高考数学一轮复习课时作业(北师大版)：第3章第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式

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高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件

所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二诱导公式及其应用考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —

高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一同角三角函数的基本关系式——师生共研例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为－5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为－3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二诱导公式及其应用——多维探究角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝－1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝－1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角，所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，因为α为钝角，所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝－125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。

高考数学复习第3章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考向 3 证明
例 4：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα.
证明：方法一，右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin α·tan αsin
α
＝tantaαn－2α－sintaαn2·αtacnosα2sαin
α＝tan
tan2α1－cos2α α－sin α·tan αsin
10°cos 10° 1－cos210°.
解：原式＝ csoisn1100°°－－|scions1100°°|2＝
|sin cos
10°－cos 10°－sin
10°|＝cos 10° cos
10°－sin 10°－sin
1100°°＝1.
【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.
答案：C
【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
考向 2 化简
例
3：化简：cos11－0°2－sin
考点 2 同角三角函数基本关系式考向 1 三角函数求值例 2：(1)(2019 年新课标Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α ＋1，则 sin α＝( )
1
5
A.5
B. 5
3 C. 3
25 D. 5
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1,即4sin αcos α＝2cos2α, 则 2sin α＝cos α, 联立2sisnin2αα＋＝ccoos2sαα＝，1 ，得 sin α＝± 55，又 α∈0，π2，∴sin α＝ 55. 答案：B

高三北师大文科数学一轮复习课时作业同角三角函数的基本关系式与诱导公式

课时作业(十八) [第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．cos(－2040°)＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( ) A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.5123.1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( )A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±(sin2－cos2)D ．sin2＋cos24．[2011·泰安期末] 已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( ) A.53 B ．－134 C.135 D.134能力提升5．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－89 D.896.⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin xC ．cos x D.1tan x7．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D.238．[2011·福建六校联考] 已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－139．[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是________．11．[2012·苏州五市三区期中] 已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝________. 12．(13分)已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋32πcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．难点突破13．(6分)(1)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x ＝( )A.195 B ．－195 C.113 D ．－113(6分)(2)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于() A ．30° B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°课时作业(十八)【基础热身】1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12. 2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin 22＋cos 22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，又∵sin2－cos2>0，故选A.4．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14＝134，选择D.【能力提升】5．D [解析] 将sin θ－cos θ＝13两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89. 6．D [解析] ⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x. 7．B [解析] sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ－(－cos θ)cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.8．C [解析] 因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，平方可得sin θcos θ＝a 2－12<0，因为－π2<θ<π2，故－π2<θ<0，且cos θ>－sin θ， ∴|cos θ|>|sin θ|，∴|tan θ|<1，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13. 9．－55 [解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x＝－1， ∴cos x sin x －1＝12. 11.13 [解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝13. 12．[解答] (1)f (α)＝sin αcos α(－sin α)sin α·sin α＝－cos α. (2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝265. (3)∵－313π＝－6×2π＋53π，∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋53π ＝－cos 53π＝－cos π3＝－12. 【难点突破】13．(1)B (2)A [解析] (1)f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x＝－195.故选B. (2)两式平方再相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12， ∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°，故选A.。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件文北师大版

消去sin α得：2cos2α＋2 2cos α＋1＝0，
即( 2cos α＋1)2＝0，
∴cos
α＝－
2 2.
又α∈(0，π)，∴α＝34π，
∴tan α＝tan34π＝－1.]
诱导公式的应用
(1)已知A＝
sinkπ＋α sin α
＋
coskπ＋α cos α
(k∈Z)，则A的值构成的集合是
1 2
[sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.]
5．已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)＝________.
－45 [因为sinπ2＋α＝cos α＝35，α∈0，π2，所以sin α＝ 1－cos2α＝45，所以 sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]
[易错与防范] 1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
sin2α－π6＝sin2－π6－α＝sin2π6－α
＝1－cos2π6－α＝1－ 332＝23，
∴cos56π＋α－sin2α－π6＝－ 33－23＝－2＋3
3 .]
同角关系式与诱导公式的综合应用
()
【导学号：66482141】

【北师大版】高三数学一轮课时作业【18】(含答案)

课时作业18 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题(每小题5分，共40分)1．α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( ) A ．－45 B.45 C.35D ．－35解析：因为α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B.答案：B2．(2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：∵tan θ＋1tan θ＝4，∴tan θ>0且tan 2θ－4tan θ＋1＝0，∴tan θ＝2＋3，sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2(2＋3)1＋(2＋3)2＝12，故选D.答案：D3．“tan α＝34”是“sin α＝－35”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±35，当sin α＝－35时，tan α＝±34，所以“tan α＝34”是“sin α＝－35”的既不充分也不必要条件．答案：D4．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－2解析：由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12.答案：A5．(2014·四川成都一模，5)已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255 B.255 C ．±255D.52解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：B6．已知cos α＝35，则cos2α＋sin 2α的值为( ) A.925 B.1825 C.2325D.3425解析：由cos α＝35，得cos2α＋sin 2α＝2cos 2α－1＋1－cos 2α＝cos 2α＝925，故选A.答案：A7．已知cos(π2－φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3D. 3解析：cos(π2－φ)＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3. 答案：D8．(2014·山东实验中学模拟)若α，β∈(π2，π)，且tan α<cot β，那么必有( )A ．α＋β<π2B ．α＋β<32π C ．α>βD ．α<β 解析：∵cot β＝tan(π2－β)＝tan(π＋π2－β)＝tan(3π2－β)，π2<β<π，∴－π2>－β>－π，π2<3π2－β<π，而函数y ＝tan x 在x ∈(π2，π)上单调递增，∴由tan α<cot β，即tan α<tan(3π2－β)可得α<3π2－β，即α＋β<3π2.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知α∈(π，2π)，sin(α－7π2)＝－35，则sin(3π＋α)的值为________．解析：sin(α－7π2)＝－sin(7π2－α)＝－sin(－π2－α)＝sin(π2＋α)＝cos α＝－35，即cos α＝－35，又α∈(π，2π)，∴sin α＝－45. ∴sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α＝45. 答案：4510．(2014·泰州模拟，10)若θ∈(π4，π2)，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________．解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin2θ＝1516.∵π4<θ<π2， ∴cos θ<sin θ.∴cos θ－sin θ＝－(cos θ－sin θ)2＝－154.答案：－15411．(2014·河北唐山一模，13)已知sin(3π＋α)＝lg1310，则cos (π＋α)cos α[cos (π－α)－1]＋cos (α－2π)cos αcos (π－α)＋cos (α－2π)的值为________．解析：由于sin(3π＋α)＝－sin α， lg 1310＝－13，得sin α＝13，原式＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos 2α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α＝18. 答案：18三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知角α的终边经过点P (45，－35)． (1)求sin α的值；(2)求sin (π2－α)sin (α＋π)·tan (α＋π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54. 13．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f (π2 010)＋f (502π1 005)的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x (n ＝2k )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x (n ＝2k ＋1)，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π20 10)＋f (502π1 005) ＝sin 2π2 010＋sin 21 004π2 010 ＝sin 2π2 010＋sin 2(π2－π20 10) ＝sin 2π2 010＋cos 2π2 010＝1.14．设0≤θ≤π，P ＝sin2θ＋sin θ－cos θ.(1)若t ＝sin θ－cos θ，用含t 的式子表示P ；(2)确定t 的取值范围，并求出P 的最大值和最小值．解：(1)由t ＝sin θ－cos θ，得t 2＝1－2sin θcos θ＝1－sin2θ. ∴sin2θ＝1－t 2，∴P ＝1－t 2＋t ＝－t 2＋t ＋1. (2)t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4) ∵0≤θ≤π， ∴－π4≤θ－π4≤3π4. ∴－12≤sin(θ－π4)≤1.即t 的取值范围是－1≤t ≤ 2. 令P (t )＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，从而P (t )在[－1，12]内是增函数，在(12，2]内是减函数．又P (－1)＝－1， P (12)＝54，P (2)＝2－1， ∴P (－1)<P (2)<P (12)． ∴P 的最大值是54，最小值是－1.。

高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第三章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式

(sin α＋cos α)2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，
2sin αcos α＝－59，∵α∈(0，π)，∴α 为钝角．
3．若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝( A )
A．2654
B．4285
C．1
D．1265
解析：tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatnan2 αα＝6245．
同角三角函数关系式中的核心素养
(一)数学抽象——分类讨论思想在化简求值中的应用
[例 1] 在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos A＝－ 2cos(π
－B)，则 C＝_________．
[解析]
由已知得si3ncAo＝s A＝2sin2cBos
①， B ②，
①2＋②2，得 2cos2 A＝1，即 cos A＝±22，
1－cos α |sin α|
α
＝cos
1－sin α·－cos
αα＋sin
1－cos α· sin α
α
＝sin α－cos α．
（1－cos α）2 sin2α
2．若 sin α＝ 55，π2<α<π，则 tan α＝_________．解析：因为π2<α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－255，
＝
cos 2·
α＋sin sin α
α＝
2tan1 α＋1，
故
cos 2α
＝ 2．
cos54π＋αsinπ＋
α
4
4．已知 a＝tan－76π，b＝cos243π，c＝sin－343π，则 a，b，c 的大小关系为( B )

高考数学一轮复习第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tan α.2．六组诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋ α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－απ2＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z ；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．－22D．22答案 C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，选C.2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是() A．－43B．±43C.3D．43答案 A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C ．π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a2C.a2－1aD ．－1－a2答案 B解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案－sin 2α 解析原式＝sinαcosα(－sin α)cos α＝－sin 2α.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案－255解析因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.考向一诱导公式的应用例1 (1)化简：错误!＝________. 答案－1 解析原式＝错误!＝tanαcosαsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－错误!＝－错误!.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(3)(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是________.答案 (－1，3)解析 ∵OP→＝(3，1)＝(2cos θ，2sin θ)，cos θ＝32，sin θ＝12，∴将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝(－2sin θ，2cos θ)＝(－1，3)，∴点Q 的坐标是(－1，3)．1.诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.1.(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3的值为( )A.223B ．23 C ．26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223.故选A.2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案34解析原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．化简：错误!. 解原式＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!. 多角度探究突破考向二同角三角函数的基本关系角度1 切弦互化例2 (1)(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B ．－12C ．32D ．－32答案 A解析由三角函数定义，得tan α＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2020·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析因为tan(π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13. 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sinαcosα和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.4.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13B ．31010C ．377 D ．355答案 B解析因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910. 又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案－43解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－35，∴tan α＝sinαcosα＝－43.角度2 “1”的变换例3 (2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P (1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案－4解析因为角α的终边上有一点P (1,2)，所以tan α＝2. 所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4. 对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．6.已知tan α＝2，则(1)3sinα－2cosαsinα＋cosα＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α ＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则错误!等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析因为错误! ＝1－2sinθcosθ＝错误!＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sin α＋1cosα＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1答案 A 解析由1sinα＋1cosα＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝( )A ．－7B ．7 C.3D ．－3答案 A解析因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A.一、单项选择题1．sin210°cos120°的值为( ) A.14B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝14.故选A. 2．(2020·潍坊模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33 C ．3 D ．－3答案 D解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，得到－π2<φ<π2，∴cos φ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＝12，则tan φ＝－3212＝－3.故选D.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B. 4．已知A ＝错误!＋错误!(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析当k 为偶数时，A ＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k 为奇数时，A ＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.故A 的值构成的集合是{2，－2}．5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tanα＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.故选A.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12的值为( ) A.13B ．223 C ．－13D ．－223答案 A解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13. 7．(2020·济宁模拟)直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，则sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案 D解析 ∵直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝2，∴sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝21＋22＝25.故选D.8．化简1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝错误! ＝错误!＝sin α＋cos α.故选C.9．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－12答案 B解析由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.10．(2020·海口模拟)若对任意x ∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝sin(ωx ＋φ)(ω∈R ，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由条件知ω＝±2.若ω＝2，由φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π，得φ＝－π3；若ω＝－2，sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋π－φ)，则π－φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－2k π＋4π3(k ∈Z )，又|φ|<π，则φ＝－2π3，故满足条件的有序数对(ω，φ)的对数为2.二、多项选择题11．在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；sin B ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 2＝cos A 2；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .12．(2020·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案 AC解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题13．sin 4π3cos 5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π3的值是________.答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334.14．已知sin θ＝13，则错误!＝________.答案98解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.15．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.答案－43解析因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43.16．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α·1＋1tan2α＝________.答案 0解析原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.四、解答题17．已知α为第三象限角，f (α)＝错误!.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝错误! ＝错误!＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解由已知得tan α＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋1＋2＝135.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15.∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95. 20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．21 / 21。

高中数学高考高三理科一轮复习资料第3章 3.2同角三角函数基本关系

题型探究题型一同角三角函数的基本关系的应用 1 例 1 已知 α 是三角形的内角，且 sinα＋cosα＝5. (1)求 tanα 的值； 1 (2)把 2 用 tanα 表示出来，并求其值． cos α－sin2α
1 sinα＋cosα＝， ① 5 解析：(1)方法一，联立方程 2 2 sin α＋cos α＝1， ② 1 由①得 cosα＝5－sinα. 将其代入②，整理得 25sin2α－5sinα－12＝0. 4 sinα＝5， ∵α 是三角形的内角，∴ cosα＝－3. 5 4 ∴tanα＝－ . 3
疑点清源 1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例 2 2 x ＋ y y x 如：∵sinα＝，cosα＝，∴sin2α＋cos2α＝ 2 ＝1. r r r (2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角 α 的范围进行确定． (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成⑲______时原函数值的符号； π α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前 2± 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
答案：①sin α＋cos α sinα
高中数学
3．2 同角三角函数基本关系与诱导公式
考纲点击 π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. sinx 2 2 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin x＋cos x＝1，cosx ＝tanx.

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式创新教学案(含

第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式[考纲解读] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，并能熟练应用同角三角函数关系进行化简求值．(重点)2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限〞的含义，并能利用诱导公式进行化简．(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2021年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.对应学生用书P0631.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01 sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02 sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－α π2＋α 正弦sin α01 －sin α 02 －sin α 03sin α 04cos α 05 cos α 余弦cos α06 －cos α07cos α 08 －cos α 09sin α10 －sin α正切tan α11 tan α12 －tan α13 －tan α ——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1．概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)假设α∈R ，那么tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)假设sin α＝55，π2<α<π，那么tan α＝________. 答案－12解析因为sin α＝55，π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12.(2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________.答案－cos α解析原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α.(3)sin 2490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案－12－12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么sin(π＋α)＝________.答案－45解析因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.对应学生用书P063题型一同角三角函数关系式的应用角度1 化简与求值1．(2019·某某模拟)角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)，那么cos α＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 A解析由任意角三角函数的定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，所以3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)．整理得2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2019·某某石室中学模拟)α为第二象限角，且sin α＋cos α＝15，那么cos α－sin α＝( )A.75 B ．－75C ．±75D.2425答案 B解析因为sin α＋cos α＝15，所以(sin α＋cos α)2＝125，即1＋2sin αcos α＝125，所以2sin αcos α＝－2425.所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.又因为α为第二象限角．所以cos α<0，sin α>0.所以cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－75.角度3“齐次式〞问题3．sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，那么cos 2α＋sin αcos α的值是() A.35 B ．－35C ．－3D ．3 答案 A 解析因为sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，所以tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，所以cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35.1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．如举例说明1.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系〞公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α之间的关系问题(1)方法：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关注点：根据角α终边的位置确定sin α＋cos α，sin α－cos α的符号．如举例说明2.3．sin α，cos α的齐次式的解法 (1)常见的结构①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切〞代换法求解；②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)巧用“1〞的变换：1＝sin 2α＋cos 2α.如举例说明3.1．假设α是第二象限角，那么tan α1sin 2α－1化简的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1. 2．假设sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，那么sin αcos α的值等于( ) A ．－25B ．－15C.25或－25D.25答案 A解析由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，那么tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 3．α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin αcos α＝229，那么sin α－cos α＝________.(提示(22－1)2＝9－42)答案1－223解析因为sin αcos α＝229，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1－429＝9－429＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－132.又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝1－223.题型二诱导公式的应用1．化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案 C解析原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2．(2019·某某六校教育研究会联考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.255 B ．－255C.55D ．－55 答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－55. 3．假设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值为________．答案 0 解析因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.(1)诱导公式的两个应用方向与原那么①求值，化角的原那么与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原那么与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明2中⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2.1．(2020·某某高三摸底)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析因为角α的终边经过点P (3,4)．所以cos α＝332＋42＝35. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2021π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1010π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2．k ∈Z ，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α＝________.答案－1解析当k 为偶数时，原式＝sin －αcos －π－αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，原式＝sin π－αcos －αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上知，原式＝－1.题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用1．(2019·某某模拟)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么cos α＝( )A.12 B ．－12C ．－32D.32答案 C 解析因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫2019π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1008π＋3π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α＝12，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.2．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，那么C 等于( )A.π3 B.π4 C.π2D.2π3答案 C解析因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，所以3cos A ＝3sin A ，所以tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6.因为cos A ＝－3cos(π－B )，即cos A ＝3cos B ，所以cos B ＝13cos π6＝12，又0<B <π，所以B ＝π3，所以C ＝π－(A ＋B )＝π2.应选C. 3．(2019·某某六中第一次阶段性检测)f (α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan π＋α－cos π－α2－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋cos π－α＋cos 2π－α.(1)化简f (α)；(2)假设－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值X 围．解 (1)f (α)＝cos αtan α＋cos α2－1－4cos α－cos α＋cos α＝sin α＋cos α2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z .∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3.同角三角函数关系式和诱导公式综合应用题的解法(1)使用诱导公式把求解的三角函数式化为只含一个角的三角函数式．如举例说明3.(2)使用同角三角函数的基本关系式求解该三角函数式的值，求解中注意公式的准确性．1．(2019·某某八校联考)sin(π＋α)＝－13，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝() A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2答案 D解析因为sin(π＋α)＝－sin α＝－13，所以sin α＝13，所以cos α＝±1－sin 2α＝±223，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 2.1＋2sin π－3cos π＋3化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝sin3－cos32＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.3．tan100°＝k ，那么sin80°的值等于( ) A.k1＋k2B ．－k1＋k2kk答案 B解析由得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k1＋k2.对应学生用书P277组基础关1．计算：sin 11π6＋cos 10π3＝( )A ．－1B ．1C ．0 D.12－32答案 A 解析 sin 11π6＋cos 10π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.2．sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，那么θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3答案 D解析因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝sin θcos θ＝ 3.又因为|θ|<π2，所以θ＝π3. 3．cos31°＝a ，那么sin239°·tan149°的值是( ) A.1－a2aB.1－a 2a答案 B解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.4．假设0≤2x ≤2π，那么使1－sin 22x ＝cos2x 成立的x 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π答案 D解析显然cos2x ≥0，因为0≤2x ≤2π，所以0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π.5．(2019·某某二中模拟)角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，那么sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2答案 D 解析因为r ＝2sin22＋－2cos22＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos2.6．假设sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，那么m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5 D ．－1－ 5答案 B解析由得Δ＝(2m )2－4×4×m ＝4m (m －4)≥0，所以m ≤0或m ≥4，排除A ，C.又因为sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1－5或m ＝1＋5(舍去)．7．tan α＝3，那么1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析因为tan α＝3，所以1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1 ＝32＋1＋2×332－1＝2. 8．化简：(1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝________. 答案 1解析 (1＋tan 2α)(1－sin 2α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.9．化简：sin α＋πcos π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αtan －αcos 3－α－2π＝________. 答案－1解析原式＝－sin α－cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－tan αcos 3α＝sin αcos αcos α－sin αcos αcos 3α＝sin αcos 2α－sin αcos 2α＝－1. 10．cos(75°＋α)＝13，那么sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．答案－23解析因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13.所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－23.组能力关1．2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝( )A.22B ．－22C. 2 D ．－ 2答案 A解析因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，所以tan θtan 2θ＋1＝23，解得tan θ＝22(tan θ＝2，舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tan θ为小于1的正数)．2．(2019·某某模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13，∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2，∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.3．－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，那么1cos 2α－sin 2α的值为() A.75 B.257 C.725D.2425答案 B解析因为－π2<α<0，所以cos α>0，sin α<0，可得cos α－sin α>0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925，cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝15×75＝725，所以1cos 2α－sin 2α的值为257. 4．(2020·某某摸底)假设1＋cos αsin α＝2，那么cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95D.95答案 C解析因为1＋cos αsin α＝2，所以cos α＝2sin α－1.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋(2sin α－1)2＝1.整理得5sin 2α－4sin α＝0，因为sin α≠0，所以sin α＝45.所以cos α＝2sin α－1＝35.所以cos α－3sin α＝35－125＝－95.5．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于( )A.223B.13 C ．－13D ．－223答案 D 解析因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.6．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 答案 44.5解析因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，那么S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5. 7．α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，且满足 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝2，那么cos 2α＋2sin2α＝________.答案 95解析因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以 1－sin α1＋sin α＋1cos α＝1－sin α1－sin α1＋sin α1－sin α＋1cos α＝1－sin α－cos α＋1cos α＝sin αcos α，那么sin αcos α＝2，tan α＝2，而cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝95. 8．sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，那么原式＝1sin αcos α＝52；当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，那么原式＝1sin αcos α＝－52.。

2022届高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式

∴cos2 α＋12sin 2α＝coss2iαn＋2αs＋incαosc2αos α＝11＋＋ttaann2αα＝35.
[答案] A
(2)已知 tan α＝－43，求 2sin2α＋sin αcos α－3cos2α 的值． [解析] ∵sin2α＋cos2α＝1，cos α≠0， ∴原式＝2sin2α＋sisnin2αα＋cocsosα2－α 3cos2α＝2tant2aαn＋2αta＋n1α－3
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
[解析] 因为 sin 1°＝cos 89°，所以 sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理 sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而 sin245°＝12，故原式＝44＋12＝4412. [答案] 4412
(3)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴
对称，若 sin α＝13，则 sin β＝________．
[解析] α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝13.
(2)已知θ是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝__________．
[解析] 因为 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，所以 θ＋π4为第一象限角，所以 cosθ＋π4＝45，
所以 tanθ－π4＝csionsθθ－－π4π4 ＝－sicnosπ2＋π2＋θ－θ－π4 π4 ＝－csoinsθθ＋＋π4π4＝－43. [答案] －43
次幂子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求出现根号或高次

【高考领航】(北师大版)高三数学(理)大一轮复习：3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式(含答案解析)

课时规范训练[A 级基础演练]1．(2016·中山模拟)已知tan α＝－a ，则tan(π－α)的值等于( ) A ．a B ．－aC.1aD ．－1a解析：tan(π－α)＝－tan α＝a. 答案：A2．(2016·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin (π＋α)＝ ( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D ．－k解析：由cos α＝k ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π得sin α＝1－k 2， ∴sin (π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A. 答案：A 3．已知＋＋－cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ－π－＝1，则sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：由已知得－－＝1，即tan θ＝1，于是sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋3tan θ＋2tan 2θ＋1＝3.故选C.答案：C4．(2016·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45B ．－45C.35 D ．－35解析：tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 答案：B5．(2016·苏州模拟)cos9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为________．解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π6＋0 ＝cos π4－tan π6＝22－33＝32－236.答案：32－2366．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.答案：－17．(2016·黄冈模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， (1)求cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2－＋＋的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－3π4的值．解：(1)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55， ∴cos α＝－55，又α∈(0，π)， ∴sin α＝255.cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2－＋＋＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin α－cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α－cos α＝－sin αsin α－cos α＝－23.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255，α∈(0，π)⇒sin 2α＝－45， cos 2α＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫2α－3π4＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210. 8．(2016·济宁模拟)已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15，(1)求sin Acos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15①∴两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，∴sin Acos A ＝－1225.(2)由(1)sin Acos A ＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A)2＝1－2sin Acos A ＝1＋2425＝4925，又sin A>0，cos A<0，∴sin A －cos A>0， ∴sin A －cos A ＝75②∴由①、②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[B 级能力突破]1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：利用诱导公式及倍角公式进行转化或利用“切化弦”．由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得 α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.答案：B2．(2016·湖北黄州联考)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B －sin A ，sin B －cos A)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B>π2，∴A>π2－B>0，B>π2－A>0，∴sin A>sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， sin B>sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A ， ∴cos B －sin A<0，sin B －cos A>0， ∴点P 在第二象限，选B. 答案：B3．已知实数a ，b 均不为零，asin α＋bcos αacos α－bsin α＝tan β，且β－α＝π6，则ba 等于( )A. 3B.33C ．－ 3D ．－33解析：由β－α＝π6，得β＝α＋π6，故tanβ＝tan(α＋π6)＝tan α＋331－33tanα＝3sin α＋3cos α3cos α－3sin α，与已知比较，得a ＝3t ，b ＝3t ，t≠0，故b a ＝33.故选B.答案：B4．(2016·新疆阿勒泰一模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.解析：原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α·sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α·1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：05．(2016·襄阳模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－π－cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－π－cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.答案：－346．(2016·九江调研)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为________．解析：法一：由sin θ＋co s θ＝3－12两边平方得sin θ·cos θ＝－34，由sin θ·cos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33，由于θ∈(0，π)，sin θcos θ<0，sin θ＋cos θ>0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，|sin θ|>|cos θ|. ∴|tan θ|>1.∴tan θ＝－33，舍去．故tan θ＝－ 3.法二：同法一得tan θ＝－3或tan θ＝－33，θ∈(0，π)．当tan θ＝－3时，θ＝2π3，sin θ＝32，cos θ＝－12满足条件；当tan θ＝－33时，θ＝5π6，sin θ＝12，cos θ＝－32不满足sin θ＋cos θ＝3－12，舍去，故tan θ＝－ 3.答案：－ 37．东升中学的学生王丫在设计计算函数 f(x)＝sin 2－－＋＋＋－1＋－的值的程序时，发现当sin x 和cos x满足方程2y 2－(2＋1)y ＋k ＝0时，无论输入任意实数k ，f(x)的值都不变，你能说明其中的道理吗？这个定值是多少？解：因为f(x)＝sin 2－－＋＋＋－1＋－＝sin 2x sin x －cos x＋cos x 1－sin xcos x＝sin 2x －cos 2xsin x －cos x＝sin x ＋cos x ，又因为sin x ，cos x 是2y 2－(2＋1)y ＋k ＝0的两根，所以sin x ＋cos x ＝2＋12，所以f(x)＝sin x ＋cos x ＝2＋12，始终是个定值，与变量无关．这个定值是2＋12.。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式理北师大版

1.(1)已知 α 是第二象限的角，tan α＝－1，则
2 －2 5
cos α＝____5____．
(2)如果 sin x＋cos x＝1，且 0<x<π，那么 tan x 的值是( A ) 5
A．－4 3
B．－4或－3 34
C．－3 4
D.4或－3 34
解析：(1)因为 α 是第二象限的角，所以 cos α<0.又因为 sin2
α＋cos2α＝1，tan
α＝sin
cos
αα＝－12，所以
cos
α＝－2 5.
5
(2)由 sin x＋cos x＝1两边平方得 1＋2sin x·cos x＝ 1 ，所
5
25
以 2sin x·cos x＝－24，所以π<x<π，此时 sin x>0，cos x<0，
25
2
sin x － cos x ＝（sin x－cos x）2 ＝ 1－2sin xcos x ＝
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
简记口诀：把角统一表示为kπ±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，
2
符号看象限．
1．辨明两个易误点 (1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
2．三角函数求值与化简的三种常用方法
三
四
五
六
α＋角 2kπ(k∈ π＋α
－α
π－α
π－α 2
π＋α 2
Z)
正弦 sin α _－__s_in__α_ －sin α sin α _c_o_s__α__ cos α 余弦 cos α －cos α __c_o_s_α_ －cos α sin α _－__si_n_α_

高考数学大一轮复习配套课时训练：第三篇三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013广东省深圳市第一次调研)化简sin 2013°的结果是( C )(A)sin 33°(B)cos 33°(C)-sin 33°(D)-cos 33°解析:sin 2013°=sin(5×360°+213°)=sin 213°=sin(180°+33°)=-sin 33°,故选C.2.已知cos α=-,角α是第二象限角,则tan(π+α)等于( D )(A)(B)-(C)(D)-解析:∵cos α=-,α是第二象限角,∴sin α==,∴tan(π+α)=tan α==-.故选D.3.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于( D )(A)-(B)(C)-(D)解析:sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ===.故选D.4.(2013广东六校第二次质检)已知sin(-x)=,则cos(-x)等于( C )(A)(B)(C)-(D)-解析:根据诱导公式求解,Cos(-x)=cos[+(-x)]=-sin(-x)=-.故选C.5.若cos α+2sin α=-,则tan α等于( B )(A)(B)2 (C)-(D)-2解析:∵cos α+2sin α=-,∴=5,∴sin2α-4sin αcos α+4cos2α=0, ∴sin α=2cos α,∴tan α=2.故选B.6.已知f(α)=,则f的值为( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:∵f(α)==-cos α,∴f=-cos=-cos=-cos=-cos=-.故选B.二、填空题7.若sin θ=-,tan θ>0,则cos θ= .解析:∵sin θ=-<0,tan θ>0,∴θ为第三象限角,cos θ=-=-.答案:-8.= .解析:原式=====1.答案:19.(2013汕头高三期末检测)已知cos(-α)=,则sin2(α-)-cos+α的值为.解析:sin2(α-)-cos(+α)=1-cos2(-α)+cos(-α)=1-+=.答案:10.设α∈,sin α+cos α=,则tan α= .解析:将sin α+cos α=①两边平方得sin αcos α=②由①②得或又∵0<α<,∴sin α<cos α,∴故tan α=.答案:11.(2013中山模拟)已知cos(-α)=,则sin(α-)= . 解析:sin(α-)=sin[--(-α)]=-sin[+(-α)]=-cos(-α)=-.答案:-三、解答题12.已知函数f(x)=.(1)求函数y=f(x)的定义域;(2)设tan α=-,求f(α)的值.解:(1)由cos x≠0,得x≠+kπ,k∈Z,所以函数的定义域是{x x≠+k π,k∈Z}.(2)tan α=-,f(α)====-1-tan α=.13.已知cos(π+α)=-,计算:(n∈Z).解:由cos(π+α)=-,得-cos α=-,即cos α=,∴====-=-4.B组14.已知sin αcos α=,且π<α<,则cos α-sin α的值为( B )(A)-(B)(C)-(D)解析:∵<α<,∴cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,∴cos α-sin α>0,又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,∴cos α-sin α=.故选B.15.在△ABC中,sin(-A)=3sin(π-A),且cos A=-cos(π-B),则C 等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵sin(-A)=3sin(π-A),∴cos A=3sin A,∴tan A=,又0<A<π,∴A=.又∵cos A=-cos(π-B),即cos A=cos B,∴cos B=cos=,0<B<π,∴B=.∴C=π-(A+B)=.故选C.16.已知△ABC中,cos(-A)+cos(π+A)=-.(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(2)求tan A的值.解:(1)△ABC为钝角三角形,由已知得,-sin A-cos A=-.∴sin A+cos A=.(*)(*)式平方得,1+2sin Acos A=,∴sin Acos A=-<0,又∵0<A<π,∴sin A>0,cos A<0.∴A为钝角,故△ABC是钝角三角形.(2)法一∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+=.又∵sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=,又由已知得sin A+cos A=,故sin A=,cos A=-,∴tan A==-.法二由(1)知sin Acos A=-,即=-.∴=-.得tan A=-或tan A=-.又由sin A+cos A=,sin A>0,cos A<0知tan A=-.。

2021高考数学一轮复习统考第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课时作业(含解析)北师大版

同角三角函数的基本关系与诱导公式课时作业1．sin210°cos120°的值为( ) A.14 B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)·cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14.故选A.2．(2019·河南信阳模拟)cos 26π3的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 B解析 cos 26π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.故选B. 3．(2019·兰州模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝－34，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B.4．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k2k B ．－1－k2k C.k1－k2D ．－k1－k2答案 B解析 cos(－80°)＝cos80°＝k ，sin80°＝1－k 2，tan80°＝1－k2k，tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.5．(2020·天津西青区)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.故选A.6.1＋2sin(π－3)cos(π＋3)化简的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对答案 A解析 ∵sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3， ∴1＋2sin(π－3)cos(π＋3)＝1－2sin3·cos3 ＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0.∴原式＝sin3－cos3，选A. 7．(2019·江西上饶模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12的值等于( ) A.13 B ．223C ．－13D ．－223答案 A解析由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝13.8．(2019·黄冈模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1的值为( ) A ．0B ．95C.43 D ．53答案 B解析解法一：sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.故选B. 解法二：tan x ＝2，即sin x ＝2cos x ，∴sin 2x ＝4cos 2x ＝4(1－sin 2x )，∴sin 2x ＝45，∴sin 2x＋1＝95.故选B.9．(2019·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．13 C ．－23D ．－13答案 C解析 ∵(sin θ＋cos θ)2＝169，∴1＋2sin θcos θ＝169， ∴2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－23.故选C. 10．化简1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)(sin α＋cos α＋1)1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α.故选C.11．(2019·洛阳调研)若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值等于( ) A ．0B ．1C ．－1D ．5－12答案 B解析由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.12．(2019·长春模拟)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B ． 2C ．－22D ．－ 2答案 A解析解法一：∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3，即sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，即2tan 2α－22tan α＋1＝0，解得tan α＝22.故选A. 解法二：由题意得cos α＝3－sin α2>0，∴sin α＋2cos α＝sin α＋2cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α＋2tan 2α＋1＝3，解得tan α＝22.故选A. 13．(2019·淮北模拟)sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 14．(2019·衡阳模拟)已知sin θ＝13，则tan(2π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝________.答案 98解析原式＝－tan θsin θ·(－cos θ)＝1cos 2θ＝11－sin 2θ ＝11－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝98. 15．(2019·郑州质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin 3(π－α)＋cos(α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．答案335解析因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.所以sin 3(π－α)＋cos(α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.16．(2020·福建泉州模拟)已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是________．答案 12解析因为1－sin 2α＝cos 2α，cos α≠0,1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.17．(2019·西安检测)已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan (π－α)tan(－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan (π－α)tan(－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15. 又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135. 19．(2019·重庆检测)已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15. ∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255. ∴tan α＝2.∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝55－95.20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，② ∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos α＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sin β＝12，由②知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sin β＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．。

2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第3章-第2课时同角三角函数的基本关系及诱导公式

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考点一同角三角函数的基本关系
法一：因为 sin α－cos α＝ 2，所以 1－2sin αcos α＝2，即 sin 2α＝－1， 3π 又 α∈(0，π), 所以 α＝ 4 ，所以 tan α＝－1. 法二：将等式 sin α－cos α＝ 2两边平方，得到 2sin αcos α＝－1，整理得 1＋2sin αcos α＝0⇒sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝0⇒(sin α＋cos α)2 ＝0⇒sin α＋cos α＝0， 2 2 由 sin α－cos α＝ 2和 sin α＋cos α＝0，解得 sin α＝ 2 ，cos α＝－ 2 ， sin α 故 tan α＝cos α＝－1.
高三总复习.新课标数学（文）
第三章第2课时
三角函数、解三角形
同角三角函数的基本关系及诱导公式
考点
考点一同角三角函数的基本关系考点二诱导公式的应用
考点三三角函数式的化简与证明 ■易错警示•系列 ■指点迷津•展示
考纲·点击
sin α 1 ．理解同角三角函数的基本关系式： sin2 α ＋ cos2α ＝ 1 ， cos α ＝ tan
3
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已知 sin α－cos α＝ 2，α∈(0，π)，则 tan α＝( A．－1 2 C. 2 2 B．－ 2 D．1

《金版新学案》高考数学一轮复习第3章第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式课时作业文北师大版

《金版新学案》高考数学一轮复习第3章第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式课时作业文北师大版(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ＜0，cos θ＞0 B ．sin θ＞0，cos θ＜0 C ．sin θ＞0，cos θ＞0D ．sin θ＜0，cos θ＜0解析： sin(θ＋π)＜0，∴－sin θ＜0，sin θ＞0. ∵cos(θ－π)＞0，∴－cos θ＞0.∴cos θ＜0. 答案： B2．(2011·石家庄第一次质检)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－79π6的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析： cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－79π6＝cos 79π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32.选C.答案： C3．已知sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么sin 2αcos 2α的值等于( ) A.34 B.32 C ．－34D ．－32解析：依题意得cos α＝－1－sin 2α＝－45，sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×35－45＝－32，选D. 答案： D4．已知△ABC 中，cos A sin A ＝－125，则cos A 等于( )A.1213B.513C ．－513D ．－1213解析： ∵A 为△ABC 中的角，cos A sin A ＝－125，∴sin A ＝－512cos AA 为钝角，∴cos A ＜0.代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，求得cos A ＝－1213.答案： D 5．已知A ＝sink π＋αsin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.答案： C6．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵A 、B 是锐角△ABC 的两个内角， ∴A ＋B ＞π2.∴π2＞A ＞π2－B ＞0. ∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B .∴cos B －sin A ＜0.类似地，可得sin B －cos A ＞0.∴点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在第二象限．故选B. 答案： B二、填空题7．若cos(2π－α)＝53，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝________. 解析： cos(2π－α)＝cos α＝53，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，故sin(π－α)＝sin α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫532＝－23. 答案：－238．(2009·北京卷)若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝________.解析：由sin θ＝－45＜0，tan θ＞0知θ是第三象限角．故cos θ＝－35.答案：－359．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则2tan x ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最小值为________．解析： ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin x cos x ＞0，∴2tan x ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2·sin x cos x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2·sin x cos x ＋cos xsin x ≥2 2.当且仅当2sin x cos x ＝cos xsin x ，即tan x ＝22时，等号成立．答案： 2 2 三、解答题10．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α.解析： ∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52. 当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.11．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解析：假设存在角α，β满足条件，则⎩⎨⎧sin α＝2sin β ①3cos α＝2cos β ②.由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．12．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根．(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．【解析方法代码108001034】解析：由已知原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0. ∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)．∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ＋cos θ＝1－ 2. (2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.。