圆锥曲线_陷阱_题浅析

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数 学 教 学 研 究 2006 年第 9 期 在 [ - 2, 0 ) 之中 , 故符合条件的点 P 不存在 .
3 判别式型“ 陷阱 ” 题
类型的“ 陷阱 ” 题作一例析 .
1 概念型“ 陷阱 ” 题
对于一些围绕数学概念设置“ 陷阱 ” 的题目 , 如 果对概念掌握不清或理解不透 , 就难逃一劫 . 例 1 ( 2003 年上海市高考题 12 ) 给出问题 : F1 、
f ( x ) = x + | x - a | + 1, x ∈R. 求 f ( x ) 的最小值 .
2
= 2 x + 1 < 0, f ( x) 在 ( a, > -
1 1 ( x ) = 2 x + 1 > 0, f ( x ) 在 ( , + ∞ ) 上 , 则 f′ 2 2 1 3 ) = - a; 2 4
是增函数 , 此时 f ( x) 的最小值是 f ( ② 若 a∈ ( -
1 1 ( x) , + ∞) , 有 x ≥a > , 则 f′ 2 2
2
= 2 x + 1 > 0, 所以 f ( x) 在 [ a, + ∞) 上是增函数 , 此时
f ( x ) 的最小值是 f ( a ) = a + 1.
2
同学们在解答圆锥曲线问题时 , 忽视隐含条件 致错的现象较为严重 . 例 2 已知椭圆
x
2
4
+
y
2
3
= 1 的左右焦点分别为
< 0, 这表明直线 2 x - y - 1 = 0 不与双曲线 x 1 相交 , 故满足条件的直线 l不存在 . 4 制约型“ 陷阱 ” 题
2
2
=
F1 、 F2 , 能否在椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 P, 使得它到左准线的距离为它到两焦点 F1 、 F2 距离
f ( x ) m in = f ( 4 ) = 2 × 16 - 8 ( t + 3 ) + t + 9 = t - 8 t +
a ]上是增函数 , 故 f ( x ) 在 ( - ∞, a ]上的最小值是 f(
17, 则 h =
t - 8 t + 17.
2
综上所述 ,
t - 2 t + 5, h ( t) =
值是 a2 + 1; 当 a ∈ ( 是
3 + a. 4
1 . 2
点评 本题由于含有绝对值符号 , 去掉绝对值 符号时 , 需要对 x 的范围进行讨论 ; 又由于函数的极 值点的变化 , 又需要对函数的极值点与区间的相对 位置进行讨论 , 从而增加了问题的难度 , 是一道高难 度的考题 .
① 若 a ∈ ( - ∞,
1 1 ( x) = 2 x ], 有 x ≤a ≤ , 则 f ′ 2 2
- 1 < 0, 因此 f ( x) 在 ( - ∞, a ]上是减函数 , 从而函
数 f ( x ) 在 ( - ∞, a ]上的最小值是 f ( a ) = a2 + 1;
圆锥曲线“ 陷阱 ” 题浅析
杨志芳
(浙江省富阳市新登中学 311404 )
2
1 3 ) = + a; 2 4
( 2 ) 当 x ∈ [ a, + ∞ ) 时 , 函数 f ( x ) = x2 + x - a
t∈ ( - ∞, - 1 ) , t∈ [ - 1, 5 ],
2| t- 3| , 2
t - 8 t + 17,
2
( x ) = 2 x + 1, 极值点是 x = + 1, f ′
否作直线 l, 使得 l与双曲线交于 A、 B 两点 , 且 P 为 线段 AB 的中点 . 如果存在 , 求出它的方程 ; 如果不存 在 , 说明理由 . 错解 假设满足条件的直线存在 , 且设其方程 为 : y - 1 = k ( x - 1 ) , 代入双曲线方程得 : ( 2 - k2 ) x2 + ( 2 k2 - 2 k) x - ( k2 - 2 k + 3 ) = 0, ( 3 ) 由于 AB 中点为 P ( 1, 1 ) 得 :
综上 , 当 a ∈ ( - ∞, 值是
1 ]时 , 函数 f ( x ) 的最小 2
3 1 1 - a; 当 a ∈ ( , ]时 , 函数 f ( x) 的最小 4 2 2 1 , + ∞) 时 , 函数 f ( x ) 的最小值 2
解 分两种情形讨论 :
( 1 ) 当 x ∈ ( - ∞, a ]时 , 函数 f ( x ) = x2 - x + a ( x ) = 2 x - 1, 极值点是 x = + 1, f ′
F2 是双曲线 x
2
判别式是研究直线与圆锥曲线交点问题中常用 的一个解题工具 , 同时也是检验结果是否正确 、 完 整 , 弥补缺漏的重要手段 , 是自我监督的好方法 , 是 培养独立思维能力的有效途径 . 不少同学不能正确 使用而导致解题出错 . 例 3 已知双曲线 x2 y
2
16
-
y
2
20
= 1 的焦点 , 点 P 在双曲线上 .
5 p + 3 = , ∴2 p = 10 + 4 3, 2 2
故所求 m 的范围为 m ∈ ( - ∞, 0 ) ∪ ( 4, + ∞) . 剖析 上述解题过程中 , 看起来似乎很完整 , 但 在解决问题的过程即在减元过程中 , 忽视了元素之 间的制约关系 , 将 k2 =
解得 a2 = 3, b2 = 1, 故双曲线方程为
3
- y = 1.
2
把直线 y = kx + m 代入双曲线方程并整理得 : http://www.cnki.net
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P 到左准线 : x = - 4 的距离为 | x0 + 4 | , 于是得
2 | x0 + 4 | = ( 2 +
点的距离为
曲线交于不同的两点 C、 D, 且 C、 D 两点都在以 A 为 圆心的同一圆周上 , 求 m 的取值范围 .
e =1 +
2
1 1 x ) (2 x ), 2 0 2 0 12 , x = - 4. 5 0
1 . 2
① 若 a ∈ ( - ∞, t∈ ( 5, + ∞).
1 1 ( x) ], 当 a < x < , 则 f′ 2 2 1 ) 上是减函数 ; 当 x ≥ a 2
点评 本题以解析几何知识为载体 , 利用两点 间距离公式 , 得到以 t为参数 , 关于点 Q 的横坐标 x 的函数 , 根据二次函数的极值点与区间的相对位置 关系 , 分三种情况讨论 , 从而得到了问题的解 . 类型二 :二次函数在非闭区间上的最值 由于这类题的区间和极值点都变化 , 这类题十 分复杂 , 属高难度的问题 . 根据区间与极值点的位置 关系 , 需要分两种情形讨论 : ①极值点在这个区间 上; ② 极值点不在这个区间上 . 解题步骤是先对函数 求导 , 根据导数判断函数在这个区间上的单调性 , 进 而求出函数的最值 . 例 4 ( 2002 年全国高考题 ) 设 a 为实数 , 函数
2
3 km m 2 , y0 = 2. 1 - 3k 1 - 3k
2 +1 1 - 3k 1 = , 3 km k 2 1 - 3k
m
∴kA P =
2
解得 3 k = 4m + 1. 将② 代入 ①, 得 m - 4m > 0, 解得 m > 4 或 m < 0.
2
②ຫໍສະໝຸດ Baidu
∴y2 = - 2 p ( x + 3 ) . ∵
的等比中项 ? 讲解 解答此题时 , 如果不注意双曲线上点的 坐标的取值范围这个隐含条件 , 就会误入“ 陷阱 ” 造 成如下错解 : ∵c2 = 4 - 3 = 1, ∴c = 1, e =
1 . 2
在解含参数的圆锥曲线问题时 , 忽视参数之间 的相互制约关系 , 也是掉入“ 陷阱 ” 的一个重要原因 . 例 4 已知双曲线 心率 e =
若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9, 求点 P 到焦点 F2 的 距离
.
2
= 1, 过点 P ( 1, 1 ) 能
讲解 如果对双曲线定义模糊不清 , 就会出现 这样的解法 , 设双曲线的两个焦点分别为 F1 ( - 6,
0) 、 F2 ( 6, 0 ) , 由题意双曲线的实轴长为 8, 由 | | PF1 | - | PF2 | | = 8, 即 | 9 - | PF2 | | = 8, 得 | PF2 | = 1 或 17.
x y ( ) 2 2 = 1 a > 0, b > 0 的离 a b
2 2
2 3 , 过点 A ( 0, - b ) 和 B ( a, 0 ) 的直线与原 3 3 , 直线 y = kx + m ( k ≠0, m ≠0 ) 与该双 2
假设存在 P ( x0 , y0 ) , 由焦半径公式得 :
1 1 | PF1 | = a + ex0 = 2 + x0 , | PF2 | = 2 x , 2 2 0
圆锥曲线是中学数学的核心内容 , 也是各类考 试重点考查的内容 , 试题中往往会暗设“ 陷阱 ” , 而这
些“ 陷阱 ” 又大多具有一种无形的误导作用 , 学生在 解题时极易被其迷惑而误落其中 . 本文对六种不同 http://www.cnki.net
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x0 =
①
条件的抛物线 : ① 准线是 x =
点 O ( 0, 0 ) 到抛物线上动点 M 的距离的最小值为 3. 若存在 , 有几条 ? 若不存在 , 说明理由 . 讲解 本题如按自己想象的常规和想当然就会 出现以下解法 , 产生偏差 . 若顶点在 x 轴的负半轴上 , 可设抛物线方程为 :
y = - 2 p ( x - a ) , 由条件 ③ 可得 a = - 3,
解 由已知有
b 4 , 2 = 3 a
2
2
整理得 5 x2 0 + 32 x0 + 48 = 0, 解得 x0 = -
ab a +b
2
=
3 , 2
x
2
所以存在点 P 使得它到左准线的距离为它到两 焦点 F1 、 F2 距离的等比中项 . 事实上椭圆左侧 , x ∈ [ - 2, 0 ) , 而上述 x0 均不
2 隐含条件型“ 陷阱 ” 题
2k - 2k = 2, 解得 k = 2. 2 k - 2
2
故满足条件的直线存在 , 方程为 : 2 x - y - 1 = 0. 剖析 上述解法忽略了对结果的细致分析检 验 , 推理不 严谨 , 误入陷 阱 . 事实 上 , 把 k = 2 代 入
( 3 ) 式并整理得 : 2 x2 - 4 x + 3 = 0, 其判别式 Δ = - 8 y
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( 1 - 3 k2 ) x2 - 6 km x - 3m 2 - 3 = 0,
41 5 ;② 顶点在 x 轴上 ; ③ 2
Δ = m 2 + 1 - 3 k2 > 0. ∴ 设 CD 中点为 P ( x0 , y0 ) , 则 A P ⊥CD, 且易知
=
② 若 a∈ (
t +3 ,
2
> 4, 即 t > 5 时 , 有 x < 4 <
2
- 1 < 0, 所以 f ( x) 在 ( - ∞,
2
< 0, 知 f ( x ) 在区间 [ 1, 4 ]上是减函数 ,
2 2
( x ) = 2 x - 1 > 0, 所以 f ( x ) 在 x ∈ ( x < a时 , 则 f′
2006 年第 9 期 数学 教 学 研 究 1 2 ( t - 3) 2 ,则 h = | t - 3 |; 2 2
( ⅲ) 当 ( x) = f′ t +3 t +3
39 1 1 ( x) = 2x , + ∞) , 当 x < 时 , 则 f′ 2 2 1 1 ) 上是减函数 ; 当 < 2 2 1 , 2
x1 + x2 =
其实不然 , 由题意知 , 双曲线右支上的点到右焦 点的最短距离是 2, 所以 | PF2 | = 1 < 2 不合题意 . 在求解此类问题时 , 应灵活运用双曲线定义 , 分 析出点 P 的存在情况 , 即大致位置 , 然后再求解 . 如 本题中 , 因为右顶点到左焦点距离为 10 > 9, 故 P 只 能在左支上 , 所以 | PF2 | = 17.