2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版
高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第10课时）（新人教A版）一、选择题1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A．－1 B．－2C．2 D．0解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.2．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )A．(0,0) B．(1,1)C．(0,1) D．(1,0)解析：选D.由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．3．(2011·高考江西卷)曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A．1 B．2C．e D.1 e解析：选A.∵y′＝e x，故所求切线斜率k＝e x|x＝0＝e0＝1.4．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)等于( )A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x解析：选C.∵f n(x)＝f n＋4(x)，故f2012(x)＝f0(x)＝sin x，∴f2013(x)＝f′2012(x)＝cos x.5．(2013·济南质检)若函数f(x)＝e x cos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )A．0 B．锐角C．直角D．钝角解析：选D.由已知得：f′(x)＝e x cos x－e x sin x＝e x(cos x－sin x)．∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．∵π2>1>π4，而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1，∴f′(1)<0.即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.∴切线的倾斜角是钝角．二、填空题6．(2011·高考重庆卷改编)曲线y＝－x3＋3x2在点()1，2处的切线方程为________．答案：y＝3x－17．(2013·黄石质检)已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案：e8．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝________.解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴导函数f ′(x )的图象开口向上． 又∵a ≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f ′(0)＝a 2－1＝0，且－a >0，∴a ＝－1.故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：－13三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )(1＋1x)；(2)y ＝ln xx；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝(1＋sin x )2.解：(1)∵y ＝(1－x )(1＋1x )＝1x －x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(ln x x )′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln xx 2＝1－ln xx2. (3)y ′＝(sin x cos x )′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝[(1＋sin x )2]′ ＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x ＝2cos x ＋sin2x .10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为k 1＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为k 2＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为： x 20＝1，x 0＝±1.切点为(－1,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln2；③(e x )′＝e x；④(1ln x )′＝x ；⑤(x ·e x )′＝e x＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.求导运算正确的有②③2个，故选B.2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)解析：选D.∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x ＋12.令e x ＋1＝t ，则e x＝t －1且t >1，∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t. 再令1t＝m ，则0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.二、填空题3．(2013·苏州十校联考)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：由已知：f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x .则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，因此f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0. 答案：04．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.解析：∵{a n }是等比数列，且a 1＝2，a 8＝4，∴a 1·a 2·a 3·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212. ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(0)等于f (x )中x 的一次项的系数．∴f ′(0)＝a 1·a 2·a 3·…·a 8＝212.答案：212三、解答题 5.(2013·营口质检)如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a ＜－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点， ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4， 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)， ∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.。
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2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第12课时）（新人教A 版）一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：选B.∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.故选B.2．(2013·威海调研)函数y ＝4xx 2＋1( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，有最小值－2D ．无最值解析：选C.∵y ′＝x 2＋－4x ·2x x ＋＝－4x 2＋4x ＋.令y ′＝0，得x ＝1或－1，f (－1)＝－42＝－2，f (1)＝2.结合图象故选C.3．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：选A.f ′(x )＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (0)＝m 最大，∴m ＝3，而f (－2)＝－37，f (2)＝－5，∴f (x )min ＝－37.4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4解析：选C.∵f ′(x )＝2x ＋2＋a x，f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立，所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x )，0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.5．(2011·高考湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D.由题意|MN |＝t 2－ln t (t ＞0)，不妨令h (t )＝t 2－ln t ，则h ′(t )＝2t －1t，令h ′(t )＝0，解得t ＝22，因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22时，h ′(t )＜0，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞时，h ′(t )＞0，所以当t ＝22时，|MN |达到最小． 二、填空题6．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，则x ＝m 2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值是________，最小值是________． 解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，端点f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2.答案：π2 －π28．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的函数关系为P ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x (元)．则该厂每月生产________吨该产品才能使利润达到最大，最大利润是________万元．(利润＝收入－成本)解析：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝(24200－15x 2)x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因f (x )在[0，＋∞)内只有一个极值点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时的利润达到最大，最大利润为315万元． 答案：200 315 三、解答题9．(2011·高考北京卷)已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与↘ ↗所以，f (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.10．(2011·高考江苏卷)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0， 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 x ≤480000 x ＞，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 解析：选D.由题意得，总成本函数为 C ＝C (x )＝20000＋100x ，所以总利润函数为P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000 x 60000－100xx ＞，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x x ，－100 x ＞，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大．2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]； ②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选C.∵f (0)＝0，∴c ＝0，∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝－1f －＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－13－2a ＋b ＝－1. 解得a ＝0，b ＝－4，∴f (x )＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.令f ′(x )＝0，得x ＝±233∈[－2,2]，∴极值点有两个．∵f (x )为奇函数，∴f (x )max ＋f (x )min ＝0. ∴①③正确，故选C. 二、填空题3．(2013·嘉兴质检)不等式ln(1＋x )－14x 2≤M 恒成立，则M 的最小值是________．解析：设f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，则f ′(x )＝[ln(1＋x )－14x 2]′＝11＋x －12x ＝－x ＋x －＋x， ∵函数f (x )的定义域需满足1＋x ＞0，即x ∈(－1，＋∞)． 令f ′(x )＝0得x ＝1，当x ＞1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝ln2－14.∴要使ln(1＋x )－14x 2≤M 恒成立，∴M ≥ln2－14，即M 的最小值为ln2－14.答案：ln2－144．将边长为1 m 的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则梯形的周长为3－x ，梯形的面积为12·(x ＋1)·32·(1－x )，所以s ＝－x212x ＋32－x＝43·－x21－x 2(0＜x ＜1)． 由s (x )＝43·－x21－x 2，得 s ′(x )＝43·x －－x 2－－x2－2x－x 22＝43·－x －x －－x 22. 令s ′(x )＝0，且0＜x ＜1，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′(x )＞0. 故当x ＝13时，s 取最小值3233.答案：3233三、解答题5．(2013·大同调研)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (a 、b 为常数，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值、最小值．解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋1＝0b ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝0.∴f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，∴当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，g (x )单调递减， 当x ∈(－2，2)时，g (x )单调递增，又g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，∴g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.。
高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第1课时）（新人教A 版）一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝lne x 与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)解析：选D.由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断，知D 正确．2．(2011·高考江西卷)若f (x )＝1log 12x ＋，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A.由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0log 12x ＋＞0得－12＜x ＜0.3．(2012·高考福建卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 解析：选B.∵g (π)＝0，f (0)＝0，故选B. 4.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( ) A ．y ＝－|x |－1 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝－|x |＋1 D ．y ＝|x ＋1|解析：选C.对照函数图象，分别把x ＝0代入解析式排除A ，把x ＝－1代入解析式排除B ，把x ＝1代入解析式排除D ，故选C.5．(2011·高考辽宁卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.当x ≤1时，由21－x≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．二、填空题6．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝________.解析：∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：117．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，则A 中元素2的象和B 中元素(32，54)的原象分别为________．解析：把x ＝2代入对应法则，得其象为(2＋1,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，(32，54)的原象为12.答案：(2＋1,3)、128．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，则f (f (－4))＝________.解析：f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，所以f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.答案：4 三、解答题9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1＜a ＜2时，f (a )＝2a ，由2a ＝3，得a ＝32，满足－1＜a ＜2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.10．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1.(2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．一、选择题1．(2012·高考山东卷)函数f (x )＝1x ＋＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B.x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0x ＋1≠1，4－x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1x ≠0－2≤x ≤2，解得－1＜x ＜0或0＜x ≤2.2．(2012·高考江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x解析：选D.当函数以解析式形式给出时，求其定义域的实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.二、填空题3．下列对应中，①A ＝{x |x 是矩形}，B ＝{x |x 是实数}，f 为“求矩形的面积”； ②A ＝{x |x 是平面α内的圆}，B ＝{x |x 是平面α内的矩形}；f ：“作圆的内接矩形”；③A ＝R ，B ＝{x ∈R |x ＞0}，f ：x →y ＝x 2＋1；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x；⑤A ＝{x ∈R |1≤x ≤2}，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1. 是从集合A 到集合B 的映射的为________．解析：其中②，由于圆的内接矩形不唯一，因此f 不是从A 到B 的映射；其中④，A 中的元素0在B 中没有对应元素，因此f 不是A 到B 的映射．答案：①③⑤4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1x x 2 x ＜，若f (a )＜a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，由23a －1＜a 得a ＞－3取a ≥0.当a ＜0时，由a 2＜a 得，0＜a ＜1，与a ＜0矛盾， 综上可知a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 三、解答题5．下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)、f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16，解得x ＝2或x ＝－6(舍)；若x ＜1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍)或x ＝－14. 即x ＝2或x ＝－14.。
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2_12导数的综合应用课件理新人教A版
由G′(x)＝0，得－x2＋(1－k)x＋1＝0. 解得x1＝1－k－ 21－k2＋4＜0， x2＝1－k＋ 21－k2＋4＞1. 当x∈(1，x2)时，G′(x)＞0，故G(x)在[1，x2)内单调递增． 从而当x∈(1，x2)时，G(x)＞G(1)＝0， 即f(x)＞k(x－1)， 综上，k的取值范围是(－∞，1)．
考点三|利用导数求解生活中的优化问题 (方法突破) 【例 3】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的 中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为643π立方米．假 设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 4 千元．设该容器的总建造费用为 y 千元． (1)将 y 表示成 r 的函数 f(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 f(r)的单调性，并确定 r 和 l 为何值时， 该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
第十二节 导数的综合应用
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.利用导数与函数的关系研究 根据近三年的高考
函数的零点问题(方程的根)． 来看，导数多与函
2．通过导数构造函数证明不等 数零点、不等式等
式，求不等式恒成立问题.
内容综合考查.
[基础梳理] 1．利用导数证明不等式 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时， 有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．
解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当k＝2时，f′(x)＝
高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第8课时）（新人教A 版）一、选择题1．函数y ＝5x与函数y ＝－15x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选C.因y ＝－15x ＝－5－x，所以关于原点对称．2．把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )A ．y ＝(x －3)2＋3B ．y ＝(x －3)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋3D ．y ＝(x －1)2＋1解析：选C.把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得到y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.3．(2013·铁岭质检)已知图①是函数y ＝f (x )的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |) 解析：选C.由题图②知，图象对应的函数是偶函数，且当x <0时，对应的函数是y ＝f (x )，故选C.4．(2011·高考课标全国卷)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：选A.如图，作出图象可知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象共有10个交点．5．函数y ＝e x ＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )解析：选A.∵f (－x )＝e －x ＋e x e －x －e x ＝－e x ＋e－xe x －e－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除D.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除B 、C. 二、填空题6．已知函数y ＝1x，将其图象向左平移a (a >0)个单位，再向下平移b (b >0)个单位后图象过坐标原点，则ab 的值为________．解析：图象平移后的函数解析式为y ＝1x ＋a －b ，由题意知1a－b ＝0，∴ab ＝1. 答案：1 7.函数y ＝f (x )(x ∈[－2,2])的图象如图所示，则f (x )＋f (－x )＝________. 解析：由图象可知f (x )为定义域上的奇函数． ∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0. 答案：0 8.如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________． 解析：由图知f (3)＝1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3＝f (1)＝2. 答案：2 三、解答题9．作出下列函数的大致图象(1)y ＝x 2－2|x |；(2)y ＝log 13[3(x ＋2)]；(3)y ＝1－x .解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0x 2＋2x ，x ＜0图象如图(1).(2)y ＝log 133＋log 13(x ＋2)＝－1＋log 13(x ＋2)其图象如图(2)．(3)y ＝－x －1，其图象如图(3)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3， x ∈2，5].(1)在如图给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示：(2)函数的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．一、选择题 1.(2013·长春质检)定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x ＞0，则f (x )＜0；④若x ＜0，则f (x )＞0，其中正确的是( )A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③解析：选B.由y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位得到函数y ＝f (x )的图象如图所示， 结合图象知①④正确，②③错误，故选B.2．(2013·日照质检)若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：选D.由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象知0＜a ＜1,0＜b ＜1，故g (x )＝a x＋b 是由y ＝a x 的图象向上平移0＜b ＜1个单位得到的，故选D.二、填空题3．已知函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x .若f (x )*g (x )＝min{f (x )，g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是________．(注意：min 表示最小值)解析：画出示意图f (x )*g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2，x ，－2＜x ＜1，2－x 2，x ≥1其最大值为1.答案：1 4.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )，图象如图所示．对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f x 1＋f x 22＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)解析：图象上任意两点x 1，x 2所在直线的斜率的变化范围为(0，＋∞)，故①错；考察两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，从图象上容易得出当0＜x 1＜x 2＜1时，应用斜率关系为f x 1x 1＞f x 2x 2，即x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)，所以②正确；在区间[0,1]上任取两点A 、B ，过A 、B 分别作x 轴的垂线，与曲线交点分别为M 、N ，取AB 中点C ，过C 作x 轴的垂线，与曲线交点为P ，与线段MN 交点为Q ，则f x 1＋f x 22＝CQ ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝CP ，从图象(图略)易知CP ＞CQ ，故有f x 1＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，所以③正确．答案：②③三、解答题5．已知函数f (x )＝m (x ＋1x )的图象与h (x )＝14(x ＋1x)＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a4x在(0,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设P (x ，y )是h (x )图象上一点，点P 关于点A (0,1)的对称点为Q (x 0，y 0)，则x 0＝－x ，y 0＝2－y .∴2－y ＝m (－x －1x)，∴y ＝m (x ＋1x )＋2，从而m ＝14.(2)g (x )＝14(x ＋1x )＋a 4x ＝14(x ＋a ＋1x)．设0<x 1<x 2≤2，则g (x 1)－g (x 2)＝14(x 1＋a ＋1x 1)－14(x 2＋a ＋1x 2)＝14(x 1－x 2)＋14(a ＋1)·x 2－x 1x 1x 2 ＝14(x 1－x 2)·x 1x 2－a ＋1x 1x 2>0， 并且在x 1，x 2∈(0,2]上恒成立， ∴x 1x 2－(a ＋1)<0，∴1＋a >x 1x 2,1＋a ≥4，∴a ≥3.。
[推荐学习]高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第12讲导数与函数的单调性知能训练轻松闯关
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第12讲 导数与函数的单调性1．(2016·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：选D.函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝e x ＋(x －3)e x＝(x －2)·e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．(2016·郑州一模)设函数f ′(x )＝x 2＋3x －4，则y ＝f (x ＋1)的递减区间为( ) A ．(－4，1) B ．(－5，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞解析：选B.由f ′(x )＝x 2＋3x －4，令f ′(x )<0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以函数f (x )的递减区间为(－4，1)，所以y ＝f (x ＋1)的递减区间为(－5，0)． 3．(2016·江西省质检)函数f (x )＝x e x －1＋x2的大致图像是( )解析：选B.f (x )是偶函数，排除A ，D ；x >0时，f ′(x )＝12·e 2x－2x e x－1（e x －1）2，记h (x )＝e 2x－2x e x －1，因为h ′(x )＝2e x (e x－x －1)>0，所以h (x )>h (0)＝0，所以f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是递增的，排除C ，所以选B.4．对于在R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )·f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (x )≥f (a ) B ．f (x )≤f (a ) C ．f (x )>f (a ) D ．f (x )<f (a )解析：选A.由(x －a )f ′(x )≥0知，当x >a 时，f ′(x )≥0；当x <a 时，f ′(x )≤0.所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值，则f (x )≥f (a )． 5．(2016·郑州第一次质量预测)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，5) C ．(0，5) D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：选B.依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．6．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <34B.12<a <34 C ．a ≥34D ．0<a <12解析：选C.f ′(x )＝(2x －2a )e x＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0， 解得a ≥34.故选C.7．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是________．解析：在(0，2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0，2π)上是递增的． 答案：增函数8．(2016·石家庄二中开学考试)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2xln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2. 答案：(1，2)9．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a，x ≥a ，e －x ＋a ，x <a 知，当x ≥a 时，函数f (x )为增函数，而已知函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]10．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞)11．已知函数f (x )＝ln x ＋me x(m 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求m 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －m e x， 又f ′(1)＝1－me ＝0，故m ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的递增区间是(0，1)，递减区间是(1，＋∞)． 12．(2016·云南省第一次统一检测)已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x .(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上递增； (2)若f [x (3x －2)]<－13，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f (x )＝ln x －x1＋2x，所以f ′(x )＝1x －1＋2x －2x （1＋2x ）2＝4x 2＋3x ＋1x （1＋2x ）2.因为x >0，所以4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. 所以当x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上递增． (2)因为f (x )＝ln x －x1＋2x ，所以f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x （3x －2）>0，x （3x －2）<1，解得－13<x <0或23<x <1.所以实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.1．(2016·河北省衡水中学模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a xe x，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当a ＝－1时，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．解：函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝x 3＋x 2＋ax －a x 2e x.(1)当a ＝0时，f (x )＝x ·e x，f ′(x )＝(x ＋1)e x， 所以f (1)＝e ，f ′(1)＝2e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)证明：当a ＝－1时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x2·e x (x >0)．设g (x )＝x 3＋x 2－x ＋1， 则g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)． 令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)>0，得x >13.令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)<0，得0<x <13.所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数， 所以函数g (x )在x ＝13处取得最小值，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2227>0.所以g (x )在(0，＋∞)上恒大于零．于是，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2·e x>0恒成立．所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．2．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的递增区间；(2)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x.令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x>0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2，所以函数f (x )的递增区间是(－2，2)． (2)若函数f (x )在R 上是递减的， 则f ′(x )≤0对任意x ∈R 都成立．即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≤0对任意x ∈R 都成立．因为e x>0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对任意x ∈R 都成立．所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f (x )不可能在R 上是递减的． 若函数f (x )在R 上是递增的，则f ′(x )≥0对任意x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0对任意x ∈R 都成立．因为e x>0，所以x 2－(a －2)x －a ≤0对任意x ∈R 都成立．而Δ＝(a －2)2＋4a ＝a 2＋4>0，故函数f (x )不可能在R 上是递增的． 综上可知函数f (x )不是R 上的单调函数． 3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)内总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a （1－x ）x(x >0)， 当a >0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数． (2)由(1)得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2.所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，所以g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t ，3)内总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t ，3)内有变号零点．由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立，由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373，所以－373<m <－9.。
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2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第12课时）（新人教A 版）一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：选B.∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.故选B.2．(2013·威海调研)函数y ＝4xx 2＋1( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，有最小值－2D ．无最值解析：选C.∵y ′＝4x 2＋1－4x ·2x x ＋1＝－4x 2＋4x ＋1.令y ′＝0，得x ＝1或－1，f (－1)＝－42＝－2，f (1)＝2.结合图象故选C.3．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：选A.f ′(x )＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (0)＝m 最大，∴m ＝3，而f (－2)＝－37，f (2)＝－5，∴f (x )min ＝－37.4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4解析：选C.∵f ′(x )＝2x ＋2＋a x，f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立，所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x )，0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.5．(2011·高考湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D.由题意|MN |＝t 2－ln t (t ＞0)，不妨令h (t )＝t 2－ln t ，则h ′(t )＝2t －1t，令h ′(t )＝0，解得t ＝22，因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22时，h ′(t )＜0，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞时，h ′(t )＞0，所以当t ＝22时，|MN |达到最小． 二、填空题6．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，则x ＝m 2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值是________，最小值是________． 解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，端点f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2.答案：π2 －π28．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的函数关系为P ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x (元)．则该厂每月生产________吨该产品才能使利润达到最大，最大利润是________万元．(利润＝收入－成本)解析：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝(24200－15x 2)x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因f (x )在[0，＋∞)内只有一个极值点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时的利润达到最大，最大利润为315万元． 答案：200 315 三、解答题9．(2011·高考北京卷)已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与所以，f (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.10．(2011·高考江苏卷)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0， 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 0≤x ≤40080000 x ＞400，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 解析：选D.由题意得，总成本函数为 C ＝C (x )＝20000＋100x ，所以总利润函数为P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000 0≤x ≤40060000－100x x ＞400，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x 0≤x ≤400，－100 x ＞400，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大．2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]； ②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选C.∵f (0)＝0，∴c ＝0，∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝－1f ′－1＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－13－2a ＋b ＝－1. 解得a ＝0，b ＝－4，∴f (x )＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.令f ′(x )＝0，得x ＝±233∈[－2,2]，∴极值点有两个．∵f (x )为奇函数，∴f (x )max ＋f (x )min ＝0. ∴①③正确，故选C. 二、填空题3．(2013·嘉兴质检)不等式ln(1＋x )－14x 2≤M 恒成立，则M 的最小值是________．解析：设f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，则f ′(x )＝[ln(1＋x )－14x 2]′＝11＋x －12x ＝－x ＋2x －121＋x ， ∵函数f (x )的定义域需满足1＋x ＞0，即x ∈(－1，＋∞)． 令f ′(x )＝0得x ＝1，当x ＞1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝ln2－14.∴要使ln(1＋x )－14x 2≤M 恒成立，∴M ≥ln2－14，即M 的最小值为ln2－14.答案：ln2－144．将边长为1 m 的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则梯形的周长为3－x ，梯形的面积为12·(x ＋1)·32·(1－x )，所以s ＝3－x 212·x ＋1·32·1－x ＝43·3－x 21－x 2(0＜x ＜1)． 由s (x )＝43·3－x 21－x 2，得 s ′(x )＝43·2x －6·1－x 2－3－x 2·－2x 1－x 22＝43·－23x －1x －31－x 22. 令s ′(x )＝0，且0＜x ＜1，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′(x )＞0. 故当x ＝13时，s 取最小值3233.答案：3233三、解答题5．(2013·大同调研)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (a 、b 为常数，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值、最小值．解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋1＝0b ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝0.∴f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，∴当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，g (x )单调递减， 当x ∈(－2，2)时，g (x )单调递增，又g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，∴g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.。