含参一元一次方程的解法

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6.3一元一次方程及其解法3

求方程的整数解
2x 1 2x 2 3
x 1或x 0
小结
1、含参数的一元一次方程的解法
2、绝对值方程的解法
绝对值方程
2 x 1 x 2 3、解方程 (1ห้องสมุดไป่ตู้
1 ( ２ ) x 1 2 0.5 x 1 0 2
4、解方程
(1) x 1 x 2 5
(2) 2 x 1 x 2 5
说明：去掉绝对值符号的关键是确定绝对值记号内式子的值是正还是负.为此先要求出使它们的值为0的x值；并把求出的值在数轴上表示出来，将所有的有理数分类；然后分别加以讨论，即可求出绝对值方程的解.
6.3 一元一次方程及其解法3 ---含参方程&绝对值方程
含参数的一元一次方程
解关于x的方程
解关于x的方程 (a-1)x=b
已知关于x的方程k(x-1)=6-k （1）若方程有解，求有理数k的范围（2）若方程有正整数解，求k的值.
（3）若方程有负数解，求有理数k的范围
1、解关于x的方程 2ax-4=(a+1)x
2、若上述方程的解是整数，求正整数a 的值 3、解关于x的方程：ax-b=cx+d
绝对值方程
1、解方程 (1) 2 3x 1 5
(2) 2x 1 ０
5 ( ３ ) ３x ２－３
绝对值方程
2、已知方程 ax b c ，a 0 当a、b、c满足什么条件有：（1）方程有两个解；（2）方程只有一个解；（3）无解.

含参的一元一次方程专题

含参的一元一次方程专题步入初中，在初一数学解一元一次方程以及一元一次方程的应用，有一类考点是经常考到的，就是含有参数的一元一次方程求解问题，有以下五类含参的题型。

一、利用一元一次方程的定义求待定参数的值例、若（a＋3）x＾｜a＋2｜＝4是一元一次方程，求a的值。

分析：本题考察的主要知识点是一元一次方程的定义，也即利用其定义来求出参数的值。

一元一次方程，指的是在整式方程中，只有一个未知数，未知数的最高次数为1，在本题中则是丨a＋2丨＝1，解得a＝－1或a＝－3；又一元一次方程的一次项系数不能为0，在本题中则是a＋3≠0，即a≠－3。

综上可知a＝－1。

二、利用一元一次方程解的定义求待定参数的值。

例、当m取何值时，关于x的一元一次方程（2m＋1）x－（m－3）／2＝4的解为x＝－1？分析：本题已经知道该方程的解x＝－1，那么把x＝－1代入方程，得到一个关于m的一元一次方程，解之即可。

将x＝－1代入得：－（2m＋1）－（m－3）／2＝4。

－4m－2－m＋3＝8。

－5m＝7。

解得m＝－7／5。

三、利用两个方程之间的关系（同解或互为相反数等）来求待定参数的值例、已知关于x的一元一次方程2x／3＋n／2＝x／2＋1与2x－n＝－2是同解方程，求n的值。

分析：分别用含有字母n的代数式把两个方程的解表达出来，再根据题意令他们相等，解关于n的一元一次方程即可。

解：2x／3＋n／2＝x／2＋1。

4x＋3n＝3x＋6。

x＝6－3n；2x－n＝－2。

x＝（n－2）／2。

由题意得：6－3n＝（n－2）／2。

12－6n＝n－2。

7n＝14。

解得n＝2。

四、利用一元一次方程的错解来确定字母参数的值例、马虎同学在解一元一次方程2（x＋p）＝3x－4时，在计算时忘记－4了，解得x＝－1，求p的值并求出该方程正确的解。

分析：首先根据题目中告诉的错误答案将错就错，按照错误的解题过程求解出字母参数，之后按照正确的解题过程求解出正确的方程的解即可。

初中数学知识归纳一元一次方程的解的求解方法

初中数学知识归纳一元一次方程的解的求解方法一元一次方程，即只含有一个未知数的一次方程，是初中数学中的基础知识之一。

解一元一次方程的方法可以通过等式的变形、配方、代入等方式进行求解。

接下来，将对这些方法进行归纳总结。

一、等式的变形法利用等式的等值性质，通过变形等式来求解一元一次方程。

1. 一次方程的加减法变形对于形如ax + b = c的一元一次方程，可以通过加减法变形将未知数的系数和常数项分别移到等号两侧。

示例1:3x + 2 = 8首先将常数项2移到等号右侧，得到3x = 8 - 2然后再通过除以系数3，得到x = 6/3最后化简得到x = 22. 一次方程的乘除法变形对于形如ax = b的一元一次方程，可以通过乘除法变形将未知数的系数和常数项分别移到等号两侧。

示例2:4x = 12首先将系数4移到等号右侧，得到x = 12 / 4最后化简得到x = 3二、配方法对于一些特殊的一元一次方程，可以通过配方法来求解。

配方法是将方程两边乘以适当的数来使方程变得更容易求解。

示例3:2x + 3 = 4x - 1通过将方程两边乘以2，得到4x + 6 = 8x - 2然后将6移到等号右侧，得到2x = 8x - 8接着将8x移到等号左侧，得到6x = 8最后化简得到x = 8 / 6化简后得到x = 4 / 3，即x = 1 1/3三、代入法代入法是将方程的解代入原方程中验证是否成立，从而求解一元一次方程。

示例4:4x - 1 = 3x + 2假设x = 2是方程的解，将x = 2代入原方程得到4 * 2 - 1 = 3 * 2 + 2化简得到7 = 8由于等式不成立，所以x = 2不是方程的解。

综上所述，解一元一次方程的方法主要包括等式的变形法、配方法和代入法。

在解题时，我们可以根据具体的方程形式和题目要求选择合适的方法进行求解。

同时，在解题过程中，我们还需要注意运算的准确性和步骤的简洁性，以确保最终的答案的正确性。

一元一次方程中含参数问题的解题策略

一元一次方程中含参数问题的解题策略作者：***来源：《初中生世界·七年级》2020年第12期領衔人：杭毅组稿团队：江苏省宿迁市钟吾国际学校在方程的学习中，我们常会遇到一些含有参数的问题，解决此类问题的关键在于理解概念，明晰问题指向。

现分析几种常见的含参数方程问题的解题策略，希望对同学们的学习有所帮助。

一、根据一元一次方程的定义求解【分析】根据一元一次方程的概念可知未知数次数为1，系数不为0。

解得m=1。

二、根据方程的解的定义求解例2已知x=2是关于x的方程2（x-m）=8x-4m的解，则m=。

【分析】根据方程解的定义可知x=2能使方程左右两边相等。

解：由题意可得2（2-m）=8×2-4m。

解得m=6。

【分析】很多同学想到将x=2代入第一个方程中求出b的值，再将b的值代入第二个方程中求出方程的解。

这样解比较麻烦，我们可以仔细观察两个方程的结构特征，将第二个方程中的（y+1）看成一个整体，它与第一个方程中x的值相同，即y+1=2。

解：由题意得y+1=2，解得y=1。

三、根据方程公共解的情况求解例3若关于x的方程a-2x=9与方程2x-1=5的解相同，则a的值为。

【分析】方法一：同解问题，即两个方程的解相同，仔细观察，方程2x-1=5可解，我们可将x的值解出来，代入方程a-2x=9中，将其转化为关于参数a的方程，从而求出a的值。

方法二：我们可将两个方程分别解出来，解相同即两个代数式值相同，得到关于x的方程。

解法一：由2x-1=5，解得x=3。

将x=3代入a-2x=9得a-2×3=9，解得a=15。

解法二：由2x-1=5解得x=3。

由【分析】两个方程中都含有参数，我们利用例3的方法二较为简便。

四、根据方程整数解的情况求解例4已知关于x的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k=。

【分析】对于含参数的方程，我们可先用含参数的代数式表示方程的解。

要使结果为整数，分子为整数，则分母应为分子的因数。

一元一次方程含参问题

例5、若a，b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 1 程，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a，b的值。解：将x=1代入 2kx a x bk
3 2k a 1 bk 1 3 6 6 1
化简得：(4+b)k=7-2a ① ∵无论ห้องสมุดไป่ตู้为何值时，原方程的解总是x=1 ∴无论k为何值时，①总成立 ∴4+b=0且7-2a=0，解得a=-4，b=3.5
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解，求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
练习：（1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无数个解，则a= 5 ，b= 10 。
3
2

（2）已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则 a= 3 。（3）(3a 2b) x ax b 0 是关于x的一元一次方程，且x有唯一值，则x= 3 。
2
9
2
2
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互为相反数时，求a的值练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程

含参一元一次方程的解法

含参一元一次方程的解法知识回顾1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．易错点3：移项忘记变号．基础巩固【巩固1】若是关于x的一元一次方程，则．【巩固2】方程去分母正确的是（）A．B．C．D．【巩固3】解方程1.1 一元一次方程的巧解求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中的应用．具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．【例1】 ⑴⑵【例2】解方程：⑴⑵()()1123233211191313x x x -+-+=知识导航经典例题1.2同解方程知识导航若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法：⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．经典例题【例3】⑴若方程与有相同的解，求a得值．；⑵若和是关于x的同解方程，求的值．【例4】x的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程的解是多少？⑵当x的方程y的方程的解得2倍．1.3含参方程知识导航当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的形式，方程的解根据的取值范围分类讨论．1．当时，方程有唯一解．2．当时，方程有无数个解，解是任意数．3．当且时，方程无解．经典例题【例5】解关于x的方程【例6】⑴若方程没有解，则a的值为．⑵若方程有无数解，则的值是．⑶当时，关于x的方程是一元一次方程．若该方程的唯一解是，求p得值．⑷已知：关于的方程有无数多组解，试求的值．1.4绝对值方程知识导航解绝对值方程的一般步骤：⑴分类讨论去绝对值；⑵分别求解两个方程；⑶综合两个方程的解；⑷验证．经典例题【例7】解绝对值方程：⑴⑵1.5课后习题【演练1】解方程：【演练2】【演练3】与方程的解相同，则a 的值为．⑵若关于x 的解互为相反数，则= ．⑶若关于x 和a 得值．【演练4】解关于x【演练5】⑴已知关于x．⑵若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是．。

含参数一元一次方程【精】

含参数一元一次方程【精】引言含参数一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数的一元一次方程。

参数是未知数的某种规定值，通过给参数赋予不同的值，可以得到不同的方程。

在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，先求相应参数下的特殊方程的解，然后分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。

方程的基本形式含参数一元一次方程的基本形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。

求解含参数一元一次方程的步骤1. 对于给定的参数值，将方程化为一元一次方程。

2. 求解得到一元一次方程的解。

3. 分析参数的取值范围，得到方程的解的条件。

示例假设我们要求解含参数的一元一次方程：ax + b = 0，其中a是一个参数。

下面是对于不同参数值的求解步骤：当a = 0时方程化为：0x + b = 0，即b = 0。

此时方程的解是：x = 0。

当a ≠ 0时方程化为：ax + b = 0。

移项得到：x = -b/a。

这就是方程的解。

参数的取值范围在解含参数一元一次方程时，要考虑参数的取值范围。

对于不同的参数取值，方程可能有不同的解。

结论含参数一元一次方程是一种特殊的一元一次方程，通过对参数的赋值，可以得到不同的方程。

在解含参数一元一次方程时，要将参数视为常数，并考虑参数的取值范围，得到方程的解的条件。

参考文献- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 初中代数（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.- 张宪田，冯寄洲，李青，等. 高中数学（下册）[M]. 北京：人民教育出版社，2006.。

一元一次方程的解

一元一次方程的解一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0。

解方程即找到使得等式成立的未知数的值，即x的值。

解一元一次方程可以使用多种方法，包括代入法、加减消去法和倍加消去法等等。

下面将介绍几种解一元一次方程的常用方法。

一、代入法代入法是一种直接替换未知数的值进行验证的方法。

以方程ax + b = 0为例，将任意实数k代入方程中得到ak + b = 0，然后解得k的值。

通过代入验证，如果等式成立，那么k就是方程的解。

二、加减消去法加减消去法是将两个方程相加或相减，通过消去一个未知数来求解另一个未知数。

以方程组为例，假设有两个方程：方程一：a1x + b1 = 0方程二：a2x + b2 = 0将方程一的两边乘以a2，方程二的两边乘以a1，得到：a1a2x + a2b1 = 0a1a2x + a1b2 = 0两个方程相减得到：(a1b2 - a2b1) = 0通过解这个一元一次方程，可以得到未知数x的值。

三、倍加消去法倍加消去法是将两个方程乘以合适的因子，使得两个未知数的系数相等，然后相减消去一个未知数。

以方程组为例，假设有两个方程：方程一：a1x + b1 = 0方程二：a2x + b2 = 0通过找到合适的因子，使得方程一的x系数乘以因子等于方程二的x系数，即a1 * n = a2，然后将方程一乘以n，方程二乘以m，再相减消去一个未知数得到解。

解一元一次方程的过程即求解未知数的值，使得方程成立。

需要注意的是，方程的解可能是实数，也可能是无解或者无数解，具体要根据方程的系数和常数项来判断。

总结：解一元一次方程可以使用代入法、加减消去法和倍加消去法等多种方法。

通过这些方法可以求得方程的解，找到使得方程成立的未知数的值。

但是需要注意，方程的解可能是实数，也可能是无解或者无数解，具体要根据方程的系数和常数项来判断。

含参一元一次方程解法

⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
【巩固1】若是关于x的一元一次方程，则．
【巩固2】方程去分母正确的是（）
A． B．
C． D．
【巩固3】解方程
1.1一元一次方程的巧解
求解一元一次方程的一般步骤是：去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
1.5课后习题
【演练1】解方程：
【演练2】解方程：
【演练3】⑴方程与方程的解相同，则a的值为．
⑵若关于x的方程与的解互为相反数，则 =．
若关于x的方程和，求a得值．
【演练4】解关于x的方程：
【演练5】⑴已知关于x的方程无解，那么，
．
若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是
【例6】⑴若方程没有解，则a的值为．
⑵若方程有无数解，则的值是．
当时，关于x的方程是一元一次方程．若该方程的唯一解是，求p得值．
已知：关于的方程有无数多组解，试求的值．
1.4绝对值方程
解绝对值方程的一般步骤：分类讨论去绝对值；分别求解两个方程；综合两个方程的解；验证．
【例7】解绝对值方程：
．
含参一元一次方程的解法

含参一元一次方程的解法

含参一元一次方程的解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．易错点3：移项忘记变号．【巩固1是关于x的一元一次方程，则．【巩固2】方程去分母正确的是（）AB．CD【巩固3知识回顾基础巩固1.1一元一次方程的巧解求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，的应用．具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．【例1】⑴【例2】解方程：⑴⑵()()1123233211191313x x x-+-+=知识导航经典例题1.2 同解方程若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法： ⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．【例3】与有相同的解，求a 得值．；⑵若是关于x 的同解方程，求的值．【例4】x 的一元一次方知识导航经典例题程，且它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程的解是多少？⑵当x的方程y的方程的解得2倍．1.3含参方程当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的解根据的取值范围分类讨论．1．当时，方程有唯一解．2．当时，方程有无数个解，解是任意数． 3．当时，方程无解．【例5】解关于x的方程【例6】⑴若方程没有解，则a 的值为．⑵若方程有无数解，则的值是．时，关于x是一元一次方程．若该方程的唯p 得值．⑷已知：关于的方程的值．1.4 绝对值方程经典例题解绝对值方程的一般步骤：⑴分类讨论去绝对值；⑵分别求解两个方程；⑶综合两个方程的解；⑷验证．【例7】解绝对值方程：⑴⑵1.5 课后习题【演练1】【演练2】经典例题【演练3】与方程的解相同，则a的值为．⑵若关于x则= ．⑶若关于x和a得值．【演练4】解关于x【演练5】⑴已知关于x无解，那么，．⑵若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是．。

(完整版)含参一元一次方程解法

3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
【巩固1】若是关于x的一元一次方程，则．
【巩固2】方程去分母正确的是（）
A． B．
C． D．
【巩固3】解方程
1.1一元一次方程的巧解
求解一元一次方程的一般步骤是：去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
含参一元一次方程的解法
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
2．解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1．
这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．
(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．
【例4】⑴若方程与有相同的解，求a得值．；
⑵若和是关于x的同解方程，求的值．
【例5】⑴已知：与都是关于x的一元一次方程，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程的解是多少？
⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．

一元一次方程的解法及应用

一元一次方程的解法及应用一元一次方程是指一个未知数的最高次数是1的方程。

它的一般形式可以表示为：ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知常数，x 是未知数。

解一元一次方程的方法有代入法、消元法和图解法等。

一、代入法代入法是解一元一次方程的基本方法之一。

其步骤如下：1. 将方程中的未知数代入已知数所在的位置，从而得到一个等式。

2. 通过解这个等式，求得未知数的值。

3. 将求得的未知数的值代入原方程，验证等式是否成立。

例如，我们考虑解方程2x - 3 = 7。

(1) 将方程中的未知数 x 代入已知数 7 所在的位置，得到 2x - 3 =2(7) - 3 = 14 - 3 = 11。

(2) 解上面的等式可以得到 x = 7/2 = 3.5。

(3) 将 x = 3.5 代入原方程 2x - 3 = 7，验证等式成立。

二、消元法消元法是解一元一次方程的另一种常用方法。

其核心思想是通过变换方程使得未知数的系数相对较小，从而更容易求解。

对于一个一元一次方程 ax + b = c，消元法的步骤如下：1. 将方程两边同时减去常数 b，得到 ax = c - b。

2. 将等式两边同时除以系数 a，得到 x = (c - b)/a。

例如，我们考虑解方程3x + 5 = 14。

(1) 将方程两边同时减去常数 5，得到 3x = 14 - 5 = 9。

(2) 将等式两边同时除以系数 3，得到 x = 9/3 = 3。

三、图解法图解法是一种直观的解一元一次方程的方法。

它通过在坐标平面上绘制方程对应的直线，找到直线与 x 轴的交点，从而求解方程的解。

对于一个一元一次方程 ax + b = 0，可以将其转换成标准形式 x = -b/a。

于是，我们可以通过绘制直线 y = 0 和直线 x = -b/a，并找到它们的交点来求解方程。

例如，我们考虑解方程2x - 3 = 0。

(1) 将方程转换成标准形式 x = 3/2。

(2) 在坐标平面上绘制直线 y = 0 和直线 x = 3/2。

一元一次方程含参数问题的解题策略

一元一次方程含参数问题的解题策略
除了一元一次方程的解法和应用外，简单的含参数问题的一元一次方程也是课堂的重点，掌握了这几类问题的分析过程，对以后方程的学习会有很大帮助。

下面就几种常见的情况做分析。

除了一元一次方程的解法和应用外，简单的含参数问题的一元一次方程也是课堂的重点，掌握了这几类问题的分析过程，对以后方程的学习会有很大帮助。

下面就几种常见的情况做分析。

一、根据一元一次方程的定义求解
二、根据方程解的意义求解
三、方程的同解问题
四、方程的整数解问题
总结步骤：
（1）先解方程，将方程的解用含参数的代数式表示
（2）方程的解一般是分子中不含参数，而分母中含有参数的形式。

（如果不是，将其变形为这样的形式）
（3）让分母等于分子的所有因数，求解含参数的方程即可。

一元一次方程是最基本的代数方程，对它的理解和掌握对后续的知识（二元一次方程、一元二次方程、不等式及函数等）具有重要的基础作用。

上述四个类型主要是在考察学生读题，提炼关键信息的能力。

本质都是根据信息解关于未知数或参数的方程。

所以，提高学生的计算能力是一项长期而艰巨的任务。

初一数学秋季讲义-第6讲.含参一元一次方程的解法.教师版

精品word 完整版-行业资料分享解方程满分晋级阶梯漫画释义题型切片6含参一元一次方程的解法方程4级方程中的设元方程3级含参一元一次方程的解法方程2级二元一次方程组的概念及基本解法题型切片（四个）对应题目题型目标复杂一元一次方程例1；例2；练习1；同解一元一次方程例3；例8；练习2；含参一元一次方程例4；例5；练习3；练习4 绝对值方程例6；例7；练习5；练习6对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中()ax bx a b x +=+的应用.【引例】解方程：111123452345x x x x +++=+++. 【解析】法一：1111111123452345x ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭，所以1x =；法二：111102345x x x x ----+++=，1111()(1)02345x +++-=，所以1x =.【点评】注意传递给学生两种解决此类问题的思路.【例1】 ⑴解方程：2152234x x +--=.（西城期末） ⑵解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解析】 ⑴ 去分母（方程两边同乘以12），得4(21)3(52)24x x +--=．去括号，得 8415624x x +-+=．移项，得 8152446x x -=--．合并同类项，得 714x -=．系数化为1，得 2x =-． ∴ 原方程的解是 2x =-．⑵ 原方程可变为111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=，即111(23)0111319x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，又1110111319+-≠，所以230x -=，即32x =．点评：若0ab =，则0a =或0b =．【例2】解方程：2009122320092010x x x+++=⨯⨯⨯【解析】 1112009122320092010x ⎛⎫+++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭，1120092010x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 即200920092010x =，复杂一元一次方程思路导航精品word 完整版-行业资料分享故2010x =.若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【引例】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．（北京四中期中考试）【解析】法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-. 法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入另一个方程．【例3】 ⑴已知：关于x 的方程42x k -=与()322x k +=的解相同，求k 的值及相同的解．（石景山期末）⑵若关于x 的方程5342x x =-和12524ax ax x -=+有相同的解，求a 的值． ⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．【解析】 ⑴ 22643k k +-=，解得6k =，2x ∴= ⑵ 方程5342x x =-的解为8x =-，把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得12a =．⑶ 法一：方程()40k m x ++=的解为4x k m -=+，方程(2)10k m x --=的解为12x k m=-，所以412k m k m -=+-，所以3m k =，所以523k m -=-. 法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故48k m m k +=-，523k m -=-．当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．① 当0a ≠时，方程有唯一解bx a=．② 当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数． ③ 当0a =且0b ≠时，方程无解．思路导航同解一元一次方程思路导航【引例】当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解．【解析】 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-，；11a b ==-，.【例4】 ⑴ 已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5aba b x x a b a b+-=-++的解.⑵ 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．（北师大附中期中）【解析】 ⑴ 原方程整理为(2)3a x b -=--，因为当20a -=且30b --=该方程有无数多组解，所以23a b ==-，，故把23a b ==-，代入2011()5aba b x x a b a b+-=-++得610x x --=，解得107x =-.⑵ 方程2236kx a x bk+--=可化为：(41)212k x a bk -++=，由该方程总有解1x =可知41212k a bk -++=，即(4)132b k a +=-，又k 为任意值，故401320b a +=⎧⎨-=⎩，231a b +=．【例5】解关于x 的方程()()134m x n x m -=-【解析】去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=-当34m ≠时，方程的解为4343mn mx m -=-；当34m =，34n =时，解为任意值；当34m =，34n ≠时，方程无解．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解1．形如ax b c +=的方程，可分如下三种情况讨论： ⑴0c <，则方程无解；⑵0c =，则根据绝对值的定义可知，0ax b +=； ⑶0c >，则根据绝对值的定义可知，ax b c +=±． 2．形如ax b cx d +=+型的绝对值方程的解法：首先根据绝对值的定义得出，()ax b cx d +=±+，且0cx d +≥；分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+，然后将得出的解代入0cx d +≥检验即可． 3．含多重绝对值符号的绝对值方程的解法：主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．思路导航含参一元一次方程精品word 完整版-行业资料分享【引例】解绝对值方程：15x -=【解析】 15x -=可知，15x -=或15x -=-，故6x =或4x =-．【例6】若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是（）A ．m n k <<B ．m n k ≤≤C ．m n k >>D ．m n k ≥≥【解析】 C .【例7】解绝对值方程：⑴ 4812x +=⑵ 4329x x +=+⑶ 方程125x x -++=的解是．（北京四中期中）【解析】 ⑴由4812x +=可知，4812x +=±，故1x =或5x =-．⑵方程4329x x +=+可化为，43(29)x x +=±+，且290x +≥，解方程4329x x +=+可得，3x =；解方程43(29)x x +=-+可得，2x =-，代入检验可知，3x =，2x =-均满足题意．⑶法一：1x -与2x +的零点分别是1x =和2x =-．由“零点分段法”，分情况讨论：若2x <-，则原方程可化为(1)25x x ---+=（），解得32x =-<-，满足题意，故3x =-是原方程的解；若21x -≤≤，则原方程可化为(1)25x x --++=（），无解；若1x >，则原方程可化为(1)25x x -++=（），解得21x =>，满足题意，故2x =也是方程的解．综上：方程125x x -++=的解为3x =-或2x =.法二：用绝对值的几何意义画数轴即可解决.【选讲题】【例8】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．（人大附中期中练习）【解析】由题意可知，312211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，由上述两个方程的解互为相反数可知，114205p p p -++=⇒=-，故方程115x p -+=变为1111655x x --=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．绝对值方程训练1. 解方程：13110.20.4x x +--=【解析】原方程可化为10103010124x x +--=，去分母2020(3010)4x x +--=，去括号202030104x x +-+=，合并同类项1026x -=-，系数化为1得`135x =．训练2. 解方程：2325118357911x x x x x -----++++=．【解析】由题意：23251743220357911x x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以23232323230357911x x x x x -----++++=所以11111(23)0357911x ⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭，因为111110357911++++≠，故23x =．训练3. 已知关于x 的方程1(1)12x k -=-的解与351148x k x +--=的解相同，求k 的值.【解析】由 1(1)12x k -=-得 122x k -=- 12x k -=- 12x k =-+ 由351148x k x +--=得()()23518x k x +--= 62518x k x +-+=72x k =-∵两个方程的解相同， ∴1272k k -+=- ∴2k =训练4. a 为何值时，方程1(12)326x x a x +=--有无数多个解？无解？【解析】将方程化为最简形式，利用ax b =各种解的情形所应满足的条件建立a 的关系式.原方程整理得：0612x a =-，即当2a =时，原方程有无数个解，当6120a -≠，即2a ≠ 时，原方程无解.复杂一元一次方程巩固练习【练习1】解方程：0.130.41200.20.5x x +--=复习巩固精品word 完整版-行业资料分享【解析】 10x =-. (提示：含有小数的一元一次方程在求解过程中通常是先将小数化成整数)两个一元一次方程解的关系问题巩固练习【练习2】已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值及方程的解.【解析】把a 当常数，方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解为37x a =，方程3151128x a x +--=的解为27221a x -=，故3272721a a -=，解得2711a =，所以8177x =．（同解方程问题）含字母系数的一元一次方程巩固练习【练习3】已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，那么a = ，b ．【解析】 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +≠，即53a =，109b ≠-．【练习4】如果关于x 的方程2(3)15(23)326kx x +++=有无数个解，求k 值. 【解析】原方程整理得(410)0k x -=，由方程有无数个解得4100k -=，52k =．绝对值方程巩固练习【练习5】解方程：3548x -+=【解析】 3548x -+=或8-（舍），即354x -=，所以354x -=或4-，即39x =或31x =，故3x =或13x =．【练习6】方程147x x -++=的解是．2x =或5x =-.每个人的成功都有秘诀，那你知道爱因斯坦的成功公式是什么？数学史精品word完整版-行业资料分享第十三种品格：公平不要羡慕别人的生活，别人不见得比你活得好，世间是公平的，每个人都有自己的欢乐和痛苦。

一元一次方程含参问题知识点

一元一次方程含参问题知识点
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠一元一次方程含参问题的知识点。

比如说方程 ax+b=c 这样的，这里面的 a 就是参数啦！哎呀呀，就好
比你要去一个地方，a 就像是你选择走的路，不同的 a 就会让你走不同的路线呢！咱来看个例子哈，3x+5=14，这时候参数就是 3 呀。

那在一元一次方程含参问题里，咱得搞清楚参数对整个方程的影响嘞！这就好像搭积木，每一块积木的位置都很重要，参数就是那关键的一块呀！比如给你个方程 mx+2=7，这里的 m 就是关键参数咧，如果 m 不同，那
整个方程的解可就不一样咯！你想想，是不是很神奇？
有时候呢，我们得根据条件求出参数的值，就像寻找宝藏一样刺激呢！比如说知道方程 ax-3=0 的解是 x=2，那你就得赶快算出 a 是多少呀！
哎呀，一元一次方程含参问题可真是有趣又充满挑战呢！总之呢，咱只要认真去研究，肯定能把它搞明白！
我的观点结论就是：一元一次方程含参问题虽然有点难搞，但只要用心，就一定能掌握好它！。

含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程

含参数的一元一次方程、含绝对值的一元一次方程一．含有参数的一元一次方程1. 整数解问题2. 两个一元一次方程同解问题3. 已知方程解的情况求参数4. 一元一次方程解的情况（分类讨论）二：解含有绝对值的一元一次方程一. 含有参数的一元一次方程1. 整数解问题（常数分离法）例题1：⑴ 【中】已知关于x 的方程9314x kx +=+有整数解，求整数_____k = 答案：(9)11k x -=119x k=- ∵,x k 均为整数∴91,11k -=±±∴2,8,10,20k =-⑵ 【中】关于x 的方程()2(1)130n x m x -+--=是一元一次方程 (1)则,m n 应满足的条件为:___m ,____n ;(2)若此方程的根为整数,求整数=____m答案：(1)1,1≠=;(2)由(1)可知方程为(1)3m x -=, 则31x m =- ∵此方程的根为整数.∴31m -为整数又∵m 为整数,则13,1,1,3m -=--∴2,0,2,4m =-测一测1：【中】关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，则整数a 的值为( )A.2B.3C.1或2D.2或3答案：D方程143+=+x ax 可化简为：()24-=-x a 解得42--=a x 解为正整数，()214--=-或a 32或=a测一测2：【中】关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,则k 的值为___________ 答案：917x kx -=可以转化为(9)17k x -=即:179x k =-,x 为正整数,则88k =或-测一测3: 【中】m 为整数，关于x 的方程 6x mx =- 的解为正整数，求_____m = 答案：由原方程得：61x m =+ ，x 是正整数，所以1m + 只能为6的正约数， 11,2,3,6m += 所以0,1,2,5m =2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴ 【易】若方程29ax x -=与方程215x -=的解相同，则a 的值为_________【答案】第二个方程的解为3x =，将3x =代入到第一个方程中，得到369a -= 解得 5a =⑵ 【中】若关于x 的方程：k (x +3)(2)10354k x x --=-与方程1252(1)3x x --+=的解相同，求___k = 【答案】由方程k(x+3)(2)10354k x x --=-解得x=2，代入方程1252(1)3x x --+=中解得k=4测一测1:【易】方程213x +=与202a x --=的解相同，则a 的值是（） A 、7 B 、0 C 、3 D 、5【答案】D第一个方程的解为1x =，将1x =代入到第二个方程中得：12=02a --，解得5a = 例题3：【中】若关于x 的方程231x -=和32x k k x -=-解互为相反数，则k 的值为（） A. 143- B. 143 C. 113k =- D. 113k = 【答案】 A首先解方程231x -=得：2x =；把2x =-代入方程32x k k x -=-，得到：232k k x --=-；得到：143k =- 测一测1：【中】当m=_______时，关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的解的2倍【答案】由4231x m x -=-可知21x m =-，由23x x m =-可知3x m =∵ 关于x 的方程4231x m x -=-的解是23x x m =-的2倍∴2123m m -=⨯解得14m =- 3. 已知方程解的情况求参数例题4：⑴ 【易】已知方程()2412x a x +=-的解为3x =，则____a = 【答案】根据方程的意义，把3x =代入原方程，得()234312a ⨯+=-，解这个关于a 的方程，得10a =测一测1：【易】若3x =是方程123x b -=的一个解，则b=________。

含参数的一元一次方程的解法

含参数的一元一次方程1. 已知方程解的情况求参数例题4：⑴【易】已知方程的解为，则测一测1：【易】若是方程的一个解，则b=________。

测一测2：【易】已知是方程的解，则_________。

⑵【易】某同学在解方程，把处的数字看错了，解得，该同学把看成了_________。

测一测1: 【易】某书中有一道解方程的题：，处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，得知这个方程的解就是，那么处应该是________2. 两个一元一次方程同解问题例题2：⑴【易】若方程与方程的解相同，则的值为_________⑵【中】若关于的方程：与方程的解相同，求测一测1:【易】方程与的解相同，则的值是（）例题3：【中】若关于的方程和解互为相反数，则的值为测一测1：【中】当m=_______时，关于x的方程的解是的解的2倍3.错解问题1.小明解方程+1=时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x=4，试求a的值并正确的求出方程的解．2、某同学在对方程=-2去分母时，方程右边的-2没有乘3，这时方程的解为x=2，试求a的值，并求出原方程正确的解．3.、小明同学在解关于x的方程=-1，去分母时，方程右边的-1忘记乘6，因此求得的解为x=2，试求a的值，并求出方程正确的解4.一元一次方程解的情况（分类讨论）例题5：⑴【中】已知方程当此方程有唯一的解时，的取值范围是__________当此方程无解时，的取值范围是__________当此方程有无数多解时，的取值范围是_____⑵【中】关于的方程. 分别求为何值时，原方程：⑴有唯一解⑵有无数多解⑶无解测一测1：【中】若关于的方程有无穷多个解。

求测一测2：【中】已知关于的方程有无数多个解，那么测一测3：【中】已知关于的方程无解，试求=_______5 整数解问题（常数分离法）例题1：⑴【中】已知关于的方程有整数解，求整数⑵【中】关于的方程是一元一次方程(1)则应满足的条件为:,;(2)若此方程的根为整数,求整数测一测1：【中】关于的方程的解为正整数，则整数的值为( )测一测2：【中】关于的方程的解为正整数,则的值为___________测一测3: 【中】为整数，关于的方程的解为正整数，求例题6：【中】解关于的方程：二：含有绝对值的一元一次方程（1）解方程： 2）探究：当为何值时，方程①无解；②只有一个解；③有两个解.测一测1：【易】方程的解是_______测一测2：【易】方程的解为________5. 解方程：（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）（2）x﹣=2﹣．（3）．（4）+2(5)．（5）．（6）(7)(8)．(9)．。