, ∴ BG :AF=1:2,且BG ∥AF ,又E 为BD 的中点, ∴ F 为DG 的中点. ∴ EF :BG=1:2.故EF :AF=1:4,∴ AF :AE=4:3.例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于O 点,E 为AB 延长线上一点,OE 交BC 于F ,若AB=a ,BC=b ,BE=c ,求BF 的长. 解法1: 过O 点作OM ∥CB 交AB 于M , ∵ O 是AC 中点,OM ∥CB , ∴ M 是AB 的中点,即a MB 21=,∴ OM 是△ABC 的中位线,b BC OM 2121==,且OM ∥BC ,∠EFB=∠EOM ,∠EBF=∠EMO .∴ △BEF ∽△MOE ,∴EM BE OM BF =,即cacb BF +=221,∴c a bc BF 2+=. 解法2: 如图4-8,延长EO 与AD 交于点G ,则可得△AOG ≌△COF ,∴ AG=FC=b-BF ,∵ BF ∥AG ,∴AE BE AG BF =.即c a cBF b BF +=-, ∵ c a c bBF 2+= ∴ c a bcBF 2+=. 解法3: 延长EO 与CD 的延长线相交于N ,则△BEF 与△CNF 的对应边成比例,即CN BECF BF =.解得c a bcBF 2+=.例6、已知在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线.求证:CD BDAC AB =.分析1 比例线段常由平行线而产生,因而研究比例线段问题,常应注意平行线的作用,在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线,这里不存在平行线,于是可考虑过定点作某定直线的平行线,添加了这样的辅助线后,就可以利用平行关系找出相应的比例线段,再比较所证的比例式与这个比例式的关系,去探求问题的解决.证法1: 如图4—9,过C 点作CE ∥AD ,交BA 的延长线于E .在△BCE 中,∵ DA ∥CE ,∴AE BADC BD = ① 又∵ CE ∥AD ,∴ ∠1=∠3,∠2=∠4,且AD 平分∠BAC ,∵ ∠1=∠2,于是∠3=∠4,∴ AC=AE .代入②式得AC ABDC BD =. 分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得,故可过分点D 作平行线.证法2: 如图4—10,过D 作DE ∥AC 交AB 于E ,则∠2=∠3. ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1=∠3. 于是EA=ED .又∵DC BD EA BE =,∴ EA BE ED BE AC AB ==,∴CD BDAC AB =. 分析3 欲证式子左边为AB :AC ,而AB 、AC 不在同一直线上,又不平行,故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置.证法3: 如图4—11,过B 作BE ∥AC ,交AD 的延长线于E ,则∠2=∠E . ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1=∠E ,AB=BE .又∵AC BE DC BD =,∴CD BDAC AB =. 分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线,故可过D 分别作AB 、AC 的平行线,构造相似三角形求证.证法4 如图4—12,过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ,DF ∥AB 交AC 于F . 易证四边形AEDF 是菱形.则 DE=DF .由△BDE ∽△DFC ,得DE BEDF BE DC BD ==. 又∵ AC AB DE BE =,∴ DC BDAC AB =.。

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