全等三角形的判定1

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三角形的全等的判定方法

三角形的全等的判定方法三角形的全等判定方法是根据三角形的边长、角度、边角关系以及辅助构造相等边等方面来判断的。

全等（congruent）的含义是指两个或多个物体在形状、大小和位置上完全相同。

以下是常见的三角形全等判定方法：1.SSS判定法（边边边）：如果两个三角形的三条边的长度分别相等，那么这两个三角形是全等的。

这是最常见的判定方法之一2.SAS判定法（边角边）：如果两个三角形的两边的长相等，并且夹角也相等，那么这两个三角形是全等的。

这是常用的判定方法之一3.ASA判定法（角边角）：如果两个三角形的两个角度分别相等，并且夹角的边长也相等，那么这两个三角形是全等的。

4.RHS判定法（直角边斜边）：如果两个直角三角形的一个直角边与另一个直角边相等，并且它们的斜边相等，那么这两个三角形是全等的。

5.AAS判定法（角角边）：如果两个三角形的两个角度分别相等，并且一个非夹角的边也相等，那么这两个三角形是全等的。

需要注意的是，尽管SSS、SAS、ASA和RHS判定法完全相同，但在AAS判断法中，两个非夹角也可能相等，这就无法得出全等的结论。

此外6.MS辅助构建法：如果两个三角形的两边分别相等，并且它们的中线相等，那么这两个三角形是全等的。

7.AC辅助构建法：如果两个三角形的一个角、相对边以及对角边均相等，那么这两个三角形是全等的。

以上是常见的三角形全等判定方法。

在实际应用中，判定三角形的全等关系非常重要，因为全等的三角形具有相同的角度和边长，可以互相替代，从而证明一些几何性质或解决问题。

因此，熟练掌握这些判定方法对于几何学的学习和问题解决非常有帮助。

三角形的全等的判定方法

三角形的全等的判定方法
1.SSS判定法（边边边）：当两个三角形的三条边分别相等时，可以
判定这两个三角形全等。

2.SAS判定法（边角边）：当两个三角形的一边和夹角的对边（两边）分别相等，再加上另一边相等，则可以判定这两个三角形全等。

3.ASA判定法（角边角）：当两个三角形的两个角和一条边分别相等时，即第一个三角形的一个角、一边分别与第二个三角形的一角、一边相等，则可以判定这两个三角形全等。

4.AAS判定法（角角边）：当两个三角形的两个角和一边分别相等时，即第一个三角形的两个角、一边分别与第二个三角形的两个角、一边相等，则可以判定这两个三角形全等。

5.HL判定法（斜边和高）：当两个直角三角形的斜边和高分别相等时，可以判定这两个三角形全等。

6.LL判定法（边边）：当两个等腰三角形的两个边边分别相等时，
可以判定这两个三角形全等。

7.RL判定法（斜边和一条直角边）：当两个直角三角形的斜边和一
条直角边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。

这些判定方法是根据全等三角形的性质推导出来的，可以通过比较三
角形的边和角的大小来判定是否全等。

在实际问题中，我们可以根据题目
中给出的已知条件来选择合适的判定方法，从而求解问题。

通过全等三角
形的判定，我们可以在几何问题中简化复杂的计算和证明，提高解题的效率。

需要注意的是，判定两个三角形全等的条件并不一定只有一种，有时候可能需要结合多种条件进行判定。

此外，判定两个三角形不全等并不能证明它们一定全等，因为可能存在其他方法判定它们全等。

因此，在应用判定方法时，要根据具体情况综合考虑各种条件，避免误判。

全等三角形的判定

全等三角形的判定【要点梳理】【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A ＝∠，AC ＝，则△ABC ≌△.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点一、全等三角形判定3——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）．要点诠释：如图，如果＝AB ，＝AC ，＝BC ，则△ABC≌△．'A ''A B 'B '''A BC ''A B 'A ''A C '''A BC ''A B ''A C ''B C '''A B C要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论．2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等．要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形．一、选择题1.（2015•宁波）如图，口ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠22．如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、，下列说法：①；② 和的面积相等；③；④ ≌，其中正确的有（）．A.1个B.2个C.3个D.4个3. AD 为△ABC 中BC 边上的中线, 若AB ＝2, AC ＝4, 则AD 的范围是( )A .AD ＜6 B. AD ＞2 C. 2＜AD ＜6 D. 1＜AD ＜34．如图，AB ＝DC ，AD ＝BC ，E 、F 是DB 上两点，且BF ＝DE ，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（）．A.150°B.40°C.80°D.90°5. 根据下列条件能唯一画出△ABC 的是（）A.AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8B.AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°C.AB ＝5，AC ＝6，∠A ＝45°D. ∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°6. 如图，在△ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝∠C ，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，并且BD＝CE ，BE ＝CF ，则∠DEF 等于（）A.50°B.60°C. 65°D. 70°AD ABC ∆E F AD AD DE DF =BF CE CE BF =ABD ∆ACD ∆//BF CE BDF ∆CDE∆二、填空题7.（2015•齐齐哈尔）如图，点B 、A 、D 、E 在同一直线上，BD=AE ，BC ∥EF ，要使△ABC ≌△DEF ，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）8．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC,再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上，如图8，可以得到，所以ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定的理由是 .9. 如图，已知AE ＝AF ，AB ＝AC ，若用“SAS ”证明△AEC ≌AFB ，还需要条件 .10. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相平分，则图中全等三角形共有_____对.EDC ABC ≅EDC ABC≅11. 如图所示，BE⊥AC 于点D ，且AD ＝CD ，BD ＝ED ，若∠ABC＝54°，则∠E＝ °.12. 把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB ＝5厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13.（2014•房山区二模）如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证：△ABC ≌△ADE ．14. 如图, ∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，CD ＝BF.求证: ∠EDF ＝ 90︒ －∠A15. 已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的高，且BP ＝AC ，CQ ＝AB ，求证：AP ⊥AQ.一、选择题','AABB 121．如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，下列结论错误的是（）A.△ABC≌△DEFB. BF＝ECC.AC∥DED.AC＝DF2．如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（）A.△BAC≌FEDB. △BDA≌FCEC. △DEC≌CADD. △BAC≌FCE3．如图，AB＝BD，∠1＝∠2，要用AAS判定△ABC≌△DBE，则添加的条件是（） A.AE＝EC B.∠D＝∠A C.BE＝BC D.∠DEB＝∠C4．下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等5．（2015•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC6．如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（）A．DC B．BC C．AB D．AE＋AC二、填空题7．（2014春•鹤岗校级期末）如图：在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件________________时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）8．如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，在条件①AB＝AC，②AD＝AE，③BE＝CD，④∠AEB＝∠ADC中，不能使△ABE≌△ACD的是_______.（填序号）9．已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.10．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是___________．12．在△ABC 和△DEF 中（1）AB ＝DE ；（2）BC ＝EF ；（3）AC ＝DF ；（4）∠A＝∠D；（5）∠B＝∠E；（6）∠C＝∠F 从这六个条件中选取三个条件可判定△ABC 与△DEF 全等的方法共有________种.三、解答题13．（2014秋•景洪市校级期中）如图，O 为码头，A ，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA ，OB 为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠AOB 的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A 和灯塔B 的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由．14．已知：如图，中，，于，于，与相交于点．求证：.15．如图，DC∥AB，∠BAD 和∠ADC 的角平分线相交于E ，过E 的直线分别交DC 、AB 于C 、B 两点.求证：AD ＝AB ＋DC.ABC △45ABC ∠=°CD AB ⊥D BE AC ⊥E BE CD F BF AC=。

全等三角形的判定1边角边

1
D E
2
B
C
例2 如图，有一池塘 . 要测池塘两端 A 、 B 的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点 C,连结AC 并延长到 D,使 CD=AC, 连结 BC 并延长到 E ，使 CE=CB. 连结 DE, 那么 DE 的长就是 A 、 B 的距离 . 你来自道其中的道理吗？ B A C D
C 步骤： 1.画一线段AC,使它等于4cm; A
B' M 3.以C为圆心, 3cm长为半径画弧,交AM于点B; 显然： △ ABC与△AB'C不全等结论：两边及其一边所对 4.连结CB. B
45°
2.画∠ CAM= 45°;
的角对应相等，两个三角 △ABC与△AB'C就是所求做的三角形. 形不一定全等.
探究
做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm， ∠A=45°.
画法： 1. 画线段AB= 3cm; 2. 画∠MAB= 45°;
3. 在射线AM上截取AC=4cm; 4. 连接BC. △ABC就是所求的三角形. 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？
如图△ABC和△ DEF 中，AB=DE， ∠ B= ∠ E ， BC=EF, 它们完全重合吗？ △ABC≌△ DEF吗？
B`
C`
分别找出各题中的全等三角形
A
40°
C
B
A
B
D
C (2) D
F (1) E
△ABC≌△ABD 根据“SAS”
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
例1
已知：如图,线段AC、BD相交于点E， AE=DE，BE=CE.求证：△ABE ≌△DCE
分析: △ABE ≌△DCE (SAS)

全等三角形的判定(一)

14.2 三角形全等的判定（一）教学目标】知识技能：1、理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边” 。

2 、经历探究“边角边”判定方法的过程，能运用“ SAS”判定方法解决有关问题。

数学思考：经历探究三角形全等的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动，学习有条理的思索方式。

问题解决：使学生充分经历探索的过程，进一步培养学生合作交流与自主探究的能力。

情感态度：通过几何证明的学习，培养学生严谨的分析能力，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。

【教学重、难点】1 ．应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等（重点）2 ．能运用“ SAS”证明简单的三角形全等问题，寻找判定三角形全等的条件（难点）。

【教学准备】1.教师准备：课件2.学生准备：剪刀、白纸、作图工具。

【学情介绍】这节课是探究三角形全等条件的第一课，学生已了解全等三角形的概念及特征，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。

另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这为学生主动参与本节课的操作和探究做好了准备。

“SAS”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。

【内容分析】教材通过尺规作图作出一个与已知三角形的两边及其夹角对应相等的三角形，发现这两个三角形能够重合，从而归纳出判定三角形全等的第一种方法“ SAS” 。

【教学过程】一、温故知新1．什么叫全等三角形?2、全等三角形的性质是什么？二、探究新知：问题：1、如何判定连个三角形全等？2、三角形中共有几个元素？3、三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个或两个元素，能够确定一个三角形的形状和大小吗？分类讨论、探究：1、只给定一个元素（一边或者一角）学生验证。

2、只给定两个元素（请学生画图验证）①两条边长分别为4cm,5cm;②一条边长为4cm，一个角为45°；③两个角分别为45°,60 °。

教师几何画板演示，得出结论：一个或者两个元素不能判定两个三角形全等。

全等三角形的判定(1)

13.3全等三角形的判定（1）一、教学目标：知识与技能：1.掌握“边边边”基本事实的内容.2.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.3.了解三角形的稳定性.过程与方法：1.利用观察、猜想、操作,归纳获得数学结论.2.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考及简单的说理.3.使学生初步探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.情感态度与价值观：通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.二、教学重难点：【重点】1.经历对三角形全等条件的分析与画图验证的过程.2.能够应用“边边边”去判定两个三角形全等.3.了解三角形的稳定性.【难点】探索三角形全等的条件.三、教学准备【教师准备】课件1-8.【学生准备】复习全等三角形的性质,准备直尺和圆规.四、教学过程：1、新课导入：导入一:【提出问题】【课件1】(1)全等三角形相等,相等.(2)全等三角形有哪些性质?如图甲所示已知ΔAOC≌ΔBOD,则∠A=∠B,∠C=, =∠2,对应边AC=,=OB,=OD.(3)如图乙所示,已知ΔAOC≌ΔDOB,则∠A=∠D,∠C=,=∠2,对应边AC=,OC=,AO=.(4)如图丙所示,已知∠B=∠D,∠1=∠2,∠3=∠4,AB=CD,AD=CB,则Δ≌Δ.(5)判定两个三角形全等,依定义必须满足()A.三边对应相等B.三角对应相等C.三边对应相等和三角对应相等D.不能确定[设计意图]通过复习,让学生进一步掌握全等三角形的性质,为下一步学习全等三角形的判定方法打下基础.导入二:1.通过前面的学习,我们知道如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等.但是要想画一个三角形与已知的三角形全等一定需要六个条件吗?条件能否尽可能少呢?一个条件行吗?两个条件呢?2.如果给出三个条件画三角形,有哪几种可能的情况?学生以小组为单位,分工合作,在经历画图的过程中,经过交流总结得出:(1)仅给出一个条件或两个条件时,能画出无数种符合条件的三角形.(2)仅给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.[设计意图]鼓励学生通过画图、比较、交流,在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论,由此引入课题.活动一:“边边边”基本事实的探究思考:三角形六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等吗?根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,汇总归纳.对学生的良好表现进行鼓励.(使学生产生浓厚的兴趣,激发他们的探究欲望)出示探究1:【课件2】先任意画出一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使ΔABC与ΔA'B'C'满足上述六个条件中的一个或两个,你画出的ΔA'B'C'与ΔABC一定全等吗?(1)三角形的两个角分别是30°,50°.(2)三角形的两条边分别是4cm,6cm.(3)三角形的一个角为30°,一条边为3cm.学生剪下按不同要求画出的三角形,比较三角形能否和原三角形重合.教师引导学生按条件画三角形,再通过画一画,剪一剪,比一比的方式得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.出示探究2:【课件3】已知ΔABC,再任意画出一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=C A.把画好的ΔA'B'C'剪下,放到ΔABC上,它们全等吗?让学生充分交流后,教师明确已知三边画三角形的方法,并作出ΔA'B'C',通过比较得出结论:三边分别相等的两个三角形全等.强调在应用时的简写方法:“边边边”或“SSS”.[设计意图]学生通过动手操作、自主探索、交流,获得新知,增强了动手能力,同时也渗透了分类的思想.实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架和用四根木条钉成的四边形的框架,在拉动时,它的大小和形状是否发生变化?学生经过观察、思考、交流后,独立回答:(1)三角形具有稳定性,而四边形不具有.(2)由三角形全等的判定条件“SSS”可知,只要三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就确定了,因此三角形具有稳定性.想一想:你有什么办法可以使四边形框架在拉动时的形状不发生变化?可用一根木条连接不相邻的两个顶点.鼓励学生举出生活中三角形具有稳定性的例子.[设计意图]教学中让学生亲自进行操作,能让学生深刻地体会到三角形这一特殊的性质,使学生产生浓厚的学习兴趣,体验数学在生活中应用的广泛性.活动二:例题讲解【课件4】(补充例题)如图所示,ΔABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ΔABD≌ΔACD.〔解析〕要证ΔABD≌ΔACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.从例题可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.[知识拓展](1)有的题目可以直接从图中找到全等的条件,而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中,所以一定要认真读图,准确把握题意,找准所需的条件.(2)数形结合思想:将“数”与“形”结合起来进行分析、研究,这是解决问题的一种思想方法.[设计意图]培养学生的逻辑推理能力,学会用“SSS”条件判断三角形全等.教师引导学生回顾“作一个角等于已知角”.已知:∠AOB,求作∠A'O'B'=∠AOB.教师和学生一起操作.解:(1)如图所示,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;(2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于点D';(4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.想一想,为什么这样作出的∠A'O'B'和∠AOB是相等的?讨论尺规作图的方法,作一个角等于已知角的理论依据是什么?[设计意图]通过复习一个角等于已知角的画法,拓展“边边边”的应用.3、课堂小结两个三角形如果三边对应相等,那么这两个三角形全等,称为“边边边”基本事实,从而可知三角形具有稳定性这一性质,利用两三角形全等,可进行一些相关的计算和证明.4、检测反馈：（1）如图所示,B,D,C,E在一条直线上,且BC=DE,AC=FD,AE=FB,则BD=,ΔACE ≌,理由是.（2）如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,BE=CF,请添加一个条件:,使ΔABC ≌ΔDEF(SSS).（3）如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定.(填序号)①ΔABD≌ΔACD;②ΔBDE≌ΔCDE;③ΔABE≌ΔACE.（4）如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证∠B=∠D.5、板书设计：第1课时活动一:“边边边”基本事实的探究三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”)活动二:例题讲解6、布置作业：【必做题】1.教材第40页练习第1,2题.2.教材第40页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第40页习题B组第1题.五、教学反思：1、成功之处：教学中教师引导学生观察、操作贯穿教学的始终,让学生感受“边边边”基本事实的得出过程,并通过学生的自主交流,让学生总结出“如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等”这一判定方法.通过画一画、动一动、剪一剪等活动,极大地调动了学生学习的好奇心和积极性,有利于学生对知识的掌握和提高.在探究三角形的稳定性时,注重联系所学的知识让学生加以说明,提高了学生对知识的应用能力.2、不足之处：1.没能更大限度地给学生创造展示自己的空间,学生的思想的闪光点没有得到充分体现.2.没能更好地调动学生的积极性,使学生参与课堂学习的程度不够.3.对例题的讲解没有完全放手让学生自己去解决和操作.3、再教设计在学生操作的过程中,要让小组合作,用集体的合力去完成,及时展示,及时总结.对于问题的解决和探讨尽量让学生都参与进来,多提问学生.在例题的研究上,以现在学生的能力足可以将例题解决,如果再增加几个例题一起交给学生去研究,研究解决的方法和各个题的结构特点,由学生做一个简单的总结:每种情况应如何做?应注意什么问题?这样会给学生更大的思维空间,也有利于知识的理解和掌握.另外练习的方式、方法应多种多样,不仅可以编制题组进行训练,也可以总结题型之后,由学生自己进行编题,这样不仅能够让学生更加熟悉题型的结构,同时也有助于学生的思维能力的提高,从根本上改进计算不准确的不足,也能更好地调动学生参与的积极性.。

全等三角形的判定(1)

全等三角形的判定（1）一、知识要点：1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

二、例题例1：如图，已知AB=CD,AD=BC,求证：AB∥CD,AD∥BC例2：如图，D是BC边上一点，AB=AD,BC=DE,AC=AE.（1）求证：∠C=∠E（2）求证：∠CDE=∠BAD练习1一、选择与填空：1.如果△ABC的三边长为3、5、7，△DEF的三边长为3、32x-、21x-，若这两个三角形全等，则x等于（）A：73B：4 C：3 D：不能确定2.如图，∠MON=800,OA=OB, AC=BC,则∠MOC=（）A：300 B：400 C：450 D：500A：1 B：2 C：3 D：4（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）3．如图，已知AB=AC，D为B C的中点，下列结论中：①△ABD≌△ACD ②∠B=∠C ③AD平分∠BAC ④AD⊥BC，其中正确的有（）个A：1 B：2 C：3 D：44.如图，OA=OB,OC=OD, AD=BC,则图中全等三角形有（）对。

A：1 B：2 C：3 D：45.如图，已知AB= BC，AD= CD，∠ABC=800，∠ADC=500，则∠A= ，∠C= 。

二：解答题：1.如图，AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证：∠BAD=∠CAE.2. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．3. 如图，△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点.(1) △DCE可以看成是由△ABF通过什么样的运动得到的?(2)证明：AF∥DE．4. 小明在作∠AOB的平分线时，采用了下方法：（1）在OA、OB上截取OE=OF.（2）以大于EF的一半长为半径，E、F为半径为圆心画弧相交于点D.（3）以O为端点，经过点D画射线OC，则OC平分∠AOB.小明的作法是否正确？为什么？例3：如图，DE⊥AC.BF⊥AC,垂足分别是E、F,DE=BF,AF=CE,求证AB∥CD.练习2一、选择与填空：1已知，如图，AC交BD于O,且BO=DO,AO=CO,那么下列判断中正确的是（）A：只能证明△AOB≌△CODB：只能证明△AOD≌△COBC：只能证明△AOB≌△COD和△ADB≌△CBDD：能证明四对三角形全等，即△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA2.如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等三角形的对数是（）对A：3 B：4 C：5 D：6（第2题）（第4题）（第5题）3.若AD=BC，∠A=∠B，直接能利用“SAS”证得△ADF≌△BCE的条件是（）A：AE=BF B：DF=CE C：AF=BE D：∠CEB=∠DFA4.如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，可以推出∠ =∠，加上条件AB=DE 和，可以得到△ABC≌△DEF。

12.2.1_全等三角形的判定1(SSS)

6/11/2018
1.只给一个条件
1.只给一条边时；
3㎝ 2.只给一个角时；
45◦
3㎝
45◦
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
①两边；
②一边一角；
③两角。
6/11/2018
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm
上述结论反映了什么规律？
6/11/2018
边边边公理：
三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS”
6/11/2018
A
D
如何用符号语言来表达呢
B
C
E
F
在△ABC与△DEF中 AB=DE
AC=DF
BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS）
叫判做断证两明个三三角角形形全全等等。的推理过程，
已知两个三角形的三个内角分别为30°， 60° ，90° 它们一定全等吗？
这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等
6/11/2018
⑵三条边已知两个三角形的三条边都分别为3cm、 4cm、6cm 。它们一定全等吗？
3cm 6cm 4cm
4cm
6cm
3cm 4cm 6cm 3cm
6/11/2018
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论
6/11/2018
应用所学，例题解析
用尺规(无刻度的直尺和圆规）作一个角等于已知角．已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA， OB 于点C、D；B D

全等三角形的判定1

全等三角形的判定【知识归纳总结】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、全等三角形判定4——“边边边” 全等三角形判定4——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点五、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点六、全等三角形的证明格式：在△ ABC 和△ A 'B 'C '中''()='''()AB A B A A AC A C =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩理由（理由）理由 ∴△ ABC ≌△ A ' B 'C '（S.A.S ）''BC B C ∴=（全等三角形的对应边相等）'B B ∠=∠（全等三角形的对应角相等）例1、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．练习：如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．例2、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．练习：如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.例3、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．例4、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．练习：已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.练习：如图，AB⊥AC，AB=AC，AD⊥AE，AD=AE，求证：BE=CDA BCDE例4 如图，已知等腰△ABC 与△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，且∠BAC=∠DAE ，试说明△ABD ≌△ACE 。

全等三角形的判定方法

全等三角形的判定方法
1.两个三角形的三边分别相等。

2.两个三角形的两个角分别相等，且它们夹的两边也分别相等。

3.两个三角形的一个角相等，且两个角的夹的两边也分别相等。

4.两个三角形的两个角相等，且它们夹的两边分别相等。

5.两个三角形的一个角相等，且两个角的夹的两边分别相等。

6.两个三角形的两个边分别相等，且它们夹的角相等。

7.两个三角形的一边相等，且两个边的夹的角相等。

8.两个三角形的两边分别相等，且它们夹的一个角相等。

9.两个三角形的一边相等，且两个边的夹的一个角相等。

10.两个三角形的一角相等，且两个角的夹的一边也分别相等。

三角形全等的判定1——边边边

D
A B C
2.如课本图11.2-3，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架。求证：AD垂直于 BC。 .
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
思考：你能用“边边边”解释三角形具有稳定性吗？
例2:如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：△AEB ≌ △ ADC。
三、教学目标设计
三、教学目标设计
1.知识与技能：
（1）掌握三角形全等的判定方法，能够用文字语言、图形语言和符号语言分别表述三角形全等的四种判定方法（2）通过自主探究，提高合情推理能力和表达能力。
2.过程与方法：
通过用几何画板探索三角形全等条件的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感、态度、价值观：
A
B 方法构想
E
D
C
两个三角形中已经的两组边对应相等,只需要再证第三条边对应相等就行了.
小结归纳
1
全等三角形证明的基本步骤：
①分析已有条件,准备所缺条件：
证全等时要用的间接条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤： • 写出在哪两个三角形中 • 摆出三个条件用大括号括起来
• 写出全等结论
2、如图，AB=CD，AC=BD，随堂练习 △ABC和△DCB是否全等？试说明理由。 1、已知：如图，AB=AD，BC=CD，解：△ABC与△DCB全等，求证：△ABC≌ △ADC 理由如下：
证明：在△ABC与△ADC中 A AB=AD
BC=DC AC=AC ∴ △ABC≌ △ADC C B D
在△ABC与△DCB中 AB=CD
BC=CB
AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB
A

《全等三角形判定一》(ASA,SAS) 配套知识讲解2022人教七年级下册专练

全等三角形判定一（ASA ，SAS ）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“角边角”1、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ．∴△ABD ≌△ECD ．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．3、（2020•吉林）如图，△ABC 和△DAE 中，∠BAC=∠DAE ，AB=AE ，AC=AD ，连接BD ，CE ，求证：△ABD ≌△AEC ．【思路点拨】根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．【答案与解析】证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS）．【总结升华】本题考查利用“边角边”定理来证明三角形全等，注意等角减等角，差相等. 举一反三：【变式】（2020•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】C．解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C．类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M在BC的中点.试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？【答案与解析】三个小石凳在一条直线上证明：∵AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴BM ＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）∴E ，M ，F 在同一直线上【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME ≌△CMF ，可得∠EMB ＝∠FMC ，再由∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°得到E ，M ，F 在同一直线上.第二课时【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）()a x y ax ay +=+；（2）2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）221122ab a b =；（5）222112a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断.【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式而是一个单项式，(5)中的21a 、1a都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举一反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A.243(2)(2)3a a a a a -+=-++B.2244(2)x x x ++=+C. 11(1)x x x +=+D.2(1)(1)1x x x +-=-【答案】B ；类型二、提公因式法分解因式2、下列因式分解变形中，正确的是（）A ．()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+B ．()()()()262231m n m n m n m n +-+=+++C ．()()()()232332y x x y y x y x -+-=--+D ．()()()()2232x x y x y x y x y +-+=++ 【答案】A ；【解析】解：A.()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+，正确；B.()()()()2622331m n m n m n m n +-+=++-，故本选项错误；C.()()()()232332y x x y y x y x -+-=---，故本选项错误；D.()()()()223331x x y x y x y x xy +-+=++-，故本选项错误．【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．举一反三：【变式】（2020春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（）A.a 2b+7ab ﹣b=b （a 2+7a ）B.3x 2y ﹣3xy+6y=3y （x 2﹣x ﹣2）C.8xyz ﹣6x 2y 2=2xyz （4﹣3xy ）D.﹣2a 2+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应用3、若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【答案与解析】解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--当a b =时，等式成立，当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =，∴a b b c ==或 ∴ABC ∆是等腰三角形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型.4、对任意自然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由.【答案与解析】解：()44422222221152n n n n n n +-=⨯-=-=⨯∵n 为大于0的自然数，∴2n 为偶数，15×2n 为30的倍数，即422n n +-是30的倍数.【总结升华】判断422n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式.举一反三：【变式】说明200199198343103-⨯+⨯能被7整除. 【答案】解：200199198343103-⨯+⨯()198219833431073=-⨯+=⨯ 所以200199198343103-⨯+⨯能被7整除.5、（2020春•湘潭县期末）已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x 2y+xy 2的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．。

三角形全等的判定

1. 全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。

2. 全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3. 全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

4. 全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

5. 全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

典型例题知识点一：全等三角形判定1例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。

请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

解答过程：已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。

求证：AD∥BC。

知识点二：全等三角形判定2（2）由（1）知△OAB≌△OCD∴AB＝CD例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC综上：AD∥BC，AD＝BC例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B ＝∠B，这两个三角形全等吗？。

解答过程：（1）全等；（2）不全等。

解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。

在证明题中尤其要注意这一点。

知识点三：全等三角形判定3 例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。

求证：AM是△ABC的中线。

解答过程：∵BE⊥AE，CF ⊥AE∴∠BEM＝∠CFM＝90°在△BME和△CMF中，解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。

三角形全等的判定条件1

①两条边对应相等； ②两个角对应相等； ③一边一角对应相等。
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
30◦ 45◦
30◦
Байду номын сангаас
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
③三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
OC=_________
∴
≌
（SSS）.
∴∠AOC＝∠BOC（
）.
课堂小结:
本节课你学会了哪些知识？困惑在哪里？
小结:
1.会运用“SSS”证明三角形全等 2.会作一个角等于已知角 3.已知三角形的三边长会画三角形
家庭作业
课本第37页练习题一课一练第32页
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤： a.写出在哪两个三角形中 b.摆出三个条件用大括号括起来 c.写出全等结论
例2、观看视频，完成下列问题（1）如图3，已知∠1. 求作：∠2,使∠2=∠1 （不写作法，只保留作图痕迹）（2）为什么这样做出的∠2和∠1 相等呢？
1
推理过程
，
例1 如图2, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接 A与BC中点D的支架，求证： △ABD≌△ACD
A
证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD
B
C
D
在△ABD与△ACD中 AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
证明的书写步骤：
③两边一角；

全等三角形的判定方法

全等三角形的判定方法1.SSS判定法：SSS (side-side-side) 判定法是指通过比较三角形的三条边长是否相等来判断三角形是否全等。

如果两个三角形的三条边的长度分别相等，则两个三角形全等。

2.SAS判定法：SAS (side-angle-side) 判定法是指通过比较三角形的两边和夹角是否相等来判断三角形是否全等。

如果两个三角形的两边分别相等，且夹角也相等，则两个三角形全等。

3.ASA判定法：ASA (angle-side-angle) 判定法是指通过比较三角形的两角和夹边是否相等来判断三角形是否全等。

如果两个三角形的两角分别相等，且夹边也相等，则两个三角形全等。

4.AAS判定法：AAS (angle-angle-side) 判定法是指通过比较三角形的两角和非夹边是否相等来判断三角形是否全等。

如果两个三角形的两角分别相等，且非夹边也相等，则两个三角形全等。

5.HL判定法：HL (hypotenuse-leg) 判定法主要用于判定两个直角三角形是否全等。

如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则两个直角三角形全等。

需要说明的是，以上判定方法中，具有相等边长的三角形也称为等边三角形，具有相等角度的三角形也称为等角三角形。

在实际判定时，可以根据已知的三角形边长和角度进行比较计算，也可以通过观察三角形的图形特征进行判定。

举例来说三角形ABC，边长为AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，角A=60°三角形DEF，边长为DE=5cm，DF=7cm，EF=8cm，角D=60°可以通过SSS判定法得出三角形ABC和DEF全等，因为它们的三条边分别相等。

同时也可以通过SAS判定法得出三角形ABC和DEF全等，因为它们的边AC和DF相等，且角A和角D相等。

无论使用哪种方法，只要满足判定条件，就可以得出两个三角形全等的结论。

在实际应用中，全等三角形的判定方法是非常重要的，它可以帮助我们解决一些几何问题，比如计算图形的面积、确定图形的位置关系等。