第1讲代数学简介
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《近世代数》课程
主讲人: 游泰杰
课程代码： 173034 适用专业： 数学教育、基础数学。 学 时 数： 36。 学 分 数： 2
2016/3/5
1
第一讲 引言
一
代数学简介
二
群、环、域的定义及简单性质
2016/3/5
2
代数学简介
一、抽象代数的研究对象
１、研究的对象: 有运算的系统(把所要研究的 对象组织成一个有运算的系统)。 2、研究内容: 它的运算性质。 3、研究目的: 用来解决问题。
ab=ba=1, ac=ca=1 b=1b=cab=c1=c. ■
6. 对群G中的元 a 和正整数 n ．
an 表示 n 个 a 相乘; a-n =(a-1)n, a0 = 1
7. 验证： amn =(am)n ; am+n =am an.
8. 群的运算满足消去律： ab= ac b=c。
作业：阅读教材引论章
2016/3/5
22
♥2.1 域的例子及典型应用
域的定义：域是具有两个运算的代数系统 (F,+, · ), 其运算满足: (I) (F,+)是交换群, 单位元叫零元，记0; a的 逆元叫负元,记 a. (II) (F*, · )是交换群;单位元记为 1。 (III)两个运算之间的联系:
乘法对加法有分配律;
2016/3/5 21
2016/3/5 5
三、产生代数学的必然性
代数学是人类认识自然和改造世界的必然产物:
人类的基本需求: 计量和计数 经验是处理不了复杂问题 必须从抽象的高度去揭示和把握自然规律
计量规律: 数量关系
人们必须分析和总结计量问题，寻找数量关系，即 运算规律。
代数学逐渐形成
2016/3/5
对一类问题利用运算性质求出所有可能的解答.
4、本课程主要介绍群、环、域三个代数系统。
2016/3/5 3
代数学简介
二、课程主要特点
抽象性高、逻辑性强 理论证明多、构造性强 (经常需要考虑“具有某些运算性质的代数 体系是否存在？”这样的构造性问题). 例如， 在实数域中，关于数的加、减、乘、除运算 都封闭，但又不连续的数系是否存在？ 概念多、结论多
2016/3/5 8
代数学简介
五、抽象代数的学习方法
１、以数系、多项式运算系统、矩阵运算系统等为 背景来理解绝大部分概念和结论，甚至模仿许多问 题的求解和推证。
2016/3/5
9
代数学简介
五、抽象代数的学习方法
２、及时复习，细读详解。由于抽象代数学中的概 念多、结论多，抽象度高，逻辑性特别强，初学一
2016/3/5 14
群定义
4. 如果幺半群 S的每个元素都有逆元，则
称Ｓ是一个群 (group)。
运算满足交换律的群Ｓ称为交换群. 注意：记住验证运算的封闭性！
2016/3/5
15
5. 命题 （1）可逆元 的逆元是唯一的， a
的逆元记为 a－１。（2）单位元是唯一的。
证明：若 a 有两个逆元ｂ和ｃ，即有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2016/3/5
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例1 复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z 关于数的加法和乘法运算都是环。 数集关于数的加法和乘法运算作成的环，叫数环。 例2 域F上的全体多项式集合F[x]关于多项式
的加法和乘法运算是一个环.
例3 域F上的全体 n 阶方阵Mn(F)关于矩阵的加法和 乘法运算是一个环。
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群、环、域的定义 及简单性质
2016/3/5
13
群的定义
设非空集S上有一个运算 ·, 1. 如果运算满足结合律，则称(S,· )是半群。 2. 如果半群S中有一个元素 e 满足a∈S有 e ·a = a ·e = a， 则称(S,· , e) 是幺半群，称e为单位元 或幺元。 3. 如果幺半群S满足：对a∈S若有ｂ∈S使得 a· ｂ=ｂ·a = e 则称 a 是可逆元，并称ｂ是 a 的一个逆元。 注：通常用 1 表示单位元。
2016/3/5 7
代数学简介
四、学习抽象代数的意义
３、复数域的存在性问题：可以根据数的运 算性质实实在在地构造出来。 ４、在现代科学技术中有着广泛应用。 抽象代数学的三个应用典范: ⑴ 为解方程 x2+1=0 而创建复数域； ⑵ 对称群理论确定了晶体结构的完全分类； ⑶ 二元域为现代通讯解决难题。
2016/3/5
乘法满足 交换律的 环叫交换 环.
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定义 对环 R 中的元 a 0，若有b 0 使得 ab = 0 ，则称 a 是 R 的一个左零因 子， b 是 R 的一个右零因子。
1) (a+b)= a b 基本运 算性质
a,b∈R
2) a0=0=0a 3) ab=(a)(b)
遍两遍时，很难深入理解和掌握概念、结论的内涵
与外延，不易理解和掌握概念之间、结论之间、概
念与结论之间的内在逻辑联系。当然也就不容易记
住那么多的概念与结论，通常表现为对简单的问题 都感到无从着手。最好的办法就是
2016/3/5 10
代数学简介
五、抽象代数的学习方法
苦练内功，及时复习，反复研读， 不断强化自己的抽象思维能力 和逻辑推理能力。
2016/3/5 4
三、产生代数学的必然性
代数学是人类认识自然和改造世界的必然产物: 人类的基本需求: 计量和计数
一切有意识、有目的实践活动都离不开计量和计数。
经验是处理不了复杂问题
简单的计量问题可以凭经验处理，大量的计量问题 是很复杂的、仅靠经验是处理不了的。
必须从抽象的高度去揭示和把握自然规律
2016/3/5 16
几个问题: (1)、为什么要求群的运算满足结合律? (2)、为什么要有单位元？
(3)、逆元的存在性有何运算意义?
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环的定义：环R是具有两个运算的代数系统 (R,+, · ), 其运算满足: (I) (F,+)是交换群, 单位元叫零元，记0; a 的 逆元叫负元,记 a. (II) (F, · ，1)是幺半群。 (III) 两个运算之间的联系: 乘法对加法满足左、右分配律;
探索树量关系,有了表示量的数字和数的运算法则， 就诞生了最基本的数域。
6
代数学简介
四、学习抽象代数的意义
１、运算性质的重要性：印度国王奖励麦粒的失败 说明:了解数的运算性质是很重要的； ２、高维空间的几何学问题：现实空间的几何问题 可以作图描绘，观察研究。 四维以上空间是存在的，其中的几何问题如何研究？ 用代数方法来研究几何问题不受维数的限制 在解析几何学中，我们已经知道，笛卡尔坐标系架 起了几何与代数之间的一座伟大的桥梁，使得规则 的几何问题可以用代数方法来研究。
３、积极认真地做习题。
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六、教材及主要参考书目
1. 石生明，近世代数初步，高等教育出版社， 200５年
2. 胡冠章，应用近世代数（第二版），清华大学出 版社，1999。 3. 袁秉成等：近世代数，东北师大出版社， 1995 。 4. 灵沼，丁石孙：《代数学引论》，高等教育出版 社，1988。 5. 张禾瑞：《近世代数基础》， 高等教育出版社， 19 8 8。
主讲人: 游泰杰
课程代码： 173034 适用专业： 数学教育、基础数学。 学 时 数： 36。 学 分 数： 2
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第一讲 引言
一
代数学简介
二
群、环、域的定义及简单性质
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代数学简介
一、抽象代数的研究对象
１、研究的对象: 有运算的系统(把所要研究的 对象组织成一个有运算的系统)。 2、研究内容: 它的运算性质。 3、研究目的: 用来解决问题。
ab=ba=1, ac=ca=1 b=1b=cab=c1=c. ■
6. 对群G中的元 a 和正整数 n ．
an 表示 n 个 a 相乘; a-n =(a-1)n, a0 = 1
7. 验证： amn =(am)n ; am+n =am an.
8. 群的运算满足消去律： ab= ac b=c。
作业：阅读教材引论章
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♥2.1 域的例子及典型应用
域的定义：域是具有两个运算的代数系统 (F,+, · ), 其运算满足: (I) (F,+)是交换群, 单位元叫零元，记0; a的 逆元叫负元,记 a. (II) (F*, · )是交换群;单位元记为 1。 (III)两个运算之间的联系:
乘法对加法有分配律;
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三、产生代数学的必然性
代数学是人类认识自然和改造世界的必然产物:
人类的基本需求: 计量和计数 经验是处理不了复杂问题 必须从抽象的高度去揭示和把握自然规律
计量规律: 数量关系
人们必须分析和总结计量问题，寻找数量关系，即 运算规律。
代数学逐渐形成
2016/3/5
对一类问题利用运算性质求出所有可能的解答.
4、本课程主要介绍群、环、域三个代数系统。
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代数学简介
二、课程主要特点
抽象性高、逻辑性强 理论证明多、构造性强 (经常需要考虑“具有某些运算性质的代数 体系是否存在？”这样的构造性问题). 例如， 在实数域中，关于数的加、减、乘、除运算 都封闭，但又不连续的数系是否存在？ 概念多、结论多
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代数学简介
五、抽象代数的学习方法
１、以数系、多项式运算系统、矩阵运算系统等为 背景来理解绝大部分概念和结论，甚至模仿许多问 题的求解和推证。
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代数学简介
五、抽象代数的学习方法
２、及时复习，细读详解。由于抽象代数学中的概 念多、结论多，抽象度高，逻辑性特别强，初学一
2016/3/5 14
群定义
4. 如果幺半群 S的每个元素都有逆元，则
称Ｓ是一个群 (group)。
运算满足交换律的群Ｓ称为交换群. 注意：记住验证运算的封闭性！
2016/3/5
15
5. 命题 （1）可逆元 的逆元是唯一的， a
的逆元记为 a－１。（2）单位元是唯一的。
证明：若 a 有两个逆元ｂ和ｃ，即有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2016/3/5
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例1 复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z 关于数的加法和乘法运算都是环。 数集关于数的加法和乘法运算作成的环，叫数环。 例2 域F上的全体多项式集合F[x]关于多项式
的加法和乘法运算是一个环.
例3 域F上的全体 n 阶方阵Mn(F)关于矩阵的加法和 乘法运算是一个环。
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群、环、域的定义 及简单性质
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群的定义
设非空集S上有一个运算 ·, 1. 如果运算满足结合律，则称(S,· )是半群。 2. 如果半群S中有一个元素 e 满足a∈S有 e ·a = a ·e = a， 则称(S,· , e) 是幺半群，称e为单位元 或幺元。 3. 如果幺半群S满足：对a∈S若有ｂ∈S使得 a· ｂ=ｂ·a = e 则称 a 是可逆元，并称ｂ是 a 的一个逆元。 注：通常用 1 表示单位元。
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代数学简介
四、学习抽象代数的意义
３、复数域的存在性问题：可以根据数的运 算性质实实在在地构造出来。 ４、在现代科学技术中有着广泛应用。 抽象代数学的三个应用典范: ⑴ 为解方程 x2+1=0 而创建复数域； ⑵ 对称群理论确定了晶体结构的完全分类； ⑶ 二元域为现代通讯解决难题。
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乘法满足 交换律的 环叫交换 环.
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定义 对环 R 中的元 a 0，若有b 0 使得 ab = 0 ，则称 a 是 R 的一个左零因 子， b 是 R 的一个右零因子。
1) (a+b)= a b 基本运 算性质
a,b∈R
2) a0=0=0a 3) ab=(a)(b)
遍两遍时，很难深入理解和掌握概念、结论的内涵
与外延，不易理解和掌握概念之间、结论之间、概
念与结论之间的内在逻辑联系。当然也就不容易记
住那么多的概念与结论，通常表现为对简单的问题 都感到无从着手。最好的办法就是
2016/3/5 10
代数学简介
五、抽象代数的学习方法
苦练内功，及时复习，反复研读， 不断强化自己的抽象思维能力 和逻辑推理能力。
2016/3/5 4
三、产生代数学的必然性
代数学是人类认识自然和改造世界的必然产物: 人类的基本需求: 计量和计数
一切有意识、有目的实践活动都离不开计量和计数。
经验是处理不了复杂问题
简单的计量问题可以凭经验处理，大量的计量问题 是很复杂的、仅靠经验是处理不了的。
必须从抽象的高度去揭示和把握自然规律
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几个问题: (1)、为什么要求群的运算满足结合律? (2)、为什么要有单位元？
(3)、逆元的存在性有何运算意义?
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环的定义：环R是具有两个运算的代数系统 (R,+, · ), 其运算满足: (I) (F,+)是交换群, 单位元叫零元，记0; a 的 逆元叫负元,记 a. (II) (F, · ，1)是幺半群。 (III) 两个运算之间的联系: 乘法对加法满足左、右分配律;
探索树量关系,有了表示量的数字和数的运算法则， 就诞生了最基本的数域。
6
代数学简介
四、学习抽象代数的意义
１、运算性质的重要性：印度国王奖励麦粒的失败 说明:了解数的运算性质是很重要的； ２、高维空间的几何学问题：现实空间的几何问题 可以作图描绘，观察研究。 四维以上空间是存在的，其中的几何问题如何研究？ 用代数方法来研究几何问题不受维数的限制 在解析几何学中，我们已经知道，笛卡尔坐标系架 起了几何与代数之间的一座伟大的桥梁，使得规则 的几何问题可以用代数方法来研究。
３、积极认真地做习题。
2016/3/5
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六、教材及主要参考书目
1. 石生明，近世代数初步，高等教育出版社， 200５年
2. 胡冠章，应用近世代数（第二版），清华大学出 版社，1999。 3. 袁秉成等：近世代数，东北师大出版社， 1995 。 4. 灵沼，丁石孙：《代数学引论》，高等教育出版 社，1988。 5. 张禾瑞：《近世代数基础》， 高等教育出版社， 19 8 8。